23年高考数学甲
今天我们一起学习二三年高考全国假卷第十八题。三棱柱 a、 b、 c a e b e、 c e 当中 a、 a、 e 的长度等于二， a、 e、 c 是垂直于底面的角， a、 c、 b 等于九十度 a、 e 到平面 b、 c、 c、 e、 b、 e 的距离为一，证明 a、 c 等于 a、 e、 c。 若直线 b、 b、 e 与 a a、 e 的距离为二，求 a、 b、 e 与平面 b c、 c e、 b e 所乘角的正线值。 我们看一下这个条件该怎么在图形当中表示。 a 一到这个平面的距离，我们需要过 a 一做这个平面的垂线，那么垂线段的长度就应该是一。如果我们做垂线段的话，这个垂足应该落在 什么位置？我们看一下 a 一是位于左侧面的，所以我们看一下左侧面与平面 b、 c、 c 一 b 一是什么位置。关系 条件当中有两处是垂直的， bc 垂直于 acbc， 还垂直于 aec， 所以这个 bc 垂直于左侧面当中的两条相交直线，所以我们可以推得 bc 是垂直于左侧面的， 所以 b、 c 是左侧面的一条垂线，所以左侧面与平面 b、 c、 c 一 b 一是垂直关系，他们的交线就是 c c 一。 现在我们在左侧面内过点 a 一做交线的垂线，这个交点记做 o。 根据面面垂直的性 控制，我们知道 aeo 也是平面 bccebe 的垂线，所以 aeo 的长度就是点 ae 到这个平面的距离，所以 aeo 应该等于一。 第一问涉及到的两条线段，一个是 a c， 那就是这里 a、 c 实际上也是 a e c e， 另一条是 a e、 c 在这里，所以这两条线段都集中在三角形 c a、 e、 c e 当中，而且这是一个直角三角形， 现在我们来解一下这个直角三角形，设 c e o 的长度为 x， 那么 c o 的长度就应该是二减 x。 现在我们把这个三角形单独画出来，这里是 x， 这里是二减 x， 这个斜边上的高等于一。根据直角 三角形的性质，我们知道 x 乘以二减 x 应该等于一，我们把 x 方移到右侧，二， x 也移到右侧，那就是 x 方减二， x 加一等于零，所以我们可以求得 x 等于一。 如果 x 等于一的话，这里是一，这里是一。这一条直角边，也就是 a c 应该等于根二，这里是一，这里也是一，所以另一条直角边，也就是 a c 也等于根二，所以我们求得 ac 等于 ac 都等于根二，所以他们两个相等。 现在我们再来看第二问，求 a b 一与平面 b c c 一 b 一所乘角的正弦值。 a b 一是这个平面的一条斜线，我们要求他们所乘角的正弦值。我们需要 过点 a 做这个平面的垂线段，因为左侧面与这个平面是垂直的，所以如果我们过点 o 做这个平面的垂线段的话，垂足应该落在两个平面的交线，也就是 c c e 上， 而且 aae 这条直线与这个平面是平行的，所以 an 和 aeo 这两条垂线段的长度是一样的，也就是说 an 等于一， 而我们要求的角就是 a b 一与他的摄影 n b 一之间的夹角。我们把这个三角形 a n b 一单独画出来， n 这个位置是个直角，而且 a n 的长度我们是知道的，那么这个角二法就是我们要求的这个角。要想求出三样法，我们需要知道 a b 一是 多少。要求 abe， 就得把 abe 放在一个条件更多的三角形当中。我们看这里 bece 是垂直于左侧面的，所以三角形 abece， 它是一个直角三角形。 那么在这个直角三角形当中， a b 一是斜边，斜边的平方等于直角边 a c e 的平方，加上另一条直角边 b e c e 的平方。 我们看一下这里的 ace 怎么求？ ace 就是这一条对角线，我们要想办法把它放在直角三角形当中。 我们延长 a c 到 m， 让 c m 等于 a e c 一，再连接 c e m， 那么很显然， a m c e a 一，这是一个直角梯形。 在三角形 a m c 一当中， a c 一的平方就可以写成 a m 的平方，加上 m c 一的平方， 而这里的 b 一系一，我们可以换成 bc。 我们再看这个 amam 是 ac， 加上 cm 也是 ac 加上 aec 一，我们换下来 a c 加上 a c 一。这两项抄下来 a c 我们刚才算了是根二， a e c 一，那就是一的平方加一的平方在开方，这里 a 一 c 一也是根二，我们看这里的 m c 一的平方， m c 一正好是这里的 c a 一也是根二，所以这三个线段都是根二，这里是二倍的根二的平方，也就是八根二的平方，那就是二。所以还差一个 b c b c 在底面直 角三角形当中，在这个三角形当中， a c 是知道的，是根二，所以我们要想求 b c 的话，必须知道 a b 是多少。 我们还有一个条件没用，直线 b b 一与 a a 一的距离是二，也就是说如果我们过点臂做垂线的话，这条垂线段的长度就是二。 在直角三角形 a、 b、 d 当中， b、 d 的长度是二。我们要想求 a、 b， 必须知道 a、 d 等于多少， 这个垂足地究竟落在 aea 的什么位置呢？我们可以猜测是终点，如果不是终点的话，这个三角形是不好解的。假如地是终点，那么 bd 既是高又是中线，只有等腰三角形才会三线合一。所以我们需要证明 b、 a、 e 和 b a 是相等的， b a、 e 和 b a 这两条线段分别在三角形 b、 c、 a、 e 和 b c a 当中。我们看一下这两个三角形什么关系。首先他们都是直角三角形， b、 c 是一条公共边，然后 c、 a、 e 和 c a 也是相等的，所以这两个三角形全等，那么他们全等的话，我们就可以推得他们的斜边。 b、 a、 e 和 b a 是相等的， 所以三角形 baea 就是一个等腰三角形， bd 是底边上的高，当然也是中线，所以 d 就是 aae 的终点， d 是终点的话， ae 的长度是二，所以 ad 的长度就是一，这里是一，这里是二， 所以 ab 的长度就应该等于跟五。然后在三角形 acb 当中，斜边是跟五，这一条边是跟二，所以 bc 的长度应该等于跟三，所以这里 bc 的平方，那就是三， 所以 a、 b、 e 的平方等于十三，所以 a、 b、 e 就应该等于根号项十三。三一二发等于对边除以斜边，也就是一除以根号项十三，也就是十三分指根号项十三。所以第二问的结果就是十三分指根号项十三。 这是一道立体几何大题，做这个题我们主要使用了分析法，在书写卷面的时候，我们可以从上面开始写，你学会了吗？欢迎点赞关注，谢谢！
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07:59查看AI文稿AI文稿各位同学好，我是叶老师。那么我们二三年的高考呢，已经正式落下帷幕了。从今天开始呢，叶老师将从全国各地区的数学物理理论试卷当中呢，我们选取一些比较有代表性的题目，一起来讲解一下。 今天这期视频。我们先来看看全国假卷理科数学试卷当中的这道选择压轴题表现如何。先看一下题目已知一个椭圆，椭圆上有一点 p， 那么这个 p 点啊和两个焦点构成了一个角，这个角的余弦值呢是五分之三。现在让你求 po 的长度。 表面上看像是一个关于椭圆的一个问题，椭圆的方程啊，已经给你了。所以呢，我们先把椭圆的这个基本要素呢表示出来，那么它的半长轴 a 等于三， b 等于根号六， c 自然就等于根号下九减六，也就是根号 三。这个题虽然在椭圆的背景之下，但是我们分析以后啊，会发现核心考察的并不是这个椭圆， 而是在于这个三角形，他们这个 p 点和 f 一 f 二构成这个三角形啊。在圆周曲线当中啊，是很特别的一个三角形，我们通常叫他焦点三角形。那么这道题关键就在于这个焦点三角形上。那么这里呢，易老师，我们用两种思路来解决这个问题。 第一种思路呢，就是我们直接在这个三角形当中来求这个线段 pu 的长度。换句话说呢，就是我们把这个题啊，给他当成一个解三角形的问题来解决。 所以我们先把这个焦点三角形给他抽象出来。那么这个三角形两个边 p f 一， p f 二，也就是两个交半径，我们分为 用 r 一和 r 二来表示。他们的夹角呢，我们用 c 特来表示。根据已知条件，我们知道这个 c 特的余弦值呢，是五分之三。 要求的这个 p o 啊，它是底边 f 一 f 二的一个中线。那么说到中线啊，我们可以联想到我们在三角板块当中学习过的一个公式，叫做中线长公式。 那么根据中线长公式呢，这个 p o 的平方就应该等于这两个零边的平方和的一半，也就是二分之一 r 一的平方加上 r 的平方，再减去底边一半的平方，也就是 c 的平方。好整理一下，也就是二分之一 r 一的平方加上 r 二的平方再减三。 那么我们要求 p o 啊，关键就在于这个 r 一的平方加上 r 的平方。所以我们现在需要关于 r 一 r 二的方程。首 首先我们可以联想到的是椭圆的第一定义，那么这个 r 一加上 r 二呢？就等于 r a h 六。但是我们要的是 r 一的平方加上 r 的平方。所以我们需要把这个式子两边同时平方。我们得到 r 一的平方加上 r 的平方，加上二倍的 r 一， r 等于三十六。 那么现在呢，我们就得到了关于 r 一 r 的两个方程。 p o 的平方等于二分之一， r 一的平方加上 r 二平方减三， 二一平方加上二平方，加上二倍的二一二二等于三十六。连列这两个式子啊。其实我们可以把二一的平方和二二平方给他消掉， 也就是 p o 的平方等于十八，减去二一二二减三等于十五，减去二二一二二。那么问题就转化成我们来求二二一乘以二。这笔求二二一平方加上二二的平方要 简单的多，但是呢还不够，我们还需要一个关于 r 一 r 的方程。这个时候我们联想到这个甲角 c 特，有甲角 c 特的余弦值，还有 c 特的对边的长度。那么我们可以联想到的是余弦定理。 根据预先定理，我们得到 r 一的平方加上 r 的平方，减去二倍的 r 一二乘以五分之三，等于十二。我们在连力上面的这个二一平方，加上二二的平方，加上二二倍的二一二等于三十六。那么连力这两个式子，我们就可以求出二一乘以二。 我们把这两个式子做叉以后呢，就得到五分之十六。 r 一 r 二等于二十四，也就是 r 一 r 二等于二分之十五。我们带入上面这个式子当中呢，就可以得到 p o 的平方呢，等于十五，减去二分之十五，也就是二分之十五。所以 p o 就等于根号下二分之十五，也就是 二是根号三十。所以这道题的答案呢，就是 b 选项。那么我们这种方法是把问题完全转化成了一个解三角形的问题。 那我们第二种方法就是我们从解析几何的角度来解决它。我们要想求 p o 的长度，那么其实我们只要求出 p 点的坐标就可以了。我们还是要借助这个焦点三角形。这个焦点三角形啊，它有很多非常有用的性质啊，其中有一个性质呢，就是关于这个焦点三角形面积的。 那么这个三角形的面积呢？等于 b 方乘以弹进的二分之 ct， 也就是六乘以弹进的二分之 ct。 弹进的二分之 ct， 我们可不可以求出来呢？当然是可以的， 因为题目告诉我们，考察 ct 等于五分之三了。那么我们直接利用绊脚公式啊。这里注意这个二分之 ct 啊，他肯定是一个锐角，所以我们取正值。 那么弹性的二分之 set 呢，就应该等于根号下一减 cosinesset 比上一，加上 cosesset， 也就是二分之一。 所以这个三角形的面积呢，就等于六，乘以二分之一等于三。同时这个三角形的面积，我们还可以通过二分之一底乘高来求他。那么也就是二分之一乘以这个焦距二倍，根号三。再乘以高， h 等于根号三， h 等于三。 那么我们得到这个 h 呢，就等于根号三。那么这个 h 呢，其实就是 p 点到这个 x 轴的距离，也就是 p 点的纵坐标的绝对值。 那由于是对称的，我们就取这个 y p 是正值，所以 y p 就等于格号三。那么 p 点的纵坐标呢？我们就求出来了。我们把这个纵坐标带入到这个椭圆的方程当中啊，就可以求出 p 点的横坐标。那 s p 呢？它有两个，是正负二分之三位根号二。那其实呢，满足这个条件的 p 点有四个，是正负二分之三位根号二和正负根号三。那不论是哪个 p 点，他到 o 点的距离呢？都是一样的，我们随便选一个就可以了。 那么得到这个 p u 的长度呢？就等于根号下二分之九加上三，也就是根号下二分之十五，也就是二分之根号三十。所以这道题的答案呢，就是 b 选项。 那么上面呢，我们通过两种不同的思路呢，把这道题我们来解决了。那么方法没有优劣之分，关键就在于哪种方法它适合你啊，哪种方法是你更容易想到，你更擅长的。 最后呢，我们简单来总结一下这道题。那么这道题的整体难度比较一般，易老师呢，只能给他两颗星。表面上是一个关于椭圆的一个问题，但实际上呢，他只是 靠着椭圆的外壳，核心考察的并不在于这个椭圆上。而我们用了两种方法。那么第一种方法呢，就是直接在这个三角形当中，我们来求这个中线 p o。 相当于是我们把一个解析几何问题转化成了一个解三角形问题 啊。这里核心用到的知识点呢，就是鱼线定理。中间呢，我们还借用了这个中线长公式。那么如果你不知道中线长公式啊，我们通过鱼线定理也是可以很容易推导出来的。 第二种方法呢，我们就是利用了解析几何的思想啊，我们来求 p 点的坐标。那么我们借用了这个焦点三角形当中其中一个非常有用的一个性， 就是它这个面积公式 s 等于 b 方乘以弹力的二分之 ct。 那通过这个面积公式呢，我们求出了啊 p 点的纵坐标，再带入到椭圆当中，求出它的横坐标，进而求出这个 p o 两点的距离长度。那么显然啊，这个今年全国假卷的这个选择题啊，并不想难为各位同学啊。那么这个题呢，作为一道练习题呢，还是不错的。但是啊，作为一道高考的压轴题来讲，他的总体难度呢？还是偏低了 啊，表现比较一般。那么下期视频呢？来看看全国假卷的这个填空的压轴体表现如何好。那么我们今天这期视频呢？就讲到这里，我是易老师，我们下期见。
02:01查看AI文稿AI文稿今天我们来看刚刚考完的二三年全国假卷数学填空的压轴题。我们来看已知条件。在三角形 abc 中，角 bac 等于六十度， ab 等于二， bc 等于边六。 ad 平分角 bac 交 bc。 余地点。让我们来求 ad 的长度。我们可以根据已知条件来画，简单画一个草图。 然后我们再来分析呃解题方法。呃，第一个我们可以根据鱼旋定力加等面积法。第二个也可以用辅助线法。第三个呢？呃，正旋定力法。因为鱼旋定力和辅助线法涉及到一个大量的计算。我们今天主主要讲解比较简便的一个正旋定力法。 首先在三角形 a、 b、 c 中，由正确定律我们可以得到 b、 c。 比上一个三角 b、 a、 c 等于 a、 b， 写上一个三 c。 然后我们带入已知条件，可以求得三 c 等于二分之跟二， 三十四等于二分之二。然后再缴税，就等于四十五度或者是一百三十五度。但是已知条件缴税呢？是三角三角形 abc 的一个内角， 给我们角 a 角 bac 的度数呢？是六十度，那么角 c 的度数呢？就不可能是一百三十五度。所以我们可以把一百三十五度舍掉。然后在三角三角形 abc 中，我们可以求得角 b 就等于七十五度。然后我们可以把三角形 adc 单独 单独来看的话，有已知条件 a、 d 是角 b、 a、 c 的一个平分线，角 b、 a、 c 又等于六十度，那么角 角 b、 a、 d 就等于三十度。由刚才我们已求得角 b 等于七十五度，那么角 b、 b、 a 就等于切除住这个三角形 a、 b、 d 就是一个等腰三角形。已知条件 a、 b 等于二，那么 a、 d 也就等于二，学会了吗？
12xu.
