初中一元一次方程应用题技巧

一招带你搞定一元一次方程应用题当中的工程问题，很多同学啊，遇到这种工程问题都感觉没有思路，不知道该怎么样去找等量关系分析题。今天伊老师啊，就教大家一个技巧，让大家轻松求出工程问题这类应用题。 首先呢，我们先要明确这个工程问题解题的关键，他解题的关键啊，其实就是一个公式，也就是工程总量等于工作效率，长时间 工程总量。这里题干当中通常没有给你修一段桥，修一段路，你不知道总量是多少，所以在这里啊，我们常用的技巧就是把工程总量设为一， 如果把工程总量当做一的话，那你看看，工作效率不就等于工程总量除以时间吗？所以在这里面，我们 的工作的效率就可以用 t 分之一，也就是一个人单独完成一项工程所用的时间分之一来表示他的效率。举个例子啊，我独自完成寒假作业需要七天，那我的效率就是七分之一。 小明独自完成寒假作业需要二十八天，那他的效率就是二十八分之一。如果你能明确这个点，那这种题目就好算了。咱们回到刚才这道题目当中啊，来一起去看一看。这里工程呢，由甲乙两个工程队来完成，那我分析题目的时候啊， 读题，这是苍白的，但是画图这个是有利的，所以我采取画什么画线段图的方式帮助我理解题。现在说甲工程队单独完成需要六十天哦，那它的效率不就是六十分之一了吗？ 这是甲的效率，那乙呢，单独完成需要四十天，乙的效率不就是四十分之一了吗？好了，现在说甲先做二十天，所以这是甲和乙俩人啊，甲呢，先做了二十天， 现在说剩余部分，甲乙合作。哦，上一部分甲加入进来了，乙也加入进来了，他俩一起合作， 想让你求的是完成这项工程求总共需要多少天，那不就是在求他吗？ 那你看看如果我想求总共需要多少天，我只需要知道合作多少天就可以了，对不对？好了，那你看甲和乙各自工作多少天，咱们都有了，那我们要知道甲和乙的效率， 用效率乘时间等于工程总量一，他俩加在一起把那个一干完了，是不是就找到等量关系了？好了，那下面我们 我们就继续利用列表的方式帮我理清题目当中的这些信息。还是一样，甲和乙两个人，甲的效率六十分之一，乙的效率四十分之一，继续来列时间 假工作了，苦大力从二十到 x， 他全都参与了，这是他工作的时间对不对？二十加 x 已显而易见，只工作了 x 天， 他俩一起把这项工程干完了，那么我们就有六十分之一乘以二十加 x， 假的效率乘时间，再加上乙的效率乘时间，工程干完了，把工程总量一给完成了，那么这个方程就列完了。所以你看工程问题解题其实并不难，关键是要分析提议。那我们给大家的方法就是 先画线段图，后列表，先画图再列表等量关系把你找好了。像这种工程问题，你现在学会了吗？

我是李老师，专治各种疑难题，今天咱们来讲一下一元一次方程，他的一个实际应用，实际应用类问题里面的话要注意几个东西，第一个的话就是他的一个一般的过程，他包括这样的几步，第一个是 是，第二个是啊，立，第三个是啊减，第四个是啊，减，第五个是啊啊，那每一步来讲的话，其实都挺关键的啊，我们要把这五步从上到下都罗列清楚就可以了。 那什么是设啊？设的话其实就是设未知数，列的话就是列方程，解的话就是解方程，解的话是解验答的话就是最后做一个答。咱们先来看追集和相遇类的一类问题啊，这类问题我们再去做题的时候，一定要去画的一个东西叫做啊线段图， 它是帮我们去分析这个路程类问题最形象最直观的一个方法。 a b 两地相距四百八，那我们在这里标一下，这是四百八，他说一辆慢车从 a d 出发，那咱这里标一个东西，慢车 哎，他从 a d 出发，还有一辆快车是从 b d 出发啊，那标一个快车从 b d 出发，这个速度是啊，五十千米啊，每小时， 这个的速度是七十千米啊，每小时。好，咱们先来看第一位，那咱现在要去设备这事的话，首先你要知道他求的是什么，两个车同时出发，相向而行，出发后多长时间相遇，那相遇的话意思就是有一个最基本的等待关系， 叫做快车的路程加上慢车的路程等于总路程，咱们在这里简单的写一下，叫做慢路加快路， 等于啊总路。好，咱们假设在在这里相遇了啊，啊，那看一下，这一半叫做啊慢路，这一半叫做啊 快路。在这里我们要去注意一个最基本的东西，就是谁的路程要用谁的速度去乘，以谁的时间，不能瞎乘，对吧？你求慢车的路程，你肯定用慢车的速度乘以慢车的时间，而在这里面他问的是 多长时间，那我们现在就做一个最基本的一个设法，叫做求啥设啥，所以第一个我们设的是时间 啊，咱们可以设这个出发后啊， x 小时啊，相遇好，时间，知道了，那我们速度就知道了，那我可以把慢车的路程求出来，慢车的速度啊，乘以时间， 然后把快车的路程求出来，快车的速度乘以时间，那等于谁啊？总路四百八，哎，那我们就可以求出 x 的值啊，这个地方直接写个解得就行了，解得 x 等于四 啊，这个地方如果你能有能带这个单位的话，是尽量去带啊。小时这个检验的话，你可以写在这个题目里面，也可以不写，但是你必须得做。哎，我把 x 等于四，带到这个方程里面，看左右两边是否相等啊，最后再去打 四小时啊，相遇好，这里面的每一步都很关键。咱们来看第二个，那第二个来讲的话，他说两车同时出发，同向而行，慢车在快车的前面。好，咱们先去画一个图， 这是 ad， 这是 bd， 这个是慢车，这个是快车。那么通过这一句话我们可以知道他们是往左出发的， 因为慢车要在快车的前面，是不是慢车要往这边走，快车也要往这边走，那这样他才能保证慢车在快车的前面， 他们相遇天经过多少小时？两车相距二百千米，我也不知道具体什么时候，我假设当慢车走在这里的时候， 而当快车走在这里的时候，那么这个时候他的路程是两百， 大家看一下，那这一个等量关系，是不是这一个路程是两百，那这个路程两百应该怎么样去算？那我们会发现，你看咱们把每一段都研究清楚就可以了。那这一段其实是慢车走的路程， 咱们标一下叫做慢路。哎，这一段是什么快车走的路程？咱们标一下快路。而 ab 之间的总路程也去标一下，这里是四百八。 那我们会发现一个最基本的问题是什么？看慢车加上总路程，看我都写在这一条横线上方的慢车加总路程是不是等于快车加上慢车 与快车之间的路程差，那这就是一个最基本的等量关系。哎，你把上面的写上面，下面的就画在下面，哎，每把整个的这一段路分成了两种情况， 分成了两种情况，那咱们现在可以设他运动的一个时间，那，那这个前面已经设过一个 x 了，那后面咱们可以设 y， 呃， y 小时， 哎，弯小时，相距二百千米，那弯小时，咱们要把慢路表示出来，那慢车的路程是多少？还是五十弯啊？那第一段上方的出来了五十弯，加上个四百八， 下方的呢？那这一段是快录，快录是七十万加上两百，哎，这就是他的一个等量关系 啊，我们直接写解得就可以了，那解得，那我们可以求出 y 的值是四 啊。最后把十次带进去来检查一下，哎，发现可以刚好满足，然后答就可以，但是后面还没写完的话，他还有一个，外加了相遇之后多长时间两车相距，那我们再回去画一个图啊， 其实他说了这个相遇之后，其实就是追上他之后，我把这里要擦一下，因为这个图可能要画的长一点，然后这里是慢车，这里是快车，快车还是追他 啊？刚才是相遇之前，那我们来看一下，就是追上他之后啊，打比方，慢车走在这里的时候啊，快车追上了慢车啊，这地方写上啊 上，那么这个时候快车就要一定会在慢车的前方，而慢车就会在快车的后方，这时快车与慢车之间的距离是两百， 这是这地方是追上了他。其实这个地方如果你不分析也行，但是你要明白，在这个点他是追上了他的，我们所分析问题的方法都是利用整体的方法，那咱们来看一下，还是利用整体的方法。快车从 a 点走到这里，那么这一段的路程称为啊快车的路程为快路，那看慢车从 a 点走到这里，那我们把这一段的路程称为啊 慢路。哎，这里的话是已知条件里面的四百八标一下， 这里是两百，那我们来看一下，那在这里会出现一个什么样的事情来看慢车走的，慢车走的路程加上快车走的，加上这一个原始的路程，是不是等于啊？再加上这个两百，刚好等于快车走的总路上。哎，看上面的啊， 这地方是相距的，这地方是慢车的路程，这地方是啊 a、 b 两地之间的距离， 这三段加一起是不是刚好是快车所走的路程？那我们就把这个等量关系给找到了，那我们列完之后，那先去设吧，还设这个时间，这个时间设为踢吧，好吧。啊？那这个地方就 要五十 t 表示，这里就要七十 t 表示，那我们把这三段加在一起为二百加上个五十 t， 加上个四百八，就等于七十 t。 然后写解得，哎，解得题等于三十四，哎，等把三十四带进去之后发现是正确的，最后写一个答。

年龄问题你真的会求吗？如果你不信的话呀，你可以把这个视频暂停三秒，看一下这道题你自己有没有思路。好了，那么年龄问题的核心其实有两个，一个是过一年长一岁，还有就是年龄差不变，我们一起来看这道题，他说小明问老师年龄，老师说呀，我像你这么大时，你才三岁， 等你像我这么大时，我呀都已经四十五岁了。求老师今年的年龄是多少岁？那么大家看看啊，这道题中他不断凸显的是一个什么，没错，是两个人年龄的差啊，对不对？ 好了，我们来画一个长长的竖轴，然后我们找到两个点，这个呢就是小明今年的年龄啊，这个点我们表示小明今年的年龄值，而这个点呢，我们来表示老师的今年的年龄值。老师 说，我像你这么大时怎么样？你才三岁。大家注意，由于年龄差不变，怎么样？老师像小明这么大的时候，小明也应该缩小相同的年龄，也就是说，当老师的年龄到小明这个年龄的时候，小明的年龄同样也应该缩小相同的岁数， 那么这个点呢，应该就是三岁，对不对？然后老师又说，当你像我这么大时，我都已经多大了，我都已经四十五了，也就是说，当小明像老师这么大的时候，老师也会增大相同的年龄，那么这个值呢？是四十五岁。 然后我们再来观察啊，三和四十五之间怎么样啊？有三段小线段，并且大家想一想这三段线段是什么关系？没错，他们的长度一定 定是相等的，所以那这里这个线段的长度，或者说是老师和小明的年龄差怎么来算呢？就是四十五 减去三，哎，先算出这个三段线段的总长度，然后再让他们除以三就可以了。 那么最后捷德呢？他们的年龄差是十四岁，但是大家注意啊，这是年龄差，并不是小明的年龄，也不是老师的年龄。 那问题是老师今年多少岁呢？大家来看，老师今年的岁数不就是从四十五再往回缩小这一个年龄差吗？所以说老师今年的岁数他应该等于什么？没错，应该等于 四十五减去这个年龄差十四岁，那么最后老师今年的年龄是三十一岁。好了，这就是年龄问题中利用年龄差不变来求解，那么屏幕前的你学会了吗？

来看一道行程问题中常考的顺逆水问题，两码头相距一百四十千米，船在两地之间航行，顺水航行呢，用了七小时， 逆水航行呢，用了十小时，求水流的速度和船在净水中的速度各是多少？那么像这样的问题啊，大家一定要记住这两个口诀，那是什么？顺水的总速度应该等于船的速度加上水的速度，而逆水的速度呢，应该等于船速减去水的速度。 好了，同学们，那么像这样的一道有两个位置的量，什么呀？水流的速度和船的速度，我们怎么用一个位置数来解决呢？ 上一道题啊，老师已经给大家说过了，那就是设其中一个位置量为 x， 用另一个位置量来建立方程。好了，那这里我们不如就设水流的速度为 x 吧。那么设完了位置数， 我们应该用另一个位置量来建立方程，也就是说这个方程的两端应该都是另一个位置的量。是什么呀？没错，是我们的传速。那为什么会出现两个传速呢？因为啊，我们顺水航行了一次，逆水又航行了一次， 有两组数据，那么这两组数据呢，能够分别表示一次船的速度。我们先来看顺水航行，顺水航行用了七小时，也就是说这一百四十千米的总距离呀， 除以七小时应该等于他的什么？顺水的速度对不对？因为顺水用了七小时啊，那我们距离除以时间应该等于顺水的速度， 那么顺水的速度又是什么呢？它应该是传速和水速的和。那么我们怎么样用顺水的速度来表示传速呢？没错，就是用 他减去水流的速度， x 那就是船的速度了。同理，我们再来看逆水用了十小时，我们想想逆水用了十小时，那么一百四十除以十路程除以时间等于的速度，是不是应该是逆水的总速度啊？ 那溺水的速度应该是什么呢？它是传速减去水速，这个速度是传速减去水速，那怎么让它来表示传速呢？没错，我们只要再把这个水速加回来，那它不就是传速了吗？ 那么我们这个方程就列完了，那么最后捷德 x 等于三千米每小时，有了水的速度，怎么来求船的速度呢？我们发现其实这个等式左右两侧啊怎么样？他这个式子和这个式子不都是船速吗？ 只需要把 x 等于三带入上面这两个哪一个式子都可以。所以比如说我们把 x 带入到上面这个式子，那就是 带入之后，我们来观察，一百四十除以七就是二十，那么二十减三，最后传速的速度就是十七千米每小时。那么屏幕前的你这道题学会了吗？

新年级上正在学的一个重点内容就是一元一次方程的应用题，也是期末必考的重点题型。一元一次方程有十五种类型。这个视频我们先来研究形成问题中的追击问题。 视频中的这道题大家可以暂停思考一下，三秒后讲解。 甲乙两人骑自行车分别从相距三十六千米的两地匀速同向而行。如果甲比乙先出发半个小时，那么他们在乙出发后经三小时，甲可以追上乙。 如果乙比甲先出发一个小时，那么他们在甲出发后经过 五小时，甲才能追上瘾。问，甲乙两人骑自行车每小时各行多少千米？ 我们这个题怎么去做？我们先假设假骑自行车每小时行驶 x 千米。 我们看到这个题中有两个跟假如有关的已知条件，他为什么要给我们两个已知条件呢？ 其中一个已知条件是让我们用来表示已骑自行车每小时应该行驶多少千米。然后另外一个已知条件是让我们用来列方程从而求解的。 接下来我们选择启动一个假设的已知条件，把已骑自行车每小时行驶的千米 都含有 x 的式子表示出来，选择哪一个都可以，我们选择第一个，我们画一段线段，表示甲乙他们直接相距的距离三十六千米 同向而行，所以他们要么同时往右，要么同时往左。根据其中假设的已知条件，我们可以知道此时是假去遵义，他们的运动方向应该都是同时向右而行呢？ 假设他们接着往后走了一段路程，此时甲乙相遇， 很明显这段路程就是我们甲椎上乙所行驶的路程，甲比乙先出发了半个小时，再乙出发后经过三个小时， 甲追上的乙，所以甲走这段路程所用的时间应该为三点五个小时，也就是二分之七小时。这段路程是甲追上乙，乙所走的路程，所以乙走这段路程所有的时间应该为三个小时。 接下来我们看如何能够把一骑自行车每小时行驶的千米数都含有 x 的式子表示，其实我们也就是去表示一骑自行车的速度， 速度等于路程除以时间，我们已经知道他走这段路程所用的时间是三个小时。 接下来我们看落成怎么表示。观察这个图像，我们发现我们应该用 甲所走的路程减去三十六，就是乙所走的路程，路程等于速度乘以时间，所以甲和乙相遇的时候，甲所走的路程应该为二分之七 x 好，再减去三十六， 就是我们已所走的路程除以时间三。接下来我们去化解一下，等于六分之七 x 减十二，这个就是我们以骑自行车每小时所行驶的千米，也就是以骑自行车的速度。 接下来我们结合第二个假设条件，去立还有 x 的一元一次方程，从而去求其目。做梦的假以两人骑自行车每小时所行驶的千米数， 同样我们用这段路程表示甲乙之间相距的三十六千米，假设他们走到这里，这段路程就是甲追上饮食加速度的路程。 根据甲的条件，乙比甲先出发一个小时，他们在甲出发后经五个小时，甲追上了乙，所以甲所走的路程所有的时间应该为五 h。 这段线段是乙所行驶的路程，乙比甲先出发了一个小时，甲出发后五个小时，甲追上了乙，所以乙走这段路程所用的时间应该为六个小时。 接下来我们去列这个等式。根据路程的数量关系， 我们可以得到甲所走的路程减去他们相距的三十六千米，恰好为一。所走的路程， 路程等于速度乘以时间，甲的速度是 x， 时间是五，所以甲的这部分路程应该表示为五 x 五 x 减三十六等于移速的路程，路程等于速度乘以时间。速度。刚才我们求出来了，时间是六，带入等于六，乘以六分之七， x 减十二。括起来经过计算，我们可以解得 x 等于十八， 然后六分之七 x 减十二，我们把 x 等于十八代入，经过计算应该为九。所以这个题假， 骑自行车每小时应该行驶十八千米，你骑自行车每小时他是行驶九千米。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第五章一元一次方程的第四节应用。一元一次方程打折销售啊，这个呢，也是我们在学习这个一元一次方程的时候，一种非常常见的一种题型。 好，只有一个知识点啊，用方程解决打折销售问题。首先啊，请大家想一下啊，咱们在生活当中哎，你们遇到过哪些打折销售类的这种问题，对吧？哎，走进一个超市啊，或者是一个商场里面经常会有什么 啊，全场八折是吧，什么啊？什么全场开业大酬宾呐，什么优惠啊，百分之十啊等等啊，经常看到这些标语对吧？哎，那这标语究竟代表着什么样的意思呢？是吧？我们首先来看一道例题啊，这是我们教材上的一家商店，将某种服装 按照成本价提高百分之四十后，标价又以八折优惠卖出，结果每件扔货力十五元， 这种服装每件的成本是多少元？我看下这道题啊，它里面有一些我们这个销售类的一些术语，对吧？首先是什么呢？比如说你看这个啊，这个成本价对吧？然后呢提高百分之四十以后又标价，标价之后呢又一个八折是吧？然后呢又获利 是吧？这些都是我们的销售问题当中啊，一些常见的一些术语，那大家看一下啊，这些常见的哎，这些概念，或者说这些术语哎，你都是否清楚， 我们在学习这类问题之前，必须得把这些术语啊，还有呢，他们之间的关系一定要先给他弄清楚啊，如果已经清楚，同学我们就当做一个复习了啊，好，我们来看一下。第一个啊，打折销售类 这个问题的，有关他的一些概念都有，都有哪些啊？有这么几种，一个是成本价，成本价就是进价，对吧？哎，他进货时候那个价格，他标价呢？就是他出售时候标的那个价格，就是我们超市当中啊，他的标签上写的那个价格。 第三个呢，就叫做售价。哎，他出售时候的实际价格，正常情况下，标价和售价应该是一样的，标多少钱就卖多少钱，对吧？但他有的时候他打折，打折的话呢，就是要在这个标价的基础上，怎么样乘以那个折扣才是他实际出售的价格，对吧？哎， 利润是什么呢？是卖出这个商品啊，他赚了多少钱，对吧？哎，他肯定进货的时候价格比较低，然后卖出的时候价格高一些，哎，那中间这个差价也就叫做利润。最后一个呢，叫做利润率，利润率是什么呢？就是这个利润呢，他与这个成本价之间的这个比，哎，这个比值叫做利润率。好，搞清楚这些 相关的概念之后，我们看一下有关的这个公式啊。第一个就是利润等于什么呢？等于售价减去成本价。注意，这不是售价，不是标价啊，标的价格不一定是实际出售的价格，这里要注意，也就是说用售价减去进价呗，这样说也可以啊，这里都有一些变形，比如说这个利润，我 可以用利润加成本价，就等于售价，对吧？哎，这一些常见的变形，大家应该要清楚。第二个呢，利润率，刚才也说过了，他等于利润除以这个成本价，对吧？最后再乘以一个百分百，因为他通常都是百分比百分数的形式来展现的啊，或者呢，这也可以变形啊，比如说我用成本价乘以这个利润率，对吧？应该就等于利润， 是不是好？第三个呢，就是售价，售价呢，他应该是等于成本价加上利润，哎，这相当于常见的变形呗，是大的一个变形，对吧？或者呢，也可以写成另一种形式，是什么呢？用这个成本价 乘以一个括号里面一加利润率，比如这个商品我利润率是百分之二十，对吧？哎，也就是说呢，我的成本价乘以一个括号里面用一加百分之二十， 这个算，算出来的也是等于售价啊，这常见的变形都应该清楚。最后一个呢，就是售价，他等于什么呢？标价乘以打折数再除以十， 哎，这就这叫打折的问题了，对吧？哎，如果不打折的话，他俩是相当，如果打折，比如打九折，那就乘以九，再除以十，那相当于乘以零点九呗，对吧？你也可以这样记，打八折就相当于是在标价基础上乘以零点八，哎，那什么八五折应该多少呢？就乘以一个零点八五呗，对吧？哎， 这是常见的一些公式，这里啊，我希望大家暂停一下啊。一个是呢，把这些有关的概念好好的给他整理一下。另外一个方面，对哪些概念或者哪些公式如果不熟悉的话，这里赶紧进行一下记忆，因为我们后面啊， 注题的时候，这些公式都是要用到的，哎，在解决这类问题的时候，这都是非常重要的啊。好，接下来进行一个小测验啊，大家看一下啊。第一个，原价一百元的商品，哎， 如果打八折的话，他的价格应该是多少？那我刚才也说过了，打几折就乘以零点几呗，对吧？哎，那打八折应该用一百乘以零点八，对吧？哎，那他实际的价格应该就是八十元。 好。第二个，原价一百元的商品，提价百分之四十以后，他的价格应该是多少元？这个百分之四十是相对于谁来说的呀？肯定相对于这个原价来说的，对吧？ 原价一百元提升了百分之四十，这应该怎么算？是不是相当于提升了一百乘以百分之四十啊？一百乘以百分之四十等于四十元，也就是说他的意思呢，就是原价一百元，然后呢，提价了四十元，对吧？那这个时候价格肯定就应该等于一百四十，对吧？这里呢，你也可以这样算，用一百乘以 什么呢？乘以一个一加上百分之四十，哎，这样算也可以啊。哎，这算出来一样是等于一百四十，对吧？这个也可以。好。第三个，原价一百元的商品，以一百五十元卖出， 哎，那么利润是多少元呢？这很简单，一百五减去一百，对吧？利润是五十元，那利润率应该是多少？我刚才也讲过了，利润率应该是由利润除以，这样 除以这个原价，对吧？也就是除以这个成本价，所以不要用它除以这个一百五十啊，除以这个一百的，那五十除以一百，很显然应该等于零点五，对吧？哎，然后呢，再乘以一个百分之百，那就应该他的利润率就应该是百分之五十。 好，最后一个进价 a 元啊，商品啊，他以 b 元卖出了，那这个利润应该多少呢？是不是应该用卖出的这个价格减去进价啊？对吧？就应该是 b 减 a， 哎， 利润率呢？利润除以进价再乘以百分百，对吧？哎，就是 b 减 a， 然后除以 a 再乘以一个百，对吧？这里还有一个问题，是什么呢？如果说啊，有的时候亏损，对吧？哎，那亏损是什么情况呢？进价，比如说是 一百元，他以九十块钱卖出去了，那他是不是亏了十块钱了，对吧？哎，那这个利润我同样可以用这个售价减去进价，比如说，一百元的商品，他卖了九十元，如果九十减去一百等于多少？等于负十啊，对吧？等于负十，那我说他利润是负十元的，表示什么呀？那是不是就说他亏了十块钱， 我们学了正负数可以表示相反的概念，对吧？哎，如果算出来是负的，那就说明他亏损了吗？对吧？好，搞清楚了这些概念之后，我们再回过头来看一下刚才的例题，我相信大家对这个问题应该已经有了解决思路了。啊？啊，他既然求的是什么呢？求的是每件的成本是多少元， 对吧？哎，那我就可以设每件成本就是 x 会员就可以了，对吧？哎，那等量关系应该怎么找呢？应该就是你看按照成本价格提高了百分之四十以后标价，然后呢，又以八折优惠卖出， 这实际上是不是告诉我们这个售价了，对吧？哎，然后呢，他获利了十五元，我们是不是可以用利润就等于售价减去进价呀？对吧？哎，我，我这里简单写一下啊，利润 理论啊，他呢就等于这个售价减去进价，对吧？进价也就是成本价。好，那我看表示一下吧，这个十五 就是利利润，对吧？哎，就是应该是十五，他的应该等于售价。售价应该等于什么呢？应该等于标价乘以折扣啊，因为它里面有折扣，对吧？那标价应该等于多少呢？标价是理解了，按照成本价 提高了百分之四十以后，标价那是不是就应该等于一加上百分之四十再乘以成本价？成本价我已经设他为 x 了，对吧？这里再乘以这个是不是标价呀？标价呢？然后又以八折优惠，那是不是这里再乘以一个零点八呀？ 这个表示的就是实际的一个售价，对吧？实际的售价减去进价，是不是再减去一个 x， 这个就等于利润呢？这是是不是这个方程了？但是我们习惯上来讲是把这个啊十五给他写在等号的右边，这样习惯上是这样写，对吧？哎，得到了这个方程之后呢，我来解一下方程就行了。 对啊，解方程的过程，我就不和大家一起来进行这个啊研究了，我相信大家都能解的出来，今天所讲的每一个方程的题目，大家都要实打实的啊，把这个动动手，把这个方程给他解出来，解出来之后还有一个很重要的一个步骤，带回 到原来的方程当中去，看他是否符合使等号两边这个使这个等式成立。哎，这个过程呢，我在以后就不多说了啊，我在答案当中呢，也是直接给大家公布答案，但结果大家自己去计算啊，然后自己去核对一下。 好，那这个方程我们就已经列完了啊，解方程大家自己去解，我给大家看一下答案了啊，好，这是啥啊？大家可以自己核对一下啊。 设成本为 f 四原则，标价为，因为这例题嘛，我讲的这个答案稍微详细一点啊，标价呢，就是可以是一加百分之四十，再乘以 f， 那实际售价呢？就是应该再乘以个零点八，对吧？哎，因为打八折嘛，这实际的售价，然后呢，利润呢，就可以用售价减去， 对吧？这里就是利润啊，利润呢，他题目当中又告诉我们是等于十五，所以呢，方程就可以这样列出来，对吧？哎，解答最后呢啊， 成本价应该是一百二十五元。好，大家看一下自己解方程解对了没有啊？好，先来第二个题， 也是教材上的啊，一件商品按照成本价提高百分之二十，然后标价，然后与九折销售，然后呢，售价为二百七十元，那这个成本价是多少？那这个我可以说这成本就是 xyx 元，对吧？哎，那题目当中给了我们这个售价为二百七十元，那我们就把售价给表示出来，然后让他等于二百七就行了呗， 对吧？那售价应该等于什么呢？应该等于标价乘以折扣，对吧？哎，那标价呢，应该是什么呢？他的成本价提高了百分之二十，所以标价是不是应该是一加上百分之二十，然后再乘以一个成本价， 这个是标价，标价呢，然后又打了个九折，是不是乘以零点九啊？他就等于实际的售价，实际的售价是二百七十元，对吧？哎，那这个呢，就是方程啊， 然后呢？啊，解的话大家自己去计算啊，好准时答案啊，看二百五十元成本价啊，解了之后不要忘了啊，带回原来方程看一下，支持我成立啊。好，第三个例题，某书店把一本新书按照标价的八折出售，仍然可以获利百分之十， 如果这本书的进价是二十四元，那么问我们标价应该是多少元？那这还是呗，我们正常啊，求什么我们就设什么就行了呗，对吧？标价我就设它为 x， 对吧？哎，那这个方程的话应该怎么列呢？方程就根据什么呢？你看他可以获利百分之十，对吧？这百分之十是相对于谁的呢？应该是相对于这个进价来说的，对吧？也就是说他的利润应该是等于二十四乘以百分之十，这是他的 利润，对吧？哎，利润又等于什么呢？应该等于售价减去进价，对吧？哎，这里根据等式关系是这个啊，售价减去进价等于利润。哎，我可以利用这个等式。好，那我看一下吧，售价应该等于什么呢？ 应该等于啊，标价再乘以一个折扣，对吧？哎，那我应该这个方程我可以怎么练呢？他告诉我们是按照八折来进行出售的，那标价是 x 的话，实际售价是不是就应该是零点八 x， 对吧？哎，折扣来乘以这个标价就等于实际的售价，然后呢，减去进价，进价是二十四，对吧？啊，等于利润，利润，我刚才说了，他应该等于进价乘以这个利润率，对吧？乘以百分之十，是不是这个方程是不是就列好了？哎，解一下就行了啊，好，看一下最后的答案 写出来这个标价应该是啊，三十三元啊。好，第四题，由于换季啊，商场准备对某一个商品打折出售啊，如果按照原来售价的七五折出售，那么他亏损二十五元， 然后呢，如果是按照原来售价的九折出售，他会盈利二十，求的是这个商品原来的售价是多少？这个题啊，好像看起来跟前面的不太一样，对吧？哎，他给两种情况，七五折，亏损二十五，九折盈利二十。问原来的售价，我们还是先把原来的售价这个 啊，给他设过去数啊，设他为 x， 那这个等量关系我们应该怎样来找呢？按照原售价的七五折销售，他呢，亏损了二十五元，对吧？这亏损了二十五元是相对于谁来说的呀？是不是相对于成本价来说， 对吧？也就是说呢，如果我把这个售价按到七五折，那他是不是应该表示为零点七五乘以 x 啊，对吧？ 哎，这个是按原售价七五折出售，那他亏损了二十五元，这个价格如果亏损了二十五，你说他成本应该是多少？成本是不是应该用这个价格怎么样啊？加上二十五，这个是他的成本价，对吧？亏损二十五元，肯定按照成本价来算 好，那他成本价肯定是不变的，对吧？那这就是我们要找的等量关系啊，这个加上二十五是等于成本的，那反过来看，如果打九折的话，标价 打九折，是不是就应该是用零点九再乘以 x， 对吧？哎，如果打九折，他就卖出这么多钱，卖这么多钱呢，他又盈利了二十元，盈利二十元，是不是相当于他比成本多了二十，对吧？那我用这个价格减去二十，是不是也是成本的，对吧？整号的左右两边都表示 是成本价格，那成本价格肯定是不变的呀，是不是啊？这就是等待关系啊，我们把这个方程一解，解出来，这个 x 是不是就是他原来的售价了呀，对吧？ 好，这里呢，写的最后的结果应该是 d 选项啊，这个三百元，哎，也可以带回到花城当中检验一下。这个就用等量关系，是成本不变，对吧？哎，等号左右两边都表示成本。好，接下来第五题，将进价为十元的商品 提价百分之十后，然后呢，再六折销售。哎，求啊，这个商品的利润率为多少？哎，他求利润率，还记得利润率的公式吗？应该就利润除以谁啊？ 除以进价，对吧？哎，那进价我现在已经知道了，进价就是十嘛，对吧？哎，我先给他写上来啊，进价是十，我先把它放在这里，最后呢，还要乘以百分百，对吧？哎，这是那个公式，那上面要表示的谁呢？ 要表示的就是利润了，你这个利润应该怎么表示啊？是不是？哎，利润大家想一下，是不是应该等于售价减去进价呀， 对吧？哎，售价我现在暂时不管，减去进价，进价就十呗，这就可以写出来了，现在需要的是我把这个售价给他求出来，对吧？那售价又应该怎么求呢？是不是应该等于标价乘以折扣啊，对不对？哎，折扣是多少呢？折扣是六折，那是不是就乘以零点六啊？ 哎，这里我也可以写出来了，这折扣现在呢，我需要表示的就是什么呢？需要表示的是标价，对吧？哎，那标价我应该怎样表示呢？他告诉我们是用十元的进价，然后呢，提升了百分之百，这百分之百肯定是相对于十来说的， 对吧？那我是不是可以用十乘以一个谁啊？一加上百分之百，对吧？我是不是可以这样表示，哎，把这个写上一点， 对吧？哎，十乘以一加百分之百，这个呢，就是实际的一个标价，再乘以零点六是乘以这个打折的数，对吧？这就实际的售价，实际的售价减去成本价，然后呢，再这就是利润了啊，利润呢，再除以成本价乘以百分之百，他是不就是这个商品的利润率啊， 对吧？哎，那这个其实好像不是一个方程的题，这就直接可以算出来了，对吧？哎，这里呢，上下这个十啊，是都可以约掉的啊，然后呢，上面算出来应该就是二乘以 零点六，对吧？哎，二乘以零点六应该是等于一点二，一点二，这里约掉了，还剩个一，不要忘了，一点二减去一呢，应该是零点二，零点二呢，再乘以一个啊，百分之百，对吧？哎，所以呢，最后的答案，利润率应该就是 b 选项啊，百分之二十，好，这里呢， 其实这道题啊，为什么要单独拿出来给他说呢？其实他有一个啊，可以深入探讨的一个地方，他呢，告诉了我们进价是十元， 对吧？但是我们发现在实际计算时候，我们是不是把这个十给他消掉了，是不是？也就是说什么呢？这个商品的利润率啊，跟他的进价好像没有什么关系，大家看是不是这样的，我如果告诉你进价为 a 元， 把这个十换成是 a， 那上下这个 a 是不是也同样可以约掉了，是不是？哎，那这种情况，他的利润率仍然是百分之二十，或者呢？这道题干脆他不告诉你进价，他只是说将某种商品提价百分之百后，再六折销售， 问你这个利润率是多少？其实我们同样可以算出答案，也是百分之二十。方法呢，我就可以设计价为 a 啊，对吧？哎，设计价为 a 之后，我发现 a 都可以消掉，所以呢，跟他的进价没有关系。哎，这道题如果把它变形一下，说将一种商品提价百分之 改后再六折销售，求他的利润率，同样是这种方法，求来答案仍然是百分之二十。但是，如果这样改一下的话，这道题难度明显就提升了，对吧？哎，所以呢，这个这个地方大家可以理解一下啊。好，接下来第六题， 某商店以每件一百二十元的价格卖出两件衣服，这一百二是什么？实际的售价，对吧？哎，其中呢，一件盈利了百分之二十，另一件亏损了百分之二十，那么这个商店卖出这两件衣服，总共到底是 啊，这个赚了还是亏了？或者说不亏不赚，对吧？咱们也可以拿来一看，哎呀，第一件盈利百分之二十，第二件亏损百分之二十，这是不是正好抵消了呀？所以他肯定不亏不赚了，是不是？哎， 这俩其实就是一种想当然了，我们啊，还是要通过实际的计算来计算一下。那这道题问的是什么？问的其实就是他的利润的，对吧？我只要把他的利润给他求出来，利润如果是正的，他就是赚了，利润呢？如果 是负的，就说明他亏了，对吧？那利润等于什么呢？利润很明显，应该是等于实际的售价减去进价，对吧？哎，这是个公式，那我利用这个公式先把这个利润求出来呀，是不是？哎， 那售价等于多少我肯定知道了，因为一件呢，一百二十元，售价肯定是得二百四十元，两件他一共卖了二百四十块钱，那我现在想办法求出他的进价到底应该是多少啊？第一件盈利了百分之二十，我可以设盈利这个百分之二十，我就设他成本价进价啊，我设他的进价为 x 元。 好，那这个方程应该是怎么怎么来列呢？进价既然是 x， 然后呢，他盈利了百分之二十，那是不是我可以用一加上百分之二十，对吧？哎，这个是不是就应该等于他实际的售价应该得这个啊？那解出来呢？ x 应该 等一百的，也就是说第一件衣服他的成本价是一百元。好，那第二件亏损，这个他的成本应该多少呢？我不妨为了区分起见，我就设他的成本为八元啊。那既然他亏损了百分之二十，我是不是可以这样练，一减去百分之二十， 然后呢，乘以这个成本价格，哎，他呢，就等于一百二十，是不是可以这样列方程啊？哎，这里我可以求得歪的值的，应该是等于一百五十的，也就是说第二件衣服成本呢？是一百五十， 那他俩总的成本是多少啊？总的成本是不是二百五十啊，对不对？也就是说总的进价是二百五十元，那我用二百四十减去二百五十，最后是不是等于负十啊？也就是说这个利润呢，他是负十，哎，利润如果是负的，肯定说明他亏了呀，所以呢，亏损呢，就是十元。所以这道题啊，最后的答案是 a 选项 啊。哎，这种情况大家注意，不能想当然，以为他不亏不赚，人家确实是亏了十块钱。那对于这个方程，如果说大家理解起来有问题的话，我们也可以直接套那个公式， 这里应该怎么套呢？他说的是亏损了百分之二十，是吧？那我可以是不是表示为他的利润率就为负的百分之二十啊？我是不是这样表示也可以，这是利润率，对吧？ 利润率为负的百分之二十。那利润率实际上又等于什么呢？是不是等于利润除以成本呢？我既然已经设它的成本为歪了，对吧？哎，那我用 利润除以成本乘以百分之百，是不是应该等于利润率啊？那利润他亏损百分之二十，这里是不是可以写成是负的百分之二十，对吧？哎，那上面表示的应该是他的利润，那利润应该等于什么呢？等于实际的售价一百二十，对吧？然后呢，减去什么呀？减去成本价， 剪去歪，我是不是这个方程我其实也可以这样列，是不是？哎，实际我们观察这两个方程，其实它效果是一样的啊，大家呢，课后可以这两种方法，可以那个自己啊，都给他尝试一下啊，其实结果最后结果都是一样的。好，那这道题呢，就和大家一起研究到这里。好，最后一道题啊，某商品进价四百， 标价是六百，打折销售时他的利润率是百分之五，哎，他好像什么都告诉我们了，是吧？哎，最后求的什么？哎，他问的是打几折销售的，哎，求的是这个折扣问题。 好，我们正常思路，我们就设打孩子的折，这样可以吧？哎，我们设他打孩子折，那这个等量关系怎么找呢？很显然这个是跟利润率有关系的，对吧？哎，跟利润和利润率有关系的，那我们就用那个利润的那个公式就好了，利润他呢？等于这个啊，售价 点击进价，对吧？哎，我们用这个公式来试一下，首先他的售价应该多少呢？标价是六百 吧，然后呢，打折了，打了几折？不知道，我说他是 x 折，所以实际的售价是不是应该等于标价乘以这个折扣啊，对吧？哎，折扣，我这里不用乘号，写个点吧啊，哎，乘以这个折扣数 x， 然后再怎么办？再除以十啊，对吧？哎，除以十呢？我不写除号了啊，我这样给他写一下 x 会是，我可以这样写，对吧？这个表示的是实际的售价，实际的售价减去进价，进价是不是四百呀，对吧？哎，他呢就应该等于利润， 利润可以怎么表示？我利润也可以表示为这个进价乘以什么呀？乘以利润率啊，对吧？这是一个变形，进价乘以利润率，这个也等于利润，对吧？所以我用这个方法是不是就得到了一个方程， 这个只要把 x 值给他求出来，是不就是折扣数啊？是不是好值的话大家自己去求啊，给大家仔细看一下答案， 好在这啊，这个球的呢， x 值是等于七的，所以呢，是打七折销售，看我们整个解决过程是不是反复的利用了我们刚才所说的这个啊，打的销售类问题常见的一些公式啊，对吧，所以这些公式是非常重要的，哎，大家一定要熟练的在运用啊。好， 今天的题目就和大家一起练习到这里啊，下一次课呢，和大家一起来学习第五章的第四节应用一元一四方程，这个希望工程一眼。好，如果喜欢的话记得点下关注，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

跟我学完这道题，疯狂的水池管理员啊，将不再让你抓狂！好了，我们一起来看一个蓄水池单独开假管啊，二十个小时可以把这个水池注满，单独开一管呢？十六个小时可以注满， 单独开丙管怎么样？十个小时可以排空，所以我们能看出来，甲和乙是注水管，而丙是排水管。若从空池开始，先打开甲乙水管五小时，再打开丙水管，则还需要多少小时可以注满这个水池呢？ 像这个问题啊，我想问问大家，他这个水池的容积是多少立方米？告诉你了吗？并没有像这样的没有具体数值的题，我们应该把这一池水看成一个整体，设他为单位一 好了。那么这里如果把水池看成单位一，这一池水看成是一的话，那我想问问大家，甲，既然二十个小时 可以把这个一池水注满，那我想问问大家，甲每个小时可以注满这池水的几分之几呢？没错，他一定是二十分之一。那么同理，乙每个小时能注满这池水的十六分之一， 而丙呢，每个小时可以排空，或者叫排出这池水的十分之一。然后我们再看，他说让我们球还需要多少小时可注满，那我就设用 x 小时喽。 那么怎么列方程呢？前五个小时他做了什么事？没错，是先打开甲乙水管五小时，那么开甲和乙同时开的话，一个小时，这池水能增加多少？哎，是二十分之一加上十六分之一，这是同 时开甲乙一个小时水的增加量。那么同时开了几个小时啊？五个小时好了。然后后面他又做了什么事呢？他说再打开丙水管，大家想想这个时候甲乙关了吗？他没说对不对？他一定是甲乙还在开着，那么就是甲乙丙同时开， 同时开每个小时这个水池里的水会增加多少呢？大家注意，这是甲乙同开对吧？那么再打开乙怎么样？应该是减去十分之一， 因为丙啊，是排水的，甲乙是注水的对不对？那这是一个小时同开三管，那么打开了多少小时啊？我们已经设完了，设打开了 x 小时，对不对啊？我们后面写个 x， 那么这是前五个小时的注水总量，这是后面 x 个小时的注水总量， 最后两者怎么样啊？加在一起是不是就把这一池水注完了呀？那什么叫注完呢？什么叫注完？就是等于 一。然后我们来解一下这个方程，很多同学看到这样的方程啊，非常的苦恼，因为什么？因为这里有太多的分母，非常的难对付，对不对？通分起来非常的麻烦，那我们可以怎么样左右两边同时乘一个相同的数 来达到等式去分母的效果。那么大家说左右两边应该同时乘以什么呢？答案是所有分母的最小公倍数， 我们来观察二十、十六，还有十，他们的最小公倍数应该是什么呀？没错是八十，所以我们等号左右两边同时乘以八十，大家注意这个左边的八十乘给这两个，哎，小小整体的时候应该怎么样？八十是乘给五吗？当然 然不是，我们要区分模，要把八十乘在括号里面，八十乘在括号里面。好了，那么乘完八十之后，这个五不变，因为把八十乘在了括号的里面，第一项乘以八十等于四，第二项乘以八十呢，等于五 右侧哎，也是把八十乘在这个括号的里面，第一项乘以八十四，第二项乘以八十五，那么这个十分之一乘以八十，是 负八倍的 x， 最后等于右边，要不要乘以八十？必须得乘啊，这是等号，左右两边同时乘以相同的数，等号不变，那么这里就非常的好算了，四加五十九，五九四十五， 加上这里四加五十九，九减八十一，所以是一倍的 x 加上一个 x， 最后等于右侧的八十， x 呢，就等于八十，减去四十五等于三十五小时。那么这道题呢，就做完了，屏幕前的你学会了吗？