他连续两年新高考压轴出现,多次模拟,也在告诉你,今年高考试必要考限性期望,你一定要学会,今天我用最通俗最易懂的话带你彻底学明白限性期望。 讲限性期望之前啊,我们先说说什么是期望。举个例子,比方说你们伟大的校长给你发红包啊,但是他准备一箱子,箱子里边有十个大小形状完全一样的球,红球一个,黄球两个,绿球七个, 抽出红球得三元,抽出黄球得两元,抽出绿球得一元,而你只能抽一次啊。但是呢,在抽这一次之前,说能不能估计一下校长预期要给你多少钱呢? 我们可以这样去理解啊,我们可以把格局放大,哎,就是把校长的格局放大,现在他不光给你发红包了,他给全校一千人都发红包 啊。然后我们看红球一个,他占整个的一个比例是十分之一,或者说我可以说抽取红球的概率是十分之一,对不对?抽取黄球的概率十分之二,绿球的十分之七。 那现在在这一千人当中,每个人都来抽,是不是有可能有这些人抽到的是红球, 对吧?然后我再拿什么,我再拿这个人数乘以三,那么这些是不就是校长因为抽到红球的同学们,哎,我们预计可能得花这些钱,对不对 啊?那同样的,我拿一千乘以黄球的一个占比或者概率,是不是就预计,哎,一千个同学当中有这么多人抽到了黄球,然后再拿这个预估的人数乘以两块,那就是预估这些。 就是啊,抽到黄球的同学们让校长花的钱,那后面这个一样的道理,那这些全都加起来就是预计校长要给全校一千人预计发一千四百元,对吧?哎,这个是我们做的一个预估, 如果说给一万人发红包呢,那就一万乘以十分之一,再乘以三,后续都一样,对不对?算出来是预计校长要花一万四, 如果说给十个人发红包呢,那就也这么算呗,对不对?哎,我们预计一下要花出去十四元,那给一人发红包呢,那就是一人这么算,哎,乘以对应的概率再乘前数,只不过是把这个一省略掉了 啊,那预计给一人发红包呢,是要发出去一块四的好吧?嗯,好,那其实这就是我们的离散型随机变量 求期望的一种方式,我们的随机变量有三元、两元、一元,然后对应的他会有对应的概率,把每一个随机变量跟概率相乘,然后再加在一起就能够算出期望。 然而这个期望的单位跟我们随机变量的单位其实是一样的,对不对?都是研究要花多少钱,哪怕说求出来的这个一块四,他并不符合实际当中的任意一种钱数 啊。但是呢,我们这种算法如果说扩大了人数的基数的时候啊,你看这个好像就看起来更加科学了,对不对?哎,但是事实上呢,我们用这种算出来的一个预计的前数啊,它本身也是一种期望啊,一种预期,或者说一种估计嘛, 对不对?哎,他在统计学当中是一个比较科学的方式罢了啊。那我们再讲一下两点分布,他指的是这个事,他试验了一次啊,看他是否发生。他的分布列式只有两个随机变量,一个是零,一个是一,一的底下是这个事发生的概率,简称成功率啊,就是 p。 那 两点分布的期望呢?就是零乘以一个不成功的概率,那这个还是零吗?对不对?再加上一乘以 p, 最后期望也是 p, 两点分布的期望 跟成功率是一样的。好吧,那我现在想请问一下大家啊,两点分布不就是两个随机变量,然后两个概率吗?对不对?那我现在这个随机变量我能不能变一变?我把这一变成三,行不行? 答案是不行。为什么?刚才我们讲这个分布列啊,随机变量的单位跟最后期望的单位是一样的,他研究的都是一个事。那么现在我的两点分布啊,他不是试验了一次吗? 对吧?哎,零代表没发生,一代表发生。我其实可以把这个随机变量的单位,哎,写成一个叫次, 那么零代表的就是发生了零次,那就是没发生呗,一代表的就是发生了一次,那就是发生了呗,对不对?随机变量单位是次,那我的这个期望的单位就应该也是次。那翻译过来就是预计这个事,他不是实验了一次吗?预计他发生了 批次。哎,是这么理解的,就比方说一个人,他投篮, 他的命中率是三分之一,那么他投篮一次期望是不应该是零乘以个不发生的概率,三分之二加上一乘以个成功率,哎,最后期望就是三分之一单位应该是次,也就是说他投了一次篮,预计他投中了 三分之一次,哎,是这个意思啊,虽然这个三分之一他在现实当中啊,不会出现,是吧?但是这个数他是有科学意义的啊。那我们这个地方假如说改成三, 你不能说干了一次,你这边什么预计要么发生零次,要么发生三次啊?那不可能,对不对?但是你如果非要这么干的话,你其实可以就是说这个地方写成三代表,哎,投篮投进得三分,哎,没进的话,哎,你可以说得零分,那么随机变量的话,单位就可以变成是分了,对吧?好,那么 对应的期望其实就是零乘以个三,乘以个三分之一,那预计投篮一次得一分, 能理解吧?他要跟我的随机变量单位是一致的,研究的是同一回事好不好?然后我们再看二项分布,二项分布指的是这个事,我干了 n 次, 两点分布是干一次,二项分布是干 n 次,那么二项分布的一个随机变量,他表示的是发生的次数,或者说是成了的次数吧,对不对? 他的期望是 n 倍的 p 啊,这个的话呢,可以根据我们的二项分布列去推导得到。但是呢啊,你发现他跟两点分布的一个期望值 p 其实就是一个 n 倍的关系, 对不对?两点分布干了一次,期望是 p, 二项分布他干了 n 次,他期望是 n 倍的 p, 次吧,对不对啊?因为随机变量的单位不也是次吗?对不对?好,那现在我们就拿投篮去举例啊,刚才咱们说了投篮的命中率是三分之一,然后呢?我们投一次,预计命中三分之一次。我现在如果说投篮投了 n 次的话, 那按照这个二项分布的一个逻辑,他的期望是不是应该是 n 乘三分之一,对不对?也就是三分之 n 次,预计投中的是三分之 n 次,投一百次,对不对啊?那我预计投中的是不是应该就是三分之一百次? 理解这个感觉吧。好啊,那么现在我再去说一下期望的现性可加性啊。呃,可以拿我们的二项分布跟两点分布之间的这样的关系来理解啊。就是你看我现在 二项分布,他不是干了 n 次吗?那一次,两次,三次,四次,一直到 n 次,其实他的每一次是不是都分为发生和不发生啊?成功和不成功,对不对?或者说他每一次都是这个两点分布模型, 对吧?好,那么发生跟没发生,我刚才再说两点分布的时候,是不是因为我们研究的都是这个次数吗?那我现在把这个发生和不发生又分别的给他换了一个名,发生,叫这个事发生了一次,不发生就这个事发生了零次。 好吧,那么在第一次我们可不可以有单独的这个第一次的一个随机变量或期望呢?我把第一次的随机变量列为角标 x 一, 那么第一次的期望 那就是按照两点分布期望的逻辑,对不对?哎,用一乘一个 p 加上零乘一个一减 p, 其实算得的就是 p, 对 不对?那第一次我预计发生的次数是不是就 p 次? 那第二次也是一样啊,也是要么发生和不发生,或者说要么发生了一次和要么发生零次,然后我们就可以说 ex 二应该就也是 p, 对 不对?第二次预计发生 p 次, 那同理,第三次应该也预计发生了 p 次,对不对?依次类推,每一次都预计发生 p 次,那么总共干了 n 次,每一次预计发生的次数,我给它加起来,对吧? 全都加起来,我可不可以就是等于 n 倍的 p 次,哎,那当然了,这个 n 倍的 p 不 就是二项分布的期望吗?对吧?那它其实就可以说成是 x 一 加 x 二加上 x 三,加到一起去,一直加到 x n, 它指的就是说怎么样?你看我第一次干,第二次干,第三次干,一直到第 n 次干,每一个随机变量加起来对应的期望,它其实指的就是我们二项分布当中的这个 x 代表哎,干了 n 次,最后发生的次数,这个东西的一个 期望,对吧?好,那所以说我们的限性期望可加,可以这样去理解。就如果说啊,一个事情它可以分为多个小事情啊,分成多个小事情对应的 n 个随机变量,那么这些随机变量 的核啊,对应的期望就可以等于每一个随机变量对应的分期望,然后再加到一块去,这个就叫期望的限性可加。 来,我们看一下这道典型例题啊,有五个相同的球,分别标有数字一、二、三、四、五,有放回的,抽取三次,每次取一个球既 x 为这五个球中至少被抽取一次的球的个数啊,求 x 的 数学期望。那什么叫至少被取出一次的球啊?的个数呢? 咱们现在举例子啊,比方说,呃,你能不能是先取一,然后再取一次一,能吧?有放回,是不是然后再取一次四啊?那么在这种情形之下,我的这个一号球是被取了两次,那我问你,一号球叫不叫做至少被取出一次的球呢? 叫做对不对?好,那四号球叫不叫做至少被取出一次的球呢?他被取了一次也叫做对不对?好,那现在, 呃,五号球叫不叫做至少被取出一次的球不叫对不对?他一次都没被取过。好,那现在其实我们就可以去把这个比较绕的这句话给它翻译过来啊,换三个字叫做出现过, 可以吧?好,那现在你看一和四是不是都是出现过,对不对?那么出现过的球的个数是什么意思呢?那出现过的一号球和四号球,那出现过的球只有他们两个,对不对啊?那这种情形下出现过的球的个数只有两个,或者说是两种。 哎,我一说种你就明白了,是吧?好,那咱们再举个例子,比方说你二三五吧,三个不一样的球对不对?每次都不一样。那现在出现过的球的个数就是什么?就是三种 或者是三个,对不对?按照他这个说法,然后一第三个例子就应该是二二二吧,三个一样的球吧,那出现过的球就只有一种,或者说一个。 好吧,哎,咱们这么去理解啊。好,那么现在回到这个题,我们怎么用期望的限性相加去解决啊?我们现在设几个小变量分着设啊?带角标的,从 x 一 一直设到 x 五, 顾名思义,这个 x 一 一定跟这个一号球有关,对不对?好,那现在我这样的去设这个 x 一, 他的随机变量可以取一零两种啊。然后什么时候取一呢?肯定是一号球, 如果在这几次抽取当中出现过的话,就取一啊。那反之,如果说一号球他没出现过的话,就取零啊,那他有点像这个两点分布,对不对? ok, 那 接下来啊,我换一种说法啊,就是出现的 一号球的个数啊,来这个个数,其实什么是不是跟这个个数是一回事,对不对?哎,也可以说成是种,那我现在直接就去求一下这个 x 一 的期望 好吧。好,那求期望的话,你肯定要知道什么 p x 一 等于一,也就是说一号球出现过的概率啊,以及呢? x 一 等于零啊,就没出现过的概率。 这个好球,你可以这么看啊,就是一号球他占五个球里面占五分之一,对不对?你抽一次能抽到一号球的概率就五分之一,抽不到的概率就五分之四,那你三次都没有抽到的话,是不就一号球没出现过,对不对?三次都没抽到就五分之四的一个三次方, 对吧?啊?那他应该是一百二十五分之六十四,就应该是一百二十五分之六十一这么个数, 那你就知道期望怎么求了,零乘一个,这个肯定得零,对不对?再加上一个一乘,一个一百二十五分之六十一,我们也知道两点分布的期望其实就等于成功率嘛,对吧?哎,就是一百二十五分之六十一,那这个期望的单位是什么?哎,是个 啊,我们刚才设的时候不是说可以设成是出现一号球的个数吗?那现在这个期望就是在求预计在这三次抽取当中出现的一号球的个数为这些个。 好吧,那我们接下来再明确一件事情啊,就是我 x 二,就是把这个地方角标换成二的话,也这样去设,就是出现过二号球 对应的是一二号球,如果没出现过,对应就是零啊,或者说出现过的二号球的个数代表的是 x 二,那么啊,我们二号球的话,他其实也是五个球当中的一个,对不对?那抽取一次出现二号球的概率也是五分之一,不出现概率还是五分之四,对吧? 那么对应的啊,我的 x 二等于一的概率就还是这个 x 二,等于零的概率就还是这个 x 二的期望还是这个一百二十五分之六十一, 对吧?啊,代表的是预计出现二号球的个数为一百二十五分之六十一个啊,那同样道理,你这个角标是三四五,其实得到最后期望都是这些,对不对?好,那我们现在就 明确一件事情,叫做 e x 一 等于 e x 二等于 e x 三,等于它们的期望全相等。好吧,哎,明白这样一件事情,那我们 e x 啊,指的是这五个球当中至少出现或者说出现过的球的个数嘛,对不对?那它是不是等于一号球出现过的个数加上二号球出现过的个数,加上三号球出现的个数,每个球出现的个数全加起来,对应的期望指的不就是这个 x 吗?对不对?那它其实也就等于我们的 每一个随机变量的期望加起来,对不对?那它其实就等于什么五倍的 e x 一 吧,对不对?也就是一百二十五分之六十一,再乘一个五 啊,那就把这个五约掉嘛,对吧?啊,那应该是二十五分之六十一。好,那最后你看我这个大 x 期望其实代表什么?代表的就是说啊,这三次抽取当中出现过的球的个数为预计是这些个。 然后咱们再讲一下这例二啊,这个就是我们上个视频讲的马尔科夫列的那个题嘛,对不对?我讲了第一问和第二问啊,第三问,你看它就是期望的限性可加性。 呃,首先是这样啊,你看他这个 x i 带角标 i 的 话,他是从一数到了 n, 对 不对?而且呢,他是什么?他是你看投篮投了 n 次嘛,对不对?最后研究的还是假投篮的次数。呃,变量设为 y 了,让你求 y 的 期望。 第二问,咱们求的也是第一次投篮的是假对应的概率,是吧?好,那现在你看,我这个 x i 其实也就可以像刚才似的写成是,呃, x 一 带脚标 x 二,然后 x 三,一直到 x n 嘛,对不对?还可以把它分成这些变量, 然后你看啊,呃,我的这个 e y 啊,里边这个 y 是 不是其实就可以分成是来第一次假投篮,第二次假投篮,第三次假投篮,一直到第 n 次假投篮,对不对?哎?加在一块 是不是指的就是前 n 次假投篮,对吧?好,我把它加在一起,对应的一个期望,跟要求的这个就相等啊。然后呢,我们根据期望的现性可加性,是不是就可以把它分成 x 一 的期望和 x 二的期望相加,一直加到 x n 的 一个期望? 好吧,那我再分着把这个每一个的期望求出来,每个期望怎么求?你看,他都说了 x i 服从两点分布,概率之和等于一。并且呢, x i 等于一是不是指的成功率,对不对?但是它这个成功率写的是 q i, 其实就是指的是 d i 次假投篮嘛,对不对? d i 次假投篮的概率是 p 嘛,对不对?我们第二问用的是字母 p, 它在这给你提干当中,它给你弄的是 q, 你 要搞清楚谁是谁啊,它们是一回事就行了, 对吧?好,然后你再看,呃,它这个所谓的这个部分, x 啊,这个,这个 i 啊, i 从一到 n, 然后 x i 加核,指的是不是就是这些,对吧?这个是不是就这个,对吧?那它为什么说等于这些求核呢? 其实首先就是它根据期望的限性可加性,它先等于每一个变量的期望,然后再加核,但是因为每一个变量它服从两点分布,两点分布的期望,它不就是等于成功率吗? 对不对?哎,这是两点分布的特性。那么他这个为什么是 q i 呢?因为他这块成功率对应的是 q i, 对 吧?说白了我们上一份求的是 p i, 那 你也可以说什么,你这个 x 一 是不是对应的就 p 一, 这个也可以对应是 p 二,一直加到这个 p n, 对 不对?哎,你用的是这个 p, 也一样因为 p 和 q 一 回事吗? 好不好?那么总之呢,其实就是在求我们的这个东西的前 n 项和,对不对?你要把它换成 q, 你 看是不是在求前 n 项和,他跟他一个意思, 好吧,甭管怎么样,你想要求他的前 n 项和,那就是分组求呗,这是等比数列求和,这是常数列求和。那最后我们的这个 e y, 按照求和的逻辑,首先来一个三分之一的 n 倍吧,行不行?然后再来一个是,这是六分之一首项,然后一减去五分之二括号的一个 n 次方, 再比上一减去 q 啊,一减五分之二,好吧?啊,化减之后呢?最后应该是十八分之五这么个数啊,这么个数 再加上个三分之 n, 好 吧,那你看前 n 次假投篮的一个次数的一个期望是关于 n 的 这样一坨式子。
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一模当头一棒,给孩子们笑蒙了,二模应该给个甜枣安慰一下,三模应该考简单点,给孩子们细细, 这么多年都是这个规定,结果今年黑龙江独出新彩,一模比一模难,这是减负吗? 这么难为孩子是啥心态呢?显摆你出题水平高啊还是怎么的?家长们现在必须坚定一个信心,就是高考根本不会出这些难题!你孩子高中三年最好的成绩肯定是高考, 至于三模考试,就当他是个屁,把他毒气放了得了,回归基础,回归真题,以必胜之心走进高考考场,加油!

十二年寒窗苦读,只为今朝成就梦想!愿我的孩子以平稳的心态踏入考场,不骄不躁,不慌不忙,超常发挥,提笔从容自信,事事如愿以偿, 交出最好的高考答卷!祝愿所有考生高考顺利,金榜题名!十二年寒窗苦读,只为今朝成就梦想!愿我的孩子以平稳的心态踏入考场,不骄不躁,不慌不忙,超常发!

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二零二六高考押题机械波最热门题型,第四题呢,是机械波中的波震结合问题,就是波形图和振动图结合的问题。 在讲这题之前,我们先回顾一下振动图像和波形图像,它们该怎么分析,它们的相同点是什么?区别又是什么?然后再带大家梳理一下解决这种波震结合问题的一个基本的思路。 来来,我们看波形图和震动图啊,震动图就是一个置点在不同时刻的这个位置啊,而波形图是大量置点在同一时刻的这个位置所拍的这个照片,对吧?那这两个图的相同点 就是他们的纵坐标的含义是相同的啊,是置点离开平衡位置的位置啊,那他们的不同是什么呢?第一个不同, 震动图横轴是时间,对吧?波形图横轴是位置啊,那么震动图呢,它表示就一个置点在不同时刻的位置啊,就相当于我们对这个置点的运动过程录了一段像,对吧? 波形图表示多个置点在同一时刻的位置,我们拍了一张照片,哎,对吧?好,这是 一个是一点多时啊,一个是一时多点, ok, 下面他们最重要的区别啊,是从图像中获取的信息是不同的啊,这个呢,对于这个的理解,是我们解波震结合问题的关键。先说振动图,我们在振动图中能获取什么信息呢 啊?基本信息我们就不说了啊,比如说某一时刻置点的位置,对吧,这是最基本信息。那么更深层次的信息就是有关置点的运动情况,比如说想研究置点在一秒末他的震动方向向哪,那该怎么判断呢? 大家注意啊,这是一个位宜时间图像,对吧?想判断某一时刻置点的速度方向,我们是不是就看下一个时刻这个置点他到了哪个位置,对吧?那么一秒的下一个时刻置点往下走了,对不对?就说明他的震动方向是向下的啊?那我们在比如说 t 时刻 置点在这个位置,那他的震动方向向哪呢?那我们就看 t 的 下一个时刻,呃,就说明他往上震,对吧?所以判断震动方向啊,我们可以用上下坡法,如果置点处在上坡段,他的震动方向就是向上的, 处在下坡段,振动方向就是向下的啊,当然这个上下坡法啊,就是这这个名字,大家可以不用特意去记啊,就是根据它下一时刻的位置去判断振动的方向,对吧?那么从振动图我们只能获取这一个重要的信息,就是置点的振动方向。 我们再看波形图,波形图里边引含着两个重要的信息,一个是置点振动的方向,一个是波传播的方向,这两个方向是可以互相判定的,比如说我们现在已知 二米处置点,此时的振动方向是向下,好,那就可以判断波传播的方向是向左的,这个方法叫同侧法。什么是同侧法呢?就是振动方向的这个箭头和波传播方向的这个箭头, 这两个箭头一定在波形的同一侧啊,这就叫同侧法,对吧?好,那再比如说我们已知波传播的方向是向右的 啊,判断二米处置点这个时候振动的方向还是用同侧法,对吧?把波传播的这个箭头标上来,置点振动的,这个箭头一定在波形 啊,和这波传播箭头在波形同一侧,对吧?判断出振动方向是向上的啊,这就是同策法,但是使用同策法的前提是振动方向和波速的方向,至少得知道一个,对吧,才能求另外一个来。 所以总结一下振动图,我们可以获取的是置点的振动方向,波形图呢,知道某一个就可以求另外一个,对不对?它包含的信息要更多。那这就告诉我们,在解决波震结合问题的时候,我们应该先分析哪个图呢? 是不得先分析振动图,因为振动图它简单,它包含的信息少,对吧?直接上下坡法就可以判断出来。 判断出振动方向之后,再把这个振动方向带入到波形图中,对吧?就可以判断出波传播的方向啊,这就是分析波震结合问题的一个先后的顺序啊,基本上我们把这些弄清啊,嗯,大部分问题啊就都解决了。来,那下面我们看题 好,它如图甲所示,连续上下抖动较长的软绳形成波,该声波可以视为剪斜横波,图以是该横波在零时刻的波形图。 p, q 是 该波上两个支点, 此时 p 为平衡位置, q 为波峰,图柄是波上二米处支点的振动图像。好, 我们在图中先标一下,以图是零时刻拍的一张照片。好, x 等于二米处的这个置点,它的振动图像是图饼, 把这个置点可以记成 m, 也就是 m 点零时刻开始,它的振动图像是这样的。 好,那先问大家几个问题啊,由这两个图像能得出哪些基本信息?第一个是不是波长?波长量子点二,第二个周期 t 零点八波速就能求吧? v 等于量子比特二点五。 好,那看选项问什么?他说 a 零时刻至点 p 正向 y 轴正方向振动, p 点向哪震动,那得知道波向哪传,向左传还是向右传,再用同色法再判断,对吧? 然后 b q 比 p 更靠近波源啊,波源在哪个方位,也得知道波向哪个方向传呢, 对吧?所以现在首要目标啊,是判断波传播的方向。那怎么办呢?是不是先分析振动图,再来波形图?好,振动图是 m 点的振动图像, 先分析下它振动的过程啊。零时刻从平衡位置出发,一开始怎么震呢?向上震, 对吧?向上震零点二秒时到最远点,零点四秒又回到平衡位置,再到负向最远点再回来,是这么一个过程。但我们现在只关心哪个时刻的震动方向呢? 是不是只关心零时刻的?零时刻 m 点就是在向上震,对吧?我们只关心这个时刻的,因为波形图就只给了这个时刻只是在这个时刻的一张照片,对吧?所以我们把零时刻 m 点的振动方向标上去, 向上震好,说明什么呢?波再向左传,这是同色法嘛,对不对?那 p 点波向左传,振动方向就是向下的,这 a 就 错了,对吧?好,所以波源是不是在右右边? b 也错了? c 零点六六秒时至点 p 的 振动速度最大 周期零点八秒,零点六秒是四分之三个周期,四分之三个周期呢?到底回来平衡位置,再到最高在这个位置,这 c 错了吧? 好,第零点九秒时, q 的 坐标是多少?零点九秒时它是又八分之一个周期, q 呢,一开始它在这个最最远点对吧? 它过了一有八分之一个周期,肯定不是在特殊位置,那要想求它的坐标怎么办呢?是不是得把 q 的 振动方程求出来? 求方程,然后带入时间才能把它位置给算出来?是这么一个思路,振动方程怎么求呢?首先大家明确一个问题啊, q 它是不是围绕着自身的平衡位置做的是减弦振动, 哎,对吧,只要是剪斜振动,它是不是满足? y 等于 a 乘口算 omega, t 因为它是从最远点开始的嘛,所以应该是乘口算啊, omega 只要求出来就行。 omega 等于二派比 t 好就二 pi 比五分之四,二 pi 乘四分之五就二分之五 pi 二分之五 pi 好, 我们应该带进去, t 也带进去,带入 t 等于零点九秒, 这 y 就 出来了吧,对不对?哎, y 算出来就,嗯,十分之根号二啊。但是正负 a 呢,是零点二啊,大家注意,正负呢,只看平衡位置和最远点的间距啊,或者是两个最远点间距再除以二啊,这,这个千万不要带错了啊!好答案,选 d, ok, 那 通过这题呢,我们再总结一下啊啊,拨阵结合问题解析一个思路是什么呢?就第一步,第一步就是先标记在波形图中标位置,我们研究的是哪个位置好, 把位置标出来,这个位置它的振动图像是右边的这个图。同时呢,标完位置之后,我们在振动图中还得标时刻, 就研究的是哪个时刻,换句话说,图以是哪个时刻拍的照片,对吧?这个提示零时刻拍的照片,所以把零时刻这个点也给标上。所以一开始我们要标记两个点,波形图一个,震动图一个 啊,如果他给的是零点四秒,这个时刻我们标的话,就得标标在这了。啊,要标在这。好,这第一步,标完之后呢?下边是不得先分析震动图,对吧?根据上下坡法, 在振动图中标出该时刻,指点振动方向。这第二步,第三步呢?把这个振动方向再标回到波形图中。 好,第四步,用同策法判断波传播的方向,对吧?就是这么几个步骤。 ok, 波震结合。问题就说这么多来,再往后看。

屁加上屁,哎,等于二十八。这次去年高考题没有一个学生作对,今年有可能还要出,所以大家认真听来看。我们把屁这面的零,哎给它擦掉,挪过来,挪到下面,哎,零, 哎,把这个屁的零也擦掉,挪到下面来,哎,又一个零,现在看上面是不是一加一,哎,一 加一等于几?是不是等于二?好多同学问这个零咋办?看好把这个零提到这,哎,把另外一个零哎写到这,看是不是等于二十八?哎呦我的妈,哈哈哈哈。

来,有一个好消息啊,就是今年高考退档滑档根本不存在啊!所有今年参加高考的孩子填志愿,不要再找机构乱花那些冤枉钱了。教育局去年就推出了官方的志愿信息服务系统,到现在还有很多家长竟然都不知道。 家里但凡有六月份高考的,提前了解一下,不要等要用的时候找不着,出分之后赶紧登录阳光志愿信息服务系统,据预填报,这是国家专门为高考生设计的,里面每个学校最新的招生数据和政策都有,我教你们怎么操作。用电脑搜索,阳光志愿信息服务系统,现在还是关闭状态,到五月下旬就开放了, 登录后先注册,中间有志愿参考服务,孩子输入自己的省份和位次,系统从大数据里给你推荐充文宝三种志愿建议,跟你花钱找机构做的一模一样,不知道选什么专业的,里面还有专业倾向测评,让孩子自己测一下就行。最后提醒一句,这是官方网站,不是 app, 也不是小程序,全是免费的,但凡让你花钱的都是假的。 还有一步,系统给你的算法生成了参考,但参考毕竟是参考方案,排出来之后合不合理,适不适合你?系统算不出来的,问问大象,里面有一群填过志愿的学长学姐,免费帮你看 文宝梯度排的对不对,专业选的合不合适,过来人帮你把把关,官方系统加真人经验,两边都对上了再提交,心里才是真的稳。等分数出来了,我再教你们怎么好好填,加油!

距离高考呢,只有最后九天了,钟老师,今天这期视频呢,带大家快速的复习一下概率统计这个板块,那么概率统计呢,应该是今年最值得关注的一个板块,他的内容也是非常之多的,分值也是非常高哈,大概有个三十分左右,小题呢,一定会出两个,然后大题呢,应该是有一道大题的, 那么小题里面呢,他必然会有一个二项式定的题目,因为技术原理啊,前几年出的都是排列组合啊,所以考二项式定的概率呢,应该会相当相对来说会比较高啊。那么还有一道小题呢,可能会考一个这个古典概型, 如果没有出现排列组合,那么古典概型应该会涉及到这个排列组合啊,或者呢,有可能考一个这个三大分布的这个选填,因为我们去年呢,考了一个这个正态分布啊,今年可能,呃又会回归这个二项分布啊,同学们稍微去多复习下这个二项分布跟超级和分布的一个区别好吧, 然后大体呢?钟老师,嗯,预测大概呢,应该会有两个方向,第一个方向呢,就是先回归方程,嗯,然后呢再加上一个概率的一个结合的大体,这概率呢,可能会涉及到条件概率啊,或者说全概率公式这种。 那么还有个方向呢,就是传统的那个概率的决策的大体啊,可能涉及到某些比赛啊,要你去了解一下这个比赛的规则啊,那么这种大体呢,我们已经很久没考了啊,之前都是考这种统计加概率的一个结合, 像这种传统的概率大题啊,我们上次考的时候还得追溯到这个二一年啊,那么这种题呢,我觉得相对来说更为重要,他比较考察你的这个概率的预算能力了。 好,那么钟老师呢,这里呢,把这个预测的几个方向哈,每个方向我们都来通过一道题稍微快速的复习一下吧。 首先这个技术原理呢,像这个二项式定理啊,你只要会定理就足够啊。这种题目一般是考一个这个填空,那就放在第一题,属于送分了,像这种属于两个多项式相乘的结构,你就把它拆开就可以了。这个 x 平方乘一个二 x 减去 x 分 之一,再加上两倍的二 x 减去 x 分 之一的,这个啊,这五次方啊,漏掉了。 然后呢,你要求出这个 x 的 三次方的这个系数,那你不就找这个 x 三次方吗?所以我们就在第一个式子里面去找谁啊? 找 x 了,在这个第二个字里面去找谁呢?找 x 的 三字旁嘛,然后我再去使用两个二项式定理哈,就可以把它解出来, x 平方乘一个 c, 这个 a 是 二 x 好, b 是 负 x 分 之一 啊,这里就稍微观察,你要找 x, 那 x 肯定比 x 分 之要多一个,那他就三二了啊, c 五二,然后再加上二乘以 c, 这个是二 x 四比一了吗?是不是四比一了哈,那就五一 好,最后呢,我们再把它算出来,结果呢,应该是,嗯,负八十啊,非常容易啊。第二题呢, 像这个,呃,这里呢,我们就出了一道这个二项分布,跟正态分布的一个结合哈,正好呢,也是射掉一个三大分布,那么这两个分布啊,你一定要去区分出它的字母来,我们这个 n 呢,它是代表的正态分布了,因为我们正态分布的首写字母就是 n 啊,这个很容易搞混掉。 然后呢,正态分布主要是了解两个,一个是它的一个对称性,还有个呢,就是它的一个三 c 个原则啊,了解这两个就行了。正态分布它是一个连续性的一个啊,分布函数,而我们二项分布呢,它是一个离散型的。好,我们把这道题呢,这道题因为他没有设到什么背景啊, 有点小抽象,所以我们稍微去多读几遍题目了。然后呢,这个 ab 选项都考的是这个正态分布啊,正态分布呢,我们要来画个图像吧。 啊,这个是正态粉扑。然后 miu 呢,代表了他的一个期望,也就是君子。 miu 呢,代表了他的标准差,嗯,这个四个码方哈,代表他的方差,四个码代表他标准差,这个是 miu。 好,然后他这个 a 选项。说什么呢?缪减 a, 然后缪大一点,这个 a 是 啥东西啊?你不用管 a 是 什么东西,你就只需要由它的对称性你就知道了哈,我假设这个就是 a 吗?这不就是缪加 a 吗?这不就缪减 a 吗?那根据对称性,这两个概率肯定是一样的,大于这个东西和小于这个不一样的嘛,所以这个 a 肯定是对的哈, 然后这个 b 也是一样的哈, b 的 话我们稍微看一下。呃, c 个码, c 个码,它这个是 x, 小 于等于没有减 c 个码,那这就是没有减 c 个码,所以它的概率是这一部分, 然后加上没有加,没有加 c 个码,它说这两部分加起来是等于二分之一的,我这两个是相等的了,所以这个加这个确实等于二分之一啊,所以 b 也是对的。你看 这个,我们去年哈,去年这个多选的第一个啊,嗯,考的就是一个正大分布的题目啊,而且那道题目呢,其实也不算完全送分的 啊,所以正大分布呢,你可以拿那道题去稍微复习一下,那么今年考察概率应该不大哈,但是我们这这个二项分布啊,要多去看看。好,那么这个 c d 呢?他就到了二项分布了,他是从这里面零件的随机抽 n 个,然后这个 n 呢,就代表什么?代表你抽到次品数的一个概率哈, 那么这个 c 就是 你抽到 k 个和你抽到了 n 减 k 个的概率是一样的。呃,这个肯定是错的啊,我们可以这么去理解了,他他对的只有一个情况可能是对的,那就是他抽到次品数的概率和抽到正品数概率是一样的,也就是各为二分之一, 你才能是对的啊。只要是不一样的,那可不可能是对的了。比如说我举个例子啊,比如说我去有八个单选, 然后每个蒙中的概率啊,就是对的概率哈,是不是四分之一?你去蒙,你蒙错的概率是四分之三,那人家说你蒙对一个和蒙对七个的概率是一样的,这怎么可能是一样的呀,怎么可能是一样的,是不是肯定蒙对一个概,一个概率肯定要那个哈,所以 c 肯定是错的了 啊,你要用四指去把它证明一下,也完全可以啊,我这就不证明了。然后这个 d 选项的话呢,这个 a b 是 对的,呃, d 也是对的啊,我们来看一下它这个 n 等于二,就是总共就只有两个零件, 然后呢次品数,呃,孟周次品数概率呢?是二分之一,那也就是说这里呢是一个什么呢?是一个条件概率,我们直接套条件概率的一个公式, 我把这个给他带进去, y 他 服从一个二项分布,然后呢二二分之一,这个有点像那个两点分布啊,像那个抛硬币,你可以把它理解。为什么呢?去透露一个模型吧,可能更好理解啊,抛硬币,然后呢一共呢是抛两次 好朝上的概率,朝上概率好为二分之一好,现在呢? y 大 于一等一 好,就是,呃,两个同时发生的概率吗?两个同时发生概率不就是那个吗? y 等一吗?因为 y 等于就是包含在 y 大 等一里面了,然后呢比上个这个 y 大 一等一了。 好,也就是说你一次朝上的概率除一个呃,你一次或者两次朝上的概率了,最后结果呢?就是我们要的结果了。一次朝上的概率,那不就是从两次里面挑一次吗?那一次朝上,然后一次朝下吗? 好,一次把这个抄一下, c 二一二分之一的平方,那两次抄上就 c 二二二分之一的二次方。好,上面的是,呃,这个二乘以四分之一 就是二分之一,然后下面就是二分之一加这个四分之一啊,好,那就四分之三分之四分之二,最后结果呢三分之二,所以 d 也是对的。你看这个题目啊,他就算算是考察内容非常广了,但是呢,对吧,不属于特别难的,那也不算是完全送分的,这就是多选择题的一个特点。 好,我们下面一道答题呢,这道题就比较长哈,而且呢,我这里选的大题啊,他也不算特别难,我们同学做的时候呢,我完全可以把这个该统计啊,可能最可能考的几个题型完全给它复习一遍啊,就通过这几道例题, 那么这道例题呢,我就不算了哈,我们来说一下他的方法吧,你看他就是属于什么呢?第一问,考了个相应回馈方程,你就去把什么呢,把他的相关系数到底代表什么以及他的性质啊,去稍微复习一下, r 越大, r 的 绝对值越大啊,代表他的相关越强,然后 r 如果是正的代表正相关, r 如果是负的是代表负相关,以及他到底怎么去计算哈,稍微复习一下 好,我们这个 r 呢,最终呢算出来的结果呀?嗯,这里呢直接套公式啊,下面不都有公式吗?是不是这个结果的话呢?呃,我稍微去翻译这个答案,我看一下, 这个应该不难,我记得好像是零点九几吧,对,没错哈,对,零点九五。 好,这个是零点九五哈,自己算一下,算错的话呢,重新检查一下,应该这是没没什么难度。然后这个 y 关于 x 的 线段呢,也就算一下 b, 然后算完 b 以后再去算 a 了,他是会过那会过那个平均数的哈,然后这个是 y, 他 会等于一点二 x 加上个零点四啊, 好,第二个呢,就是考了一个全概率的一个公式。呃,这个题目呢,可能很同学啊,可能做起来有点困难啊,我们这里呢,也稍微去稍微看一下。好吧,最好是把他的事件给他设出来,然后他不说问 x 的 分布列以及期望吗?你把这个 x 可能取的值啊,给他稍微列一下。 好,可能列一下啊,然后这里呢,还涉及到了一个二项分布 x 呢,他可以。为什么呀?他是从四个人里面,四个人里面中从二号门出学校的人数了。那肯定就是。呃,零一二三四吗?然后呢,每个从二号门出学校的概率呢?都是四分之一,这不就是服从一个 真的这个二项分布的吗?然后呢,分布列给他一列,然后期望的话呢?甚至你可以直接套公式了,就是一啊。 然后这个 d x 呢,更简单了, n p 一 减 p, 那 就四分之三了。好,这道题我也不去细讲了啊,其实不算很难,我们同学呢,把它理解透了就完全可以。好吧。

今年是马年,到底考不考马尔科复练?不要焦虑,给我五分钟,待你彻底搞定。那么马尔科复练就两个东西,一个呢是咱们的地推,另外一个就是树列,把这两个东西放到一起,就是我们的马尔科复练。 那么马尔科夫列的定义是什么?这一次的发生只与上一次有关,它是五极一性的,那么做题的时候,一般通常是先设这一次为 p n, 上一次为 p n 减一。我觉得这个东西我们不太理解,所以呢,我们还是和以前一样,用一个例子来你搞清楚 这个破东西到底是什么原理好不好?来,各位,比如这个例子,你们班有个小帅,他每天上课呢,只有两种状态,一种是睡觉,一种是听讲。那他如果这节课听讲了,他可能比较亢奋,他下节课听讲的概率是我们的三分之二, 他这节课听讲,那么下节课睡觉,那么就是三分之一。这节课睡觉,那他可能下节课提不起精神,那么我们设为各自二分之一吧。好, 现在我们已知小帅第一节课他一定是听讲的,那么我们现在求第 n 节课小帅听讲的概率, 所以我们先按那个步骤来,我们先设第 n 节课小率,听讲的概率为 p n。 那 么我们说了,马尔科夫列是啥?它只与它的上一次有关,也就是 n 减一节课,它的上一次课它的概率为谁?那就是 p n 减一呗。 好,各位,我们来分析一下。我们先来地推分析一下,既然它只与上一次有关,那么也就是说上一次如果发生的是 p n 减一,上一节课如果听讲,它这节课还听讲的概率是多少?三分之二乘三分之二, 那么它上一节课如果没听讲,没听讲说明干嘛呢?是不是睡觉?没听讲的概率怎么表示?是不是可以用一减去一个 p n 减一去表示这个代表上节课没听讲,就是上节课睡觉, 那么上节课睡觉就是下节课听讲呢?概率是多少?是二分之一,所以再乘个二分之一。哎,各位,到这为止, 咱们概率的知识就用完了,剩下的呢就全部是咱们树立的知识了。那么这块的知识,如果说各位有一点模糊或者说陌生,你们可以来找我私信一下我,我给大家发一下这块的他的练习题,以及他的这个我们的例题。 好,那么到这了以后,我们把式子打开,这是 p n 等于这个是减二分之一,三分之二,减二分之一是六分之一倍的 p n 减一,再加上一个二分之一。 那么这种题的做题方法就是构造出来一个 p n 加 x, 我 就直接来了,所以我们设出来一个 p n 加 x 等于前面的系数六分之一一定是不变的,等于六分之一倍的 p n 减一,整体加 x, 我们先射出来,射出来之后把括号打开,也就是 p n 加 x 等于六分之一倍的 a, p n 减一,加六分之一 x。 各位整理一下, p n 等于六分之一倍的 p n 减一,减去一个六分之五 x。 那么导这了以后,这个式子和这个式子一不一样呀,它是一样的,所以后面的这个减六分之五 x 和前面的加二分之一是不相同呢,所以我们可以把 x 干出来, 那么负的六分之五, x 就 等于二分之一,我们解的 x 等于五分之三负的。然后呢?我们把这个 x 带回去,带到哪?我们带回我们设的这一步去。 所以我们得到了 p n 整体减五分之三,等于六分之一倍的 p n 减一,减去一个五分之三。 好,那么我们除过来,我们就可以得到 p n 减五分之三,比上一个 p n 减一,再减五分之三等于六分之一。各位,到这为止,我是不是构造出来了一个竖列,什么竖列? p n 减五分之三这个数列,所以 p n 减五分之三这个数列,这现在是不是后一项比前一项是个常数,说明它是个等比数列,它是以 六分之一为公比,各位,以谁为首项?这个的首项是不是当 n 等于一的时候,也就是以 p 一 减五分之三为首项?那么 p 一 是几题目?读题, 他说第一节课一定是啥呢?听讲的,所以说 p 一 是一,那么一减五分之三是以五分之二为首项的 等比数列为首项的等比数列。那么我是不是可以利用等比数列的递推公式我们写出来。所以 p n 减五分之三,它就等于首项乘公比的 n 减一次幂就是五分之二,乘上六分之一的 n 减一次幂, 那么最后表示 p n 移过来, p n 就 等于五分之二乘六分之一的 n 减一次幂,整体加上一个五分之三。那么这道题从头到尾就是一道马尔科夫列,你们发现只有到这一步之前,咱们是不是分析过程 这个递推关系,咱们用的是概率的这些知识,从这以后都考的是咱们这个数列的知识,所以说这个结合模型呢? 因为今年是马年嘛。最后再强调一遍,今年是马年,所以他是有可能考的。各位这个知识点,如果说他考察的难度适中的话,他其实各位念稍加练习是能做的出来的。那么最后如果大家需要这块的数列的知识板块,大家可以来问问我,我给大家整个说一下。