青岛版五下圆柱圆锥圆环几何体易错题

本学期的时间比较长，而下学期的时间又比较短，所以好多学校都已经安排六下的学习内容了，请看六下第二章，圆柱和圆锥的学习。 在学习这一章的时候，首先我们要复习五年级下册圆的所有公式， 在同一个圆内，直径的长度是半径的耳背，所以产生两个公式， b 等于二，耳，耳等于 b 除以二。 再看圆一周的长度，又叫做圆的周长，圆的周长总是直径的派对，因此圆的周长就等于派的 c 又等于二。拍儿看，根据周长求直径 b 等于 c 除以 pi。 根据周长求半径 r 等于 c 除以 pi 除以二。 好，接着圆的面积，面积用字母 s 来表示，所以已知半径求面积 s 等于 pi 二方。 那如果知道了直径呢？ s 就 等于 pi 小 括号 d 除以二小括号的平方。 如果已知了圆的周长呢？依然是 s 等于 pi 先求半径 c 除以 pi 除以二小括号的平方。 这是圆的周长和面积。那么两个圆大小不等，放在一起又出现了一个环形，那么环形的面积 s 环就等于 pi 小括号大而方，减小而方。当然，在这里还会出现半圆的周长，圆周长的一半或者半圆的面积， 所以这里的公式在圆柱和圆锥的学习当中都会用到。好，准备好学新知！

今天我们认识了圆柱和圆锥，你还记得他们的特征吗？让我们一起来回顾一下吧。生活中很多物体的形状都是圆柱形 或圆锥形的，比如我们的水杯比跑灯管形状大，都是圆柱形的特点呢是上下一样粗直直大，有两个面是圆形，还有一个曲面组成了圆柱形。 说到圆锥形，大家更不陌生，夏天我们常吃的冰淇淋品种的形状，沙堆的形状以及古代侠客斗笠的形状，都是圆锥形的特点呢，是上细下粗，上面细到变成一个点尖尖的。下面呢？底面呢是一个圆形， 这是我们印象里对圆柱形和圆锥形的一个特征的把握。那如果让我们制作一个圆柱形或圆锥形，我们应该怎样把握它的特征呢？接下来我们就利用一个长方形的纸来研究一下圆柱形的特征，那如果老师将这张纸 进行卷曲，大家可以观察到，现在我们就得到了一个类似什么呀圆柱体的立体图形。那这个圆柱体的立体图形呢？它是有两个大小完全一样的圆形和一个 什么呀？曲面组成的，这两个大小完全一样的圆形呢，我们把它叫做圆柱体的底面，当然了，我们也可以把它分为上底面和下底面，这两个底面呢是互相平行的两个面。那接下来呢，我们还有一个什么呀？ 曲面，这个曲面呢叫做圆柱体的侧面，而且这个侧面展开以后，大家可以观察到它是一个长方形，有时候它也会是一个正方形，因为正方形是特殊的长方形嘛。那我们能够观察到这个圆柱体啊，它还有一个部分叫做圆柱体的 高，这个高就是从圆柱的上底面圆心到下底面圆心之间的距离，我们就把它称作圆柱的高。那圆柱是不是就只有这一条高呢？ 根据我们之前学过的知识，两条平行线之间的距离处处相等，那两个平面之间的距离肯定也是处处相等的。所以啊，我们就得到圆柱有无数条高，从上底面到下底面之间的距离都可以叫做圆柱的高。 接下来老师又给大家变了一个魔术，将圆柱的上底面缩小，缩小一定程度以后呢，他就变成了这个图形，这个图形呢叫做圆台，我们现在只做了解就可以，那继续进行缩小，当 老师把上底面缩小变成一个点的时候，他就变成我们今天要学习的第二个图形圆锥了。那根据这个魔术，我们能够发现圆柱和圆锥之间是有联系的，特别是体现在我们将来要学习的体积上。那我们来观察一下圆锥有什么样的特点呢？ 我们的圆锥呢，是由一个底面和一个侧面组成的，底面呢也是一个圆形，侧面展开图呢是一个扇形。那么圆锥有多少条高呢？我们能够发现圆锥啊，只有一条 高，是从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，而且圆锥尤其只有一条高，这也是圆锥和圆柱之间的一个区别。那同学们关于今天圆柱和圆锥的特征，你学会了吗？记得给老师点亮小红心。

好，那我们来看一下，那这道题目的话呢，我给大家先分析一下，我们要求这个圆柱的体积，肯定要先求什么？是不是？先求他的一个半径，是不是？那半径的话，我是不是要先去求直径啊？是不是？好，那来看一下，我们肯定这两个，肯定是两个，里面就不用想了，是不是？那这个的话肯定是他的一个什么 侧面，这大家肯定都知道，那么我们在做侧面的时候，你就要考虑的什么，你是这样围，这样竖着围的，也就是说我以它为底面周长，还是以这个宽为底面周长， 你是需要去思考的，其实你应该是考虑两种情况的，但是呢，我们以哪一种情况作为底面周长，它是不可以的。来看一下， 那这个的话呢，是咱们的一个什么长方形的长啊，那他作为底面周长的话呢，肯定没有问题的。那来看下这个，那这个宽能不能作为底面周长？因为我说底面周长是不是派地或者二排啊？那这里为什么我用派地来做呢？是因为你这个地方它是直径吗？是不是啊？直径好，那这个是派地， 那这里又是两条直径，是二 d， 那 想要想二 d 和派 d 会相等吗？是不会的，所以说我们把宽作为体面周长呢？是不对的啊，是不对的，所以只可能是我们的这里的长作为我们的底面周长，那么底面周长就是什么？就是派 d 啊， 这个长是不是派定好呢？这个呢？是我们的直径不就是 d 吗？那长方形的长十六点五六，不就是 d 加派定吗？是不是？那就是 d 去加上派定就等于十六点五六， 是不是这样子？好，那它等于十六点五六的话，大家来看一下，那这个派就是多少？是不就是三点一四？好，那递出来它是三点一四，它是一个 d， 所以 加起来是四点一四 d 啊，就等于十六点五六吧，是不是这样？那么好了，那么一个直径是什么？ 一个直径是不是就是四？好，那直径是四，我们要求体积，那半径啊，半径就是四，除以二，半径呢就是二 零零。好吧，你是二。好，那关键是我们需要底，这个 pi r 平方 h， 那 这个是里面最长的，这肯定就是高了。好，那这个是高，高的话是两条。什么是两条直径？所以你可以多写一写。 h 的 话呢，就是两条直径，那就是四乘二，就是八零， 那么高是八。好，那么要求的体积，那不就是 pi r 平方 h 吗？好，就 pi r pi r 平方 h， 那 就是三十二 pi。 注意咱们的单位啊，立方厘米。那最后咱去，别忘了啊，最后咱去，别忘了。

我们来读题目，一个岩柱和一个岩锥等底等高，已知岩锥的体积比岩柱的体积少一点二立方厘米，岩柱与岩锥的体积和是多少立方厘米？ 那在做题之前，我们先来复习一下圆柱的体积公式是等于底乘高，沿锥的体积公式是等于三分之一的底乘高， 一个圆锥和一个圆柱等底等高，那么圆锥的体积就是圆柱的三分之一。那么通过图来看，其实呢，就是在这个圆柱当中，我们可以分得三个 向右边这样的圆锥，所以圆锥的体积就是圆锥的三倍，那他说圆锥的体积比圆柱少一点二 立方厘米，那呢用圆柱的体积减掉圆锥的体积就等于一点二立方 厘米。那我们通过图来看，我的圆柱里面呢，像这样的圆锥，它就有三个，这里就有一个。那你看， 其实呢，岩柱剪掉岩椎，其实就等于两个这样的岩椎，那对应的这两个岩椎的体积就是一点二立方厘米， 他被切割出来的岩锥是等底等高的，那这两个岩锥的体积也是相同的，那我们就可以知道，一个岩锥的体积就等于一点二，除以二就等于零点六立方 厘米。那你看，我现在就可以求出一个岩锥的体积是有三个岩锥，岩锥的体积就是三乘以 零点六。好，这里就只有一个圆锥，就只有一个零点六，他们的和就是把他们相加，那我们的第二步就是用 三乘以零点六，再加上零点六就等于一点八，加上零点六就等于 二点四立方厘米。那呢我们圆柱和圆锥的体积和就等于二点。

圆柱圆锥体积小，升初必考，记准公式不丢分！核心公式一，圆柱体积 v 等于派二的平方 h， 二，圆锥体积 v 等于三分之一，派二的平方 h。 重点别忘成三分之一， 三等底等高的圆柱体积是圆锥的三倍，记错点计算圆锥体积漏成三分之一，单位不统一。让孩子每天默写一遍公式，你家孩子会灵活运用公式吗？评论区留言！

三分钟搞定小升初期末必考的圆柱圆锥常考题，这道题我们来看一下，抓住题目中的两个字，熔铸！ 看到熔铸或者是捏，我们一定得知道，体积是不变，那么长方形给它熔铸成圆柱体，它的体积是不变的。 那我们要算高，高等什么？高等于体积除以底面积，那体积长宽角的体积长乘宽乘高，再除以底面积，底面积等于 pi r 的 平方，半径就是二的平方。 那这道题是不是就轻松解决了？我们再看第二类常考题型，这道题最主要考在哪里呢？结成三段，我们得知道结成三段，它是结了两次， 一次是两个面，所以两次就是四个面，那四个面一共增加了一点五七，那一个面就是一点五七除以四，算出一个面，再乘长，就可以算出它的体积四到一处判断题， 圆柱和圆锥都有无数条高，注意，圆锥只有一条高，所以是错 棱长是六厘米的正方体，它的体积和表面积相等。注意看体积的单位是立方，那表面单位是平方，所以两个是不同概念，它是错的，我们只能说它们的大小相等。 圆柱的底面直径是三厘米，高是九点四厘米，侧面积沿开沿高切开后是一个正方形。怎么去判断他是正方形还是长方形呢？如果他的底面周长等于高，那他就是一个正方形，那底面周长 c 等于派底，三点一四乘三等于九点四二厘米，那九点四二厘米刚好是等于它的高，所以它是一个正方形。对 两个圆做次，面积相等，体积也一定相等。注意看侧面积等于什么？ s 等于 c h， 但是我们体积公式它是 v 等于 pi r 的 平方乘 h。 侧面相等，我们只能知道 底面周长和高的乘积是相等，没办法去判断它的半径是相等的，高是相等的，所以这一道题是错的。

哈喽，大家好，今天是五一劳动节，首先呢，我在这里给大家祝福一句五一节快乐，但是言归正传，我继续给大家讲题。来，先读题， 将一个能长是六分米的正方体木材削成最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？削去的部分体积是多少立方分米？ 这里很多同学就说，哎老师，最大是什么意思？意思是一个正方体，你，你在里边裁出一个最在那里边来看最大的一个圆锥，而圆锥的体积是多少立方分米？ 来，我们先来求他第一个问号， 圆锥的体积就是 v 等于三分之一 s h。 很多同学就要问，哎老师，那 v 等于 s h 是 谁呢？ v 等于 s h 呀，它就是圆柱的体积。来，我们先来把这个圆锥的体积给它算出来， 代入公式，三点一四乘以六除以二的二次方乘以六等于五十六点五二立方分米。这时候有同学就说，哎老师，那你这个呃六是从哪来的？ 一个圆锥，而且是在一个那个呃正方体当中，一个圆锥，而且还是最大的，它的高也就是它，也就是它这个正方体的棱长，它底底面直径也是它的棱长，那半径不就等于二分之一 d， 也就是六除以二吗？ 而第一个问题我们解决了，就要求第二个问题，消去的部分体积是多少立方分？哎，消去的部分，也就是用呃用这个 正方体去减去这个圆锥的体积，我们就能求出它削去的部分是多少立方分米。因此我们先来计算，也就是六乘六乘六减去五十六点五二立方分米，也就等于一百五十九点四八立方分米， 因此我们就求出了它这个圆锥的体积是五十六点五二立方分米，而这个消去部分的体积也就是一百五十九点四八立方分米，因此我这个题就解决了，我的讲解结束了，大家听懂了吗？听懂的给我点一个点赞、收藏加关注，谢谢！

同学家长们好，今天我们来看一道关于圆柱和圆锥的综合题，这类题呢，看似复杂，只要咱们理清思路，一步一步来就很容易解决。我们首先先来看题目，他说在一个底面直径为两厘米，高为三厘米的圆柱内，挖去两个分别以圆柱底面为底面、共顶点的圆锥后缩所剩几何体的体积为多少？首先我们先把题目中的关键信息画出来，它的底面直径为两厘米， 高为三厘米，那这两个圆锥他有一个共同的特点，就是以圆锥的底面为底面，而且共顶点。那么我们的目标就很明确，就是用圆锥的圆柱，圆柱的体积减去挖去的两个圆锥的体积，是不是就能求得所剩几何体的体积了？好，第一步，我们可以先求圆柱的底面半径。题目给了底面半径是两厘米，半径也就是 r 等于一厘米。 好，我们一定要记牢，求圆柱圆锥的体积。第一步往往就先找半径，半径是基基础。第二步，我们来计算圆柱的体积。圆柱的体积公式是 v 等于 pi r 的 平方 h。 好， 那我们代入数值也可以求出来，其实是等于三点一四乘以 一的平方高是三，所以等于三点一四乘以三等于九点四二立方厘米。好，这个是圆柱的体积。 第三步，关键来了，我们要计算挖去的两个圆锥的总体积。题目说两个圆锥是以圆柱底面为底面，且共顶点。我们来想一想，这两个圆锥的高加起来是不是正好是等于圆柱的高？因为它们共顶点吗？顶点都在圆柱的另一个底面上，所以圆第一个圆锥上面的圆锥的高，我们可以设它为 h 一，下面这个圆锥的高，我们可以设它为 h 二，所以两个相加，其实它就相当于整个圆柱的高，也就是三厘米。我们可以得到圆锥的体积应该是三分之一 pi r 的 平方。 h， 那我们刚才说了， h 加一加二， h， h 一 加 h 二还是三厘米， r 还是一厘米，所以应该是三分之一，乘以三点一四，那半径其实还是一嘛，所以乘以一的平方，然后乘以三，然后结果它算出来两个圆锥的总体积，也就是三点一四 cm 的 立方。 好，最后一步让我们求剩下结合体的体积，剩下的体积也就等于圆柱的体积减去两个圆锥的总体积，也就是九点四二，减去三点一四，当然也就是六点二八立方厘米，这个就是最终的一个结果。好，我们最终再来整体梳理一下整个步骤，先求出来半径，进而求出来圆柱的体积。 接着分析两个圆锥的高和圆柱高的关系，整个过程环环相扣。其实这道题只要掌握了圆锥和圆柱的一个体积公式，然后再理清它们之间的关系，这类题就会迎刃而解了。好，这道题的最终答案就是六点二八立方厘米，大家都听明白了吗？有疑问打在评论区。

大家好，我是老师，那我们一起来看到今天题目哈，第一题，把长方形等分成空白和涂色两部分，以直线 l 为轴，旋转一周，空白部分所形成的图形体积呢，与涂色部分所形成的图形体积比是三比一。那么符合以上描述的选项是什么呢？ 好，这里有一个小细节哈，注意等分。有同学可能会说，老师 a 选项，他这分的是多少啊？是从哪分的呀？他又没说，对吧？说了 等分，所以这肯定是中间的位置哈，中间的位置，那也就是说，哎，我们如果说哈，把这个长方形呢，绕 l 旋转一周，形成了什么？ 是不是一个圆柱对不对？哎，我旋转一周过后，形成的图形就是一个圆柱， 然后呢，你再想一想，由于是等分嘛等分，所以这两个什么长方形分成两个小长方形，他们的长宽肯定是相等的， 对不对？那如果说是旋转成圆柱过后，对应的这部分是不是半径，对吧？我们可以用 r 表示，这部分呢，是不是高，对不对？我们可以用 h 表示。 然后呢，由于是等分，那么这里肯定也是和他一样的 h 一 样长才行，如果这长度不一样，那肯定就不是等分了吗？因为我们能肯定的是，上下两个宽 一定相同，因为它是长方形，上下两个宽一定相同，你要等分，那么这里的长肯定得相等， 对吧？啊，所以说呢，这里就是什么哎，这就形成了两个等底等高的圆柱哈。 再说一次，这里旋转完过后，空白部分和涂色部分就形成了等底等高的圆柱，所以说他们两个的体积呢，应该是一比一是一样的，对不对？等底等高嘛，所以 a 选项呢，肯定就不选了，那 b 选项呢？大家可能说，老师我觉得 b 选项应该是， 为什么呢？哎，你看一下，旋转一圈过后，我知道这个阴影部分是什么呢？你看 我旋转一圈过后，这个阴影部分形成的是不是一个圆柱啊？圆锥了，对吧？阴影部分形成的就是一个圆锥了，对不对？那么你看一下啊，那你说，老师我知道吗？等底等高下，圆锥是圆柱的三分之一啊， 但是我们比的是它和空白部分。来，我们先来算一下这个圆锥的体积， 我们还是一样的哈，刚刚也讲过了，这一部分呢，旋转过后哈，他对应的肯定是圆柱的半径，对吧？你们可以想一下，转一周过后，他对应的是半径，那么这边长度呢？对应的是高啊，我们高就用 h 来表示。好，那你想一下，现在圆锥的体积我能不能求， 是不是三分之一 pi r 平方 h 对 不对？所以这里是我们的圆锥体积，也就是三分之一，乘上什么呢？乘上底面积乘高嘛， 对吧？底面积是 pi r 平方。好，这是阴影部分，那空白部分呢？空白部分是不是应该用总体级减去阴影部分啊？应该是涂色部分哈，涂色部分的体积呢， 对吧？总体级是多少来，总体级一样的，是底面积乘高吗？底面积的话呢，半径是 r， 底面积就是 pi r 平方，高就是 h， 这是总面积， 所以我们用总面积减去阴影部分，涂色部分面积呢，就是空白部分面积了，所以空白部分面积应该是 三分之二的 pi 平方，对吧？一个 pi 平方 h 减去三分之一的 pi 平方 h， 就是 三分之二的 pi 平方 h 了吗？ 对不对？那按照这个思路，你们想一下啊，也就是说我现在求出来了，这部分是涂色啊，这部分是涂色，这部分呢是空白部分。那你说这是几比几？ 一比二，对不对？三分之一和三分之二比值是一比二嘛，所以 b 选项也不对， 对吧？那 c 选项呢？好， c 选项。有同学可能看不懂，你说老师这个，这个咋算呢？对吧？两个圆锥，而且还有个问题是，这两个圆锥你这有多高？我也不知道，我最多知道这个底是多少，对吧？高我求不了，怎么办呢？ 其实很简单，就是说，哎，我们还是按照刚刚那个思路哈，我们把长方形的宽看做圆柱的，就是旋转一周过后圆柱的半径。我们把长方形的长呢看做旋转一周过后圆柱的高。行，那你说这部分是多少，我不知道， 对吧？但如果你愿意去找一个值，或者去设一个未知数 去代替，就很简单。举个例子，我如果把这里设为一个 a， 我 把这里看作一个 b 啊，就是说他的高是 a， 他的高是 b， 然后呢，我们又知道半径，对吧？那我能不能求出这两个空白部分旋转一周过后的体积呢？ 应该能知道哈，三角形旋转一周是一个圆锥，所以圆锥这两个体积呢，我们肯定是能求的。那我们先来看上面这一个啊，上面这一个体积是多少？ 它的体积是不是一样的？三分之一 pi r 平方 h。 不 过我这里是把高看做了 a 哈，所以我们就没有 h 了啊，它的高是 a 嘛？然后呢，底面半径是 r， 所以 根据我们的公式，三分之一乘底面积乘高，那么它是这部分的体积。好，那么下部分体积呢？换个颜色啊， 来，这部分体积怎么算呢？是不是一样的也是三分之一乘上一个底面积，底面积是派 r 平方，再乘上一个高，对不对？这里的高呢？我是看错了 b， 对 吧？然后呢，把它俩相加， 是不是？那这就是上面的部分加上下面部分旋转过后的圆锥总体积了，对不对？也就是我们空白部分总体积。那你说老师这个 a 和 b 是 多少？我还是不知道啊。来了给他们合并一下， 看一下这里是不是都有一个三分之一的 pi r 平方，对不对？是不都有一个三分之一的 pi r 平方，那你说老师我可以怎么做呢？ 我可以把它提出来，对吧？然后把 a 加 b 结合在一起，这个操作有没有不熟练的？如果有的话，你可以听我举个例子。 可以听我举个例子，比如说二乘一加三，对吧？二乘一加三，你们是不是都知道啊？二乘一加三嘛？那就是二乘一加二乘三嘛， 对不对？反过来你肯定也知道啊，二乘一加二乘三，我可以把二拿出来，把一和三加进去，对不对？什么律应该不用我说，那按照这样的思路，这部分是不一样的， 前面这里是一样的，那我可以把它提出去，把剩下的 a 和 b 相加，和这个操作是不是一模一样，对不对？那你如果按照这个操作来做了过后，你再看一眼这个 a 加 b 是 什么 来？ a 是 这部分的高， b 是 这部分的高，这两个加起来是不是刚好是 h 了，对吗？这两个加起来是不是刚好是 h 了？所以它就等于谁，它就等于三分之一的 pi r 平方 h， 所以虽然这里他是在这个地方分了两个圆锥，但他其实呢，算出来的结果呢，和这里的结果是一样的， 都是三分之一， pi r 平方也去，那剩下的结果应该不用我算了吧，一样的，我们用总体积减去空白部分体积。再说一次哈，这里是空白部分啊，这里是求的空白部分，那我们用总体积减去空白部分体积，就能算出我们图色部分体积了， 对不对？所以现在涂色部分体积算出来和刚刚一样，应该是三分之二，只不过呢，刚刚是涂色三分之一，空白三分之二，现在是空白三分之一，涂色三分之二，对吧？那比值也不是三比一，所以 c 错了，那么 d 选项呢？不用算， 你也应该能得出答案了，对吧？但我们还是要算一下为什么，为什么？很简单一样的，我们还是可以把这看做半径 r， 对 吧？那这里有个小细节，因为我们这里有个什么知识点呢？ 等分，对吧？等分，你要等分，长方形，哎，我们这里的长都是 h， 对 不对？长都是 h， 你 要等分的话呢，那么宽肯定得相等，所以这两部分长度是一定相等的， 对吧？啊，那所以说呢，我们就能得出这个涂色部分呢，涂色部分的这个地方啊，我换个颜色啊，换个显眼一点的，这个地方呢，他就应该是一个 r 的 一半，二分之一 r 了，对不对？这部分就应该是二分之一的 r 了，能理解吗？ 好，那我再来看，那我们再来理解一下哈。首先我们得出这部分过后，那么图色部分的体积我们能不能算了？是不一样的，用我们的底面积乘高，底面积是 pi r 平方，现在它的半径是什么？ 它的半径哈，你想一下，这里旋转一周，图色部分形成的圆柱半径应该是二分之一 r， 所以 它的平方乘上 pi， 对吧？啊，他的平方乘上 pi 就是 底面积，再乘上高就是图色部分的体积了，对不对？那么我给他化解一下，是不是四分之一 pi r 平方 h， 对 吗？然后呢？那总体级呢？总体级应该很简单哈，总体级就是底面积乘高 pi r 平方 h 嘛，所以这里是我们图色部分，对吧？这里是 图色部分，那么空白部分呢？空白部分是不是应该用总面积 pi r 平方 h 减去图色部分的面积，对吧？ 减出来过后呢，是不是就等于了咱们的四分之三倍的 pi r 平方 h 啊，对不对？那你看现在的比值，图色部分和空白部分比值是多少了？ 是不是一比三了啊？当然，题目给的是空白和涂色，是三比一哈，所以我们空白比涂色，一个是四分之三，一个是四分之一，三比一没问题，所以答案呢？选择 d 选项， 明白了吧？好，有点小复杂哈，关键是你们一定要理解，如果说我们旋转一周过后，哪个是半径，哪个是高，然后呢？怎么去求它们对应的面积，然后再去比较就好了。好，接下来我们看到第二本， 他说在一张正方形铁皮上剪下一个圆形和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型，如图所示，如果圆的半径呢，为一个 r， 扇形的半径呢，也是一个 r， 不 过是大 r 哈，那么这个大 r 是 小 r 的 几倍呢？ 好，乍一看，你说老师，我感觉根本没有数据可言，那我们该怎么去做呢？很简单，你要理解一个点， 这里围成了一个圆锥，他如果说都能围成一个圆锥的话，那么哪部分能重合呀？ 这里和这里看出来了吗？我们这个圆弧和这个圆的周长他们是重合的，你看一下，如果他们长度不一样的话，这能刚好围出来吗？ 对吧？这里能刚好围出来吗？所以我们就能得出这个圆弧的长度和这个圆的周长是一样的， 那么这个圆弧长怎么求呢？很显然，这个圆弧的长是不是整圆的周长的四分之一， 对吧？所以这个圆弧的长很好求，就是它周长的四分之一啊，那么周长呢？是派地， 对吧？但这里呢，给的是半径哈，所以半径呢，我们应该用二乘上半径，乘上派表示整个圆的周长，那这里呢，只有整个的四分之一，所以还要再乘上一个四分之一， 对吧？然后呢，他等于谁？他刚刚是不是说了，他是不等于这个圆的周长，对不对？那么圆的周长呢，是二派 r 吗？对吧？这是直径乘上一个派 啊，所以就是二 pi r。 那 左边的话呢，我们可以给他化简一下哈，那么化简一下的话呢？这大家计算一下哈，我就不擦了。那化简完过后应该是二分之一的 pi r， 对 吧？然后呢，怎么样？是不是和右边的二 pi r 相等？ 刚刚说了，他们如果不相等，肯定不能围成一个圆锥嘛，所以这两个是相等的。那最后呢，我们是不能稍微化简一下， 首先左右同时除去一个派对，不对，得出了二分之一的 r 肯定是等于二 r 的。 然后呢，再怎么样，左右乘上一个二，把这个二分之一给去掉，就得出了大 r 是 四倍的小 r， 对吗？所以答案就出来了哈。所以这个题能不能看懂这部分和这个周长相等是关键，能看懂的直接秒杀，看不懂的可能就不知道怎么做了啊。这是第二题， 那再来看到我们的一个第三题，他说仁和小区呢，新建了一个圆柱形的花坛，如图所示。然后呢，有一二三四五六的六个条件，那么第一个条件呢，是内部的底面直径是四米，然后呢，花坛的这个壁厚啊，就是这个厚度，是零点二五米。 第三个呢是内部的底面周长，第四个呢是内部的高度，为什么要把内部圈出来呢？因为我们还有外部哈，这个要注意了，那么每平方米的土的质量呢，约为一点五吨。最后一个是外部高度，所以我说哈内部和外度是有区别的，对吧？ 那比如说第一题，他说如果要在花坛中填满土，要知道花坛中需要用多少吨的土，需要的数据有哪些，那你想一想，我要想知道有多少吨的土，我需要哪些条件呢？ 首先你是不是要先求出这个花坛里面他有多少什么，多少体积的空间对不对？以及每单位的空间有多少吨土，对不对？那我们先看体积，怎么求哈，体积的话呢，你要么知道了 半径，要么知道直径对不对？哪里有？这有对吧？底面直径是四米，所以我们可以把一选上。那有同学可能会说，老师，我觉得三也行， 为什么呢？因为他把底面的周长哈，内部的底面周长告诉你了，周长告诉你了，那我们根据公式派 d 等于周长， 那我是不是也可以通过周长把直径算出来，所以这里的话呢，你如果要想要直径，你可以选一，你也可以选三啊，不过选三完全是浪费时间了哈，就没必要了，因为这个题还需要让我们计算哈，所以你要选就选一啊，选三也不会错，只是浪费时间。 那么知道了我们的一个底面直径过后，再知道高就会怎么样？求体积了呗，所以我们还需要内部的高度啊，那就还需要一个四啊，所以现在有了底面直径还有了高，而我们就能求出内部的体积了，然后呢， 最后求出体积，再来，再根据每平方米的土的质量，我们就能算出我能装多少吨的土了，对不对？所以我们还需要一个五啊，这是根据条件去分析，我需要那些条件， 好吧，那么我们来计算解答一下啊，这个空间不多，我就往这写啊，来解我们的第一问， 对吧？再说一次哈，这个答案不为一，你可以选一，你也可以选三啊，都是一样的，这个没关系。好，那我们就选的是一了哈。那首先我们知道了底面的直径对不对？我们要求底面的面积应该是用直径除以二，对吧？直径除以二是我们的一个半径，那么半径是 两米，对吧？最后呢，我们来求体积，体积是什么？体积是 pi， 二的平方，所以是二的平方乘上一个 pi， 那 么 pi 呢？我们计算一般是取三点一次啊，来二的平方乘三点一次，然后呢， 再怎么样再乘上我们的高，对不对？高是零点六米，乘上零点六，所以二的平方乘三点一，四乘零点六是我们里面的一个体积啊，就是我们的空间有多大，再根据我们的体积，还有每平方米是一点五吨，那么乘上一点五 就能求出一共能装多少吨土了，对不对？算出来过后呢，是十一点三零四吨， 对吧？十一点三零四吨，所以我们就需要这么多吨土啊，明白了吧？那么最后呢，大家就自己答一下了哈，我就不写了。好，那我们来看一下。第二问，如果想要在花坛外侧侧面磨水泥，需要数据有哪些呢？你想一下 外侧，我要在外侧磨水泥，我是不要求出外侧的面积，对吧？也就是这个圆柱的侧面积， 而且是外面的，那你想一想，我要知道外侧的圆柱侧面积，首先我得知道外面的高度，对吧？那么六呢？已经告诉你了，来换个颜色， 对吧？六已经告诉了你外面的高度。那我现在只需要知道什么呢？是不是只需要知道外面的什么？外部的底面周长， 底面周长，那么周长的话是不是需要直径啊？或者半径也行哈，那你看看，你说老师完蛋了哈，这个条件都只有内部的，没有外部的怎么办？ 很简单，我还给了谁？给了个花坛的壁厚是零点二五米，也就是说这个的厚度是零点二五米，那你想一想， 我如果说要想求出整个就是外面的一个周长，我们就需要整个直径，但现在只有内部直径， 那我用内部直径加上一个 b 厚，两个 b 厚不就够了吗？你们画个图都能理解的。来，你看，这里是内部直径，我加上这部分，再加这部分，就是加上两个 b 厚，那不就是外面圆的一个直径了吗？ 对吧？同学们？所以我再来一个一，再来一个二啊，当然还是那句话，你选三也可以啊，不过选三有点浪费时间了哈，来，我选一个一，再选一个二一二六。来一和二，能帮我求出底面的一个 什么底面的一个周长直径嘛？直径算周长嘛？算出周长过后，再根据六的这个高度，我就能算出面积了呗， 对不对？那就做完了是吧？啊？然后他还问了面积有多少平方米哈，所以我们还要算一下来。第二问， 首先我们要先算出底面的一个直径哈，原来直径的内部直径是四，那么我刚刚说了，我们要加上什么呢？加上两个 b 后，所以是零点二五乘二，对不对？那么算出来多少是四点五米， 所以底面的直径是四点五米，那么我们用四点五的直径乘上什么呢？乘上三点一四，就是我们的底面周长，再用底面周长乘上高一，那就算出了我们的侧面积了，那么算出来过后是一个十四点一三平方米啊，咱们就不啰嗦了。 好吧，大家把这里呢好好再看一看，最后答一下啊，咱们就不写了。行，那么今天题目呢，咱们就讲到这，我们就明天见。

今天来看看这样一道关于圆柱和圆锥有关的问题。他说一块圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长为四厘米的正方形，这块橡皮泥的表面积是多少？ 从侧面观察是一个什么边长为四厘米的正方形，这想告诉我们什么道理呢？ 对吧？我们这个山势图，比如说我们从正面看的时候，他是不是要推平压扁？那也就是说相当于是这样的一个形状， 是个正方形，对不对？我这画的不规范啊，这是四厘米，那这是不是四厘米？这个四是不是等于高？那这个四呢？他是不是表示是这个底面直径的意思啊？是四啊， 能理解不？所以是这个意思。底面直径是四，高是四，他想告诉你这样的一个道理，那这样的话，我们这个表面积是不是就好求了？ 那就三点一四乘四，底周长，底周长乘高，这是侧面结，再加上三点一四乘半径是二二的平方，这是一个面，上下两个面，所以乘二， 所以我们把这加起来就是它的表面积。嗯，五十点二十加上二十五点一二，所以就等于 七十五点三六，嗯，平方厘米，这是它的什么表面积？那后面说了，如果把它捏成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少？那我们说了这块橡皮泥，它的整体的体积是不变的， 所以我们说你求这个圆锥的体积，它其实就是圆锥的体积，捏来捏去还是这么多橡皮泥，所以我们直接求圆锥的体积就可以了。 那么三点一四乘二的平方底面积乘高，这就是圆锥的体积，也就是圆锥的体积，所以等于五十点二四，呃，是立方厘米，同学们明白了吗？

圆柱的体积是圆锥的三倍，这句话是错的，因为少了等底等高这四个字，期末考到就是筛选，今天一次讲清楚孩子怎么错的题目。写圆柱的体积是圆锥的三倍。孩子想，圆柱体积公式是 r h， 圆锥是 r h 不 就是三倍吗？ 直接打勾错。公式推导有个前提，底面积和高都相等，如果底面大小不一样，高度不同，根本不存在三倍关系。正确结论，只有等底等高时，圆柱体积才是圆锥体积的三倍。 反过来，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，消去部分占圆柱体积的这三个对应关系，必须以等底等高为前提。记住这组数字， 一二、三，圆锥占一份，消去占两份，圆柱共三份，但前提永远是等底等高。所以记住口诀，圆柱三倍，圆锥一等底等高是前提，没有这四个字，这句话就是错的。觉得有用，点赞收藏，下期讲圆锥的高和母线，孩子总搞混的那道题。

大家好，我是老师，那么我们一起来看到今天题目哈，来第一题，他说右图中呢，平底的面积与圆锥形杯子杯口的面积相等，那么看到这个条件，我们能想到啥呀？啊，这个杯子吗？ 眼熟吧，你把它反过来放，哎，它不就是圆锥吗，对不对？所以这个杯子呢，就是一个圆锥，那现在相当于是圆锥和圆柱等底了，对不对？所以他们现在是等底的关系， 再将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满几杯呢？好，虽然哈，你说老师他们确实是等底，但是不等高啊， 对吧？如果按照我们的推导哈，底面积乘高是圆柱的体积，底面积乘高乘三分之一是圆锥的体积，所以如果等底等高的话，圆锥是圆柱的三分之一，但是等高吗？ 不等高吧，这部分不能拿来装水吧，对不对？那怎么办呢？也就是说，哎，我圆锥的高其实是圆柱高的多少？ 二分之一，对吧？你看，圆柱这里相当于是二 h， 我 们的圆锥只有一个 h， 那 我们如果用公式表示的话，可以怎么表示呢？来，我们把底面积呢看作 s 底， 好吧，因为他们底面积相等吗？这就不用管了，底面积乘高，他的高是二 h， 对 吧？圆锥呢，圆锥的高是多少？ 圆锥的高是一个 h， 对 不对？然后呢，圆锥体积除了底乘高，还要乘上一个三分之一，那你看一下，现在圆柱体积是圆锥体积的几倍。 化简一下，这里是不能看作是二倍的 h 乘上一个 s 底，对不对？这里呢，可以看作是三分之一的 h 乘上一个 s 底，对吧？那很显然，是不是六倍了， 对吧？是不是六倍了啊？我们看一下二和三分之一，二是三分之一的六倍吗？后面两个相等，咱们就不用比了，所以圆柱体积是这个圆锥体积的六倍，那你的体积里的水倒进去就能倒几杯， 是不是六杯了，对吧？所以答案呢？选择一个 b 选项哈，我们是通过底面积相等和高的关系去推导的，能倒满六杯，好，这是我们的第一题。再来看到我们的第二题，如图， 有一根长为零点八米的圆柱形木料，如果结成三段，表面积增加了五十点二四平方厘米，好，这部分，这部分你能推导出什么条件来？ 要先思考，截成三段的话，我们表面积是增加了几个地方，来给大家简单画一下，你看一下哈，如果说，哎，我把它，哎，这里应该是虚线，如果说我把它截成了三段，是不？差不多长这样了， 对吧？差不多长这样了，我画个大概啊，是不是长这样了，对不对？那你看一下，原来这部分是没有的，现在你看结成三段过后多了几个圆，是不是一个、两个，三个、四个， 对吧？多了四个圆出来，这四个圆呢，就是我们圆柱的底面积嘛，对不对？所以 增加的五十点二四平方厘米是四个底的面积，对吧？四个底的面积，那我们直接用五十点二四除以四就能算出底面积了， 对吧？那所以底面积呢？我们就有了。再来，他问，原来这根木料的体积是多少立方米，哎，那体积是底面积乘高，对吧？底面积呢？刚刚已经说了，就是这么多，那我们用底面积乘高就好了吗？高是多少 长零点八米啊，那高是零点八，乘零点八了，粗心啊。 单位，这是什么米？这是什么平方厘米，单位一样吗？ 不一样，而且他问的也是立方厘米，你要先把米换成啊，厘米是不是？所以零点八，那你还要再乘上一个一百才行啊。乘上一个一百才行， 对吧？咱们来吧，五十点二四除以四，等于十二点五六，乘零点八再乘一百啊，等于多少？等于一千零四点八，对不对？立方厘米，待会你们自己带一下啊。所以答案呢，是一千零四点八立方厘米。 好吧，这是我们的第一个空，那么再来，如果把最右边的一段去掉，那么与原来的圆柱木料相比，表面积减少了多少平方厘米？那我们要思考一下减少的是哪部分？ 大家可能会说，老师，哎呀，把这一段丢了，那么这个侧面积肯定没有了，对不对？然后你说，老师，哎，我知道这里还有一个圆，对吧？圆的表面积也没了，这是一个易错点啊，如果你们做过的话呢，应该是比较熟练，如果是平时，这都有问题的话呢？ 仔细听，为什么这个圆不算进去？如果说你感觉有点抽象的话，你其实可以去买根火腿肠自己切一下看看啊，让你爸爸妈妈帮你切一下，你看一眼。首先 你这里有个圆，对吧？这里原本是没有的，是不是？这里原本是没有的，那如果说你把这切开过后，这个圆确实没了，但是这里又冒了个圆出来， 对吧？那是不是相当于我这个圆虽然少了，但我又多了一个回来，那就是没有减少圆的面积，所以这个圆的面积呢，是没有减少的。真正减少的是哪部分？ 这边的侧面积，对吧？真正减少的只有这部分的侧面积，所以减少的面积啊，表面积就是这个侧面积，你算出来就 ok， 对吧？那么刚刚说了哈，这里我们就直接算了吧，哈，刚刚说了，这里是底面积，对不对？底面积啊，底面积刚刚算了是十二点五六哈，因为我刚一起算的嘛， 底面积算出来是十二点五六，现在我要算侧面积哈，侧面积是底面周长乘高，那么底面周长呢？需要我们求出半径或者直径，是吧？怎么求呢？ 来，这是底面积，我就直接算了，底面积是十二点五六，我们知道底面积是 pi r 平方，对不对？那我们用十二点五六除以三点一四就等于四，那这个四就是 r 的 平方，也就是底面半径的平方，对吧？那四是几乘几嘛？ 二乘二嘛，对不对？四是二乘二，那所以我们这个底面半径其实就是一个二厘米， 对吧？底面半径就是二厘米。那求出半径过后要求周长呢？周长是不是二派地啊？也就是二乘二乘上一个三点一四，它就是底面周长，来底面周长再乘高。还是那句话啊，单位啊，记得 米，你要换成厘米，我们这边算的都是厘米哈，所以说呢，我们就用零点五乘一百，变成厘米乘上周长，对吧？就是测面积了，最后呢，大家自己就算一算啊，那么算出来是六百二十八平方厘米，那答案就出来了， 所以答案是一个六百二十八平方厘米，明白了吗？好吧，所以这个题的关键是你要理解我解开过后，我的表面积是增加了哪些，还有就是去掉这一部分，我的表面积减少的是哪部分？哪部分实际上是没有减少的？好，这是我们的第二题。 再来看到我们第三题，他说再一次数学实验活动中，先往一个棱长是十厘米的正方体容器哈，十厘米，水深呢是四点四厘米哈，左下图这里也有哈。那么将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，水的高度呢？上升到五点五厘米， 来了关键信息，这时冰柱刚好有三分之一浸没在水里，来，三分之一啊，只有三分之一。好，那么现在我们来看一下，第一问，这根冰柱的底面积是多少平方厘米呢？ 分析条件，首先，我们原本这个水啊，只有四点四，而我放了个这个冰柱进去过后呢，变成了五点五，说明什么？说明我们的水是升高了一部分，对吧？是升高了一部分，那么升高的这部分代表什么呢？ 应该都能知道啊，升高的这部分就代表的是我的体积增加了这么多，为什么呢？是因为我的圆柱放进去了吗？对不对？这个冰柱放进去过后呢，冰柱的体积啊，也算进去了，所以水的体积呢，就升高了吗？ 对吧？那所以说，我们如果能把身高的这部分水的体积算出来，这部分体积就是我们冰柱浸没在水里的体积。好，那既然我们把它体积算出来过后，怎么求底面积呢？ 是不是用体积除以高啊？来，现在题目不是说了吗，水面的高度上升到了五点五厘米，那这个圆柱浸没在水里的这部分是不是也应该是五点五厘米吗？ 对吧？啊，你的水有多高，我就有多高，浸在水里面，所以我这里就是一个五点五， 是吧？那所以说我们用体积呢，除以高就能求出底面积。好，所以第一问呢，也是比较简单的哈，那咱们来把这个体积先算一算，首先我们的这部分升高的水体积怎么求来？这是一个正方体， 对吧？正方体你升高的部分是由四点四升高到了五点五，那么你升高的这个高度就是一点一，对不对？所以这部分的高度呢，是一个一点一厘米，对吧？那我们就用底面积乘高呗， 对不对？那么底面积呢？来棱长是十厘米，所以十乘十是底面积，再乘上这个高，对吧？乘上高的一点一，那么它就是我们身高的这部分水的体积了哈，当然你这里过程要完整，为什么呢？因为一点一题目中是没有数据的，你要求 对吧？你要求你就得先把它写出来，不要直接写个一点一上去，好吧，好，那么我们得到了来，这是我们升高的水的体积，也就是我们静默在水里的冰柱的体积，对不对？那我们再用什么？ 我们再用总体级除以高就能求出底面积了，所以再用它去除以一个高五点五，当然你也可以分开算啊，那么最后呢，算出来就是一个二十单位平方厘米，对吧？最记啊。最后呢，自己再答一下哈，咱们就不啰嗦了，这是我们的 d 们， 好吧，关键是要理解，你升高的这部分水的体积，就是浸没在水里面的这个冰柱体积哈，理解了过后就简单了。好，那么接下来我们来看一下第二小问， 来第二问，已知冰化成水体积减少十分之一，就是说我原来体积是多少？我化成水过后呢，会减少十分之一，那么当冰柱完全融化时，容器内的水深多少厘米呢？很简单吧， 对吧？你只要能算出冰柱融化过后他的体积是多少，再用体积，对吧？去求这部分体积能在这里面有多高就行了呀， 对吧？来举个例子，比如说我们冰柱呢，画完过后哈，画完过后呢？有这么高，对吧？冰柱画完过后，这个水有这么高了，是不是？那如果你能求出升高的这部分体积，对吧？在除以底面积，是不能算出这部分有多高， 再加上原来的四点四，就能求出现在有多高了吗？有多深了吗？对不对？ 所以我们的目的是要先求出这个冰柱的体积，再求出化完水过后的体积，再除以底面积。好，那么来我们来做一做，那么我们在第一问哈，已经是算出来了，底面积是二十平方厘米，对不对？那有个问题，你说，老师，我知道底面积，我不知道高啊，那怎么办呢？ 看这里，我刚刚圈的现在是有三分之一浸没在水里，所以这部分的体积是总体积的三分之一，对吧？那我们如果能求出这部分体积的话，除以三分之一不就好了吗？ 对不对啊？然后这部分体积呢？这部分体积说一下哈，如果你这里是分开算的，那么你这一步算的本身就是这部分体积了，你就不用再算一次。如果你是一步算完，那你要单独再把这部分体积算一下哈。那么体积很简单吗？底面积是二十，这个高呢？是一个五点五， 对不对？那么底面积乘高就是这部分的体积了，对吧？所以这部分体积求出来过后，它是总体积的三分之一，所以除以三分之一，就求出了总体积，对不对？总体积，那就是三百三十立方厘米。 好，求出总体积过后呢？他说化成水过后，体积减少十分之一，好，减少十分之一，这个又怎么理解呢？你说老师乘十分之一吗？那不是啊，减少十分之一其实很简单，你有两种做法。第一种， 你说老师，哎，我直接用总体积减什么呢？既然是减少十分之一，那这是减去我现在的十分之一嘛。所以我用总体积减去这个十分之一就 ok。 那 还能怎么做呢？你还可以这么理解， 比如说我原来体积是百分之百，对吧？原来体积是百分之百，那百分之百就是一嘛，对不对？原来体积是单位一，减少十分之一过后，我现在还剩多少？ 十分之九嘛，对吧？你原来是有一个一的量减少了十分之一，那还剩下十分之九呗。所以我现在的体积就是原来的十分之九，那我就用原来的体积乘上一，减去十分之一， 这样子来理解呢，也是没问题的哈。两种写法都可以啊，不过一般用的比较多的是后面这种。好，那么最后算一下，三百三乘一减十分之一等于二百九十七立方厘米， 所以这个二百九十七就是什么呢？就是我们化成水过后的体积。那么化成水过后体积呢？你可以理解为就是这部分， 那么就这部分，那我们知道体积过后，如果能求出底面积，就能求出现在这部分有多高了吗？对不对？所以我们就用什么，哎，我们就用这部分体积去除以底面积，那很简单，题目说了，棱长是十厘米， 对不对？我们就用这部分体积呢，去除以什么呢？底面积就是十乘十了呗，对吧？那么他就是高，那这部分的高除出来过后呢？再加上原来的四点四， 对吧？你看一下我们用这部分高，加上原来的四点四，就能求出一共有多深了，那么算出来是七点三七厘米。最后自己答一下，明白了吗？这就是我们的一个第二问哈。好，那么今天题目呢，咱们就讲完了，大家把问题解决掉，咱们明天见。

来了来了，接下来我们一起来看一道小升初高频必考题，基本上每一份试卷上都有他的填这个图，右边这个图是我帮助你们补出来的，来瞅一瞅。 今天我将用两种方法，其实甚至有三种，甚至有四种方法可以把这样的题做出来，瞅一瞅。如图是一个由什么部分？回答， 圆柱和圆锥组成的一个容器，已经知道圆柱的高是多少？十厘米，圆锥的高六厘米，还知道了水的高为七厘米啊。正放的时候， 当然他后面是要把它怎么样？过来，倒过来，倒过来，为了方便看，所以我就把它画出来的倒过来的样子，从圆锥的顶端到水面的高，嘿嘿，这个你要搞清楚，顶端倒过来后啊，倒 水边的什么高，是不就这一段求就应该求的是 是不是这一段的高，对这段的高，我们我们就把它当成 h 吧，是不是求 h 的 高？哎，亲爱的同学们，当我们把这个圆锥倒过来的时候，你们想一想，什么是不变的？思考什么不变？ 体积体积不变，什么的体积不变水水的体积是不变的， 当然形态是不缺发生的改变。看左边是一个圆锥，右边却变成了一个什么圆锥加圆锥，单圆锥的高有没有发生改变， 还是多少？六六厘米。但是这个 h 二， h 一 嘛， h 一 是不是我们就不知道？求 h 一 的方法有很多，当然求之前大家看我要求的这个 h 应该是等于什么？ 我要求求的这个 h 总高等于什么？哪两段的和 h 一 加六。所以说这个 h 一 是不是就是需要我们把它求出来？当然你看第一种方法，我们来想想 什么不变，水不变，我们是不是就只需要去呃左边把左边的这个圆柱体的体积公式表示出来？还有右边的话，我们就用 割补法组成的方式，是不是把它割成圆柱和一个圆锥，是不是带出来也就可以了？带公式，哎，当然这道题啊，什么我们是不知道的， 底，哎，而且圆锥的底跟圆柱的底有没有发生改变，没有没有， s 是 也是怎么样的？不变的，不变的， 所以第一种，既然它不变，我也我也需要它，因为圆柱的体积公式，底面积乘以高还是圆锥的体积公式三分之一底面积乘以高是不都用到它？所以我们就怎么办？ 减设圆柱和圆锥的一起写哦， 和圆锥的底均为多少 s， 来吧，表示出来第一种。第一种方法就是左边的我写一个圈圈一吧，圈圈二，圈圈三， v 圈圈一等于 v 圈圈二加 v 圈圈三，他就等于 v 水，理解就好，应该能听得懂的吧。 ok， 来， v 水就是 v 一， 底面积是多少，说出来的是多少 s， 高是多少 七，那么就是七， s 等于。来来来，对呀对呀，底面积也是多少 s 高 h 一， 那么就是 h 一 乘 s 再加上，哎，圆锥，圆锥也是我们的 v 三 圆锥的体积公式呀，三分之一 s 再乘以 h 是 多少六？来，亲爱的同学们，等式的基本性质可以让我们把每一个 s 都怎么样约掉去掉，都一样的，那最终我们的 h 一 就等于多少 七减去多少，三分之一乘以六，约分七减八，哎，二三得六， 七减二，所以就等于多少五， h 一 是不就等于五啊？这个也算也算是一个未知数吧，我们就不带单位了，当然，最终的结果出来了吗？ h 还要干嘛？要加六，加上六， 那我们就要五，再加六就等于十一厘米以上，是我们非常常见的一种方法，对吧？哎，当然还有一种方法，张老师也想给大家领一下，来，坐正，坐正，坐正。我们经常提，当圆锥跟圆注 底，等底等高的时候，我们的圆柱，圆柱的体积是圆锥体积的几倍三倍，那反过来，我们的高，他们的高之间有什么关系？圆柱 h 柱应该是等于 几倍的，这个 h 锥思考，三分之一还是三倍？三分之一？ 三分之一。当你第二不清楚的时候，你思考一下。呃，圆锥吗？因为他体积比较小，因为他尖尖的吗？所以他的高音应该要怎么样？非常高圆柱吗？要跟他体积一样的话就比较矮，明白了吗？所以是三分之一倍。抓住这个点，大家思考。嘿，跟着我走，看一下，你看 这个小圆锥是不是这个小圆锥他的，呃，他是不是可以把他等量代换成一个小圆柱啊？只不过说高，你看这里的高是六，那么，哎，换成这个圆柱过后，他的高应该要变矮了吗？变矮的话，也就是我们的圈圈几啊， 圈圈四吧， v 四，它等于 v 三，能不能听得懂？只不过说它的高是不是就变矮掉几倍？几分之几？三分之一，三分之一倍，三分之一倍就是六，怎么样？三除以三就等于多少二？二 啊，是不是等于二？那这个部分其实就是 h， 也就是等于多少高？是七， 去掉一部分是二，那么还生出来多少，剩余多少？五四 h 一 就是比 h 一， 听得懂吗？虽然我表示上好像感官上可能不是一样长，但它就是一样大的，能听懂吗？也是一个体积转化，所以我的第二种，其实我就是用个算术方法，我也不需要瘦肉，直接怎么办？ 用六除以多少三等于多少两厘米，这个两厘米相当于说我把圆锥转化成一个圆柱的高，能听得懂吗？ 那么你看这个部分的体积于外的这个高，其实就是等比于这个部分的嘛，明白了吗？ ok， 也就是圈圈一哦，我的这个圈圈四不管了，圈圈一不管了，那么也就是怎么样要用七减二就等于多少 h 也就等于五厘米，然后再接着用五加上多少也是一样的，五加 六就等于十一厘米。打点赞、收藏加关注，果果老师每天分享一道数学题分小技巧，记得点赞关注哦！

我们来读题目，一个岩柱和一个岩锥等底等高，已知岩锥的体积比岩柱的体积少一点二立方厘米，岩柱与岩锥的体积和是多少立方厘米？ 那在做题之前，我们先来复习一下圆柱的体积公式是等于底乘高，沿锥的体积公式是等于三分之一的底乘高， 一个圆锥和一个圆柱等底等高，那么圆锥的体积就是圆柱的三分之一。那么通过图来看，其实呢，就是在这个圆柱当中，我们可以分得三个 向右边这样的圆锥，所以圆锥的体积就是圆锥的三倍，那他说圆锥的体积比圆柱少一点二 立方厘米，那呢用圆柱的体积减掉圆锥的体积就等于一点二立方 厘米。那我们通过图来看，我的圆柱里面呢，像这样的圆锥，它就有三个，这里就有一个。那你看， 其实呢，岩柱剪掉岩椎，其实就等于两个这样的岩椎，那对应的这两个岩椎的体积就是一点二立方厘米， 他被切割出来的岩锥是等底等高的，那这两个岩锥的体积也是相同的，那我们就可以知道，一个岩锥的体积就等于一点二，除以二就等于零点六立方 厘米。那你看，我现在就可以求出一个岩锥的体积是有三个岩锥，岩锥的体积就是三乘以 零点六。好，这里就只有一个圆锥，就只有一个零点六，他们的和就是把他们相加，那我们的第二步就是用 三乘以零点六，再加上零点六就等于一点八，加上零点六就等于 二点四立方厘米。那呢我们圆柱和圆锥的体积和就等于二点。

我跟我所有学生都说哈，小学的几何题是最简单的，但是很多学生呢，他不服气，他就拿了这道题来考，我说老师你做这个题看看，是真的难呀，圆柱圆锥部分，那就真的是不好理解啊。然后我做出来了，就给他讲了讲，这个时候他就服气了，他说啊，这个题原来可以这么简单吗？我们一起来读遍题啊，一个内直径是六厘米的圆柱形油瓶里， 也就是说呢，这个油瓶的底面直径是六厘米，我们标标好，然后油的高度是十五厘米，在这里标好了，如果将它倒置放平，空瓶部分的高度是十厘米，这个地方也标好了。问这个油瓶的容积是多少？ 读完了，同学可以先暂停一下视频，自己先思考一下，看这个题能不能做出来。做完之后呢，跟老师待会讲的这个答案来对照一下。其实我讲这个题的时候呢，只用了简单的两个圈就将这个题完成了。什么样的圈呢？我来画一画，就是将第一个正着放的油瓶上面这块空白的 地方给它圈出来，再将第二个油瓶倒放的这块空的瓶给它圈出来，然后画一个等号，什么意思呢？就是第一个油瓶，你看空的这块容积，是不是就是我倒过来的这个油瓶空的这块容积啊，它们的容积是不是应该是相等的， 因为里面的油我并没有增多，也没有减少，是一个密闭的油瓶啊，所以说呢，我就轻轻松松的将这样一个不规则的立体图形变成了一个我们认识的圆柱啊。所以说呢，我就轻轻松松的将这个不规则的立体图形的容积啊， 所以说呢，这两个我就给他画了一个等号，那这个题就变简单喽，既然可以相等，那刚刚这块装油的部分的这个瓶子的容积好不好？算是好算的对不对？圆柱的体积公式是什么？底面积乘以高，那底面积是什么？是 pi r 的 平方，那高是多少我们也知道了， 对不对？那这个题就是三点一四乘以六除以二，我们半径的平方再乘以它的高，这个时候高原本是十五，对不对？ 再加上这个空瓶的高度是十，我夹在一起就可以了呀。因为你看我将它给移过来之后，是不是就是这样一个规则的圆柱形的体积啊，对吧？所以说我一步就给解决了，简不简单啊，听懂的给老师点个小心心吧！关注张老师数学不迷路，我们后面会继续分享易错的好题、真题，下期再见吧，拜拜！

同学们好，我们一起来看今天的每日一练。先来看第一题计算，六万九千一百三十五，加九万一千三百五十六，加一万三千五百六十九，加三万五千六百九十一加五万六千九百一十三。这道加法是由 五个数相加，偏偏每一个数都是五位数，我们再仔细观察，能发现每一个五位数始终都有六九一三五，这五个数字轮动， 最终组合成这五个五位数相加。那从数位上来看，观察这五个数位，首先看最高位六九一三五各出现一次。再来看 千位九一三五六，百位一三五六九十位三五六九一 个位五六九一三，正好是五个数字各出现一次，虽然位置不同，但是始终都是在同一个数位上各出现一次的。 我们再把它们拆开来看，首先把最高位上的数字代表的是多少个一万， 我们把他们全部提到一起，是六加九加一加三加五，这么多个一万，这是所有的万位上的数所表示的。再来看千位上的数表示的数值 就代表着多少个一千，所以是九加一加三加五加六的和乘以一千， 再加百位乘的代表的多少个一百一加三加五加六加九的和乘以一百，再加所有的十位乘的数字代表的一 三加五加六加九加一的和乘以十， 再加个位上的代表多少个一，所以是五加六加九加一加三的和乘一。 仔细观察一下，所有的小括号里的和都是六九一三五六一三五六九三五六九一五六九一三，始终是这五个数字之合，那我们把它们提取到一起， 就可以都当做共因数，六加九，加一、加三、加五的和乘以剩下的所有的因数都到小罐里面去。一千一万加一千， 再加一百再加十，再加一的和等于二十四，乘一万一千一百一十一，等于 二十六万六千六百六十四。那做熟练以后，我们的第一步就可以省略，直接从第二步开始计算就可以了。 再看第二题，一个环形零件，如下图，内圆的直径是四厘米，外圆的直径是八厘米，高是四厘米，它的表面积是多少？那观察一下这个 环形零件有多少个面？首先按整体的大圆珠来看，如果它不是一个空心的圆珠， 那么他就由上底下底两个圆和一个侧面组成。但由于中间又挖空了一个小圆柱，所以就会导致上底和下底仍然存在，但是从圆变成了圆环， 外侧面也不变，那内部由于挖空了一个小圆柱，所以又会产生一个新的侧面。 那我们先把这几个面写出来。首先是上底和下底是两个圆环， 所以是圆环面积的两倍，加上 外侧面，加上内侧面，而圆环的面积就是大圆减小圆的面积，这是二倍的。 派乘大二的平方减去派乘小二的平方的差，再加上外侧面，那就是 大圆的底面周长乘高，加上内侧面，小圆的底面周长乘高。我们再来将这公式继续变形。 第一个圆环的面积是不是再可以提取 pi 到括号外面去，所以是二 pi 乘以大二的平方，减小二的平方的差，加上 圆的面积。公式是派 d， 所以 是派乘大圆的直径 d， 再乘高，加上派乘小圆的直径再乘高，这样就可以代入了。那由于给的是直径，所以我们要用 四除以二写成分数形式，或者写成除法的形式。同样这是内元，外元则是 八除以二写成分数形式或者写成除法的形式。八除以二来表示，那这里我们选择后面一种。这是二乘三点一四乘以 八除以二的平方，减去四除以二的平方的差，再加三点一四乘八乘四，再加上 三点一四乘以内元的直径四再乘高四。 我们再来算一下，八除以二得四四的平方是十六，四除以二得二二的平方是四十六，减四的差为十二，所以中括号里的差为十二。 十二再乘二得二十四。我们暂时先保留，因为后面都要用三点一四来算， 加上三零一四乘以四八，三十二，加上三零一四乘以四四十六。那么我们再提取 三零一四作为公因数，二十四加三十二加十六得七十二，七十二，再乘三零一四，就得二百二十六点零八平方厘米。 我们再来看一下最后一道题。某种饮料罐的形状为圆柱体，里面直径是七厘米，高是十二厘米。注意，这只是其中 一个饮料罐的数据。将这样的二十四罐这种饮料按如图所示的方式放入指向内来。如图所示的方式，那就是 四行六列，或者说六行四列，总之是一个四乘六的形状。 继续看问这个纸箱内部的长宽高至少是多少厘米？那长明显就是六个的直径 宽就是这样的四个的直径高则正好对应的就是饮料的高度，最长由 七乘六等于四十二厘米表示宽，由 七乘四得二十八厘米来表示高则是和圆柱的高相同十二厘米。

五下圆的周长面积圆柱，圆锥体积蹄形，即举一反三。

家长们注意了，六年级圆锥圆锥是咱们小学数学必考重点，也是最容易丢分的地方，今天我就把所有高频易错点一次性给大家讲透。 首先，第一个易错点公式忌讳，圆锥体积是底面积层高。做圆锥题目千万别忘了除衣裳，这是最多同学掉分的地方。 第二，表面积和体积分不清，通风管、压木机、滚筒只算侧面积，木盖、水桶只算一个底面加侧面积，只有完整圆柱才算两个底面加侧面积一定要看清题目要求。 第三，单位不统一就计算题目里米分米厘米混着给，一定要先统一单位再套公式，不然步骤再对，结果也是错的。 第四，搞不懂圆柱圆锥三倍关系等底等高，圆柱是圆锥三倍，体积相等，底和高相同，圆锥的高和底面积都是圆柱的三倍以及，且圆柱增加表面积且一次多两个底面。 娃儿把这几个易错点记牢，多数题巩固圆柱圆锥，考试就能稳稳拿分！关注我，了解更多数学知识！

今天继续给同学们讲六年级圆柱圆锥易错题，看一下今天的题目。如图，把一个底面半径是六厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体后， 表面积增加了一百八十平方厘米，让没求原来圆柱的体积，让没求圆柱的体积。我们知道半径，就要先第一步求出它的高。 通过他给我们的已知条件，表面积增加了一百八十平方厘米。圆柱变成长长方体之后，是增加了左右的这两个长方形的面， 一个长方形的面是他的半径乘以高，那两个是一百八十一个，我们可以求出来，就是一百八十除以二，也就是等于九十平方厘米。一个的面积是半径乘以高，半径又知道，我们就可以求出高是多少， 九十除以六就等于十五厘米，这是高。然后半径知道高，也知道圆柱的体积是不是就轻而易求出来了。三点一四乘以半径的平方底面积，再乘以高。 最后通过计算，我们可以求出圆柱的体积等于一千六百九十五点六立方厘米。