2023天津高考数学立体几何答案

十七题三轮台 a， b， c， a， b， c 一、若 a， a， e 垂直于平面 a， b， c， a， b 垂直于 a， c， a， b 等于 a， c， a， b 等于 a， c 等于 a， 一都是二， a， e， c 一等于一 m， n 分别为 b， c 和 a、 b， b 的终点。我们尽量用几何方法给大家证明一下。我们看第一样，它让我们求证是 a， e， n 平行于平面 c， e m a 这个平面，它如果让我们正线面平行，我们首先想到的就是线线平行吗？如果这 这个线他平行于另一个平面里面的一条线，他就可以证明了。那我们通过观察就可以看到这个 aen 啊，他好像是平行 cem 的，我们看看能不能证明。 我们连接 m n， 因为 m n 分别为 b， c 和 a b 的终点，那么 m n 啊，它是平行且等于二分之一的 a， c 的， 然后 a， e， c， e 呢，它还是平行也等于二分之一的 a， c 的，所以 m n 平行于 a， e， c e， 这样就可以证明 a， e， n， 它是平移 c， e m 的，这样的话呢，就直接给它正出来了。第一问，就是连接 m n， 因为 m， n 啊，分别为 b， c， b， a 终点，所以 mn 平行。切，等于二分之一的 ac， 又因为 aece 平行也等于二分之一的 ac 啊， 所以啊， m n 啊，平行且等于 a， e， c， e， 所以 a， e， n 平行于 c， e m， 所以 a， e， n 平行于平面 c， e m a 这样就给它正出来了。下面我们来看一下 第二问啊。第二问，他让我们求平面 c e m a 和平面 a， c， c， e， a e 所成的夹角的余弦， 就是求这个二面角吗？求二面角的话，我们想到的就是将二面角给他，求出二面角的平面角来，给他转换一下，我们呀，就直接根据体积相等得了。我们设这个二面角啊， we set 我们看啊， z m 的 a c e c， 它是不等于三分之一的底面积 s 三角形 a c c 一乘以高。高怎么求呢？高是不是就是点 m 到平面 a c c 一的距离啊？ 点 m 到平面 a c c 一的距离。我们在三角形 a m c 一中啊，它以 a c 一为底，那它的高呢？它的高是不是就是二倍的 s 三角形 a m c 一除以 a c 一乘以三 c， 它这是不是就它的高？这个三轮锥的高就是点 a m 到平面 a c c 一的距离。 因为我们可以就是大致画一下嘛，点 m 到平面 a c c 一的距离，然后和点 m 到直线 a c 一的距离。这两条线所乘的角啊和 c 地毯，它是护鱼的，过 m 做 m e 垂直于 ac， 它就垂直于这个平面了吗？ 然后他垂直于这个平面，同样的，我做 mf， 垂直于 ace 连接 ef。 这个三棱锥 macce 的高啊，就是 me me 呢，他就是 mf 啊， 乘以这个三一 c， 它的值。三一 c， 它那个 m e 呢？就在三角形 a m c 一中啊，就是二分之一的 a c 一乘以 m f， 它就三角形的面积，所以就得到 呃 v m a c c 一的体积，同样呢，它的体积啊，它是要等于 v 的。以 c 一为顶，点 a c m 的体积， 它要等于这个体积的，那这个体积是多少呢？它就等于三分之一的 a a 一乘以 s 三角形啊， a m c 这样的话呢， sine c， 它就等于最后这两个式子相等，给它化减就是二倍的 s 三角形 a m c 一乘以 s 三角形 a， c c e 分之 a c e 乘以 a a e， 再乘以 s 三角形 a m c， 它就等于呢？ a c 一，我们是可以给它求出来的， a c 一啊，等于根号五，然后 a a 一呢，等于二。 s 三角形 a m c， 它就等于二分之一的底乘高乘以二 乘以一，它就等于一。 s 三角形 a m c 一，它就等于二分之三。 a c c 一，它就等于二分之一的 底乘高二分之一乘以二乘以二，它就等于二。所以最后上上面这个式子的值啊。 a m c 一乘以 a c 一，根号五乘以 a 一二比上二乘以 a m c a m c 一，二分之三乘以 a c c 一二，它就等于 二。消掉二，消掉三分之根号五，所以靠山是谁的 等于三分之二就求出来了。下面我们看第三位，第三位他让我们求点， c 到平面 c e m a 的距离， 点到平面的距离啊，我们同样可以根据体积设它的距离为 h v 的以 c 为顶点的 a m c c 一，他是不是就等于 v 的以 c 一为顶点的 a c m。 就根据第二问的结论，我们直接就给他求出来了这第二问， v 的 c 一的 a c m 已经写出来过了，展开一下，第一个他就是三分之一的 h 乘以 s 三角形 a m c 一，它就等于三分之一的以 c 一为顶点的 a 一 乘以 s 三角形 a m c。 所以解的 h， 它就等于 a a 一乘以 s 三角形 a m c 比上 s 三角形啊， a m c 一，它就等于 a 一是二。 s 三角形 a m c 呢，是一二乘一，比上一个 s 三角形 a m c 一呢，是二分之三，所以它的距离呢，是三分之四， 也就给他求出来。这题我们用体积转换的方法是非常方便求解的，如果不一这种等体积转换，我们如果建立坐标系的话，求二面角啊，点到平面的距离啊，也是都可以给他求出来的。

大家好，我是数学博士能力者啊，我们的今年的高考题呢已经出炉了。 然后呢，今天我首先来讲解一下这次的理科立即几何题啊，因为大家普遍反映今年的立即几何题呢，不太好做啊。然后今天那道题以后呢，我也看到了，这道题目考察的呢，比较全面 啊，一共有三问，第一问呢，是一个线面平行。第二问呢，面面垂直。第三问呢，考察了一个二面角，所以基本上呢，立体几何里面的重点内容呢，全部都考到了。 而且呢，还有一个问题，就是这个图呢，它不是很好识别。好，首先我们来读一下条件啊，在三棱锥中角， a、 b、 c 是九十度，也就 就说底面是一个直角三角形， a b 十二， b， c 是二倍，根号二，然后 p、 b 和 p c 长度相等，都是根号六， a、 d 的长度是根号五倍的 o、 d， 然后 b、 f 和 a、 o 是垂直的， o、 d、 e 分别是 b、 c、 b、 p 和 a c 的终点。 好了，所以这就是题目给的所有条件。好。第一问呢，求证的是 e、 f 平行于平面 a、 o、 d。 其实第一问呢，还是比较容易找条件的啊，大家其实能观察到 e、 f 和 a、 o、 d 里面的谁平行呢？这很明显吗，和 o d 是平行的，所以我们只需要正一下 e、 f 跟 o d 平行就可以了。然后又因为 o d、 e 都是终点，所以大家想一想，作为中位线， o d 和 p c 本身就是平行的， 那 e、 f 只要也平行于 p c， 这个问题不就解决了吗？那再换句话说，我们这道题，其实本质上要正的东西就变成了 f 是 a、 c 的终点，我只要正出来，这个问题就解决了。 所以呢，通过分析，大家就要明白我们要挣的是什么啊，我们最终要挣的东西就是 f 是 a c 的终点。好，那这个事怎么挣呢？ 其实大家就会发现，这道题已经变成了一个平面结合问题啊，他跟立体结合也没有什么关系了。好，那是这样啊，我们直接画出底面的这个平面图。 好，我们直接画出底面的平面图啊， a b c， 角 b 呢，是九十度，然后呢， o 是 b c 的终点，连接 a o， 接下来呢，我过 b 做 a o 的垂线 哎，跟 a c 交于 f， ok， 那现在呢，我假设这个点是 m 啊，这个焦点是 m。 好了，这个图已经画完了。 所以说呢，我们现在来观察这个题怎么做啊？其实就是一个平面几何的问题，非常简单，这个边是二， b c 是二倍，根号二啊，所以这两段都是根号二。所以其实大家观察一下啊， a b 比上 b o， a b 比上 b o 是不是刚好是根号二？而 b c 比上 a b 呢，是不是也是根号二 a 比例相等，然后它俩呢，中间那个角 b 是九十度。所以我们是不是得到了一件事啊，三角形 a b o， 它是相似于三角形 c b a 的 哎， a b o 和 c b a 两个三角形是相似的，那么从相似我们就得出来了一个结论啊，角 b a o 是等于角 c， 呃， a c b， 哎， b a o 和 a c b 这两个角是相等的相字样行吗？对应角相等好了，然后我们接着往下看啊，又，因为 b m 是不是垂直于 a o 呀？这是题目给的对吧？ b f 垂直于 a o 嘛，所以这个 b m 是直角三角形斜边的中线，对吧？好的，那我们就很容易得到了。所以角 b a o 还等于谁呢？ 是不是等于叫 o b m 哎， o b m 这个角。 好的，那综上我们就知道了啊，角 b a o 同时等于这两个角，所以角 a c b 等于角 o b m。 看 a c b 和 o b m 这两个角相等，所以我们就知道了，这个三角形 b c f 就是个等腰三角形啊，对吧，因此 b f 等于 c f， 看懂了吧， b f 就等于 c f 了。那么同理，那底下的这个 b f 和这个 a f 是不是肯定也是相等的直角三角形嘛？大家都知道，这叫斜边的中线，是不是等于斜边的一半 啊？好了，所以呢，我们就正出来了啊，所以 f 为 a c 重点， ok， 我们就正出来了。好了，我们刚说了， f 如果是 a c 终点，这个题就已经正完了啊，因为 e f 是中位线， o d 也是中位线，因此呢，都与 b c p c 是平行的， 这道题就整完了。所以第一问呢，其实本质上就是一个平面结合问题啊，没有大家想的那么复杂。 好，那么接下来我们来说一下第二步呢，其实 第一问，我们这样顺利正完了以后呢？第二问对我们来说也就非常简单了啊。第二问，利用第一问的结论啊，直接去写就可以了。 你看第二问，要正的是 ado 这个面和 bef 这个面面垂直，那大家知道，面面垂直本质上找的其实就是一个线面垂直，对吧？而哪个线呢，也很容易看啊，因为题目已经给了个条件了， bf 垂直于 ao 嘛， 所以大家可能能看出来， ao 应该就是我们要找的那条线，因为 bf 看起来不太像，是垂直于 ado 的样子，对吧？而 ao 呢，就比较像， 所以我们只需要正一下 a o 垂直于两条相交直线，但是大家发现没有， a o 垂直， b f 不用正，题目给了， 所以我们再正一个， a o 垂直谁呢？哎，大家就发现， a o 还垂直于， 其实还垂直于 e f， 因为我们第一问，刚刚用过的是什么呢？ e f 跟 d o 是平行的，大家记得吧？第一问刚刚正过啊，所以 a o 只要垂直于 d o， 这个问题不就解决了吗？ 好，所以呢，我们直接写一下吧，来，题目给的条件啊， a d 等于根号五倍的 d o， 而 d o 呢，是 p c 的一半，对吧？那就是根号五乘二分之一 p c 对了吧，也就是二分之根号三十啊，这是 a d 的长度， o d 呢，是二分之根号六， 对吧？然后呢， a o 呢，是根号六， a o 呢？用勾股定理可以算出来啊，角 b 是直角，对吧？所以这三个边呢，刚好形成了勾股定理啊， d o 方加上 a o 方，哎，刚好等于 a d 的平方哎，所以我们就得到了，什么呢？ d o 是垂直于 a o 的， 对吧？又因为什么呢？ d o 平行于 e f， 这是第一文刚正过答，所以呢， a o 就垂直于 e f 了， 对吧？又因为 a o 呢，还垂直于 b f， 这是题目给的啊，好了，所以正完了， a o 就垂直于平面， b e f 对吧？ a o 呢，最终就垂，呃，最终面面 垂直也就挣出来了啊，最后一步就不写了啊。所以呢，其实有了第一问打底之后，第二问其实也就比较好挣了啊。好，那前两问挣完以后呢，我们先来看一下第三问啊， 第三问呢，这个题确实是比较复杂一些啊，那么首先呢，我先给大家用最传统的方法讲一遍啊，就是因为大家大部分同学拿到这个题以后，第一反应肯定是间隙，这是现在高中生的一个，对吧？通用的做法啊，大家一般情况下都是先间隙的， 所以这道题如果我们见细的话，应该去怎么做呢？好，很多人发现角 b 是九十度，对吧？那见细呢，没啥好说的啊，我们直接用 b a 做 x 轴，用 b c 做 y 轴，然后过 b 点 画一个垂直，然后当做 z 轴。哎，这是一个非常传统的间隙方法，但大家就会发现，这样间隙只有一个最大的问题，就是屁点的坐标我们很难写出来。 然后很多同学会默认说，哎，后面这个面好像跟底面垂直是吧？嗯，然后就用垂直间隙了，那这个题就错了啊，他后面并不垂直啊。好，那这个 p 点坐标应该怎么求呢？哎，我给大家讲解一下这个问题啊，其实 p 点的坐标呢，应该是用这样的一个方法来完成的。 首先我们在三角形啊，我们在三角形 a、 b、 p 中， 这个这边这个侧面上啊，我们用一下余弦定理。来，我们用一下余弦定理啊， 看 cosine 角， a、 b、 p 就是 cosine 这个角啊。 好，首先我们在小三角形 a、 b、 d 里边写一下这个预线定理，也就是 a b 方加 b d 方减 a d 方，然后呢，比上二倍的 a b 乘 b d， 然后这个角的余弦，我在大三角形 a、 b p 里边再写一遍啊， a b 方加 b p 方减去 a p 方， 然后呢，比上二倍的 a b 乘 b p， 对吧？这两个是同一个角的余弦，它们俩是相等的， 然后呢，他就发现这个式子里面所有的边，我们其实都知道，除了 a p 之外啊，因此呢，我们其实只需要把 a p 写一下就可以了， 对吧？从这个式子里边呢，我们带数字把 a p 解出来就好了，所以从这个方式子里面呢，我们解一下 a p 啊， 好，这个 a p 呢，解出来以后是什么呢？是根号十四啊，因为其他所有的编的都是一致的啊。好了，那有了 a p 之后呢？ 来，那接下来我们写一下已知点的坐标， a 点是二零零，对吧？ c 点呢是二呃，零，二倍跟二零， o 点是零 跟二零 f 呢，是一跟二零。底面上这几个点都比较好写啊。好，然后呢，我们设 p 点的坐标是 x、 y、 z， 那么根据我们刚刚求出来的 p a 是根是四，对吧？ p b 和 p c 呢，都是根号六，我们就可以列出三个方程， 就直接用距离公式列三个方程啊，你比如说 p b 就是 p 点到零零零的距离啊， x 方加 y 方加 z 方等于六， 对吧？ p a 呢， x 减二的平方加 y 方加 z 方等于十四， p c 呢， x 方加上一个 y 减二倍跟二的平方加 z 方也等于六，看懂了吧，三个方程，三个位置量，我们就可以求出 p 点的坐标了，对吧？这个方法虽然有点麻烦啊，但是呢，它一定是可以做的啊，一定是可以做的， 那对这个方程组呢，很多人就说这这好麻烦啊，其实呢，这个方程组并不难解啊，我们两两做差之后，平方一定都没有了， 听懂了吧，哎，平方一定都没有两两座差，会得到三个方程，就是三元一次方程组。哎，那这个时候呢，我们只要去求解就好了啊， p 点的坐标呢，是负一根号二 更好散啊，这是最后的一个答案。好，那 p 点出来了呢，其他的就很好写了，你比如说 d 点坐标，那就是 p 和 op 和 b 的终点， 负二分之一，二分之根二和二分之根号三。好了，所以点的坐标都有了之后，那这个二面角就非常好求了啊，然后呢，我们只需要求一下这个面 o、 d、 a 的发销量就可以了， 因为底面的发香量 o， a、 c 是不用写的，对吧？底面的发香量我们直接取 z 轴就可以了啊，让我们求一下 o d、 a 的发香量啊，然后呢， 直接求一下二面角的余弦值就好了。好吧，所以呢，这道题呢，用间隙的方法呢，是可以做的啊，只不过呢，他这个 p 点的坐标比较难写一些啊。好，我把最后的答案写一下啊， 里面的发项量呢，就是零零一啊，然后呢， o， a、 d 的发项量呢，就是一跟二跟三，因此呢，我们最终得到的 cosinc， 它呢是二分之根号二 啊，这是用这两个香料求出来的啊，但实际上大家能看出来，这个 sata 其实应该是个钝角，对吧，所以最终呢，我们求的二面角应该是一百三十五度啊， 所以这是这个题的一个最传统的做法啊，就是键坐标系。好，那我还想说另外两个方法啊， 其实我们的二面角啊，本身有一个比较简单的方法啊，就是找他的平面角，二面角的平面角就是一个纯几何的方法了啊。你比如这道题的话呢，其实我们的经过 第一问啊，已经证明了一个事，叫什么呢？叫做 d o， 它是垂直于 a o 的，对吧？这个 d o 我们刚用过了啊，那 d o 垂直于 a o 的话呢？说明一个事啊， 说明什么呢？说明这个二面角的棱 a o， 对吧？ d o 是不是已经垂直于它了？ 所以呢，我们找二面角的平面角，就找棱的两根垂线就可以了，因此我现在在底面上再找一条线，垂直于 ao 就可以了， 对吧？而这个线呢，非常好找，因为题目已经说了， b f 垂直 a o， 是吧？所以呢，我们找一下 f c 的终点 h 连接 o h 啊，然后呢，我们再连接 d h， 为什么呢？因为 o h， 你看中位线平行于 b f， 对吧？所以 o h 就垂直于 a o 了，对吧？这个 o h 也垂直于 a o 啊， 看懂了吧？哎，那这样的话呢，我们就得到了什么角？ d o h 即为二面角，对吧？这个二面角的平面角， 哎，角 d o h 就是这个二面角的平面角。好，那我们现在下来的问题就是把这个角求出来就好了，对吧？把这个角求出来就好了。然后呢，这个怎么求呢？因为我们知道的 d o 的长度已经知道了， 叫二分之根号六，对吧？而 o h 呢？呃，它也可以知道它是我们 b f 的一半，对吧？哎，也就是谁呢？也就是二分之根号三啊，这个其实已经也已经知道了，最麻烦的是个 d h 啊，这个 d h 要怎么求呢？ 好，我们来说一下这个问题啊，好，我们把上面这个 b e 和 a d 的交点呢，设成 n 点，然后我们连接一下 n 和 f， 对吧？哎，这个线是关键啊，把它连起来，连接了以后呢，其实大家就发现一个问题啊，就是 n 为三角形 a b p 的重心，所以呢，我们就知道了，这个 a n 呢，它是二倍的 n d， 对吧？ a n 是二倍的 n d， 然后呢，底下呢， a f 是不是本来就是二倍的 f h？ 因为我刚 h 找的是终点，对吧？ 哎，就是一终点的终点，四等分点，是吧？哎，它也是二比一的关系，所以我们就得到了一件事，叫 n f 呢，它其实平行于 d h， 对吧？ n f 和 d h 是平行的啊，而且呢，我们还知道一件事儿啊，就是这个 d h 的长度呢，它其实是二分之三倍的 n f， 好的，那这个 n f 怎么求呢？哎，这也是这个题的一个关键点啊， n f 呢，这样乍看起来确实也不是很好求，是吧？但是呢，我们去可以去观察一下这个三角形啊，三角形 b e f， 那 b e f 其中呢，这个三角形 b e f 中啊，首先呢，这个 b f 是一致的， 根号三，是吧？然后 e f 是一致的，它是二分之，根号六，对了吧？好，然后呢，这个 b e 怎么办呢？其实大家发现 b e 呢，我们跟那个前面的那个 就是这个 p a 一样啊，我们其实应该用余弦定理，可以把它算出来，因为 b e 呢，是这个三角形 a b p 的一个中线， 他三边都知道的话，求中线的长，我们是要用到余弦定理的啊，对吧？所以这个余弦定理我就不写了，经过余弦定理的计算呢，发现 b e 呢，也是二分之根号六 哎，所以我们就发现一件事啊，这个三角形 b e f 是个等腰直角三角形，对吧，也就是 b e 是垂直于 e f 的 啊，这个地方是个直角啊。好的，所以呢，那这个 f n f 呢，其实就知道了，可以用勾股定理直接求出来了，懂了吧，那这个 n f 呢，就是三分之根号十五啊，是可以直接求出来的。 好了，那 n f 知道了以后呢，那 d h 其实也都知道 d h 等于二分之三倍的它嘛，那也就是二分之根号十五 好了，所以呢，大家会发现，这个 d h o 这个三角形三边我全都知道了，因此直接用余弦定力求一下这个 d o h 就可以了， 对吧，三遍都知道啊，我们直接写就好了。好，那么接下来的步骤我就不写了啊，结果是一样的，算出来就是负的二分之根号二啊，一百三十五度。 所以这个方法呢，是比较传统的用平面角的方法去解答的。这个立体结合题啊，其实我还是比较推荐这个方法的，大家要多思考立体图形本质，而不是说哪道题就盲目的见系，因为有些题现在的系确实不是很好见 好。那么这道题呢，其实还有最后一种方法啊，这种方法其实我个人觉得比前面两个方法都要简单一些， 因为你看，我们刚说了，间隙不是很好间，这个方法呢，虽然看起来简单，但是里面有些边的长度也不是很好求，是需要用到预线定里的啊。好，那我们来看一下 最后一种方法啊，好，这个方法可能比较新一些啊，很多同学没有见过。那么首先呢，我们刚刚已经给大家解释过了啊，这个 b f 垂直于 a o， 而 d o 呢，也垂直于 a o， 这两个事都是已经知道了，对吧？ b f 这个是题目给的， d o 是我们刚刚证明 好的，那既然这两个线都和棱垂直，那大家看一下 d o 呢，在这个面 a d o 里面，对吧？ b f 呢，就在底面里面，所以呢， 大家思考一个问题，那 b f 与 d o 是不是所乘的角，这两个线所乘的角啊？是不是 g 为 二面角的平面角？ d a o c 的平面角没问题了吧？就虽然说这两个角呢，其实它这两个线并不挨着它一面之线啊，但是它俩所乘的角其实就是我们要的，是吧，二面角的平面角， 听懂了吧？好，那我们现在直接设该角 v c 塔啊，那我们就引入这样一个方法啊，我们直接用 b f 点成 o d， 大家想一想，两个相量的数量积是不是等于的是这两个相量的摩长， 再乘以夹角的余线，这个没问题，这是数量级的公式，对吧？ 而 b f 和 o d 的长度我们都知道，是吧？带一下啊，跟三乘二分之跟六倍的 call 三 in c 塔，对吧？也就是二分之三倍跟二 call 三 in c 塔。 所以大家现在想个问题，如果这个数量机我能从别的方法把它求出来，那我是不是直接从这里就可以解除 call c a c 它了？好，所以我们现在想办法再从另一个角度去求一下这个数量机啊， 好，那 b f 乘 o d 还可以怎么求呢？来，我们接下来就是平面销量问题了啊，好，我把 b f 看， b f 是底面的中线，所以把 b f 拆成二分之一倍的 o a 啊，不是 o a， 应该是 d b a 啊， b a 加 b c 是不是乘 o d， 对吧？好，那接下来呢，再拆啊，这个 b a 是谁呢？ b a， 我直接拆成 o a 减 o b， 你看，我直接跟 o 挂上钩， 那这个 b c 呢？ b c， 大家就会发现它刚好是负二倍的 o b。 好了，全部转化成 o a o b 了啊，然后继续往下写，那就是二分之一倍的 o a 减三， o b 再乘 o d。 好，那接下来我把它乘开啊，二分之一的 o a 乘 o d 减二分之三的 o b 乘 o d， 然后大家就发现 o a 和 o d 是垂直的，我们刚刚正过了，所以前面这个数量即是零，也就变成了负的二分之三倍的 ob 乘 od。 好，那我们展开了啊， ob 的膜， od 的膜乘以什么 cosine 角， dob 没错吧？好，那我们继续往下求啊！来，大家会发现 o b 的模二我们是知道的，对吧？根号二， o d 的模二呢？我们也知道二分之根号六好了，就剩一个扣三也什么呢？ d o b 了。 哎，大家想， dob 其实是不是和这个 pcb 是相等的？平行线同位角对吧？而这个角呢，大家记得 pbc 是个等腰三角形吧，根号六，根号六， 对吧？底边是不二倍根号二，所以你做一个高，这个叫做余弦，是不就是根号二比根号六好了。这样的话呢，我们应该就完整的算出来了，他就是负的二分之三。 好，那根据我们刚才说的， b f 乘 o d 呢？是不是两个 b f 乘 o d 应该是相等的是吧？所以二分之三倍的根二 call 三 in c 塔是不是也等于负等二分之三？ 于是考参与 c 塔解出来了，答案是负等二分之更好。二，所以 c 塔是一百三十五度。所以我个人觉得这个方法其实才是比前面两个都要简单的一个做法。 好的，那么今年的这个立体几何题呢？我们就给大家分享到这啊，如果大家还有别的方法，希望我们在评论区看到大家的发言。 ok， 关注我，带你玩转高考数学！

二零二三年数学真题新高考第一卷第十八题立体结合 立体几何这道题呢，一般来说就能够拿到这个满分的啊，因为它主要还是在运算层面上。这题是这样的，如果在正式能做，你看到这个正字两个信息啊，一个是底面是一个正方形， 第二个呢，侧能和里面是一个垂直关系。 a、 b、 c、 d， a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于二。好，我们把标一下，这个等于二， a、 b 等于二， 然后 a、 a 一等于四， a、 a 一等于四，整个高度是四啊， 点 a 二、 b 二、 c 二、 d 二分别在 a a 一、 b b 一、 c、 c 一、 d、 d 一上。 a， a 二等于一，这一段是一， b b 二等于 d， d 二， b， b 二等于 d、 d 二，这个是等于二。 c、 c 二等于三，这段是三， 然后呢，证明 b 二、 c 二平行于 a 二、 d 二啊，这两个线段要正面平行，就是 b 二 c 二平行于 a 二、 d 二，那这个点呢？证明的话呢，实际上呢，这个我们这个面， a、 a、 e、 d、 e、 d 和这个 b b、 e、 c、 e、 c， 他是这两个面本身是平行的，你要证明 b 二、 c 二和 a 二、 d 二平行，那你就需要证明 a 二、 d 二和 b 二、 c 二呢，他在同一个面上， 因为在同一个面上的。呃，这，这个一个面上啊，呃，穿过两个平行平面，他的胶线是平行的，这个呢，就不太好说。 那如果说你非得用这种方法来正的话，你可以在这里啊，取两个点啊，然后通过中转啊，证明这个构造一条线和 c 二、 b 二平行，然后呢， c 二、 b 二再和 a 二、 d 二平行，这也是可以的。 那我们这道题呢，因为这道题他给的太简单了，我们不打算这么做，为什么呢？因为这个题他直接是给的正式忍住，这是垂直的， 这也是垂直的，全部都垂直的。那我们直接用空间指标这边，先用空间相量来做不就好了吗？你看这个题，如图，我们就见一个细， 以 c、 d 为 x 轴，以 c、 b 为 y 轴，以 c、 c、 e 为 z 轴， 用空间指教坐标系，把这个 c 二、 b 二、 c 二和这个 a 二、 d 二把它表达出来，这不就可以了吗？所这道题我们在证明的时候啊，呃，有一个现成的坐标系，用空间向量做是最舒服的。好，我们把它证明一下。证明， 哎，如图， 哎，一等 c， 呃， c c 垂直于 d， c 垂直于 c、 b， 这个很容易正啊，根据这个概念和呃，他就可以正出来啊。那我们这时候就可以间隙以 c 为圆心圆点， 然后 c、 d 为 x 轴，然后 c、 b 为外轴， c c、 e 为 z 轴， 建立空间之间做游戏。 好，我们把这个细建起来。你细建了，这道 就太简单了啊，那一球的 b 二点，它的坐标我们已经标上去了啊。 b 二点的坐标，横轴 x 是零，然后 y 轴是二， z 轴也是二。好，我们再看 c 二 c 二点，它的坐标，是啊，在 z 轴上就是零、零三。然后我们再看一下这个 a 二、 a 二的坐标的话，呃，它是在 a、 a 一上面，所以它应该是二二一。再看一下 d 二、 d 二的坐标在哪里呢？ d 二的坐标在这个位置啊，它应该 是在 x 轴上有二， y 轴上是零， c 轴上是二。好，那所以说器件完了就写相量。 b 二、 c 二相量就等于零减零是零，零减二， 负二，三减二是一，再看一下 a 二 d 二相量好，二减二，零零减二，负二二减一，一啊，也限量相等，因为呢， b 二 c 二 交 a 二 d 二等于空几，就是不相交，且 b 二 c 二下量等于 a 二 d 二下量下， 相量又相等，他又不相交。那所以说 b 二 c 二平行于 a 二 d 二。所第一题就是个送分题啊，他把相量一建起来就可以了。第二题， 第二题 p 正能 b b 一上，然后二面角 p a 二 c 二杠低二等于一百五十度。 那这道题的话呢，实验就是求二面角啊，他已经把二面角的一百五十告诉你了，反过来把批点的坐标给他求出来。那这道题也是很简单的啊，所这道例题结合的题呢，是送分题， 设 p 的坐标， p 的坐标，我们设一下，它的横坐标是知道是零，中坐标是二， z 坐标呢是 t 啊，设 t 比较好表达， p 是零二 t。 那这样我们就要把 p a 二 c 二和 d 二 a 二 c 二的这个法线呢，给它求出来啊。 好，那我们这次来表达这个法，相量法相量表达出来，用扩声一百五十度把带进去，把 pet 坐标给他求出来就 ok 了啊。啊，这时候呢，我们就把呃，射平面啊，射平面 p a 二 c 二法线呢为 m， 然后第二 a 二 c 二 five 限量 vn， 现在我们就要把这两个项链表达出来啊。好，因为那我们首先看 p a 二 c 二，那首先把 a 二 c 二给它表达出来吧， l c 二限量等于 l c 二限量，我们好像是有的吧。啊，没有啊，这个 l d a 二 c 二在这里啊，那零减二，负二，零减二，负二，三减一，二， 好，我们再来一个 p c 二吧， 相量等于有 c 二减 p， 零减零，零零 一减二，负二，然后三减去好。 m 项量呢，我们设出来点 x 一 y z 一，那所以所以就会有负二， x 一 减二， y 一加二， z 一等于零，然后零乘以 x 一就没有了，那就是负二， y 一加上三减七， z 一等于零。 好，这次我们就要对 x 一进行一个取值了，这次我们就是一个计算的问题， x 一它取什么比较好， 学什么能够让这个计算呢？变得简单一些，呃，由于这里面还有参数，我们计算的时候呢，在草稿子上可以把它认真一点算， 哎，这次我们就啊取啊，取哪个字比较好，我们就取这个 z 一吧， z 取个二的倍数比较好啊，取 z 一 就等于二吧， z 等于二，把它 y 带进去，那 y 一呢？那它就是应该是带进来，就是三减七啊，因为这个二约了， 所以说五二一等于三减七，然后再站在这里面来，站在这里面来，就是把二给他约了啊， 这 x 一就等于负二， y 一，还有还有负二一就没了，就是负 y 一， 然后加 z 好，就这两个加起来就七减三，加二，那就是七减一。所以说这个 m 相量我们就求出来了，是 t 减一， y 是多少？三减 t， z 我们取的二好，这个 m 项链求出来的话就很好办了，在取值的时候要注意一下， 因为这个取值取不好的话，我们算的时候会很别扭啊，这里为什么从这个 z 开始取呢？由 z 这里取就可以，求 y 要取个二比较好算一点啊。另外 再设一下 n 项量啊，我们先把这个，呃，还有一个是 d 二 a 二啊， d 二 a 二，我们把呃这个随便取了啊， d 二 c 二吧， d 二 c 二相当版表达出来啊， d 二 c 二是多少呢？ d 二 c 二啊， d 二在这里， c 二在这里，零减二，负二，零减零，零三减二一， 好，我们再要一个 d 二 c 二，再要个 a 二 c 二吧， a 二 c 二也把它求出来，零减二，负二，零减二还是负二，那三减一呢？那还是二。 就这样我们再把 n 项量设出来，设 n 项量是等于 x 二 y 二 z 二，那所以说就会有负二 x 二，然后再加上 z 二等于零，然后负二 x 二减，加上负二 y 二啊，就是减 y 二的意思啊，加上二， z 二 等于零啊，这时候 x 二呢，取个一啊， x 二等于，哎，取 x 二的一， 那所以说 z 二，那它就应该等于二， y 二呢？ y 二把带进来这个音乐啊， y 二，它应该就等于负 x 十二，加上 z 二，那也是等于一，所以说 n 项量就求出来了，应该是一一二。好。把项量求好了之后，我们把它抄过来，这边好看一点， m 项量是 t 减一，三减 t， 还有一个是二 啊， n 项量 n 项量是等于一一二， 现在呢，我们就可以这两个法项量所乘着这个角，我们就可以用这个扩散一百五十度。这里呢，我们取一个绝对值，因为这里面我们不知道这个项量乘， 这是个锐角还是钝角好，把，乘开七减一，乘一就是七减一，三减七乘一就是三减七，二乘二就是加四，这里也加一个绝对值，根号像七减一的平方， 加上三减 t 的平方，再加四，乘以个根号六，好，这样我们就可以把它化减一下啊，火山一百五十度是二分之，根号三 就等于这个七就底下了，就是负一加三就是二，二加四就是六啊， 六和这个根号六约了吧，上面就是根号六，下面呢根号一下梯方，这个梯方二梯方， 这有个负二 t， 这有个负六 t 减八 t 啊，这有个一加九加十加上十四， 把两边的这个根号三，这个根号六，把它也约了。好，下面就变成了一个二分之一，等于把这个根号二提出来， 根号提出来和这个根号六也不太约了啊，就等于根号一下题方减四，题加上 七啊。我们把这个过程再讲一下，根号三号，根号又越了升，升个根号二，根号二和下面的根号二。在于啊，我们提高一圈就根号二了，提方减四，题加七。好，这个时候就是分母相等，把它一个平方就行了。 所以题一方减四，题加七等于二啊，等于四，平格方等于四，所以题一方减四，题加三等于零， 其一呢，等于一，其二等于三啊，这里是到底是等于一还是等于三啊？我们这里做个辅助线。 好，这时候 b 二 c 二 d 二 a 二由低问可以知道它是一个平面啊，它是平行的，那么这个点在 b 二下面，还在上面呢，由于这个 c 二 b 二比较高， d 二比较低啊，因为这个这个是二，这个是三， 那如果是边往下面走，这是锐角，往上面走才是钝角。所以说呢， t 一等于一啊，这个要舍掉把，这个可以观察出来啊，不需要证明。所以呢， t 二等于三啊，那也就是说 p b 等于三，因为呢， b 二 b 这个我们是知道的，等于二，所以说我们现在要求的是求 b 二 p， 所以说 b 二 p， 那就等于 b p b 减去 b 二 p b 二 b， 这就等于一，那所以说 b 二 p 等于一。这道立体结合的题呢，从高考的角度来说， 应该是最简单的。这种题啊，但凡是一道题里面天生给了一个空间者叫做标系， 就直接用直角对标写，不管是正平行还是正垂直还是求角度，都很好求，而且第二位是给了角度求，求大小 有的是呢，用坠子啊，不懂事啊，函数才能解这个题呢，是直接给了具体的，只是固定的题啊，所以说非常简单。这道题呢，是很容易拿满分的，谢谢大家。

这道二零二三全国已卷的立体几何大题确实难住了一部分学子。本题难在找不到三条两两垂直的直线，我们干脆退二球。其次，先利用水平面上两垂直相交直线作为 x 轴与外轴，再过圆点作息轴垂直于水平面即可间隙。 这里第一问，不涉及点批坐标，我们可以直接利用项量证明 faac 终点。接下来我们就能证明 ef 平行于度，应用线面平行的判定定理即可得证。 第二问，我们可以设点 p 坐标，利用已知条件， pb 等于 pc 等于根号六以及 i 等于根号五度即可求出点 p 坐标，剩余的点的坐标都能表示出来。 做到这一步，我们本来可以直接计算这两个平面的法项量，验证这两个法项量数量即为零，即可得证。但这里我们还可以利用项量验证 ao 与 bi fe 垂直，从而利用面面垂直的判定定理也可得证。 这一小问虽然可以用纯己合方法解决，但不如间隙来的简单粗暴。有了前两问基础，第三问特别好做。

好，立体几何在历年的高考当中是必考的一个内容，那么立体几何的解答过程啊，有的时候用几何法，有的时候用坐标法， 用几何法呢，通常呢我们需要做辅助线，这呢可能有一定的难度，用坐标法呢，可能会涉及到一些个计算，计算量呢有些大，那么还有没有其他的办法 去解决立体结合当中的，比如说求某些角的有关问题呢？这个回答是肯定的，今天呢，我就给同学们介绍一种既不用坐标法， 也不用几何法去如何求在立体几何当中有关角的一些个问题。 首先呢，我们先看下面这样一个事实，在空间四边形当中有如下这样一个重要的结论，我们看， 比如说空间四边形 a、 b， c， d， 它的两条对角线 a c 和 b d， 那么它的数量金 和这个空间四边形的四个边之间有怎样的关系呢？我们很容易证明他有这样的关系， 向量的平方也是它膜的平方，所以说呀，那么这个空间四边形对 表现的数量级，他跟他和这四个四条边他们之间的关系啊，是这样，那么这个 问题啊，很容易证明，我们把这个结论称之为空间四边形对角线向量定理。 那么这个定理啊， 如何去记呢？我们仔细观察这四个字母，我们把字母 a 和字母四 d 看成是 y 字母， 把这个 c 和二 b 呢看做内字母， 那么这两个项目的数量级呢？右边的表达式就应该等于两个外字母的平方， 这个呢是俩俩内的平方， 然后减去外内的平方，再减去内外的平方， 这样呢，我们就把这个定理啊给记住了，对吧？ 那么这个证明啊，也非常容易啊，我们可以利用向量 ab 和向量 ac 的数量机写出一个式子， 然后呢，再用向量 ac 和向量 ad 的数量级再写出一个式子，然后两式一减，就是这个式子，或者是 我们由右边可以推出左边，我通过右边数量机的运算法则进行运算，可以推出他等于左边啊，这里啊，我们简要的说明一下啊，比如我们正的一下右边， 我们把这个项链和这个项链利用平方叉得到 a d 向量加 a b 向量点儿乘上， 然后我们把这两个相应的平方合到一起，加上 等于 这个等于向量 b d， 这个等于项量 b b， 然后提出向量 b d 剪， 显然这个项链和这个项链相加， 这两个项链你看都在哪呢？ 这两个项链合到一起就是项链 a c， 这两个项链合到一起也是项链 a c， 你看这是不是就等于左边呢？二倍的， 那么这个定理啊，这个事实呢，我们还可以通过 他得到两个推论，推论一， 如果向量 a c 和向量 d b 要是互相垂直的话， 那么他的引流，所以说呢，我们可以得到这样的柿子 弱则 等于， 这很容易吧，我们再看一下推动二， 根据数量级定义它的 a c 膜乘 b d 膜，再乘口感音 a c b d 夹角余弦，那么我们就可以得到这样一个结论， 等于 分子就是， 所以啊，我们可以得出这样两个结论， 下面呢，我们就利用啊这个定理去解决一些高考真题。 一七年全国二卷第十期有一个直三轮扣，这个角是一百二十度， a b 长得二， b c c e c 得一，求叶面直线 a b 一和 b c 所乘角的余弦值。 那么我们利用刚才我讲的四边形对角线向量定理啊，我们可以这样来做，首先我们看他要求的 a b 一和 b c 一这两个叶面直线所成角，那么我们看成两个项链， 这两个向量的所乘的角的余弦值。我们先把它算出 分母是二倍的向量， a b 一的门称 分子，两个 y 字母 加上两个内字母， 减外内， 再减内外， 你看是不是直接就可以算了他，我们算一下他等于多少呢？二， a b 一等于多少啊？根号五吧， b c 一得杠二吧。 a c 一， a c 一的长等于多少？ a c e 的长呢？我们需要算一下，这是先把 a c 长算出它等于根号七，这个容易算啊，这是二，这是一角角一百二，用余弦定理可以算出它的根号七，那么一，这是直角三角形，所以说 a c 一的平方应该等于八，对吧？ 加上 b e b 的平方的一减， a b 方 减四， b 一， c 一方减一， 那么计算的结果是不是很快就出来了，等于五分之， 很好使，这样呢，我们就可以啊，选出选项是 c， 这种办法是不是很快就出来，对吧？哎， 那么如果不这样做的话，那么我们应该是通过平移，然后呢解三角形，或者是用坐标法，当然这种算法是最简单， 那么如果要是选择和填空，不要求解题过程的话，那么你利用这个结论是不是很快就得到答案了？ 我们再看下一个高考题，二零二三年全国二卷第二题三棱锥 a、 b、 c、 d 中 d、 a、 d、 b 和 d、 c 相等 b、 d 和 c、 d 垂直角 a、 d、 b 等于六十度。 呃，角 a、 d、 c 也等于六十度啊，这个还有一个条件啊，角 a、 d、 c 也等于六十度， 意为 b、 c 的终点。第一问，证明 b、 c 垂直于点，我们可以这样来证明啊，我们 写在这吧，口才音向量 d， c 啊，向量 b， c 啊，向量 b， c 和 d， a 这两项量的甲者余年我算一下，他等于零就可以了，看，对吧？他等于分母。 分子呢，就是两个外字母 加上两个内字母， 减去外内， 减去内外 b、 a 方，我们不妨列 d， a、 d、 b、 d、 c 都等于一， 那么 b、 a 方得多少啊？是不是也得一啊？ 等边三角形对吧？ c、 d 方是不是也得一啊？ b、 d 方 是不是有点一样？ c 方 c 方 a、 d、 c 也是等边三角形。 因为 a、 d、 c 等于六十度嘛， 等于。所以啊， b、 c 和 d、 h 看我们是不是就是不用做辅助线就可以正常，对吧？呃，第二 第二呢？如果向量 e、 f 等于向量 d， a。 如果向量 e、 f 等于向量 d、 a 的话，那说明 零四边形 d、 e、 f、 a 是平行四边形。现在让我们求这个二面角的正线值。首先我们看这个二面角是哪两个向量所乘的角呢？棱是 a， b， a， b， a， d， b 是等边，所以说取 a、 b 的终点 o， 取 a， b 终点 o 连 o d。 哦，连 o d 啊， 那么 o、 d 力量和棱 a、 b 是垂直的。 先往再看这个 d、 e 啊，和 c、 b 是垂直的，我连接一下 a、 e， 那么 d、 e 呢？等于 b、 c 的一半，等于二分之杠二 a、 e 呢？在这个三角形当中，我们看在这个三角形当中的话呢，它也是 可以算出是二分之根号二，因为这个是二分之根号二，这个是一，对吧？因为这个是一， 这个是一，这是刚好二，所以说我们可以算出这个三角形的中线长啊，实际上这也是个直角， 那这样一来的话呢，我们就可以得到 d e 和 e a 也是垂直的一嘛，二分之二，二分之二，对吧？勾股定理在 e 定理，所以说 d e 呢，就和面 a c、 b 是垂直的， d e 呢又和 a f 平行，所以说 a f 呢，也和这个面是垂直的，这样一来呢， a f 就和 a b 是垂直的，我们可以可以证明啊，我们就简单一些了啊，可证 a f 和 a b 也是垂直， 这样一来我们就得到了 o d 啊， o d 这个项链和 a f 这个项链 所夹的角，就是这个二边角的平面角，对吧？接下来呢，就是 o d 和 a f 这两个项链所乘的角，就是这个二面角的平面角。我们算他的一边直 分母二倍的 o d d 长横 o f 的长分子是两个外字母， 在平方加两个内字母，平方减外内 减内外， 我们只要把这个值给他算出就 ok 了。我们现在开始算二， od 的长， o d 的长，这是等变三角形的中线嘛，对不对？那 o d 的长显就是二分之根二三， a f 的长，也就是 d e 的长是二分之杠二， 那么 o f 的长呢？我们把 o f 的长啊换一下，因为这是个直角，对吧？ o f 的长呢，应该是 o a 方加上 a f 方， o a 方这里就没有了，对吧？给约掉了。然后呢，实际上这是 a f 方， a f 方加上 d a 方，对吧？ 然后再减去 d x， 我们继续算分母呢，那就是二分之刚好六了。 那么 a f 方就是 d e 方，等于二分之二，在平方， d a 的平方呢？就是一。现在看一下这个 d f 啊， d f， 那么这个 d f 方等于什么？关键在这里，是吧？ d f 方呢，我们可以把它放到这个三角形里， 这个三角形这个角啊，应该是一百三十五度，因为 a e d 九十， a e f 四十五， a f 和 a e 是相等，对吧？ 所以一百三十五。这样话呢，我们可以根据余弦定理就可以直接算出 df 方， df， 对吧？对，就是他，那么这个结果呢，我们很容易算出他等于多少呢？等于负三分之幺六， 这说明啊，这个二面角的平面角呢，是一个钝角，他的余弦值是负三分之八六，那么我们就不难算出他的正弦 值啊，是三分之刚好三，所以这个答案呢，那就是三分之刚好三，我们是不是就把这个问题给解决了？ 因此呢，我今天提供的方法，这是一种啊，全新的方法，当然考试的时候可不可以这样做， 如果你把四边形对角线向量定理啊，先说明，以后再利用他去这样书写过程，我认为他没有理由给你扣分，但是你不能直接用，对吧？ 这是今天呢，我给同学们提供啊，除了几何法和自个法以外的另外一种方法，仅供同学们参考。