七年级下册数学公式卡2026新版

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好，同学们，好，我们今天来看，嗯，期中复习的每日一练啊，这是翟超星海的一个期中题目啊。好，我们看这道题，这道题首先来看他这道题说把长方形如图一所示进行分割啊，进行分割 完了以后啊，两个相同的梯形，然后再让梯形如图二的这个方式进行连接，对不对？好，验证的乘法公式是哪个？其实这道题他考的是什么？他其实考的是这个，用面积法去验证这个公式对不对？好，用面积法，用面积法啊，比如说用面积法 来验证平方差公式啊，这种题目啊，已经在这个很多卷子上都出现过啊，也就是用这面积法去验证这个平方差公式，当然图形和它有的是不一样的啊。好，我们来首先来看这个图啊，看这两幅图，那图一和图二， 那图英文来看一下，就相当于什么？把这个截掉以后，把它变成了一个什么啊，变成了这个形状。好，我们来看一下，哎，这边长就几了，移成这个的图形是不是变成 a 了？那这个图形是多少？ 那这个边是多少？我们来把它找出来，哎，总的是不是 a？ 好， 这个小正方形的边是 b 对 不对？所以那这个边就是多少，就是 a 减 b， 那 这个边也是 a 减 b， 那 我们把这个图再回到原来，这个图是不相当于这个边，是不是也是 a 减 b， 对 不对？那这个时候我们来看，那 s 长方形的面积，它是不是就等于 a 加 b 的 和乘以 a 减 b 啊？ 那么来看第二幅图，图二这个 s， 这个正方形的这个这个 s， 这个二，这个图啊， s 二，这个图它的面积是多少？是不是相当于 a 的 平方去减这个这个小小的这个图形的面积啊？对不对？是减这个面积，那是相当于 a 的 平方，减什么？减 b 的 平方， 然后它的面积进行进行什么拼接，对不对？所以它的面积是一定的，所以它就可以等于 a 加 b， 乘以 a 减 b， 就 等于什么 a 的 平方减 b 的 平方，那也就是我们用的是面积法来验证的这个，所以这道题就应该选哪个 啊？这答案就自然而然的就出来了，所以选哪个？选 d， 对 不对？好？当然我们遇到这些情况，我们来看一下，那关于平衡差的变形啊，关于他的变形，我们来看一下他，呃，这是拓展的啊，拓展的内容他可以有什么变形？是不是有一个位置变形啊？有个位置变形，我们把它记一下，叫位置变形 啊，这补充了，比如说我们 a 加 b， 对 不对？好，乘以什么？这个负 b 加 a， 负 b 加 a， 那 这个时候它是不是就相当于什么？我们把它换一下，对不对？那是 a 加 b 乘以什么？ a 减 b， 是 不是也等于 a 的 平方减 b 的 平方，这叫位置变形。那么还有第二个叫做符号变形， 那如果别人考的话，肯定不会像这样考，对不对？因为太简单了，那大概率也稍微提升点难度，那就要往这方面走了。那还有一个叫做符号变形，比如说我负 a 啊，负 a 减 b， 乘以 a 减 b， 这个时候很多同学就看不出来了，哎，他没有加呀，对不对？那两种方案啊？第一种啊，第一种我们可以干嘛给他把负号提出来，你发现把负号提出来是不是相当于 a 加 b 了？这是 a 减 b， 对 不对？那是不是相当于负的 a 的 平方，减 b 的 平方，那是等于多少？把括号打开，是等于 b 的 平方减 a 的 平方， 是不是？那还可以怎么变？还可以不去变的话，我们就可以干嘛？是不是相当于负 b 减 a， 对 不对？那这个是负 b 加 a， 哎，一个减一个加，那它是不等负 b 的 平方，减 a 的 平方，那是不等 b 的 平方，减 a 的 平方就出来了。所以这是一个拓展的一个变形的公式，大家一定要去啊， 去把它记住，了解它啊，了解它，第一个是位置变，第二个是符号变形啊，两种方案去走。

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好，朋友们，大家好，我们今天给大家讲一下啊，二零二六年春季沈阳四十三中学期中考试七年级的十五题。二十二题跟二十三题啊十五题，这道题就是一个分界讨论啊。 呃，那么 abc 可以 是钝角，可能是钝角，可能是直角，考虑一下就行了啊。那么二十二题就是简单的知一求一，很多学校阅卷题中都是这种题型，非常简单。 二三这道题特别好，跟七中这道题非常直向，七中那个题是平行倒八字形，全等加上手拉手，这道题是一线三等角，加上平行倒八字形。 ok， 好， 我们看一下第十五题， 那么首先的话，我们已知 a 得，这个题我好像压对原题了啊，好，那么首先的话，我们知道，我们已知是， 我们已知。 a 得是 bc 上的高，角 c 得的话，等于是二十五度，行不行？好，那么 c， 呃，角 b 等于四十度，角 c 得等于二十五度，那么 c 得呢？是 a 得呢？ a 得是 bc 上的高，重画吧。嗯， 好， 先画个角 b 四十度。好，那么这个是角， b 等于四十度，行不行？好，这个是 a， 这个是 c， a 的 呢？是 b， c 上的高啊， a 的是 b， c 上的高， 角 c 得等于二十五度。那么现在要求 b、 a、 c 的 度数是多少度？哎，你会发现啊，那 c 得是二十五度，那有没有可能是 c 跑得点左侧呢？有没有这种可能性？说，肯定也是可以的，对不对？比如说 c 得不是二十五度吗？我这么画可以吗？ 啊，那么我这个三角形，这是 b， 这是 c， 这是 a， b， c 上高是 a 得，行不行？角 b 是 得四十度， c 得是二十五度，也有这种可能性啊，对不对？所以 c 要么是锐角， c 要么是钝角，可以吧？ 好了，那么首先这个四十，这个九十，那证明这个角是得五十度，所以 b a、 c 等于五十，加上二十五， 这个是九十，这个是四十，那说明这个是得五十。五十减二十五，说明这个角 b、 a、 c 也等于二十五度，所以答案是七十五度或者是二十五度，这道题我们就结束了。 ok， 好， 那么完之后我们看一下第二十二题啊，二十二题这个知识点考的还是比较常规的啊，就很多学校都考这个知识点。好，我们就直接看题了啊。 好，那么首先第一个给的公式呢？应该是 a 减 b 的 平方，等于 a 加 b 的 平方，是减去四 ab， 行不行？那么同样道理，我打开之后啊，它是等于四 x 平方加上九 y 方，说减去十二倍的 x y， 对 不对？减去十二倍的 x y， 可以 吧？ 行不行？那么很明显啊，那么它应该等于二 x 加上三 y 的 平方，哎， 数等于四 x 平方加上九 y 方，数加上十二倍的 x y， 前面横线是都一样，一个减十二 x y， 一个加十二 x y， 那 么这个时候要减去谁呢？是减去二十四个 x y， 所以 减去二十四 x y， 可以 吧？最后的结果应该等于七的平方减去二十四，再乘上二，可以吧？所以这道题我们答案应该是一， 答案是一。好，我们看下面这题，那么相当于我们知道什么呢？知道两个量是能求第三个量，行不行？那你现在知道一个量求一个方加一个方，那么我们设它是 a， 它是 b， 那 么已知条件就变成了 a 乘 b 设三十， 那最后求的是 a 方加 b 方的值哦，是不是你还得知道 a 加 b 得几，或者是 a 减 b 得几才行啊？那么这里面 a 等于谁呢？ a 等于二零二六减去 x， b 呢？等于二零二五减去 x， 那 你发现没， a 减 b 是正好等于一啊，所以 a 减 b 是 个定值，那么 a 方加 b 方就等于 a 减 b 的 平方加上二 ab 可以 吧？等于一的平方加上二乘三十，最后等于六十一，大家明确了吗？答案是六十一。 好了，我们看追过问，如图五所示啊，如图五所示，它说 b 的 长度等于十五，因此面积等于四十八。让你求 b， c、 g 的 面积等于四十八，让你求 b， c、 g 的 面积等于几啊？嗯，我们看这个五好。 呃，已知条件是谁呢？已知条件是 b 的 长度等于十五，阴影的面积得几呢？等于四十八，那么现在让你求三角形 b、 c、 g 的 面积得几？ ok， 那 么前面引导我们是知一求一对不对？那么这道题其实我们做的时候，那这两个正方形我们直接设一下，这个边角是 b 可以 吧？那就相当于已知条件是 a 加 b 的 值是等于十五，对不对？ 那么 bc 的 面积呢？ bc 的 面积是的， a 乘 b 除二，那么求的是 a 乘 b 再除二的值。你只知道 a 加 b 能求出 a 乘 b 的 值得几吗？是得知道 a 方加 b 方得几啊，知二推一嘛，对不对？哎，阴影的面积哇，阴影的面积，同学们，等不等于这个蓝色的面积 加上正方形面积，再减去白色的面积，那么蓝色三角形的面积就等于是二分之 a 方等于 a 乘 a 是 再除二，那么蓝色的面积加上右边正方形的面积是加上 b 方。 哦，蓝色加正方形，我再减去白色的面积，那么白色的面积等于谁呢？等于是 底乘高数再除二行不行？最后一人面值有四十八，所以，哎，应该这么列啊。那么知道他俩求二分之 a 乘 b， 我 觉得也非常简单了啊。整理一下，那么这个也就是二分之 a 方， 嗯，加上 b 方，减去二分之 a， b， 再减去二分之 b 方，等于四十八， 那也是二分之 a 方加上二分之 b 方，减去二分之 ab， 等于四十八。再乘二， a 方加 b 方，减去 a 乘 b 等于九十六。 好，知道这个和这个行不行？我们是把它给它变成谁呢？把 a 方加 b 方是变成谁呢？变成 a 加 b 的 平方是减去二 ab， 横线跟横线应该是一样的，那么再减去 ab 是 等于九十六， a 加 b 是 十五，十五的平方是减三， ab 是 等于九十六。 那么进而我们能求出 a 乘 b 的 值，应该等于十五的平方减去九十六。说再除三，那么二分之 a、 b 的 值是就能求出来了啊。所以这道题答案应该等于二分之四十三，行不行？整理之后，这个值应该是四十三。 ok， 所以答案是二分之四十三。好了，这一题比较简单，我们过，那么现在我们看一下最后一道题，显然这个是属于。呃，这个图形属于照上斜图啊，那么照上斜图其实内内全等， 对吧？叫做，你看 c 等于 c 九十、九十、九十，所以它俩全等就属于照上斜图，也叫内内全等的一半，懂不懂？ 像这个其实就属于周元制弦图了啊，我们暑假要学，看到没，他俩全等，叫外外全等，属于周元制弦图的一半。 ok， 周元制弦图的一半啊，好了，行了，那么初中、初一就叫一线三等角啊，行不行？ 好的，同学们，现在开始，我们看一下这道题。嗯，首先已知条件，如图一所示。我们现在知道 c、 a 的 值等于 c、 e 的 值，而且知道三个都等于九十度， 所以这个圈加条得九十，一加条得九十，所以圈跟圈相等，九十得九十，圈等于圈边等边，所以这两三个角角边全等，所以结束。 ok， 好 了，我们看第二本。那么第二本啊，首先给了一个什么条件呢？ 嗯，他第一个问，如图一，如图二，如图二，他没啥用啊。行，继续看好第二个。 那么在三角形 a、 b、 c 当中，角 c、 a、 c、 b 等于九十度， c， a 等于 c， b 等等于四， c， a 等于 c， b 等于四。 ok， 好 了，那么以 a 的 为变，又做了一个等腰直角三角形。哦，你看到等腰直角三角形，要么手拉手，要么移三等角，刚才是已经移三等角了啊， 对不对？然后他说那个 a 得等于 a 啊，那如图三所示，当得在 b、 c 上的时候， e、 f 也跟它垂直， c 的 长度是一，那么现在要求 c、 f 得几？那不用说别的来，我问你，九十得九十， 这个圈加挑得九十度，挑加圈得九十度，圈等于圈九十得九十，红边等红边，所以这两个三角形全等，那么它是一，之后它也得一行不行。 ok， 好，那么我们还知道 c 跟 c、 b 都得几， c 跟 c、 b 是 都得四，那么全等之后，长直角边也等于长直角边，行不行？ 题中不说了吗？ c 跟 c b 是 都得四，没啥用啊。好了， c a 等于四， a f 是 一，那这个 c f 是 拿四减一，所以这个值应该等于三，所以 c f 等于三。 ok， 好，我们看最后一个问啊，那么连接 b e 与他交点是 m， 他 说 ab 的 面积是三角形 a e m 面积的五倍，那么直接写出 b 的 长度啊。这个题我觉得非常简单啊。嗯，首先的话，我们要考虑第一种情况，那第一种情况就是他这个也是个瓜豆问题啊，就是你得，对吧？你不管怎样动啊，你得，呃，其实你发现有什么问题， 你得只要在直线 bc 上动，那么得，他是说了得是谁呢？这把是得在运动过程当中， 得是射线上一点啊，得是射线 bc， 那 得是从 b 点开始出发，行不行？那么点 e 的 位置也应该在一条射线上动， ok， 你 比如说得在这，那么 e 是 跑这，那你比如说我对得，如果画的稍微远，那么一丢丢，行不行？ 得画的稍微远一点点啊，比如说得跑哪里呢？得跑这里行不行？得跑这里，那得跑这里。哎，很明显得跑这里。 你比如说得跑这里，那你这个 e 是 仍然是跑这里，我举那个例子，行不行？行不行？ e 仍然跑这里啊，这你得在远的时候， e 也远， 那你不管怎样，我问你啊，这两个三角形，你会发现它俩永远是什么角，耳边全等形形，画的不太像啊。那这边为四，这边是圆的四，所以你不管怎样动， e 到 a c 的 距离永远是四，你这个点 e 其实永远是在这一条， 呃，跟 a c 距离是四的这条射线上动，知道吧？明白不？就大概那意思啊，行了，一会再给大家分析吧。 好了，那么同学们现在看这道题啊，首先的话，他说我的面积是你的五倍啊， a b 得的面积是 a， 那 咱们首先根据前面的思想是构造一线三角角，一往这头拉一个垂直过去可以吗？这个字母叫做 k a 点可以吗？ 那么当我们拉垂直过去之后，那么这两个三角形是叫做 y y 全等，也叫中元制弦图的外弦图全等。 ok， 一 线三角角二边全全了之后， a c 等于 e， k 是 等于四，看到没？ 那么 a c 等于 k， e 等于四， a c 还等于 c d， 妈呀， k e 跟 c b 又相等又平行，对零点它也相等，所以这两个三角形角角边或者是角边角是全等，全等之后 mk 等于 mc 可以 吗？ ok， 好了行了，我们看这道题啊。呃，他说 a b 得的面积， a b 得的面积， a b 得的面积等不等于 b 得乘上 a c 再除二，等于 b 得乘上 a c 再除二。 ok， 那 么 a e a m e 的 面积呢？是等于 a m 乘上 e k 再除二， 等于 am 乘上 e k 是 不是再除二？那么这两个是都得四， ac 的 话和 em 是 相等，是多得四，二跟二是不要了，其实就意味着 b 的 长度应该等于五倍的 am 其实就等于 b 的是 am 的 五倍啊，大家明白了吗？ 行不行就意味着 b 的是 am 的 五倍，可以了，那然后我们导个比例关系是这题基本就求出来了，行不行？我们要求 b 的 长度是不是好，那么 b 的 长度我们可以给他设一下谁呢？是 x 行不行？ 那么 b 的 长度是 am 的 五倍，那 am 长倍长度是等于五分之 x 行不行？因为 b 的是 am 五倍吗？ 好，那么这个是四，这个是 x， 那 说明你剩了这条绿色边是等于 x 减四，那这条绿色边是也是 x 减四行不行，可不可以？同学们，好，那么你别忘了，四等于四还平行，所以 mk 也等于 mc， mc 的 长度， mc 的 长度等于四减五分之一 x， 因为 ac 的 长度是四，可以吧？好了，我们根据 m k 等于 mc， 也就是四减五分之一 x 等于的是 x 减四加上五分之一 x， 那 既然我们可以解得 x 值，可以吧？ 呃，这个时候我们求出 x 值，它应该就等于几呢？等于的是七分之四十，所以第一个答案是七分之四十，可以吗？ ok， 因为我这个是你的五倍，对不对？我既然是你的五倍，我既然是你的五倍，可以吗？ 我除以到五倍之后的话啊，因为四跟四也相等平行，所以它全等这两个黑色的三角形全等确定之后， mk 的 长度等于 mc 的 长度， mc 的 长度是四减五分之一 x， 那 mk 的 长度它俩相加对不对？可不可以？嗯， 方法挺多啊，当然，你要设它 x 也行，随便做这题啊。这个行吧，这题好，别着急。同学们，那么你这个谁的一点向右运动，一点是向上运动， 那你这时候再连 b 的 时候与它的焦点 m 有 可能跑到上方，行不行？好，我们这时候再换另外一个图像啊， 能看懂吗？你看啊，如果得点在这边的时候， e 点是在这边，但是它到距离仍然是四行不行。 如果当的点跑到这个位置时， ok， 那 么这个时候他的 e 的 位置应该是在这个位置，行不行？画等腰直吗？所以 e 应该在这个位置，所以 e 点的话，永远在什么呢？在这条绿色射线上动， ok？ 点 e 永远在这条绿色射线上动，行不行？ 那么随着嘚越越远，嘚跑到 b c 线上时，一直跑上方，这时候 b e 跟它一连， m 点有可能在 a 点上方，懂了吧？ 就大家意思懂不懂？这是一个瓜豆问题啊。行，好，大家意思懂了哈，懂了之后，我们画一下这个图像行不行？我们先画下这个 g 里面图像啊，画小点吧。嗯， 好，那么这个是 a 点，这个是 b 点，这个是 c 点， ok， 那 么怎样才那嘚的话，咱们这样嘚跑得远一点啊？嘚跑这了行不行？哎，看到没？哎， 好，那么当我得跑得特别远的时候， e 是 跑到这个位置， ok， 好， 那么他说那个把谁呢？ b e 与它产生一个焦点啊？ b e 与它产生一个焦点，好，我们连一下啊， b e 与它产生一个焦点， ok， 嗯，焦点是 m 行不行？好了，那么同学们，同学们仍然是一样， a b 得的面积来， a b 得的面积是不？仍然等于 b 得乘四，再除二是不等于四倍的 b 得再除二。 好， a m e 的 面积呢？ a m e 的 面积。咱也甭客气啊，咱把它连一下，是拉一个回值过去，这个叫 k 点， ok， 首先红边的红边九十、九十、九十，所以这两三式全等全等之后，他得四，他这得四，所以 a m e 的 面积也等于 a m 乘四，再除二，等于四。乘 a m 再除二，二跟二不要了，四跟四不要了。所以就是 b 的 等于 啊，等于等于五倍的 am 行不行？我们要求 b 的， 是不是？我一般习惯于求谁射谁啊，我就射 b 的是 x 行不行？那这边是 s 减四， ok， 可以 吧？ 好了，那么 b 的是 am 的 五倍，那说明这个 am 是 等于五分之一 x， 可以 吧？由于这个四看到没和这个四又相等，是又九十度和九十度也相等，所以 m 点是中点，所以这里面 mk 仍然等于 mc 行不行？ 好，那么 mc 的 长度是等于四加上五分之一 x。 那 么首先 mk 的 长度呢？我们刚才 全等之后，他有两个性质啊，一个是四跟四相等，一个是长直角边来等于长直角边，所以绿色边和绿色边是都是 x 减四， 那么都是 x 减四的话，那么这个 km 长度就应该用绿色边减五分之一 x， 那 么也就是 x 减四，再减五分之一 x， 可以 吗？ 好，那这时候列了一个方程，最后解的 s 值应该等于三分之四十，可以吗？ ok， 所以 考虑 m 位置，懂明确了吗？嗯， 大家学会了吗？希望今天的课程对大家有帮助。 ok， 好， 同学们加油，你们是最优秀的啊！再见！

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