2026黄浦一模立体几何

大家好，今天我来讲一下二零二三年全国假卷的立体几何大题。通过这道大题的讲解，我其实想告诉大家一个道理啊，就是间隙法在立体几何大题中真的不是万能的，很多立体几何的大题，其实不能用间隙法或者用间隙法，它的计算量太大 来，真正聪明的同学啊，应该是立体几何，他的间隙的方法还有纯几何的方法都应该掌握，都应该灵活运用。我们看一下这道题，他说的是三棱柱中，这个三棱柱的话，他可不是直三棱柱，他这个侧棱是斜着的啊，这一看就能看出来， 然后呢，继续往后读，他说什么呢？他说的是 a a 一等于二，就是侧棱长啊， a a 一， b b 一， c c 一其实都等于二。他告诉你谁垂直于底面呢？他说的是 a、 e、 c 这样一个侧面的面对角线， 它是垂直于 a、 b、 c 这样一个底面的，它垂直啊，并且告诉你这个角，也就是说 a c 和 b c 夹角是九十度吧，也就是说什么呢？ a e、 c a c、 b c 这三条线两两之间是互相垂直的，可能到这之后的话，很多人就直接 x 轴、 y 轴、 z 轴写上了。这第一问肯定不是这样来正的啊，根本就没有必要去间隙，不是用间隙法来做的。那么我们看一下 它最后还有一个条件， a 一到平面，它的距离是一。我呢，反正读完题之后，我就看到了一个一，一个二， 反正再加上两个垂直呗。好，一二垂直，那你能不能想到在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半这样一个一比二的道理啊？肯定能吧，那么我们来看一下 这道题啊，第一问的话，真的特别简单，我们就找重点啊，斜边重点等于斜边一半，哪个平面呢？我们把这个侧面啊，也就是 a e a c c e 这样一个平面呢，他这个侧面画出来他的平面图，画完这个平面之后的话，首先垂直底面，不用多说了吧， 既然你这个 a e c 是垂直于整个底面 a b c 的，它肯定垂直于 a c 啊，那进而也垂直于 a e c e 啊，是不是？好了，肯定这个垂直是好得出来的，得完这个垂直之后的话，为什么要找终点呢？首先斜边中点的一些密码，这是二吧， 这是一吧，点 o 在哪啊？你要注意啊，在这样一个立体几何的原图中，这个点 o 它指的是 c c 一的终点，那么点 o 它记在 c c 一上面，那肯定就是在平面 b c c b 以上的。好了，不用多说了，看好了啊，因为什么我们分析一下这道题，很容易证明呢？这个 a e c 是垂直于 a e c e 的， 并且呢，再来看这个 a e o 斜边中线等于斜边一半吧，它就是斜边 c c e 的一半，等于一啊， 那么既然点 o， 他是在什么？他是在平面上的，我知道了，其实你看了啊，因为 a 一点到，请告诉我，在初中阶段学过这样一个定理，没有点到直线，除以现在最短吧，那高中的话，我们就知道了，点到什么？ 点到平面，他其实也是垂线段最短的，最短最短，最，就是唯一的意思啊，就是那个垂足只有一个的意思， 其实那个点 o， 它就是点 a 一到平面，哪个平面我写清楚啊？到平面 b c c 一 b 一的这样一个垂组，那个点 o 就是垂组，懂了吧？它的距离 我写清楚了，距离为一，所以再加上什么，所以我就知道了呀，其实 aeo 它就是垂直于整个平面 b c c 一 b 一的，剩下不用多说了吧。然后呢，也很容易证明的一点是什么？也很容易证明的一点是，首先我们可以通过证明谁通过证明这个 b c 垂直于整个 侧面 a c c 一 a 一，然后进而证明两个平面，也就是说平面 a c c 一 a 一，它是垂直于我们的 目标平面 bccebe 的。为什么呢？原因很简单，首先我已经分析过了，两两之间互相垂直吧，既然他这样一个 bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以就垂直于整个平面，进而呢，就得出来这样一个面面垂直了，那得出来面面垂直的话，你说这两个平面 它的胶线是谁啊？这肉眼可见的嘛。胶线，两个垂直，平面的胶线就是它垂直于胶线则垂直，平面，垂直于平面则垂直于它俩的胶线吧，这是一个定力点，所以其实 a u 它是垂直于整个 c c e 这样一个胶线的。 那既然证明完这一条的话，所以不用多说了吧。点 o 既是垂直的，它也是终点，所以 a u 是什么？是中垂线呀？中垂线它的性质定理是什么？中垂线上的点到 线段，两个端点距离相等，所以它这个 a e c 等于什么？就等于 a e c e 啊，那 a e c e 显然是等于 a c 的，不就证明完了，就这么简单， 懂了吧？点到平面垂线呢，最大它的距离就是一，这道题给的太明显了，一个二，一个一，加上两个垂直，肯定是要想直角三角形中斜边中线等于斜边一半这样一个定律的。我们继续来看第二问啊。第二问的话，如果你要选择用间隙的方法，不是说不能做，我说一下 间隙的方法有什么缺点啊？间隙的方法的话，咱们根据第一问这个图形的话，很容易判断这个 a e c 和 a c 它的距离的话，肯定是等于根号二的啊，这个都很容易算，也就是说 a 一点，还有 a 点我们坐标呢，都是可以写出来的， 然后包括这个 a 一点，我们可以写什么？那 z 轴当然是零，逗号零，根号二了，但是 你想写 b 点吧， b 点的坐标你得假设了，只能假设零多少 t 零，你还得把这个 t 求出来。根据线与线的这样一个距离， 是不是还得做辅助线，比如说 b 点啊，做了一个垂直，比如说垂直于他，然后 bh 的长度是等于二的，然后再进而用什么用 啊？要么是点臂到向量的距离公式，要么就是根据平面向量他这样一个投影的公式，当然 他这个空间下来也可以用投影公式啊。所以说这道题的话，剩下的计算量会很大，然后再把这个 t 具体的话是等于根号三算出来。这个咱不推荐这种方法，你看看如果这道题 用纯几何的方法，他有多简单啊。看了，首先这道题的话，有一点很明确，你看刚才我们在证明的时候，这个 aeo 是不是垂直于整个平面点好， 这道题的话，我连接一下 a b 一，为什么连接这个 a b 一呢？道理很简单，因为你求的就是 a b 一和整个目标平面的它夹角的正线值。这个平面的话不用多说了吧，我就擦掉了啊，平面是在这样一个位置的，在后边， 那么看线面角，它的平面角需要找出来。其实线面角它得有三个要素。首先第一个要素就是 就是斜足，斜足就指的是斜线 a b 一和平面的焦点，斜足当然是 b 点了，不用多说，斜点的话是我发明的这样一个名词，其实就是斜线上的异于斜足的一个点，那就写成 a 点， 没他有这样一个点过， a 点还得做出些什么，他其实缺少了。第三个要素，缺少了垂足，对吧？比如说我们做 am 是垂直于整个平面哦，所以当你想到这一点的时候，我觉得辅助线其实就很明确了。首先第一条辅助线我先告诉你啊，我们只需要做 am 怎么样？ am 是平行于 d 问中的 aeo 的，他俩之间是平行的呀，再加上别的平行交臂啊。知道了，那有了这样一个平行之后的话，再加上这个 aae 是平行于 cce 的，肯定很容易出现一个平行字边形吧。咱们写上啊， 这个平行四边形呢，就是 a m o a e 能得出来，那根据平行四边形结论的话，是不是很容易就得出来 a m 的长度了呀？它和 a u 的长度其实都是等于一的， 对不对？那做完这个之后的话，效果是什么？你为什么要做这个 a m 平行于它呢？道理很简单，因为在第一文中我们已经说明了 a e o， 它就是 下面垂直的那样一条垂线，它是垂直于整个目标平面 b c c 一 b 一的。所以既然平行的话，你这个 a m 是不是也垂直于整个平面 b c c 一 b 一啊？它想告诉你的就是说 m 点， 他就是线面垂直的这样一个垂足呀。得出这个垂足来之后，你看线面角的三要素都有了啊， a m 是整个平面 b c c e b 一他的垂足吧，点臂是斜足，他是，哦，连接起来我知道了，如果我再说的明 这些，其实就是这么的回事，这是 a 点，这是 m 点，这是 b 一点，那这个 am 等于一。已经算出来了啊，它的长度等于一，那么其实我们只需要算一下 bm 或者说啊 ab 的长度就行了。 这道题我们选择算一下 b、 e、 m 的长度，是不是就把这个正弦值算出来了呀？因为这道题，他这个线面角的平面角其实就是垂啊，我写出来他这个线面角的平面角，其实就是让我们求哪个角，求这个角 a b e m 它的正弦值，显然它的正弦值 a b e m 是等于谁比上谁了，你就告诉我，其实就是等于刚才我画的那样一个直角三角形 a m b e 中的它这样一个 a m 的长度，再比上谁的长度，再比上 a、 b、 e 的长度， a b e 长度的话，我觉得不太好算啊， a b 是斜边，我们就用勾股定理来算吧， a m 显然等于一， 它下边这个斜边。关于这个 a b 一的话，我们就用这个 a m 的长度的平方，再加上 b e m 的平方。所以这道题其实我们只需要算，是到现在为止我分析清楚了，只需要算 b e m 的长度啊，你既然要算 b e m 的长度的话，是不是要涉及到勾股定理啊？ b e m。 好，现在看了 b e m 可以放，把它放到哪个直角三角形中看了， 这是不是一个直角三角形？我们分析一下，肯定是直角三角形的吗？其实后边的话，他这个平面你看看好了啊， bc 是不是垂直的？是啊，垂直于 cce 啊，所以后边这样一个平面，他其实是一个矩形的， 对吧？这个很容易得嘛，根据九十度，根据垂直就可以得出来矩形。矩形的话来看，是不是需要先求一下 b 一 c 一的长度，再求一下下边？我觉得不用多求了吧，肯定很容易求出来的啊。我们容易得到的是， 其实有一个全等的，谁呢？三角形 a m c， 它是全等于三角形 a e o c e 的，你这个 c e o 的长度等于一点二，是终点吗？它的长度也是一，所以下面这个 c m 的长度， 它是不是就等于这个 c e o 的长度等于一？它都是一啊，所以我这个 c e m 的长度就等于一加一加一等于三就算出来了。关键在于我这个 b 一 c 一是多长？ b 一 c 一。好，第二条辅助线看好了啊，第二条辅助线要干嘛呀？要找一个 b e c e 的终点，因为点 o 已经是终点了，点 n 也也是终点那 o n 的长度，哎，能理解吧。看了啊，千万不要着急，这道题首先看好了。 嗯哪呢，我要换一种颜色吧，千万不要混了看。首先， c c e 它是怎么样的？它是垂直于 a e o 的吧。第一问已经解决过了， 并且呢，根据矩形的特性，这个 c c e， 它也是垂直于这个 o n 的吧？你垂直 c c e， 垂直于整个平面里头两条相照直线，它不就垂直于整个平面 a e、 o n 吗？ 所以进而就推出来，这个 c c、 e 是垂直于整个平面里头的最后一条线。垂直于谁？垂直于 a e n？ 当你求完垂直于 a e n 之后的话，你这个 a、 e、 n 是不是垂直于 b b e？ 来看看 看啊，新增那些条件，括号二，增加了个什么条件？他说这个 aae 和 bb 这两条平行线之间距离就是二，那不就是点 ae 到 bbe 的距离，这个 aen 不就是那个距离等于二吗？对吧？根据已知条件，这个 a、 e、 n 的长度，根据垂直，他就是两个平行线 a a 一和 b b 的距离等于二。好了，剩下呢，不用多说了吧，所以能算了啊。好，我把剩下的东西呢，该擦的都擦掉来。 a e o 等于多少吧？等于一吧。然后呢，这个 a e n 等于多少？等于二吧。那你说这个 o n 等于多长呢？ o n 肯定是等于二的平方减去一的平方。勾股定理啊，它是等于根号三的， o n 等于根号三，所以说 b 一 c 一其实也是根号三，所以 记得很清楚啦， b e m， 它的长度是等于根号下 b e c e 的平方，再加上 c e m 的平方， b e c e 的话，平方就是三，这个 c e、 m 的平方就是九，对吧？三的平方等于九，等于根号十二二倍根号三呀。 那么我们要算的最终的结论不是就有了吗？刚才在这样一个位置我已经写过了这个三角 a b e m， 它是等于谁比上谁的，它就是等于这样一个直角边 a m 比上斜边 a b 一的其实也好算啊。那 a m 的话就是一它的平方啊。根据勾股定理，这个 a b 一，它是等于 a m 的平方，其实就是一的平方，再加上谁再加上这个 b e m 的平方吧。那显示等 等于十二点，最终结果就是根号下一加十二，根号十三分之一，也就是说十三分之根号十三就解决完了。所以这道题的话，其实我主推的方法是什么？就是几何的方法。当然，如果你真的要用间隙的方法也能算啊。也不是说不能算，那么真正 聪明的同学是立体几何，间隙的方法也得掌握。还有立体几何纯几何的方法也得掌握清楚了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！