8道几何证明题8年级下册

八下数学平行四边形的解决问题，包括证明题，我们针对这样一道简单的题目，直接把里面所有的关键过程以及证明的过程详细讲解，如图，这在同一条直线中啊，这三个点， a、 b 等于 d、 c。 想解决关于图形的问题，从八下数学，我们有平行四边形，菱形，矩形，正方形啊，还有这种梯形，甚至那么所有关于四边形这种特殊的四边形 和平形四边形有关的这种四边形，我们不管是解决问题还是正问题，我们最好用的方法其实就四个字嘛，竖形结合。把你们的条件， 题目的条件都在图上给它标出来，你至少先学会第一张竖形结合。 他说 a、 b 等于 d、 c， 那 你就帮他画个等号，就代表 a、 b 等于 d、 c， 继续他说角 c 等于角 c、 b、 e， 那 你就找到角 c， 然后再找到角 c、 b、 e， 然后呢画两条弧线， 一条弧线代表一个角，两条弧线代表这两个角相等。接下来呢，他让我们求证 a、 d 等于 bc， 哎，他提过给我这两条相等，又给了我两个角的相等，怎么让我证他俩呢？那这个手就不要忘。如果我们学过平行四边形的判定和平行四边形的性质，什么叫判定？就是证明 一个四边形是平行四边形。什么叫幸运？就是他已经是平行四边形了，或者是你已经证明他是平行四边形。接下来，那既然是平行四边形，平行四边形能具备的东西就叫它的性质。 所以我们来根据出题条件一个一个来用，既然我们用的时候呢，也挑好用的下手。当然你也可以按照题目的先后顺序 先，有哪个条件，你就先用水也行，只不过呢，用他俩呢？他俩相等，目前为止呢，也没有什么太大的用处，所以我们先用脚入手。 因为这两个角，题目给我们相等，它不但相等啊，它还是什么关系？内错角的关系啊，当你看到一个在左，一个在右， 那这不就错左右错开了吗？一个上，一个下，一个左，一个右，你看，所以内错角你就记住反义词了。有的同学连内错角都分不清楚的，你一定记住反义词，记住反义词就记住内错角了。一个在上面，一个在这条线的左边，一个在这条线的右边，这就是内错角呀。 那既然他俩相等，那就代表是内错角相等了。内错角相等，两直线是不是就平行了？好，那我们就先用这个，因为角 c 等于角 c、 d、 e， 所以 那就 a、 b 平行， d、 c。 你 想写元音啊，写元音把理由写在括号里面是吧？内错角相等的话，两直线平行，如果老师没要求，可以不写。 接下来啊，那既然都平行了，我们再用。还有一个条件，就是他是不是 a、 b 等于 b、 c。 刚才我们已经证他俩平行了，现在还有一个已知条件，他俩是相等的，那现在是不是就所以 a、 b 平行且等于 b、 c 啊？这个符号就既代表平行，又代表相等，所以这叫 a、 b 平行且等于 b、 c。 那既然在四边形 a、 b、 c、 d 这个四边形里边有一组对边，也就是 c、 d 和 ab 既平行又相等，它俩既平行又相等，能推出什么？所以我就知道了，四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形，想写理由，写理由有一组对边，既平行又相等的四边形，是平行四边形。 好，既然是平行四边形的，那我就知道了，平行四边形的对边相等，对边还平行，那下一步就可以。所以 a、 d 等于 b、 c 这一步详细写理由也可以写啊，平行四边形的对边相等。 所以呢，这道题虽然题目简单，你可千万不要觉得它简单，你要把它的因为所以包括它的逻辑啊，给他推理清楚。 别看这么简简单单一道小题，它包含的已经包含了所有平行四边形最常用的两大内容，两大板块。第一就是平行四边形的判定，你看我们一个条件，两个条件，所以证明 平行四边形，这就叫判定。有了平行四边形，我们接下来为什么得到它，这用的就是平行四边形的性质啊。所以你看，我们在解决问题的时候，如果给你平行四边形了，你直接用它的性质，如果没有给你，你自己证明，证明出来了，继续用它的性质。 所以判定和性质在做题中是如何来为我们做题服务的，这就是为我们做题服务的。所以先如果能证明平行命题，就先证平行命题，证完了再推性质。

同学们好，今天我们来讲一道八年级下册的几何证明题。先来看一下题目，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f、 m 分 别是 a、 b、 c、 d， b、 d 的 中点， a， d 等于 b， c， m， n 垂直于 e， f 垂足为 n。 求证， e， n 等于 f n。 首先这一道题的已知条件是三个点，分别是三条边的中点，其实看到这个条件的话，我们立马就想到三角形的中位线， 我们先来复习一下中位线，中位线的定义就是连接三角形两边的中点的线段就是中位线，而中位线的性质呢，他就有两个中位线平行于第三条边， 等于第三条边的一半。所以这一道题我们第一步可以先连接 f m 和 e m， 这样子的话，我们就可以得到 f， m 是 三角形 b， c、 d 的 中位线，那么我们就可以得到 f， m 是 等于二分之一 b， c 的 同底， m， e 就是 三角形 a， b、 d 的 中位线，所以 m， e 就 等于二分之一 a、 d。 而题目上面又告诉我们 a、 d 等于 b、 c 的， 那么不就可以得到 m， e 就 等于 m f 吗？啊？这样子的话，我们就可以知道三角形 e， m、 f 就是 一个等腰三角形，它又告诉我们 m、 d 垂直于 e， f， 那 么 m， n 就是 三角形 e， m、 f 的 底边上面的高。看到等腰三角形，看到底边上面的高，那么我们立马就想到等腰三角形。一个很重要的性质就是三线合一， 就是等腰三角形底边上的高和底边上的中线和 顶角的角平分线互相重合，这就是等腰三角形的三相合一。那么我们不就是立马可以知道 m 一 等于 f n 了吗？我们写一下这道题的一个证明过程，证明如图，连接 m、 f m 一， 因为 f、 m 分 别是 c、 d、 b、 d 的 中点， 所以 f、 m 是 三角形 b、 c、 d 的 中位线， 所以 f、 m 等于二分之一 b、 c 同理，因为 m、 e 分 别是 c、 d 和 ab 的 中点，所以 m、 e 是 三角形 abd 的 中位线，所以 m、 e 等于二分之 a、 d 又因为 a、 d 等于 b、 c， 所以 m、 e 等于 m、 f， 所以 三角形 m、 e、 f 是 等腰三角形。因为 m、 n 垂直于 e、 f 的 中点，所以 e、 n 就等于 f n。 这就是这一道题的一个解析思路和解析过程。同学们，你们学会了吗？这道题考核的知识点是三角形的中位线，在题目上面，我们只要看到多条边的中点，我们立马就想到中位线。 看到等腰三角形，又看到垂直的话，我们立马就想到等腰三角形的三线合一。今天这一道题就讲到这里，如果觉得视频有用的话，点赞收藏视频，以便以后复习使用。关注小朱老师，我们下期再见！

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是平行四边形与全等， 在这部分过程中，主要涉及到的是平行四边形中全等三角形的证明。首先第一道题如图，点 e 是 平行四边形， a、 b、 c、 d 内一点，且 e、 d 垂直于 c、 d， 这个角是个直角， e、 b 垂直于 c、 b， 这个角也是直角角 a、 e、 d 等于四十一百三十五度 d、 e 等于一， a、 e 等于根号二。那这里面出现了一个特殊的角一百三十五度，所以我们就可以通过延长 d、 e 交 a、 b 于点 f， 那 再根据四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 c、 d 和 ab 平行，所以我们可以得到这个角是直角，那又因为角 a、 e、 d 等于一百三十五度，所以这个角是四十五度，它是四十五，我们就可以发现我们的三角形 a、 e、 f 为等腰直角三角形， 对吧？且 a、 e 等于根号二，那有勾股定律，我们就可以得到我们的 if 等于 e、 f 等于一。那接着我们又可以根据题目中是不是还说到我们的 if 等于 e、 f， 是 吧？我们是不可以 e 正 三角形 a、 d、 f 是 不全等于我们的三角形 e、 b、 f。 首先我们来看看这两三角形为什么全等？哈，有一个我们知道我们的角 a、 f、 d 和角 e、 f、 b 是 不都等于九十度，有一个角 a、 f 等于 a、 e 还有一条边。那么除此之外，我们根据平行四边形的对边 平行且相等，对角是不相等，也就是我们的角 a、 d、 c 是 不等于角 abc， 而 a、 d、 c 它是不可以等于角 abc 加上一个九十度的角 abc 是 不是也是九十度加上一个角 e， b、 f， 那 因此去掉这个角时，是不说明这两个角相等， 那我们就可以证明出来这两三角形全等，那根据这两个三角形全等，我们就可以得到我们的 b， f 是 不等于 d， f 是 不等于 d， e 加上 e f， d， e 是 一， e， f 是 一，所以是二， b， f 是 二，所以我们就可以得到我们的 id 啊，抱歉啊，我们的 b、 f 是 二，所以我们的 ab 是 不等于我们的 af 加上我们的 bf， 那 就等于一加二等于三。 ab 求出来了，要想去求周长，我们是不是还差 ab， ad， a， d， 它在直角三角形 a、 f， d 中，它是不等于 a、 f 的 平方加上我们 d、 f 的 平方，因此大家就可以知道，那这里是不是一的平方加上二的平方，也就是根号五， a， d 等于根号五，那周长是不就是二倍的根号五加三，当然你也可以写成二倍的根号五加六。 还可以吧，这里出现的特殊角一百三十五度，那当然看一百三十五度出现有四十五，所以我们就可以得到等腰直角三角形再去证明全等就可以了。下道题题目中讲到，在平行四边形 a， b， c， d 中 m， n， 你 看分别是它们的中点 a， n 等于一， a， m 等于二，那这一道题大家就能够知道，我们利用倍长中线法延长 a， n， 这点 h 连接我们的 c、 h， 那 这样我们就可以证明出来，三角形 a， d， n 是 不全等于我们的三角形 a， d， n， 那 就是我们的 h， c， n 非常中线，能理解哈，边角边，那这两个三角形全等，我们是不是可以得到？所以 c h 是 不是就等于我们的 a d， 那除此之外，我们还能得到，所以我们的 a h 是 不等于二倍的 a n， a n 是 一，那二倍的 a n 是 二，那此时它是不就等于 am？ 且我们的角 m a n， 它又等于六十度，有一个角是六十度的等腰三角形，是等边三角形。 当然这里也可以强调一下，跟大家再说明一下，为什么我们的 hcm 三点共线，因为我们由全等，我们是不可以得到角 d 是 不等于我们的角 dch， 那 又因为平行四边形，邻角互补，所以角 d 加上角 dcm 是 不等于一百八十度，那角 d 又等于我们的角， 嗯， h c n， 那 所以 h c n 加上角 d c m 是 不等于一百八，它是一百八，构成一平角，所以它三点共线，那三点共线，那我们就得到了三角形。 a h m 为等边三角形， 那既然 h m 是 等边三角形，那所以我们的 h m 是 不等于我们的 a h 或者是我们的 a m 等于二，那所以我们的 h m 啊， h m 是 不是又可以看作是我们的 a d 加 c m， 那 m 又是中点，那是不是 ad 加上我们二分之一的 bc， bc 又等于 ad 是 不？ ad 加上我们二分之一倍的 ad 等于二，那因此我们就可以求出来， ad 的 长是不应该等于二分之三，那就是三分之 二分之三倍的 ad 等于二，那就是三分之四， ad 等于三分之四， a d 等于三分之四。之后不要忘记这道题是让你去求 a b 的 长，是吧？所以我们还需要去记住，刚刚我们是不得到三角形 a h m 是 一个等边三角形，所以角 h 是 不等于六十度，六十度特殊角，那我们接着过 n 点做 c h 的 垂线， 垂足为点 r 一。 那大家会发现来，在二 t 三角形 n h r 一 中，角 h 是 不等于六十度， n h 是 不等于一，那所以在直角三角形中，三十度锁定的直角边等于斜边的一不是 h， r e 是 不等于二分之 n h 等于二分之一， 而我们的 n r e 是 不等于根号三倍的 h r e， 所以 就等于二分之根号三。那刚刚我们求出来 c h 是 不等于我们的 a d 等于三分之四，那所以 c r 一 是不就等于三分之四？减去二分之一，我们可以算算，六分之八减去六分之三，那就是六分之五。那在 二 d 三角形 n r 一 c 中，我们的 n c 是 不就等于根号下 n r 一 的平方， 再加上 c r e 的 平方来继续 n r e 刚我们求出来是二分之三，那它的平方就是四分之三。 c r e 六分之五，那它的平方就是三十六分之二十五。四分之三，三十六分之二十七，那就是三十六分之五十二，那就是六分之五十二，那就是二倍的根号十三。所以我们得到的是三分之根号十三， 那我们求出来 n c 的 值 n c， 那 所以 cd 是 不是等于二？乘上 n c， 那 就是三分之二倍的根号十三。那 a b 的 长，所以我们这道题是三分之二倍的根号十三。别看这道题短哈，这道题还真不好做呢，对吧？那接着我们来看一下第三题。第三题，这道题有稍微有一点点难度啊， 这道题利用到了一个知识，叫做象四三角形啊！如果有同预习的同学或者已经学习这部分的同学，你可以看一下这道题。如果大家暂时还不知道象四三角形具有什么样的性质或特征，那这一道题大家可以忽略不看好。首先第一个在二 d 三角形 abc， abc， 它是一个等腰直角三角形，对吧？和等腰直角三角形 a、 d、 e。 啊，它俩都是等腰直角三角形，且 b、 m 等于 b、 n， 让求证它是一个平行四边形，那这道题好做，那根据它俩都是等腰直角三角形，我们是不是可以得到角 a 等于四十五度， 角 a 等于四十五度？除此之外，我们的 bc 和我们的 e、 d 是 不是平行，对吧？ 啊？因为我们的 c、 b 垂直于我们的 a、 b， e、 d 也垂直于我们 a、 b， 所以 我们是不是可以得到 bc 平行于 e、 d， 那 角 a 等于四十五度？从这里由平行，我们是不是可以得到 角 c 是 不是也是四十五，对吧？两直线平行内错角相等啊？所以我们来看一看，我们的 b、 n 是 不是又等于我们的 b、 m？ 你 看啊， b、 d 是 不是等于我们的 b、 m？ 那 三角形 b、 dm 是 不是也是等腰直角三角形，对吧？ 它也是等腰直角三角形。所以我们的角 b、 dm 是 不是也等于四十五度？等于角 a？ 那 它俩一相等，那我们是不是可以得到两直线平行啊？同位角相等，两直线平行，我是不是又能得到 c、 e 平行于我们的 dm？ 那 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。第一问我们是不是就证明出来了？ 接下来第二道题，他说将如图三角形 a、 d、 e 绕着点 a 顺时针旋转四十五度，得到图二，那顺时针旋转四十五度，大家就可以知道此时我们是不是这个角是一个直角，对吧？让你去求我们 c、 e 比上 b、 d 的 值啊，需要大家稍微啊，稍微那个啥一点，那我们另 我们将三角形 abc 啊，那也就是 ab 等于 bc 等于 a， 那 借助勾股定力，我们是不是可以得到 ac？ 是 不是根号二倍的？哎？那接着让 a、 d 等于我们的 e、 d 等于 b， 那 我们是不是可以得到我们的 a、 e 是 不是就是根号二倍的 b？ 能接受吧？那根据旋转，我们又可以得到我们的角 c、 i、 e 是 不是四十五度？又因为角 c、 i、 e 是 不等于我们的角 b、 i、 d 这俩角是不都等于四十五，对吧？那所以我们还能发现我们的 a、 e 比上我们的 a、 d， 那 是不是相当根号二倍？ b 比上 b 是 不是根号二？那除此之外，我们还能发现 a、 c 比上我们的 a、 b 是 根号二， a 除以 a 是 不是也是根号二？ 那因此我们就能得到 a、 e 比上我们的 a、 d 是 不就等于我们的 a、 c 乘上比上我们的 ab， 那 这是不是两组对边对应乘比例且夹角相等，那两组对边对应乘比例且夹角相等的三角形是相似的三角形， 所以我们就可以得到我们的三角形 a、 c、 e 就 相似于三角形 abd 啊，由相似我们也能得到对应线段乘比例，所以它就等于根号二，那我们的第二题也就解决了，这里讲到了哈，用到了像四的关系，所以需要大家注意哈。 第三题，将图中它和它相交，且角 d， c， a， d， c， a 啊，这个角是三十度，你看，出现特殊角 cd 等于二，对吧？请直接写出。那我们可以 cd 等于二，过点 d 做 c， n 的 垂线，垂足为点 m， 那 三角形 cd m 是 不是一个含三十度的直角三角形， 对吧？那因此我们就可以得到我们的 dm 是 不等于二分之一的啊。首先， dm 等于二分之一的， cd 是 不等于一， 那除此之外，我们接着再看我们的 cm 啊，它是一，那是不是就等于更好？三，这两条三段能求吧？那我们再看，在三角形 dmn 中，题目中是不告诉你 dcn 三十啊，我们来找找 角 n 这个角哦，我们可以发现，你看，如果我们这里三角形啊，因为三角形 a、 c、 e 是 不相似于三角形 a、 b， d， 对吧？那我们就可以得到角 a， b， d 等于角 a， c、 e 等于三十度，那又因为角 c， d， n 等于角 a、 d、 b， 那 所以我们是不就能得到我们的角 n 加上角 d， c， n 是 不就等于角 d， b， a 加上我们的角 d， a、 b， 因此角 n 就 等于角 d， a、 b 等于四十五度，那它是四十五度。三角形 d， n， m， n 是 不是就是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形，我们刚刚求出来我们的，嗯， d， m 是 一，那所以 m n 是 不是也是， 是不等于一，对吧？那所以 c， n 是 不是就等于 c m 加上我们的 m， n 刚求出来 c， m 是 根号三， m， n 是 一，所以这道题角 n 的 度数是四十五度，它是根号三， 能理解吧？啊，这个里面的话，确实是这一部分中利用到的像素三角形哈，大家如果能理解的话就理解，如果实在不理解的话，那就放过这一道题，我们看看其他的题目，好吧，再见啊。

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学的内容是八年级下册专题，专题二是勾股定律与全等三角形的第三个模型手拉手问题。 那在这部分的课程中呢，我们主要是借助全等三角形中的手拉手模型来得到某些线段和某些角的关系，那从而再去借助勾股定律。那我们首先来看一下第一道题，题目中讲到的是啊，如图， c、 a 和 c、 b， c、 d 等于 c、 e， 且这两个角都是直角，那就是告诉你，三角形 a、 c、 b 和三角形 e、 c、 d 都是等腰直角三角形。 如果 a、 d 等于一， b、 d 等于三，让求 c、 d 的 长，所以大家自然而然能想到，那可以你可以说将我们的 三角形 e、 d、 c 绕着点 c 顺时针旋转九十度，你也可以说延长 e、 c 至点 f， 使得 e、 c 等于 cf， 再连接 d、 f、 b、 f 可以 吧，旋转也行啊，然后做辅助线也行哈，那我们在这里延长 ec， 置点 f， 使得我们的 c、 f 等于 ec， 连接 我们的 d、 f、 b、 f。 那 在这里之后，大家就知道我们是不是一连接之后，我们 e 正 借助手拉手模型哈，一正三角形 a、 c、 d 是 不全等于三角形 a、 c、 d， 那 就是 b、 c、 f 可以 吧，因为，哎，你看 a、 c 是 不等于 bc？ 一 条边角 a、 c、 b 等于九十度，所以角 a、 c、 d 加上角 d、 c、 b 等于九十， 那同样根据角 d、 c、 f 等于九十，所以 d、 c、 b 加上角 b、 c、 f 是 不是也等于九十？有一个公共角对吧？同角的与角相等，所以我们就可以得到角 a、 c、 d 等于角 b、 c、 f 一 边一角，那么还有能够得到我们的 d、 c 是 不是还等于 c、 f。 边角边两三角形全等，有两三角形全等，我们就可以得到对应边相等， 那所以我们就能考到我们的 b、 f 是 不是就等于我们的 a、 d。 题目中高低你等于几一？那除此之外，我们还能得到角 c、 b、 f 是 不等于角 c、 a、 d， 也就是角 a， 那 故我们的角 d、 f 啊 d、 b、 f 是不等于角 d、 b、 c 加上角 c、 b、 f， 那 是等于角 d、 b、 c 加上我们的角 a， 大家知道四十五，四十五，所以它是不都等于九十，那它等于九十，这是一个直角哈，所以我们就可以得到， 我们就可以得到。在直角三角形 d、 f、 b 中，由勾股定律可知，我们的 d、 f 是不是就等于根号下 b、 d 的 平方加上 b、 f 的 平方 b、 d， 那 么是三的平方 b、 f 是 一，所以等于根号十，那 d、 f 等于根号十，所以我们的 c、 d。 因为三角形 c、 d、 f 是 一个等腰直角三角形，所以三边是一比一比根号二， d、 f 是 不所在的根号二，所以它就等于 d、 f 除以根号二，那么求得的是根号十，除以根号二，所以我们的结果 等于根号五，那 c、 d 的 长我们就求出来了。还好吧，好，下题这道题目讲的是在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 等于四， c、 d 等于三，且我们的角 a、 b、 c 这个角 a、 c、 b 这个角和我们的角 a、 d、 c 都等于四十五度， 那通过这里面出现的四十五度，大家可以看到这里。这个是不是一个直角，那么的角三角形 a、 c、 b 是 不是就是一个等腰直角三角形？那现在他要想去求 b、 d 的 长，那我们的通过做法是不是也可以通过构造手拉手模型来过点 a 做 a、 e 垂直于我们的 a、 d， 且 a、 e 等于 a、 d 连接，那我相信大家你接下来就应该知道我会怎么做，对吧？连接我们的 c、 e， 那 c、 e 一 出来，大家就知道我这里是不是构造了手拉手模型中的三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 e、 c 是 不全套啊？做 a、 e 垂直于 a、 d， 且 a、 e 等于 a、 d， 对 吧？那我们就一正 三角形 a、 e、 c 全等于三角形 a、 e、 c， 那 就是我们的 a、 d、 b 那 所以有两三角形的我们就能得到对应边相等，对应角相等，对吧？那我们是不是就可以得到我们的图中 a、 d 等于几四？ c、 d 等于几三啊？ c、 d 等于三， 而且还是不还有我们的四十五度，那由全等我们是不是就可以得到图中的 b、 d， 那 是不是就等于我们的 ec？ 要想去求 b、 d 的 长，那是不是只要求出 ec 的 长就可以了？那因为我们的三角形 a、 d、 e 是 一个等腰直角三角形，所以我们的角 e、 d、 c 那 是不等于角 e、 d、 a 加上角 a、 d、 c， 那 就等于四十五度，加上四十五度等于九十度。所以在二 t 三角形 e、 d、 c 中， 由勾股定律可知， e、 c， 那 是不就等于根号下 e、 d 的 平方，再加上 c、 d 的 平方？打开想一想， e、 d 是不是直角三角形 a、 d、 e 的 斜边等腰直角三角形，一比一比根号二，所以 d、 e 那 是不是就是四倍的根号二的平方？ c、 d 题目中告诉你它是几三 四倍的根号二十六乘二，三十二，三十二加九，那就是根号四十一，那 ec 等于根号四十一，所以我们就能求出来 b、 d 就是 根号四十一，还看还行吧。好，接下来 这里面所提到的是说旋转六十度构造手拉手全等啊。第一个，等边三角形，刚刚上面两道例题出现的都是等腰直角三角形，对吧？所以接下来的这两道例题出现的都是等边三角横啊，你看 等腰直角三角形的时候，我们做辅助线的时候，是不是无论是利用旋转也罢，是利用那个啊？做辅助线也罢，是不构造的都是等腰直角三角形。那接下来在等边三角形中，我们借助的就是要么是旋转，要么直接通过做等边三角形哈。等边三角形 a、 b、 c、 e、 b 等于四， a、 e 等于二倍的根号三，然后角 a、 e、 c 等于一百五十度，让求 c、 e 的 长，那我们在这里面大家会发现，你看 a、 c， 它是不是等边三角形 a、 b、 c 的 e 边，那么就可以通过做 等边三角形 a、 e、 f 啊，那我这个图画的， 嗯，不咋像 啊。做等边三角形 或者是正三角形都是可以 a、 e、 f 连接我们的 b、 f， 那大家就能知道是吧？我的三角形 a、 c、 e， a、 c、 e 和我们的三角形 a、 b、 f 是 不全等 a、 c、 e、 a、 b、 f， 那 根据这我们就可以得到啊，我们就可以得到边相等角相等 a、 f、 b 这个角， 它是不是就等于我们的角 a、 e、 c 题目中告诉你是不是一百五十度，那又因为三角形 a、 e、 f 为等边三角形， 它为等边三角形，我们是不是可以得到我们的 e、 f？ 是 不是就等于 a、 e 等于二倍的根号三，我们还能得到我们的角 a、 f、 b 是不是就等于角？ a、 f、 b 减去角， a、 f、 e 等于一百五十度，减去六十度，哎，正好九十，对吧？除此之外，我们的 b、 f 是 不是还等于我们的 c、 e 啊？那我们在这，在这边啊， 全等啊， b、 f 还等于 c、 e 啊？没有没有，因为题目中没告诉你 c、 e 的 长，它是告诉你的是啊， b、 e 的 长，所以这个条件不用写，那确定它是直角之后，我们接下来在二 t 三角形 e、 f、 b 中有勾股定律可知我们的 e、 f、 e、 f 是 我们已知的，所以应该求的是 b、 f。 我 们的 b、 f 是 不是就等于根号下 b、 e 的 平方减去我们 e、 f 的 平方 b、 e 四、 e、 f 刚求出来等于二，一是不二倍的根号，三的平方，那就等于根号下十六减十二，那就等于二， b、 f 等于二，那所以 c、 e 是 不等于 b、 f 等于二？ 我们这里构造的是等边三角形啊。下一道题，这道题的做法跟上道题是类似的，题目中告诉你的是，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 和 b、 d 是 对角线，且三角形 a、 b、 c， 你 看是等边三角形， 那接着往下又告诉你， a、 d、 c 等于三十度， a、 d 是 三， b、 d 是 五，这个长边是五，对吧？ 所以你看有一个等边三角形，那我接下来要想去求面积，去求面积，要么用割，要么用补，那无论是割还是补，这一道题其实都不算特别好做，所以我们首先要去善于发现，那我们就是有一个 abc 是 等边三角形，接下来以 b、 d 为边做等边三角形， 假如这是 e 连接 c、 e， 那 大家就知道了，你看做跟上道题做法是类似的哈。等边三角形 b、 d、 e。 那 三角形 b、 d、 e 是 等边三角形 a、 b、 d 是 不全等于三角形 a、 b、 d。 那 是不就是 c、 b、 e。 那由全等我们就合得，对吧？对应边相等，对应角相等，对不对？题目中告诉你了，我的 a、 d 是 三，那所以 a、 d 是 不等于图中的 c、 e 等于三， b、 d 等于五啊？ b、 d 是 不是就等于 b、 e？ 它俩长是不是五？那除此之外，我们还有角，我们的角 b、 c、 e 是不等于我们的角 b、 a、 d 对 吧？ b、 a、 d。 那 题目中告诉你了啊，告诉你点啥，它是一个什么三角形？ 你看在四边形 a、 b、 c、 d 中，由四边形的内角之和，我们是否可以得到角 d、 a、 b、 c。 加上角 abc， 加上角 abc， 再加上我们的角 d、 c、 b 四边形内角和是不是三百六十度，对吧？三角形 abc 是 一个等边三角形，且 角 abc 等于六十度，角 adc 等于三十度，那所以我们是不是就能得到我们的角 b、 a、 d 加上我们的角 b、 c、 d 是 不等于三百六十度？减去九十度等于二百七十度，它是二百七十度。我们刚刚求出来角 b、 i、 c。 那 所以 b、 i、 c 这个角是不又啊？ b、 i、 d 啊？ b、 i、 d 是 不又等于角 b、 c、 e 加上角 b、 c、 d， 它就等于二百七，你来看看 b、 c、 e 在 哪？是不是在这？那所以我们再借助这，我们就能得到我们的角 d、 c、 e， 这是不一个周角三百六十度减去角 b、 c、 e 和角 b、 c、 d 的 和啊，这道题关键就在这，那三百六减去二百七是不等于九十度，它是九十度，它是不就是直角， 对吧？所以在二 t 三角形，我们的 e、 d、 c 中， e、 d、 五刚还求出来我们 c、 e 是 不三，所以我们的 d、 c 是 不等于根号下我们 d、 e 的 平方减去我们 c、 e 的 平方，那就等于根号下五的平方减去三的平方等于四。 所以此时我们四边形 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就转化成三角形 b、 d、 e 的 面积，再减去三角形 d、 c、 e 的 面积？ b、 d、 e 等腰直角三角形。啊，抱歉，它是一个等边三角形。等边三角形它的边长是不是五？ 所以我们得到的是不是底乘二分之五倍的根号？三，高乘二分之一，再减去 d、 c、 e、 d、 c、 e 是 一个直角三角形，那么是不是三乘四乘二分之一？所以最终结果就是四分之二十五倍的根号三减去零。 这道题确实不算特别好做，但是也也还行啊。主要这两部分的题目，一个就是，呃，涉及到一个等腰直角三角形，后面这两道题涉及到的是等边三角形，希望大家能够理解。那我们今天就上到这里了，拜拜。

我们一起来看一下这道题，这道题目是综合了正方形的十字架模型以及构造平行四边形来求对角，是一道非常好的一个综合题啊。我们一起来回顾一下什么是正方形的十字架模型。 就说在这样一个正方形 a、 b、 c、 d 中呢，有这样两条线段， a、 e 和这里的 b、 f。 如果知道这两条线段它是垂直的，我们就能挣出来它是相等的， 那反过来，如果这两个线段它相等，我们也能证出来它是垂直的。证明方法呢，也其实很简单，我们只需要证这样两个三角形， a、 b、 e 和这里的 b、 c、 f 全等就行。那条件嘛，就因为 a、 b、 c、 d 是 正方形， ab 等于 bc， 角 abe 和这里的角 bcf 都等于九十度。同时因为 a、 e 和 b、 f 垂直的话，那我们就能得到这样一个角一和角 二，它是互余的，那角二和角三也互余，所以角一和角三相等，所以我们就能证得这样两个三角形呢，它是全等的，利用的判定角边角， 那反过来是类似的。那如果这里的 a、 e 和 b、 f 它发生改变，比如说在这里面有一条线段，它不过顶点了，它是这样一条线的，那结论成不成立呢？那这个结论其实它还是成立的。那我们如何来证明呢？我们 可以取一种方法，就是通过这里的点 g 做这个 a、 b 的 一个平行线， 那我们反过来再正这样一个三角形， g、 m、 e， 它和这里的 b、 f、 c 它也是全等的， 然后你可以自己动手正一下哦。当然，如果这里的 b、 f 也变化了， b、 f 也不过顶点了，它也取一般的这条线段，取这个 p q， 那当这里的 p q 和这里的 g、 e 它是垂直的时候，它同样也是相等的，然后相等的时候，它同样也是垂直的。那证明方法也类似，我们可以过点 p 做彼此的垂线来正。这样一对三角形，也就是 g m， e 和这个扇形 p q、 n， 它是全等的就可以了。 那有了这样一个模型，我们来看一下这道题。如图，在边长为二的正方形 a， b， c， d 中， e 呢，是 c， d 的 中点， 那既然是中点，我们就能求出这里的 e， c 的 长等于一， bc 的 长呢等于二。利用勾股定律，我们就能求出 b， e 的 长等于根号下二的平方，加一的平方，也就是根号下五。 然后 p、 q 呢，分别是 a、 d， b、 c 上的两个动点，且 p q 垂直于这里的 b、 e 交一点 f， 则这里的 b p 加上 q、 e 的 最小值是多少？ 那首先根据我们刚才的题目条件分析，在这样一个正方形 a、 b， c， d 中， b， e 和 p q 它是垂直的。 那利用这样一个正方形的十字架模型，在正方形里面取了两条线的垂直，那这两条线段它线段相等，也就在我们的选择填空题里面，我们可以直接用，所以这里的 p q 和这个 b e 也是相等的，也是等于根号。五。 大家说 p q 无论怎么变化， p q 这条线段的长度是固定不变的啊，我们继续来分析，那想要求这里的 b p 加上 q、 e 的 最小值，显然这两条线段呢，它是 没有办法做到首尾相连。我们能做到这两条线段首尾相连，那根据两点之间线段最长，我们只需要连接这两条线段来就能求出来这两个线段的和呢，它的最小值就是这条绿色线段。 那我们怎么样做到这里的 b p 和这里的 q e 首尾相连呢？那我们就可以利用构造平行四边形的方式来 做到，那怎么办呢？因为这里的 p q 是 个固定的一个长度，它等于根号，那既然这样，我们就以 b p q 这三个顶点呢来得到一个平行四边形，也就是过这里的点 b 做这个 p q 的 一个平行线， 而且呢还让这条线段和这个 p q 相等，它也取根号，这里取到一个点 m， 那 由于 b m 和 p q 是 平行且相等的，那这是我们去连接这里的 q m 的， 那我们就能得到这个 p b m q， 它就是一个平行四边形的，那根据平行四边形的限制，对边呢，它是平行且相等的，所以 b p 呢，我们就转化到这里的 m q 上来， m q 加上 q e 的 最小值，那它就变成了矢位相连的两点线段。那根据两点之间线的最短，我们只需要连接这里的 m e， 那此时 m e 与我们线段 b c 的 交点就是我们想要求的 q 点的位置，那这两条线段的和它的最小值是大于等于这里的 m e 的， 那接下来我们只需要求 m e 的 长度就行，那如何来求 m e 的 长度呢？我们再来分析一下这个题目条件啊，我们想要求这里的 m e 呢，因为这里的 m c 呢已经是知道的，那这时候呢，我们可以将这里的 m c 呢进行延长，得到这样一个 直角三角形 m n e， 我 们只需要求这里的 m n 和这里的 n c 啊，然后利用勾股定律就可以求出来 m e 的 乘以，那如何来求 m n 和这个 n c 呢？这个时候我们就想到这个点 m 的 由来，因为那这个 m 的 由来是过点 b 做的，这里的 b m 和这里的 p q 它是平行且相等的。那我们想要求这里的 m i， n 包括 c n 的 长呢，我们还可以过点 m 做这里的 bc 的 一个垂线，设这样一个垂足呢，为这里的 h， 那我们只需要求这里的 m h 和这里的 b h 就 行，那由于这里的 b m 和这里的 p q 它是平行相等的，因为这样一个 a b， c， d 的 一个边长为二，那我们此时呢，就可以过点 q 做这个 ab 的 一个垂线， 因为这样子的话，哎，正方形的边长是等于二的，而这一段的长度呢，也就是这里的 p q 的 长度呢，就等于一，那这时候这里的 p h 就 等于一，然后 h m， n， c 呢，它是一个矩形，那所以这里 c n 就 等于二，然后 m n 也就等于一。那在这样一个直角三角形 a， e， n， m 中呢，两个直角边分别是三和一，所以这时候 e m 的 长呢，就等于根号加三个平方加一个平方等于根号加十， 所以它的最小值就是这里的 e m 的 值等于根号加十。解决这道题的关键就是要第一件事情就是利用好正方形的，这是自家的一个模型，如果在选择题目中，如果出现了在正方形里面有两条线段垂直，它就相等，反过来如果它相等，也就垂直。 然后第二件事情呢，就是通过构造这样一个频次编辑， p b m q 这样一个频次编辑，将这里的 b p 转化这里的 m q 上，然后我们就可以利用两点之间线段最短，得到这里的 m e 是 我们想要求的最小值。那在求结过程中，我们需要构造这样三星，然后再利用这样一个设计师家的一个基础的真爱权等来求点这里面的这些线段，然后再利用空心来求解，你学会了吗？

嗯，好，我们看这个第二题啊，又是一个期末考试的真题。嗯，那个期中之后，我们的目标就是期末了啊。来看，在矩形 abc 当中将它折叠，大家拿起笔跟我一样，把这个折叠圈起来 折叠，就会有对应边相等，对应角相等的啊，那这是九十度，这是九十度，我给它标出来这个题很难，这个题很难，那这有角一等于角二的，对不对？ 然后是我看到这个时候，他说 ab 等于六，那倒 c 也等于六的，这个时候倒 m 是 不是也等于六？来，跟着我标，我们做几个题目，就一边标一边做啊，还有 bc 等于八，这整个长度等于八的，那下面整个长度也等于八 一等于八的。最好搞点不同颜色笔啊，第一遍我就用蓝色笔标，已经有的条件，还有一个条件， b e 等于 b n， b e 等于 b n， 是 吧？这两边等于这两边的。好，我们开始挖掘题条件啊， 他让我们求的是 a e， 我 就打个问号，我现在标完条件之后，就再也不用看题上的题干了，因因为我已经把所有的烟瘾 哦，咽炎啊，不好意思啊，好带着保持激情啊。然后我们要求的这个边是 a f 啊， 那我们去挖掘条件，首先有一个折叠角一等于角二，能得到什么信息吗？有没有模型？什么模型啊？ 上下是平行的，这叫什么？对，大家说双平等腰角一等于角二了，那么角二是不是等于这个角呢？红色角相等，所以这条边啊，同学们，等于这条边呢，对不对？ 那我们就设这个边为 x， 好 吧，哎，这整个为 x 啊，那然后红色边等于红色边的，记住啊，看左下角这个等腰三角形，能得到什么信息呢？等腰我们是不是能推着角相等呀？ 这个角三等于角四的，能理解吗？我们再把跟它相等角表示出来，那角四是等于角五的，角三是等于角六的，对不对？所以其实啊，推出来角五等于角六之后，能得到的 f 是 等于的 n 的， 知道吗？ 那，那这个边也是红色边了，那这个边也是 x 了，知道吧？同学们，那然后还怎么做呢？还有没有什么条件呢？光这也不够呀。 这个边等于这个边的，还有什么信息啊？ 这个边等于六的，我们想办法用 x 表示出已经有的边，你看这个六，这个八好像也没有用，对不对？ 是吧？这六，这是八能得到什么？哎，由勾股定律 b 倒等于十，这个很多同学想不到啊，这个等于十，那等于十的话，下面这个边是不是十减 x， 我 们又可以继续往下面标边了，那这个是不是也是十减 x， 那 这个边，这个边等于多少？ e c 就 等于个八减去十减 x 等于啥？ x 减二，这个等于 x 减二的同学们， x 减二之后翻折呀， 那它是不是还等于 m e f 减二，能懂吧？这太难想了，太难想了。 那这个时候刚才他说这个边是等于 x 的 呀，对不对？红色的都是 x， 你 看我用不同颜色笔的好处就出来了，看得很清楚，相等的线段用相同颜色来表示，相等的角也用相同的颜色来表示，知道吗？去买不同颜色笔啊。 然后，那现在我们就能求这一个线段长度了， f m 可以 表示出来了。 f m 这条边等于多少？同学们， x 减去 x 减二， 它等于二的知道吗？同学们，剩下会多了吗？这有一个二，这个六，这个 x 是 不是？所以在这个里面勾股定律最后一步 在 r t 三角形 f m 倒中勾股定律知道吧？能得到什么？ x 平方等于二的平方，加六的平方。其实直接 s 取正的啊， s 大 于零，不要直接算二的平方，加六的平方等于根号四十。我们找比例关系，二六是一比几啊，一比三比几， 一个直角它像一比三比根号十，所以斜边是短边的根号十倍，知道吗？所以这个 x 就 等于二倍的根号十。 那最后这个 a f 等于多少？是八减二倍，根号十。选到啊，就这样做了，好难对不对？哎，好，没听懂的问我。哪一步？没听懂的问我啊，听。

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册专题，勾股定律与全等三角形的第二个模型，三垂直和一线三等角。 对于全等的证明啊，这一部分的话大家并不陌生，我们还是比较好做的，对吧？但是如果涉及到勾股定律，它又该如何去考你呢？我们一起来看一看。 这类型题目的方法主要围绕的是就是构造三垂直行，然后全等之后我们得到对应边相等，对应角相等，再去利用勾股定律。那么首先来看一下第一道题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于 a、 b， 你 看关键出现了角 a、 c、 b 这个角又是一个直角 角 a、 d、 c， 你 看这个角也是直角，所以大家就应该知道我们要延长 c、 d， 对 吧？ 过点 b 做 c、 d 的 垂线，垂足为点 e， 那 这样的话我们是不是就比较好证明出来三角形 a、 c、 d 是 不全等于三角形 c、 b、 e。 大家来看看，首先 a、 c 是 不是等于我们的 bc， 对吧？然后有两个角是直角对不对？那除此之外，我们还能发现，你看这个角角 bce 加上角 a、 c、 d 是 不等于九十度？而 bce 加上我们的角， cbe 是 不也等于九十度？所以同角的与角相等，我们就可以得到这个角相等。 接下来咱再用角角边就能够证明出来这两三角形全等了。那根据这两个三角形全等，我们就能够得到来对应边相等，对应角相等，所以 b、 e 等于 c、 d 等于二。而我们的 c、 e 呢， 就等于我们的 a、 d 等于四。那所以 d、 e 是 不是就等于 c、 e 减去 c、 d 等于四，减二等于二，所以那我们在二 t 三角形我们的 b、 d、 e 中， 由勾股定律，我们的 b、 d 斜边是不是就等于根号下 b、 e 的 平方加上 d、 e 的 平方，那么就等于根号下二的平方加上二的平方，所以是二倍的根号二。那这一道题我们是不是就解决了？关键就在于我们讲到的是一线三垂直，对吧？第二个，在四边形 a、 b、 c、 d 中角 abc 等于九十度， a、 b 等于三， bc 等于四啊，那我们的 a、 c 有 勾股定律是不可以得到等于五， cd 也等于五啊，且我们的 d、 i 等于五倍的根号二。这道题虽然没有直接的告诉你垂直，但是大家可以看到有勾股定律，我们可以得到，在二 t 三角形 a、 b、 c 中，由勾股定律可知， a、 c， 那 就等于根号下 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方， a 的 根号下三的平方加上四的平方是不等于五， 对吧？那我们可以发现五的平方加上五的平方是不等于五倍的根号二的平方， 所以我们就得到了 a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方，是不是就等于 a、 d 的 平方？那么由勾股定律的逆定律可知，所以我们的 三角形 a、 c、 d 是 不是一个直角三角形，那我们就得到了角 a、 c、 d 等于九十度，那这个角也是直角。除此之外的话，大家还能知道 a、 c 和 d、 c 五五是不是相等，所以一线三直角过点 d 做 bc 的 垂线， 垂足为点 e， 那 e 正三角形 a、 b、 c 就 全等于三角形 c、 e、 d， 所以 有三角形全等我们得到对应边相等，我们可以得到 c、 e 等于 ab 等于三， 那我们的 d、 e 等于 bc 等于四，所以在二 t 三角形 b、 d、 e 中有勾股定律，你可以知道我们的 b、 d， 那 就等于根号下我们 b、 e 的 平方，再加上我们 d、 e 的 平方。 而图中观察可以发现， b、 e 是 不是 bc 加 c、 e， 那 就是四加三的平方，再加上 d、 e， 那 就是四的平方。所以等根号下四十九加十六，根号六十五， 能接受吧？接下来第三个，如图，四边形 a、 b、 c、 d 中，我们的角 a、 d、 c 啊，这个角是个直角， 我们的角 a、 c 啊， a、 c 又垂直 bc 这个角是直角，所以大家就知道了啊，延长，而且你看还是不还告诉你我们的角 abc 啊，这个角等于四十五度，这个角是四十五度，那三角形 abc 是 一个等腰直角三角形，所以 a、 c 是 不等于 bc， 对 吧？所以我们就是延长 c、 d 过点 b 做它的垂线，垂轴为点 f， 对 吧？ a、 c 垂直于 bc 角 a、 b、 c 等于四十五度，那所以我们的 a、 c 就 等于 b、 e， 那 e 正三角形 a、 d、 c 就 全等于三角形 a、 d、 c， 那 就是 c、 f、 b 上面这个字母写错了哈，不是等于 b、 e， 哈，是等于 bc。 好，那这两个三角形全等，我们是不是就得到对应边相等，对应角相等，那我们的 b、 f 就 等于我们的 cd 等于二，对吧？那 ab 等于二倍的根号十，它是不就等于我们 ab 除以根号二，也就是二倍的根号五，它等于二倍的根号五，我们是不是就能得到 在二 t 三角形 a、 c、 d 中，我们的 a、 d， 那 是不就等于根号下 a、 c 的 平方减去 c、 d 的 平方，也就是二倍的根号，五的平方减去二的平方， 二倍的根号，五的平方二十减去四十六、八十五就等于四，那所以由它等于四，我们也能得到我们的 c、 f 就 等于我们的 a、 d 等于四， 那 d、 f 是 不是就等于 c、 d 加上我们的 c、 f 等于六，那既然它是六啊，我们观察就可以发现，这个时候我们让你去求三角形 a、 b、 d 的 面积， a、 b、 d 的 面积，那我们可以过点 b 做 a、 d 的 垂线垂足，假如 v 点 h， 大家此时不难发现，我们此时 b、 h、 d、 f 这个四边形是不是一个 矩形，那所以三角形 a、 b、 d 的 面积，它就等于我们的 a、 d 乘上我们的 b、 h 乘二分之一，那就等于 a、 d 乘上我们的 d、 f 再乘二分之一， a、 d 是 四， d、 f 是 六，再乘二分之一，所以这个结果我们就是十二。好吧，好，下面这道题中讲到，在三角形 abc 中角 abc 这个角是直角啊， ab 等于 bc， 你 看，关键一出，大家就知道做垂线， 做垂线，这是 e， 这是 f。 我 们异正三角形 a、 b、 e 是 不全等于三角形 a、 b、 e、 b、 c、 f， 那 所以 我们的 b、 f 就 等于 a、 e、 a、 e 是 不是 l 二和 l 三之间的距离，那就是三， 那我们的 b、 e 就 等于 c、 f， 那 c、 f 是 不是 l 一 和 l 二之间的距离，再加上 l 二和 l 三之间的距离，那就是二加三等于五。所以题目中让你去求 a、 c 的 长， 对吧？那 a、 c 的 长我们可以借助在二 t 三角形 a、 b、 e 中有个固定，你可知 a、 b 那 是不等于根号下 a、 e 的 平方，再加上 b、 e 的 平方 a、 e 我 们刚刚求出来是 三的 b、 e， 我 们求出来的是五，三的平方是九，五的平方是二十五，那就是根号三十四，那 ab 是 根号三十四，那在二 t 三角形 a、 b、 c 中有勾勾定力可知， a、 c 是 不是就等于根号下 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方？前面求出来 a、 b 是 根号三十四，那么是不是得到三十四，加上三十四等于根号六十八， 那根号六十八，如果同时除以四，那就是十七，那就我们得到的是二倍的根号十七，还算简单，对吧？那最后这一个提到的是在等腰三角形 abc 中 ab 等于 ac 等于五啊， 将 a、 b 绕点 b 顺时针旋转啊，且垂直，那这个角是直角，且 a、 b 等于 b、 d， 如果三角形 b、 c、 d 的 面积等于九，那让求 c、 d 的 长，我相信大家能够观察出来，既然是等腰三角形，那么是不是可以过点 a 做 bc 的 垂线垂直为点 e， 那 这个 e 点 e 出来大家就知道了。哎，我同样还是构造一线三等角， 对吧？我们从这我们就能够得到 a 三角形 a、 b、 e 是 不全等于三角形 a、 b、 e， 那 就是 b、 d、 f， 对 吧？那所以我们可以得到 b、 e 等于 d、 f， 且等于二分之一的 bc 是 不是？那 a、 e 是 不就等于 b、 f， 那我们接下来只知道我们的 a、 c 的 长是五，那面积 abc 啊， b、 c、 d 的 面积是九，所以我们是不是可以令 bc 等于 x， bc 等于 x， 那 d、 f 是 不是等于二分之一 x？ 所以三角形 b、 c、 d 的 面积是不就是 b、 c 乘上 d， f 乘二分之一，那就等于 x 乘上二分之一， x 再乘二分之一等于九，那 x 是 不就等于六？ x 等于六，那所以来让求 c d 的 乘号在 r t 三角形 c d f 中， 由勾股定律可知， c d 是 不是就等于根号下我们的 c f 的 平方加上我们 d f 的 平方 c f 那 是不等于我们的 cb 加 b f cb 我 们刚刚求出来是几六啊？那我们就等于六加，你看还差一点，对吧？那我们在这里还要再用一次直角三角形 a c e 中 有勾股定律可知， a e， 那 是不是就等于根号下 a c 的 平方减去 c e 的 平方 a c 题目中告诉你，是五的平方 c e， 我 们六的一半是三，所以它是不等于四，那 a e 等于四，那所以它是不等于 b f b f 也等于四， 那 c f 就 等于六加四的和，再加上 df 刚求出来是三， 所以等于一百零九的算数平方根。我们这个一线三等角，我觉得总体还是比较好做的哈，希望大家能够理解。那我们今天这节课就分享到这里了，拜拜。

高分数吗？跟我一起做期中复习题， 八年级数学下册的小册五十三页纸上的，我们看到其中的第一道题，选择题。下列图形是中心对称图形的，这个是轴对称，三条对称轴，这一条对称轴，这五条对称轴，只轴不中，只轴不中，只轴不中， 对吧？这是旋转对称，所以你看一、二、三、四、五六个分之六个分叉，所以这个呢是轴对称，它其实也是中心对称 啊，所以他那个绕着中心旋转，所以第一个呢选择 b， 这是容易的，我们看到第二个，足球的表面有十二个正五边形 和二十个正六边形组成的，如图，将足球上的一个正五边形和相邻的一个正六边形的，可以把它展开放平放一个平面上，那么这样的角 a、 b、 c 的 度数，那我们说正五边形的每个角是一百零八度， 这六边形的每个角是一百二十度，这些啊，我们平时总结的我们要记住，所以这个角 a、 b、 c， 那 我们可以用过这点的周角减去一百零八度，减去一百二十度， 好，那他就等于，对吧，这个三百六十度减去一百二十八，一百二十八，哎，这一节二哎六介于为五加三一百三十二度。好，那么这样呢？第二题我们就选择的是 c 啊，把这有的东西我们平时讲的结论呢，我们最好把它背下来啊，考试就来的快一点，不然的话，你再根据你看那个正多边形的每个角 n 减二乘以一百八十度， 除以 n 对 六边形的六分之六加二乘一百八十度等于一百二十度，五分之五加二乘一百八十度等于一百零八度，你要慢慢来算，那就没有数的时间了。 第三题， m 大 而言的下列不等式不一定成立的。我们看到这个 m 是 大而言的，两面乘以负一，那变成小符号。对，两面都乘以二分的正数大符号。对，两面都减去三，根据不等式基本性质之一，对，根据不等式基本性质之二，不等式基本性质之一， 对吧？这三都对，那么但这个 a 就 不一定是对的。好，但是 a 不是 一定是对的。我们可以举一个反例来说明。 什么反例呢？你比如说 m 等于二， m 等于负三，对吧？二是大于负三的，但是呢，二的二零二六次方和负三的二零二六次方横形是小于，因为这是奇数次方，对吧？ 所以这个呢？呃，不一定是成立的。我们看到第四题第四题的图形，在这我们先看的文字啊，他说在三的 a、 b、 c、 d 中， 角 b 等于七十度，角 c 等于五十五度，角 b 等于七十度，角 c 等于五十五度。耶，七五，一百二十五度，那这角 a、 a 也是五十五度， 哎，角 a、 a 也是五十五度啊。你看五十五加五十五，一百一十七，一百八十度。好，接着看 e、 f 分 别在 a、 b、 a、 c 上沿着 e、 f 向内折叠三点 a， e、 f 得到三点 d、 e、 f， 则角一加角二的度数是多少？ 角一加角的度数啊，我们不同人有不同的做法，比如说角一加角二，我们可以等什么呢？你看这一百八十度，这三一百八十度，我们可以等两个一百八十度 减去，对吧？这合计一百八，合计一百，减去这两个角，减去这两个角，所以这五十五，这两个加起来就是一百二十五，所以一百二十五乘以二，那就等于三百六十度，减去二百五十度 等于一百一十度。有的人说，老师你这麻烦，但是每个同学用的方法，如果说你要是把 a、 d 连接起来了啊，你这样想就更简单的了，您说这个角一加加的什么呢？角一啊，等于这两角的和，角二呢，等于这两角的和， 对吧？这两个角和就五十五度，这两也是五十五度，所以也就是角一加加二，就是那个五十五度乘以二等于一百一十度。哎呀，这样来的就更简编了 啊，不管是哪种方法，平时多探索一点，总结好的方法，考试的时候咱们就用简单的方法来快一点。那所以平时要多练习，比如说，比如用我这黑笔字写的这个方法就好多了，所以这题答案我们就选择 d 好， d。 五题数值上表示某个不等式组的解集，则该不等式组可能是， 哎呀，他可能是，您看，这里是 x 小 于 r， 你 看，这里是 x 大 于 r， 这个是 x 小 于 r 大 于 x 吧。这有可能啊， 我们看呢， r 小 于 x， x 小 于 r， 也可能啊，这个，这个是肯定不行的，这是肯定不行的。好，这两个我们再来看看，这个， x 大 于等于负一， x 大 于等于负一。呦，这 c 是 新的不？这 x 小 于等于负一。呃，这个不行，这不行。所以，那么这一题啊，第五题我们就选择 c。 第五题选择 c。 好，我们看到第六题，在三角形中，角 a 等于九十度， a， c 等于三， b， c 等于五。看清楚 a， c 等于三， b， c 等于五的话，那 ab 就 等于四啊。 现在角 a b c 角 a c b 的 平行线加入 d f， 那 就是这两个角相等，这两个角相等。 由于这里平行两这个内角将这两个角相呢？所以平行这个角等于它，所以因此 d f 等于 d b e f 等于 e c e， 因此 d e 的 长度就是 b d 加 c e 题目问 a d 的 周长就是 a d a d 加 d f， 对 吧？就是 ab a e 加 e f 就是 a c e， 所以 三加四选择 c e， 它就等于七。记得点赞关注哦。

八下数学最难的八类几何最值题，全部吃透，稳进班级前三！八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点技巧二，取斜边沿中点技巧三，确定轨迹 技巧五，旋转构造圈等技巧七，手拉手圈等完整版分享！

正方形中非常经典的一个模型叫做绊脚模型， 今天呢我们通过这个视频呢，给大家说一下绊脚模型的三个常见结论。第一个就是我们的等题要用到的是 a， e 加上 c， f 等于 e， f 证明的过程呢，需要延长 e， a 截取 a， g 等于 c， f 连接 b， g 证明两次全等， 一次是三角形 g， a， b 全等于三角形 f， c， b 这个全等之后，加上它的结论可以成第二个全等， g， e， b 全等于三角形 f， e， b 啊，那就是我们第一个结论。 第二个在它的极上衍生的，也就是三角形 e， f， d 的 周长是等于二倍的整个正方形边长的 ab 或者 ad。 第三个结论 连接 a， c 与 b， e 呢，交于点 m 与 c， b， f 交于点 n， 最后得到 m， n 的 平方是等于 am 平方加上 c， n 的 平方的。这个结论呢，也是构造一个直角三角形证明的 构定义啊。三个结论要记清楚的话，这种题就了解了，看到四十五度半角是吧，边长是二，那它的周长就等于四就可以了。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，今天我们继续来看一下二四年八下期中考试的二十三题。 最后这道题目的话呢，考到了旋转平移，也就是咱们学到的呃，第三章的主要内容啊，那这一部分的题目我们该怎么做呢？有哪些技巧呢？大家一定得注意啊！首先，当当当当，这是一个旋转， 让我们判断三角形 c、 b、 b 撇的形状，那你就往特殊了想呗，很明显，这是看着就像一个等边三角形，所以我们就先猜， 那怎么证明呢？旋转一定是出等腰的，这里 c、 b 一定是等于 c、 b 撇的。毫无疑问啊，那么你就差一个什么？就差一个六十度了，同志们，那六十度有没有呢？你角 b 不 就等于角 b 撇等于六十度吗？ 所以这第一问还是非常简单的啊。到了第二小问当中发生了平移，那我们得先分清楚你是把什么给我平移过来了 啊。搞了半天呢，是三角形 b、 c、 d， 这是个什么样的三角形？特殊不特殊，我是不得先了解了解。角 b、 c、 d 是 六十度，那么刚才说了，角 b、 c、 d 它就是一个三十度，所以当当当当， 这是个直角了啊。所以说你这 b、 c、 d 三角形啊，它不是个一般的三角形，它是一个三十度，六十度、九十度的三角形。平移到这个位置，我们看一下接下来题怎么做，好多同学不会做几何题啊，老师说非常简单。第一， m 恰好是 e g 终点的时候，让我们证明 m n 等于 f n。 同志们，那你说题上给的特殊条件是不是得用到呢？ m 是 e g 终点的时候， 也就是 m 啊，如果是 e g 终点，那就意味着这两条线段的长度是相等的。 可是你同时得知道，作为一个三十度、六十度、九十度的三角形来说呢， e g 的 长度就应该等于二倍的 e f， 所以 我可以把 e f 长度也记成一个 x。 同志们请看，这不就有了线段长度相等了吗？所以，那就可能也就有了全等 这一方面的优势。那这个题目我们说怎么做，其实非常简单，同志们，当然方法是多种多样的。比如，首先，我就看到了三角形 e f g 这个直角三角形一定是全等于三角形 e m a 的 啊，三角形 e f g 全等于三角形 e m a。 嗯，你说为啥全等呢？对吧？首先呢，这 e f 是 等于 e m 的 两条边相等， 其次呢，都有两个九十度的角。而再其次呢，那么还知道角 g 是 等于角 a 是 等于三十度的 好吧，哎，这个很容易能证明全等啊，那全等了以后，难道就能说明这个 m n 等于 f n 了吗？还不行，那比如我们还能怎么做呢？同学们，你想想啊，全等了以后呢，顶多是能说明这个 m a 的 长度是等于 f g 的 长度的。 那接下来我再把 a g 两点连起来，当然了，对吧，我们说，你也就能证明这个啊， e g 是 等于 e a 的， 再加上角这个 g e a 等于六十度， 所以我们很轻松的能够看出来，三角形 e g a 是 一个等边三角形。那这样一来呢，角 e g a 的 度数就等于角 e a g 的 度数等于多少度啊？等于六十度了呗。那再配合上我们刚才说了啊，你看 角 e、 g， f 的 度数等于角 e， a， m 的 度数等于三十度。老师绕了半天，想说啥呢？想说的是，这两个角也相等，也是三十度。 等角对等边就能说明 n， g 等于 na， 那 再减一下，也能说明 m， n 等于 f n， 那 啥意思啊？我给大家写完整一下，就是 m、 a 的 长度减去 na 的 长度就等于 f， g 的 长度减去 n， g 的 长度。哎，这样就能搞定了啊。这第二小问还是非常简单的。第三小题你看，又给了一个新的条件，他是给了一个长度啊，说，如果 b、 c 的 长度等于四， 哎，让我们来求一求平移距离。这平移距离你要怎么求呢？同学们，你先搞清楚 b 点，平移到了 e 点，你要求的要么就是 d， e 的 长度，或者求的是 c、 g 的 长度，你看呗，对吧？你挑一个。 那么接着又说，如果 n 点是 a m 的 中点，那这样吧，我就把 a、 n 的 长度记为二 x， 那 m， n 也是二 x， 但这个图是不标准的，咱们来标一标啊，这个 n、 f 的 长度呢，就是 x， 别忘记一比根号三比二的关系，这就是根号三， 哎，这就是四 x。 好， 同志们发现没有？ eg 的 长度等于 bc 的 长度等于四， e、 f 的 长度等于二，而这里 f， g， 它占到了五 x， 长度是二倍，根号三量律对应，这就有了 x 等于五分之二倍的 x 等于五分之 六。好，这 e、 f 的 长度等于二，那 e、 a 的 长度等于二，加五分之六就应该等于五分之十六，而总长是多少呢？同志们，这 ab 的 总长是等于八的， 那你要求的 b， e 就 等于八，减五分之十六等于五分之二十四，就是平移距离搞定你。

今天给大家分享一道特别好的几中填空题，选择清华附中期中考试的附加题。之所以说他好啊，是他在一个非常简洁的题干和图形中，却综合性的考察了初中几何中几个比较重要的知识点。我特别希望大家能够认真的做完这道题之后啊，跟我一起去总结一下我们怎么样才能学好初中的几何。首先我们看这个题， 他的核心辅助线就来自于这个角 a 减角 c 等于六十度，这个角 a 减角 c 等于六十度，有一个非常明显的提示，就是去构造这个六十，我们要在这个比较大的角 a 中去构造这个六十度，一旦构造完了之后，我们不仅可以得到一个六十度的特殊角度在这个位置，而且还可以得到他所剩下的这个角，假设是角一 角一，刚好是等于角 a 减去六十度，所以我们同时得到了一个等腰三角形， 这样一看我们就能明显的感受到这个辅助线他非常的合理，因为他充分的被使用上。这就是我们讲的第一个叫做很多辅助线他到底是怎么去思考的， 底层就是我是不是能够把这个辅助线更好的发挥出来。第二，当我做完这一步之后，哎，我还是没有办法能够求出具体的长度 啊，比如说这个点是 d， a， d 还是求不出来，虽然我知道 a， d 等于 d， c 怎么办？那我们就要回到那个特殊的六十一呢，向 a、 d 做一条垂线，假设这个点是 e， 根据这个特殊的六十度角，我们其实是可以求出 b、 e 的 长， a、 e 的 长， 但问题是还是无法很好的去使用这个等腰三角形，这就是本题的一个最大的卡点。那怎么办？哎，换一个思路，如果我这样做呢？这样去做，我就没有把 a、 d 和 c、 d 给它切割开来，我没有把 a、 d 切割出开来，我就得到的是完整的 a、 d 和 c、 d。 同时我在这个位置呢，也能得到一个特殊的六十度角，但我同学说了，老师你这个特殊的六十度角没有一个确切知道的边长， 那怎么办好？所以这个位置还需要综合另外一个知识，就是我在上面写到的叫做背靠背直角三角形。所谓的背靠背啊，就是这个地方有直角三角形，他们俩有一个公共的直角边。 本题是一个变式的背靠背直角三角形，更朴实的背靠背直角三角形的这个知识模块，我在这地方不做更多的展开了，我们就先讲具体的这道题。在这个位置，我就可以假设 a、 f 的 长为 x， 根据特殊的直角三角形，得到 a、 d 的 长为二倍的 x， dc 的 长为二倍的 x， 那 b、 d 的 长就是十五减去二倍的 x， b、 f 的 长就是五，减去上面那个 x， 这地方还有一个根三 x 特殊的直角角形，由此我们得到底下这个直角角形 b、 d、 f 三角形 b、 d、 f， 它是一个直角三角形，在直角三角形中呢，就会出现角五厘米，也就得到了根三 x 方的平方加上五减 x 方的平方等于十五减去二 x 方的平方。一展开之后，发现 x 的 平方相加 x， 直接求得是一个矩形的整数四， 那这样一下我就能得到更多的边长了，我们把这些边长给它展示到下面来，这条边是八，这条边是八，这条边是七。到这个位置之后我们再干嘛呢？再去利用前面刚刚说的这个长度 啊，他就比较清晰了，那我们就可以得到，由这个五可以得到，这是二分之五倍根号三。接下来我要求什么呢？求这个三角形 a、 b、 c 的 面积，我就需要知道这条高， 那这一条高怎么求呢？第三个知识点就是等面积法，这个并不算难，在我们初中应该是非常普遍的。假设这个点是 p 点，再做一条垂线，这个点是 q 点，我的目标是要求 a、 q， 我 已经知道 b、 p 了，我就可以得到三角形的面积 a、 b、 d 的 面积，它等于二分之一乘以底， a、 d 乘以高， b、 p 也等于二分之一乘以底， b、 d 乘以高 a、 q。 所以 就会得到 a、 d 乘 d， p 等于 b， d 乘 a、 q。 在 这里面呢，有三个都是知道的，这个是八，这个是二分之五倍，根号三，这个是七 a、 q。 要求啊，很容易求解出 a、 q 的 长等于七分之二十倍的根号三。 有了 a、 q、 f， 三角形 a、 b、 c 的 面积就等于二分之一乘以 b、 c 乘以 a、 q， 最终就算出来，呃，是七分之一百五十倍的等号三。我们讲完这道题之后，稍作总结，说一说它到底考察了什么呢？哎，它考察了多个我们初中几何中比较重要的知识模块。 什么叫知识模块呢？你比如说我们往前看，这个第二块背靠背的直角三角形 怎么去求解？他就是一个稍微复杂一点，又比较重要的一个知识点，最上面我们考的是什么？是你如何结合已知条件啊，去构造辅线，而一道综合的出的一个比较好的几何题， 他就是要去把这些每一个都不是那么难，但是却综合起来，需要你一个个攻克这么一种组合，变成了几何的组合。 我们需要做的就是首先要把每一个知识模块都给他学的非常的清楚透彻，然后要在综合题中反复去训练如何的去灵活去使用它，尤其是在某些几何题啊，你无法判断某一个思路，它一定正确，你还是需要去尝试， 这里面还需要速度，你能够非常快速的去试出每个看似可能性最高，优先在那个地方去发时间，这就是我们的几何综合北京对同学们的考察。

我们来看一道关于折叠等腰 这样一个分类讨论的问题，这个题目呢，经常在考试中，数学上处在十五题的位置，属于整个试卷最难的一道题目了，所以同学们在做的时候呢，可以放到后边再写，我们来看一下它的思路。第一，折叠呢，只要有定点的折叠的话， 我们想到它的折叠方式，其实是这个动点，是以定点为圆心，以定长为半径的一个圆上运动。那这个折叠我们看一下， d a 的 长始终不变，直到 d m， 这也是不变的，所以 m 的 落点呢，它就是以 d 为圆心，以 d a 长为半径的这么一个圆上，大家可以拿圆规呢，把这个运动轨迹给它画出来， 这是 m 的 位置。第二个是等腰分析，等腰分析呢，大家一定要分三种情况来分析，因为对于这个梯状形 bcm 呢，我们知道它有三边，分别是 bcm 和 cm， 三种情况，分别是任意挑两边相等，我们再逐一去观察排除就可以了， 这样能做到不重不漏。那下面是分类讨论，也就是对这个等腰进行分类的。再看第二个要求， bcm， 如果是等腰三角形的话，我们看到等腰三角形，其实也要想到的是分析这个动点 m， 它满足的条件叫两圆一线， 两圆一线找等腰， bc 是 固定点，当 bc 等于 bm 的 时候，其实是以 b 为圆心， bc 成为半径，就这么一个圆 啊，你可以让圆规把它画好，做成一个圆。我们发现这个圆呢，和刚才咱们做的以 d 为圆心， d 成为半径的圆呢，没有交点，所以 b c 等于 b， m 在 此题中是不成立的，又舍弃了 第二个， b c 等于 c m， 我 们是以 c 为圆心，以 b c 成为半径去做这么一个圆，根据数据我们可以知道这是六，这是三，恰好在这里是相交了，所以这个是成立的。但是呢，这个 m 只能在 d c 的 终点的位置， 那我们找到 m 的 位置，去找折痕 p 的 时候啊，折点 p 的 时候，我们发现可以做这个角， d a d m 的 角平分线，也就是一个九十度，一半四十五度，所以它得到的是四边形 d a p m 此时是一个正方形 p， 在 这里 类似我们平时折折正方形的这样一个方式，所以此时的 a p 呢，它就等于边长三，那 b p 呢，也就是三了。好，这是一个答案， b p 长等于三， 那看第二种情况，已经搞定了。第三种， b m 等于 c m， 那 说明 m 呢，是在 bc 的 垂直平分线上，这就是刚才我说的两元一线，两元指的是以定点为圆心的两个圆，分别是 bc 是 吧？以 bc 上我赶紧作圆找两目情况，一线呢，指的是 bc 的 垂直平分线， 那既然是垂直平分线，大家想一想啊，它垂直平分 bc 肯定也垂直平分 da 了。那么回到这里，那就分析此时 这个 am 就 在这个位置， am 和 dm 肯定是相等的了，因为垂直平分线的点到两端的距离相等，它等于 d a， 因为 dm 和 d a 呢，是反折过去的，所以能得到一个等边三角形， a， dm 是 等边，那接着推出来角 a dm， 它是等于六十度啊， 有三十度我们就知道了，角 adm， 它就是三十度啊，有三十度，我们再求 a p 的 长， 初二同学呢，可以设 a p 是 x， 这里是二 x 勾股定律列出方程求出 a p 的 长是根号三，那 a p 的 长是根号三，那 p b 的 长呢？就是六减根号三 啊。整个题目呢，我们看一下分析还是需要大家储备更多的知识的折叠，咱们要注意它是定点定长的，一个圆分析的当幺注意分三种情况来讨论，然后讨论时呢，利用了两元一线的思想来确定了各个点的位置。

今天我们来讲一下昌平二六年八年级下册期中考试中填空题最后一题的题型。如图，菱形 a、 b、 c、 d 中对角线 a、 b 与 c、 d 相交于点 o， 且 a、 c 等于八厘米， b、 d 等于六厘米， e 在 a、 b 边上，且满足 a、 e 等于二点五厘米。 若 p 为 a、 c 上的一个动点，求 p e 加 p、 b 的 最小值，那么我们一看到最小值问题，我们首先就可以考虑到是不是和将军引马有关。 那么此题中既为 a、 c 上的一个动点，那我们知道利用将军引马解题，可以先找到对应动点所在的直线，以这条线作为对称轴，另一个定点进行对称。那么这个题中我们已知 e 点为动点， p 点也是动点，而 b 点是已知固定的点，那我们可以将 b 点关于 a、 c 进行对称， 那么此时 p、 e 加上 p、 b 的 长度就可以转化为 p d 加上 p e 的 长度，我在途中将它标出来。 此时我们可以看出此时 p 点作为一个动点，而 e 点和 d 点分居在 p 点的两侧，我们知道想求它们之间长度的最小值， 可以将它们转化到同一条直线上，那么此时相当于最小值就是满足 p 点。 d 点和 e 点在同一条直线的时候，也就是在途中我直接将它画出来，此时相当于直接求出现段 p、 d、 e 的 长度。 那么现在这个问题就转化为了如何求出 d、 e 线段的长度。 那么接下来我们就可以利用题干中已知的一些长度，看看能不能求出对应 d、 e 的 长度。已知 四边形 a、 b、 c、 d 为一个菱形，那么由此我们可以推出对角线之间的关系，可以满足哦， a、 c 垂直于 b、 d， 且满足 o， a、 c 和 b、 d 的 中点。那么此时我们可以知道，因为一点在 ab 边上，我们可以将 ab 边的长度求出来，那么此时我就可以求出 o a， o b 是 不是等于二分之一的 b， d， 也就是三厘米？同理， o a 等于二分之一的 a， c 等于四厘米。那么又由已知的直角，我可以求出 a、 b。 由勾股定律是不是可以得到 o a 的 平方，加上 ob 的 平方就等于五，很明显，这是对应的勾股数。 又已知 a， e 等于二点五厘米，那我就可以说 a 对 应等于二分之一的 ab， 正好相当于，所以 e 为 ab 的 中点， 那么我们继续分析。想求出 d e 的 长度，那我们知道，一般求出现断的长度，要将它放到一个对应的直角三角形中，而现在很明显 d、 e 并没有在一个对应的直角三角形中。那么我们观察一下图像，已知对应有直角， 还知道 e 点是一个中点。那么你看在三角形 o、 a、 b 中，我们考虑能不能构造出对应的一个直角三角形呢？可以怎么去构造？我们可以过点 e 向 b d 边做垂线， 我们做垂足为 m， 那 我可以说做 em 垂直于 b d， 那 么此时我就可以发现可以得到 a、 c 是 平行于 em 的， 又因为 e 为 ab 边的中点，那么由中位线定里，是不是可以得到 m 为 ob 边中点？ 我在这里标出来，对应的是中位线定里， 那么此时想求 d 的 长度，我们只需要在三角形 m、 e， d 中可以得到 d， m 边就等于对应的 o d 加上 o m， 也就是刚刚已经求出来了 o d 等于 o b 等于二分之一的 b， d 也就是三厘米， 加上对应的三的一半，也就是一点五厘米，也就是四点五厘米。 同理， md 由中位线定里等于二分之一的 o a， 那 么也就是二厘米。 最终由勾股定里可以得出 d 一 等于根号下 d m 方加上 m e 的 平方，在这里标出标错了，应该是 m e， 最终我们算出来结果应该是四点八厘米，所以这个题就完成了。 我们简单总结一下这个题重点涉及到哪？哪些考点。首先第一部分，它涉及到了一个将句引码进行解析， 那么将军法是将对应的两条线段的最小值转化到了同一条线段上，再去求它的长度，那么想要求它长度，利用菱形的一些性质可以得到对应的一些边长。 那么最终我们还要去构造一个勾股定律，将我们想求的线段放到一个直角三角形中， 最终进行解析。好了，这是这个题的解析思路。

这个视频我们讲解一下，八年级下车进门考五步。首先第一个下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的，那么在这里呢，应该选 a、 b 选项呢？那么它是轴对称图形。 c 选项呢，它是中心对称图形。大选项呢，也是中心对称图形，只有 a 选项既是轴对称，又是中心对称。接着第二题，如图，将三角形 abc 绕点 a 旋转四十度，那么我们就可以得到他的旋转角 b a 大， 那么他呢，就要等于四十度， 然后点 b 呢的对应点点大恰好落在 b、 c 上，现在呢，要去求角 b， 这时候根据旋转，我们可以得到旋转前后对应边和对应角是相等的，那么 ab 和 a 大 呢，就要相等，所以三角形 ab 大 就是一个等幺三角形，顶角是四十度，那么底角呢，就等于一百八减四十除以二就是七十度， 所以在这里应该选大。第三题，如图，已知 a、 b 两点的坐标分别是 a 点坐标是负三斗一， b 点的坐标是负一斗三， 将线段 a、 b 平移，得到线段 c 大， 若点 a 对 应的点 c 是 一斗二，这时候呢，我们就发现，那么点 a 到点 c， 首先第一个横坐标从负三变到了一，那么说明向上平移了两个单位， 那么这时候点 b 平移到点大，也应该是同样的，那所以说横坐标负一加四就等于三重坐标三加一就得四，所以平移以后，那么点 b 对 应的点大，他的坐标就应该是三逗号四选 c。 第四题，如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点 b 到点 c 的 方向平移，得到我们的三角形搭一 f 的 位置，并且呢告诉了你， ab 的 长度是等于十二的，搭 o 的 长度是四，那么平移的距离呢，是等于六， 那么平移的距离等于六，也就可以得到我们的这一个 b、 e 的 长度呢，那么也就等于六。现在要去求阴影部分的面积，首先呢，我们可以得到平移以后两个三角形 a， b， c 和三角形搭 e、 f 全等，说明他们两个的面积也要相等， 那么我们假设这个梯形是圈圈一，这个三角形是圈圈二，这个图形呢，那么是圈圈三，这时候呢，我们就可以得到圈圈一加圈圈二的面积呢，就等于圈圈二的面积，加上圈圈三的面积，那也就可以得到圈圈一的面积等于我们的这一个圈圈 三的面积，那也就说明这一个 s 阴影部分的面积，那么它也就等于我们的这一个梯形 a、 b， e、 o 的 面积，而梯形的面积呢，是等于上底加下底的和乘高除以二 上底，那么是 o、 e， 那 么这时候呢，我们可以得到 a、 b 和大 e 相等，都是十二，十二减四，那么 o， e 呢就等于八，所以上底八加下底十二的和乘以高六，再乘以二分之一，所以这时候呢，我们就可以算出它的结果， 二十乘以六就等于一百二，再乘二分之一，也就等于六十，所以在这里应该选 a。 接着下面第五题，如图， e 为正方形， abc 大 了一点，那么角 c， e， b 那 么是一个直角九十度， c， e 呢要等于三， c， b 呢要等于五。根据勾股定律，我们可以得到 b， e 的 长度呢，就等于四，现在呢，要去求三角形搭一 h， 那 么它的这一个面积，那么这时候呢，要去求它的面积，首先第一个呢，我们就要分别去找到它的这个底和高， 首先我们在这里呢可以得到，那么图中呢，是将三角形 c、 b、 e 绕点 e 顺时针方向旋转九十度得到的三角形 c 搭 f， 那 也就说明 b、 e 的 长度和搭 f 的 长度呢，他们两个是相等的，那这时候就可以得到搭 f 的 长度也等于四。 那这时候旋转的九十度，我们可以得到这个角 e、 c、 f 是 九十度， c， e 呢，和 c、 f 是 相等的，也等于九十度， 那这时候呢，角 c、 e、 h 也等于九十度。所以这时候我们就可以得到 c、 e、 h、 f 呢，它应该是一个正方形， c、 e 是 等于三的，那么 h、 f 呢，也叫等于三， e、 h 呢，也叫等于三。而大 h 呢，就等于大 f 减去 h， f 也就等于一，所以那么这个三角形的面积就是二分之一，乘一，再乘以三，算出来就等于二分之三。选 a。 第六题，已知点 p 一 和 pr 呢？关于圆点对称，关于圆点对称呢，说明横中坐标也就是 x、 y 都要互为相反数， 所以这时候呢，我们就可以得到这个 a 减一呢，那么它就要等于负二。第二个呢， b 减一呢，就要等于负一， a 减一等于负二，那么说明 a 呢，就要等于负一， b 减一等于负一，那么说明 b 呢，就要等于零。所以这时候 a 加 b， 也就是负一加零的二零二五次方，也就是负一的二零二五次方，就等于负一。第七题，如图，平面直角坐标系中线段 ab， 那 么他们的坐标呢，分别是负五到零和 零的负三。若将线段 ab 平移至线段 a 一 b 一， a 点对应的点呢，是 a 一， a 一 的坐标呢，现在是负三，逗号 m， b 一 的坐标呢，是 n， 逗号一。那么根据 a 点，我们可以和 a 点的横坐标是负五， a 一 的横坐标是负三，我们可以得到 a 点呢，实际上是往我们的右平移了两个单位，说明 b 点呢，也要往右平移两个单位。 b 点呢，现在横坐标是零，往右平移两个单位，那么 b 一 的横坐标就应该是 二，也就说明 n 点 n 呢就要等于二。然后这时候呢，根据 b 点，重坐标是负三， b 的 重坐标是一，说明他向上平移了四个单位，那说明 a 点也要往上平移四个单位，所以平移四个单位之后， a 一 的重坐标也就是 m 呢，就等于四， 那所以这时候我们就可以得到了， m 是 四， n 是 二， m n 呢就是四，乘以二就等于八。接着下面第八题，如图，在 r、 t 三角形 abc 中，然后这一个角 a、 c、 b 呢是九十度，角， a 呢是三十度， 那我们可以得到三十度，所对的直角边等于斜边的一半， bc 是 二，那么 ab 呢，就要等于四。根据含有三十度的直角三角形三边的这个关系呢，我们可以得到。那么三边的关系呢，是一比二，比根号三，所以 ac 呢，就等于二倍根号三。 然后这时候呢，要去求 a 大 的这一个长度，那么这时候呢，我们就可以得到。那么这时候是将这个三角形 a、 b、 c 绕点 c 旋转的，得到三角形搭 e、 c， 并且呢要当点大，恰好落在射线 ab 上的时候， 那换句话说呢，这时候我们就可以得到这个角 a、 b、 c， 它呢是六十度，并且呢，此时我们的这一个角 c、 b 大， 它呢就要等于一百二十度。 而因为我们的 a、 c 转过去之后呢，就是我们的这个 c 大， 所以 a c 和 c 大， 他们两个的长度呢，是相等的。 根据我们的等边对等角，所以角 a 是 三十度，那么这个角 c 搭 b 也就等于三十度，那么角 c 搭 b 是 三十度，那么我们也就可以得到这个角 bc 大 等于三十度，那么我们就可以通过 等角对等边， b c 和 b 大 相等， b c 是 二，那么 b 大 呢，也就等于二， a， b 是 四，二加四， a 大 的长呢就等于六。关注我，学习更多数学知识！