高二数学轨迹方程解题方法

大家好，这个视频我们要讲的是轨迹方程的第五种求解办法，交轨法，也就是焦点的轨迹方程，最常见的题目呢就是两个直线的交点的轨迹，那么两个直线的交点如果是一个轨迹的话，意味着两个直线都在移动，那么也就是说直线的方程里边必须含有参数才行。 所以我们的第一步操作就是寻找这样一个参数，然后把两个之间的方程给他写出来，最后我们再削掉参数，就能够得到他们焦点的轨迹方程。我们来看下这个题目，这里告诉我们 mn 是垂直于椭圆长轴的一个动线，我们给他换了一个图像， ab 是左右的端点， ma 和 nb 的焦点为 p， 我们这里给他画了一个图，然后让我们去求这个 p 点的轨迹方程。这里的话，首先我们就应该把我们已知的一些点的坐标给他写一下，对吧？ ab 两个点的坐标我们是知道的， a 点的坐标呢，是负 a 零， b 一点的坐标是 a 零，然后的话 mn 两个点它是上下对称的，所以如果我们要设坐标的话，其实只需要一组就 ok 了，对吧？我们来设一下， 设 m 点的坐标是 x 零和外零，则 n 点的坐标我们就知道了，对吧？他就是 x 零和 副的外领，这里看似是两个参数啊，实际上是一个参数，对吧？因为 x 零和外领还满足一个关系是，就是 x 零的平方比上 a 方，加上外零的平方比上 b 方，他等于一，因为这个点在我们的椭圆上，对吧？ 所以实质上只有一个参数，那么这个式子呢？是我们等一会用来替换的一个式子，好了，下来我们来写直线的方程，我们先来写 ma 的直线方程，这里的话，我们可以用 ma 两个点的坐标 把他的斜率表出来，对吧？也就是 y 零比上 x 零，再加上 a， 然后写一个点些是 y 等于斜率，再乘以 x， 再加上 a。 同样的道理， nb 这套直线我们也可以这样来写，也就是 y 等于负的外零，比上 x 零，再减去 a， 然后后边乘上 x 减去 a。 我们发现啊，我们一开始写的这个式子呢，里面是平方的关系，对吧？所以这里的话，我们要想办法去构建平方。构建平方的话比较简单，我们观察发现他们很多地方沉完以后都是平方差，对吧？所以我们考虑把这两个式子沉一下，我们给他命名， 这是一式，这是二式，我们用一式乘以二式就可以得到 y 的平方，他会等于负的 y 零的平方，再比上 x 零的平方，减去 a 的平方，后边再乘上 x 科四的平方，再减去 a 的平方，对吧？好了，那么我们来替换一下，替换一下的话，我们就可以用刚才写的这个式子，把外零的平方给他算出来，对吧？这里的话，外零的平方他就会等于 b 方，再减去 a 方，分之 b 方，再乘以 x 零的平方，对吧？我们同时提一个 a 方分之 b 方，那么这里就是 a 方，再减去 x 零的平方，好了，我们把它替换一下。替换以后呢，他就可以写成 y 的平方，会等于 这里是 a 方，分之 b 方，然后上边的话，把两个位置倒一下，就是 x 零的平方减去 a 方，下边也是 x 零的平方减去 a 方， 然后再乘以 x 的平方减去 a 方，对吧？好了，那这里很明显啊，他们俩可以约掉，约掉以后我们把它整理一下，也就是 x 的平方比上 a 方，在减去 y 的平方比上 b 方，他等于一，对吧？我们得到了一个双曲线，但是这里需要注意一下啊， 他不是一个完整的双曲线，因为什么呢？因为 p 不可能在 ab 两个点，对吧？那这里的话我们就要规定一下，你可以写 x 不能等于正负 a， 或者是 y 不能等于零，对吧？这就是他完整的轨迹方程。