华东师大七下轴对称三角形证明题基础

老师您好！在上课之前呢，先请同学们随音乐跟我一起来欣赏这样一组图片，这是巴黎埃菲尔铁塔， 法国教堂水墨枪。在 好，我们生活中有很多这样美丽的图形，那接下来请同学们看这样两幅图片， 你们觉得哪一幅图片上的人物更美呢？第二幅，第二幅，为什么？ 因为他更对称。什么对称眼部眼部眼睛，眼睛眼睛很明显，是吧？因为他的眼睛更对称。那这节课就让我们一起来探究生活中的对称美。 这里有一张蝴蝶的图形，我在这张图形上画 一条直线，请同学们观察。如果我将这张图形沿着这条直线对折，仔细观察， 对折之后，我们看到直线两旁的部分是能够完全从 和，是能够完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，那这条直线我们就称为对称，就很好，那这就是轴对称图形呢？ 根据刚才我们的折叠过程，同学们能不能够用自己的语言，用书面语言来表达轴对称图形的定义呢？思考一下 好了，我请一位同学来帮我填一填。好讲理， 线对折，主线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做折对称图形，这条直线就是他的对称折。刚才我们的蒋女同学说的很好， 同学们特别要注意，在定语当中，我们尤其要强调的是，轴对称图形，是针对几个图形而言呢？一个对，它是针对一个 图形而言的，是吧？而且折叠之后，直线两旁的部分是能够完全从能啊，这条直线就是对称轴。 明确了轴对称图形的定义之后，我们同学能不能够在生活当中密举一些轴对称图形呢？ 接下来请我们同学按座位分四个组，然后请每个组的同学积极发言，力举生活中的轴点式图形，比比看，孩子同学长得最多 好相信。比如说生活中的黑板，黑板，还有眼镜，眼镜，眼镜， 我知道的，眼镜是吧？手表，哎，手表，看手表的表面，他也是什么轴对称图形，对吧？很好，还有哪些？走好？第一组的同学，来，你来说，还有电视哦，电视的 平面是吧？椅子，还有椅子，椅子的那个板板凳，那个 体面是吧？是哎，很好，好，请坐。还有吗？好。第三组同学，老师，您的衣服啊，我的衣服也是对称的，是吧？也是轴对称图形，很好啊，请坐，还有吗？好。第四组同学， 呃，还有风扇，还有风扇，对了，我们教室里边挂的风扇也是肘子这头型，还有桌子，还有桌子，哎，桌面也是 不行，很好啊，请坐。看来我们每一组的同学发言都很积极，而且我们同学对生活当中的事物也观察的非常的细微， 当然了，今天的时间有限，我们不能够一一立举完生活中的轴对成图形，好，我们下来再慢慢的立举。 那刚刚我们同学逆举的轴对称图形当中，我们发现其实这些轴对称图形有不少是由几种常见的几何图形组成的，比如同学们逆举的桌面长方形。

十五贴带孩子期中逆袭冲击一百一今天讲轴对称将军印码，另外期中押题卷也整理出来了，全国十二个版本都有电子版取件码三六三、 已知等腰直角三角形 a、 b， c， d 和 e 分 别是边上的两个定点， m 和 n 分 别是边上的两个动点。当四边形 d， e， m， n 周长最小的时候，过这两个角的和是多少， 要求两个角的度数之和。先找到的应该是周长最小的时候 m 和 n 的 位置。所有将军印码问题的第一步一定是找定点，做定点的对称点，那这里一点是定点，那我就做 e。 关于 a， c 的 对称点为 e， 一 连接 e， e， m， 由于轴对称，小 b 就 被转化到了这个位置，那同样我可以做点 d。 关于 bc 的 对称点 d。 一， 由于轴对称连接 d， n， 那 么小 d 就 被转化到了这个位置，那现在由于 d 和 e 是 定点， a 其实是一个定值，那求的就是这个小 b 加小 c 加小 d 的 最小值，那不妨直接连接 d 一 e 两点之间线段最短，那么真正的 m 点就应该是在这个位置， 真正的 n 点应该在这个位置，那么我们要求的两个角，一个在上面，一个在下面。要求这两个角的度数和那。由于对称，我可以设这个角为 r 法，那 e， e， e， m 其实是一个等腰三角形，它也为 r 法。 我们要求的这个角其实就是等腰三角形的外角，它为阿尔法，那同样设底下为贝塔。由于对称，这也是贝塔，那它的外角就是二贝塔，求的其实就是阿尔法，加上二贝塔的度数，那我可以求阿尔法加贝塔， 那在这里又出现了一个三角形，而这个阿尔法加贝塔其实是这个三角形的两个内角，那他们的核就等于他的外角，所以这里是阿尔法加贝塔。由于等腰直角三角形，这是四十五度，由于做了对称，那么 这是垂直，所以阿尔法加贝塔为四十五度，那么阿尔法加二贝塔即为九十度。搞定将军一马六大模型的讲解在置顶视频，快去看看吧，孩子有方法，家长不焦虑。

小朋友们，我们今天来讲一道轴对称问题，我们来看这道题，如图， a、 b、 c、 d 中一点在 a、 d 上，且角 a、 b、 e 等于三十度，分别以 b、 e、 c、 e 为折线，那图二啊，为对折后， a、 b、 c、 d 一 撇五点 均在同一平面上的位置。图若右图的就是折重叠的，这部分的小角等于十五度。折角 b、 c、 e 撇的度数为多少度呢？ 那我们先观察下图，那我们可以先列出他给我们的信息， a、 b、 e 等于三十度，然后中间的小角等于十五度， 那我们就可以推出角 a、 e、 b 等于多少度。因为左边这个小的直角三角形，他已经给出我们两个角，我们就可以求出另外一个角了。 然后我们再标出我们要求的那个角是角，图的是 b、 c、 e 撇角 b、 c、 e 撇，那我们先把在这个在图上标下来，然后呢，那我们想求这个，我们就先得求角 d、 e、 c。 为什么呢？因为 长方形两对边平行，说明这两个阿尔法是内错角，那就说明他们相等。但在图二上列出六十度和阿尔法处于一个平角上， 那我们再算出上面的平角，就可以求出阿尔法啊度数了。那我们来看一下，那这边折叠的部分和前面原有的部分是相等的，然后右边的阿尔法的也是一样的，但是我们要注意了，中间的这个六十度和阿尔法都包括了中间的十五度， 那我们就列为六十度加六十度，加两个阿尔法就等于一百八十度加十五度，但两个阿尔法就等于七十五度，所以阿尔法等于三十七点五度。所以啊，角 b、 c 一 撇度数为三十七点五度四 d。

长春的七年级家长朋友们你们好，我今天跟大家说一下，我们七年级下要学习哪些内容，那么作为寒假呢，我们要让孩子呢去预习七年级下的内容，滑稽版七年级下一共有五张，第一张呢就是一元一次 方程，第二张是一次方程组啊，这里包括像二元的或者三元的，那么第三张是一元一次不等式，第四张是三角形，第五张是， 嗯，轴对称，平移和旋转。那么第一张第二张这是解决实际问题，实际应用问题的，第三张不等式这一块，那么它的难点呢，在于 学数学，记得关注哦，就是含餐的这个取值范围这块呢，有很多孩子在学这块的时候呢，感觉有些难，其实只要掌握了方法就可以了。 第四张三角形这一块，那么无外乎就是像三角形啊，他的内角和外角和多边形，他的内角和外角和，还有呢就是我们拼地砖啊这样的一些题目， 这是近两近几年啊，就是出的一个新的一个题型，然后最后一张第五张就是轴对称、平移和旋转，那么像这样的题的话呢，基本上呢，孩子都能得分，那么整个一本书 就这么五部分内容，嗯，跟孩子讲清楚，哪块是重点，哪块是难点，哪块要干什么，把这个视频呢，点赞转发分享给你身边的朋友或者是孩子们。

这个题五边形角 b a e 一 百五十二度两个直角， a b 等于 b c， 然后 a e 等于 b， a e 等于 b， a b 等于 b， 他 说什么呢？不知道啊，来吧， 在 b c d e 上我分别找了个 m n 使三角形 a m n 的 周长对小时，问角 a m n， 它加 a m 的 六十 按键就是这个最小，他一出来我们就蒙圈了。那我们旗下我们就是学的那个对称，好吧，没学别的啊，带这个他本来就运动，能看出来，我们前面也讲过这类似的题目吧。啊， 那这个题目呢，就是做对称，你不做对称的话，你 amn 的 周长你根本就看不出来啊，就 am， 我 给他对称一下，然后，然后这个 an 给他对称一下，然后呢？哎，就能看出来了，有动有动点，有定点，是不是我就能看出来最小，那我们就上手 就知有没有。那这边我给他延长， ok， 这边也 ok 吧。好，那么做对称没？嗯， a 一 来一个 a 一， 然后呢？这边，哎，我们再，我们再稍远一点吧，稍远一点，看着怎么回事。然后呢？ a 二来一个是吧？这个时候 a m， 我 就给它对称成了 a 一 m， 对 不对？ a， 呃， a 二 n 我 就不是，呸， a n 我 就兑换，我就对称成了 a 二 n， 然后就就看这三段对小字，但是你要知道这两这 m n 在 动啊， m 在 动， 它一定是大于什么呢？一定大于 a a 二了，对不对？什么时候等于 a 等于 a a 二呢？就是 amm 在 这的时候，按在这的时候啊，这个我们再不细讲了啊。嗯， 不，不懂的话你可以在群里面。好吧，好，什么时候它是一去到了一个最值呢？就是 m， 嗯， m 在 这里的时候摁在这里的时候请注意 m 在 这摁在这。那，原来原来算什么原原原来算啥呢？原来我就给你涂没了我原来你算啥原来我就给他涂没原来没了啊没了没了没了，就这边没了。因为这你看到你看到我的我的 m n 了吗？是不是原来原来啥也不是啥也不是了，没了 你，你不要再不要再怀念从前，不要在这里重温旧梦啊。 m 在 这了，朋友好吧，那我们重新画下图来 blue blue， 他 是不问他和他的对小字，为了方便起见，我给他起个名字叫 x x， 这个叫 one， 然后我们来看一下来再来捋一下条件，这里是幺五二这里是幺五二。然后其实我是知道谁呢？我知道这个，这个和这个的盒呢是一个。嗯， 二十八。来看啊，我，今天我用这，哎，这是阿尔法哎这是这是这这这是贝塔。好吧，那你说这里有个滤芯，哪有滤芯啊？这刚这刚开始的那个没有，是不是阿尔法加贝塔是不是等于二十八，这个一点毛病没有吧。 阿尔法加贝塔等于二十八，你别忘了还有对称啊，条件充分利用这个阿尔法，这个也是贝塔。 这也 alpha 呀这也 beta 呀，是不是。所以我能再接着推出来什么呢？就这个地方这个角我是不知道了，一百五十二减二十八等于一百二十四角 m a n 一 百二十四度， 然后他问他问，哎，一百二十四怎么看上去有点不太像啊，但是确实是啊。好吧，那 那这两个角的和那就只能是五十六了，对吧，因为这个三角形的角和一百八吗？好，看上去不太像，但他确实是的。

咱们苏科版七下数学比七上难很多，到底难在哪？今天我们来说一下。首先这个学期咱们会提前学到八上的三角形和全等三角形的证明， 结合着七下要学的轴对称部分几何在这个学期正式进入了系统推理的阶段，那么代数部分在这个学期会去着重考察变形和应用的能力，所以压轴题的部分整体的灵活性和综合性有很大的提升。 那么从代数的角度来看，我们在期上的时候学了一些有理数的计算，整式的加减一元一次方程，这类题型比较简单，而且相对死板，你只要多练就能拿分。但是看期下的部分，前两张 me 的 运算整式乘法有一些学校已经学了，你会发现这两张他的公式特别的多，而且特别容易混淆，那在考试的时候也会去考察 me 的 运算和整式乘法的综合性计算题。 比如说整式乘法的一些乘法公式，不仅要求你对公式记住，而且要正用、逆用配凑着使用都熟练掌握，不是只会带公式这么简单而已。那么后面的方程组和不等式部分，除了会去考察计算题，韩餐问题，也会去考察一些 实际应用问题，这类问题在考试的时候会去考察一道压轴大题，那么像不等式的部分，他难点在于哪呢？他要求同学们在实际问题中抽象出具体的数学模型，所以这类问题是这个学期代数的一个难点。那么从几何的部分来看啊，我们初一上的部分学了一些简单的线段 角平行相交，要求你会做一些倒角或者是求线段的长度判断平行， 那么这类问题他其实都是一些单步的推理证明过程极短，而且证明题极少，但是涉及到七加之后，我们接触到一些三角形，全等三角形以及轴对称，包括一些轴对称的最值问题， 他的证明过程都是比较复杂的，而且涉及到多步推理，所以要求你独立能写出完整的证明过程，包括要会进行条件转化， 如何做辅助线，那么几何的部分在这个学期也会去考察一道难度不低的综合大题，会去导致我们期下数学的成绩因此而拉开差距。那么也就是说我们期上他其实考的都是一些单一的知识点，期下考的都是一些综合性的知识点，所以老师给大家几条建议。你在这个寒假第一点 一定要去把一些代数的部分，比如说 me 的 运算，整式乘法公式熟练掌握，并把他的一些易错点进行熟练的练习。那么有一些没学 me 的 运算和整式乘法的同学，你一定要去提前预习好 代数的部分，一定要去把三角形那些基础知识点，包括一些全等三角形五大证明依据，你要去提前预习好有能力的同学，你可以去练习独立的去写出一些完整的证明过程，那么做好这两点之后，大家七下学起来应该会顺畅很多。

呦，欢迎来到这张结尾哎，话说你还记得这张叫啥吗？等腰三角形？错， 这张叫轴对称呀亲！或许你早已被等腰三角形的众多性质判定弄得糊里糊涂，但万变不离其宗，轴对称才是这一切的本源所在。 作为一种特殊的几何变换，轴对称和平移一样，离不开的关键词是完全重合。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这里有两个关键元素，折叠后重合的点叫对称点， 这条直线就是对称轴。而如果一个图形自身沿一条直线折叠就能重合，它就是轴对称图形。我们之所以研究轴对称，当然是因为它拥有众多非常实用的性质。 因为重合，所以关于某条直线对称的两个图形是全等型。而且对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 以及对应线段或延长线相交的话，交点一定在对称轴上。多看每一条性质或许还摸不到头脑，但联系上它们相关的内容，就能加深理解。先看第二条性质，对称轴其实是一条特殊的垂直平分线， 也就是说，这条对称轴垂直又平分了所有这些对应点相连的线段。想想折对称的定义，把它折叠过去，完全重合也就明白了。 而顾名思义，垂直又平分。经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，就叫做这条线段的垂直平分线。 他最得天独厚的性质就是线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点距离相等， j p a 等于 p b， 反过来与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 也就是所有满足 pa 等于 p b 的 点 p 都在这条直线 l 上。借助两点确定一条直线，只要做出两个到点 a 和点 b 距离相等的点，再相连， 就是线段 a b 的 垂直平分线。按照痕迹，你肯定能回想起作图过程，而事实上，所有有关轴对称的作图都离不开垂直平分线的性质，谁叫对称轴就是条垂直平分线呢？不对称轴实际上就是在做垂直平分线， 只要找到对应点，所连线段的垂直平分线就是对称轴。而根据对称轴做对称图形呢，实际上就是已知垂直平分线做出圆线段，确定关键点之后，沿着垂线方向做相等距离的线段就可以了。最终再把关键点的对称点一连，就是我们要做的图形。有关轴对称第二条性质的都做完了， 回头来看看这第一条，全等全等出相等呗，有啥可说的，这就是等腰三角形所有性质的源头。等腰三角形自身两腰相等， 而由于它是一个轴对称图形，沿对称轴折过去，两部分完全重合，就有两个底角相等，等边对等角来。至于顶角平分线，底边上的中线高相互重合，三线合一。反过来要判定等腰三角形的话，圆圈上只有定义两腰相等一条途径。 通过证明，我们可以借助两角相等，即等角对等边或三线合一间接证明两腰相等，从而判定等腰三角形。 等腰三角形更对称的还有等边三角形，一条边相等一条对称轴，三种折法都重合推出三个角相等都为六十度和三组三线合一反过来判定。等边三角形呢，可以从三条边或三个角相等出发，一步判定。 也可以从先转等腰，再结合一个角为六十度，两步判定再变三角形。除对顺。作为一种工具，它的性质最直接的应用我们就都说完了，但总觉得还缺点什么，哎。更有意思的，作为一种几何变换，它还是一种看待图形的视角，图形仅仅位置发生变化，而数量上没有改变。 最典型的应用就是将军印马问题了，两点之间线段最短点，在线段同侧无法解决问题的时候，就可以通过折对称画折线为直线，把线段转移到我们需要的地方去。在更多的几何形中呢，也是通过折对称的视角做出辅助线来解决问题。把 不相关的线段通过折对称转化到一个图形中，产生关系，解决问题。好啦，折对称就总结到这里，它其中更深刻的思想还有你自己多多体会啦。

初中必考三大变分，平移、旋转、轴对称，而其中最常考的就是轴对称问题。黑板上这道题是我们期末必考题型，也是考试中的一道填空压轴题，我们来看一下， 如图，在三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度。好，这个角是九十度， bc 等于六， ac 等于八， a b 等于十。动点 p 在 a b 上运动，不与 ab 重合。关于 p 点啊，这个 p 点啊，关于这个 bc 的 对称点是记作 p 二的 p 点，关于 ac 的 对称点，记作 p 一。 让我们求的是线段 p 一 和 p 二长的最小值。好，既然 p 点关于 bc 的 对称点是 p 二，那我们同学来看一下啊，也就意味着这而垂直的关系，对吧？也就这一段 和这段应该是等长的，也就是 bc 是 p p 二这条线段的垂直平分线，对吧？我们有一句话叫做见中垂连两端 啊，垂直平分线也叫中垂线，叫见中垂连两端， 对吧？ p 和 p 一 是关于 a c 对 称的，所以啊， a c 是 p 和 p 一 这条线段呢？垂直平分线好见中垂，这是中垂线好，也就是 c p 一 应该是等于 c p 的 啊。键中垂连两端，这是线段的两端好， c 点连接 p 一， 再连接 p 好。 同理， c 点连接 p 二，再连接什么 p， 所以 啊，哎，同学们来注意， c p 一 就等于什么 cp， 这条线段和这条线段是相等的。同理， c p 二是等于 cp 的 好，也就是 cp 一 等于 cp 等于 cp 二。 是不是好？比如说老师，那很好求啊，那 p 一 p 二不就是求二倍的 cp 吗？对吧？因为 cp 一 和它相等， cp 二也和它相等，那 p 一 p 二就是求二倍的 cp。 那 在这儿我们就出现一些小的问题，什么呢？ 我们要去证明 p 一 p 二这条线段是经过点 c 的， 也就是 p 一 c p 二三点什么共线？如何证三点共线呢？ 我们去证这个角是一百八十度即可，是吧，因为一百八十度也就证明它是一个什么平角好，我们来看一下根据反折呀，反折对称它的一些基本性质。这个角如果是阿尔法， 它对称过来的话，就相当于把它把这个三角形沿着 a c 是 不是翻折过来，所以这个角是阿尔法，那这个角也是什么阿尔法好。同理，那这个角如果是贝塔， 翻折过来之后，对称过来之后，这个角也是什么贝塔好。又因为角 a c b 啊，等于九十度，也就是阿尔法加上贝塔 等于九十度，所以二倍的 alpha 加上二倍的 beta， 就 应该等于一百八十度，也就这个角是一个平角。所以啊， p 一 c p 二三点 贡献啊，这个非常非常的重要啊，非常的重要，尤其是证明题，一定要去证明三点贡献。你不能说 p 一 p 二的长度就是三二倍的 cp， 是 不是好？因为 p 一 p 二是一条线段，我们要去证明它是经过点 c 的。 好了，那问题就转化了。所以啊，求 p 一 p 二，它的最小值， 就是求二倍的 cp 的 长度，也就求二倍 cp 的 长度，也就是求 cp 的 什么最小值。那 cp 的 最小值怎么求呢？ p 点又是一个什么点？动点啊？ p 是 一个动点， p 在 ab 上运动，求点到这条直线的最短路径，那就是点到线的垂线段最短，好当点 p， 当 p 点运动到这儿， 也就是 c p 和 ab 垂直时， c p 取得最小值。好，那这个最小值该怎么去求呢？我们用什么等级法啊？也就是二分之一，这个三角形的面积也就是二分之一， ac 乘以 bc 是 三角形，面积应该等于二分之一，乘以 ab 的 长 好，而 a c b c， a b 都是知道的，所以我们可以快速求解，两边二分之一都去掉。 a c 乘以 b c， a c 是 八， b c 是 六六八四十八，那么就等于 a b， a b 是 十十倍的什么？ c p 这样解得， c p 就 等于四十八，除以十等于四点八， 而 p 一 p 二的长度是二倍的 c p， c p 是 四点八，二倍的 c p 就 等于九点六，这就是 p 一 p 二长的最小值。你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！