数据分类八下

好，咱们再来看平均数、中位数和众数的实际应用，虽然呢，它们都可以用于刻画一组数据的集中趋势，但是它们刻画的角度是不相同的， 在实际应用当中，需要分析具体问题的情况，选择适当的统计量去刻画数据的集中趋势。它们都有什么特点呢？我们这里来看一下。 平均数，它代表的是总体平均水平，适用场景。数据分布均匀，并且没有极端值，需要反映整体平均的情况，就用平均值。 第二个中位数，它代表的是中等水平，适用场景呢，数据存在极端情况啊，需要反映的是中间水平，那我们就用中位数。 最后一个是种数，它代表的呢是多数水平，适用场景呢，需要体现最普遍的情况，尤其是分类数据或者是数据有明显集中区、集中趋势的时候，我们要体现出多数水平，就用 中数就 ok 了。 a t 七、下表是某公司员工月收入的资料，月收入呢，有四万五的、一万八的、一万的、五千的、三千六的和三千的。它们对应的人数分别是，有一个人 月收入四万五，有一个人月收入一万八，有一个人月收入一万，有七个人月收入五千，有六个人月收入三千六，有四个人月收入是三千。 第一个他叫我们求这家公司员工月收入的平均数和中位数，那平均数呢，怎么算呢？你用人数乘上他的月收入，再除以总人数就可以了。那书上有写的，你看 这家公司员工月收入的平均数，有一个人是四万五，那就用一乘四万五，有一个人是一万八，就用一乘一万八，那这里一乘他没写出来啊？ 然后有一个人是一万，就用一万乘一，然后有五，有七个人是五千，那就是五千乘七，对吧？有六个人是三千六，就拿三千六去乘六， 有四个人是三千，就拿三千乘上四，这就是他们所有的收入，就是整个公司这么多员工的总额入，再拿他们的总额入去，除以总人数就可以了。 总人数一个一个，一个七个，六个，四个，全部加起来一共有多少人呢？一共有二十个人，所以这里是有二十名员工的， 有二十名员工，所以这个二十名员工的平均收入是七万啊，七千零八十元就可以了，这个就他的平均数啊，那他的中位数怎么写呢？哎，你可能说，哎，这里中位数最中间的数啊，五千加一万，那你就错了， 这里并不是说只有一个四万五，一个一万八，一个一万，一个五千，一个三千六，一个三千，他这里是有四个三千六个三千六，七个五千的，所以如果你要把这些数字 从小到大排列的话，我这里给你排列一下，一共有二十个，可能会写的有点长啊，所以我们等会要学会什么呢？要学会通过这个第几个数据去找好看一下，四个三千三千，一个三千，两个三千， 四个三千，然后有六个三千六、三千六，三千六， 六个三千六，对吧？好，接下来是五千，有七个五千、五千五千五千，这里有四个五千，再加三个五千 啊，三个五千，然后的话呢，这里就有七个五千了，还有一个一万的一万，一个一万八，一个四万五。 好，这样的话才是从小到大排列，这里一共有二十个数，一二三四五六七八九十。好，那么这里我就把它挪到下一行， 上面十个，下面十个，所以最中间的两个数是不是就这两个数？ 第十个数和第十一个数是不是就是最中间的两个数？我们拿最中间的两个数拿出来，那分别是三千六和五千，所以他的中位数就是三千六，加上五千除以二等于四千三百。 那么他这里是怎么直接判断第十个数和第十一个数分别是三千六和五千呢？他是反着算的呀，你看这里三千有四个人，三三千六有六个人，那加起来不就有十个人了吗？ 所以从右从这里往前面数，那么第十个人就是三千六，然后数到五千的第一个人 就是第十一个人啊，那么这个第十一，第十个人就三千六，第十一个人就是五千，所以他的中位数就三千六加五千除以二，就这么来的啊。如果你实在是不会数，那你就把所有数据全部列出来，找到最中间的两个数， 找到最中间的两个数，这个数和这个数，把这两个数加起来除以二就可以，因为他这里的数字是偶数个，这里二十个人，对吧？二十个员工就是偶数个。好，下面也写了， 那中位数就这么多，对不对？你再看第二问，他说如果要反映这家公司员工月收入的水平，你认为用平均数还是中位数，为什么呢？你可以看到这个表格里面，他这里低于一万的人数字是特别多的， 而高于一万的或者包括一万的是不是只有三个人？月收入超过一万的只有三个人？月收入低于一万的有多少人？有十七个人。那你这个平均数能够得以体现吗？啊？不能够得以体现对不对？那这个四千三呢？ 他表示最中间的那个数字，对吧？中间的那个数字是四千三，那是不是说明有一半的人他的工资是不到四千三的，对吧？有一半的人工资是超过四千三的。 所以我们在这里就说公司里面有少数人数，有少数员工收入特别高，这个属于极端值，有些高收入会大幅度拉高总和，导致平均数偏高。而中位数 是排序后中间位置的数，他不受少数高收入的影响，更能够反映大部分普通员工的收入水平，因此平均数 比中位数高很多，对吧？那么你看，在二十名员工当中，只有三名员工月收入在七千零八十元以上，另外的十七名员工，他的月收入都在七千零八十以下。因此用月收入的平均值 代表所有员工收入的收入水平是不合适的。而中位数四千三，说明一半员工的月收入都高于 四千三，一半员工的收入都低于四千三。相对而言，相对平均数而言，中位数更能代表这家公司所有员工的月收入水平就可以了。这个就是第二问的回答和分析，知道吗？再整体看一下， 这里有一个思考，我们来看一下，求出这家公司员工月收入的种数，用种数刻画这家公司员工月收入水平是否合适。为什么呢？你看一下它的种数是多少？ 有七个人工资都是五千，七个人人数是不是最多，所以这里的五千就是他的种数，那么这个五千能不能代表呢？可以代表为什么呢？因为种数代表多数水平啊，所以我们可以 去体现多数水平的情况，就用种数，所以我们可以这样去说种数，月收入为五千的人数是最多的，有七个人，因此种数为五千是否合适呢？合适，因为种数反映的是 最常见的收入，这里有最多的员工，七人月收入为五千元，能够体现公司里面多数员工的收入水平，也就是最普遍的收入情况，所以他是可以代表的。 例题八，某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况，对营业员进行适当的奖励。为了确定一个适当的月销售目标， 商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额，销售额的单位是万元，数据如下，这里一行有十个数据， 三行就是说明有三十位营业员，对不对？那为什么要定这个适当的月销售目标呢？那确定一个适当的月销售目标是一个关键的问题，如果目标定的太高，那么大多数人都完成不了这个任务，那么就会失去信心， 如果目标定的太低，他很轻易的就完成了，那么就不足以发出，发挥出这个营业员的潜力，知道吧？所以要定一个 有些人能完成，但又有些人完不成的一个目标。这里的数据十七代表有一位营业员，这个月的他的销售额是十七万元啊，就这个意思。第一问，月销售额在哪一个值的人数最多？ 中间位置的月销售额是多少？平均平均月销售额又是多少？那么这里就是叫我们求什么，这个就叫我们求总数， 它这个呢就叫我们求种数啊，中间位置的月收月销售额就叫我们求中位数，这个平均月销售额就是叫我们求平均数。 好，书上呢，下面已经写了过程的，我们来看一下就可以了。首先这里你想要找到种数，那你就把它统计出来吧，对不对？这三十位营业额的这个营业员的销售额已经统计好了，这下面写了表。 有一个人月销售额是十三万，有一个人是十四万，有五个人是十五万，有四个人是十六万，有三个人是十七万，有两个人是十八万，有三个人是十九万，一个人是二十二万，一个人是二十三万，一个人是二十四万，两个人二十六万，三个人二十八万，一个人三十万，两个人三十二万， 就把它统计出来了，他是一个一个数出来的，自己一个一个算，知道吧？好，算完之后呢，他还把它化成了统计图，看到了没有？这样的话，我们就可以直接通过这个条形状的高低判断 哪一个营业额的人数最多。你可以看到这个十五万的营业额人数是不是对齐了？这个五啊，对不对？营业额为五万的有五个人，对吧？好，所以他这里的种数就是十五， 种数就是十五，那中位数是十八，那你看一下，总共三十个人，三十人，那么他中位数 就是最中间的两个人，那就是为第十五位和第十六位的平均值平均数。 好，那我们看一下第十五位在哪里？你看前面加起来一加一等于二，二加五等于七，七加四等于十一，十一加三等于十四，那么前面这里就已经有十四个人了， 这里就有十四个人，那么第十五个人和第十六个人是不是都在这里面，对不对？十四个人数完之后就是十五和十六，而这里面十五和十六这两个人就是第十五和第十六位， 这两个人就是第十五位和第十六位，我们是从小到大排列的，对不对？而这两个人的这个月销售额都是十八万，那就是十八加十八除以二等于十八，所以他的中位数就是十八 啊。那么平均数呢？他这里是没算的平均数，就是把所有人的数据全部加起来，除以三十个人，对吧？平均数我们这里写一下， 它就等于十三加十四加十五乘上五，再加上十六乘上四，加上十七乘三，加上十八乘二，加上十九乘三，加上二十二，加上二十三，加上二十四，加上二十六，加上二十六，要乘二， 加上二十八乘三，再加上三十，加上三十二乘上二，把这里所有的人营业额全部加上，再除以总人数，总人数是三十个人，我们已经数过了，对不对？那么最后算出来的平均数就是二十， 那这里算出来等于二十就 ok 了啊，那么它的总数平均数和中位数就都算出来了，那这里都写了，对不对？就可以预测这个服装部营业额的月销售量为十五万的人最多，中间位置的月销售额是十八万， 平均月销售额大约是二十万元就 ok 了啊。再看他第二问，他想问什么？他说如果想要确定一个较高的销售目标，你认为在第一问当中的三个营业额当中，选哪一个作为销售额目标比较合适呢？ 这里的关键词呢，就是较高的销售目标，那么这三个数据当中谁最大呀？ 那就是平均数最大，那为什么选平均数呢？你看中位数的话，他是大多数人，一半的人都可以完成，对不对？而众数呢，是十五，这个十五是不是太低了，对不对？那么三十个人里面 是吧？只有两个人没完成，那这个肯定是偏低的，这个目标肯定偏低了，所以想要定一个较高的目标，那么就可以定为二十万， 这个平均数二十万。平均数二十万在什么位置？大概在这个位置，而前面这里有多少人呢？这里一加等于五个人，这里一加等于六个人，也就只有十一个人完成了。 十一个人在三十个人当中是不大概占三分之一，也就是说大概只有三分之一的人可以完成这个目标，有三分之二的人都完成不了这个目标，所以这个目标就是相对怎么样比较高的一个目标，因为 大约会有三分之一的营业员获得奖励，那这个就是一个较高的目标，知道吧？再看第三问， 如果想让一半左右的营业员都能够达到销售目标，你认为月销售额定位多少合适？那肯定就是中位数啊，你要一半都能达成吗？对不对？那中位数 那就是十八万，对吧？啊？那这样的话呢，只有十四个人不能完成，有十六个人就能完成，都能完成，所以呢， 你看他就用中位数了，对不对？他的目的是什么？让一半左右的营业员都能够完成，那肯定就用中位数，就这个意思知道吧，所以你用中位数定目标，那么将会有一半左右的营业员获得奖励。 归纳是这样写的，平均数、中位数、众数，它都是可以刻画一组数据集中趋势的，但是它们各有特点， 平均数是一组数据的平均值，计算的时候要用到所有数据，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活当中较为常用。但是这个平均数呢，会受极端值的影响比较大， 对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性就较差了。而中位数是一组数据，按照从大到小或者从小到大 处于中间位置的数字计算，简单，不易受极端值的影响。但是中位数不能充分利用数据提供信息。最后一个是中数， 种数是一组数据当中出现次数最多的数据，他不易受极端值的影响，但是当各个数据重复次数差别不大的时候，那么种数往往就不具有代表性了。这里他说你知道在体操比赛当中，评分当中为什么要去掉一个最高分和一个最低分吗？这就这里就是因为 平均数，这里就是因为，那这里就是因为这个平均数，他对他会受到这个极端值的影响比较大，所以你把最高的那个和最小的那个都去掉，那么就会比较有，就会有较强的代表性，知道吧？所以我们这里可以这样去说， 在体操，在体操比赛当中去掉一个最高分和一个最低分，主要是为了让评分更加公平公正，更能够反映选手的真实水平。 因为评评委打分可能会受个人主观因素影响，比如说对选手的印象、个人的偏见，容易出现特别高或者是特别低的极端分数， 去掉这两个极端分之后，就能够减少他们对最终分、最终得分的干扰，让剩下的分数平均值更能够体现选手的实际表现，就可以这样去写。 再来看练习，第一个王芳在记录第一百四十九页问题一，当中遗嘱同学跳绳成绩的时候，他把二百四十二错记成了二百二十四，此时遗嘱跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？ 请你解释其中的原因。那么我们来看到这个一百四十九页的这个问题一， 遗嘱的成绩是这五个，看到没有，遗嘱的成绩是这五个，我们算平均数， 你把这个二百四十二变成了二百二十四，那么总数减少了对不对？那平均数肯定会受到影响，对吧？你看二百四十二减去这个二百二十四差多少啊？ 是不是差十八呀？所以平均数会受影响。但中位数呢？我们来写一下，因为我们算中位数的时候，是要从小到大把它排列出来的，这个是一百一十四最小，对不对？ 这个遗嘱数据本来是一百一十四，然后是这个一百四十八，然后一百七、一百九十九，以及二百四十二，他现在把这个二百四十二把它超成了二百二十四， 那他是不是还是最大的，对不对？所以就变成了一百一十四、一百四十一、一百四十八、一百七十和一百九十九。你看中位数是不是始终都是一百七十，所以他的中位数是不是没有发生影响，对不对？好， 所以我们就可以这样去解释啊，平均数会受影响，但是中位数不会受影响。平均数是所有数据的和除以数据的个数。 原本的数是二百四十二，现在错记成了二百二十四，所以数据总和减少了十八。但是呢，数据个数不变，因此平均数他会变小，所以平均数会受到影响。但是中位数排序， 中位数是排序后中间位置的数，错记的二百四十二变成了二百二十四，排序之后不会改变中间这个数的 这个数据，所以中位数不变，中间位置的数不是二百四十二，或者是二百二十四。替换之后，中间数仍然保持原来的这个一百七，所以中位数不受影响，而平均数会受到影响。 再看第二题，有两组学生的体重数据，单位是千克。第一组有七位同学，三十八、四十四、十四、五十五、十二、五十二、七十四。第二组也有七位同学，三十八、四十四、十四、五十五、十二、五十二、六十。 第一问，分别求出这两组数据的平均数、中位数以及众数。我们先求第一组 平均数，还是比较简单的，对不对？把所有数据全部加起来， 再除以总个数，这里有多少个啊？有七个就除以七，所以它等于七分之三百五十，就等于五十，所以平均数就是五十，对吧？中位数呢，找到最中间的那个，总共有七个，所以这个就是最中间的那一个， 中位数为五十，那重数呢，重数就是出现最多的那一个， 这里五十二千克，是不是出现了两次啊？它出现的次数是最多的，对不对？好，所以呢，这两个出现次数最多，我们就写重数等于五十二 就可以了。再看第二组 平均数，把它全部加起来，三十八加四十加四十四加五十加五十二加五十二加六十，除以，这里是三十八啊， 除以七啊，它这里呢是等于七分之三百三十六的啊，所以它的平均体重是四十八千克。 中位数呢，和这个是一样的，最中间的两个数，最中间的那个数字也是五十，并且呢，它们的重数也是五十二，所以我们这里直接复制就可以了， 也就是说它们除了平均数，哎，都长得一样，都是一样的。第二问，比较这两组数据的平均数，中位数，众数，结合数据，谈一谈它们刻画出来的数据集中趋势的特点。我们可以这样去说 平均数，第一组因为有极端值七十四的出现，平均数被拉高到了五十，看到没有，第二组没有极端值，那么平均数为四十八 啊，说明平均数容易受到极端值的影响，极端值会扭曲整体平均水平。所以这就是为什么我们前面说这个打分的时候要去掉一个最高分，去掉一个最低分的原因。 然后再看中位数，两组数据的中位数均为五十，不受极端值的干扰，对吧？说明中位数稳定的反映出中间水平，适合有极端值的数据去反映的啊，这个就是中数， 两组中数均为五十二，因为五十二的出现次数最多，说明中数反映了最普遍的数值，体现了多数数据的共同情况啊。综上所述，平均数反映整体水平， 整体平均水平，但是怕极端值中位数稳定，创极端值种数体现多数情况，这个就是他的分析。

同学们好，在统计学的世界里，我们经常听到平均数这个词，比如甲乙两个班级的数学平均分都是八十分， 但这真的能代表两个班级的水平完全一样吗？请看屏幕，左边甲班同学的分数都集中在八十分上下，非常整齐。 而右边一班，一半人考了一百分，另一半只考了六十分。虽然平均分也是八十分，但情况截然不同。平均数有时候会骗人，它掩盖了数据的内部差异。 为了看清数据是集中还是分散，我们需要一把更精细的尺子。今天我们就来学习一种能把数据结构剖析相现图。 首先我们要掌握核心概念，四分位数，顾名思义，就是把数据分成四等份。第一步也是最关键的一步，必须把所有数据按照从小到大的顺序排列。 想象这组数据是一条长长的面包，我们要把它切成等量的四块，需要切几刀呢？没错，三刀， 这三个切点就是我们的主角。第一个切点叫第一，四分位数既作 q 一， 它左边包含了百分之二十五的数据，也叫下四分位数。中间的切点大家很熟悉，就是中位数，既作 q 二，左边有百分之五十的数据。 第三个切点是第三，四分位数既左 q 三，也叫上四分位数，它左边包含了百分之七十五的数据。这三个点把数据完美的分成了四个相等的区域。 有了这三个四分位数，再加上数据的最小值和最大值，我们集齐了统计学的五大金刚。现在让我们把它们变成图形，这就是镶线图。 首先在 q 一 和 q 三的位置画两条竖线，把它们连成一个矩形盒子。这个盒子非常重要，它包含了中间百分之五十的数据，代表了数据的主体部分，盒子的长度反映了数据的波动大小。 接着在盒子里 q 二，也就是中位数的位置画一条线，最后从盒子的两岸向外延伸，分别连向最小值和最大值。这两条线看起来像猫的胡须，所以镶线图有时也叫相须图。 看一个完整的镶线图就诞生了，它有五个关键数值支撑，结构清晰，一目了然。 为什么要费力画这个盒子呢？因为它能一眼看穿数据的性格。请看屏幕上的对比。上方这个镶线图盒子很短，说明中间百分之五十的数据挤在一起，分布非常集中，代表成绩稳定。 而下方这个盒子很长，说明数据分布很散，差异很大，代表成绩波动剧烈。 再看那两条胡须，如果一边的胡须特别长，说明那边有极端的数据，也就是我们常说的拖后腿或者大神。 通过观察镶线图的对称性，盒子的长短，胡须的伸展，我们不需要看枯燥的数字表格，就能瞬间判断出一组数据的分布规律，这就是可量化的力量。 最后，让我们快速回顾今天的重点。四分位数与相线图的学习口诀是，一排、二分三画图。一排是将数据从小到大排序，这是基础。 二分是找出最小值 q 一、 中位数 q 二、 q 三和最大值这五个关键点。三、画图是利用这五点绘制成相线图。 记住， q 一 是百分之二十五的分界线， q 三是百分之七十五的分界线，而盒字代表了中间百分之五十的数据 相线图，是初中统计学中非常实用的工具，希望大家在解决实际问题时能灵活运用它来分析数据的分布特征。今天的课程就到这里，同学们再见！

好，再来看数据的离散程度，在数据分析当中，除了会分析数据的集中趋势， 数据的波动情况也是人们经常会关注到的特征，统计当中把它称为数据的离散程度。整个章节我们就会学着两个常见的统计量，一个是离差平方和，另外一个就是方差。 看到书本上抛出来的问题，他说农科院为了选合适的玉米种子，选种子的时候这个产量和产量的稳定性也是专家所关心的问题。所以为了了解甲乙两种种子的相关情况， 这个专家就各用十块自然条件相同的实验田进行了实验，测得各实验 各实验田每公顷的产量产量的单位是吨，如表所示，这个表呢是什么意思呢？这里有十块田吗？对不对？第一块田当中对吧？比如说这个甲对吧？它的产量是七点六五吨 啊，然后第二块是七点五零吨，第三块是七点六二吨，对吧？而已呢？第一块田是七点五五吨， 然后第二块田是七点五六吨，注意这里呢是每公顷的产量，知道吧？因为他没有告诉我们实验田是多大面积的，他没有告诉我们，所以我们这里就拿这个实验田当中每公顷的产量作为数据，然后他这里呢是直接把他的平均数给我们算出来了， 假玉米种子的平均数是每公顷是七点五三七吨，然后乙呢，是每公顷的产量是七点五一五吨啊， 这个就是两组数据的平均数，你可以通过这个平均数可以看得出来他们的相差，这个产量啊，相差不大，都是七点五吨左右，对不对？好， 那么为了更加直观的了解这个甲乙两种玉米种子各实验田产量的分布情况，他就把这些数据呢画在了图形当中进行描述，你会发现 这个田呢，这个数据画上去之后，然后他也把这个平均数画成了一条直线，发现没有？虽然他们的平均数差不多，但是你看这个甲玉米种子，它的产量呢？ 和这个平均数相差的是不是稍微大一点？你看这里和平均数相差，这里和平均数相差相差的是不是比较大？而你再看乙的这个数据当中，他们这个数据和平均数相差是不是都比较小？相比而言， 是不是乙的相差会更小一点，对不对？好，这样的话我们就可以很直观的观察出来，对吧？好，那么你比较这两个图就可以看出来，甲种玉米种子在各实验田的产量波动是比较大的，你看 多的很多，对吧？少的又很少，你看他们距离平均数相差的比较多吧，是不是？你看这里最少的，他就也就相差这么一点点，对不对？好，所以我们可以看到这个蚁种玉米种子在各试验田产量波动较小， 较集中地分布在平均生产这个产量附近，因此从直观上可以判断，蚁种的玉米种子产量会更加稳定，会更好。 那么如何用一个值去刻画一组数据波动的程度，或者是说离散程度呢？它波动越大，那么离散程度就越大，对吧？正如这两个图的呈现方式，当数据分布比较散的时候，数据和平均数的差异相对是比较大的，你可以看 他分的比较散的时候，这个是平均值，对不对？他的数据和平均值的差是比较大的，当他分布的比较集中的时候，他们这些数据和这个平均值相差是不是就比较小啊？对不对？ 就这个意思啊。然后呢，当这个数据分布比较集中的时候，数据和平均数差异相对较小，反过来也是成立的。这样的话，我们就为了为了全面反映一组数据的离散程度，就可以通过数据与平均数的差异来刻画啊。一般的 n 组数据当中有 n 个数据，那一组数据当中有 n 个数据，这个数据呢，我们就表把第一个叫做 x 一， 第二个叫 x 二，第 n 个叫 x n， 用平这个 x 八来表示他们的平均数，然后把他们这个每一个数减去平均数，叫做 这个值。关于平均数 x 的 离差，这个就是离差，知道吧？就是它的平均数，你看假的第一个离差是多少？它的平均数是七点五三七，对不对？ 那么假数据第一个数据是不是七点六五啊？你拿七点六五减去平均值，或者是拿平均值啊？它这里要求的是什么？是拿这个数据减去平均数，拿这个数据 值，第一个数据，这个就是 x 一， 这个数据就是 x 二，这个数据就是 x 三，你拿 x 一 减去它平均数啊，就是第一个数据的离差啊，就是第一个数据的离差。 所以呢，我们就把这个关叫做叫做 x i， 关于平均数 x 八的离差，那么离差呢？你也可以理解为是偏差，离呢？就距离对不对？相差多少，这个距离相差多少啊，就可以这么去理解，你也可以理解为是偏差 相差了多少？ 偏差，我们可以把它想象成一个数据与它群体的平均水平之间的距离 啊，能够反映这个数据在整体当中是偏好啊还是偏坏啊？是偏高啊还是偏低啊？就这个意思， 我把它写到这里啊，可以把离差或偏差想象成一个数据与它所在群体的平均水平之间的差距，能够反映这个数据在整体当中是偏好还是偏坏，偏高还是偏低。 这里教我们思考一下，可不可以用平均离差来刻画一组数据的离散程度？好，那这里呢？是不行的。为什么呢？因为用离差 可以刻画每个数据与平均数的差异，但是由于把每一个数据与平均数的差异，把它加起来，它会等于零。我这里举个例子啊，我这里举个例子，大家看一下，比如说我这个数据举少一点，假如说这组数据就是三四 五六，三四五六七，好吧，三四五六七，那么它的平均数等于多少呢？它的平均数就等于三加四，加五、加六，再加七， 全部加起来，再除以什么？再除以五，他最后的结果是五，他的平均数就是五，对不对？你如果拿这里的每一个数据都去减平均数，你得把它加起来，他们的离差和啊，他们的平均离差和。平均 离差和怎么算呢？哎，你就拿三减五， 加上四减五，加上五减五，加上六减五，再加七减五，你把它们全部加起来，最后会等于什么？等于负二加负一， 再加零，再加一，再加二，把它加起来的结果等于几啊？加起来结果等于零，看到没有啊？ 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但是由于这些差异，你把它全部加起来会等于零，那其实我这里举的例子就是想表达这一行的意思，知道吗？啊？他表达的就是这个意思， 他算出来的结果是等于零的，我们就可以知道一组数据的离差总和都是零，所以 平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异。那么为了避免离差求和时正负相抵消的这个问题。啊，为了避免离差求和时正负抵消的这个问题，你看到没有？ 这里一正一负是不是抵消掉了，对吧？这里一正一负是不是抵消掉了，对吧？所以在统计当中，我们通常会对这个离差先进行平方， 对离差进行平方之后，然后再求和，那么这个呢？离差之后再求和，我们就把它叫做这组数据。关于平均数的离差平方和，你把所有数据， 你把这里所有的数据都和这个平均数作差，就叫离差。离差之后，你把它们的差全部平均一下，我们还是拿这组数据来。那么这个时候它的离差和等于什么呢？我们拿过来算，拿过来算就是三减五的平方 加上四减五的平方，加上五减五的平方，加上六减五的平方，再加上七减五的平方，你把它算出来等于负二的平方，加上负一的平方， 再加零的平方，再加一的平方，再加二的平方，那么它就等于四。加一，再加零，再加一，再加四，它就等于十， 他就等于十。看到没有？这样的话，他就不会等于零了，因为你平方了吗？你平方了之后是负数的情况下，是不是也会变成正数啊？对不对？所以我们把这个记作低的平方，所以他的离差和 d 的 平方就等于这个。这里我们算出来的例子当中，也可以用 d 的 平方来表示他的离差平方和，知道吧？好，记住 d 的 平方，然后把离差的平方的平，然后再把 离差的平方的平均数啊，叫做这组数据的方差。那就是你把这个离差平方和求出来的，对不对？然后再除以总个数，这里总共有五个数据，你就除以五 啊，然后你再把它求出来的这个离差平方和再求平均数，因为我们这里是有五个数的，我举的例子当中是有五个数的，那我们就除以五，那这里有 n 个数，你就除以 n， 那 么现在的话它就叫方差。 我们前面讲了什么叫离差离差就是每一个数据和什么和平均数做差，这个叫离差平方和呢？就是把每一个数据和平均数做差之后， 在平方把这些数的平方全部加起来，就叫离差平方和。那什么叫方差呢？你就是把离差平方和怎么样再除以总个数，就叫离差，就叫方差，而方差呢，记作 s 的 平方， 那这个就是公式。我们想要求出这里啊，他这个方差，我这里写一下，方差就等于离差平方和除以总个数，那我们刚才求出来的离差平方和是等于十的，我们拿十 去除以总个数五，他的方差就等于二，那么这里举出来的例子，他的方差就等于二。我把这个过程写一下， 第一步，先算平均数 x 八，然后再算个数据与平均数差的平方和，这里算出来的是 d 的 平方，叫做离差平方和。第三步， 最后除以数据的个数 n。 好， 你把这个离差平方和除以个数 n， 这里有五个数，你就除以五，对不对？好，除完 n 之后，那么你求出来的就是方差，好吧？那层层递进， 那么你知道了方差怎么算之后，你看方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度， 能够较好的反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量。方差越大，数据的离散程度就越大。什么叫离散程度？就是分的越散。好，我这里写一下， 你看啊，在这里说方差越大，数据的离散程度就越大，那就说明什么？说明数据的波动就越大，越多波动就越厉害， 波动越厉害就说明什么？说明数据越不整齐， 这样的话就可以反映这组数据怎么样啊？稳定性差，对不对？所以稳定性差。 好，最后一个就是方差越小，数据的离散程度就越小，什么意思呢？ 你看它方差很小，是不是说明它们的差就很小，对吧？每个数据跟平均数的差就很小，那么方差越小，说明数据就越集中。 好，越集中啊，那么就说明这个数据就越整齐， 知道吧？那么稳定性就更好， 就是这个意思，咱们再回到这个立体，那就这个立体当中就是选这个玉米种子的问题，你看平均数告诉我们了，对不对？甲乙的平均数都告诉我们了，数据十个数据也都告诉我们了，然后我们去求的话，就拿每一个数据减去平均数， 拿它的每一个数据减去平均数，最后平方加起来再除以总个数十。它这里直接给我们算好了， 甲他的这个方差是零点零一零，乙方差是零点零零二，你看 甲的方差是不是比乙的方差更大，对吧？说明什么？方差越大，说明数据越不稳定，方差越小，说明数据就越稳定，对吧？所以呢，我们就可以知道，这个乙种田玉米产量的离散程度较小，即乙种玉米的产量 波动较小，稳定性就比较好。那由此可知，在实验田当中，蚁种玉米的这个产量比较稳定，正如用样本的平均数 估计总体的平均值是一样的，也可以用样本的方差来估计这个总体的方差。因此可以预测在这两个地区种植以乙种甜玉米的产量比种植甲种的会更稳定。那综合考虑甲乙两种 的平均产量和稳定性，可以预测出这个地区比较适合种植乙种甜玉米。 这里教我们思考一下，用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度和方差比较它有什么不足的地方呢？这里你要注意 离差平方和和方差的区别就是一个除以了个数，一个没有除以个数，对不对？离差平方和是不用除以个数的，而方差是需要除以个数的，所以离差平方和的大小它跟个数有关。如果两组数据它的个数不一样，那么 他这个就很难体现出来。你看他这里说了，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度，但是比较两组数据的时候，离散程度的时候，这个离差平方和只适用于 数据个数相同的情况下，但是方差就不会受这个限制。我们可以这里这样去说，离差平方和可以刻画数据的离散程度， 数据越分散，离差平方和就是越大的。但是和方差相比，他的不足是会受到数据个数的影响。比如说 有两组数据，一组数据有十个，另外一组数据有五个，哪怕两组数据的波动幅度差不多，但是十个数据的那一组离差平方和往往会更大一点，因为我们算的是更多数据的离差平方和 没有办法公平比较不同数据不同数量数据的这个离散程度，而方差是离离差平方和除以数据的个数，对不对？他要除以个数的就相当于 平均每个数据的离差平方，那么他就会消除数据个数的影响，更能够能够更合理的比较不同组数据的波动大小，这个就是方差的优势。 再看例题，一甲乙两名手枪运动员进行射击训练十次，射击成绩如下表所示，那第一行是甲的成绩，第二行是乙的成绩，他问我们哪名射击运动员发挥更稳定， 想要更稳定比较的是什么？比较的就是方差，那方差计算你是不是要先把什么？你要先把平均数算出来吧，对不对？好，那么这个书上也有写平均数的话，你就把这十个数据全部加起来 除以十次，所以甲的这个平均成绩是八点七啊，然后乙呢，你就把下面的十个数据全部加起来再除以十，他的平均成绩就是八点六，从平均成绩来看， 他们俩是不是差不多，对不对？一个是八点七，一个是八点六，那么你接下来就要算方差了。那么假的方差，你就拿第一个数据减去什么？减去平均数，然后再平方， 加上第二个数据减去平均数，然后再平方，然后以此类推，把这十个数据全部都减去它的平均数，在平方之后把它全部加起来， 全部加起来之后呢，再除以总个数，这里有十次成绩，咱们就除以十，那么算出来的结果是二点四一，所以甲的方差是二点四一，那么乙的方差呢？也是一样的， 你拿九减去八点六再平方，加上十减去八点六再平方，然后再加上七减去八点六再平方，每一个数据都减去平均数之后再平方，最后再把它们加起来， 全部加起来之后呢，再除以十，因为这里有十个数据，我们就除以十，就可以算出它的方差是一点零四。你比较一下， 甲的方差是二点四一，乙的方差是一点零四，很明显，乙的方差是不是会更小一点呢？更小说明数据波动就越小，数据波动越小，说明他的成绩就更稳定，对吧？所以就可以得到 以射击，以射击运动员的发挥会更加的稳定，好吧，好，再整体看一下啊，这个是题目，这个是题目， 这个是书上的答案啊，他这里呢，就是把这个计算稍微简化了一点，他没有全部写出来而已啊，都是一样的。那么下面呢，他是讲利用计算器的这个统计功能去求方差，那么这里呢，也是老老实实去算，对吧？因为我们考试的时候他也不能用这个计算器，所以这里你们自己看一下就好了。好吧，好， 再来看练习。第一题，如图，有四组数据，将这四组数据按照离散程度从小到大进行排列，先通过直观判断进行排序，再根据方差进行排序。这两种排序的结果是否一样？ 他叫我们先通过这个直观判断，直观判断就是让我们自己去观察，知道吧？啊？你觉得谁比较集中，谁离散程度比较大，就这个意思。那么从这个图你看第一个图， 他都站一排了，是不是一条线上，所以他是最集中的，所以他的方差是最小的啊？然后第二个呢？有三个点是站一排的，然后第一个稍微短一点，第二个稍微高一点点，对不对？有离散啊，但是离散的并不多。 然后再看这个，这个呢，就有四个点都不在中间这里，一个是离散在这里，一个是这么长，对吧？所以有两个离散较小，有两个离散较大，所以他肯定方差比第二个要大。然后再看第四个， 一个点在正中间，对吧？然后有四个点，他的离散程度都会稍微大一点，所以第四个的离散程度是最大的，所以我们可以这样去写啊。通过直观判断，我们可以看到图一，所有数据的点高度完全一致，是最集中的，离散程度最小。 然后再看图二，数据点分布比较集中，你看中间有三个点是集中的，只有少量偏离， 离散程度比第一个要大，但是会比三和四要小。再看第三个数据，从左到右逐渐上升，他的离散程度会比第二个大啊，你看图从左到右逐渐上升，对不对？他会比第二个离散程度大。 图示数据点高低差异是最明显的分布，也是最为分散的，所以离散程度是最大的，所以离散程度最大的就这个。第四个啊，就这第四个。所以 从直观排序，这个离散程度的大小就是第一个是最小的，然后是第二个，然后是第三个，第四个是最大的，这样去写就可以了。 那么再根据方差排序，那么就要把方差算出来了，对吧？好，第一个。那么你要算方差，是不是先算平均数啊？对不对？我们先算第一个的平均数， 那这里第一个数据，第二个数据，第三个数据、第四个数据、第五个数据都等于六，所以是六加六加六加六，再加六 除以五，它的平均数就是六。那你要算方差，方差怎么算呢？方差 你就拿每一个数据都减去平均数，再平方再除以，有五个数据就除以五，对吧？六减六的平方加上六减六的平方，加上六减六的平方， 加上六减六的平方。好，五个数据把它写上，加起来，再除以五，所以等于零，所以第一个的方差是零，那就是最小的了。再看第二个数据，第二个数据是什么？这里有五、六、六、六、七，对吧？我们先求它的平均数， 第二组的平均数是五加六加六加六，再加七除以五说，哎，除以五， 所以它的平均数也等于六，然后再看它的方差，怎么算呢？方差就拿五减六的平方，加上六减六的平方，再加六减六的平方，再加上七减六的平方， 全部加起来，再除以总个数。有五个数据，就除以五，对吧？那他的方差是多少呢？我们算一下，这里是负一的平方，这里是零，零零，再加一的平方，负一的平方等于一，一的平方等于一，那么这里 离差平方和加起来就是二，二除以五等于几啊？等于零点四，所以他的方差是零点四，比零大一点点，对吧？再看第三个，第三个也是先求数据，先求平均数，第一个数是四，第二个数是五，第三个数是六，第四个数是七，第五个数是八，所以 第三组数据的平均数四加五加六加七加八，除以五，你会发现它的平均数也是六，对吧？那么这个方差怎么算呢？ 那么第三个的方差就等于每一个数据减去六的平方，加起来，四减六的平方，加上五减六的平方， 加上六减六的平方，加上七减六的平方，再加上八减六的平方，全部加起来，再怎么样，再除以五，我们就可以算出来了。好，看一下，四减六的平方等于负二的平方等于四，五减六的平方等于负一的平方等于一， 这个是零，这个是一，这个是四，把它全部加起来等于十，离差平方和等于十，十，再除以五等于二，所以第三组数据的方差就是二来的，知道吧？就是二了。 好，再看第四组数据，先把它的平均数求出来，第四组数据，前两个数据都是四，然后是六，后面两个数据都是八。好，它的平均数 x 是 八。好，那么它就等于四加四加六加八加八， 全部加起来，再除以五，它的平均数呢？也是六，然后呢，第四个的方差， 那么它就等于四减六的平方，加上四减六的平方，加上六减六的平方，加上八减六的平方，再加上八减六的平方，再加起来 除以五，你看像这里有好多个一样的，对不对？那有些题目的话，他就不会分开写了，他就会怎么样呢？他就会直接写四减六的平方乘上二，他会直接这样写啊，后面两个也是一样的，对不对？他会直接写八减六的平方乘上二，他会这样去写啊，没关系啊，都是一样的，知道吧？好， 那么这负二的平方等于四，负二的平方等于四，零二的平方等于四，二的平方等于四，这里四加四加四加四，四四十六，我们拿十六除以五，十六除以五呢，它就等于三点二，对不对？所以它的方差 等于三点二，对吧？好，那么我们通过方差去比较的话呢？看一下啊， 我们通过方差去比较，因为这个 s 一 就是第一个数据的方差， 第一组数据，因为 s 一 方差是最小的，小于第二组数据的方差，小于第三组数据的方差，小于第四组数据的方差，所以第四组数据它的离散程度是最大的，对不对？数据最不稳定，然后这个呢， 是零，所以它的离散程度是最小的，对吧？这样的话，我们就可以比较出来了，所以我们可以这样去答啊，由于这个图一、图二、图三、图四的数据啊，方差我们已经全部算出来了，并并且进行了排序，对吧？所以方差从小到大 啊，那么对应的离散程度也是从小到大的，所以图一的小于图二的，小于图三的，小于图四的。那么直观的判断离散程度 排序与方差排序是完全一致的，你看我们前面直观的去判断，是不是也是这样啊？对不对？然后通过方差去判断是不是也是这样呢啊？所以是完全一致的，因为方差是 定量刻画离散程度的统计量，直观上的集中或者是分散和方差的变化趋势是一致的。那么这样的话，第一题呢，咱们就答完了啊，再来看一下，这个是第一， 按照直观判断，这个是按照直观判断，然后这里中间呢就是计算，中间这部分是计算啊，然后算完之后呢，最后这部分呢，就是归纳啊，归纳一下，那么这样的话，咱们就把这个第一题搞定了， 再看第二题，根据方差比较第一百四十九页问题一当中两组跳绳成绩的离散程度，那这里我把它那个问题复制过来了， 这个是甲组成绩，这个是乙组成绩，并且呢，书上也给我们算好了他们的平均数，那我们就可以直接开始算了，对吧？方差就是拿每一个数据减去他的平均数，然后平方之后加起来，再除以总个数，对吧？好，先算这个甲的方差， 它就等于这个第一个数减去平均数一百七十二的平方，加上第二个数据，减去一百七十二的平方，加上第三个数据 减去一百七十二的平方，再加上第四个数据一百八十五，减去平均数的平方，再加上 第五个数据减去平均数的平方，把它全部加起来， 全部加起来，再除以总个数，这里有多少个数据，有五个数据，咱们就除以五，对吧？好，咱们把它列下来，那么你可以看到除以五等于乘五分之一吧，对不对？我们就在前面写个五分之一，乘上第一个， 这里一减的话等于十的平方，第二个是二十二的平方，第三个是负二十九的平方， 第四个是十三的平方，第五个是负十六的平方。好，把它全部算出来，等于五分之一乘上一千八百五十，所以它的方差等于三百七十，这个是假的方差。那么乙的方差怎么算呢？ 就拿每个数据减去平均数就是一百九十、一百九十九， 一百九十九，减去一百八十平方，加上一百四十，减去一百八十平方，再加二百四十二，减去一百八十的平方，再加上一百七十，减去一百八十的 平方，再加上一百一十，一百四十一，减去一百八十的平方。把这些平方全部加起来，再除以总个数五，那么除以五等于乘五分之一，我们把五分之一写前面， 那么第一个就是十九的平方加上负三十二的平方，加上六十二的平方，加上负十的平方， 加上负三十九的平方，把这些平方全部算起来，算出来加在一起等于五分之一乘上六千八百五十，所以它的方差等于一千三百七十。啊。那么我们由此可见，这个什么甲的方差是小于乙的方差呀？ 甲的方差小于乙的方差，所以谁更稳定呢啊？所以甲组成绩的离散程度更小，所以 假主成绩的离散程度 更小，遗嘱的遗嘱成绩 的离散程度更大 就可以了。

分布式计算的原理分布式计算主要研究如何应用分布式系统进行计算。它涉及将一组计算机通过网络相互连接，形成一个分散的系统。 在这个系统中，需要处理的数据被分散成多个部分，然后交由分散在系统内的计算机组同时进行计算，最终这些计算结果被合并，得到最终结果。分布式计算的核心优势在于，一、 提高计算效率，通过将大型计算任务分解成多个小任务并行处理，可以显著减少整体计算时间。二、资源共享，稀有资源如计算能力、存储空间等可以在系统内共享，提高资源利用率。三、 可能性和容错性系统可以设计成在某些节点失败时仍能继续运行，因为任务可以在其他节点上重新分配和执行。 四、扩展性，可以根据需要轻松的向系统添加更多计算机资源。云计算的技术架构云计算是一种基于互联网的计算方式，它通过互联网上易购自制的服务，为个人和企业用户提供按需提取的计算。云计算的关键技术和特点包括，一、 虚拟化技术，允许多个虚拟资源在单个物理硬件上运行，实现资源的动态分配和管理。二、容器化技术，轻量级的虚拟化技术用于快速部署和管理应用程序及其依赖性。三、微服务架构，将应用程序拆分成多个小型服务， 提高应用程序的可伸缩性和灵活性。四、自动化运维，通过自动化技术提高 it 系统的可用性和可能性，降低运维成本。五、安全性，采取各种安全措施，确保数据的安全性和隐私保护。六、开源技术如 openstack、 docker、 cooperatus 等， 帮助构建和管理云计算环境。云计算的架构设计只在提供灵活、可扩展且经济高效的计算资源和服务，使用户能够根据需求快速调整资源，从而支持各种应用和服务的开发和运行。

今天白天我刷到了一个视频说，请问是不是现在所有初二数学的老师都在自学什么叫做四分为数？其实这种说法也不是说夸张，因为这个知识点在我们的老教材里是没有的，他是我们新加到教材里的。 今天小老师就用最简单的话教会大家什么叫做四分为数。那大家看这样的一组数啊， 他现在是不规则进行排列的，那我们想要求四分类数，第一件事一定就是我们要排序， 先把它按照从小到大的顺序给他排出来。其实我们简单的去说，就是要把一组数据平均分成四份，想把一根木棒平均分成四份，我们要嘎几刀啊？ 是不是应该嘎三刀啊？那么所谓的四分类数，其实它不是四个数，它是三个数，就是由三个数把这组数据平均给它分成四份，它就是要分 分别求三次中位数，我们来数一下它究竟是基数个还是偶数个，那这种偶数个的时候，我们知道它其实可以平均分成两份。 我们的中位数应该是中间的那个数，但它中间没有一个单独的数字，我们这种时候就要求中 间的平均数，那六个七的平均数就是六加七除以二，那他就是个六点五。一件事就是我们要求前面这组数的总位数一三三四，同样是偶数， 中间没有数，我们就求中间两个数的平均数，三加三除以二还是个三，那么我们后面同样是四个数， 我们也求中间俩数的平均数，那就是八加九除以二，那就是个八点五，那么我们的四分位数就求出来了，前面这个我们把它称之为下四分位数，中间的这个就是中位数， 下面这个就是上四分位数，那在这里我再给你前面加一个一，这组数据的计算方式可能就要发生一定的改变，是因为现在我们的数出单了，我们前四个数是一组，后四个数是一组，中间余的这个数 就是我们中间的中位数，它作为中位数计算了，我们第二次取中位数的时候，就要把它排除在外了， 它左边的数字去取一次中位数，后面依旧是四个数，没有单，我们就取中间俩数的平均数依旧是一个七点五。我们总结来说就是，如果是基数格中间的那个数作为中位数了， 那就要把它盖住，前面的数字求一次中位数，后面的数字求一次中位数。但如果中间的是两个数字， 也就是说我们中间本身就是要求中位数的，他们两个谁也没有作为真正的中位数出现，那我们就要把这两个数一分为二，前面的数字跟着后面去求中位数，大家记住了吗？

八下生物最难的分类素计全部吃透，稳进班级前三！二零二六新版八下生物会考考点分类素计梳理冲刺第一天，人体四大基本组织冲刺第二天，动物行为、生物分类与生物多样 第三天，动植物细胞结构。冲刺第四天，生物的七大基本特征冲刺第七天，种子的萌发、植珠的生长。冲刺第八天，食物链与食物网完整版可分享！

频数分布表与脂肪图 在统计中，我们关心总体中所有个体某个数量指标的分布情况，当这个数量指标取连续变化的值时，应如何整理和表示？ 我们看一下这道题，在假期进行空气质量调查的课题研究，从当地的气象部门提取的今年上半年资料，随意抽取三十天的空气综合污染指数，数据如下，我们看一下这样的三十个数据我们是看不出来的， 那下面我们根据国家环保总局公布的空气质量级别表，然后呢，我们整理这些数据， 我们把三十天按范围整理出来之后，然后计算三十天的空气质量，根据国家公布的级别看各级别占的比例， 然后估计今年一年达到优级别的约是一百一十天。你知道他们是怎样估计这个结论的？那么首先呢，我们列个表格，把每一个段的站在天数数一下， 然后再算一下占总天数的百分比， 这是射击十五次，咱们看一下前十五次和后十五次，用表格表示前十五次，后十五次的频数和频率，我们来求一下平均数， 这是七八九十环的频数和频率，前十五次后十五次。然后从表中我们看到的结论如下， 前十五次的平均数，后十五次的平均数。 然后呢，我们用直方图来表示，这是四十名同学，六十三名同学， 从六十三名同学中抽取四十名同 学的。为了收集这身高，我们来看一下，我们计算最大值和最小值， 然后决定组句， 那我们每隔三厘米作为一个组，这是组句，然后用最大之减小值除以组句，我们决定分成八个组， 包括前面的数据，不包括后面的数据。 我们整理出这个表格，这是平数。 然后如果我们的组一变成二或四的话，我们将分成多少组？我们来 用小长方形的膏作为频数，我们把这个画出表格，看一下就非常直观了，这是频数分布直方图， 那么咱们看一下从脂肪除皱纹，我们能感受的到哪一段身高的人站的比较多，横轴表身高，纵轴表示的是禽兽处于组句， 宽式组句三个数。 那么咱们看看条形图与脂肪图的区别，都可以非常直观的，而频数分包图，这个是特殊的条形图， 这是他们俩的区别和联系。 条形图呢，是不连着的，而频数分布的脂肪虫呢，它是连着的啊，这是最重要的区别。我们看一下制作频数分布的步骤，第一个是求出最大值和最小值， 第二个确定组数和组就进行分组，一般一百个数分的五到十二个组，计算每组数据的频数，然后根据频数和组数绘制频数分布脂肪图。咱们看这道题， 这是路口监测仪 解答问题，五十六十指的是大于等于五十而小于六十，包括前面不包括后， 咱们看一下这个表，考试呢，经常会考这种问题，要求我们补偿补全脂肪图中的某一个部分，在六十和七十之间，我们来看一下， 那么根据这个总数我们就能知道，三十二二，七十四十八，二十二，我们可以把它求出来，然后再算。 那么根据刚才的问题，我算一下这组汽车的违章频数 以及所对于陕西人你好的度数， 这个是表哥也就给我们了。然后我们来回答问题， 这是六十名婴儿的体重， 一计算机大之后最小值二、分组，然后列表最后画图， 图呢，一般来说呢，不需要我们画，但是考试的时候呢，如果图有不完整的就需要我们签， 看几个练习啊， 这些完控制的啊。接着我们填，这是一个常见的考试题型， 这是平数分布置张图的主要内容。