因式分解方法大全

嘿，大家好，从这个视频开始，要介绍一类让你嗨到爆的新技能，应是分解。 听着挺新鲜，这英式分解到底是啥呢？小学时学过，和数可以分解知音数，比如三十等于二乘三乘五。仔细看看这个式子，这么看是整数乘法， 反过来看呢，就是分解之因数。联想一下整式乘法，你有没有悟出点什么来？是的，因式分解，就是要逆转整式乘法， 给一个式子，把它拆成几个式子相乘，就是因式分解。可以看成整饰板。分解之因数，比如， a 乘 a 加二，等于 a 方加二 a， 这是整式乘法。 倒过来，把 a 方加二， a 写成 a 乘 a 加二，这就是英式分解。再比如， a 减二乘 a 加二，等于 a 方减四。如假包换的整式乘法，倒过来， a 方减四，等于 a 减二乘 a 加二。标准的英式分解。

集了三种解一元二次方程的方法，直接开平方法、配方法和公式法。有了他们仨，任何一个一元二次方程你都能解了， 可问题是，三种都会用，会不会出现选择恐惧症啊？比如这个方程，七 x 方减二点一， x 等于零，你觉得用哪个解法最简单呢？ 方程有一次项，那肯定用不了，直接开平方法。那要是配方呢？这幅二点一得先除以七，然后还得算一半的平方，那肯定出来个特恶心的数。 那公式法呢？得算负二点一的平方，反正怎么着都得折腾二点一这个小数，所以都挺麻烦的， 应该选 d。 其实最简单的方法就是与他们仨并列的第四种解法，因式分解法。 哎，音式分解你以前学过，所以不难发现，方程里有个公音式 x 可以先提出来，于是就有了这个式子， x 乘以括号，七 x 减二点一等于零， x 和七 x 减二点一都是只有一次的整式，所以我们把这种形式叫做两个一次式的乘积等于零。 我们知道，两个数要是相乘得零，则其中至少有一个为零。那刚才那两个依次是不就相当于这里的 a 和 b 吗？所以就有了 x 等于零，七 x 减二点一 等于零，这两个一元一次方程。哎，这么简单就把一元二次方程降次了耶，而且根也特别好解。 那回顾一下，整个解题过程，居然只有三步，先因式分解，然后把方程化为两个依次式的乘积等于零的形式，再使这两个依次式分别等于零。这种解法叫做因式分解法， 比配方法、公式法可省事多了，而且还不容易算错呢。那你用一式分解法再来解一下这个方程吧。 先提出 x， 把方程因式分解成 x 乘以括号， x 加五等于零，然后得到 x 等于零， x 加五 等于零，最后解除两根，分别是零和负五，简单清晰的三步就搞定了。 刚才的两个方程都没有常数项，所以提出个 x 就很轻松的因式分解了。而像 x 方加五， x 等于六这种方程如果还提 x， 就变成了 x 乘以括号， x 加五等于六。 咱得知道，因式分解的原理是，如果 a 乘 b 等于零，那么 a 等于零或 b 等于零，也就是说等号的右边必须是零，然后才能正确的因式分解呢。 所以这方程一上来，就先得把六移到左边，变成这样。那接下来 该怎么逆时分解呢？这得用上之前学过的一种方法。你还记得当年大明湖畔的十字相承吗？一起来复习下。 第一步，我拆 s 平方的系数是一，那就竖着写出一一，再来拆一下负六，那是拆成二乘三还是六乘一呢？负号又该给谁啊？ 这就得看第二步了，我凑，也就是说，你之前拆的数交叉相乘后再相加，如果能凑出依次相系数正五来，那才说明你猜对了呢。 所以负六必须得拆成六和负一。如果是二负三或者负二三，那都没法凑出正五。 最后我分，也就是横着一圈，变成两个含 x 的一次式， x 加六乘以括号 x 减一等于零，方程的因式分解就大功告成了。要牢记这个十字相乘的三部曲哦。 那你来练一练，把这个方程因式分解后的结果是，答案是 b 把六十拆成负十和负六这两个因数才能相加凑出负十六嘛。 再来个劲爆点的题，这个方程在十字相乘时应该拆成什么样呢？别看 x 方前面有个二十字相 成三部曲照样管用，关键是哪个能凑出负十三来？ a 交叉相乘后变成了十减三等于七不对， b 的结果是负十加三等于负七也不对。 那我们来看 c 和 d， 他们都是按一和十五来拆的，那当然把符号给十五了，这样才能得到二减十五等于负十三啊。 所以应该选 c， 也就是说，数得猜的对，符号也得给的对才行，否则卧槽就变成了我晕了。最后要分成两个音式， 注意了，乘的时候要交叉，但分音式的时候一定要横着分，所以 应该选 a， 最后把它拆成两个小方程分别算就得了。 把一二次方程音式分解时，除了能用提供音式和十字相乘，别忘了还有两个公式也能用哦，他们就是出场率极高的完全平方公式和平方差公式。 总结一下，用因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下，一、将所有项移到等号左边，使右边为零。二、将方程因式分解为两个依次式的乘积等于零的形式。 三、让两个依次式分别等于零，再解除两个因原依次方程的根。 因式分解法的主要方法有三种，提供因式法、十字相乘和公式法。 好了，以上就是因式分解法的要领，但油菜姐还是要给你补充一点，因式分解法虽然好用，但并不是所有的一元二次方程都能用的哦，比如这些货，他就死活也分解不了，到时候可别钻牛角尖哦。 到此为止，一元二次方程的四大解法就全部讲完了，那这么多种解。

各位同学，这节课呢，我们来进行英式分解的常用的方法总结，在这里面呢，老师会给大家介绍过我们课本上讲过的方法，以及我们课本上没有讲到的方法 啊，供大家参考一下，希望同学们呢把这几种方法好好的学会，因为考试的时候呢，我们会遇到来我们看第一种方法叫做提供英式法啊，提供英式法是比较简单的，我们去找寻找其中的每一项的供应式，然后把它提出来就可以了。好，我们来看这个， 现在呢，这个共音式呢，首先是三三和六，那么它的共音式的系数呢，一定是一个三 a 方， a 这个没有，所以 a 并不是共音式里面的字母 x 方 x 三次方和 x， 我 们可以提取一个 x 出来，这样的话就等于里面呢还剩下一个负 a 的 平方， x 后面呢还剩下一个 a x 的 平方，这个呢，我们还剩下一个二。好，因为这项前面是一个负号，所以我们的提出来变成负三 x 里面呢，变成 a 方 x 减去 a x 方，再加二，那么这个提供因式法就结束了啊，我们来看下一个 这个呢，它有一个 m 是 共因式，还有一个 m 减 n 和 n 减 m 的 平方，这个呢，很容易让我们想到把 n 减 m 变成 m 减 n， 因为这个是一个偶数次方，所以它不影响我们的计算结果，等于 m n 乘以 m 减 n 减去 m 乘以 m 减 n 的 平方， 这样呢，我们可以提出共因式 m 乘以 m 减 n 的 平方，这样呢，我们可以提出共因式 m 乘以 m 减 n 的 平方。好， 那么我们对这个后面的式子呢，进行一个整理，我们会发现它是 n 减 m 加 n， 也就等于二 n 减 m， 最终的结果呢就是 m 乘以 m 减 n， 再乘以二 n 减 m， 这个呢就是我们常用的叫做提供因式法，因式分解，同学们看懂了吗？ 好，我们来看第二种方法。第二种方法叫做公式法，公式法呢，主要就是平方差公式和完全平方公式，是吧？第一种情况呢，一看就满足我们的平方差公式，它等于二 x 的 平方减去五 y 的 平方，最终呢等于二 x 加上五 y 乘以二 x 减去五 y。 好 的，那么第二个呢，我们看一下它满足我们的完全平方公式。完全平方公式是 a 方减二 ab 加上 b 方， 在这里面的 a 呢，在题目中代表的是 x 与 y 的 和，而 b 呢代表的是二，所以呢，我们这道题就可以写成 x 加 y 再减二，括号的平方就可以了啊。所以说公式法就需要找准我们公式中所对应的 ab， 这个表示的一个单项式或者是多项式啊 来。第三个方法呢，叫做分组分解法，我们知道分组分解法往往最常用的呢是我们的一个四项式，那么四项式中有两种分法，第一种呢叫做一三分法，第二种呢叫做二二分法。好，我们看第一道题， a 方减一，加 b 方减二 ab。 哎，我们观察一下这个，我们看看怎么分啊，这个 a 方加 b 方减二 a b， 是 不是觉得很熟悉，它是一个完全平方形式是吧，所以这道题我们采用的是三一的分法啊， a 方减二 a， b 加 b 方再减一， 这样前面这个式子呢，就变成了 a 减 b 的 平方减一。好，那么接下来又到了我们的平方差公式，这样利用一个平方差公式，得到 a 减 b 加一，乘以 a 减 b 减一就可以了。好，到这呢，这个因子分解就结束了啊，这道题利用的呢，是一三分分分组的分法啊，我们看这个， 这个呢，我们来观察一下里面有没有完全平方式呢？嗯，这个里面好像没有，是吧，所以这个时候怎么办？我们考虑的问题是 x 的 三次方，这个是 x 的 平方， 我们可不可以把前面两个把它提出来，就会得到后面的这个式子呢？我们可以大胆的设想一下，好吧，等于四 x 的 三次方减十二， x 加上 x 方减三， 这样的话，我这里面可以提一个四 x 出来，还剩下 x 方减三，加上 x 方减三，你看我们想要的是不是出来了。好，此时呢，我们把 x 方减三，把它提出来乘以四 x 加一。 那么在这里有些同学会说了，老师，这个地方可以用平方差公式，可以写成 x 加根号三，乘以 x 减去根号三， 在这里我说一下啊，呃，除非是对于特别要求的一些题，比如说我们之前讲过的 x 的 四次方加上 y 的 四次方， 这个呢，它会利用到无理数在里面，我们平常情况下的音式分解往往只是局限于有理数的环节。好吧，所以呢，我们不去考虑一些根号里面的数字了啊，那么这样的话就等于是结束了啊，这道题到这就算是音式分解结束了， 同学们听懂了吗？所以呢，这个叫做分组分解法，也是我们常用的方法啊，所以同学们呢，对于分组分解法一定要注意观察，到底呢是用一三分组还是二二分组啊？好，我们看第四个方法叫做配方法， 配方法是配成什么形式呢？叫做配成完全平方公式的形式，看我们怎么操作来。第一个 x 方加上二 a， x 减去三 a 的 平方， 这个时候啊，我们看到前面两个啊，我们会想到一个叫完全平方公式，如果我把这个 x 方加上二 a x， 后面我再加上一个什么呢？再加上一个 a 的 平方，你看它是不是就构成了一个完全平方公式呀，这样我再减去 a 的 平方，再减去三 a 的 平方就可以了啊，等于是我加上了一个 a 的 平方，再减去一个 a 的 平方，就等于不改变它的大小关系。 那么前面的呢，我就可以用完全平方公式把它解出来，得到 x 加 a 的 平方减去，后面的整理一下是四 a 的 平方， 那么四 a 的 平方呢？等于二 a 方，所以这时候我们又可以用平方差公式来解决了啊， x 加 a 的 平方减去二 a 括号的平方等于什么呢？等于 x 加 a 加二 a 乘以 x 加 a 减二 a。 好， 当然到这里还没有结束，我们要整理一下，是吧，等于 x 加上三 a 乘以 x 减 a， 这样呢就结束了啊，这个呢叫做配方法，就是把我们想要的式子呢配成一个完全平方形式，这时候呢，要利用到加和减的一种关系啊，同学们呢，要记住这个方法非常的好用，来我们看接下来这个方法， 呃，我们看哪地方可能会存在的一些，呃，完全平方形式啊，这个和这个，哎，你看这个和这个是吧，都是存在的一种可能性的，这样呢，我们可以考虑的把它先把这两个进行配方，四 a 方加上十二 a， 四 a 方呢，等于二 a 的 平方， 那么二 a b， 所以 后面呢，我们少一个三，是吧？如果想得到十二 a 的 话，得乘以一个二乘二 a 是 四 a， 四 a 乘三才是十二 a， 所以 后面呢，我们可以考虑加上九 啊，加上九，那么加上九之后呢，我们再减去九，剩下这几个呢，放在一起减去九 b 方加上六 b 加八。 好，那么前面呢，我就可以把它放在一块了，后面呢，我又可以整理一下，减去九加八，我把符号给它提出来， 四 a 方加十二 a 加九，后面呢，把它提出一个符号出来，就会得到一个什么呢？九 b 方 减六 b 加九，再减八，也就是加一。好，你看这个正好呢，也是一个完全平方的形式， 是不是啊，这个表示三 b 的 平方，这个表示一的平方，二 a b 正好是六 b， 所以呢，我们就可以写成二 a 加三括号的平方乘以三 b 减一括号的平方。那么这个式子它的因式分解结果就在这个地方 啊，同学们听懂了吗？所以这个呢，就是我们常见的第四种方法叫做配方法啊，希望同学们呢把它消化和理解啊，像在以后的音式分解中呢，我们可以用到这个方法。呃，同学们要善于去用，而且要大胆一点去用啊。 好，第五个方法呢叫做换元法，对于一些元比较复杂的呢，我们可以进行换元啊，比如说像这种情况 是吧，我们可以令呢 x 方加 x 等于 y， 哎，把 x 方加 x 变成 y， 那 么这个式子就变成什么呢？就变成了 y 加一乘以 y 加二，再减十二，那么对于这个式子，我们曾经遇到过，我们知道一般吧，一般会把它展开是吧，展开之后看有什么发现。 y 方 加上三， y 再加二，再减十二，好的，那么 y 方加上三， y 再减十二，这时候我们就可以得到什么呢？得到一个 y 方加上三， y 再减十， y 方加三， y 减十，我们可以得到什么呢？同学们可以考虑一下。这个时候应该怎么办？马上想到什么十字相乘法，是不是啊？哎，十字相乘法呢，我们之前学过， y 呢，可以写成 y 乘以 y， 负十呢，我们可以写成二乘以 五，负二乘以五，为什么？因为中间是正三，所以正三的情况下，我们用负二乘以五，这样可以得到一个正三，那么 y 乘五， y 呢是 y 乘五呢？是等于 y， y 乘负二呢，是等于负二， y 加在一起呢，正好是等于三， y 等于中间的这个数，所以呢，我们十字相乘法就成功了，这样这个因式分解结果就是 y 减二乘以 y 加五 就可以了啊，这个呢就是我们的换元法，当然这个换元法里面呢，还包括了我们马上要讲的十字相乘法啊。那么对于十字相乘法还不是很理解的同学呢，我们好好学一学，来接下来的十字相乘法。十字相乘法就是把前面和后面配方成中间的这个形式，比如说 x 方，我们可以写成 x 乘以 x， 那 么十二呢，我可以写成两个数相乘，并且要保证这两个数相加等于这个负四，所以呢，十二，我就想到了二乘以负六， 因为二乘以负六啊，等于负十二，而二加负六呢，正好等于负四，所以这就成功了。好吧，那么这样十字相乘之后呢，我们就能够把它写成什么呢？写成 x 加二乘以 x 减六啊，横着写就可以了， 所以这个十字相乘法就算是结束了，同学们听懂了吗？来，没听懂的话，我们再来一个，这个是二 x 方，我们可以写成 x 乘以二 x， 这个没有什么可读的选择，是吧？那么负十五怎么变成一呢？ 负十五变成一，同学们可以想象一下，负十五的情况下，我们如果写三五十五的话，那么这个时候应该是二，可是别忘了，这地方还有一个二呢，是不是？所以我可以大胆的去写三五十五，因为是负的，中间是正一，所以呢，我可以这样写， 为什么这样写呢？你看好 x 乘以负五呢，等于负五 x x 二 x 乘以三呢，等于六 x 啊，他们加在一起正好等于我们中间的 x， 所以 有些同学问呢，老师，你怎么知道这个是负五而不是负三，多练几遍就可以了。好吧，看这个过程你应该就会明白，所以呢，我们在写的时候呢，就用横着方法去写，等于 x 加三乘以 二， x 减五就可以了。好，这个呢，就是我们的十字相乘法，同学们听懂了吗？ 那么最后的时候，老师再讲一个比较复杂的方法，叫做双十字相乘法，来结束本节课，同学们如果有条件或者有能力的话，把双十字相乘法好好的理解啊，来，我们来看双十字相乘法的方法，双十字相乘法一般会有两次的 十字相乘来配乘，怎么配呢？我们先找出一个可以用十字相乘法配乘的一个三个三项式来看， x 方三 x 和二，这三个在一起呢，我们是可以把它用十字相乘法配成的，是不是啊，所以呢，我们对它进行一个分组啊，它等于 x 方加上三， x 加二减去 y， 再减 y 方。 好，那么前面呢，我就可以配成什么呢？ x 乘以 x， 这个二呢，我可以写成一乘以二，那么这样一乘以二之后啊，我就能得到一个三，因为一加二等于三等于前面这个式子呢，我就已经配好了， 那么还剩下这一项没有配，怎么办呢？这一项没有配的情况下，我们要通过后面两个式子去把它配成一个负 y， 那 么到底怎么配呢？我可以把负 y 呢，变成负 y 方变成 y 乘以负 y。 好，那么 y 乘以负 y 啊，我用一和它配，二和它配，我会发现这是负 y， 这是二 y 加在一块呢，是等于正 y， 而不是负 y， 所以 此时我想到的是什么呢？此时我想到的就是用后面两个式子怎么把它配成一个负 y 呢？看好来，我可以在这地方写个负负的啊，在这地方写个负的。 好，这个地方呢，我写一个负的就可以了啊，这样一乘 y 正好是等于什么？等于 y， 二乘负 y 等于负二， y 加在一起，正好是这个负 y， 所以呢，也可以啊，也可以。那么这道题呢，这样的话就算是配完了啊，就是前面的先配，后面的呢，再用最后一项再配这一项， 就是我先配前面的这一项啊，然后再用后面的这个与前面的关系呢，再配中间这一项，叫做二次十字相乘，也就是双十字相乘法。好吧，这样呢，我就得到一个这样的一个关系啊，就是他们两个配成的这个前面，然后他们两个呢，又配成了这个中间的副外，所以呢，我就可以把它写成什么呢？这个式子就可以写成 x 加一减 y 乘以 x 加二加 y 的 形式，同样是横着去写就可以了。好吧，那么有些有些同学可能没有看懂，没有看懂，我可以写得更详细一点啊，前面这个式子呢，我可以把它写成 x 加一乘以 x 加二减去 y， 再加，再减去 y， 方 好再减去 y 啊，那么这个呢，我就可以写成什么 x 加一， x 加二。好吧，这个呢，我可以写成负 y 和 y 就 可以了，你看它们两个相乘结果是什么呢？是负的 x， y 加上二 y， 它们两个相乘等于 x， y 加上 y， 而它们两个相加，这个和这个相加的结果正好就等于什么？等于我们最后的结果。是啊，这个是负二 y 啊，等于结果是负 y， 也是可以配出来的。好吧，用前面这个和后面这个配出中间这个就可以了。当然这个双十字相乘法是比较难理解的，有能力的同学呢，可以去好好的研究一下。好吧，那么这道题呢，我就讲到这个地方啊，好，我们再看一道题来巩固一下啊。 好，我们比如说看这道题，这道题是一个六项式，我们先找出能够配出来的式子，比如说这个，这个和这个我们就可以先配出来，是不是啊？好的，怎么配呢？ x 和 x 相乘，这个负二 y 要想变成 x y 怎么办呢？那就是二乘以负一啊，所以是二 y 乘以负 y 就 可以了啊。 那么二 y 乘以负 y， 我 们来验证一下， x 乘负 y 等于负 x， y 它乘它等于二 x y 加在一起呢，正好是我们的正 x y， 所以 前面三项我们就配结束了， 然后接下来我们根据这个六来配 x 负 x 啊，根据负六来配负 x， 看看到底怎么配呢？那么负 x 肯定要从 x 出发，是吧？那么负六的话怎么去配负 x 呢？我们可以把它写成负三乘以二。 好的，如果是负三乘以二的话，那么根据这两个相配的话，正好是可以配成负 x 的， 你看 x 乘以二等于二 x， x 乘以负三等于负三， x 加在一起正好是负 x， 这就配出来了。那么接下来我们看还有个七 y 怎么办呢？那么他们两个相乘呢， 是四 y， 而他们两个相乘呢是三 y 正好也是七 y， 所以 说我们一次性就配成功了。好吧，所以不知道同学们有没有看懂这个双十字相乘法啊，就是先找出三个可以进行十字相乘法的， 然后呢，再用最后一项去分别于前面，不管哪一项进行写十字相乘配成后面我们想要的如果都配出来，表示我们的配方就成功了。好吧，所以呢，这样就算是成功了啊，那么这个时候就可以直接写成什么呢？ x 加上二 y 减三乘以 x 减 y 加二就可以了啊。所以双十字相乘法对于学生的能力要求呢，是比较高的，如果你有想学会的话，多看几遍，多理解，好吗？好，那么本节课英式分解的方法总结我们就讲到这里，谢谢大家。