函数的拐点怎么求

首先我们看下这个图像，我们要知道什么叫做凹凸区间， 你比如说这一段他对应的是凸的，那么这一段的区间那对应的就是突区间，像这一段他是凹的往下凹的，那么这一段的区间就对应的是凹区间， 那在这个突区间与凹区间，他们之间他有一个交界的地方，就是从凸到凹，那么这一点我们就叫拐点。 好，下面我们给出这个做题方法，如果要求这个凹凸性与拐点，首先我们要求二节导，求二节导以后由二节导大一点，我们可以得到它的凹区键， 由这个二阶岛小一点，我们可以求到他的图区间，然后由这个二阶岛等于零，而且在这个等于零左右，这个二阶岛 我是一号的，我们就可以得到他的拐点。 这个地方给大家说一下，这地方大于零的时候，他对应的是凹区间，他并不是凸区间，这个和我们四位啊有点相似，相反，所以啊，记得时候不要记混了。 然后我们来看一下这个题目，同样呢，如果要求凹凸区间以及拐点的话，我们同样呢先把它的定义域给写出来，那么这个题的定义从负无穷到正无穷。 然后我们在求二节倒，求二节倒的话，我们要求先求一节倒，那就相当于这个式子求一节倒，他的得到结果应该是这个结果， 这个具体的倒数的做法大家自己做一下，然后琼王一接到以后，再对这个狮子求二接到，那就再倒一次，再倒到下面这个狮子，这是经过化验整理过后的结果哈。这个球倒的 过程，大家自己在沿道纸上做一下，求完这个二节导以后，由这个二节导大于零，我们就可以得到他的这个凹区间，他是二到正无穷的， 然后再由这个二阶岛小于零，我们就可以得到他的突区间，他是负无穷到二的，那么这里的凹凸区间我们都求完了，下面我们来求拐点，这个拐点很容易可以看出来是二，那么我们可以写出来，也就相当于由这个二阶岛等于零可以得到 s 是等于二的。 那么求出来这一点以后，我们一定要判断一下，在这个 s 等于二这一点左右是否一号。在 s 左边的时候， 他对应的应该是 y， p 还是小一点的。在这个 s 等于二，他的右边的时候，他对应的应该是 y， p 是大一点的。 最后满足左右一号，那就是一边是凸曲线，一边是凹曲线，所以说这个 s 等于二，他对应的应该是拐点。 这个地方还有一点需要大家注意的就是拐点是一个点，他并不是 s 等于二，所以说你要把这个 s 等于二， 再入到这个圆盘里面去，然后就得到 y 的值，然后就可以得到他的拐点，他应该是 s 是等于二呢， y 是等于二倍的 e 的负二次方，那么这个题就算完成了。

我们通过这一道题，把这一类题他的求解方法给大家通通都讲清楚。图像里一共有三种考法，第一是已知 f a p x 求极致，第二已知 f a p x 求拐点，第三已知 f 两撇 x 求拐点。那首先我们先要找可疑点，第二呢 是判断标准，如果已知的是倒数，要求及时，可以的是两种点，第一是注点，就是倒数为零的点。第二是倒数不存在的。比如说这道题可以的有哪些呢？我用红色笔圈一下这个点，还有这个点，还有一个倒数不存在的点，是吧？那判断标准是左右两侧 f 一撇的符号，如果相同的不是极致，如果相反的就是极致。你看它的可以点，这个也是可以的，这个也是可以的。还有这个也是可以的，这个也是可以的。最左边这个点是不是极致点极大？第二个点，左右两边一阶倒数是不是都是小一点的，所以这点非极致。第三个点，左 侧倒数，小理右侧倒数，大理几小时。最后一个左右两侧倒数都是，但这是非。其实这道题呢，其实点是两个，我们也可以考什么呢？已知倒数求拐点，那么非得两个重点，第一， f e 撇 x 的及时点，拐点，当函数可导的时候，就是导函数的及时点。然后呢，以及不可导点或者 fpx 不存在的点， 倒数的及时点，这是一个，这是一个，还有一个倒数不存在的点，就在这。那这三个点我们逐一来判断一下他们是不是拐点。拐点是凹凸区间的分界点，而凹凸性是倒数的单调性，是 左右两侧 fepx， 它的单调性、单调性相同，那就不是拐点。左右两侧单调性相反，那就是拐点。我们看这几个蓝圈，第一个，左边导数单调递减，右边导数单调递增，这是拐点。第二个，左边导数单调递增，右边导 导出单调的点，这是拐点。最后一个，左边导出单调的点，右边导出单调递增，左右两侧导出单调形象法，所以这也是拐点。这三个可以点都是拐点，所以说呢，拐点有三个，所以这道题呢？选 b 这道题呢？还有第三种考法，给你二阶导数的图像，让你来求改变。可疑点是二阶导为零以及 f 两撇 x， 它不存在的点，判断标准是左右两侧 f 两撇 x 的符号，你发现一三两种情况 其实是一样。如果这是 y 等于 f 两撇 x 的图像，问你拐点有几个找法，跟原先这个题找极致点是一样，可以点这个，这个这个和这个， 这一点，左右两侧二指导一号，这点是拐点。这一点左右两侧二指导同号，这一点不是拐点。第三个点，左右两侧二指导一号，这点是拐点。 最后一个，左右两侧二指导同号，这里不是拐点。所以这种题啊，他再怎么变，就这三种考法，有没有可能告诉你 f 两撇 x 让你求极致点？只有一种可能，题目出错了，否则绝不可能只知道 f 两撇 x 不能求出极致。总共的思路就在写。

大家好，我是裴老师。昨天啊，我们学习了函数的凹凸性，今天我们继续来看函数的拐点， 我们来看这个图像对应的这个点呢， x 零 fx 零在左侧，从 x 一到 x 零呢，这个函数是凹的， 从 x 零到 x 二呢，这个函数是凸的，那么这么一个点呢，就属于函数凹凸性的分界点，我们把这样的点叫做函数的拐点， 我们继续来分析一下，这样的点他具有什么特点呢？昨天我们知道了，如果一个函数是凹的，那么他的二阶倒就是大于零的，如果这个函数是凸的，那么这个函数的二阶倒呢，就是小于零的，那这么一个点的话，处于分界点，那这 这个点的左右两侧二街道就是一号的。 第二个特点呢，就是既然他左右两侧二阶倒是一号的话，那他左右两侧的一阶倒的单调性就不同。 第三个呢，是需要大家注意的一个地方，在这里拐点附近二街岛一号，那拐点处的二街岛一定为零吗？也是不一定的，很有可能在这个点啊，二街岛是不存在的，但是左右的二街岛也是一号的，那么这个点同样也是拐点。 那现在呢，我来为大家梳理一下，我们该怎么去求一个函数的拐点。第一，我们就要求出这个函数的二阶岛。 第二步，在求出二阶岛之后呢，去解 二阶岛为零这个方程，找出所有的根和二阶岛不存在的点来。 第三步，我们就是要验证第二步找出来的这些根和不存在点，他附近处的二阶岛是否一号， 那如果他是一号的话，这就是拐点了，你学会了吗？

二零一一年数学一的这道题啊，这道题呢，让我们求这个曲线的拐点，求拐点题一般思路是不是要求倒数啊？那你看这个函数形式啊，尤其要求到二阶或者三阶倒，我觉得是不是没个十分钟下不来啊？ 关键是求到最后还不一定对，怎么办呢？这款老师介绍一个结论， x 确定 a 的时候，如果 f x 是 x 减 a 的 k j 无从小，并且呢，这个 f x 有足够高阶的导数，就可以得到 f x 在 a 这一点的函数值，一直到 k 减一阶，导数值都是零，最后呢， k j 导数它不是零， 这个证明过程呢，是结合它的公式的。这个我就不细说了，写的让大家自己看一下。那么我们具体用了这函数啊，你发现要用这个结论，关键在于什么呀？是不？关键在于要找出这个 f x 在 x 取经 a 的时候它的结数，而我们这个函数呢，是不是正好结数非常好看？你看到什么？ 你看一之点，一阶，二阶的二阶，三阶的三阶，四阶的四阶，是不是这样？那我要找到拐点，哪种点呢？拐点是不是二阶倒数等于零，三阶倒数不是零，那我关注哪个点就可以了， 是不是三这一点，那 x 确定三的时候，哎， f x 啊，它的接数是三阶的，那说明什么呢？说明它在三这一点的函数值，意识到二阶倒数值都是零，三阶倒数不是零，那这点什么呀？这点不就是拐点吗？别的点不用管了，是不是？ 那你比如我们再看一个题，我给他这么一个曲线，问他在零这一点，取不取即止，取不取快点怎么办呢？是不是也是找结束？怎么找呢？我们来做等替当 x 确定的时候。你看啊，前面这个一加 x 方分之 q c x 是不是曲径一的费力因子 带进去就行。然后呢？后面这个做等 t tangent t 方积分化下等价乘 t 方上线三 x 再等价乘 x， 这是不是等价于 三分之一 x 立方接触是三阶的，说明什么？说明零这一点呢？二阶导数是零，三阶导数它不是零。那这点什么呀？不就是拐点吗？

生二本选名师同学们大家好，我是你们的高数老师方老师，我们今天的所讲题目是判断函数拐点好， 首先已知函数 y 等于 s， 三次方减去三 s 平方加上二 x， 拐点为多少？对这样题目，首先我们得明确第一点，拐点是什么？拐点为连续曲线凹与凸的分界点，我们称为是曲线的拐点。好，那么记住拐点 它是一个点。那么从 a、 b、 c、 d 四个选项之中，是不是只有第一项是点的表示形式，我们可以直接选出第一项？每天一分钟，学会一道题，精神美丽题讲解完毕！

同学们大家好，这节课我们学习曲线的凹凸性及拐点。曲线的凹凸性及拐点包括两方面的内容， 第一，曲线的凹凸性，在曲线的凹凸性这部分，我们会学习曲线凹凸性的定义，曲线凹凸性的判定。第二，曲线的拐点，在曲线的拐点这部分，我们会学习拐点的定义及拐点的判定。 健看第一部分，曲线的凹凸性定义是，函数 y 等于 fx 在 b 区间 ab 上连续在开区间 ab 内可导， 那么当曲线总位于提上每一点处且线的上方时，则称曲线 fx 在区间 ab 内是凹 函数。哎，当曲线总位于其上每一点出且线的下方时，则称曲线 fx 在区间 ab 内是托函数。 看下面两个函数图像，这条曲线他总是位于其上每一点处的上方有定义，这条曲线在 ab 内就是凹的。 看这条曲线他总是位于其上每一点处且线的下方， 且线为这里，曲线在且线的下方，因此由定义他是凸的。 那么在这里一定要记清凹函数和托函数的特征。 看下面两幅图，通过图像我们进一步观察曲线凹凸性与倒数的关系。这是一条定义在区间 ab 上的曲线， 曲线总是位于每一点处且线的上方有凹凸性的定义。 fx 在区间 ab 类是凹的， 并且我们发现，随着 x 的不断增大，且线斜率在不断增大，且线斜率就是函数的一节导。一节导在增大，说明函数是单调递增的， 函数是单调递增的，因此函数的导数及他的两节导数就是大于零的。同样，我们看这条曲线， 曲线总是位于其上每一点处且线的下方有定义，它是定义在曲线 ab 上的一个托函数。 我们通过观察，随着 x 的不断增大，且线斜率在不断减小，且线斜率就是他的一节导数。一节导数在不断减少，即单调递减 函数在单调地点，因此它的导数是小于零的及两节导数性而零。因此我们可以根据两节导数的符号来判断曲线的凹凸性。 定理，曲线凹凸性的判定定理是，函数 fx 在区间 ab 内具有两节导数，则一。 当两节倒数大于零时，曲线 fx 在 ab 内是凹的。哎，当两节导数小于零时，曲线 fx 在区间 ab 内是凸的。 第一判断函数的凹凸性，函数为 y 等于 e 的 x 方。要判断函数的凹凸性，我们就用它的判定定理来判定及两节导数的符号。两节导数大于零，函数在区间内就是凹的。 两节导数小于零，函数在区间内是突的。好，那么在求两节导数之前，要求他的定义域 y 等于 e 的 x 次方，他的定义欲为 整个实数 y 的倒数为 e 的 x 方， y 的两 接到仍然为 e 的 x 方，并且 e 的 x 方在整个时数内他都是大于零的。所以读定理， y 等于 e 的 x 方，在 r 类 是高的。 i。 曲线的拐点定义，若曲线 y 等于 f x， 再点 x 零， f x 零的左右两侧凹凸性相反， 则称点 x 零， fx 零为曲线 fx 的拐点，那么拐点实际上是曲线凹凸性的分界点，因为它两侧的凹凸性相反。我们 看这条曲线这一点处的且线把曲线分成两部分，在他的左侧，曲线总是位于且线的下方，因此由定义曲线在这一部分是凸的， 在这一部分，曲线总是位于其上每一点处，且线的上方有定义曲线在这一部分是凹的，那么这一点就是曲线凹凸性的分界点。 挤拐点，你把它记成 f 四零 fx 零，那么一定要注意这个记号，因为他是在曲线上的一点，所以必须写成这个样子。 另外，凹函数两结导数大于零，凸函数两结导数小于零，那么凹凸性的分界点及拐点 点处，它既不是大于零，也不是小于零，那么两节导数就是等于零的。那么除此之外，在拐点处也可能是两节导数不存在的点， 那么这里跟极值就有相似之处，可能的极值点为一节导数等于零的点以及一节导数不存在的点，那么可能的拐点就是两节导数等于零的点及两节导数不存在的点。 那么有一个拐点的必要条件就是 在拐点处如果两结倒数存在，那么两结倒数就等于零。再看拐点的一个充分条件， 定理是，函数 y 等于 fx， 在点 x 零处的某领域类有连续的两节导数，在某领域类有连续的两节导，那么在 x 零处，两节导可能存在，也可能不存在。如果在点 x 零的两侧，两节导数为一号， 那么点 x 零 fx 零就是曲线 fx 的一个拐点。这个定理就是我们判定拐点的依据。那么在判定拐点的时候，我们首先要找出两节导数等于零的点以及两节导数不存在的点， 再来判定在这些点两侧，他的两结导数是不是一号。如果他两侧两结导数是同号的， 都大于零或者都小于零，那么这个点就不是拐点。如果在这个点的两侧，他的是一号的， 则这个点就是曲线的拐点，那么这个其实跟我们判定极致的时候是一样的。极致那一块我们判定的是先找出所有的一节导数等于零的电以及一节导数不存在的电， 然后再判定在数两侧函数的单调性是不是一致及一节导数的符号是不是一致。一节导数 符号一致时，那么就说他不是极致电，如果一结倒数符号不一致，就说他是极致电。综上， 我们就可以得到判定曲线 y 等于 fx 凹凸性和拐点的步骤，一、确定函数的定义域。二、求出该函数的两节导。三、求出两节导等于零的点以及两节导数不存在的点。 四、用三中求出的点把函数的定义域划分为若干区间，考察量解导数在各区间内的符号，那么从而有定力判定曲线在各区间上的凹凸性，并且求出拐点。 立案求曲线 y 等于 x 开三次方的凹凸性和拐点。求曲线的凹凸性和拐点。严格按照上面的步骤来做。第一步，求函数的定义欲歪等于根号下 x 开三次方，第一 意为整个实数，因为只开三次方，对 x 的正负没有要求， 再来求他的两节导，先求一节导， x 开三次方就是 x 的三分之一次方，他的导数为三分之一， x 的三分之一减一，负三分之二， 负三分之二，那么这里就在分母上。三分之一， x 的三分之二，次方分之一，求两节，倒 三分之一乘以负三分之二，再乘以 x 的负三分之二减一，即三分之五，那么这一部分仍然在分母上，这块是 富的九分之爱， x 的三分之五，四方分之一。从两节导函数可以看出， x 等于零是两节导数不存在的点， 并且函数没有两阶倒数等于零的点，因为它份子上是长数，那么 x 等于零。就把定律分为两个区间列表， x， y 的两节导 y， x 为负，无穷到零，但是零零到正无穷，依次判定两节导在这两个区间内的符号。 在富穷的两人上取上一个富，一富一时，这一块为富。九分之二为正，在这一块取上一个零到正无穷取上一个一，这块是富，这是两阶倒不存在的点。 那么在这一部分，曲线是凹的，在这一部分，曲线是凸的，两侧的凹凸性不一致，因此这个点就是曲线的拐点。 那么把 x 等于零带入元函数得到 y 等于零，因此曲线在负穷到零上是凹的，在零到正无穷上是凸的，那么它的拐点是零零点。 第三，已知点 ei 是曲线， y 等于 a， x 立方加 b x 平方的拐点，求 a b 的值，已知曲线上的拐点，那么要知道第一个条件就是拐点在曲线上， 他既然在曲线上，就会满足曲线的方程。第二，拐点处如果两节倒数存在，则两节倒数等于零。我们来看， 首先把一爱带入曲线， a x 立方 加 bx 平方，我们会得到函数为二， ea 加 b， 那么在拐点处再看两节导数是否存在。 y 撇等于三， a x 平方加 i， b x 两节导为六， a x 加 i， b 两接到显然存在，那么把 x 等于一带入两接到等于零。六、 a 加 i b， 那么一是与爱是连立方程组去得到。 由一 i 等于 a 加 b， 得到 a 就等于 i 减 b， 把 a 等于 i 减 b 带入 i 式，那么 i 式化减之后是三 a 加 b 等于零， 即把 a 换成 a 减 b 加 b 等于零，那么就是六减 i， b 等于零，得到 b 等于三，再看 a， a 加 b 等于二， a 等于负。一、 本节课需要掌握的知识点，一、理解曲线凹凸性及拐点的定义。二会求给定曲线的凹凸性及拐点。 三、会求已知曲线拐点涉及到的参数问题。好，这节课就到这里。

拐点可能是二阶倒数为零的点，也可能是二阶倒数不存在的点。本题已知一零为拐点，所以需要对函数求二阶倒数判断其情况。首先先求出一阶倒 y 撇等于三 x 方减去 二 a， x 加 b， 再求二阶导等于六， x 减去二 a 单发线，使得二阶导数无异的点不存在。 所以拐点一零点必为二阶倒数为零的点，即得到 y 两撇一等于零。又因为拐点一零为函数曲线上的点，即当 x 是一的时候， y 的值是零， 所以得到 y 一等于零。将两式带入到 y 两撇和原函数 y 当中，得到六减二， a 等于零，一减 a 加 b 等于零。连力求解出 a 等于三， b 等于二，所以答案是三 c。

哈喽，现在的同学们，大家好，我是你们考试学老师创新。昨天我在自媒体平台当中分享了一道多项式函数，然后进行求解及时和拐点的问题，我也发了这个详细的答案解析，利用了加强版的穿针引线法，然后来处理， 我们可以画出他的一个详细的图形，然后就可以迅速把这种题秒杀了。但是很多同学对这个答案解析当中啊，这个图形到底是怎么画的疑惑不解，所以今天啊，我专门出一个视频，然后针对这个问题啊，做一个详细的解析。 那么在高中当中我们也学习过多项式函数，它可以画它的图形叫做穿针引线法，它也叫竖轴穿根法，核心思想叫什么呢？叫做击穿偶不穿。 但是注意一个问题，如果你仅仅知道高中这种图形的画法叫做击穿偶不穿，你是无法进行画出它的 详细的图形，判断出来这个人的拐点的极致还没有问题，但拐点是很麻烦的。所以今天啊，我们来看看这种加强版详细的图形是怎么画的。那么这件事情我们首先来看第一个问题， 这个击穿偶不穿呐，什么叫击，什么叫偶呢？指的是这个坐标值，还是指的这个次方数啊？那么今天我专门设计了一个题，凡是里面是点是偶数的，我次方数就是基数，里面是基数的次方数就是偶数，这样你能看的非常的详细一点。那比如说举个例子，我们看一下五这个点， 他的次方数还是这个点呢？如果是这个点呢？他是基数就穿过去，如果是次方数呢？偶呢？这个人就不传，其实我们看的是什么？看的是次方数，所以注意一个问题，他这个人我们要看他的次方， 像这个次方书是偶数次方我们就不穿，如果是基数次方，我们就穿过去，不穿，然后这个人穿过去。那么接下来我们来看看这个人的图形到底是怎么进行去画的呢？在这里面当中，我们先画一个二维的迪卡座的形，然后这是 y， 这是零，然后这是 x， 那这上面当中教的这个根呢？有一个叫做二，然后这是三，然后这是四，然后这是五。如果你按照高中这种图形的画法，就是大致是这样子，他说鸡穿，我不穿，第一个人呢？不穿过去， 穿过去，不穿过去穿过去。你说极值呢？是可以判的，那极小值、极大值、极小值、极大值、极小值，山峰都是极大值，山谷都是极小值。但是你要注意一个问题，这个拐点是哪呢？你哪能看出来？所以 说这就是我们原来高中学习这个方法无法判断拐点的原因，因此我们要对这个方法进行一个加强。那怎么进行看呢？非常的简单，我们先看几个点，先来看看 x 等于五这个点， 那么这个点呢？大家来判断一下它的这个导函数，在五处的导函数是不是为零呢？那非常简单，你可以这样看，我简单呢把这个东西详细讲一下，你把这个前面这个东西看作成 j s， 后面这个人是 x 减五的四次方， 那么这个人其实就是 fs， 如果进行求导一下，你发现前面求导后面这个人不倒 x 减五的四次方，一会把五带进去，这项是不为零，然后前面这个人不导，后面这人倒是四倍的 x。 减五的四次方，一会把五带进去，是不是还是为零？ 我得到了一个经验，如果将来你会发现一个事情，凡是那个次方数超过一的，你比如说二次方、三次方、四次方，他的导函数一律在那个点处，值是等于零的，所以你发现五处值呢？这个点处的导函数就等于零， 那等于零有个什么特征呢？在这里面当中，我来画条竖轴线，我们来单独看一下这个五，这个点，你要注意下，这个点处的导函数等于零，也就代表在这个点处的切线式水平的，那切线式水平的话，大家想你这个人的图形走向应该只能这样画， 你千万不能。怎么画呢？有的人可以这样画，你这样画的话，那就不行了，因为这块的话，你发现这个切线，这个切线它就不可导了，它切线必须水平。然后我们再来看看 x 等于四处，那这个次方数也超过了一，他在这个点处的导函数也是零，那么但是你要注意一个事情，这个点的导函数是零，而且他在这个点处的导函数是零，切线就水平了，而且他在四处怎么办？要穿过去。那么接下来我们再来看看这个人， 那既然导函数是零，在这个点处的切线是不是水平呢？那切线是水平，要穿过去，你想一个事情，他只能怎么穿， 他不能这样，那切线不水平，要想切线水平，这半边切线水平，这半边切线水平，他也是这样。所以大家注意，你只要能掌握住这两个模型，将来画这个图就非常简单了， 你只要记住，如果他是超过一的次方数，他在这个点处导航数都是零，切线都是水平，凡是不穿过去的 都这样画，凡是穿过去的都这样画，所以说这件事情就非常简单了。那么首先我们看，你看这个点不穿过去是这样画，超过一的次方数不穿过去这样画，那么然后怎么办？你把这个顺延一下就行， 然后在这个四处呢，四处这个人要穿过去，而且倒数是零，所以说这个时候你这块切线要水平，你是必须是这样画， 那么因此你发现你把中间连接一下，然后再来看看下面这个人，哎，三这个点呢？三这个点是不穿过去，不穿过去，他必须这样画，所以你把中间的这个人呢再连接一下， 然后再来看看二这个人，注意这个二，那么在 x 等于二处这个人，他是个什么情况？导函数是什么问题呢？他不为零，为什么？你可以算一下在二处的导函数 前导，你可以把这个 x 减二作为一个整体，然后后面做一个整体，然后这是 f s， 那这个人的导函数前导是几呢？前导是一，后面不倒，再加上前面这个人不倒，后面这个人来倒，你发现把二带你去，这是零，但这人不为零呢， 所以说二处导函数是不为零，那二处导函数不为零，所以在这个点处不用变化他的切线斜率，因此啊，在二处呢这块走过去就直接出去就行。好，这就是他的图形画法， 所以注意他是怎么画的。但是这里面当中有些同学还比较顾虑一个问题，那就是我们一开始的时候，那为什么是从上往下引的呢？而且他为什么是凹的呢？这件事情我来给你讲讲最后一点呢，把这个事情掌握清楚，什么东西就结束了。 那么接下来我们来看看这个事，你看这个大于五，那你到底是从上往下引还是从下往上引？你看的是什么？ 你看的是大于五的时候是正的还是负的？那么大家想，如果在大于五的时候，这是正的，这是正的，这是正的，这也是正的，所有都是正的，你是不是从上往下引？ 而且我还知道他一定是 o 的引的，他不会改变凹凸性。为什么呢？大家想一个事情，那这个人的导数是不是一定是 x 减二， x 减三， x 减四， x 减五？因为你都知道这种乘法求导就是前倒后不倒，前不倒，后来倒，谁倒别人不倒，谁倒别人不倒，是不是他们之间的组合呀？你在进行二级导数了之后，还是他们之间的组合吧。所以当 当你进行大于五的时候，所有人都是正的，所有人都是正的，那这个整体就是正的，那这个整体是正的，他一定是什么？是凹曲线。 所以你记死一个问题，只要一个题目写的是 x 减什么， x 减什么， x 减什么，然后这个次方数，次方数，次方数，只要是 x 减什么， s 减什么， s 减什么，你一律都怎么办？从高望低，最高的都是这样画下来， 你记住这个问题就行，所以说这种点我们就掌握清楚了。捋一边，只要是 x 减什么， s 减什么 s 减什么，都是从高往低引，对吧？以这种凹曲线，然后引下来， 然后再这种大于一的这个次方数，大于一的次方数，不穿都是长一样这样子，大于一的次方 如果穿都是长这样子，然后中间把它求接起来，这种问题就结束了。好了，这就是我们讲的这个穿针引线法的问题，那么这样我们把昨天呢分享的那个题目，然后我们再来进行讲解一下，那么今天的部分内容我们就讲到这，那么昨天我分享了这样的题，叫做 s 减二 平方， x 减三，应该是一吧， x 减一的平方， x 减三的什么三次方， x 减多少的？四的四次方 是这个人吧？啊，无所谓了，反正我随便写一下。然后接下来我们来画一下这个人的图形，把这个图形画出来，那么今天这个部分内容我们就结束来看看。 y， 然后这是零，然后这是 s， 那一个焦点是一，一个焦点是三，一个焦点是四，然后你发现都是 a， x 减什么， x 减什么， x 减什么，所以同学们一律从高望低引，而你发现这个人是不穿过去，所以说是一定是这样进行调节的，然后这是大 b 的四方数，这个人要穿过去，所以说他一定是这样进行调节的，然后中间把这个东西连接起来就行， 然后再来看看一一这个点处是不穿过去，一定是这样进行调节，大于一次方数吗？然后中间把它连接起来 好了，这是这个样子，因此我们来数一下这人有多少个拐点，那么第一个拐点，拐点凹凸性发生改变的点，凹凸性发生改变的点，凹凸性发生改变的点， 所数一下，一个、两个、三个、四个、五个，总共五个。那吉值呢？一个山谷，一个山峰，一个山谷，一个山峰，四个吉值，五个拐点。 好了，这种问题啊，我们今天就分享到这，希望同学们能够掌握这种方法，如果你能把这种方法掌握清楚，应该是处理这种问题最快速的一种方法了。

这是考研数学百大痛点系列的第五个视频，我们来讲一类多项是连乘求拐点和极致点的问题，大家可以看一下这个 f x 和 g x， 你能否非常快速的找到它所有的极致点和拐点，以及非常快速的去判断这些极致点它是极大值还是极小值。 好，这个视频呢，会给大家去分享一个非常快速的方便的方法来去判定这类问题。不管这里的 f x 和 g x 它的密次有多么的高， 在讲具体的方法之前，我们先给大家补充两个直接可以使用的结论。对于多项是 f x， 如果说 x 零是 f x 的一个 k 重根，那么 x 零是它的导函数的 k 减一重根。 第二个结论，对于多项式函数 f x 求导一次，它的根就会减少一个，也就是说如果 f x 是有 十个根，那么它的导函数 f a， p r x 就顶多只有九个根。好，这两个结论呢，属于我们初等数学的知识，我们不予证明，大家有兴趣的话可以去看一下它的来龙去脉，我们这里直接使用， 带着这个结论，我们就知道这个 f x 它的密次之和一共是十二次，所以说它有十二个根，而它求导一次之后，根减少一个就变成十一个根。 而我们知道要去判定 fx 它的极值点和拐点，我们在可导的情况下，都会用极值或者拐点判定的充分条件，于是我们需要找到所有的使得它的导航柱值为零的点，再去判定这个为零的点， 他的左右两边的导函数值是否一号，就可以来去判断他是否是一个极致点，而拐点呢？拐点我们需要去再求一次导，得到他的二阶导 函数有十个根，然后呢，找到所有使的二阶导函数为零的点，作为可能的拐点，再去分别判断可能的拐点，他左右两边的二阶导函数是否一号就可以了，这个就是我们的一个基本的思路。 好，那问题来了，我怎么去判定他每一个根，或者说每一个注点他的位置以及他是否是极致点呢？我们还是以这个例子为 b 啊，去跟他去具体的聊一聊。 好，有了这个函数之后呢，我们画出它的所有的零点，那么这个数轴上红色的数字零一二三代表这个函数，它的零点也就是它的根， 而红色数字上面对应的白色的在圆圈里面的数字，代表这个根的重数。比如说这里的 x 的立方，它代表的零是 f x 的三重根，而这里 x 减一的平方，代表一是 f， x 的 两重根。好，那接下来的话，我就会去根据这个数轴去推导 f， a， p、 r， x 就是它的导函数，所有的根的个数以及的 one 的位置。 好，同样的，根据我们刚所讲的结论，零由于是三重根，所以在求导之后呢，他会变成一个两重根，但他还是 f， a， p， l x 的根。 那如果说假如 x 它是一个异重根，就比如说它是 x， 没有密次，那么它在求导一次之后呢，它就不是 f v 撇 x 的根，那么这里面呢，这个数轴上就不会有它的位置。 好，同样的，对于这个数字，一，它原来是两重根，于是呢，它现在就变成了一重根，对于二和三来说，以此类推，分别是两重根和三重根，所以我们可以看到零一二三是 f x 的根，它 求导之后仍然是 f p l x 的根，并且现在所有的根的重数加起来是二加一加二加三等于八。而我们说到 f p l x 的话，它有十一重根，那么这十一重根剩下的三重在哪呢？ 剩下的三重就夹在我们每两个根之间会有一个零点。根据罗尔定理，由于 f 零和 f 一是等于零的，而 f x 是一个可导的函数，在零和一上肯定也是可导的。所以说在零和一之间，它必然存在着一个使得 f p r x 等于零的一个点，我们把它记作一部色龙一。 同样的，在二和三之间也存在着一个 episode， 二是 f x 的零点，在三和四之间也存在着一个零点 episode 三。好，这个就是我们找到的剩下的三个零点，而这些点恰恰也就是 f x 的 所有的可能的极致点。这里未必一定是极致点，但它们都是注点，所以说它是可能的极致点。所以我可以把 f p r x 写成这样的一个函数，它仍然是一个多项式。 那接下来我要做的事情呢，就是去判断这些所有可能的极致点，它的左右两段 f p r x 是不是一号的就可以了。 所以我同样的把 f a p x 表达式和 f a p x 的竖轴上面的根全部都给罗列出来。那接下来呢，我就要去一个一个的去找所有的这些可能的红色的注点，它是不是这支点。我们以 z x 三为例， 三的右边就代表着，对于这个函数来讲，它的值一定是正的，为什么呢？因为你可以想象一下， x 渠道大于三，那么所有的这些项它都是大于零的， 所以所有的大于零的相相乘，那么它就一定是正数。而我们再看一下最左边，最左边的话相当于 x 是要小于里面的最小的那个值就是零。也就意味着所有的这里面的 x 不考虑它的密次，它都是负的， 这里面 x 呢是负的， x 减 excel 一也是负的，这些所有的项都是负的，而负的相乘，它是正还是负，只取决于它的一个密次是积次还是偶次，所以我们把它所有的次数相加，得到它是十一次方，所以说十一个负数相乘，它得到的值仍然是负的。 好，同样的道理，我们再看一下这个 epsalo 三的右边这一部分呢，我们可以看到随便取一个值，他只是比三要小，但是要比 epsalo 三要大，也就意味着只有 a、 x 减三这一项他是负的，而其他是 的象全是正的，全是正的象，我们可以不用管它，那么负的象它这边是三次，所以说它整个式子一定也是负的。好。剩下的东西呢，都用这种方式去得到它的一个符号，就得到它的所有的区间 f， a， p、 l、 x 的一个正负情况。 所以我们接下来要做的事情就是去找到所有的这些可能的注点，并且使得他的两边一号的这个注点他就是极致点，那么如果说两边不一号，他就不是极致点，所以所有的极致点就是在这个红色的方框内一共有五个极致点。 ok， 那么我们要再去判断它是一个极大值还是极小值？那么比如说 excel 一，它的左边是负的，右边是正的，所以它是一个极小值，相当于对于 f x 来说，它是先递减再递增，所以它是一个局部极小值，其他的依次 推。很多同学可能会问，那拐点怎么判断呢？拐点的判定是和几只点几乎是一样的，他只是需要我们再去求出一个 f 二阶岛的一个数轴，然后呢用二阶岛和这个 f 一撇 x 一阶岛来去做对比，就类似于我们用一阶岛和原函数 f x 做对比是一样的， 那么这个就是我们求出了 f x 的所有的机制点和拐点。但如果加一个绝对值呢？会有什么样的变化？这里呢，还要先跟他去补充一个结论，这个结论是我们 高等数学中函数的性态中应该会讲到的一个结论，叫做如果两个函数的图像关于 y 等于 a 对称，则他们有相反的单调性和凹凸性。这个结论呢证明呢，其实非常的简单，但是呢他不是我们这里面这个视频的重点，所以我们先跳过，那么我们带着这个 结论，我们接着往下去看一下这个 f g x 它的一个知识点和拐点。我们首先要做的事情是，如果你要去判断的这个多项是它有绝对值，我们要先去把绝对值给它去掉， 去掉了 g x 的绝对值之后，那么 g x 就变成了 f x， 而 f x 有多少个根，它的求导之后有多少个根，我们都已经分析过了， 我们现在要做的事情就是去找到去掉了绝对值之后的那个函数，也就是 f x 它所有可能的截止点以及原来的这个函数，就是 f x， 它的次数为一的零点。次数为一的零点什么意思呢？比如说这里的 x 三次方改成 x， 那么 x 这个零它就是次数为一的零点。 好，找到这一点了之后，那么同样的，我们把 f 一撇 x， 它所有的注点画在这个竖轴上，那接下来呢，我们只需要去做两 不分析就可以了。第一步，我们要先去找到所有的可能的举止点中使得 f x 不为零的点，比如说 e p c l 一、 e p c l 二和 e p c l 三。带回到这个 f x 中，你会发现它一定是不为零的，因为 f x 的零点只有零一二四。 好，对于这三个使得 f x 非零的点，我们要做的事情就是和之前一样，我们用判定 f x 的极值点的方法来去判定一下这三个点是否是极值就可以了。也就是说去找到 f x 这三个点左右两端的一个符号，判断是否一号就可以了。 换句话说，如果 excel 一它是 f x 的极致点，那么它也是 g x 的极致点，反之亦然。也就是说，如果说它不是 f x 的极致点，那么它也不是 g x 的极致点。 好，那接下来呢，我们还要做的一个事情就是剩下的四个点，也就是说使得 f x 为零的零一二四。这几个点我们要去做的判断的步骤呢，其实和我们之前讲的也还是差不多的，但是呢，最后的结论是刚好相反的。 也就是说剩下的点，我们仍然要去判定一下它的左右两边 f a p r x 的符号，来找到 f a p r x 的极致点，但是呢， f a p r x 如果说，比如说零是它的极致点，那么它就一定不是 g x 的极致点，这个是说它的结论相反。 ok， 所以总结一下就是如果加上哪个绝对值，我们分成两步讨论。先找到使得 f x 不为零的注点，这三个注点呢，它是否是及时点和 f x 是否是及时点是一样的？那么剩下的使得 f x 为零的一个 注点零一二四。我们的结论是和 f x 相反的，如果在 f x 中这四个注点中任意一个它是极之点，那么它在 g x 中就不是极之点，反之亦然。 这就是我们要今天要介绍的方法比较简单，并且呢，他不论是多少逆逆次，多么复杂的形式，都可以用这种方法去做。

刚才我们接着来曲线的奥图信，也就是会求曲线的奥曲间和途曲间。 那么对一个曲线来说，凹区间和土气间的分界点又是什么呢？我们这里啊，凹区间和土气间分解，我们称为是啊 拐点，所以我们说连续曲线上奥虎与屠虎的分界点就称为是拐点。如图 m 这一点，在 m 这一点的左边曲线是奥点， m 这一点的右边曲线是徒弟，所以我们把 m 点称为是 曲线的拐点。那么又如何来求拐点呢？我们刚才在求澳区 和图去的时候，曾经找过一些点，也就是二级导数等于零的点，二级导数等于零点，有可能把一个曲线分成奥虎和土虎。 那么对于奥湖和屠湖，除了二级导数等于零的点，还可以有哪些点呢？所以我们通常我给出大家求拐一点的一些步骤， 先求二级导数，然后你二级导数等于零，求出二级导数等于零的点，或在区间上二级的导数不存在的点，呃，然后判定这些点，把第一区间就 就分成了若干个区间，在这若干个区间里面讨论曲线是傲湖还是土湖，如果在这一点的左右两侧二街道说变好，那么这一点就是快点。 如果二人早说不变号，这一点就不是拐点。看下面球下列曲线的拐点， 第一个 y 等于 x 减二的 x d 三分之五成比 x d e 很显然是富，穷到正无穷。求二阶倒数歪两撇 等于九分之十，乘 x 减二的负三分之一十秒。很显然， x 等于二是二级导数不存在的点。 当 x 在二里左边的时候，二里导说小于您 在 x 在右边的时候，二营长说大于零，由于小于零，曲线是土虎，大于零，曲线是奥虎，所以 x 等于二，这一点点说对于你点，就把曲线分成了奥虎和土虎， 那么 x 等于二， y 等于零，这个点就是曲线 y 得 x 减二的三分之五十米的 快一点。第二个求二级导数，那这二级导数等于十二倍的 x 平方，不管 x 是大于零还是幺零，零这个都是正数。也就是说，虽然二阶导数等于零的点 啊，不能够把这个曲线分，这个二级导师分成大于零或者是小于零， 那么 x 等于二。虽然是二级导入等于零，但是他这时候也不能把曲线分成奥虎和兔虎，那么零零这一点就不是 拐点，那么整个曲线上也就没有拐点。再比如，求曲线得 凹凸区间及乖点，对他求二劫导数， 一阶倒数三分之二， x 的三分之五之密减三分之五， x 的三分之二之密，二的倒数。很显然，通过二的倒数可以看出， x 等于零， x 的负三分之一是没有意义的，所以 x 等于零是 二级导数不存在的点。那么二级导数有没有等于零的点呢？令二级导数等于零，二可以看到 x 是等于一的，这样的话，二级导数等于一和二级导数不存在的点， 就把整个第一区间分成了若干个小的区间列表。在零和一的时候，一个二级导数不存在， 一个二级导数等于零，这样分成呢，三个区间负无穷大到零的时候，二级导数的符号是正数，零到一的时候，二级导数符号是负数。一到正无穷大的时候，二级导数的符号是正数， 这样的话呀，在负五行到零的时候，曲线是二虎，零到一的时候，曲线是土虎，一到正骨，曲线是二虎，那么 x 等于零这一点 就分左右两侧，实际上凹凸性发生了改变，所以这一点是啊，快一点， x 等于这两点的左右两 奥图系也发生了改变，所以这一点也是拐点。所以 x 等于零和 x 等于这两点都是曲线的拐点。那么拐点的坐标又是多少呢？凹凸区间又是多少呢？所以得到结论， 凹区间零，腹部球到零，一到正骨球同时间零到一，拐点 零零一，负四分之三。这里面强调一下，拐一点一定要说明是点的坐标，这和极值点不一样，极值点仅仅指的是 x 的值，极值指的是 歪的词，而拐点我们同道者在很多的书上也可以说叫做拐点的坐标，简称为拐点。 那么除了可以用一级二阶倒数的符号来判定曲线在这一点是否是管理吧，还可以用三阶倒数的符号来判。 如果曲线在二阶倒数等于零，而三阶倒数不等于零的话，那么曲线在这点一定是拐点。这一点就和我们的第极值的第二冲锋线有点类似。 我们在急职第二重兵听说，如果驻点的二级导数不等于零，那么这 一点一定是机制。那么对于拐点来说，二阶倒数等于零的点，三阶倒数不等于零，那么他一定是拐点。所以我们可以通过这一个定理来判定 二阶倒数等于零的点是否是拐点。举个例子，求取现 y 的 x n 方减 x 加一的拐点，求二阶倒数， 一也倒数等于三十个平方减一，二也倒数等于六， x 另二也倒数等于零。得到二也倒数等于零的点是 x 等于零，二十三也倒数等于六，永远不等于零，所以 零依旧是曲线的拐点。所以通过二页导入的零的点， 如果能求助三件导说不得念，就可以来判定这一点是否是啊拐点。