浙教版反比例函数到九年级下

反闭的函数是九年级马上要开始了第三次月考，必考的题目，有的学校可能已经是第四次月考了，那哪些题目是高频考点的？我带大家捋一下。首先这个题目是你必须要掌握的，这个题目是二零二三年安徽省中考的填空题的最后题，填空题的压轴题， 你这次月考有可能会半圆题上去，所以这个你是必须要做的。那么下面的题目是什么呢？我们把反比例函数的题型分为两类，一类呢是考的 k 的 几何意义，主要是考图形的面积了，比如说这些题目，其实这个知识点还是有点难度的 好，这些题目你看一遍。那么还有一种呢，是考反比例函数的解答题，例如这个题目，这个题目是最经典的，也是最高频的考点，很多题目都在这个题目上进行那个改变，例如二一年的这个题目，二一年的安徽省的中考题的第十九题考的这样的。 然后再例如后面的这些题目都是在这个基础上进行了个改编，所以那个题目你是必须要会的，后面这个题目你看一遍，大家把反闭的函数题目全部看一遍，如果这里面有你不会的，你要进行下线来去做一做。

读完题，我们知道这个 a、 c 是 三边的 dc 三角形 a、 e、 b 是 一个直角三角形，那么还有这个 a、 b 两点是关于原点是对称的， 那我们连接这个 o、 e 的 话，那么 o、 e 成了直角三角形斜边上的中线，那么自然这两个角是相等的， 而 a 一 又是这个角平分线，所以那么这角这三个角都是相等的，那这么一来，内错角相等，两直线平行， 那么 o 一 就平行于 a、 d， 而三角形 a、 d 一 的面积是等于八，那么我们不妨连接这个 o、 d， 我 们发现 这个三角形 a、 o、 d 与三角形 a、 e、 d 是 一个等底等高的三角形，所以它们的面积也是八 s， 三角形 a、 o、 d 是 等于八，那么三角形 a、 o、 d 的 面积我们怎么求呢？ 那么这个与我们这个需要大家积累一个知识点啊，我们这边连接这个哦，做垂，做垂直啊，连接我们这里做垂直， 这个 m、 n， 这个 m、 n 呐，我们这样一垂直的话，就会发现这个做这两个垂直，就会发现三角形 a、 o、 m 的 面积与三角形 o、 d 的 面积是相等的， 那么这么一来，那么这么一来，这个三角形 a、 o、 d 的 面积应该就是等于 这个直角梯形 a、 m、 n、 d 的 面积。为什么呢？因为三角形 a、 o、 m 面积与三角形 d、 o、 n 的 面积，它都是等于这个，呃， 这个比例系数 k 的 一半啊，比例系数 k 的 值的一半，所以说这个三角形梯形 a、 m、 n、 d 的 面积应该是等于八 a、 m、 n、 d， 所以这个梯形 s、 t 形，这个是等于八，那么它等于上底 d， n 加下底 am， 哎，乘以这个高 m， n 除以二，那么这样的话，我们不妨设这个，我们不妨设 d 点的坐标，哎，我们设 d 点的坐标是 k 除以 a， 哎，那么这个 d 的 纵坐标就是 a 了啊， 根据这个 a， c 是 dc 的 这个三倍，那么自然这个 am 也是 d n 的 三倍，所以 a 点的这个坐标是它的 纵度标是，是它的三倍是三 a， 那 么横度标是 k 除以，哎，是它的三分之一 k 除以三 a， 这是 a， 而 m n 的 长度表示起来就非常方便了，所以这个，所以这个面积就是二分之一。我们的上底是我们上底加下底， 哎，我们上底是 a， 下底是三 a， 我 们的高是我们的高是 k 除以 a， 是 这个长度啊，是 o n 长度减去 o m 长度就是 k 除以三 a， 这么等于八，这么算的话 k 等于六，大家明白了吗？

哈喽，大家好，我是徐老师。最近很多初二的家长和同学都在问我一个问题，八下快学完了，原来教材里的反比例函数这张没了。那么接下来到底该提前学反比例函数，还是把八下内容在系统巩固一遍？ 我的建议其实非常明确，县级段比起盲目抄前，更应该把新版八下真正吃透。因为这次浙江版教材改版，绝不是简单删掉一个单元，而是一次非常明显的中考导向调整。 反比例函数虽然后移到了九下，但与此同时，很多更核心、更影响中考得分的数学思想，已经提前下放到了八年级。 比如伟大定律由选学正式变成必修，以前跟与系数关系很多学校只是拓展，现在已经进入正式课时体系。它不仅会出现在八下期末，更会贯穿九年级综合题和中考代数压轴题。 这个知识点本质上是在提前做出高衔接，同学们一定不能再忽视。 第二个变化其实是这次改版释放出的一个非常强烈的信号，二次函数里的最值思想提前下放到了八年级。 新版教材在配方法章节中，新增了利用配方法求最值的例题，表面是在学方成，本质是在提前训练二次函数的核心思想。 浙江中考这些年越来越重视代数最值、配方变形和数学建模能力，所以初二阶段就必须把配方变形求最值这一整套思维练扎实。第三个重点是统计与数据分析模块明显加强，教材新增了离差、平方、 四分位数、相线图等内容，方差的推导过程也更加完整。这个变化非常符合浙江中考近几年统计题比重增加、阅读量增加的趋势。这些题往往难度不高，但特别容易因为概念不清而失分，属于典型的该拿却丢的分数。 第四个变化是教材更强调数学阅读与理解能力，比如二次公式部分新增了海伦公式等延伸阅读内容，说明现在的数学考试已经不仅仅考会不会算，更考能不能读懂材料、理解公式来源和逻辑。 八下的反比例函数删除，看起来内容是减少了，但实际上是把核心难点拆分，让学生有更多时间吃透一元、二次方程和平行四边形这些真正的中考核心模块。同时，几何部分把旋转整合镜中心对称，知识链条更连贯， 也更利于后续综合证明题的学习。最后给八下同学四个最实用的建议， 第一，重点突破配方法和最值问题，这是未来中考高频热点。第二，伟大定义和新增统计考点一定要练熟，属于高频基础分。第三，几何重点抓平行四边形与旋转对称，多做综合证明。 第四，重视课本例题和延伸阅读。现在中考越来越强调阅读理解和灵活迁移。 最后，评论区我会放上新版和旧版教材的核心变化对比图，大家可以保存下来，对照着看会更清晰。我是徐老师，一个教数学的爸爸，关注我，分享更多数学学习的干货！

大家好，我是夏梦老师，今天我们要学习的是反比例函数。 当杂技演员表演滚滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗。但有人却说，钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么呢？ 我们这节课的目标，理解并掌握反比例函数的概念。二、能判断一个给定的函数是否为含反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。 三、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。体会函数的模型思想。 知识点一、反比例函数的定义下列问题中变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式。 一、京沪线铁路全程为一千四百六十三千米，某次列车的平均速度为单位千米每时，随此次列车的全程运行时间 t 单位小时的变化而变化， 也就是 v 等于 t 分 之一千四百六十三。二、某住宅小区要种植一块面积为一千平方米的矩形草坪， 草坪的长 y 单位米随宽 x 单位米的变化而变化，此时 x， y 的 积为一千，那么 y 就 等于 x 分 之一千， x 不 等于零。 三、已知北京市的总面积为一点六八乘十的四次方平方千米，人均占有面积为 s 单位 平方千米，每人随全市总人口 n 单位人的变化而变化，此时 s 等于 n 分 之一点六八乘十的四次方。观察这三个函数解析式有什么共同点， 我们会发现这三个解析式都是 y 等于 x 分 之 k 的 形式，其中 k 是 非零常数一般的 形如 y， y 等于 k 分， x 分 之 k 为常数， k 不 等于零的函数叫做反比例函数。其中 x 是 自变量， y 是 函数。 第一，思考 x 的 取值范围是多少，因为 x 作为分母，所以不能为零，因此自变量 x 的 取值范围是所有非零时数。二、在实际问题中，自变量 x 的 取值范围是多少？ 这个呢，就要根据具体的情况来确定了。例如在前面得到的第二个解析式， y 等于 x 分 之一千， x 的 取值范围是 x 大 于零，且当 x 取每一个确定的值时， y 都有唯一的确定的值，与其对应。 三、形容 y 等于 k， x 的 负一次方。 k 不 等于零的式子是反比例函数吗？形容 x， y 等于 k， k 不 等于零呢？ 注意反比例函数的三种表达式， k 不 等于零就是 y 等于 x， 分 之 k， y 等于 k， x 的 负一次方和 x， y 等于 k。 巩固练习，下列函数中哪些是反比例函数，并写并指出相应的 k 值，第一个是的， 第二个不是。第三个是的，第四个不是。第五个是的，第六个是的，第七个 是的， k 等于二分之三。所以呢，我们只需要紧扣概念，就是形容 y 等于 k， x 的 负一次方。 k 不 等于零的式子就是反比例函数，且反比例函数的三种表达式都可以，我们只需要抓住 k， k 不 等于零即可。 巩固练习，在下列函数中， y 是 x 的 反比例函数的有很明显啊，这个就是 c 考点，利用反比例函数的定义，求字母的值，已知函数 y 等于好，这一串我就不念了，是反比例函数，求 m 的 值。那此时 由于根据题意可知这个函数是反比例函数，那么我们能得到的是二 m 的 平方加三， m 减三等于负一，且二 m 的 平方加 m 减一不等于零，然后我们解出来即可。 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程组求解即可。如本题中的 x 的 次数为负一，且系数不等于零，解的 m 等于负二。 好，这个巩固练习大家自己可以念一下，我就不讲了。考点二，用待定系数法求反比例函数的解析式。已知 y 是 x 的 反比例函数，且当 x 等于二十， y 等于六。 一，写出关于 y， 关于 x 的 函数的解析式。二，当 x 等于四时，求 y 的 值。好，我们可以用待定系数法做，所以设 y 等于 x， 分 之 k， 接着把二和 x 等于二， y 等于六，带入上式，能求出 k 的 值就是 十二。接着把 x 等于四，带入，能算出来 y 就是 四分之十二等于三。 最后来总结一下用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤。首先我们要设既设所求的反比例函数的解析式为， y 等于 x 分 之 k， k 不 等于零。二、待 既，将已知条件中对应的 x， y 值带入 y 等于 x， 分 之 k 中，得到关于 a k 的 方程。三，解既解方程，求出 k 的 值。四定既将 k 值带入 y 等于 x， 分 之 k 中，确定函数解析式。 好，这个巩固练习就不讲了，大家可以自己去做一下，再看到知识。点二，建立反比例函数的模型，解答问题。 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的， 车速增加，视野变窄，当车速为五十千米时时，视野为八十度。如果视野 f 度是车速 v 千米时的反比例函数，求 f 关于 v 的 函数解析式，并计算当车速为一百千米时时， 视野的度数。那很明显，我们首先要解数，解数了之后，将 v 等于五十和 f 等于八十，代入能解的 k 等于四千，那能写出此时的函数解析式，就是 y 等于，也就是哦， f 等于 v 分 之四千， 当 v 等于一百时， f 等于四十，所以当车速为一百千米每时时视野为四十度。好巩固练习，这里也不讲了，自己可以看一下， 这些都是非常基础的。我们再来看一个能力提升题。小明家离学校一千米，每天他往凡宇两地之间，有时步行，有时骑车。假设小明每天上学的平均速度为 v 米每分，所用时间为 t 每分，求变量 v 和 t 之间的函数关系。 那我们知道 s 等于 v， t， 所以呢， v 等于 t 分 之一千，因为它的路程是一定的， t 大 于零。 二、小明星期二步行上学用了二十五分钟，星期三骑自行车上学用了八分钟，那么他星期三上学的速度比星期二快多少？那我们可以先解，当 t 等于二十五时， v 等于四四十，也就是他 走路的速度是四十米每分。再当 t 等于八十， v 等于一百二十五，求出他骑自行车时速度是一百二十五米每分。 接着两个速度相减，能够得到他星期三上学时的频率，速度比星期二快八十五米每分。 最后我们总结一下反比例函数、 反比例函数定义以及三种三种表达方式，用待定系数法求反比例函数解析式和建立反比例函数的模型。大家下课之后要好好复习一下。

这个视频我来讲讲反比例函数的图像。先看 k 大 于零时，以 y 等于 x 分 之六为例，当 x 等于一时， y 等于六，除以一得六。 当 x 等于二时， y 等于六除以二得三。用同样的方法，依次将 x 等于三、四、五、六、十的外值求出，在坐标系上将这些点描出来，再用光滑的线将它们连接起来，就得到了函数在 x 大 于零时的图像， 它在第一项线。当然， x 还可以小于零，在这些 x 值的前面加个符号，那 y 的 值自然就也得加个符号。 把这些点在坐标系上描出来，再用光滑的线连起来，就得到了函数在 x 小 于零时的图像，它在第三项线。由此，咱就得到了反比例函数完整的图像。而这两条曲线也有一个专门的名字，就叫做双曲线。 不难看出，双曲线是关于二四象限的角平分线对称的，所以直线 y 等于负， x 就是 它的一条对称轴。另外，双曲线还关于另一条直线对称，即一三象限的角平分线 y 等于 x。 所以， 反比例函数的图像是有两条对称轴的轴对称图形。 事实上，双曲线也是中心对称图形，你如果把它们以原点为中心，旋转一百八十度，就会和原来的图形重合，所以原点就是它的对称中心。 看来，反比例函数的图像既是中心对称图形，也是轴对称图形。函数图像的对称性说完了，再说说函数的增减性。不难看出，在第一项线里， y 随 x 的 增大而减小。在第三项线里， y 也随 x 的 增大而减小。所以你可以说，在第一项线和第三项线里，函数分别随 x 的 增大而减小。 如果我把 k 变大一点，由六变成十二，用同样的秒点连线的方法，就可以得到 y 等于 x 分 之十二的函数图像。不难发现，这两条曲线与坐标轴的距离要比原来远一些。可见， k 越大时，函数图像与坐标轴的距离越远。 现在 k 大 于零的情况搞清楚了，接着来看看 k 小 于零的情况。以外等于负 x 分 之六为例，还是先把 x 等于一、二、三、四、五、六时的外值求出来，然后上坐标轴秒点连线，发现它在第四项线 在 s 值前面都加个符号，外值自然也得变成原来的相反数。然后上坐标轴秒点连线，发现它在第二象限。 不难看出， y 等于负 x 分 之六的函数图像也是有两条对称轴，并且关于原点对称的双曲线，但它是在二、四象限，而且在每个象限里， y 随 x 增大而增大。 如果我把负六变成负十二，用同样的方法做出它的函数图像，不难发现这两条曲线与坐标轴的距离要比这两条曲线远一些。那这时你能说 k 越大，函数图像与坐标轴的距离越远吗？显然这么说是不对的，因为负十二比负六小。不过，如果你说 k 的 绝对值越大，函数图像与坐标轴的距离越远，那就没问题了。 现在反比例函数的图像已经比较清楚了，一起来总结一下。首先，反比例函数的图像是双曲线，它既关于两条直线对称，又关于原点对称，而且 k 的 绝对值越大，函数图像离坐标轴的距离就越远。 其次，当 k 大 于零时，图像在一、三象限。在每个象限里， y x 增大而减小。当 k 小 于零时，函数图像在二、四象限。

好，同学们，咱们今天再来看一个这个反比例函数的题，他现在说如图，在平面直角坐标系中，平行四边形， a、 b、 c、 d 的 边， ab 平行于 y 轴。好， ab 是 平行于 y 轴的， 然后反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， k 等于零，它的图像经过 a 和 c 两点，若 b 的 坐标为一斗零， d 点的坐标为三斗六。好， b 点的坐标一斗零， d 点三斗六。我已经给大家标好了，他先问你 k 的 值呗。拿到这个题，首先咱大家就是第一反应是啥？ 反比例函数他比较特，特殊的一点是有一个分支在第一项线，那当然有一个分支就要在第三项线，那他算出来他这个 k 你 到底是为正的还是为负的。你要根据他这个题上给的象限来定他是现在给的第一项线，所以你的 k 就 为正的。有些同学在有些题里面会出坑啊，你就会考试的时候，你看他这个 k， 为啥你就在第几项线就行了。 好，这是给大家提的一个醒。好，言归正传，看一下这个题，他现在说让你求 k 的 值，那求 k 的 值的时候，先回顾一下它的这个反比例函数的解析式，是不是叫 y 等于 x 分 之 k， 但 k 是 啥？ k 是 不是就等于 x 乘以 y， 你 要么算传 a 点的坐标，要么算传 c 点的坐标，把 a 点的横坐标，或者说把 a 点的纵坐标两个相乘，是不是就是这个反比例函数的 k？ 好，那接下来咱看一下，他现在 a 和 c 都在这个反比例函数上，但是他俩的坐标不知道，那咱设一下点 c 的 坐标，你会发现点 c 的 坐标和点 d 的 什么坐标是相同的？点 c 的 坐标是和点 d 的 横坐标相同的，所以设出来点 c 为三斗 n， 那 你看一下 a 点的坐标和 b 点的什么坐标是横坐标是相同的，所以将 a 点的坐标设成一斗 m。 好，我写到这儿射 a 点的坐标叫一斗 m， c 点的坐标是三斗 n， 那 它俩是不是都满足于反比利？我是不是可以把它带进去？ a 和 c 都在一个分子上，说明它的 k 是 相等的，那 k 相等它两一乘是不是 m， 那 它两一乘是不是三 n？ 我 得到了一个关系式，叫 m 等于三 n， 又因为它是一个平行四边形，平行四边形 ab 是 不是等于 cd？ 那 你会发现 cd 的 长度是几？ cd 的 长度是不就等于 ab 的 长度就等于 a 的 纵坐标？好，所以那就可以得到 cd 就 等于 ab 就等于 y， a 的 纵坐标就等于 m。 好， 那它等于 m 了。之后你会发现，我现在要求它的坐标，我是不是要把它这个点 c 想办法给它求出来？好，那你想看我是不是可以把 c d 延长，我延长到 e， 这假如说给这个点叫叫做点 e， 那 你告诉我 d， e 的 长度是啥？ d， e 的 长度是不就等于 c？ d 的 长度加上 c e 的 长度，那 d e 的 长度用 m n 表示一下的话，是不叫 m 加 n？ 好， 那你会发现 d e 的 整体的长度是不是就是地点的纵坐标？那 d e 等于几？ d？ e 是 等于六，那 m 是 谁？ m 是 不是又是三 n？ 这就有加一个 n， 所以 我是不能把 n 求出来。 n 是 二分之三， n 等于二分之三了，之后 c 点的坐标出来了没？所以 c 点的坐标是不是叫三斗二分之三？那整体 c 点的坐标知道了，我现在要求 k， 我 是不是将 c 反带到函数的解析式里面，所以 k 就 等于三乘以二分之三，所以这道题答案二分之九。

初三同学注意，反比例函数总丢分不用算，不用背复杂公式，今天一招直接秒杀所有考题！ 记住核心公式图像就是两条双曲线，大于零一三向线跑， k， 小 于零二四向线飘。重点记牢，只有同一个象限才看增减变化不在同一象限，别乱套！最万能的面积大招，双曲线上随便一个点 往坐标轴划垂线，矩形面积就是 k 的 绝对值，三角形直接除以二秒出结果。不用列式子做大小比较题更简单，先看 象限，同象限看增减，不同象限一三永远比二四大考场直接秒选，满分到手！

宝子们，王者荣耀刷野怪效率怎么最高？用反比例函数一画，立刻知道什么时候换野区最划算！今天主播带你啃下反比例函数全考点，所有题型一网打尽！哈喽，各位兄弟姐妹， 昨天晚上我在睡觉的时候，太太给我托梦了，她要求我给大家讲一下繁体函数的有关知识，并且提出要求，听完这节课之后，保证各位小宝能够把繁体函数的表达式、图像以及性质以及与一函数综合全部讲完，全部通略， 哪怕你是零基础的小白，也能够让你通过这节课彻底学会。熟悉的兄弟姐妹们都知道，我肯定是非常听坦白话的，所以本节课主要分成三个大模块，第一个模块，表达式 表达式我主要是分成了，补充了一下 excel 的 必备知识，主要是考虑到有些同学学崩了 excel 没学好 好补充完一次函数 b b 知识点之后，然后我开始给大家会讲解反比例函数表达式和一次函数表达式的各种考法汇总。第二个模块主要是图像以及性质，在图像及性质里面讲解反比例函数的图像以及反比例函数 k 的 几何 e 巴拉巴拉。 在第三个模块里面，我们主要讲解的是反比例函数与一次函数的综合问题。主要分成五个小专题，第一个专题是两个函数的图像判断，第二个小专题是两个函数的焦点问题。 第三个小问小专题主要讲的是两个函数的面积综合问题。第四个小专题主要讲解的是两个函数的实际应用问题。第五个小专题主要讲解的是探讨函数性质的综合大题，好保证兄弟们量大管饱行吧。 好，我们先来看第一个小专题，第一个模块表达式表达式的补充，一次函数问题，在之前的视频中，如我已经把这个一次函数的各种考法，以及一次函数的知识点，非常重要的函数思想都在这个视频里面已经讲过了， 如果说你没有看过的话，推荐大家看一下啊，当然啊，就算是你之前没看过，也不影响你这个视频，就本视频的讲解，我会给大家补充一下核心的知识啊。如果说你想要非常系统的去学习函数的话，最好是把之前的这个一次函数中档必备题型大盘点再给看一遍啊。 好，我们先来看核心的一次函数表达式。一次函数的表达式，它主要是你要注意点就是表达式，解析式，关系式，其实它都是一样的，不同的老师，不同的问法，不同的说法，其实都是一个意思啊。那么我们在整个初中阶段，我们学习表达式，主要是 重要的方法是待定系数法，就是不管是什么函数，初中阶段不管是什么函数，我们的解决方法都是待定系数法。待定系数法总结出来就四个字，设，但求喜好，就这四个字，好，那么我们通过上面这道题，我们就让大家把这个待定系数法再复习一下啊， 如果说这些知识你都会的话，你可以直接跳过啊，兄弟们，直接跳过。好，我们来看 解题通法设主要是先设出来， y 等于 k， x 加 b， k 等于零。第二步，带把 a 点坐标巴拉巴拉， b 点坐标巴拉巴拉，带入上式，就带入上面这个 y 等于 k， x 加 b 里面，你可以得到两个式子，一个一式，一个二式。 第三步，你让一式减二式，就可以把 k 求出来了，求出 k 之后，再把 k 带入一式中，或者你带入二式中也行。不过我们一般都是带一式啊，就是把 k 带入一式中，我们就可以把 b 求出来了， 当你把 k 和 b 都给求出来之后，然后第四步写，写成 y 等于什么， x 加什么的形式就行了，把你的 k 和 b 写到各自的位置，那么这个以函数的表达式就搞定 来，我们看题，已知 a 点坐标是负二度三， b 点坐标是二度负一，在一次函数 y 等于 k， x 加 b 上求解析式 好，首先第一步设 y 等于 k， x 加 b， 然后第二步，把 a 点坐标负二度三， b 点坐标二度负一带入。上市 带的时候，大家要注意，横坐标要往 x 里面带入，重坐标要往 y 里面带入，小心一点啊，写一下呢，就是三等于二， k 负二， k 加 b， 然后 b 点坐标也是一样道理啊，这个横坐标要往 x 里面带入，这个纵坐标要往 y 里面带入，你就可以得到负一等于二， k 加 b， 得到一式和二式之后，然后接下来你就是一式减二式， 那就是三减负一等于四负负得正啊，三加一等于四负二， k 减二， k 等于负四 k， b 减 b 没了， 然后四等于负四 k 这玩意我太太会，所以你解一下，那么 y 这个 k 等于负一，当你解出 k 等于负一之后，然后兄弟们，你再把这个 k 等于负一，你再带进去，带到一式里面就写，把 k 等于负一带入圈一中， 那么这个圈一中的这个 k， 你 就把它换成负一就行了，你就可以得到三等于负二乘以负一加 b 等于二，三等于二加 b， b 等于一，这个时候 b 也出来了， 然后第四步写，所以 y 等于这个负一， x 加一，而这个负一的话，我们省略，所以就是负 x 加一就出来了。 而如果你在写大题的时候，对吧，你的你的过程，你怎么写呢？你要注意一下啊，就是你在写大题的时候，嗯，我给你写一下这个过程啊，你就写设 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，然后就是把 a 点坐标负二度三，就前面都是一样的啊， b 点坐标二度负一，代入上式， 然后这个时候你得到两个式子，三等于负二， k 加 b， 负一等于二， k 加 b。 好， 得到之后，然后你直接写解得计算过程，不用写到卷子上，直接可以写解得 k 等于负一， b 等于一，然后就写，所以 y 等于负 x 加一，明白吧？就是我们在写解答题的时候，我们的计算过程是不用展现在卷子的答题卡上的 啊，那么你在正常写的话，你就可以按照左侧这样写就可以了啊，好，这是一次函数的表达式，那么接下来我们看下一个就是一次函数的图像，以及 以及他的图像的性质。好，注意一点啊，就是我们不管是看什么图像，我们都是从左往右看啊，我们初中的一次函数呀，正比例函数呀，反比例函数呀，以及二函数， 包括我们高中的纸堆面呀，三角啊，巴拉巴拉的，就是任何一个函数，我们去看的时候，看他图像的时候，我们都要从左往右去看啊，从左往右去看，好，我们来看一次函数是 y 等于 k， x 加 b， 那 么这个 k 它控制的是这个一次函数的倾斜方向， k 的 正负控制倾斜方向，控制倾斜方向。如果 k 大 于零，这个图像是斜上倾斜，外随 x 的 增大而增大。如果 k 小 于零，这个图像是斜下倾斜，使外随 x 的 增大而减小。 那么我们来看黑板，我们来看，对于这个红色的之前来讲，我们从左往右看，对不对？你看他是斜上的，对不对？他是斜上的。从左往右看啊，一定要记住，从左往右看，他是斜上，说明他的 k 是 大于零的。那我们来看这个黑色的， 这个黑色的从左往右看，他是斜下，对吧？他越来越小，他是斜下的，所以他是 y 随 x 的 增大而减小。 k 小 于零， 那么看下面这个黑色的，它是斜上，说明 k 大 于零啊，好，这是 k。 我 们再来看一次函数的 b， b 的 正负控制直线与外轴的交点坐标，如果 b 大 于零，这个直线与外轴交于正半轴。如果 b 等于零，这个直线过圆点。如果 b 小 于零，这个直线与外轴交于负半轴。什么意思嘞？我们来还拿这个红色的线与外轴交于负半轴，什么意思嘞？我们来看，目前来讲，这个红色的线与外轴，它现在是不是交于正半轴， 那么就代表他的 b 已经大于零。如果我现在让这个红色的线动起来，好，我现在让这个红色线过圆点，对吧？这个时候他已经经过圆点了，那就代表着这个 红色的线，他的 b 是 等于零的。如果我再往他往下走，此时的话，非常明显可以发现他是交于外轴的负半轴，说明他的 它的 b 是 小于零。然后这是你要注意一下啊，就我们来看，比如说这个黑色的线，对吧？现在来讲，这个黑色的线，它是交于外轴的正半轴，说明它的 b 是 大于零的， b 是 大于零的，那么如果我让它动起来，它过圆点，就代表 b 等于零，然后往再往下走， 它现在交于外轴的负半轴啊，是看外轴啊，现在交于外轴的负半轴，说明它的 b 是 小于零的，明白了吧？ 好，这是 b 的 控制啊，这是 b 的 控制。另外还有一点你要注意一下，你看我在这个地方是不是给你写的有点坐标，对不对？在这地方给你写有点坐标，那么你要注意。 我们来看，如果说这个意思函数它现在经过零度负五，这个点，就是我们现在知道它有外周焦点是零度负五，那么你不但能知道 b 就 等于五，你还能知道 b 就 等于五， 明白吧？就是这个正。这个一次函数，它的 b 其实就是与外轴的交点的那个纵坐标，它就是 b。 你 再比如说这个黑色的，如果我们知道这个黑色的这个一次函数，它与外轴交于零度一，就代表着它的 b 就 等于一，就不用算，可以直接看出来，对不对？ ok， 兄弟们，那如果我们再来看这个，如果他与这个外轴交于零度负三，那么其实你就一眼看出来 b 就 等于负三， 你就一眼可以看出来 b 就 等于负三，明白吧？这是一个小技巧，你要知道啊，你要知道。好，这是一次函数的表达式，设代求写，对吧？设，设出 y 等于 k， s 加 b， 但把 a 点坐标巴拉巴拉， b 点坐标巴拉巴拉 带入上式，得到两个式子，然后一式减二式就一定可以，可以把 b， k 给求出来，再把 k 带入一中，就一定可以把 b 给求出来。第四步，写成 y 等于什么， x 加什么的形式就可以了。 然后还有刚刚讲了一次函数的图像啊， k 控制 k 的 正负，控制倾斜方向， k 大 为零，斜上外随 x 的 增大而增大， k 小 为零，斜下外随 x 的 增大而减小。 b 的 正负控制直线与外轴的焦点坐标 b 大， 零直线与外轴交于正半轴， b 等于零，直线过原点， b 小 零直线与外轴交于负半轴。好，这是这个，给你再说一下啊，你再复习一下，好吧， 行，我们现在往下走。我们来看表达式，指反比例函数表达式怎么搞，而反比例函数表达式比一次函数表达式要简单的多，明白吧。 我们来看形容 y 等于 x， 分 之 k， k， k 不 等于零的函数，我们把它叫做反比例函数，包括前面讲的这个一次函数， y 等于 k， x 加 b， 它的 k 也不等于零，明白吧？也不能等于零，这个要注意一下啊。反比例函数的 k 和一次函数的 k， 他 们的要求都是一样的啊， k 不 等于零， 而这个反比例函数我们可以给它变形，你看，如果把 x 给它移到等号左边，我们是可以得到 x 乘以 y 等于 k， 那 么这个形式也是反比例函数啊，然后我还可以把这个 y 等于 x 分 之 k， 把它进行再次变形，因为 我们这个 y 等于 x 分 之 k， 我 可以把它理解成 y 乘以 x 分 之一，你看 x 分 之一，我们是可以把它写成这个， 这个 x 分 之一，我们是可以把它写成 x 的 负一次方的，所以说我们就可以写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方。那么这这三种其实都是反比例函数的表达式，不过剩下两种我们考的非常少，几乎不考，主要你就背这个 y 等于 x 分 之 k 就 行了啊， 为什么刚刚我说反比例函数的解析式非常好求呢？我们来看，若点二逗二六零，在 y 等于 x 分 之 k 的 图像上求解析式等于几。那么我们在求反比例的时候， 你记住啊，就是你记住它的 k 就是 反比例 k 就 等于这个点的横纵相乘， 用他这个点的横坐标乘以这个点的纵坐标，你就可以直接求出这个反比例函数的 k 了。我们来看这道题，他现在这个是二度二六零，那么他的 k 就 等于二，乘以二六零，就等于五二零，对不对？我们就可以非常迅速的求出来这个反比例，它的 k 等于五二零 啊，隐含的表达了爱意，对不对？兄弟们，好。然后这个时候你就可以立马求出来这个 y 等于 x 分 之五二零，非常迅速，对吧？不用什么时代求写，当然如果你真的时代求写也行。这个时候开始有同学们开始说了啊， 老师，这这考试的时候这样写过程能给分吗？ ok 啊，各位兄弟们，那么考试的时候怎么写过程呢？你这样写啊，考试的过程你就这样写，你就写，因为点 二豆二六零在外，等于 x 分 之 k 上， 所以 k 等于二乘二六零等于五二零， 所以 y 等于 x 分 之五二零，这样就可以了，明白吧？考试的时候按照我这样写就可以了，不用非得严格的按照设代求写。老师们，因为这个老师们都知道这个反比例的 k 非常好求，是这个意思啊，那么你比如说 兄弟们，如果说我告诉你这个是一个点坐标是负三度四，那么他的 k 等于几呢？打在公屏上啊，各位兄弟们， 好，它的 k 等于负十二，那么如果告诉你这个一个反比例函数，这个点坐标是负一到十，那么它的 k 等于几呢？打在公屏上， 好，它的 k 等于负十，明白了吧？所以非常好求反比例函数的解析式，我们口算都出来了， 好，那么兄弟们，各位臭宝，如果你听完了反比例函数的表达式，你再听完这个一次函数表达式，你会非常明显的发现，反比例 q 简单，对吧？但是一次函数是不是比较麻烦一点？ ok， 那 么如果你在写一道解答题的时候，各位臭宝，如果我们在写一道解答题的时候，一道题里面它既有反比例函数，又有一次函数，你更想先求谁？兄弟们，你更想先求谁？ 对，是不是更想先求反比例函数，因为谁简单，我们先求谁，对不对？我们挑着软柿子去捏，明白了吧？这个思想一定要记住啊，这个思想一定要记住，挑软柿子捏，我们更想先求反比例，因为反比例简单， 他只需要一个点坐标，直接这个点坐标到横纵相成即可，对不对？而我们的一次函数很多情况下是不是需要两个点坐标？所以他麻烦一点，明白了吧？各位兄弟们 好，那么接下来必须给大家补充一个函数的连利思想，必须还要补充函数的连利思想，这个在我们写两个函数的解析式的时候，包括是我们再去求函数的面积问题的时候，肯定要出，肯定要用啊。 那么什么是连利呢？你比如说我现在先给你一个两个一次函数的连利，我现在告诉你，上面这个是 y 等于 x 加一，下面这个的话是 y 等于负二 x 加二， 而这个 a 点坐标现在是不知道，这个 a 点坐标是不知道。我让你求这个焦点，明白了吧？你看，连力就是求焦点的，明白没？以后如果有谁问你什么是连力 以及连力是干嘛的？你要记住啊，连力的目的是求焦点的，连力的目的是求电的，那么怎么连力呢？怎么连力？你就记住你让两个函数相等，它就是连力。 你看我们让这个上面这个 y 等于 x 加一的这个函数，让 x 加一和下面这个负二 x 加二，让他俩函数等号的右边相等，这就是连利。 所以现在你要搞清楚一连利的目的是什么？他是用来求焦点的二，你要搞清楚怎样连利，就让两个函数相等就可以连利了。 好，那么兄弟，如果说你解出来这个，你解出来这个 y x 加一等于负二 x 加二，那么你把接下来把它解一解，对不对？这个玩意我们小学五年级都学了，我们慢慢解 好这个负的，移过来 x 加二， x 把这个一移过去，得到一个二减一，然后得到三， x 等于一，解出来 x 等于三分之一，对不对？兄弟们，那么如果你解出来这个 x 等于三分之一之后，你要记住这个 x 是 谁呢？你解出来这个 x 其实就是焦点的横坐标， 就是点 a 的 横坐标，你解出来这个 x 就是 焦点的横坐标，然后你再把这个 x 等于三分之一代入 y 等于 x 加一中啊，你把这个 x 等于三分之一代入 y 等于 x 加一中，好，那么你可以得到 y 等于三分之一加一等于三分之四，这个时候这个 y 就是 焦点的纵坐标，此时这个焦点坐标，所以 a 点坐标等于三分之一，都是三分之四，我们就非常迅速解决了。 还有一点兄弟们，大家要记住你，当你求出这个 x 等于三分之一之后，你，你因为这个焦点坐标，它既满足这个 y 等于 x 加一，也满足这个 y 等于负二， x 加二，为什么 我把它带入，把这个 y， 把这个 x 等于三分之一带入 y 等于 x 加一中，而不带 y 等于负二， x 加二，你要明白啊， 相信你肯定明白，对吧？因为这个 y 等于 x 加一，它更简单，这个负二 x 加二，是不看起来还稍微麻烦一点，对吧？肯定，我们是往简单的函数里面带，算的更快一点啊。 所以通过这个一次函数的连力，你要明白一个问题，就是就是连力的目的是什么，以及怎样连力号，怎样连力呢？对吧？我们就让两个函数的解析是相等，它就是连力。好，这是一次函数的连力， 那么如果我现在把一次函数和二次函数给它放到同一个平面直角坐标系中，它俩怎么连的呢？我们来看题， 我们来看题啊，现在我给了你一个一次函数解析式， y 等于二分之一， x 加五，我又给了你一个反比例的解析式， y 等于负的 x 分 之八。好，那么现在这个 a 点坐标和 b 点坐标我都不知道它是两个交点，对吧？我现在让你求这两个函数的交点坐标， 怎么办呢？好，第一问题让我求焦点，那么就先想连利，怎么连利呢？我就让函数的这个等号右边相等就行了，对不对？也就是二分之一 x 加五等于负， x 分 之八， 好，二分之一 x 加五等于负的 x 分 之八。接下来我们算的时候要慢一点啊，因为这个看起来还是稍微复杂一点，对不对？我们先让等号的左右两边同时乘以 x， 慢慢解啊兄弟， 二分之一 x 乘以 x 等于二分之一 x 方五乘以 x 等于五， x 负 x 分 之八乘以 x 等于负八。然后我们再把这个负八移到等号的左边，然后从而得到二分之一 x 方加五， x 加八等于零。 然后我们再可以让它再进一步化简，让它所有的都乘以二。二分之一 x 方乘以二等于 x 方五， x 乘以 x 五， x 乘以二等于十， x 八乘以二等于十六，然后右边还是零，这个时候你得到一个 x 方加十， x 加六。我给啊 兄弟们，你看到这个 x 方加十， x 加十六，那么你是发现它是一元二次方程了，而解一元二次方程公式法配方法，十字交叉相乘分解法，怎么样都行，是不是 q 简单了？所以现在那，那我就用这个十字交叉分解啊。 x 乘以 x 等于 x， 方二乘六等于十六，二乘八等于十六，然后再交叉相乘，再相加。 好，这个时候你看我们非常迅速可以得到这个。呃，八， x 加二 x 等于十 x， 对 不对？这个十 x 刚好符合这个中间这一项，然后写的时候配对成功，写的时候横着写，我们可以得到这个 x 加二乘以 x 加八等于零， 然后 x 加二等于零，解出来 x 一 等于负二， x 加八等于零，解出来 x 二等于负八。啊，我们非常迅速可以解出来两个 x， 而各种考法的话，我之前已经在讲过了，就不再过多说了啊。好，那么如果我们现在解出来两个 x 之后，你要注意 一个问题，就是老师，为什么刚刚这个 y 等于这个两个 a， 点坐标，我们解出来一个 x， 那么为什么异函数和这个反比例函数连累我们可以解出来两个 s 呢？那么就是因为它有两个点坐标，对不对？有两个函数，你要记住，兄弟们，函数有几个点，坐标有几个焦点，懂吗？两个函数它有几个焦点，它就能够解出来，就能够解出来 几个 x， 几个根。你看我现在给你画的现在明显他是不是有三个焦点，那么这两个函数他解了，他如果连累解下的话，他一定能够解出来三个 x， 对 不对？他一定会解出来三个 x， x 一， x 二和 x 三。所以在你小小的脑子里面你要明白这个道理啊。 好，那么当你解出来两个 x 之后，你还要明白这个道理啊。好，那么当你解出来两个 x 是 谁，对吧？ 啊？谁是 a 点的横坐标，谁是 b 点的横坐标？这个时候你要看一下啊，你看我们的 b 点坐标，呃，肯定是在 a 点坐标左侧，所以说他对应的横坐标肯定是更小啊，他对应的横坐标肯定是更小啊。所以，嗯，你把这个 x 等于负二，代入 y 等于 x 一带入这个 y 等于二分之一， x 加五中，然后你可以求一下，对吧？那就是二分之一乘以负二，再加五等于四，所以说 a 点坐标就是负二度四啊，因为 a 点坐标横坐标是负二， b 点坐标的横坐标是负八，我已经讲过了啊， 就是 b 点在 a 点的左侧，所以说 b 点的横坐标一定一定更小啊。然后接下来再把 y 等于，把这个 x 等于负八带入 y 等于 x 一 带入 y 等于二分之一， x 加五中，然后你求一下，那就是二分之一乘以负八加五等于负四，加五等于一，然后所以说 b 点坐标就是负八到一就出来了。 好，这是我们刚刚给你补充的函数的连力思想，你只有把这些知识都搞定了，对吧？前期的准备工作完成了，你再去听我们接下来给你讲的三遍函数，你就会非常透彻啊。好，你要注意啊，刚刚讲过了，第一问题啊，连力， 什么时候连力，对吧？求焦点的时候，我们就连力啊，就是问何时去连力，然后怎样连力呢？好，怎样连力呢？我们就让两个函数的解释是相等，我们就这样连力的啊，好，这是连力的思想。 好，接下来我们来看一次函数和反比函数表达式的各种考法。怎么考？它的各种考法怎么考呢？好，我们先来看题，正比例函数 y， y 一 等于二分之一 x 与反比例函数 y 二等于 x 分 之 k 的 图像交于 a 点坐标 m 度二，我们标一下啊，这个 y 的 话，二分之一 x 已经给你标过了。 好，第一问，他让我们求这个反比例函数的表达式。好，这个时候你要注意啊，他既然题干中已经告诉你一个 正比例函数 y 一 等于二分之一 x， 而这个 a 点坐标 m 度二，这个 a 点坐标给它，不完全，对不对？所以我们先把这个 a 点坐标给它搞完全，怎么搞呢？我们就把这个负二， 我们把这个纵轴标二带入这个正比例函数里面就就行了。因为正比例函数已经给你了了 y 一 等于二分之一 x， 所以 你就写把 y 等于二带入 y 一 等于二分之一 x 中，你得到二等于二分之一乘以 x 二分之一 x， 然后得到 x 等于四。好，你求出来这个 x， 这个 x， 它其实就是 m， 对 吧？所以 a 点坐标是四逗二就解决了 啊。这个时候你要注意，你要有这种思想啊，你要有这种思想，就是 a 点坐标，它是 m 逗二，它给你的不完全，对吧？你把横坐标你，你把纵坐标带入 对应的解析中，你求出来的就是横坐标。同理，如果说我给你一个点坐标 a 撇，他是三斗 m， 那 么现在这个 a 撇坐标也不完全，对，不对？同样道理，你怎么求这个 a 撇里边的 m 呢？你就把这个横坐标三带入这个 y 一 等于二分之 x 里面，你是可以求出来一个 y， 你 求出来 y 就 这个纵坐标 m， 所以这是境界之路，你要知道啊，就是之前在一次函数视频里面已经讲过了，我就不再过多说了啊。好，那么这样的话， a 点坐标知道之后，让你再写， 你直接写，所以这个 k 等于八，直接写就行了，不用过多解释啊。所以 k 等于八，所以 y 等于 x 分 之八就行了， 是不会扣分的，明白吧？所以这是第一种比较简单。好，我们来看第二种。第二题， 如图，直线 y 一 等于 ax 加 b 与反比例函数 y 二等于 x， 分 之 k 交于 ab， 两点直线 y 与 x 轴，直线与 x 轴交点 c， 点 a 的 纵坐标是六啊，我们标一下啊，点 a 的 横着不知道纵坐标是六 点 b 的 坐标是负三等于负二，标一下，负三等于负二，连接 a o b o。 第一问，求反比例函数和直线的表达式，两个函数都让你搞啊，那一点点来，你看，当一道题里面让你既求反比例函数的表达式，又让你求直线的表达式，那么你要记住，我们要 挑软柿子捏，对不对？刚刚已经给大家说过了，我们要挑软柿子捏，所以我们先用这个 b 点坐标，先用 b 点坐标，我们先求反比例啊，求完反比例之后，我再把这个 这个 a 点的中坐标带入反比例里头，我就可以求出 a 点的横坐标了，此时的话， a 点坐标也完全有了， b 点坐标也完全有了，然后再去求一次，明白了吧。好，挑软式子念啊，一定要记住这种思想啊，所以你就写， 嗯，你就写，因为点 a， 因为点 b 负三等于负二在 y 等于 x 分 之 k 上，所以 k 等于负三乘负二等于六， 所以反比例是 y 等于 x 分 之六，好，这是前两分，先拿着压压惊，然后接下来 我们再把这个 a 点的纵坐标带进去，求出横坐标啊，这就是境界之路。就是，你要记住啊，就是有纵坐标，你带进去就可以求出横坐标，有横坐标你带进去就可以求出纵坐标，记住这种思想啊， 好，然后你再写，把 y 等于六带入 y 等于 x 分 之六中， 你就可以求一下，这个六等于 x 分 之六，这个解出来 x 等一比较快啊，所以 a 点坐标就是一对六，非常迅速出来了。此时你知道了 a 点坐标和 b 点坐标都知道了，那么你就可以再去求这个 啊，一次函数行了，因为这个一次函数它已经给你设好了 y 一 等于 ax 加 b， 你 就直接写就行了，就是把 a 点坐标一逗六， b 点坐标负三逗负二 带入 y 一 等于 ax 加 b 中，然后这样的话你可以求一下， 带的时候要注意啊，这个横坐标要往 x 里面带，这个纵坐标要往 y 里面带。刚已经解解释过了啊，所以得到六等于 a 乘一，那就是 a 加 b， 好，这是一式，对吧？然后接下来把 b 点左边也带一下啊，负三要往 x 里面带，负二要往 y 里面带啊，负二等于负三， a 加 b， 然后这是二式，对吧？然后你接下来直接写解得就行了， 直接写解得就行了。考试的时候这样写啊，解出来 k 等于几， b 等于几， 解一下，解的时候要小心一点啊，解的时候小一点，我们在颜料纸上解一下，那么就是一十减二，是六减负二等于六加二，那就是八，然后这个 a 减去这个负三， a 负负得正，那就是四 a 四 a b 减 b 没了，然后这样的话，我们可以非常迅速的解出来 a 等于二啊，不好意思啊，不，不能说 k 啊，应该说 a， 对 吧？ a 等于几， b 等于几，解出来 a 等于二，然后解出来 a 等于二之后，然后再把这个 a 等于二代入一中，对吧？六等于二加 b， 那 么 b 等于四，也非常快。 好，所以说，所以这个直线表达式是 y 等于二， x 加四，这样的话，这道题的前四分你就搞定了，明白了吧， 对不对？现在你是不是感觉到这个表达式没什么难度？好，我们来看第三题，第三题如图，在平面直角坐标系 x o y 中， 直线 ab 是 y 一 等于 x 加三。哎，你看这个是不是完全给你了？我们标一下啊， y 一 等于 x 减啊， x 减三。不好意思啊， x 减三已经完全给你了，与反比例函数 y 等于 x 分 之， k 交于 ab 两点，这个反比例函数没给你啊。 然后他又说与这个 x 轴交汇点 c 已知 b 点坐标是 m， 都是负五啊，我们标一下 b 点坐标是 m， 都是负五， 好，同样道理，看到没有？你看是不是这个 b 点坐标是给你纵，没给你横，那么我们是用近年之路，我们把这个纵带入我们已知的这个里头，我们就可以求出横了啊，所以我们就写啊，就把 y 等于负五带入 y 一 等于 x 减三，中好，带进去得到负五等于 x 减三，解出来 x 等于负二，解出来 x 等于负二， 所以这个 b 点坐标他就是负二，都是负五就搞定了。 b 点坐标有了之后，然后这个反比例是不是可简单了？口算是不是都知道了，兄弟们，对吧？ k 等于十对的写，所以 k 等于 k 等于十，所以 y 等于 x 分 之十， 冰勾是不是出来了，兄弟们，有感觉了吧？还有同学说啊，老师，这么简单吗？来感觉来感觉了，对啊，这个表达式它其实就不是特别难，只要你认真听，你绝对是能听懂的，对不对？ 好的，各位小宝，我们继续往下啊，第四题如图所示，直线 y 等于 x， 好， 已经给你了，对不对？解析式已经给你了啊，这个 y 等于 x， 好，给你标出来了了，也给你标出来了了。与反比例函数 y 的 x 是 分式， k 这个没给交于 a 点坐标二度 a 啊，你看现在会了吧， 对不对？你看是不是？我用进件之路，用进件之路，我们现在他给了这个 a 点的横，我们带进去，我们是不是可以求出纵了，对不对？所以 a 点就有了啊，然后他说点 b 是 反比例函数，一个点， 反面上一个点，那一会的话，我们也可以把 b 点这个里面 m 给求出来，对吧？然后第一问的话，他让他让求反比例函数的解析式，以及这个 ab 的 解析式，那我们先挑软式的来，对不对？好啊，我们就先把这个 a 先往这里面带啊，先把这个 a 啊看，我们先带一下，因为这个 a 点不完全，我们就先用进阶之路求一下，就是把 x 等于二带入 y 等于 x 中， 求一下这个 y 等于二，哇，非常快对不对？ a 点坐标是二度二， a 点的坐标是二度二的话，那么哎，有一个点我们是可以求反比例了，对吧对吧？四， 所以 k 等于四，横纵相乘啊，所以这个反比例是 y 等于 x 分 之四，这样的话我们可以先得先得一分， 这应该两分，先得两分，压压惊，然后接下来这个 b 点坐标是四 m， 然后接下来我们是不是接下来去求这个 m 了？因为这个 b 点坐标是在这个反比例函数上面的，对不对？所以我们把这个点也往里面带啊，所以就把 b 点坐标四 m 对 m 带入 y 等于 x 分 之四中算一下也是一样的啊，就是横坐标要往 x 里面带，纵坐标要往 y 里面带，记住啊，然后得到 m 等于四， m 分 之四， 好，那这个也很好解啊，兄弟，对吧？然后这个四四消掉了，然后你是不是得到这个 m 等于 m 分 之一，然后把这个分母的 m 给它移到左边，然后你是不是得到 m 方等于一， m 方等于一这玩意我太太都会，对不对？解出来 m 等于正负一，然后题里面你看他说了，是不是专门说了 m 大 于零，你就写因为 m 大 于零， 所以 m 等于正一，所以说这个 b 点坐标就出来了，对吧？四逗一， b 点坐标出来之后， a 点坐标是不是二逗二，有 a 点有 b 点，那这剩下都简单了，对不对？然后你就开始写把 啊，它这个直线 ab 的 话，嗯，我们是一函数，我们还需要设一下，因为它没给我们设出来，那你就可以写设 这个 ab， 它是 y 等于已经有 k 了，我们就，我们就设成 ax 加 b， 好 吧，我们就设成 ax 啊，有 a 了，就尽量跟题干上的字母都不一样啊。那我们就设成 m， n， 我，我靠， m 也有了，我靠，那，那就设成这个 k 一 x 加 b 一， 就这样设一下，就尽量你设的这个字母不要跟题干中的字母一样啊。 我靠，这里面常见的几个都有了，好，那你就设。设完之后，然后接下来就把 a 点坐标二对二， b 点坐标四对一代入上市， 然后你可以得到一个，嗯，这个二等于二， k 加 b， 然后一等于四， k 加 b， 好， 然后剩下解一下，对吧？巴拉巴拉巴拉，你自己解，我就不解了，比较简单啊，剩下解的话就慢慢解就行了。 所以兄弟们，你看，现在你听了四道题，你应该有感觉的，你会发现这种题不难，你记住啊，就是 题里面就是先挑软式的捏，对吧？如果一个点坐标给了你一半，对吧？横或者纵，他给你一半，那么你就先把另一半给求出来，求出来之后，然后就挑软式的捏，先捏反比例，捏完反比例再去捏一次，对不对？好，我们来看第五题。 呃，如图，直线 y 等于 a， x 加 b 与反比例 y 等于 x 分 之 k 啊，这两个都没给你啊，交于 a 点坐标负一对五。我靠，那他直接先捏，先捏这个反比例了，对吧？负一对五已经有一个完整点了嘛，所以反比例 k 非常简单，负五口算就有了。 继续往下读，与 x 轴、 y 轴分别交于 bc 两点啊，连接 o， a 已知 a， c 比上 cb 等于一比四啊。给了一个比例 a， c 比上 bc 等于一比四，那说明这个比例是一比四，比例是一比四，有相似在里面了啊， 相似在里边了。第一问，让我们求 k 和求 b， k 简单，对吧？刚刚说过， k 等于负口算都有，然后这个求这个 b 的 话，那我们求这个。呃，这个一次函数嘛，说白，求一次函数，求一次函数的话，需要两个点坐标，现在只有 a 点坐标，那么你需要用比例啊，你需要用比例怎么办呢？也很很简单啊，你看， 呃，因为你这个 a 点，你看 a 点，它的它这个距离等于一， 因为这上下两个三角形是相似的，对不对？既然它的斜边长是一比四，那么说明它的这个短边 对应的是不是也是一比四？你既然 a 的是一，那说明这个 o b 肯定是四，对不对？这个 o b 肯定是四，因此你可以非常迅速，可以找到 b 点坐标四度零，那么这个时候你有 a 点坐标和 b 点坐标，那么你的这个一次函数是不是随之而出，对吧？非常简单啊，所以我们写一下啊，写一下过程，因为 a 点坐标是负一对五，在这个反比例， y 等于 x 分 之 k 上，所以 k 等于负五， 好，对吧？ k 等于负五，然后你再写，然后接下来我们的目的要求 b 点坐标了，让你再写啊，过点 a， 嗯，向 x 轴向 y 轴做， a 的 垂直于 y 轴， 好，做一下，则 a 的 等于一，直接解释， a 的 等于一，然后你再写，因为 a c 比上 c， b 等于一比四，直接写，所以 o b 等于四，直接写，不用解释过多啊，所以 b 点坐标是四度零，好，此时 a 点坐标也有， b 点坐标也有，那剩下你们都会了啊，然后就开始把 a 点坐标负一对五， b 点坐标四对零，代入 y 等于 a， x 加 b 中。 好，剩下我都不说了，好吧，你们都会了，巴拉巴拉就往下写就行了啊，兄弟们，不难吧，对不对？ 所以说你看就是没没没有没有关系啊，就是哪怕你底子不好，你也保证你能够把这种题给听懂，保证你能把这种题听会啊。好，我们来看最后一道好不好啊？看这个表达式，看这种啊，如图，在平面直角坐标系中 平行四边形啊，你看他专门给你个平行四边形啊，平行四边形的边 a， b 在 一次函数 y 等于二分之一 x 加 b 的 图形上啊，这个给我们记一下啊， y 等于二分之一 x 加 b 的 图形上， b 点坐标是三度一，哎，你看 b 点坐标三度一是吧，立马线条软式的捏，反比例有了，对不对啊？反比例有了 k， 这个 k 等于三了，然后他又说了一个 a 的 它是平行于这个 x 轴的点的的坐标是八度二。 第一问，他说的是让我们解这个一次函数和反比例函数，大家来看这个一次函数的话，它是不是只有一个 b？ 这个不知道了， k 已经给你了，那所以说你把这个三到一，你带到一次里面，你是不是可以把 b 求出来了，对吧？你这个这个反比例更简单，对吧？反比例 k 直接就是三了， 所以说这个 b 点坐标的话，我们用两次可以把第一问全部搞定啊，你就写把 啊，这个三度一直接直接这样先写反比例啊，我们还是先还还是遵循着先挑软式的捏，好吧，就是因为 b 点坐标三度一 在 y 等于 x 分 之 k 上，所以 k 等于三，所以 y 等于 x 分 之三。好，这样的话我们的反比例搞定，然后接继续写一次，把 b 点坐标三度一 代入 y 等于二分之一， x 加 b 中得到一等于二分之一乘以三加 b。 啊，就一等于二分之三 b， 我 们这样的话可以减出来我们的 b 等于这个三分之二， 然后所以我们的已知数也搞定了。 y 等于二分之一， x 加上三分之二。啊，不好意思啊，这个是加 b， 我 想想成了 这是加 b， 然后就是一负负二分之一对负二分之一，所以我们的 b 等于负二分之一就搞定了。好，这是我们的反比例函数和我们的 e 函数的。呃，各种的表达式的考法对吧？几乎是含给了所有的。

我是一次函数，我是二次函数，我是反比的函数。我们是初中数学函数模块三大核心考点，更是考试选择填空大题的高频易混坑点。你能分清我们的区别吗？ 我是一次函数，简单说，我就是最基础的现象函数，是函数世界里的比值大道。我的标准解析式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等零，并且 k、 b 为常数。 当 b 等于零时，我就变成了 y 等于 k， x 摇身一变成特殊的、正比的函数。我的图像永远是一条笔直的直线，没有弯曲，没有断点， k 决定我们的倾斜方向。 k 大 于零，直线从左到右上升， k 小 零，直线从左到右下降。 b 决定我和 y 轴的交点。 b 大 于零交 y 轴正半轴， b 小 零交负半轴。如果 b 等于我，就过远点。 中考考察重点，求函数解析式判断图像走势，求与坐标轴的交点，解决实际应用题。 易错点在于，总把我和正比的函数割裂，忘记正比的函数是特殊的一次函数，还容易把 k、 b 的 符号和图像对应错。我是线性变化， x 的 次数永远是一次，这是我最核心的标志，和另外两个兄弟完全区分开。 我是二次函数，我是函数里的抛物线，是中考压轴的常客，难度直接拉满。我的标准解析式为， y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 其中 a 不 等于零， abc 为常数， x 的 次数是二次。这是我独一无二的标签，谁都模仿不了。我的图像是一条抛物线，有开口、方向、对准轴、顶点三大核心要素， a 决定我们的开口方向。当 a 大 于零，开口向上有最小值。当 a 小 于零，开口向下有最大值，对准轴是直线， x 等于负二， a 分 之 b， 顶点就是整个图像的最高点或者最低点，也是我的中心了。中考考察重点画函数图像，求解析式分析函数图像的性质，最值问题，与几何图形结合起来考察各种综合大体。 很多人总把我和 e 函数搞混，记住，我有 x 的 平方向，图像是曲线，不是直线，有最直对称轴。线性变化里没有我的特点。 我和一次函数都是整式函数，取式范围是全体实数，这是我俩的共同点，但性质天差地别。我是反比的函数，我是函数里的双曲线，特立独行，和前两位兄弟完全不一样。我的标准解析式为， y 等于 x， 分 之 k， 其中 k 不 等于零， k 为常数， 我也能写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方以及 x， y 等于 k 的 形式。我不是整式函数， x 在 分母的位置，这是我最鲜明的特点。我的图像是两条互不相交的双曲线，它关于原点对称，永远不与坐标轴相交。 k 决定我的图像象限。当 k 大 于零，我在一、三象限，当 k 小 于零，我在二四象限，在每个象限内外随 x 的 变化而单调变化，切记是每个象限内，不是全体实数。 中考考察的重点，求 k 值判断图像所在象限，比较函数值大小与一次函数综合焦点问题等等一错点，忽略取值范围。 x 不 等于零， y 不 等于零，跨象限判断增减性，总把我的性质和一次函数记混。我和前两者最大的不同不是整式 图像，是双曲线，有自变量取值限制，没有连续的单调性，可不要认错人哦，跟着亮亮无脑学习。

朋友们大家好，今天呢，我们来看一下一次函数和反比例函数综合题，也是我们上周末考的题。这个题呢，第二部分稍微有一点点难度，我们先来看一下题目。如图，一次函数 y 等于二， x 加 b 的 图像与 x 轴外轴分别交于 a， 负二分之三零 b 两点 与反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像交于点 c， 过点 c 作 y 轴的平行线，与 x 轴交于点 d 与点 b， 关于直线 c d 对 称的点 e。 在 反比例函数 y 的 分之 k 的 图像上。第一问让我们求点 b 的 坐标，那第一问的这个过程我们就不写了啊，很多同学都会做 点 b 坐标，怎么求呢？首先我们要先把一次函数解式给它求出来，也就是把点 a 的 坐标负二分之三零带入进去，我们就可以得到零等于二，乘以负二分之三，再加上 b。 这里呢，我们解一下这个一元次方程，就可以得到 b 的 结果是等于三的， 那 b 等于三。一次函数解一式就是 y 等于二， x 加三，所以我们求点 b 坐标的话，就只需要让它的横坐标 x 等于零就可以了，这里我们就可以求得它的 y 值等于三，也就是点 b 的 坐标就是零，到三就是 d 分。 第二问，他让我们求 k 的 值，求 k 的 值，因为点 c 点 e 它都是在反面逆函数图像上的，但是又没有点 c 和点 e 的 确切的值，求不出来它两点的坐标，那我们就想办法去表示这两点的坐标， 因为这个 k 等于什么呢？ k 就 等于横纵坐标之积啊。那我们首先先表示一下点 c 的 坐标怎么表示的？ 首先点 c 它是在反比例函数图像上，但是它也在一次函数图像上，所以我们设点 c 的 横坐标为 a， 那 这个时候纵坐标怎么表示呢？纵坐标带入一次函数解析式去给它算出来，纵坐标是二 a 加三。 好，那我们再来看一下点 e 的 坐标怎么表示。点 e 和点 b 是 关于直线 c d 对 称的，所以这里点 e 的 横坐标就是二 a， 它的纵坐标和点 b 的 纵坐标是不是一致的呀？都是三。那么来看一下啊，这个时候点 c， 它是不是在反比例函数图像上？点 c， 既然在反比例函数图像上，我们是不是就可以得到二 a 加三等于 a 分 之 k， 然后点 e， 它也在反面内函数图像上，我们就可以得到三等于二 a 分 之 k， 对 不对？我们给它连立就可以了啊，连立这里我们就可以解得， a 的 值是多少， k 的 值是多少，都可以给它解出来。首先我们在算的时候，这对于这种啊，我们连立的这个方程怎么算？ 首先去分，把第一个式子给它整理一下，可以得到 a 倍的二 a 加三， 第二个式子可以得到六 a 等于 k， 你 看都和 k 相等，所以呢，我们就可以得到它和它是相等的， 也就是二 a 方加上三 a 是 等于六 a 的。 那这里同学们在沿草纸上计算一下 a 的 结果就可以了啊，那第一个结果啊， a 一 是等于二分之三的 a， 二是等于零的，但是这个零我们要给它舍去啊，这个零我们要给它舍去，为什么呢？因为点 b 它是关于 c d 对 称的点 e， 那 所以说 那点 c 它不能和点 b 重合啊。你如果说点 c 的 横坐标为零了，那它的坐标是不是变成零三了？是不是和点 b 重合了？那很明显不能和点 b 重合啊。所以这里我们要把这个零给它排除掉， 排除掉之后我们得到了这个 a， 一 是等于二分之三的，我们给它代入到这个式子里，这个六 a 等于 k， 这个数字里就可以求得 k 的 值。 k 就 等于六，乘以二分之三就等于九，这是第二分的做法， 一定要想办法去表示出 c 和 e 两点的坐标，给它连立方程解出未知数的值就可以了。

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂，欢迎来到满分数学九年级下册第一周，反比例函数 我们带着三个问题进入课堂，第一，如何判断反比例函数？第二，如何解决与正比例反比例有关的问题。第三，反比例函数有哪些性质应用？ 好，我们先来说一下什么是反比例，我们举个例子，一辆小汽车从 a d 开往了 b d， 我 们假设啊，它们的距离是单位，一 时要表示时间跟速度的关系。我们假设速度为 x， 时间为 y， 我 们就可以列出关系式了。速度乘以时间等于 路程，也是 x 乘 y 会等于一，我们给它变形下就可以得到 y 是 等于 x 分 之一 啊。那我们说，当两个变量啊，它们的成期是定值的时候，我们可以说这两个变量会成反比例关系啊。反比例关系，你说一个增加，另外一个就会减小，那所以成反比例关系。 当我们的反比的函数就是形如 y 等于 x 分 之 k 的 形式，其中 k 是 我们的常数，它不能为零啊，跟我们平常说的一次函数，那 k 是 啊，一样的，是都为常数啊。 其中呢，我们还可以把这个反比例函数的形式变形一下，比如两边都乘以 x， 把 x 乘过来就得到了 x， y 等于 k 乘积为一个定值的形式，这也是属于我们的反比例函数。 或者呢，我们知道 x 分 之一，它可以，它是等于 x 的 负一次方，所以我们也可以用负数次幂去表示啊，也是 y 等于 k 乘以 x 的 负一之方啊。这些都是我们我们反比例函数的一个表达形式， 那么看一下下列四中是不是属于反比例函数，如果是的话，我们把它 k 值也给它就说出来。好，第一个呢啊，是的， k 值为等二，第二个呢，也是 k 值为负六。第三个， y 等于负 x 分 之 t， 它是反比例函数吗？ 是的，此时 k 为等于什么？ k 为等于负态啊，所以 k 是 等于这个负态。那我们再来看 y 等于二， x 分 之一，它是反比函数吗？ 也是的， k 为多少啊？注意， k 是 等于二分之一一，它可以写成二分之一乘以 x 啊，对了，所以此时 k 你 可以放二分之一比 x 啊，所以 k 值为二分之一。 好，那么再来看 y 等于三， x 的 负一次方，是吗？哎，是的，它是用我们这的形式啊， y 等于 k 背的 x 的 负一的形式啊，其实 k 是 等于三，我们再看 y 等于 x 分 之一减二，这个是吗？ 啊，注意啦，这个就不是我们的反比函数了，因为我们说反比的函数要形容 x 分 之 k 的 形式，你后面不能再减，也不能加啊，不能跟别的东西。 最后 y 等于 x 减一分之二，是吗？啊，这个也不是我们的分母，只能是 x 啊，也不能带有别的东西啊，分母指的是 x。 好 的， 学会判断了反面函数啊，我们继续做下后面的例题，我们学会了判断一个反面函数了，我们来看下例题一，下列函数中哪些属于 y 是 x 的 反面函数啊？第二， 已知函数 y 等于 m 减二， x 的 n 平方减五啊，是反比例函数，则 m 会是多少啊？同学们，想想看，我们的反比例函数有哪几种表示形式啊，它是长什么样的，有什么限定好？同学们可以坐下，例题一，请暂停！ 我们来看例题一，第一题，判断下列哪些是 y 是 x 的 反比例函数。第一个啊，反比例函数是可以写成 y 等于 k 倍的 x 的 负一次方这个形式的，所以第一个是对的。 第二， y 等于 x 分 之四也是对的，可以写成 y 等于 x 分 之 k 的 形式。第三， x 乘 y 等于八也是对的，还可以写成 x， y 等于 k 的 形式啊。第四个不对，不能跟上加一啊，后面不能加一，五也不对。它的分母是 s 减一，不符合六 不对。此时 x 没有在分母是 s 减一，不符合六，不对。此时 x 属于我们的一次函数啊，是我们的一次函数， 七啊，七是对的，那它属于八呢？八也属于，所以一次函数的有哪些？一二三啊，七和八。 这我们再看第二条题，形容 y 等于 m 减二，括号 x 的 m 平方减五是 反比例函数，说明一样，它属于我们的反比例函数。哪种形式啊，是不是类比我们的这个形式？对了， 此数我们有什么要求啊？ k 不 能为零，且指数要为一负一这两个条件。第一个， m 减二，这个系数不能为零，所以说 m 不 能等于二。第二个，它的指数为负一， 所以我们可以算一下 m 平方减五等于负一呢？ m 平方就要等于四，所以 m 是 等于正负二，但由于它不能等于二，所以它只能为负啊。我们前面学习了反比例函数的解析式，我们先来看一下反比例函数的图像，以及它有哪些性质 范围的函数是形容 y 等于 x 分 之 k 的， 我们对于 k 的 正负会决定了图像的不同走向啊。我们会分为 k 大 于零和 k 小 零两种情况。 我来观察， k 大 于的情况下，这个图像会是经过一三项式的两条啊，叫双曲线，两条曲线叫双曲线啊，一条曲线在于第一项线内，第二条曲线在第三项线内。而且这条曲线的特点是 啊，它会两端可以无限延长，且无限趋近于。那右边这端会无限趋近于 x o， 但不会与 x o 有 交点。同样，左边这一端无限会无限增长，会趋近于 y 轴，但不会与 y 轴有交点。 好，为什么这双曲线它不会与 x y 的 有交点呢？我们回到这个解析式来看，我们要保证了这个式子有意义。那么这分母怎么样？分母是不能为零啊，对了，所以此时横坐标不能为零。 同样的，我们这式子可以变形，变形成为 x 等于 y 分 之 k， 那 么 y 作为分母，它也不能为零。 所以我们知道了，对于反面的函数来说，它的横坐标不会为零，正坐标也不会为零。也就是这两条曲线不会与 x 和 y 轴有交点，所以它们的形状都是只会无限期趋近于两个坐标轴，但不会相交啊。 如果 k 大 于零的话，那么它会是一三象限的啊，两条曲线。而如果 k 小 于零，它会位于二四象限的两条曲线， 那是这么样组成一个反比例函数。但我们来观察，如果在同一个象限内呢？在同一象限， 它的增减性是怎么样的？我们看留在第一象限，那么 y 会随着 x 增大而怎么样逐渐减小变小了。比如在第三象限内，也是 y 会随着 x 增大逐渐减小啊。 注意了，我们这么去形容它，必须要有个前提条件是在同一象限内啊。那我们再看一下，当 k 小 于零的时候，这两个图像会经过二次象限 啊，那么 y 会在同一个下限内， y 会随的 x 增大而增大啊。是，同一个下限内， y 随 x 增大而增大，也是需要前提条件在同一个下限内才能满足。这个条成了这波虚说 啊，这是它的图像的一个虚式。好，那我们再来看一下，它还会具有个对称性，这个图像 会关于圆点中心对称，比如说，第一象限的这一半支啊，会关于圆点对称。过来是到另外一半支啊，我们一般说都是 一支啊，另外一支啊，跟这样来形容它的曲线啊，一支曲线，另外一支曲线，它们是会关于圆点中心对称，而且呢，它们还会有轴对称的性质。会关于一三象限的角平分线 则对称啊，左右是对称的。同样的道理，它们还会关于二四象限的角平分线对称啊，第一象限的会关于第三象限的对称，不管是 k 大 于零好， k 小 于零好，它都会满足这个对称性 好，我现在学会了反比例函数的图像和性质，我们来看例题， 我学习了反密函数的图像与性质，我们做一下。例题二，已知反密函数 y 等于负 x 分 之三， 请问下列说法不正确的？是啊，首先我们要先去判断反密的函数 k 的 正负啊， k 是 这里说啊， k 是 负三呀，所以 k 是 小于零的好，首先，我们可以按下炸体键作答，请纳停。 我们来看例题二，下列说法问的是不正确的，我们先来探讨一下，第一个图像经过一逗号负三，那问我们经过某个点，我们就把它带进去，求啊，把负三一带去，看等式是否成立啊。当 x 等于一的时候带进去啊， y 就 会等于负的一分之三啊，等于负三没问题，所以第一个是对的。第二个图像位于二次象限，我们说当 k 小 于零的时候，图像位于二次象限。第三 图像关于直线， y 等于 x 对 称啊，我们说反比函数，它关于两条直线对称，一个是 y 等于 x， 一个是 y 等于负 x 对 的。 第四， y and x 增大而增大。那这里注意了，我们说要这么去说的话，必须有个前提条件，在同一象限内啊，一定要在同一个象限内部，它才能满足这句话啊， y x 增大而增大 啊，所以不是就也是递分相。我们来看一下法力函数的图像隐性质，我们来看一下法力函数它的增减性如何应用啊。 我们如果在同一个分子上，我们可以利用函数的这种增减性去比较横坐标的大小来判断函数值的大小啊。我们举个例子， 例如反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 它上面有两个点啊，而且呢，此时 x 一 是小于 x 二的，我们去比较它们的纵坐标的关系。这时候就要分类讨论了， k 大 于零和 k 小 于零的情况， k 大 于零情况，我们看，如果在负负半轴宇宙都在这第三象限这一分子上， x 一 小于 x 二的话，那么我们来对比一下啊，随便给一个对成来， x 一 和 x 二， 我们对接来，然后对应的横坐标再过来。纵坐标是 very well， 我 们可以明显看到，当横坐标比纵坐标小，横坐标比它小的时候，纵坐标呢，反而会比它大啊。 x 一 小于 x 二时候， y 一 会大于 y 二。但如果我们是在正半轴， x 的 正半轴啊，我们再找两个点啊， x 一 和 x 二，但我们对上来啊，对上来就是 y 一 是 y 二。 我们也可以看到，如果在正半轴的话， x 二比 x 一 大的情况下， y 一 比 y 二大啊，就是它们正好是相反的关系啊，这同一半轴它都是相反的关系。为什么？是因为 y 会随着 x 增大而减小？ 好，那如果是 k 小 于零的话，我们也比较一下啊，在我们的 x 的 负半轴 嗲了点啊。一个是 x 一 对过来是 y 一， 第二个 x 二对过来是 y 二啊。如果在负半轴的话，横坐标比它小，那么纵坐标也比它小啊。这个是 k 小 于列，其括号横坐标小，纵坐标也小，但在正慢走，我们看下，是否也是同样的道理呢？ x 一 对下来啊，对应的是 y 一， x 二对下来对应的是 y 二啊。我可以明确的看到， 横轴标比它小的时候，纵的八也比它小。说明在 k 小 于零的情况下啊， y 会随着 x 增大而增大 啊。这就在同一分支我们去比较大小。那第二种情况，如果是不同分支呢？我们要需要画一些图像或特殊值去比较啊。例如 k 大 于零的情况下，我们要比较 x 一 和 x 二，一个在负半轴，一个正半轴，这时候我们要去比较的时候，我们判断到 在负半轴，我任意取一个点 x 一， 它对应的外一一定是小于零的。而在正半轴，我任意取一个点二 x 二， 它的 y 二一定是大于零的，所以就很明显可以判断出来， y 二会比 y 一 大啊。如果一个在不同分子上去比较，同样道理，当 k 小 于零的时候啊，我们找一下 负半轴的点，它的横坐标大于零，而正半轴的点，它纵的标大于零，横负正半轴的点，纵的标是小于零的，所以我们就可以比较出 y 一 会比 y 二大 啊。所以如果在不同分值的话，我们可以通过画图去找到它们的大小关系，我们还可以去利用我们自己的增减性去确定一下函数值的个取值范围啊。比如，如果题目告诉我们自变量的取值范围，我们就可以去判断对应的啊， 我们的 y， 它的函数值的取得范围是多少。第一步，我们在判断之前，要先要知道函数的一个增减性，也就是说我们要知道 k 到底是正还是负。如果题目没有告诉我们，我们就要分类讨论 啊。如果题目告诉我们的话，我们就只要去判断可以了，用代数法啊，带入横坐标去求这纵的标或者是画图法去判断啊。我们举个例子，假如半径的函数 y 等于 x 分 之四啊，有一个点，现在呢， 对应的 x 在 不同的范围内，我们九度，它对应的 y 的 曲值范围啊。这时候也告诉我们 k 大 于零了，我们就直接划出来看啊。第一个，当 x 大 于等于一，一小于等于二的时候，我们可以通过划图分际，也可以带数字去计算啊，一等到我们对下来啊，对过来， 一的折带进去是等于四啊，二的折带过来是等于二，说明自变量在一到二之间的时候， y 的 指数范围是大于等于二，小于等于四 啊。第二个我们来看一下，如果 x 大 等于负二，小等于负二，一啊，同时都在我们的 第三象限的图像上，我们也是一样的画的图，负二和负一，我们给它对调来，好，当负二的时候带进来它会是负二，当负一的时候带进来是负四，所以我们就知道了， y 是 大于等于负四，小于等于负二的。 第三种情况，跨了两个分支了啊，它不再同一个方向了，跨分支了 说，如果这个范围是大于等于负一，小于零以及零到一之间这一段，当我们找到他两个短点，负一和一，我抓住这两个长点啊，负一跟一啊，可以再讲负一跟一。 好，这个时候我们来对比看一下，当它负一的时候带进来是负四，当它一的时候带进来是四啊，是四，所以此时它的范围在哪里呢？啊，注意了， 负一到零之间它是不是这样子的，在它下方啊，发现没有，是在下方，而在零到一之间 是不是在四的上方啊？哦，是这两个部分啊，它就不能像我们前面同一支的话是介于两个之间去这么去写了它一点什么呢啊？ y 会小会会大于等于负四 啊，小于等于负四大于等于四啊，会小于等于负四啊， y 会大于等于四 这个范围内啊，比四大的范围且比负四小的范围啊。这两个范围之内，我们一般要货去连接啊，货还会在负四以下或者是正四以上， 所以如果去跨了两个分支的话，我们都要注意了，一定要结合图像去分析啊。那么学会了利用一种正点性去分析啊，那么学会了利用一种三。第一题， 点 a， 二到负一，而二到 y 一 点 b， 五到 y 二，在反面一函数上，此时 k 是 大于零的，我们可以画出函数图像去比较。 第二题，负三到 y 一， 负一到 y 二，一到 y 三啊，在某一个函数图像上，且告诉我们 y 三是小于 y 一， 小于 y 二的，那么这的函数图像会是哪一个啊？一样的，我们可以把这几个函数图像大致画出来再去比较啊。同学们按下加减减键作答，请暂停。 我们来看例题三。第一题，反面利函数大致图像，我们先画一下啊， k 大 于零，在一三象限， 其中二和五都在正的部分，所以对应的二跟五，我们画出它的大致位置，对上来得到 y 一 和对应的 y 二，所以 y 一 在上方，谁快速判断 y 一 会大于 y 二？ 第二题啊，他要我们去找啊，负三负一一的时候，在某个函数上啊，他们的顺序会发现我们对比啊，横坐标逐渐递增的过程中，纵坐标的排序，它并不是 逐渐递增的啊，也不是逐渐递减的，而是有跳乱的关系，所以此时不会是 a 啊，一次函数一定是斜性的啊，那我们只能在 b、 c、 d 中去寻找 b 的 话，它是一个二次函数图像的话，我们也大致画一下，由于开口向上，那它是长这样子的啊。 那对于 v 零三 x 平方会符合这个条件吗？我们来对一下负三，负一和一一的时候， 由于二次函数它的对称轴刚好是 y 等于零，说明此时负一和一关于 y 轴对称，那么 y 二和 y 三应该是相等的关系，而题目中很明显它不相等，所以 b 也可以排除了。 好，那我现在就在 c 和 d 中去找啊， c 和 d 的 唯一区别就在于啊 k 指是大于零还是小于零的，那我们要看它符合我们的啊 k 大 于零的图像，还是符合我们 k 小 于零的图像 啊？我们其实可以看到，如果在同一分支同一半支的话，那同一半支一个是负三啊，负三一个是负一，那么对下来啊，如果是 k 大 于零下，我们对下来是 y 一， 要比我们的 y 二大呀， y 要比 y 大， 但是它不是啊， y 一 是比 y 二小的，那我们在啊 k 小 于零情况下，我们来对比一下负三啊，负一对过来 y 一 y 二，是不是 y 二大于 y 一 啊？好，我们再拿第三个来验证一下，当 x 等于一的时候，对下来好，是不是 y 三最小，所以符合，我们选的是低分项。 我们做完 d t 三，再来这道 d t 四啊，已知 ab 两点的横坐标啊，都在这个状卷上写 y 要大于 y 二，那我们要求做 m 的 曲折范围。 首先我们要可以画出图像啊，画一图像去判断一下，如果 y 一 要大于 y 二，且它横坐标是负一和二的情况下，到底 k 是 要比零大还是比零小能够符合啊？我们可以通过这样去判断出这个 k 的 大小啊，再去判断 m 的 范围。 请按下暂停键作答，请暂停，我们来看例式，请不告诉我们 a 是 横轴半为负一啊， b 的 横轴半为二， y 一 会大于 y 二。我们的二专曲线其实就是我们的反面的函数，它有两种情况， k 大 于零的时候呢，还要 k 小 于零时候， k 大 于零和 k 小 于零。不管怎么样，它们一个是在正半轴，一个在负半轴，所以我们也判断出来了，此时 y 一 要大于 y 二，说明 y 一 要带正半轴，而 y 二要带负半轴，这样才符合啊，我们对过来这个点才会符合 啊，那就是属于我们过二四象限这样的图像是符合条件的，我们就能判断出来此时的 k 要小于零了。那此时的 k 指的是什么？ k 指的是三加二 m， 你 说三加二 m 要小于零，我们一算一下啊，三要小于啊， 二 m 要小于负，三 m 要小于负二分之三，我们就求出来了，选 d。 我们接下来看值基中考题啊，来自湖南省的一道题目，已知实数 ab 满足 a 减 b 等于一，以及 a 平方减 ab 加二大于零，则当 x 介于一到二之间的时候，函数值的最大值和最小值之间会差一来求作 a 的 值。 好，这道题中，我们要先去根据前两个信息判断一下 a 的 一个范围好，判断好范围之后呢，我们再去讨论一下一到二之间的时候，它的 y 值会是多少，再去利用叉值为一去比较 好。所以我们可以按下暂停键作答，请暂停！ 我们来看此题，动好题目。首先告诉我们， a 减 b 等于一，以及 a 平方减 ab 加二大于零，我们对于 a 平方减 ab 加二进行化减一下 啊，这个大于零，我们可以在前面提取一个 a 出来，得到了 a 减 b 加二大于零。由于题目告诉我们， a 减 b 是 等于一代减来谁得到 a 加二大于零，也就是 a 要大于负二， 我们判断出来了 a 的 一个初步范围是大于负二，但由于它是个反比例函数，就要考虑 a 小 于零和大于零的情况，所以此时我们还是要分类讨论。第一种情况， a 是 小于零的，但是他必须要大于负二这个范围内，你说这个函数呢？ 它是经过我们的二次象限的最大值和最小值，发现一和二都在同一只，所以说最大值最小值就是当我们一和二带进去的时候。 好，我们可以先算一下一跟二带进去的时候，中标分别为多少啊？当 x 等于一的时候，做对八为 a， 当 x 等于二的时候，做对八为二分之 a。 那由于 a 小 于零的情况下，那么此时最大值会是二分之 a， 最小值会是 a， 所以 我们利用二分之 a 减去 a 得到一，可以求出来 a 等于负二， 负二不在我们一开始的前提条件内范围内，所以要舍去答案，要舍去。第二种情况，当 a 是 大于零的时候，此时啊，我们的 a 就 要比二分之 a 大 了，也就是 a 得到 a， 要减二分之 a 等于一， 那它会比它大。求出来 a 是 等于二，那 a 等于二的话，在我们 a 到大于零的范围内，所以它保留。所以答案就是啊， 好，回头你们这几节考察结合了我们解不等式，以及结合我们的反比例函数的一个增减性啊啊，这里话你也可以画出图像，如果同学觉得不熟的话，也可以画出图像去判断它的增减性啊，也是没问题的。我们这节课学习了反比例函数， 学习了反面例函数的解析式，它有三种形式啊啊，可以是 y 等于 x 分 子 k 的 形式，或者是 x 乘 y 等于 k， 或者是 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方。 这三种形式都要强调 k 是 不能等于零的啊。第二，对于方便利函数来说，我们根据 k 的 正负可以知道方便利函数它位于第几象限啊，如果 k 大 于零，它是位于一、三象限， k 小 于零，则位于二四象限。 第三，我们可以利用其增减性啊来判断函数值的大小。如果在同一分子上的话，我们发现 k 大 于零的时候，同一分子是 y x， x 增大而减小啊。 如果 k 小 于零的话， y 会随着 x 增大而增大。所以，如果在同一分支，我们可以直接判断其横坐标大小来决定函数值大小。如果是不同分支的话，就要注意用图像法啊，找到位置或者是用特殊值法去求解。 第二，我们还可以用增减性来确定函数值的一个矩值范围啊。注意，如果题目中没有告诉我们 k 的 正负，我们要先去分类讨论 k 大 于零， k 小 于零情况， 然后再去结合图像啊，以及我们带入确定的函数值去求减。以下呢，就是本节课的全部内容，大家记得及时复习巩固啊，拜拜！

中考反比例函数小题基本每年都考，最常考的就是 k 的 几何意义，说核心过双曲线上任意一点向 x 轴， y 轴做垂线与坐标轴围成的矩形，面积等于 k 的 绝对值。注意，是矩形不是三角形，如果连上圆点拼成三角形，那面积是 k 的 绝对值。除以二， 每年都有大坑。描述反比例函数增减性时，一定要说在每个象限内，不能笼统说 y 随 x 增大而减小，当 k 大 于零时，每个象限内递减， 但跨象限不能比，比如 x 等于负，一时比， x 等于一时小，但跨象限比较是不对的那一种。考法 给面积反求 k， 注意 k 的 正负要看双曲线在第几象限，口诀见垂线降垂线，面积就是 k 的 绝对值。说中减加象限，跨了象限就完蛋。关注小何老师，轻松掌握考点！

这节呢，我们对反比例函数做一个小解与复习 啊，现实生活中反比例函数关系啊，我们归纳和抽象成为啊，纯数学的反比例函数，它的一般式是 y 等于 x 分 之 k 啊，那么它的图像和性质呢？它的图像是一个双曲线啊，那么根据 u k 代零和小于零的不同啊，它分属于不同的象限 啊。呃，这个反比例函数 y 等于 s 分 之 k 的 图像啊，性质啊， 在实际应用当中呢啊，构建这个反比例函数相适合的啊，构建相应的反比例函数数学模型啊，在实际当中进行应用啊， 好，反比例函数的概念定义定义啊，形容 y 等于 x 分 之 k， k 为常数且 k 不 等零的函数呢，成为反比例函数啊，其中 x 成为自变量， y 是 x 的 函数， k 呢，是比例系数。 那么这里提醒一下， k 是 不等于零的啊，如果 k 等于零的话呢， y 也等于零啊，那这就没有啊，进一步探讨的这个价值就不大啊。第二点呢，自变量 x 啊，是不能为零的啊， x 如果为零的话呢，这个没有意义啊，同样是没有意义。第三个函数啊， y 也是不等于零的 啊，这这些呢，在啊，在这个函数图像上，尤其是自变量 s 不 等于零，以及函数值不等于零，在函数图像上就有所体现。 反比函数图像和性质反比函数图像呢啊，它的图像是双曲线啊，且关于原点是对称的 啊，无论是 k 大 于零的这个双曲线在一三象限，还是 k 小 于零的在二四象限啊，那么 它都是双曲线啊，并且这两这个双曲线就是两个线啊，分属于两个线，两个线都是关于啊，原点是对称的 反比的函数的性质啊。当 k 大 于零的时候，这个我们看着这个图像就知道啊，在 啊，负半轴， s 的 负半轴呢啊和 x 的 正半轴这两部分呢，都是随着自变量 x 的 增大，函数值是在减小的 啊，每个象限内啊，随 s 增大减小啊。 另外呢，一三象限呢， s y 是 同号的啊，二四象限呢啊， s y 是 一号的啊，并且呢，在每个象限之内呢，它都随着 s 增大， y 值随着增大啊， 反比例函数比例系数 k 的 几何意义啊，它的几何意义呢？就是啊，反比例函数图像当中的任意一点，如果是像两个坐标轴 呃，做垂线的话啊，和两个坐标轴之间所围成的这个面积值就等于，呃，比例系数 k 的 绝对值啊，就等于比例系数 k 的 值，绝对值 啊，规律过双曲向上任意点向两坐标轴做垂线啊，一条垂线与坐标轴 x 圆点。

再来看反比例函数的图像与性质，反比例函数的表达式是 y 等于 x 分 之 k 啊， y 等于 x 分 之六的图像。首先要列表， 当 x 等于负三代入的时候， y 等于负二，当 x 等于负二代入的时候， y 等于负三依次代入分别得负六 六三二。好，那这些呢？就是他的坐标，我们现在来画平面直角坐标系 负三负二，在第三象限，负二负三，负一、负六一六 二三三二。好，然后从左往右把这一点依次连起来， 那我们就知道，所以对于这个反比来说， y 等于 x 分 之六，他的第一项线和第三项线都有图像，并且都是从左往右下降，从左往右下降的。

来经典题型，一次函数加反比例函数，这个题不难，但是有点唬人，为什么这么说呢？你看这个题，一次函数里有一个代数，函数反比例函数有一个代数， 那正常情况下，我们知道分别知道一个点的坐标就可以求，但是问题是这里一个点的坐标都不知道，他告诉，反而他告诉你的是 两个点的横坐标，没有纵坐标，所以很多同学看到这就不会做了。哎，我只知道横坐标，会发现带到两个函数里面， 嗯，都求不出纵坐标来，那这个题他就不敢做了，就不敢下手了啊。如果在考试中呢？嗯，你这个题做出来，他是很影响心态的，为什么？因为这个题他肯定不是最后一个题，你看他就两问，而且这个题的第二问其实是很简单的 啊，如果在前面的题，你会发现第一个你就做不出来呢，那你就这个心态就有点崩了啊。所以说这个题很关键，在考试的时候必须得做出来 啊，看一下，那我们最主要的是把这个两个点的横坐标用上，那这里还是以前那句话，为什么很多同学他这个题做不出来，其实就是不敢做，不敢写啊。我们只要，其实我们只要把 a 和 b 的 这两个点的横坐标分别代入到一次函数 或者反比函数，无所谓，带哪个都行，就可以得到。记住，举举个例子，假如说你这里带入了一函数吧，你就可以得到点 a 的 坐标， 点 a 的 坐标就是横坐标，不是六吗？把横坐标是六，带进去就是纵坐标，就是六， a 加四。同理，点 b 的 坐标也是一样的，二带进去是二， a 加四。那你现在你看我们现在是不是就把 a 和 b 的 坐标分别用含有 a 的 一个代数式表出来了，这样你再把因为点 a 和点 b 含在反比的函数上嘛，所以你再把这个点 a 和点 b 代入反比的函数就可以了，也就是六 六 a 加四就等于六分之 k， 二 a 加四就等于二分之 k。 其实这里无所谓哈，你先带后带哪个无所谓，你只要带进去，这个就能做。 嗯，然后这个这里你看就演演变成了一个二元一次方程组，你解出 a 和 k 来就可以了。那第一问做出来了，其实这个题第二个就没有难度了。第二问我大概讲一下哈， 嗯，设直线 ab 与 x 轴， y 轴交点，求三角形啊。这个第二个很简单，只要你 ab 两点求出来了，这个 e 函数的解析式是不是求出来了 啊？ e 函数解析式求出来了，那你点 c 和点 d 的 坐标不就求出来了吗？因为点 c 的 啊，纵坐标是零，你把 y 等于零代入就可以了。点 d 的 横格表示零，你把它的横格表示零带进去就可以求出纵格表来啊，然后就面就求出来了。第二问很简单，其实啊，这个题最大的问题在于，如果你第一问做不出来，那在考场上它是，嗯，很干扰心态的。 那第一问的秘诀在哪呢？也没有什么秘诀，就是要大胆一点，大胆做，你不要光在那想做题的时候，不要光想，你要去动笔去写啊，去尝试，去试错 啊，很多题你会发现，你敢于试错，你就能做出来。所以说，我讲完之后，你会发现这个题难吗？不难，也没有什么技巧，你让你这么做，你也会做， 但是为什么考试的时候这种题他很多人做不出来？就是因为他不敢做啊，被这个第一问吓唬住了啊？被这个题目吓唬住了，所以他就做不出来。那你这次考试可能相对来说考的就不好。