华师版八年级上册数学几何专项训练

八、上数学，期末复习压轴题，训练练会不丢分！

手拉手模型是我们这次八上期末考试的必考模型哎，他的考频非常之高，今天老师一个视频带你一起复习手拉手模型的四大经典结论，一起来看。首先啊，在做题之前，我们要识别清楚到底什么是手拉手 哎，它主要有三类，第一个是等腰三角形手拉手，第二个是等边三角形手拉手，然后就是我们的正方形手拉手， 其中最常考的就是等腰三角形手拉手，今天老师就以这个为例，比如说现在给了我们两个等腰三角形 a、 b、 c 和 a d、 e， 你 看它俩有什么样的特点呢？首先它们有公共的顶点，并且它俩顶角，也就是角 b、 a、 c 和角 d、 a、 e 是 相等的， 你看共顶点有相等的边，并且顶角相等，这就是非常典型的手拉手模型的特征。 好，我们来看，左手是 a、 b 和 a、 d， 所以 说连接 b、 d， 右手是 a、 e 和 a c， 所以 说连接 c、 e。 那 么辅助线做完之后，第一条最核心的结论就是 b 出全等，我们看这两个组成的全等三角形，也就是黄色和蓝色的三角形，一定就是全等的。为啥？ 你看 a、 b 和 a、 c 是 两个等腰相等， a、 d 和 a e 也是两个等腰相等。同时我们看，如果中间这个小角是 alpha 的 话， 此时角 b、 a、 d 还有角 c、 a、 e， 它俩是不是都是等于这个相等的顶角减去 alpha 呀？哎，所以说这俩角一定就是相等的，那么边角、边它俩就是全等的。这是我们手拉手模型最最核心，也是最为重要的一个全等三角形的结论。 好，那它俩全等，我是不是就可以得到 b、 d 和 c、 e 是 相等的呀？哎，对应边相等，这就是第二条核心结论。 好，我们继续来看。那么第三条结论呢？就是角 d、 h、 c， 它应该和顶角 b、 a、 c 是 相等的， 也就是这两个拉起来的手，哎，把它延长，它俩组成的这个角应该等于顶角。为什么？我们来观察，现在在三角形 a、 g、 b 和三角形 h、 g、 c 中，我们刚才知道它俩是全等的， 对吧？所以说角一和角二这俩角是相等的，这里还是一组对顶角。那你看这两个三角形中 剩下的这一组角，是不是应该就是相等的角了？哎，也就是等腰三角形的顶角还有两个手，他俩组成的这个角就是相等的。这是第三条结论。接下来我们再来看第四个结论， 也就是 h、 a 平分角 d、 h、 e 什么意思呢？也就是这两个手，哎，通过延长，它俩出现了一个焦点 h， 把这个焦点 h 和顶点相连接，此时组成的这个 a、 h， 它一定平分这个角。怎么去正？可以使用面积法。 哎，其实这一切的源头还是来源于它俩是全等，那它俩全等是不是面积相等啊？所以说，如果我此时以 b、 d 和 c、 e 为底边的话，所以说它们这个底边上做出来的高一定就是相等的。 好，那你看 b、 d 为底边，现在我过 a 点做 a、 g 垂直于这条边，现在我再过 a 点做 af， 垂直于 c、 e 这条边。 那出现的这两个高是不是 a、 f 和 a g 应该就是相等的？那同时这还是两个直角，所以说再加上 a、 h， 这是一条公共边。那么在直角三角形 a、 g、 h 和直角三角形 a、 f、 h 中是不是 h、 l 它俩全等啊？ 它俩全等是不是就可以得到对应角相等？也就是，哎，这俩角是相等的，那么 a、 h 自然就是角平分线。以上就是我们手拉手模型的四大核心结论，一定在考前复习完！

同学们大家好，我是数学刘老师，今天我们继续讲解八上几何模型的二级结论，今天我们要讲解的是双等腰直角三角形。 好，大家先看一下这个题目，那么如图已知在等腰直角三角形 a、 b、 c 中， e、 f 分 别是这个和 ab 和 ac 上的点， d 为 bc 的 中点，那大家看见 abc 是 一个等腰直角三角形，并且 d 是 中点。大家首先要想到的什么？ 在等腰三角形中，我们要做三线合一，也就是连接 a、 d， 好， 那我们继续看，并且 b、 e 等于 a、 f。 让我们求证 d、 e、 f 为等腰直角三角形。 好，那我们刚才说了，首先我们要注意的是第一个条件， abc 是 等腰直角三角形，那么等腰直角三角形实际上是告诉我们 角 a 等于九十度，角 b 等于角 c 等于四十五度，那么这几个度数在证明过程中是非常重要的， 也就是说等腰直角三角形告诉我们它是等腰直角三角形，实际上就已经告诉我们各个角的度数。 那让我们求证的是什么？ d、 e、 f 为等腰直角三角形，那么我们要证明 d、 e、 f 为等腰直角三角形，那我们要证明两个条件 啊，第一个 e、 d、 f 这个角等于九十度，第二个要证明 d、 e 等于 d、 f。 好， 我们刚才说了，我们看见等腰三角形，并且看见终点，那我们要连接终点和顶点，那我们连接一下， 我们连接。那我们第一步先证明 d、 e 等于 d、 f， 那 我们看一看 d、 e 是 不是在三角形 d、 b、 e 中，那 d、 f 在 d、 a、 f 中， 那如果我们要证明这两个三角形全等，那么是不是就有 d、 e 等于 d、 f？ 好， 那我们看一下啊。第一个，刚才说了这个角等于 四十五度，那么这个角大家看一看，是不是这个 a、 d、 c， 它也是一个什么等腰直角三角形，那么这个角也等于 四十五度，那我们有一个角相等了，那大家看一看，就是还有一个条件， b、 e 等于 a、 f， 那 看我们现在已经知道一个角和一条边 分别相等了，那大家看一看，那么 a、 d 和 b、 d 相等，相等它是相等的，那么等腰直角三角形， 它的 a、 d 三线合一，把三角形 a、 b、 c 分 成两个全等的等腰直角三角形，那么所以这有 a、 d 和 b、 d 也相等， 那么在三角形 b、 d、 e 和三角形 a、 f、 d 中那么有。你看一条边一个角， 一条边，一条边，一个角，一条边边角边，那么这两个三角形它就全等，所以就有 d、 e 等于 d、 f。 好， 那第二步我们要证明这个角是九十度， 那么我们刚才正全等，是不是已经有 a、 d、 f 等于 b、 d、 e， 那 么也我们把它看成角一和角二，那么大家现在看一看，是不是现在是两个 相等的三角形，两个相等的角夹着一个共同的角 a、 d、 e。 那 我们是不是就有角一加上角 a、 d、 e 等于角二加上角 a、 d、 e， 那么角二加上角 a、 d。 一 面积三角合一，这个角是角一是直角，那么角一加上角 a、 d 一， 那这个角是不是也是一个直角，那么所以 角 e、 d、 f， 它就等于九十度，那么所以三角形 d、 e、 f， 它就是一个什么等腰直角三角形。 好，我们稍微总结一下等腰直角三角形常用的辅助线构造什么？三线合一构造三线合一， 那我们看一下这个题型使用的条件和结论。如果在等腰直角三角形 a、 b、 c 中 有 b e 等于 a f， 并且 d 点是斜边 bc 的 中线， d 点中点，那我们连接 d e 和 d f 所形成的三角形 d， e、 f 就是 等腰 直角三角形。 好，我是数学刘老师，我们的讲解就到这里，谢谢大家。

八上数学最难的四十八个几何模型全部吃透，逆袭班级前三。八上数学四十八个几何模型一， a 字模型、鸡爪模型，腋下两角合等于上下两角合。 八字模型，三角形中五大模型见八字除对顶，剩余的两角之合会相等。飞镖模型也叫燕尾型、双角平分线模型。三个结论完整版分享！

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好，我们来看一下，这是中山市一中八年级上册最近周考的一道压轴题， 这是非常常见的一类题目，就是解几何 几何图形的一一类长线的常见的一类题目。 好，我们读一下题。 在三角形 a、 b、 c 中， ad 是 平分角 b、 a、 c 的， 所以这个角是等于这个角， 角 a、 b、 c 是 等于两个角 c， 角 b 是 等于两个角 c， 然后求证 a、 c 是 等于 a、 b 加 b、 d。 方法一，如图在 a、 c 上截取一段 a、 e， 这一段 a 一， 使得 a 一 是等于 ab 的， 然后呢，连接 d 一， 就可以得到这两个三角形是全等的。 这两个三角形全等。为什么？因为这边等于这边，这边是公共边，然后因为角平分线，这个角等于这个角。根据 边角边，这两个三角形自然就全等了。这两个三角形一全等，就得出 b、 d 是 等于 e、 d 的， 然后呢，还有这个角等于这个角， 这个角等于这个角。然后因为提议又给出角 b 是 角 c 的 两倍关系，所以这个角自然也是角 c 的 两倍关系， 这个角又是三角形 e、 c、 d 的 外角，所以这个角加这个角等于这个角，所以就可以得出角 c 等于这个角 e、 d、 c， 那就可以得出 e、 d 是 等于 e、 c 的。 最后就可以推出 a、 c 是 等于 a， e 加上 e、 c， 也自然就是 a、 c 是 等于 ab 加上 b、 d 的 好看。方法二， 方法二采取的是补短 a、 b 作为较短的一条线，所以首先把延伸 a、 b 到一，使得 b、 e 的 长度是等于 b、 d 的， 然后 也可以证明出这两个三角形是全等的。为什么？因为这里有一条公共边，然后呢， 这个角等于这个角，还有哪个条件？还有 这个角等于这个角和这个角是两倍角的关系，是不是因为这里等于这里，所以这个角一是等于角 e、 d 等于角 e、 d、 b 的 这两个角是相等， 又因为角 b 又等于这个两倍的关系，所以这个角 e 和角 c 又是相等的，所以根据什么 aas 是 不是 aas 就 可以证明这两个三角形是全等的，是不是？好， 那我们看一下这道题，下面这个第二小问的这个解析思路。 在下面四边形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 c 上的一点，然后 e， a 是 等于 a、 d 的， 然后角 d， c、 b 是 等于两倍的角 b 的， 然后角 d、 a、 e 加上角 b 是 等于九十度的 探求 dc， 还有 c、 e 还有 b、 e 之间的关系， 那我们通过这个图，这通过这个图我们可以大胆的去预测，怎么样呢？我们先说解析思路，预测出 b、 e， 它是有可能是怎么样的？等于 c、 e 加上 d、 c 的 是不是？好，那我们怎么样去证明这它们之间的关系呢？ 通过我们刚才的这个上面的这些例子的解析思路，我们怎么样在 b 一 上弦起一段 等于 cd？ 好， 假设我们在这里 取一点 f， 使得 ef 是 等于 c、 d 的， 这里等于这里。因为 a、 e 之前给我们的条件有 a， e 是 等于 d、 e 的， 那我们接下来的重任就是什么？证明这个等于这个 就可以证明这两个三角形全等，是不是这两个三角形全等，最后证明这两个三角形全等，就可以推出 a、 f 等于 e c， a， f 等于 e、 c， 然后 b、 f 等于 a、 f 不 就可以完美的证明出 b， e 等于 e、 c 加上 c、 d 了吗？ 那怎么样去证明这两个三角形全等呢？这里就是解的关键了。好，我们来说一下这个过程， 因为呢， e、 a 是 等于 d、 e 的， 所以这两个角是相等，对不对？这两个角相等， 那这三个角怎么样呢？这三个角加起来就一百八十度嘛，那就可以证明得出两个角 e、 a、 d 加上角 a、 e、 d 是 等于一百八十度， 又因为什么？又因为角 d、 a、 e 加角 b 等于九十度，所以 两倍的角 d、 a、 e 加上两倍的角 b 等于一百八十度。好，根据等量带货就可以得到什么 角 a、 e、 d 就 等于两倍的角 b 又等于。刚才什么又等于角 c， 是 不是这是提议给的？得到这里以后， 又因为什么？ 这个三角形 d、 e、 c 的 外角角 d、 e、 b 等于什么？角 a、 e、 d 加上角 a、 e、 f 角 d、 e、 b 同时也是等于什么？角 c 加上角 e、 d、 c。 因为所以我们就可以得到什么就可以得到角 a、 e、 f 等于角 e、 d、 c 是 不是因为刚才我们证明出 a、 e、 d 是 等于角 c 吗？这两个不就这两个相等不就消掉了吗？是不是就可以证明出来 a、 e、 f 等于角 e、 d、 c 了吗？所以这两个角一等， 所以三角形 e、 d、 c 全等于三角形什么 a、 e、 f 然后我们就可以证明说什么所以 a、 f 等于 e、 c 这两个角这两个边相等，还有呢， 角 a、 f、 a、 f、 e 等于角 a、 f、 e 就 等于角 c 嘛， 脚 a、 f、 e 同时又等于什么？等于等于脚 b 加上脚 f、 a、 b， 这是因为他们外角的外角的关系是不是外角和的关系，所以又因为角 c 又等于两倍的角 b 嘛， 所以就可以得到什么，就可以得到角 b 等于角 f a b 了。所以 a f 等于 f b， 所以 就可以得到 b e 等于 b 等于 f b 加上 f f e 同时等于 c， d 加上 c e 嘛。好，这道题 很有意思哈，如果说其他同学他还有其他的方法的话，可以挑战一下，在评论区写出你们的答案。好，这道题就这样子。

三角形，我这么可爱，为什么你要怕我八年级的同学们看到我就头疼吗？概念混淆，线段记不住，内角外角分不清，考试丢分太可惜！ 别担心，这本八年级上册数学三角形专项训练，十个高频知识点全覆盖专项培哦！针对提分，九个必会提分点加三个强化专项练。

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