六下数学冀教版图形与几何课堂笔记

别人的视频平平无奇，博轩视频带你学习，今天博轩来给大家分享一道六下数学期末复习图形，允许和。首先咱们读题，一根铁丝可以围成一个半径是三厘米的半圆，这根铁丝有多长？ 它所围成的半径的面积有多大？首先咱们来画下关键词，第一个是三厘米， 很多同学做这种题都会出错，今天同学来呃给大家讲解一下，他们都会出错，呃，在求半圆的周长。 首先同学们，我们半圆，我们圆的周长是什么呢？是不是 r 配 r， 那 我们求半圆是不是配 r， 配 r 是 哪部分呢？配 r 就是 这到这同学们都会漏算这里的直径， 因为它是一个封闭图形，所以我们要把这个直径加上，然后我们来算一下这个呃面那个它周长是多少？周长， 呃，三点一四乘以三， 加上我们这里的直径，直径是直径，也就是三乘以二， 也就是十五点四二。 然后我们再求面积，面积的话他就没有那么弯弯绕绕的面积就是用我们呃圆的面积再除以二就可以了。圆的面积是什么呢？是不是派压方，也就是用派压方除以二。然后我们现在来求下面积， 面积是用三角一四乘以三个平方再除以二，就等于十四点一三 平方厘米。呃，所以这道题我们需要答一下，它的周长是十五点四二厘米，面积是十四点一三平方。呃，厘米，同学们，你们听懂了吗？

大家好，我是妈帮六年级老师。严老师，今天说一下六年级下数学，嗯，核心的要点， 一、圆柱和圆锥也是图形与几何一、圆柱，嗯，有两个完全相同的圆形，底面及侧面组成，有无数条相等的高，侧面沿高展开之后是长方形，这个长方形的长就等于底面的周长宽等于高。 那我们来说一下公式，测面积就等于底面周长乘以高，嗯，也就等于半径乘以二，乘以派乘以高。也等于直径乘以派乘以高。那我们的表面积其实就是测面积加两个底面积，嗯，写成公式的话，就是二派， r 的 二派 r 乘以高，加二 r 的 平方乘派乘以二， 那体积的话，嗯，是底面积乘以高，也就是半径的平方乘以 pi 乘以高。我们在做题中会遇到的情况，比如屋盖的水桶需要一，需要一个侧面加一个底面， 比如烟囱，嗯，只需要算它的侧面积，那我们在做题当中也会遇到，嗯，就是知道体积要求表面积，或知道表面积要求体积的公式转化。 第二个，几何图形圆锥，他的特点是由一个圆形的底面，侧面是曲面，只有一条高是顶点到底面圆心侧面展开图是一个扇形，他的体积公式是三分之一乘以底，面积乘以高，嗯，那 我们也可以在等底等高时，圆柱和圆锥在等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。那易错点呢？在计算圆锥体积时，容易漏掉去乘三分之一已知体积的高度啊。球体面积是忘记乘以三， 嗯，第二点，比例，嗯，数与代数，嗯，第一个就是比例的意义和性质，我们的比例表示两个相等比的式子，比如说 a 比 b 就 等于 c 比 d， 那 基本性质就是内向肌等于外向肌。 那解比例的时候，我们要利用比的基本性质转化成方程去求解。比例尺呢？嗯，是图上距离比，实际距离就等于比例尺。首先我们要单位统一，常用的是厘米，嗯，线段的比例尺 可相互转换。图形的放大与缩小，按相同比例放大缩小，形状不变，大小改变，对应边成比例。 那接下来第三个要点就是正比例和反比例。正比例的特点就是两种相关联的量，嗯，比值商一定， 那他们两个就成为正比例，那按照图形来画的话，从原点成为一条直线，嗯，比如说速度一定是路程与时间成正比例， 接下来反比例的特点，两个相关联的量乘积一定是，嗯，图形是曲线，嗯，比如说是路程一定是速度与时间成反比。判断方法，首先看是否关联，然后看比值或乘积是否一定。 如果是笔直一定的时候，那就是成正比，成极一定的时候，那就是成反比。第四个要点，图形的运动，那我们的图形运动呢，分为平移，旋转，嗯，还有就是，嗯，轴对称。 平移图形，嗯，各对应点，平移方向距离相同，大小不变。旋转三要素，旋转中心方向方向是逆时针旋转呢？还是顺时针旋转角度，常见的是九十度和一百八十度， 在方格纸上按要求作图。还有就是轴对称，图形沿对称轴折叠后，两边完全符合，找对称点画对称轴，那接下来我们经常六年级下册见到的是平移旋转轴对称是一个综合应用的。 我们的第五项重点就是总复习，也就是要把我们的小学段的各个知识都要在六年级复习一遍。 你像数以代数，那就是要分清楚整数、小数、分数、百分数、负数的意义及其运用，嗯，计算率，嗯，与剪变计算，嗯，下来就是我们的几何图形，几何图形又有平面图形要求它的周长和面积， 立体图形要求表面积、体积图形的运用与位置。然后还有就是我们的统计与概率，嗯，数据，数据的收集、整理、分析，嗯，可能性的大小。 接下来就是解决问题的策略，比如说画图，列表，嗯，假设还有转化等。那我们的六年级的核心易错点有哪些呢？一个就是圆，追求圆锥体积时，容易忘记漏掉乘以三分之一 元素的表面积区分，要区分有盖、无盖或者是通风管道，它两边都是无盖。接下来就是比例尺，在算比例尺时为统一单位， 就直接进行计算，图形的放大和缩小按边去计算，而不是按它的面积或体积去计算。嗯，正比例和反比例的判断容易混淆， 一般我们正比例判断是比值一定，反比例判断是乘积一定，那负数的比较绝对值越大，数值就越小，比如说负八小于负五。 那今天我就给大家整理到这里，后期，嗯，还有一些核心要点，我也会陆陆续续的在我们的马拉帮平台上发出来，谢谢大家。

首先我们来看一幅图，这是一幅公园的施工图。好，我们看一下图中的这个工人在刷漆。 好，这个工人在圆柱形的水池装水。好，那么这些工人需要知道哪些有关图形测量的数据呢？先来说一说，好，问，这件图的是圆柱的侧面积 好，还有没有看完？喷水是喷的，圆柱的体积需要求圆柱的体积好，谁来再说一说，那你看这个在干嘛？ 围篱笆对不对？那需要什么？需要知道它的周长长度对不对？好，那么这些工人在施工的时候，他需要测量的这些数据都跟我们今天复习的图形有关系。 好，那么在我们测量的时候，一般都要有有单位，第一个测量的是长度，第二个测量的需要面体单位好，第三个测量需要体单位好，第四个是我们的两角对不对？好，那为什么要统一的单位呢？ 谁来说一说单位为什么好？谢敏婷，单位不等于就计算不了。好，我们来看一下单位的产生。在生产与生活中，人们经常要量物体的长度，测量土地的面积， 计算物体的体积等，这些量不能直接数出来，我们除了数据还要单位对不对？ 必须要用一定的量做单位来计量长度，有长度的单位面积，有面积的单位面积，能不能用长度的单位？不能，他们是不同概念的。好，所以我们就会产生了长度，单位面积，单位体积单位角度单位等等。 好，我来继续来看一下相邻的长度，单位面积，单位体积，单位之间的净率，我们已经学习过了。好，昨天也布置大家去整理一下。好，那我们来找一找啊。好，郭康亮，你可以说一说，上来动作快一点啊，好，看一下郭康亮的整理，就你的整理跟大家说一说。 毫米的距离是一千米和分米的距离是十，分米和厘米的距离是十，后面还有一个是毫米的，毫米的距离也是厘米到毫米是十。好，第二个是面积单位来 平方千米和公顷的净率是一百，公顷和平方米的净率是一万，平方米和平方分米的净率是一百，平方分米和平方厘米的净率是一百。那到体积立方米和立方分米的净率是一千，立方分米和粒 立方厘米的净率是一千，升和毫升的净率是一千。好，掌声送给他，好，回到位置上去。好，我们接下来那么我们展示一下啊。 好，长度单位，面积单位，体积单位是我们今天要研究的比较重要的一个单位测量。好，那么接下来 你还记得这些平面图形的周长和面积公式吗？比如说第一个长方形，还记得不？长方形，我们当时是通过找一个一平方厘米大小的正方形的格子， 然后去铺在上面数小正方形的个数，想起来没有。好，那如果是小正方形的个数有多少个，就代表长方形的面积就会有多少平方厘米。好，所以在过程中我们观察到 每排的个数就是长方形的长排数就是宽。 好，所以我们得到长方形的面积，它就是等于长乘以宽。我们的正方形也是如此，通过一平方厘米的格子来平铺它，所以我们当时是有数格子的，还记得不？ 通过数格子来的也得到正方形的面积是边长乘以边长。好，那么接下去我们又学了平行四边形， 那它面积是怎么推打的？来？切割法是不是好？切割法，我们展示一下啊。切割法怎么切左 边，左边的三角形剪下来形成长方形，也就是说这个平行四边形的面积可以转换成一个长方形。好，那么长方形的长就是平行四边形的长， 长方形的长是平行四边形的底，长方形的框是平行四边形的高，那长方形的刚才面积是长乘以宽，所以我可以得到平行四边形的面积是 高。好，我们底喜欢用什么表示？底？ a 好 高，用 h 来表示，所以可以得到 s 等于 a 乘以 h。 好， 那么我们长方形它是等于长乘以宽，这个 a 表示长，这个 a 表示在平行四边形里面，表示底。好，正方形是 边长乘以边长，就可以写成 a 的 平方， a 的 平方。 ok， 好， 我展示了一个平行四边形的。啊，那接下来三角形我让其他同学来说好，谁来说一说三角形 面积又是怎么推打出来的？好，张莹，三角形的面积是由两个同样的三角形，然后把它拼成一个平行四边形，之后再把那个平行四边形转化为长方形，再用长方形的面积去除以二留出来的。也就是说， 平三角形的面积是通过把用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形， 是两个拼成一个平行四边形，那一个平行四边形的面积 s 等于 a， 那 一个三角形是多少？ s 等于除以二，除以二。 好，那我们来看一下刚才张颖所说的，我们用动画来展示一遍，两个完全一样的，这是我们的关键词啊，要完全一样。好，可以吗？ 可以，我们把知识回顾一遍啊。接下来梯形呢？好问，这些，我两个完全一样的梯形拼在一起就变成，又把梯形转化成平行四边形。好，你做这个方式跟我这个课间上所做的方式是一样的。我们来看一下动画， 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是底乘以高，那这时候这个 平行四边形的底是原来梯形中的下底加上底，所以它就变成上底加下底乘以高。但是有几个梯形？ 两个，所以还有一个除以二。所以我们的梯形依然是通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形， 所以我们这两个的面积可以通过平行四边形得到。好， s 等于上底加下底乘以高，除以二， 除以二就是二分之一，可以接受吗？可以。好，刚才也找了一些同学的思维导图啊，我们来展示一下。陈青桐，来，你来说一说。好，你的当时做的时候你是怎么想的？这样的一个分支，首先是把它们分成每个图形，再把它们的面积还有周长 的公式列出来，我看到上面还有个母的意义，字母的意义，我们这个是已经公式化了，每一个字母 a 在 不同的图形中所代表的是不一样的。好，我还看到了他加上了图形分支。 好，这个是正方形，字可能比较小啊，这个正方形平行四边形，他加上了图形就显得更形象了。因为有些同学的这个思维导图依然都是以文字，纯文字的公式都很少，或者是文字太多了，那这样看起来的思维导图清晰不？ 不够清晰，我们做思维导图就是拎出关键的好。我们的平面图形除了前面所学的 东中段学所学的，我们到六年级的时候还加入了一个圆圆，它是一个曲线的图形。好，那谁还记得圆当时面积是怎么推导出来的嘞？ 想想相对来说还是一个难点。圆的面积，当时我们也是通过转化的思想转化成什么图形了？好，来牛掌中是把圆形转化为长方形，转化成再说的标准是径是长方形。是不是我们用到了一个 极限思想，用到了一个极限思想，也就说我们是近视，他是一个长方形，如果分到无限小的时候，把它分成无限小的时候，再拼起来，他就更接近一个长方形。好，但是有一个难度，当这个图形把它拼成一个长方形之后， 长方形的长、长方形的框分别代表什么？这是我们当时解决的一个难点，还记得吗？我们把每一块可以拼起来，拼的过程中不难。那现在拼完之后， 要通过长方形的面积公式推导出平圆的面积公式，那长方形的面积公式就是跟边长和宽有关系，那我得观察他的长和宽，还原到圆当中是哪些部分。长方形的长是 这句话有毛病，半圆的周长还是圆周长的一半，圆周长的一半。我们当时半圆的周长是包括直径，包括下面一条直径，所以应该是圆周长的一半。好，刘展聪，请坐 好，我们来看一下这一条长方形转化之后，长方形的长是圆的，周长的一半，要说清楚啊。好，那么长方形的宽呢？长方形的宽是圆的半径，可以吗？可以。 好，那这样子的话，通过长方形的面积，它是等于长乘以宽，那就是派二乘以二， 两个 r 相乘，我们可以改写成二的平方， pi r 平方，所以圆的面积公式是 s 等于 pi r 平方 r 是 它的半径。 好，那这样的一个过程可以接受不？可以。好，那我们复习到这的时候，把平面图形的面积讲完了，那我们看一下立体图形 从平面上升到例题，他们之间有没有联系和区别呢？首先，立体图形他绝对不止一个面，对不对？ 好，那立体图形他涉及到的不再是面积，他涉及到的应该是体积，是一个。还有呢？表面化，长方形的表面积应该计算哪些地方？他的六个面， 六个面的面积之合。好，那六个面面积之合可不可以求出来？ 可以。好，写一遍，打开单行本，六个面的面积之合，那就要把六个面面积分别求出来，写清楚。圆柱的表面积， 那圆柱的表面积包括哪些？表面和两个面，上下两个底面加中间一个是侧面，侧面是一个曲面，要怎么处理？展开展开，变成一个长方形，那就涉及到这个长方形的面积就是它的侧面积，那长方形的面积跟长有关，跟宽有关啊， 那它的长是底面周长？ ok， 那 它的长是它的高。好，继续接。好同学，请举手啊， c h。 没错，那 c h c 呢？ c 周长是等于什么？圆的周长？对，那你把它改的更细一点。好，写。好同学请举手！对的，如果有忘记的，可以互相沟通一下， 或者帮助一下同学，好的同学可以交换看一下，看找一找。我们这个公式表达过程中是不是有些是不够完美的？比如说数字和字母在一起的时候，比如说两个完成完全一样的字母相乘的时候，有没有更简洁的表达方式？ 我们已经复习了字母表示数啊， a 乘 a 乘六，怎么那么繁琐呢？六 a 平方不就搞定了，是不是？可不可以改写成六 a 平方好表面积。我们刚才看到了，大部分同学刚开始写的时候会有停顿，但是写完长方题后面就写的很顺， 是不是？所以这个还需要大家回去用思维导图去理一理，让自己的思维更清晰一点啊。好，我们刚才在看的过程中基本上都能够写的出来，但是又看到几个答案依然是如此的答案，大家一起看一下 好，比如说乘正方体的表面积， a 乘 a 乘六，你觉得哪个答案？嗯，这个答案够完美吗？就是这个，就是 a 的 平方，再乘以六，数字和字母相乘的时候，就可以写成六 a 平方， 那这就是正方体的表面积。好，正方体好，那么长方体的表面积公式是， a， b 加上 h， b 加上 b 乘，括号乘以二，为什么乘以二？ 上下面是一样的，前后面是一样的，左右面是一样的？好，那圆柱的表面积是 二派二连雪茄二派二平方是表示什么？两个底面是圆形，完全一样的圆，所以是二派二平方，再加上侧面， 侧面展开是一个长方形，好，侧面的面积等于二，二派二 h， 其中二派二是圆底面，圆的周长。好，那什么叫体积？我们立体图形才涉及到体积。 什么叫体积？物体所占空间的大小。好，这是一个立体图形，在这个空间里面，他所占的物质的大小就是他的体积。好，那这样子接，接下去写，把他们的体积公式都写出来。 体积，我们用字母什么来表示？ v， v 好， 谁来说说体积？三种图形，图形的体积长方形的体积等于 a， b， a 乘 b 乘 h， 好， 正方体的体积 a 的 一层， a 的 a 的 地方就是 a 乘 a 乘 a， a 的 地方好，长方体的体积是 abh， 好， 还有一个圆柱的体积太二平方， h， 好， 这三个 立体图形之间体积有没有个联系？都是可以表示成底面积乘高， a 乘 b 的 时候就是一个底面积， a 乘 a 的 时候有一个是底面积，再乘以高，因为它每一条棱长都一样。好，派，二平方就是我们的底面积，所以他们的公式都可以归结成 v 等于 s， h 好，刚才也寻找了一些同学的昨天晚上关于立体图形的一个思维导图的运行。啊，有几张图片非常漂亮，我们也来欣赏一下。好，这个是张宁同学的作品，给你们看起来感觉是简洁舒服。好，能不能看清楚？ 你看立体图形，他分成正方，正方体和长方体他放在一块，而且有句话，正方体是特殊的长方体，这个我们都复习过了啊。好，那么也说出他们之间的区别和图形的一个特征。

我是环球教育刘老师，今天呢，孩子们讲一道六年级下册第三单元几何图形一道奥数题。先来看题，如下图，在长是三十厘米，宽是二十厘米，高是十五厘米的长方体中挖去一个半径为五厘米的半圆柱， 求剩余几何图形的表面积是多少？这个图呢，其实很清晰啊，我们首先呢来分析一下这个表面积图的表面积，它是由多少部分组成的？首先我们来讲下面是不是有一个底面， 下面是不是有一个底面，然后左右是不是有两个侧面？那前后呢，是不是也有两个面？但是这两个面你看这挖去了一个半圆，后面挖去了一个半圆，也就是前后面还要再减去两个半圆，是不是可以堵成一个圆？那最后再看上面，上面是不是这有一个 长方形，这也有一个长方形，最关键的是中间是不是还有一个侧面？记的一半？ 好多呀，我们一步一步来分析啊，首先来算左右，那你看他的长是三十，他的高呢？十五，所以来写一下算式啊，三十乘以十五，这是算出一个面， 我把这个面先打上对号啊，如果我要再乘以二来，是不是？哎，左右都算了，这个是左右，那继续再加上加上底面，底面长是三十，所以三十 乘以二十，是不是就是底面了？那我乖乖写一下啊，这个是左右两面，这个呢是一个底面，好，继续再加上，你看前面和后面，原本在没有挖去这个半圆柱的时候，他是不是也是一个长方形， 但是中间挖这一个，那我们就用两个长方形减去一个圆就 ok 了啊，好，前后它的长是二十，宽呢？宽是不是十五？所以二十乘以十五，再乘以二，这个呢，是前面和后面， 那前面和后面，但是咱说了，他挖了一个半圆，对，两头的半圆，这头一个，这头一个，所以两头就组成了一个圆，我们还要再减去一个圆，给出半径是五圆的面积，公式是派 r 的 平方， 派取三点一四乘以 r 是 五，也就是五的平方，那也就是再减去一个圆的面积。 好，那还有吗？是不是还有啊？上面是不是还有两个小的？所以我们再继续加啊，就算是有点长，乖乖，我直接在下面继续啊，加上上面两个长方形，他的长是不是三十？那我们来看一下，中间的半径是五，一共是二十，哎，说明他两个 是几啊，不就是十啊，所以我们来写一写啊，三十是长乘以它的宽呢，共是二十，减去，哎，这是不是有一个半径，半径是五，那直径呢？就是五乘以二了，能明白吗？ 所以这个就哎，上面的两个长方形。好，那还有嘞，还有最重要的就是这个半圆柱的一个侧面啊，是这个侧面是半圆柱嘛，所以是圆柱侧面的一半，对吧？继续加上 三点一四乘以用派 d h， 那 d 呢，就是五乘以二， 泰地再乘以高，高呢，高是不是就是三十？哎，关键的是还要再除以二啊，这一块呢，就是栏柱的面积的 一半哎，这个算式很长，从上面到下面，这是我们分析，然后给它列出来。那具体等于多少？这道题留给孩子们自己来算一下等于多少啊。这个题其实他难，倒不是说特别难，主要是 它的表面积检测到的面有点多，所以孩子们一定要认真先分析，看看哪个面你算过了，哪个面没有算。其实这个题你列综合算式是可以列出来的，当然有些同学呢，喜欢列分布算式都是 ok 的 哈。

跟着李老师走，思维不迷路，今天我们来看一道易考易错的应用题。 张师傅在铺地板时发现用八块大小一样的长方形瓷砖，恰好可以拼成一个长方形，如图一。 然后他用这八块瓷砖又拼出一个正方形，如图二， 中间恰好空出了一个边长为十二厘米的正方形 阴影部分。求长方形瓷砖的长为 a， 宽为 b。 好，我们来看第一个图，他用八块一样的瓷砖铺成了一个大的长方形，这个长方形的两个长是相等的，这一个长他应该是由 五个 b 组成，这一个长他应该是三个 a 组成，那对边相等。从第一个图我们可以看出， 小长方形的三个长应该相当于五个 宽，或者是我们得到长和宽的比，应该是五比三。 好，我们来看第二个图中间的阴影部分，它的边长为十二。好，我们看这一段的长应该是由两个 b 组成，那这一段的长是由一个 a 组成， 那从这里我们可以看出，两个 b 应该比一个 a 多十二厘米。 从这两个图里面我们得到了这两个关系式，那我们能不能把里面的 a 和 b 求出来呢？ 好，我们先看这个条件， a、 b、 b 等于五比三，那这里的 a 我 可以看到是五份， b 可以 看到是三份，那两个 b 减去一个 a， 那 就相当于是 二乘三份，那应该是六份，去掉 a 是 五份，去掉五正好是一份，那一份就应该是十二厘米， 那这里的 a 正好是五份。所以 a 的 长度我们就可以得到解决， 当然它的 b 的 长度，那就是三十六厘米。好，我们研究出了第一种方法，那这道题还有没有其他的方法来解决呢？ 好，大家看这个关系式三， a 等于五 b， 那 一个 a 等于几个 b 呢？ 等式的两边同时除以三，应该是三分之五个 b， 我 们把这一个 a 和 b 的 关系式代入这个式子，减 a， 用三分之五 b 换下来， 这样我们就得到了一个关于 b 的 一个方程， b 等于三十六，那 a 等于三分之五 b， 我 们就可以求出这个长方形的长来。 好，同学们，老师讲的这两种方法，你理解哪一种方法呢？你的想法和李老师一样吗？如果不一样，可以在评论区中畅谈你的方法好吗？如果你听懂了李老师讲的， 千万不要忘了把这颗红心点亮哦！点赞收藏加关注，不迷路，李老师帮你学！

哈喽，大家好，今天我们来分享一下平行四边形的存在性问题。对于这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据平行四边形的一组对边平行且相等，或者说是平行四边形的对角线互相平分来解决。 由于要先画出草图，如果考虑不周全的话，很容易漏解的，因此我们需要借助终点坐标公式来探究平行四边形存在性这一类型的题目。 那么首先我们先复习一下要用到的平行四边形的一些性质，第一条是对边平行且相等，第二条是对角线互相平分， 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在坐标系当中。如图，在平面直角坐标系当中，平行四边形 a、 b、 c 的 顶点呢？我们分别用 a 点的坐标 x a， y a 来表示，剩余三个点也是用同样的方法来表示。 那么我们根据对边平行且相等，可以得到图中的两个三角形，它是全等的，因此我们可以得到 a、 b 两点的横坐标之差，它和 c 到两点的横坐标之差是相等的，我们取正即可。 同理， a、 b 两点的纵坐标之差和 c 到两点的纵坐标之差也是相等的，因此我们可以得到 x a 减 x b 等于 x 到减 x c。 同理， y a 减 y b 等于 y 到减去 y c。 那么通过对角线互相平分的角度，我们怎么来理解呢？我们知道平行四边形，它的对角线是互相平分的，也就是说我 a、 c 的 中点，它 也是 b 动的终点。利用终点坐标公式，我们可以得到 e 点的横坐标呢，它可以表示为二分之一的 x a 加上 x c， 它的纵坐标呢，可以表示为二分之一的 y a 加上 y c。 同理， e 点除了是 a、 c 的 终点呢，它也是 b 动的终点，所以我们还可以用 b 动的坐标来表示点 e、 e 点呢，可以表示为二分之一的 x， b 加上 x 倒。同理呢，等于二分之一的 y， b 加上 y 倒，而 e 点它是同一个点，所以 它们的横坐标是相同的，纵坐标也是相同的，所以我们就可以得到下列的等式了。虽然由于两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一 结果的表述，可以化为同一种形式，即在平面直角坐标系当中，我们可以得到平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。 比如说，以 a、 b 为相对顶点的话，我们可以得到 x a 加上 x b 呢，它是等于 x c 加上 x 到 y， a 加上 y b 呢，它等于 y c 加上外到。总结一下过程， 第一步是把已知的坐标列一列，第二步呢，是把未知的坐标设出，然后呢，就可以分类讨论。 比如说这道题，我们 a 点的坐标是一逗号，二， b 点的坐标是五逗号，三， c 点的坐标呢，是三逗号。五到点的坐标我们是不确定的， m 逗号 n 好。第一类情况分类讨论，以 b、 c 为对角线的时候，那么可以得到 b、 c 的 横坐标之和等于 a 到的横坐标之和。 b、 c 的 纵坐标之和呢，等于 a 到的纵坐标之和。此时呢，我们会解出来这样的一组 m 和 n 对应分别是七和六，所以我们可以求出这样的一个倒点是七，倒号六。好，剩下的也是类似的一个方法。好，我们来看一下。第二种，两动两定 好。根据上面我们总结出来的步骤，我们可以先把已知的坐标列一列， a 点是已知的， b 点呢，是三，逗号二，他说 c 点在 x 轴上，那么 我们可以假设 c 点的坐标为 m， 逗号零，逗点呢，是在外轴上，所以我们可以设逗点的坐标为零，逗号 n。 这里要以 abcd 为顶点的四边形为平行四边形。所以我们可以分三类去讨论。第一种情况，当以 ab 为对角线时， 是不是有 ab 的 一个横坐标之和，等于 c 道的一个横坐标之和， ab 的 一个纵坐标之和，等于 c 道的纵坐标之和。我们可以解出来这样的一组 m 和 n， m 等于四， n 等于三，所以可以得到 此时 c 点的坐标是四，倒号零，倒点的坐标是零，倒号三，这是一组。第二种情况，当以 a、 c 为对角线的时候， 有 a、 c 的 横坐标之和等于 b 道的横坐标之和， a、 c 的 纵坐标之和等于 b 道的纵坐标之和。也可以解出对应的一组 m 和 n。 次式 m 等于二， n 等于负一， 也就对应的 c 点的坐标是二，逗号零，而逗点的坐标是零的号负一。好，最后一种情况，当以 a 道为对角线的时候， 可以得到 a 到的横坐标之和呢，等于 b， c 的 横坐标之和， a 到的一个纵坐标之和呢？比等于 b 到的纵坐标之和好，我们来看一下稍微复杂一点的题目。 已知给我们一个抛物线与 x 轴交于 a， b 两点 与 y 轴交于点， c 顶点为 p。 如果以 p， a、 c 到为顶点的四边形是平行四边形，求点到的坐标好。根据我们的 思路，第一步把这四个点当中已知的点列一列，未知的点设一设。 根据抛物线与 x 轴的交点，我们可以令 y 等于零，其中一个根是一，另外一个根是负三，所以我们可以得到 a 点的坐标应该是负三零， b 点的坐标是 一零，不过这里不需要 b 点啊， c 点是和 y 轴的交点，所以我们可以知道 c 点的坐标是令 x 等于零得到 y 等于三， 而 p 点是这个二次函数的一个顶点，我们不妨给他配方一下。最后得到的结果应该是负的 x 加一的平方， 再来加上四，所以我们可以得到 p 点的坐标是负一到号四到点是在平面上的，是未知的，所以我们不妨假设这样的点到为 m 到号 n， 可以设一设。然后呢，再去分类讨论。第一种情况是，以 a、 c 为对角线的时候，我们可以得到 a、 c 的 横坐标之和呢，是等于 p 道的一个横坐标之和。 a、 c 的 纵坐标之和呢，也等于 p 道的纵坐标之和。 由此可以得到对应的 m 等于负二， n 等于负一，所以可以推出道的坐标是负二的号负一。 第二种情况是，以 a p 为对角线的时候，那么就有 a p 的 一个横坐标值和等于 c 道的横坐标值和 a p 的 纵坐标值和等于 c 道的纵坐标值和。由此解出 m 等于负四， n 等于一到点的坐标是负四，道号一好。最后一种情况，以 a 到为 对角线的时候，可以得到 a 到的横坐标之和等于 c p 的 横坐标之和。 a 到的纵坐标之和呢？等于 c p 的 纵坐标之和。借出最后一组， m 等于 二， n 等于七，所以最后一个点到的坐标是二，逗号七。

同学们，这节课我们一起来研究圆柱和圆柱的侧面积，来看这里。老师，这里啊有一些物体，那我们来观察这些物体，你们能来说一说哪些物体的形状是圆柱？ 我们通过观察不难发现，那这里的易拉罐是圆柱，而抬也桶也是圆柱，这卷纸是圆柱形的，这段木头也是圆柱形的。 那我们再来观察这几个圆柱，我们看它们有什么共同的特点呢？我们通过观察不难发现，这几个圆柱形的物体，它的上下一样粗， 而且上下两个面它是大小完全相同的圆。 那为了便于观察，我们可以除去圆柱形物体本身的颜色、材质、图案等等因素，那么去除掉以后，我们就可以得到一个圆柱的直观模型，就像这里。 那我们再来想一想，在生活当中你还见过哪些形状是圆柱形的物体呢？ 对，像我们生活当中的蜡烛，水杯，还有我们压路机的滚筒，电池等等，它们都是圆柱形的物体。来观察这些圆柱形的物体， 圆柱有几个面，各有什么特点呢？请同学们拿一个圆柱形的物体先观察，然后再用手摸一摸它的表面。老师，这里也拿了一个圆柱形的冰淇淋，那我们把这个冰淇淋给它抽象出圆柱的模型， 我们观察这个圆柱模型，通过观察我们可以看出这个圆柱模型它是由三个面组成的。我们首先来观察上下两个面，我们发现上下两个面都是圆形的， 而且它们的大小是一样的，那么我们就把圆柱上下两个面给它起个名字，就叫做底面，而且它们是完全相同的两个圆。 再来看这里，这里还有一个面，这个面我们用手来摸一摸，发现它是一个弯曲的，那我们就叫它是曲面，那么这个曲面我们也给它起个名字，就是圆柱的侧面。 好，我们给它把这个侧面给它标出来。像我们再来观察这里， 我们通过观察我们发现圆柱上下两个底面之间他是有距离的，那我们就把圆柱上下两个底面之间的距离就叫做圆柱的高，而他的高是有无数条的，下面我们把高也给他标出来。 好了，我们认识了圆柱，知道了圆柱的特征，下面我们再一起来总结一下圆柱的特征，那圆柱有三个面，有无数条高，而无数条高它的长度是相等的， 三个面，两个底面是完全相同的两个圆，一个侧面是曲面。 好，我们知道了圆柱的特点，下面老师这里有一个长方形，那我们可以沿着长方形的一条直线进行旋转，我们猜一猜会形成什么图案呢？ 请同学们拿出长方形自己来试一试，下面看老师这里，老师这里是以长方形的长边为轴进行旋转， 那么通过旋转我们可以看出以长方形的长为轴，旋转一周以后，我们就得到了一个圆柱体， 那在这个圆柱体当中，这个长方形的长边就是圆柱的一条高， 而他这里的宽就是圆柱的底面半径。我们认识了圆柱，那我们来想一想，那圆柱他的侧面是什么样子呢？他能不能展开呢？下面我们一起来看一看。 老师这里啊有一个罐头盒，下面我们把罐头盒它的商标纸就像老师这里这样，沿着它的一条膏剪开，然后再展开。那同学们猜一猜这个商标纸是什么形状的呢？ 好，下面你们拿出剪刀，像老师一样一起来剪一剪吧，一定记住是沿着一条膏剪开。 好，下面来看老师剪的，那老师沿着一条高剪开，剪开以后把它展开。那同学们来看，展开以后这是一个长方形，那这个长方形的长与宽与这个的罐头盒有什么关系呢？ 我们通过观察不难发现，这个长方形的长就是圆柱的底面周长，而长方形的宽就是圆柱的高。 那再想一想，这个长方形的纸的面积与罐头盒的侧面积它有什么关系呢？ 圆柱的侧面积其实就是这个展开图的面积，也就是长方形的面积，它们是相等的。 那你知道怎样来计算罐头盒的侧面积吗？那我们来回一下，我们前面学过长方形的面积，长方形的面积等于长乘宽， 那长方形的面积就是圆柱的侧面积，而长就是圆柱的底面周长，宽就是圆柱的高，那长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面就等于底面周长乘高。 如果我们用 s 表示圆柱的侧面积， c 表示圆柱的底面周长， h 表示圆柱的高，那它的字母表达式就可以是， s 测等于 c h， c 又等于派 d， 所以 我们 s 测还可以等于派 d h， 而 d 又等于二 r， 所以 s 测还可以等于二派 r h。 好 了，那么我们一起来回一下这节课来学习的内容。那么在这节课我们认识了圆柱， 知道了圆柱是有两个完全相同的圆形底面和一个侧面围成的立体图形。我们还知道圆柱的侧面是一个曲面，他的两个底面之间距离就是这个圆柱的高，而他有无数条高。 我们还知道把圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开后就得到一个长方形，那么这个长方形的长等于圆柱的高， 那因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面积就等于底面周长乘高，我们用字母表示就是 s 侧等于 c h 等于 pi， d h 等于二 pi r h。 好 了，我们这节课就到这。

hello， 同学们好，今天这个视频呢，我们说一下技巧版的初中数学的第二张，这张的题目叫做几何图形的初步认识。 呃，这块知识点其实不算多，但是比较杂，而且期末考试的时候，我们包括月考的时候，我们会喜欢考这个动点问题，其实跟这一张的关联性相比的话，这张的关联性稍微大一些的啊。 然后具体的知识点我们就说总结一下，就主要是四个，第一个就是我们要掌握。呃，什么是， 就是一些图形的名字叫什么名字，长什么样子，比如说我现在这个随便去说一下啊，你们看看脑子里有没有概念，比如说什么是 圆，什么是矩形，什么是圆锥，什么是棱台，什么是 这个正方体，就是这些你要能区分开啊，有的是二维的平面图形，有的是三维的空间立体几何图形，这个要会区分。 好，这是第一个知识点。第二个部分要掌握的是啥呢？就是一些，这一张是一些基本概念。呃，比较简单，好理解啊，我，我就是挑几个重要的，然后咱们过一下，比如说两点确定一条直线，你们知不知道是吧？ 两点间的线段啊，距离是最短的，你们知不知道还有像什么是鱼角，什么是补角是吧？什么叫互鱼，什么叫互补，这个能不能区分开啊？什么叫角平分线 啊？这个都要知道啊，就这些东西包括什么同角的与角相等啊，这个同角的补角相等啊，这些基本的概念我们要了解啊，就是一些基本概念， 然后第三个，第三个就是涉及到，因为我们这张主要讲的是这个线段和和角吗？所以我们会比较线段的长短，还有角的大小。我认为这个地方其实就是第一张这个 比大大小的一个图形版啊，有的是以这个长度去出的，有的是以角度去出的，其实本质都是比较大小啊。我们上一张说过这个事，这个事其实不算难， 然后呃，这个地方有时候会出一些就是让你找数量关系的一些计算题，我们有时候呢可以通过采用呃，采用这个设一个字母的方式啊，去根据题干给的这个数量关系去列式，然后去解决这个问题。好，这是第三个知识点， 然后第四个知识点就是关于旋转这个事。我说一下啊，什么是旋转？旋转就有一个旋转中心，我们说， 呃，一个图形的旋转可以看成是这个图形上每一个点的旋转，你也可以看成是这个图形的每一条线的旋转。所以说一个图形转过多少度，其实就是他，哎，上面每一个点转多少度，或者他每一个线转多少度，这个你们了解一下啊。好，主要就说这些。