九下反比例画图

哈喽，同学们，大家好，我是栗子老师，一日不见，甚是想念。今天我们来学习反比例函数的图像和性质。第一，课时，好，我们来看一下本节课的学习目标， 第一，会用秒点法来画出反比例函数的图像。第二，掌握反比例函数的图像和性质，并会运用性质来解决问题。好，我们来看新课讲解。 一，让我们画出反比例函数， y 等于这掉了一个负号， y 等于负的 x 分之六，以及 y 等于 x 分之十二的图像。 好，那我们知道咱们画函数图像，我们常用的是描点法，那描点法它有三个步骤，分为一列 表，二，秒点三连线。好，那我们在列表的时候需要注意一个点，就是我们反比例函数，因为它的自变量为分母，所以说不能为零，所以我们在取的时候，取值的时候，自变量的取值要注意一下。 好，那我们来列表。好，那我们在列表的时候把零排除在外，然后取点的时候均匀对称的去取，比如我们右边取的是一二三四五六，左边取的是 由大到小，负一，负二，负三，负四，负五，负六。好，那我们因为他左右两边还有无限的实数可以取，所以我们加上省略号取出了 x 的这个取值。之后呢，这儿负号掉了啊，跟大家说一下。好，我们来看一下，取了自变量，取了之后，我们分别求出 它对应的函数值，好，也就是我们这个 y 值， 好，我们来看一下，中间少了两个空啊，那我们来手动的给它补充一下，当 x 等于负一的时候，我们 x 分之二十二除以负一，那就是负十二。 好，那当当 x 等于一的时候，我们十二除以一，那得到的就是十二，好，那第一步列表我们已经完成，接下来我们来到秒点以及连线 好，在建立平面直角坐标系，我们来描点刚才表中的各组对应值，我们把它叫做点的坐标好，然后在直角坐标系里面描出相应的点，描完了之后，我们用连线，就用光滑 滑的曲线或者是平滑的曲线顺势连接各点就会得到，就可以得到咱们这个对应的图像。 好，这里平滑的曲线或者光滑的曲线，什么意思啊？就是说你这个曲线啊，尽量不要出现明显的拐点，比如说，哎，这样，这样，这样，这样，对吧？好，你平滑的曲线就是你一下子啊，一气呵成，就比较平滑，比较光滑，这个意思。好，那我们现在来描点 好，我们先来描点，画出咱们 y 等于负的 x 分之六的函数图像。好，接下来我们再描点 好，描点这一块啊，老师给大概省略了，就是我们描点之后连出来的线，大概就是这个样子。好，我们来看一下，我们就画出来了咱们这个 y 等于 x 分之十二的这个图像。那我们来观察一下紫色的 是 y 等于 x， 负的 x 分之六的图像，那蓝色的是 y 等于 x 分之十二的这个图像。好，我们来观察一下函数的图像。哎，我们发现对于 这两个函数来说，他们的图像是不是分别有两个图像，有两只图像对不对？好，而且位于不同的象限，那我们观察一下，那他们的区别在哪里？那 y 是一样的， x 是一样的，他们的形式长得是不就咱们这个常数 k 的取值不一样？这里面 负的 x 分之六相当于，是不是相当于 k， 它就是负六，这边它就相当于 k， 它就是十二，对不对？好，那现在我们来观察一下负六，诶，它是不是一个小于零的数？十二，它是一个大于零的数，那我们观察一下，当 k 小于 零的时候，他这个函数图像是不在第二和第四象限内，那当我们这个 k 比如说等于十二，他是大于零的时候，哎，他的图像就在于 第一象限和咱们的第三象限啊。那根据这以前我们学过一次函数，还有二次函数，我们是不可以根据咱们这个图像来观察一下函数的这个增减性，对不对？那我们来先观察一下这个 y 等于 x 分之十二的这个图像， 哎，我们发现在他的这个图像内，我们随着 x 的增大，我们的 y 的值是反而是下降的，那是不是随着 x 的增大， y 反而减小？那我们再观察一下它位于第三象限的这一只蓝色部分，那是不是往右，我的 x 也是 一直在变大，哎，我的 y 值他确实一直往下走的趋势，对不对？好，那我们就看出来， y 等于 x 分之十二的这个图像，不管是在第一象限内的，还是在第三象限内的，它是不是都是随着 x 的增大， y 反而减小？ 好，那我们再观察一下咱们这个 k 等于负六十，也就是小于零的这种情况，哎，他们俩 一个是第二象限，一个是第四象限，我们一个个来观察，那我们看随着 ox 往右这个趋势一直在变大，哎，我的 y 值是不是反而一直往上？那是不就是随着 x 增大， y 也增大？ 那我们再来观察一下第四象限的这一只图像，那是不是 x 同样还是往右再走， x 是一直在变大，哎，我的 y 值是不是从左往右也在变大？从左往右，对不对？从左往右也在变大，那是不是不管是在第二象限还是在第四象限，只要是 k 小于零的时候，它的 y 值是随着 x 的增大而增大的。好，那咱们结合刚才观察图像，可得我们来总结一下反比例函数的这个性质。 第一条，反比例函数的图像是双曲线。好，那什么意思？刚才我们刚才已经画出来了咱们那两个函数图像，对吧？老师在这大致的画一下。好，这个是 y 等于 x 分十二的这个图像，咱们 这两条图像是咱们 y 等于负的 x 分之六的这个函数图像。 我们来看，不管是对于哪个函数来说，它的图像是不是有两只，是不是双的这个曲线，所以说反比例函数的图像是双曲线。好，我们再来看 第二，当 k 大于零的时候，双曲线的两个分支位于第一、三项线。好，我们来看这个 y 等于 x 分之十二，它这个 k 相当于是十二就大于零大于零，它的两个分支就在第一项线和第三项线， 而且在每一个象限内外随 x 增大而减小，刚才我们已经分析过了，对不对？好，从左往右， x 在变大， 它的 y 值反而是在下降的，所以说在每一个象限内， y 属于 x 增大而减小。好，我们来看第三点，当 k 小于零的 时候，双曲线的两个分支位于二四象限，哎，那说的不就是咱们这个负的 x 分之六吗？二四象限，在每一个象限内， y 是随着 x 的增大往右走，对不对？他的 y 值也是增大的， 所以说在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大。好，那我们来，以前我们在学习咱们依次函数的时候， k 大于零，过一三象限，但是 y 随着 x 的增大而增大，对不对？那在这里面同学们需要注意一下， 那 k 大于零，它依然是过一三象限，但是呢，它是外随着 x 增大而减小了，那是不是也跟它这个名称有点像？人家是反比例函数，是不是跟咱们之前学的那个依次函数，它是反着来的，对不对？所以说你就记一下 他这个增减性啊，跟咱们那个依次函数的增减性有一点点反着来的那个意思。好，那我们来看一下，那 k 小于零的时候，他依然是过二十四象限，过的这个象限没有问题，对不对？好，那我们来看一下， 那在每一个象限内外随 x 的增大而增大。那以前我们学习一次函数的时候， k 小于零，过二十四象限，是不是 y 随着 x 的增大而减小？ 好，那他是反着来的，对不对？他的增减性 y 随着 x 增大而增大。好，你也可以这样去简单记一下啊，但是我们最好还是结合着图像来记忆，理解性记忆 好，同学们，这里需要注意一下，咱们 k 的正负决定了反比例函数所在的象限和它的增减性。好，我们来看第四条反比例函数图像，关于原 圆点对称，且关于 y 等于 x 和 y 等于负 x 对称，好，什么意思呢？我们来看一下。 好，这是刚才我们这个 y 等于 x 分之十二过的这个一三象限，它俩是关于它的两只图像是关于圆点对称的。 来看一下，在第一象限内找一点，在第三象限内找一点，我们连接这两个对称点以及中点的这个连线啊，我们发现他们在同一条直线上构成了一百八十度。好，那关于 y 等于 x 和 y 等于负 x 对称是什么意思？那我们来看一下， 这个就是直线 y 等于 x， 我们来我们可以发现这两只图像是关于这个直线对称的。好，那 y 等于负 x 是什么？ y 等于 负 x 就是这个图像啊， y 等于负 x， 好，我们来看看一下，关于这个，这个，关于这个直线 y 等于负 x， 我们也是可以分别在两个曲线上面找到他的对称点。关于直线 y 等于负 x 对称好，这是他的对称性。 好，我们来看，第一，反比例函数 y 等于 x 分之三的图像，大致是，哎，那我们来看一下，那咱们的图像过的象限是不是我们要根据咱们这个 k 的值来判断？在这里面 k 等于三是大于零的，刚才我们说 k 大于零，咱们过的是一三象限， 并且在每一个象限内外会随着 x 的增大而减小。好，那我们看一下，大于零一三象限是不只有咱们的 c 选项好，也比较简单，咱们利用反比例 函数图像的性质就可以做出判断了。好，第二，已知反比例函数啊，这个反比例函数他随着 y 随着 x 的增大而增大，求 a 的值。 好，我们先来观察一下咱们这个反比例函数，哎，他的这个形式是那个变形的形式，对不对？好，我们来看一下，那他就是那个。 好，他就是 y 等于 k 倍 x 负一的这种形式。那我们可以得到咱们 a 的平方加 a 减七，这一部分对应的就是咱们这个负一，那我们就可以得到 a 的平方加 a 减七就等于负一。好，他还说了 y 随着 x 的增大而增大。好，我们来简单画一下咱们这个反比例函数的这个草图，我们来看一下，刚才 我们说了，是不是咱们的 k 小于零的时候，在每一个象限内 x 变大， y 它也在变大，所以说咱们前面的这个 k 也就是 a 减一，它要小于零。 好，我们把这个两个式子放在一起给他解一下就可以了。我们来看第一个，第一个 a 方加 a 减七，再等于负一，我们把负一挪到左边来，就是 a 的平方加 a 减去六就等于零。好，那我们来看一下，咱们可以用十字相乘法把它拆成 a 减三。 好， a 加三， a 减二的这个形式。好，那我们可以发现，我们解出来一个 a 一就等于负三， a 就等于 a， 二就等于二。好，那我们再来结合一下，下面这个 a 减一小于零，那么 a 要小于一，那 a 小于 一的话，我们刚才记得这两个只只能要咱们这个 a 一等于负三。好，那我们来看一下解题步骤，尤其一得我们 a 的平方加 a 减七，就是 x 头上这一部分啊，因为它对应的是我们这个变式的形式。好，所以说就是等于负一，那而且它是随着 xax 的增大而增大， 那咱们前面这个 k 的取值，他就是小于零。好，小于零，那我们来看 a 减一就小于零，那解的放在一起啊，我们解的最后结果就是负三。 好，我们来看第三，反比例函数 y 等于 x 分之八的图像上有两点， x 一、 y 一、 x 二、 y 二，而且 a b 都在函数图像的第一象限部分，如果 x 一大于 x 二，问 y 一和 y 二 大小关系位？好，我们来结合图像来看一下， y 等于 x 分之八，它显然 k 是大于零的，咱们过的是什么呀？过的是一三象限，然后我们还可以由这个图像可以得到，它是不是随着 x 的增大，它的 y 反而是减小的？ 好，那他俩现在都在咱们这个第一象限部分，我们来看一下， x 一大于 x 二，那是不？ x 一在右边， x 二在左边，因为竖轴上，右边的， 因为在 l 轴上，右边的数总比左边的数要大。好，咱们可以明显的看到，咱们这个 y 一是比 y 二的值要低的，所以说咱们 y 一要小于 y， 那咱们这个题就做出来了，选 c。 好，那这个题的话，我们也可以不借助图像，我们自己大概 借助前面的性质，我们来想一下，因为是在过一三象限，对不对？它是 k 是大于零的，它是反比例函数，所以说随着 x 的增大， y 反而减小， 那我们观察，那从 x 一到 x 二，相当于是变小了，那从 y 一到 y 二，他是不是反而就要变大了？所以说 y 二要比 y 一大，那也能选 c 做出来。好，你如果性质记不清了，你可以结合图像来画，如果你能把那个性质啊记得比较清，那咱们就直接得出答案。 好，这个提示啊，也是因为八大于零，所以说他，而且他们俩都在第一象限里，根据 x 一大于 x， 我们可以比较 y 一和 y 二的大小关系。就是老师刚才跟大家分享了两种方法，哎，把它做出来。好，例四，在同一直角坐标系中，函数 y 等于二， x 与 y 等于负 x 分之一的图像大致是。好，我们来看一下 y 等于 k， x， 这是咱们的正比例函数，对不对？正比例函数 k 大于零的时候，咱们过的是一三象限。好，那首先我们来看 a 和 一，咱们已经不能要了。好，一三象限，那我们来看一下 y 等于负的 x 分之一，那这这儿就相当于是 k 就等于负一，那负一小于零过的是二四象限。好，那这样的话，咱们就把 c 给排除了。 好，那咱们这道题选的就是 b 选项。好，我们就是根据正比例函数和反比例函数的图像性质，我们来大概找出了他这个图像。好，我们来做一个课堂小结。咱们第一会用描点法，我们是不是画出反比例函数图像？需要注意的是，我们在取列表的时候，我们不能 把零取进去了，在零的左右两边均匀对称的取取就可以了。第二，知道反比例的函数图像是双曲线哈，大于 k 大于零的时候，他分别位于一三象限，每个象限内外随 x 的增大，他反而减小。 那 k 小于零的时候，它的两个分支分别位于第二十四象限，随着 x 增大， y 也在增大。 好，第四个反比例函数图像关于圆点对称，而且关于直线 y 等于 x， 以及 y 等于负 x 对称。好，那咱们今天的课程就讲到这里，同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。

来，抬头看我，我们来用两种方法看一看反比例函数的相关问题。在看题之前，先跟老师回顾一下反比例函数的图像与几何图形的相关基础知识。 反比例函数解析是 y 等于 x 分之 k， 那么由它我可以推得 x 乘 y， 是不是就是 k 呀？那么 x 的绝对值乘以 y 的绝对值就是 k 的绝对值啊！来利用它，我们就可以转化到几何图形上面来啦！ 反比例函数图像上的任意一点点 b， 我设它的坐标为 x y， 那么 x 的绝对值是不是这一段呢？ y 的绝对值是不是这一段啊？它们两个相乘是不是刚好是矩形 o、 a、 b、 c 的面积呀？而它们两个 相乘不就是 k 的绝对值吗？所以我们总结得到，反比例函数图像上任意一点与坐标轴为成的矩形的面积就是 k 的绝对值啊！同理，点 e 在反比例函数图向上，那么它 与坐标轴为成的矩形的面积，也就是矩形 o、 d、 e、 f 的面积也是 k 的绝对值啊！ 如果我连接对角线 o、 b， 是不是把矩形的面积分成了上下两个直角三角形啊？它们的面积是相等的呀！三角形 o、 a、 b 和三角形 o、 b、 c 的面积 都是二分之 k 的绝对值啊！同理，我连接 o、 e， 那么三角形 o、 d、 e 的面积和三角形 o、 f、 e 的面积也是 相等的，都是二分之 k 的绝对值啊！所以，反比例函数图像上的点与坐标轴围成的直角三角形的面积是相等的来，都是相等的，都是二分之 k 的绝对值啊！你知道这些知识点之后，我们再来看 三角形 o、 b、 e 的面积，诶，它的面积是不是四边形 o、 b、 e、 f 的面积减去三角形 o、 e、 f 的面积而来的呀？ 而这个三角形的面积就是二分之 k 的绝对值，对不对？好，再看梯形 b、 c、 f、 e 的面积，诶，它的面积也是四边形 o、 b、 e、 f 的面积，减去谁呀？减去三角形 b、 o、 c 的面积，诶， 来的呀？而他们两个相等，所以我们得到三角形 o、 b、 e 的面积和梯形 b、 c、 f、 e 的面积是相等的呀！好，有它我们就可以来做题了。如图，直角三角形 o、 a、 b 于反比例函数 y 等于 x 分之 k 的图像在第一象限相交于 e、 f 两点， 点 e 是 o、 a 的终点，那么 o、 e 和 a、 e 就相等，三角形 a、 e、 f 的面积为二，让我们求 k 的值。这里你看见面积了，让我们求 k， 必然要考虑到是不是与坐标轴进行连接呀，对不对？好，那么从哪里入手呢？先看这个终点我们要怎么利用呢？终点和面积 有没有关系啊？我们说三角形的中线，它是可以把三角形的面积二等分的。你还记得吗？ 点 e 是 o、 a 的终点，如果我连接 o、 f， 我们看 e、 f 是不是三角形 o、 a、 f 的中线啊，它就可以把这个三角形的面积二等分啊！也就是说，三角形 o、 e、 f 和三角形 a、 e、 f 的面积是相同的。为什么我们可以以 o、 e 为底，是不是过点 f 做 o a 边上的高，就可以求得它的面积啊？同理，它的面积我们用 a、 e 为底，过点 f 做 o、 a 边上的高啊， 底是相同的，高是相同的，是不是面积就相同啊？所以三角形 o、 e、 f 的面积就是 是二啊！来，他的面积也是二。那么你看见 o、 e、 f 这个三角形哎，不就是 o、 b、 e 这个形状吗？你是不是就想到这里还有一个梯形的面积也应该是二啊？来，我把它画出来，过，点 e 做 e、 g 垂直于 x 轴，那么梯形 e、 g、 b、 f 的面积是不是也是二啊？好，此时我们想求 k， 是不是求得三角形 o、 e、 g 的面积 就 ok 啦。那么这个三角形的面积和已知的面积有没有什么关系呢？来看， e、 g 和 a、 b 是平行的点， e 又是 o a 的终点，这里有没有相似啊？三角形 o、 e、 g 和三角形 o、 a、 b 不就相似吗？相似比不就是一比二吗？面积比就是一比四啊。所以 s 三角形 o、 e、 g 比上 s 三角形 o、 a、 b 是不是就是一比四啊？来，这是一份，整个是四份。那么老师问，梯形 a、 b、 g、 e 是不是就占三份啊？ 所以三角形 o、 e、 g、 b 上梯形 a、 b、 g、 e 的面积是不是应该就是一比三呢？而这个梯形的面积就是四啊，所以不就是 s 三角形 o、 e、 g 比上四吗？交叉相乘相等，所以 s 三角形 o、 e、 g 就是三分之四吗？好， o、 e、 g 这个三角形的面积是不是就是二分之 k 的绝对值啊？ 哎，所以交叉相乘相等， k 的绝对值就是三分之八呀！由于反比例函数的图像在第一象限 k 为正，所以 k 就是三分之八呀！你看懂了吗？我们下个视频再讲第二种方法。

好，同学们好，坐 在学习新课之前，老师想给同学们一起回一个问题，我们研究函数是从哪几个方面进行的？ yes， 头，呃，我们研究函数是从函数的定义哦，首先由定义出发，函数的定义， 然后是图像，再到函数的图像，最后我们研究他的性质， 再到函数的性质。 很好，坐下来从这样的三个方面进行。在上一节课，我们学习了反比的函数。怎么定义？反比的函数的 x 分之 k， k 不等于零的函数。形如 y 等于 x 分之 k， k 不等于零的函数。 那么这一节课我们就来学习反比例函数它的图像和性质。 回忆一下二次函数 y 等于 x 平方，它的图像是什么样的？ 我们做函数的图像，我们知道要采用的方法是什么？列列表，瞄点，连线，在取点的时候， y 等于 x 平方，怎么进行取点？ 胡安涛，因为 y 等于 s 的平方，它的图像关于 s 等于零轴对称，所以我们以零为中心，两边分别去它的对应点，我们还可以适当的取得一些整数点，这样可以便于它的计算，计算非常好。好， 坐下，秒点，我给同学们聊好了，下面看我们进行连线。二次函数 图像可以用一条什么平滑的曲线，用这样一条平滑的曲线把它给连接起来。洪涛， 你认为我这样连接的正确吗？这样连接应该是错误的。为什么表格两边有省略号，点没取完，所以图像两边可以无限的延伸，这两边的省略号代表我们点没有取进，所以这个图像应该是可以往两边无限的延伸的，是吧？好，非常好。坐下 再来回忆一下二次函数，它的图像的形状是一条 二函数。一是一条什么抛物线，它的位置一二一二线线 位于一二两个象限，它的增减性在一二象限 y， c， s 的增大而减小。在一一象限 y， c， s 的增大而增大， 变化趋势在第二象限。 从从左往右看，图像逐渐下降，再一下线从左往右看，不 像逐渐上升。二参数还有一个非常重要的特点，二参数是一个什么图形呢？轴轴对称图形是，它具有对称性。 好， 下面请同桌的两个同学之间互相分工，做出 y 等于 x 分之六和 y 等于 x 分之十二的图像。 从 k 的曲子符号上面来看，这两个图像他有什么共同的特征？黄伟他们的 k 都大于零的，那我们首先来研究 k 大于零，他的这样的一个情， 在血案上面进行取电。