今年高考p+p

一模当头一棒，给孩子们笑蒙了，二模应该给个甜枣安慰一下，三模应该考简单点，给孩子们细细， 这么多年都是这个规定，结果今年黑龙江独出新彩，一模比一模难，这是减负吗？ 这么难为孩子是啥心态呢？显摆你出题水平高啊还是怎么的？家长们现在必须坚定一个信心，就是高考根本不会出这些难题！你孩子高中三年最好的成绩肯定是高考， 至于三模考试，就当他是个屁，把他毒气放了得了，回归基础，回归真题，以必胜之心走进高考考场，加油！

十二年寒窗苦读，只为今朝成就梦想！愿我的孩子以平稳的心态踏入考场，不骄不躁，不慌不忙，超常发挥，提笔从容自信，事事如愿以偿， 交出最好的高考答卷！祝愿所有考生高考顺利，金榜题名！十二年寒窗苦读，只为今朝成就梦想！愿我的孩子以平稳的心态踏入考场，不骄不躁，不慌不忙，超常发！

今年是高考生最幸运的一年，教育局最新政策，低分不要去读大专，更不要去读民办，哪怕考试失误了，成绩不理想，但在今年，只要你的高考预估分数在两百二十七分到四百八十九分之间，均可报我公办一本大学， 全日在校四年学习学费六千九，一学期毕业直接分配进中国铁路、中国邮政、国家电网、三家集团等央企、国企系统工作，五险一金铁饭碗。

二零二六高考押题机械波最热门题型，第四题呢，是机械波中的波震结合问题，就是波形图和振动图结合的问题。 在讲这题之前，我们先回顾一下振动图像和波形图像，它们该怎么分析，它们的相同点是什么？区别又是什么？然后再带大家梳理一下解决这种波震结合问题的一个基本的思路。 来来，我们看波形图和震动图啊，震动图就是一个置点在不同时刻的这个位置啊，而波形图是大量置点在同一时刻的这个位置所拍的这个照片，对吧？那这两个图的相同点 就是他们的纵坐标的含义是相同的啊，是置点离开平衡位置的位置啊，那他们的不同是什么呢？第一个不同， 震动图横轴是时间，对吧？波形图横轴是位置啊，那么震动图呢，它表示就一个置点在不同时刻的位置啊，就相当于我们对这个置点的运动过程录了一段像，对吧？ 波形图表示多个置点在同一时刻的位置，我们拍了一张照片，哎，对吧？好，这是 一个是一点多时啊，一个是一时多点， ok， 下面他们最重要的区别啊，是从图像中获取的信息是不同的啊，这个呢，对于这个的理解，是我们解波震结合问题的关键。先说振动图，我们在振动图中能获取什么信息呢 啊？基本信息我们就不说了啊，比如说某一时刻置点的位置，对吧，这是最基本信息。那么更深层次的信息就是有关置点的运动情况，比如说想研究置点在一秒末他的震动方向向哪，那该怎么判断呢？ 大家注意啊，这是一个位宜时间图像，对吧？想判断某一时刻置点的速度方向，我们是不是就看下一个时刻这个置点他到了哪个位置，对吧？那么一秒的下一个时刻置点往下走了，对不对？就说明他的震动方向是向下的啊？那我们在比如说 t 时刻 置点在这个位置，那他的震动方向向哪呢？那我们就看 t 的 下一个时刻，呃，就说明他往上震，对吧？所以判断震动方向啊，我们可以用上下坡法，如果置点处在上坡段，他的震动方向就是向上的， 处在下坡段，振动方向就是向下的啊，当然这个上下坡法啊，就是这这个名字，大家可以不用特意去记啊，就是根据它下一时刻的位置去判断振动的方向，对吧？那么从振动图我们只能获取这一个重要的信息，就是置点的振动方向。 我们再看波形图，波形图里边引含着两个重要的信息，一个是置点振动的方向，一个是波传播的方向，这两个方向是可以互相判定的，比如说我们现在已知 二米处置点，此时的振动方向是向下，好，那就可以判断波传播的方向是向左的，这个方法叫同侧法。什么是同侧法呢？就是振动方向的这个箭头和波传播方向的这个箭头， 这两个箭头一定在波形的同一侧啊，这就叫同侧法，对吧？好，那再比如说我们已知波传播的方向是向右的 啊，判断二米处置点这个时候振动的方向还是用同侧法，对吧？把波传播的这个箭头标上来，置点振动的，这个箭头一定在波形 啊，和这波传播箭头在波形同一侧，对吧？判断出振动方向是向上的啊，这就是同策法，但是使用同策法的前提是振动方向和波速的方向，至少得知道一个，对吧，才能求另外一个来。 所以总结一下振动图，我们可以获取的是置点的振动方向，波形图呢，知道某一个就可以求另外一个，对不对？它包含的信息要更多。那这就告诉我们，在解决波震结合问题的时候，我们应该先分析哪个图呢？ 是不得先分析振动图，因为振动图它简单，它包含的信息少，对吧？直接上下坡法就可以判断出来。 判断出振动方向之后，再把这个振动方向带入到波形图中，对吧？就可以判断出波传播的方向啊，这就是分析波震结合问题的一个先后的顺序啊，基本上我们把这些弄清啊，嗯，大部分问题啊就都解决了。来，那下面我们看题 好，它如图甲所示，连续上下抖动较长的软绳形成波，该声波可以视为剪斜横波，图以是该横波在零时刻的波形图。 p， q 是 该波上两个支点， 此时 p 为平衡位置， q 为波峰，图柄是波上二米处支点的振动图像。好， 我们在图中先标一下，以图是零时刻拍的一张照片。好， x 等于二米处的这个置点，它的振动图像是图饼， 把这个置点可以记成 m， 也就是 m 点零时刻开始，它的振动图像是这样的。 好，那先问大家几个问题啊，由这两个图像能得出哪些基本信息？第一个是不是波长？波长量子点二，第二个周期 t 零点八波速就能求吧？ v 等于量子比特二点五。 好，那看选项问什么？他说 a 零时刻至点 p 正向 y 轴正方向振动， p 点向哪震动，那得知道波向哪传，向左传还是向右传，再用同色法再判断，对吧？ 然后 b q 比 p 更靠近波源啊，波源在哪个方位，也得知道波向哪个方向传呢， 对吧？所以现在首要目标啊，是判断波传播的方向。那怎么办呢？是不是先分析振动图，再来波形图？好，振动图是 m 点的振动图像， 先分析下它振动的过程啊。零时刻从平衡位置出发，一开始怎么震呢？向上震， 对吧？向上震零点二秒时到最远点，零点四秒又回到平衡位置，再到负向最远点再回来，是这么一个过程。但我们现在只关心哪个时刻的震动方向呢？ 是不是只关心零时刻的？零时刻 m 点就是在向上震，对吧？我们只关心这个时刻的，因为波形图就只给了这个时刻只是在这个时刻的一张照片，对吧？所以我们把零时刻 m 点的振动方向标上去， 向上震好，说明什么呢？波再向左传，这是同色法嘛，对不对？那 p 点波向左传，振动方向就是向下的，这 a 就 错了，对吧？好，所以波源是不是在右右边？ b 也错了？ c 零点六六秒时至点 p 的 振动速度最大 周期零点八秒，零点六秒是四分之三个周期，四分之三个周期呢？到底回来平衡位置，再到最高在这个位置，这 c 错了吧？ 好，第零点九秒时， q 的 坐标是多少？零点九秒时它是又八分之一个周期， q 呢，一开始它在这个最最远点对吧？ 它过了一有八分之一个周期，肯定不是在特殊位置，那要想求它的坐标怎么办呢？是不是得把 q 的 振动方程求出来？ 求方程，然后带入时间才能把它位置给算出来？是这么一个思路，振动方程怎么求呢？首先大家明确一个问题啊， q 它是不是围绕着自身的平衡位置做的是减弦振动， 哎，对吧，只要是剪斜振动，它是不是满足？ y 等于 a 乘口算 omega， t 因为它是从最远点开始的嘛，所以应该是乘口算啊， omega 只要求出来就行。 omega 等于二派比 t 好就二 pi 比五分之四，二 pi 乘四分之五就二分之五 pi 二分之五 pi 好， 我们应该带进去， t 也带进去，带入 t 等于零点九秒， 这 y 就 出来了吧，对不对？哎， y 算出来就，嗯，十分之根号二啊。但是正负 a 呢，是零点二啊，大家注意，正负呢，只看平衡位置和最远点的间距啊，或者是两个最远点间距再除以二啊，这，这个千万不要带错了啊！好答案，选 d， ok， 那 通过这题呢，我们再总结一下啊啊，拨阵结合问题解析一个思路是什么呢？就第一步，第一步就是先标记在波形图中标位置，我们研究的是哪个位置好， 把位置标出来，这个位置它的振动图像是右边的这个图。同时呢，标完位置之后，我们在振动图中还得标时刻， 就研究的是哪个时刻，换句话说，图以是哪个时刻拍的照片，对吧？这个提示零时刻拍的照片，所以把零时刻这个点也给标上。所以一开始我们要标记两个点，波形图一个，震动图一个 啊，如果他给的是零点四秒，这个时刻我们标的话，就得标标在这了。啊，要标在这。好，这第一步，标完之后呢？下边是不得先分析震动图，对吧？根据上下坡法， 在振动图中标出该时刻，指点振动方向。这第二步，第三步呢？把这个振动方向再标回到波形图中。 好，第四步，用同策法判断波传播的方向，对吧？就是这么几个步骤。 ok， 波震结合。问题就说这么多来，再往后看。

屁加上屁，哎，等于二十八。这次去年高考题没有一个学生作对，今年有可能还要出，所以大家认真听来看。我们把屁这面的零，哎给它擦掉，挪过来，挪到下面，哎，零， 哎，把这个屁的零也擦掉，挪到下面来，哎，又一个零，现在看上面是不是一加一，哎，一 加一等于几？是不是等于二？好多同学问这个零咋办？看好把这个零提到这，哎，把另外一个零哎写到这，看是不是等于二十八？哎呦我的妈，哈哈哈哈。

来，有一个好消息啊，就是今年高考退档滑档根本不存在啊！所有今年参加高考的孩子填志愿，不要再找机构乱花那些冤枉钱了。教育局去年就推出了官方的志愿信息服务系统，到现在还有很多家长竟然都不知道。 家里但凡有六月份高考的，提前了解一下，不要等要用的时候找不着，出分之后赶紧登录阳光志愿信息服务系统，据预填报，这是国家专门为高考生设计的，里面每个学校最新的招生数据和政策都有，我教你们怎么操作。用电脑搜索，阳光志愿信息服务系统，现在还是关闭状态，到五月下旬就开放了， 登录后先注册，中间有志愿参考服务，孩子输入自己的省份和位次，系统从大数据里给你推荐充文宝三种志愿建议，跟你花钱找机构做的一模一样，不知道选什么专业的，里面还有专业倾向测评，让孩子自己测一下就行。最后提醒一句，这是官方网站，不是 app， 也不是小程序，全是免费的，但凡让你花钱的都是假的。 还有一步，系统给你的算法生成了参考，但参考毕竟是参考方案，排出来之后合不合理，适不适合你？系统算不出来的，问问大象，里面有一群填过志愿的学长学姐，免费帮你看 文宝梯度排的对不对，专业选的合不合适，过来人帮你把把关，官方系统加真人经验，两边都对上了再提交，心里才是真的稳。等分数出来了，我再教你们怎么好好填，加油！

距离高考呢，只有最后九天了，钟老师，今天这期视频呢，带大家快速的复习一下概率统计这个板块，那么概率统计呢，应该是今年最值得关注的一个板块，他的内容也是非常之多的，分值也是非常高哈，大概有个三十分左右，小题呢，一定会出两个，然后大题呢，应该是有一道大题的， 那么小题里面呢，他必然会有一个二项式定的题目，因为技术原理啊，前几年出的都是排列组合啊，所以考二项式定的概率呢，应该会相当相对来说会比较高啊。那么还有一道小题呢，可能会考一个这个古典概型， 如果没有出现排列组合，那么古典概型应该会涉及到这个排列组合啊，或者呢，有可能考一个这个三大分布的这个选填，因为我们去年呢，考了一个这个正态分布啊，今年可能，呃又会回归这个二项分布啊，同学们稍微去多复习下这个二项分布跟超级和分布的一个区别好吧， 然后大体呢？钟老师，嗯，预测大概呢，应该会有两个方向，第一个方向呢，就是先回归方程，嗯，然后呢再加上一个概率的一个结合的大体，这概率呢，可能会涉及到条件概率啊，或者说全概率公式这种。 那么还有个方向呢，就是传统的那个概率的决策的大体啊，可能涉及到某些比赛啊，要你去了解一下这个比赛的规则啊，那么这种大体呢，我们已经很久没考了啊，之前都是考这种统计加概率的一个结合， 像这种传统的概率大题啊，我们上次考的时候还得追溯到这个二一年啊，那么这种题呢，我觉得相对来说更为重要，他比较考察你的这个概率的预算能力了。 好，那么钟老师呢，这里呢，把这个预测的几个方向哈，每个方向我们都来通过一道题稍微快速的复习一下吧。 首先这个技术原理呢，像这个二项式定理啊，你只要会定理就足够啊。这种题目一般是考一个这个填空，那就放在第一题，属于送分了，像这种属于两个多项式相乘的结构，你就把它拆开就可以了。这个 x 平方乘一个二 x 减去 x 分 之一，再加上两倍的二 x 减去 x 分 之一的，这个啊，这五次方啊，漏掉了。 然后呢，你要求出这个 x 的 三次方的这个系数，那你不就找这个 x 三次方吗？所以我们就在第一个式子里面去找谁啊？ 找 x 了，在这个第二个字里面去找谁呢？找 x 的 三字旁嘛，然后我再去使用两个二项式定理哈，就可以把它解出来， x 平方乘一个 c， 这个 a 是 二 x 好， b 是 负 x 分 之一 啊，这里就稍微观察，你要找 x， 那 x 肯定比 x 分 之要多一个，那他就三二了啊， c 五二，然后再加上二乘以 c， 这个是二 x 四比一了吗？是不是四比一了哈，那就五一 好，最后呢，我们再把它算出来，结果呢，应该是，嗯，负八十啊，非常容易啊。第二题呢， 像这个，呃，这里呢，我们就出了一道这个二项分布，跟正态分布的一个结合哈，正好呢，也是射掉一个三大分布，那么这两个分布啊，你一定要去区分出它的字母来，我们这个 n 呢，它是代表的正态分布了，因为我们正态分布的首写字母就是 n 啊，这个很容易搞混掉。 然后呢，正态分布主要是了解两个，一个是它的一个对称性，还有个呢，就是它的一个三 c 个原则啊，了解这两个就行了。正态分布它是一个连续性的一个啊，分布函数，而我们二项分布呢，它是一个离散型的。好，我们把这道题呢，这道题因为他没有设到什么背景啊， 有点小抽象，所以我们稍微去多读几遍题目了。然后呢，这个 ab 选项都考的是这个正态分布啊，正态分布呢，我们要来画个图像吧。 啊，这个是正态粉扑。然后 miu 呢，代表了他的一个期望，也就是君子。 miu 呢，代表了他的标准差，嗯，这个四个码方哈，代表他的方差，四个码代表他标准差，这个是 miu。 好，然后他这个 a 选项。说什么呢？缪减 a， 然后缪大一点，这个 a 是 啥东西啊？你不用管 a 是 什么东西，你就只需要由它的对称性你就知道了哈，我假设这个就是 a 吗？这不就是缪加 a 吗？这不就缪减 a 吗？那根据对称性，这两个概率肯定是一样的，大于这个东西和小于这个不一样的嘛，所以这个 a 肯定是对的哈， 然后这个 b 也是一样的哈， b 的 话我们稍微看一下。呃， c 个码， c 个码，它这个是 x， 小 于等于没有减 c 个码，那这就是没有减 c 个码，所以它的概率是这一部分， 然后加上没有加，没有加 c 个码，它说这两部分加起来是等于二分之一的，我这两个是相等的了，所以这个加这个确实等于二分之一啊，所以 b 也是对的。你看 这个，我们去年哈，去年这个多选的第一个啊，嗯，考的就是一个正大分布的题目啊，而且那道题目呢，其实也不算完全送分的 啊，所以正大分布呢，你可以拿那道题去稍微复习一下，那么今年考察概率应该不大哈，但是我们这这个二项分布啊，要多去看看。好，那么这个 c d 呢？他就到了二项分布了，他是从这里面零件的随机抽 n 个，然后这个 n 呢，就代表什么？代表你抽到次品数的一个概率哈， 那么这个 c 就是 你抽到 k 个和你抽到了 n 减 k 个的概率是一样的。呃，这个肯定是错的啊，我们可以这么去理解了，他他对的只有一个情况可能是对的，那就是他抽到次品数的概率和抽到正品数概率是一样的，也就是各为二分之一， 你才能是对的啊。只要是不一样的，那可不可能是对的了。比如说我举个例子啊，比如说我去有八个单选， 然后每个蒙中的概率啊，就是对的概率哈，是不是四分之一？你去蒙，你蒙错的概率是四分之三，那人家说你蒙对一个和蒙对七个的概率是一样的，这怎么可能是一样的呀，怎么可能是一样的，是不是肯定蒙对一个概，一个概率肯定要那个哈，所以 c 肯定是错的了 啊，你要用四指去把它证明一下，也完全可以啊，我这就不证明了。然后这个 d 选项的话呢，这个 a b 是 对的，呃， d 也是对的啊，我们来看一下它这个 n 等于二，就是总共就只有两个零件， 然后呢次品数，呃，孟周次品数概率呢？是二分之一，那也就是说这里呢是一个什么呢？是一个条件概率，我们直接套条件概率的一个公式， 我把这个给他带进去， y 他 服从一个二项分布，然后呢二二分之一，这个有点像那个两点分布啊，像那个抛硬币，你可以把它理解。为什么呢？去透露一个模型吧，可能更好理解啊，抛硬币，然后呢一共呢是抛两次 好朝上的概率，朝上概率好为二分之一好，现在呢？ y 大 于一等一 好，就是，呃，两个同时发生的概率吗？两个同时发生概率不就是那个吗？ y 等一吗？因为 y 等于就是包含在 y 大 等一里面了，然后呢比上个这个 y 大 一等一了。 好，也就是说你一次朝上的概率除一个呃，你一次或者两次朝上的概率了，最后结果呢？就是我们要的结果了。一次朝上的概率，那不就是从两次里面挑一次吗？那一次朝上，然后一次朝下吗？ 好，一次把这个抄一下， c 二一二分之一的平方，那两次抄上就 c 二二二分之一的二次方。好，上面的是，呃，这个二乘以四分之一 就是二分之一，然后下面就是二分之一加这个四分之一啊，好，那就四分之三分之四分之二，最后结果呢三分之二，所以 d 也是对的。你看这个题目啊，他就算算是考察内容非常广了，但是呢，对吧，不属于特别难的，那也不算是完全送分的，这就是多选择题的一个特点。 好，我们下面一道答题呢，这道题就比较长哈，而且呢，我这里选的大题啊，他也不算特别难，我们同学做的时候呢，我完全可以把这个该统计啊，可能最可能考的几个题型完全给它复习一遍啊，就通过这几道例题， 那么这道例题呢，我就不算了哈，我们来说一下他的方法吧，你看他就是属于什么呢？第一问，考了个相应回馈方程，你就去把什么呢，把他的相关系数到底代表什么以及他的性质啊，去稍微复习一下， r 越大， r 的 绝对值越大啊，代表他的相关越强，然后 r 如果是正的代表正相关， r 如果是负的是代表负相关，以及他到底怎么去计算哈，稍微复习一下 好，我们这个 r 呢，最终呢算出来的结果呀？嗯，这里呢直接套公式啊，下面不都有公式吗？是不是这个结果的话呢？呃，我稍微去翻译这个答案，我看一下， 这个应该不难，我记得好像是零点九几吧，对，没错哈，对，零点九五。 好，这个是零点九五哈，自己算一下，算错的话呢，重新检查一下，应该这是没没什么难度。然后这个 y 关于 x 的 线段呢，也就算一下 b， 然后算完 b 以后再去算 a 了，他是会过那会过那个平均数的哈，然后这个是 y， 他 会等于一点二 x 加上个零点四啊， 好，第二个呢，就是考了一个全概率的一个公式。呃，这个题目呢，可能很同学啊，可能做起来有点困难啊，我们这里呢，也稍微去稍微看一下。好吧，最好是把他的事件给他设出来，然后他不说问 x 的 分布列以及期望吗？你把这个 x 可能取的值啊，给他稍微列一下。 好，可能列一下啊，然后这里呢，还涉及到了一个二项分布 x 呢，他可以。为什么呀？他是从四个人里面，四个人里面中从二号门出学校的人数了。那肯定就是。呃，零一二三四吗？然后呢，每个从二号门出学校的概率呢？都是四分之一，这不就是服从一个 真的这个二项分布的吗？然后呢，分布列给他一列，然后期望的话呢？甚至你可以直接套公式了，就是一啊。 然后这个 d x 呢，更简单了， n p 一 减 p， 那 就四分之三了。好，这道题我也不去细讲了啊，其实不算很难，我们同学呢，把它理解透了就完全可以。好吧。

今年是马年，到底考不考马尔科复练？不要焦虑，给我五分钟，待你彻底搞定。那么马尔科复练就两个东西，一个呢是咱们的地推，另外一个就是树列，把这两个东西放到一起，就是我们的马尔科复练。 那么马尔科夫列的定义是什么？这一次的发生只与上一次有关，它是五极一性的，那么做题的时候，一般通常是先设这一次为 p n， 上一次为 p n 减一。我觉得这个东西我们不太理解，所以呢，我们还是和以前一样，用一个例子来你搞清楚 这个破东西到底是什么原理好不好？来，各位，比如这个例子，你们班有个小帅，他每天上课呢，只有两种状态，一种是睡觉，一种是听讲。那他如果这节课听讲了，他可能比较亢奋，他下节课听讲的概率是我们的三分之二， 他这节课听讲，那么下节课睡觉，那么就是三分之一。这节课睡觉，那他可能下节课提不起精神，那么我们设为各自二分之一吧。好， 现在我们已知小帅第一节课他一定是听讲的，那么我们现在求第 n 节课小帅听讲的概率， 所以我们先按那个步骤来，我们先设第 n 节课小率，听讲的概率为 p n。 那 么我们说了，马尔科夫列是啥？它只与它的上一次有关，也就是 n 减一节课，它的上一次课它的概率为谁？那就是 p n 减一呗。 好，各位，我们来分析一下。我们先来地推分析一下，既然它只与上一次有关，那么也就是说上一次如果发生的是 p n 减一，上一节课如果听讲，它这节课还听讲的概率是多少？三分之二乘三分之二， 那么它上一节课如果没听讲，没听讲说明干嘛呢？是不是睡觉？没听讲的概率怎么表示？是不是可以用一减去一个 p n 减一去表示这个代表上节课没听讲，就是上节课睡觉， 那么上节课睡觉就是下节课听讲呢？概率是多少？是二分之一，所以再乘个二分之一。哎，各位，到这为止， 咱们概率的知识就用完了，剩下的呢就全部是咱们树立的知识了。那么这块的知识，如果说各位有一点模糊或者说陌生，你们可以来找我私信一下我，我给大家发一下这块的他的练习题，以及他的这个我们的例题。 好，那么到这了以后，我们把式子打开，这是 p n 等于这个是减二分之一，三分之二，减二分之一是六分之一倍的 p n 减一，再加上一个二分之一。 那么这种题的做题方法就是构造出来一个 p n 加 x， 我 就直接来了，所以我们设出来一个 p n 加 x 等于前面的系数六分之一一定是不变的，等于六分之一倍的 p n 减一，整体加 x， 我们先射出来，射出来之后把括号打开，也就是 p n 加 x 等于六分之一倍的 a， p n 减一，加六分之一 x。 各位整理一下， p n 等于六分之一倍的 p n 减一，减去一个六分之五 x。 那么导这了以后，这个式子和这个式子一不一样呀，它是一样的，所以后面的这个减六分之五 x 和前面的加二分之一是不相同呢，所以我们可以把 x 干出来， 那么负的六分之五， x 就 等于二分之一，我们解的 x 等于五分之三负的。然后呢？我们把这个 x 带回去，带到哪？我们带回我们设的这一步去。 所以我们得到了 p n 整体减五分之三，等于六分之一倍的 p n 减一，减去一个五分之三。 好，那么我们除过来，我们就可以得到 p n 减五分之三，比上一个 p n 减一，再减五分之三等于六分之一。各位，到这为止，我是不是构造出来了一个竖列，什么竖列？ p n 减五分之三这个数列，所以 p n 减五分之三这个数列，这现在是不是后一项比前一项是个常数，说明它是个等比数列，它是以 六分之一为公比，各位，以谁为首项？这个的首项是不是当 n 等于一的时候，也就是以 p 一 减五分之三为首项？那么 p 一 是几题目？读题， 他说第一节课一定是啥呢？听讲的，所以说 p 一 是一，那么一减五分之三是以五分之二为首项的 等比数列为首项的等比数列。那么我是不是可以利用等比数列的递推公式我们写出来。所以 p n 减五分之三，它就等于首项乘公比的 n 减一次幂就是五分之二，乘上六分之一的 n 减一次幂， 那么最后表示 p n 移过来， p n 就 等于五分之二乘六分之一的 n 减一次幂，整体加上一个五分之三。那么这道题从头到尾就是一道马尔科夫列，你们发现只有到这一步之前，咱们是不是分析过程 这个递推关系，咱们用的是概率的这些知识，从这以后都考的是咱们这个数列的知识，所以说这个结合模型呢？ 因为今年是马年嘛。最后再强调一遍，今年是马年，所以他是有可能考的。各位这个知识点，如果说他考察的难度适中的话，他其实各位念稍加练习是能做的出来的。那么最后如果大家需要这块的数列的知识板块，大家可以来问问我，我给大家整个说一下。