数学立体反比例图像手工

来，今天咱们来通过一个图形来讲两个模型和两个结论，告诉我们，反比例函数 y 等于 x 分之 k， 并且 k 是大于零的 e 和 f。 在反比例函数图像上， a、 b、 c、 o 是一个矩形，而且点 e 呢？在 b、 c 上，点 f 在 a、 b 上，那么此时我们能得到哪些结论呢？第一点，如果 e 是 b、 c 终点的话，那么 f 一定是 a、 b 的终点。 同样的逻辑，如果此时 c e 比上 c， b 等于一比 n 的话，那么 a、 f 比上 a， b 也等于一比 n。 咱们以终点为例，再去探究一下面积的问题。 咱们不妨设 e 是 b c 的终点，点一个坐标就设成 x e x 一分之 k。 既然 e 是 b c 终点了，那么点 b 的横坐标就是二倍的 x 一 x 一分之 k， 那么相应的点 f 和点 b 的横坐标一定相等，都是二倍的 x 一，那么纵坐标它又在反比例函数上就是二 x e 分之 k， 那么此时我们已经证明出了 f 就是 a、 b 的终点了。知道了这个以后，那么 o、 e、 f 包括 b、 f 的面积，咱们能不能表达出来呢？ 我们先来看 o、 a、 b、 c 的面积，它很明显就应该是二 x 乘以 x 一分之 k， 那得到的就是二 k。 而我们又知道了 o、 c、 e 的面积一定是二分之 k， 而且 o、 a、 f 的面积也一定是二分之 k， 这两部分都已知，那么 o、 e、 f 的面积用咱们之 前讲过的平面直角坐标系中已知三个顶点的三角形的面积公式直接可以求出来。那这个 s 三角形 o、 e、 f， 它就等于二分 分之一的 x 一分之 k 乘上一个二 x 一，那就是二 k， 再减掉一个 x 一乘以二 x 一分之 k， 那就是二分之 k， 最终的结果呢，就是四分之三 k， 也就是说这一块面积是四分之三 k， 那么剩下的 b f 用二 k 一减，当然就是四分之 k 了。那这就是我们说的第二个模型。 同样的，大家想一想，如果一点是 c b 的 n 等分点，那么 f 一定也是 a b 的 n 等分点，那么此时这两部分面积能不能用 n 和 k 也表示出来？大家下课好好想想小哥。

好，这里是今日数学，我是季老师，我为初中的同学整理了凡比例函数图像面积定制模型 这八幅图，原来我画了十六幅图的，后来排版的时候发现排排不下，考虑许久呢，我觉得没有必要整理，太整理太多的话会给同学们造成压力，待会只要讲一下就好了。 同学们，凡是在考试中碰到凡比例函数图像中遇到关于面积以及线段的比例，都应该第一时间反应出来这几幅图，这几幅图都很简单。 呃，我主要是讲一讲这个凡备的函数图像的这个性质，根据这个图像的根据函数图像函数的性质啊来推的 这些面积定制模型，那稍微有点难度的，他就是这两种。同学们无需截图，我所有进行整理的这些课件呢，都将会做成沃德克打印的文套，那么大家只需要关注我，都可以向我无偿的索取。看到了没有，我就在这里。 好，下面就来一一证明。凡比的函数与其他函数相比较，有一个非常奇怪的性质，什么性质？就是这个 图像上的点呢？任意一点的横坐标与纵坐标的成绩都是个定制，这个定制就是 k， 我们根据 y 等于 x， 分之 k， 把 x 乘过来，那么就得到 x， y 等于 k， 这是个定制。我们来看还是图像 认一点屁，这一这一段长度，这一段长度是屁点的 x 就是 x 零 y 零，那么这一点就是 x 零，这段长度就是 y 零， 那么 x 零乘以个 y 零呢？是等于 k 的这个矩形的面积， s 就等于 s 零 y 零。当这个图像位于一三象限的时候，这个开是大圆的， 那么也就是等于 k， 当图像位于二四象限的时候啊，这个 k 是小一点的，那么也就等于 k 的绝对值。 很容易理解，看第二种情况。第二种情况呢？我问这个排版方面，排版我没有详细写出来，实际上大家也能看的出 这两条线段呢，是平行的，既然这两条线呢是平行，这个很显然跟这个是平行的，为什么呢？因为这个是一个直角，所以说这是个平行四边形。平行四边形的面积是怎么表述的呢？ 他跟举行的面积一样，仍然可以表示为底乘以高，就比如说我把这一段作为底，然后高呢？高是这这个长度， 这是高，那么也就是说这个矩形的面积可以怎么表示呢？啊？这一点呢？ px 零八零呢？因为这是个平行四边形，所以说这段长度啊，等于这段长度等于 x 零， 因为这个是个垂直，所以说这个长度哈，就是批点的重坐标就是 y 零，他就是等于 k， 当他位于一三项二四象限的时候，他就等于 k 的绝对值。我还可以给大家演示一下，你看看了没有？这样这样，这样演示一下，怎样过来都行。其实这个两个点你也可以到这边来，只是因为我做图的时候啊，我，我没有设定这个定义率，他 过不去，你看到没有？我说的这个定语，他可能过来过去过来，过去都没关系，往这边往很远的地方都没关系。好，再来看第三种情况。再讲之前呢，我先讲两个概念。首先大家要明白一点，凡比例函数图像啊，有一个非常重要的限制，他的图像关于圆点对称， 如果初中同学没学过这个概念的话，那么我将这句话翻译一下，关于圆点对弦的概念是什么呢？ 若任意一点 px 零 y 零在韩式图像上，那么一定存在。那一点 批撇，这一点的批撇的坐标上的负 x 零，负 y 零在该函数图像上一定存在。那么就是说这个函数图像关于圆点对称， 其实你也很好理解，根据这个式子啊，你很好理解。好，下面我简短的证明了一下弱点， p 零 x 零 y 零在 y 等于 x 分 k 的图像上，那么我们就得到这个式子， y 零等于 x 零分之 k， 那么很显然，我们同时左右同时加一个负号，那么就是负 y 零等于负 x 零分之 k， 那么也就得到这个点批撇负 x 零的也一定在这个图像上。 好，如果你仍然无法理解，你可能会有疑问，什么疑问呢？我这个过远点的这条直线，他跟 这个反比的函数图像，这个焦点的这边的点 p， 这点的一定是 pk 吗？这点的坐标一定是负 x 零，负 y 零吗？ 好，那么下面我们竖着式子来证明一下。首先第一步，我们要将这套直线呢表示出来用，用函数表示出来，用方程表示。怎么表示表示呢？过圆点的直线细方程表示 y 等于 a， x a 不等于零， 也就是说，无论你哪条直线的哈，都就比如说这里这样画，只要他经过 xx 零的话，这只要经过管理都可以。我表示任意一条，任意一条经过圆圆的直线就是这个。 那么下一步句来求出他们的焦点。如果说点屁啊，是这个直线系某一条直线的与这个反比的函数图像这个交点的话，那么 我们求出那一点就 ok 了，我们连立啊，连立这两个方程哈，我们把这个交点呢求出来。连立很简单，很容易得到 x 零等于 k 分之 a， 那么前提是 a 与 k 啊，必须是同号， 如果说是一号的话，他们是不会有交警的，就比如说这是当可以打雨林的时候，那么如果说 a 是小雨林的时候，那他突然是在是是在这样的，这在啊，思想性的他们永远都不会有交警。 好，我们很容易解的哈，两组解，每一组解的哈，其实这个两年的坐标我就已经得到了关于圆点对称的 两组结了，那么两组结如果说点 p 哈，在这个图像上图，这个是这个图像啊，这两个两个函数图像的焦点的话，函数的焦点的话，那么也就是说 p 毕竟是 这两组界的其中一个，因为这个时候啊，是 x 零 x 零万年大饼的时候，所以说 看用文字表述哈，弱了哈，这个点呢哈，是 px 零， y 是图像的焦点之一，那么很显然的哈，就能得到 x 零是等于 x 一的这个点， y 零等于 y 一的，那么等于，那么顺理成章的话，我们就根据这里哈，我们就知道得到 x 二是等于负 x 零， y 等于 负歪理，所以说这个点批撇他，他的坐标就是负 x 零，歪负歪理， 同学们不要觉得我啰嗦，也不要嫌麻烦，做数学研究就应该这个样子，有一些看似简单顺理成章的概念呢，你要想表述的非常完美，让没有学过人 这种就应该像我这个样子。好，下面我们再来研究这个三角形的面积，那就变得简单，三角形的面积的是二分之一底乘以高，这是底， 底是歪零，高，做这个高，这边这一段是高，这个是 x 零，这个是负 x 零，那么整个长度就是二 x 零，再乘一个 y 零，再乘一个二分之一，就等于 x 零，歪零 就等于开。好，下面我向大家演示一下呐，无论这个皮怎么变化，这个皮撇一定会随皮而动， 也就是他们两种关系，这个三角形的哈，这个面积啊，始终是等于等于 k 的，同样这个我就不挣了，也是一样， 你看到没有，当我这个与歪角垂直的时候，那么三角形的底，这个是 x 零，他的高是 y 零加 y 零呐，从这边做垂线的话，那么就是二 y 零，那么也就是他们面积的二分之一乘以 x 零，乘以二 y 零，那么就等于 x 零， y 零，所以说又等于 k。 好，我们再来看这种情况，也非常简单，就是刚才来看一眼的这个一个对称点，批批撇，这个对称点，他们的横赠坐标哈， 都互为相反说，因为这个是个直角，这个是个直角，也就是说像屁哈银，这个垂线像批撇银，这个垂线，那么这个长度啊，这个长度是 y 零，这一部分的长度啊，也是 y， 这一部分的长度是 x 零，这部分的长度也是 x 零，因为这是直角，这是直角，所以这是直角，这是直角，又因为这里也是直角，所以说这里也是直角，所以说三角形的面积，二分之一乘以二是零，乘以二 y 零，那么就等于二底下的了，那么就是二 x 零 y 零，就是等于 rk， 向大家演示一下，看到了没有？这个动态，无论怎么动啊，他们的一组对称点他都得到这个三角形的面积，都是啊。 ok， 好，这个就更简单了，这是平行四边形，这里跟这里是平行线相等的，那么平行四边形的面积二分之一，底层高底是 x 零，高呢？这上半部分是歪零，下半部分是负歪零，他们的绝对就是二歪零， 那么就是 x 零乘以二 y 零，那么就是二 x 零，二 y 零，二 x 零 y 零，那么也就等于二 k 的绝对值。好，再让大家演示一下， 看到没有，无论怎么变化的话，只要他是成这种情况的话，他们的面积啊，都是种向的，都等于阿的 k 的绝对值。好，同学们，这次视频讲到这里，有什么问题可以给我留言。

大家好，已知点 a， 在反比例函数 y 等于 x 分之十二， x 大于零的图像上，点 b 在 x 轴的正半轴上，如果三角形 oab 为等腰三角形，且腰长为五，则 ab 的长是多少？ 这是一道反比例函数与等腰三角形相结合的题，这个三角形是等腰三角形，腰长是五，所以咱们现在就想，谁是腰啊？当你有疑问的时候就要进行讨论了， 也许 oa 和 ob 是幺，也许 oa 和 ab 是幺，也许是 ob 和 ab 是幺，所以要分三种情况画出了相应的图形， oa 等于 ob 是幺等于五，这是 a 点的坐标，这个时候要求的是 ab 的长很明显 做垂直。然后利用勾股定理整理这个方程，得到是这样的一个方程，然后按一元二次方程求根公式的方法 求出 x 的平方，一个是十六，一个是九，从而觉得 x 等于正负四和 x 等于正负三，因为 x 是大于零的，所以 x 等于正四 和三。当 x 等于正四的时候，把 x 换成四，那么 x 分之十二就是三，那么 om 的长就是四，所以 mb 的长是一， a m 的长就是三。勾股定理算得 a， b 等于根号时，当 x 等于三的时候，算的 y 值是四，也就是说这个时候 a 点的坐标是三，四，横坐标是三， 说明 om 的长是三，所以 mb 的长是二，纵坐标也就是 am 等于四。勾股定理算的 ab 等于二倍，根号五，接着往下算。第二种情况就是当 oa 和 ab 是幺等于五的时候， 这个时候不用算了，因为他求的就是 ab， 现在 ab 是幺就等于五。第三种情况，当 ob 和 ab 是幺等于五的时候， 这时候也不用算了， ab 的长就是五，所以 ab 的长为根号十或者二倍，根号五或者五。把答案写在这。