2023年河北中考最后一题几何讲解

大家好，我是郭老师，继续更新老古编写的二六版天津中考数学总复习内部学案。我们第三章第一讲是圆的，综合中考的数学二十一题， 我们来更新老古整理的类型三、去综合平行关系处置边角的问题专题演练第十五题二零二三年河北区一模第二十一题，满分十分。我们仍从图一开始， ab 是 圆， o 的 直径是直径，我们就想，直径所对的圆周角是九十度好，这里边呢，角 a、 c、 b 一定是九十度好，那这时候呢？说老股还需要连其他的吗？比如连 b、 e， 连 b、 d 吗？不着急，看最终要求的时候是怎么处理。 cd 是 平分了角 a、 c、 b 好， cd 去平分它，那这两个角都是相等的，所以说第一个呢，我们就列列写出来，角 a、 c、 d 一定等于角， b、 c、 d 就 等于二分之一的角 a、 c、 b 好， 都等于四十五度角 好，这就是角平分线。两个角相等，下一个角 abc 是 三十度角，那这个角是三十度特殊的角。下一个来，我们看， e 又是弧， b、 d 的 中点， e 是 弧的中点，那就是平分弧，这两个弧相等， 弧相等的话，我们就想，前面也做的多了，是不是就是这两个弧所对的圆周角，圆心角就有一些数量的关系？好，接下来怎么做辅助？看下一份？求角 b、 a、 e、 b、 a、 e 是 这面里面的一个角，怎么去求它？我就想，哎，这个是 b、 e 弧所对的好，那如果我连接 e、 c 的 话，是不是这个角就等于角 b、 c、 e 好， b、 c、 e 呢？又根据等弧，所以说下一步就好处置了。所以说想到这里面呢，我们就把等弧的条件利用好，就连辅助线 连接 c、 e 连 c、 e 之后呢，我们就会有了。哎，此时呢，角 d、 c、 e 一定等于角 b、 c、 e。 理由的话，他们是因为两个弧是相等的。好，这两个弧相等之后呢，所对的圆周角也相等了。 好，那这两个角相等的话，那每一个角就是占总的二分之一，所以此时呢，角 b、 c、 e， 它就等于二分之一的角 b、 c、 d 了，对不对？好，我们要求的这个角是整个的二分之一好， b、 c、 d 刚才已经求出来的是四十五度，四十五度除以二，所以说我们第一问它，这个就是二十二点五度。好，要求的呢是角 b a、 e、 b、 a、 e 一定等于角 b、 c、 e， 因为这两个都是弧 b、 e 所对的圆周角，那这时候呢，同弧所对的圆周角相等，那他就有了。这是第一问的处置，比较简单来看第二问， 写第二问之前呢，我们再看题干， ab 是 圆 o 的 直径，那此时呢，角 a、 c、 b 仍是九十度，这里面有个九十度角，继续 好，这时候呢，还有平分 c、 d 是 将我们这两个角是进行了平分，所以说有这两个角角 a、 c、 d 是 r 法，角 b、 c、 d 都是 r 法，而且这个 r 法是多少度啊？是四十五度角，好，接下来继续 过的角 abc 好， abc 这个角呢，他还是三十度角，特殊角来标注在这里，下一个过 d 做圆 o 的 切线，那我们就有渐切线连半径出垂直，所以说此时我们就连接 o、 d。 连接好 o、 d 之后呢，此时 o、 d 一定垂直， a、 d 好， 接下来呢，交 c、 a 的 延长线呢，是与 f 点好，若 d g 和 c、 f 是 平行的关系。好，两只线去平行，我们就去想 a 会有三线八角一些的角度的辈分关系。 好，下一个呢？我们看结果处理，怎么再进行反推。 ab， 也就是我们所说的这个圆 o 的 直径，它是等于八，那此时呢？半径呢？就等于四了。 好，下一个呢？他让你求的是 af 的 长，或者就是咱们所说的最终目标是求 af 的 长，求 af 的 长。我们想 a 老股可以是 c a 减 c e， 这么去求， 也可以是说呢，我去连辅助线放到三角形，但是你发现 cf 也不好求，那 ca 是 好求，对不对？好，接下来呢，我这里面还有平行的关系，我想利用，省利用好，那接下来呢？如果说 af 和 d j 是 相等的，那我转移到这里，这里面会有一些边呀，角啊，都好处理，对不对？所以说我们就想大胆的猜想加假设这个是平行四边形就好处置了，那如果处置就是我们所说的，把题目中这些条件都灵活的综合的利用好。好 角 b、 c、 d 是 四十五度。好，我一连 o d 的 话，你想，我要证明他是平行四边形的话，他已经有一组边平行了， d j 是 平行的，是 cf 来 d j 平行， cf 这两个边是平行的，我要想让他俩平行，那只能去找 a， 这个角是九十度，那假如他也是九十度，那不就他的平行了吗？那他俩是九十度，能实现吗？那就利用好，这个是四十五度的圆周角，这是圆心角， 不就有了吗？对，所以说这就来了，那角 b o d 是 这个角 d c b 的 二倍，那这个角一定也是九十度了。来，我们说一下，角 d、 o、 b 等于二倍的角 b、 c、 d 好， 这个叫 b、 d 弧所对的圆心角是圆周角的二倍，圆周角是四十五度，它的二倍呢，就等于多少度啊？九十度， 好，它等于九十度的话，那角 o、 d、 f 也是九十度，因为这里边说了，它是圆 o 的 切线，所以呢，我们角 o、 d、 f 等于角 d、 o、 b 等于九十度。 内错角相等，所以我们 d、 f 就 会平行 aj 好， d f 平行 aj d j 平行 c、 f 好， 所以呢，我们就有了平行四边形 aj、 d、 f， 它就会证明出来好，它俩平行的话，平行的性质对应，边相等叫对边相等， a、 f 等于 d j。 所以 说我们最终题目中要求 a、 f 的 长度，我们划归为 d、 j 的 长度的出类 好， d、 j 的 长度处制，那就相对来说简单了。为何简单呀？因为我们只要猜想这个角一定是特殊角就可以了。怎么证明这里面有三十度角？这个角是多少度啊？六十度。所以说角 c、 a、 b 这个角呢，它一定是六十度角， 好，他是六十度角的话，那我们就根据两直线是平行好，内错角相等，那这个角 d、 j、 o 等于角 c、 a、 b 就 等于六十度了，对不对？好，所以说这个角呢，他也一定是六十度， 或者是这个角是六十度。根据两直线平行同位角相等，角 f 是 六十度，那平行四边形对角相等，那都是六十度好，这个都好说了，它是六十度的话，那我们 d、 j 是 不是就可以放在我们特殊的三角形了？好，那就是有 r、 t 三角形 d、 o、 j 中 好，第一个的角 d、 j、 o， 他 一定是六十度好， o d 等于半径等于四好，也就是我们就有了这个边长是四好，这个角是六十度，这个角是三十度，那我们要求的就是这个 d j 好， d j 的 话我们就用辈分关系好，他是长直角边的多少啊？三分之二倍的根号，三倍，那他就有了三分之八倍的根号三好， 或者是啥？用那个正切三角函数的话，那 d j 它就等于 d o 在 比上 cosine 三十度，是不是进行处置即可？好，这个难度不大，最终呢？求解出来了。 来，这个就是我们利用好它的这个题目中的信息综合处置好，感谢大家。

二零二五河北数学中考第十一题，十一题和十二题可以说是选择题里面的压轴题了，那么二零二五年的十一题呢，是考的是几何，十二题考的是代数方面内容。这道几何的选择压轴题呢，通过对矩形的折叠，考察了三角形的内角和和外角的一系列的性质， 那么本期内容我们就从三角形入手，通过这样的一道压轴题，我们来学习与三角形有关的知识。大家好，我是周卓，感谢您的点赞、收藏和关注，我们继续更新，从中考学知识。 几何图形的学习基本上分为两个部分，线段和角度。那三角形就是一个最简单的封闭的几何图形。那么我们初中阶段呢，通过对三角形的学习，我们了解了一系列 有关线段和角度的知识。那首先呢，我们来看一下与三角形有关的线段方面的内容，这就要从三角形的定义开始。 书本上对三角形的定义是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形，我们称之为三角形。 首先一个三角形包含三个顶点和三条边，三角形的每一条边都是一条线段，那线段的长度是一个正数，这个我们大家都能理解，在书本中，我们一般用大写字母来表示顶点， a、 b、 c， 同时我们的角度也借助于大写字母来表示，而我们的边呢，一般是用小写字母 abc 来表示的。三角形的每两条边所组成的角，我们称之为三角形的内角，也称为三角形的角。 那么一个三角形包含了三个角，所以它才叫三角形，我们一般使用这个三角形符号来表示三角形 a、 b、 c 这样的来表示，这是一个由顶点为 abc 三个点所组成的三角形，我们表示为三角形 abc。 那 接下来我们就要对三角形进行分类了，因为三角形有无数个位置不同，边长不同，都可以表示出不同的三角形。那么我们按照边来分类的话，我们把三角形分为三种三角形。第一种就是最好看的等边三角形了， 它的特点就是三条边都相等，并且里面这三个角角度也都相等，等于六十度，都等于六十度。 第二种，等腰三角形。有两边相等的三角形，我们称之为等腰三角形。这个三角形的特点，它的两条边是相等的，我们称之为三角形的腰。另外呢，第三条边我们称之为底边。 等腰三角形的要求是底边和腰不能相等，因为如果相等的话，不就成等边三角形了吗？最后就是普通的三角形了，那三边都不相等的三角形，我们称之为不等边三角形。没有什么特点，就是最最最普通的常规三角形。 用三角形来分类，那如果用角度来分类呢，也同样分为三种。第一种，锐角三角形， 三角形中呢，三个内角都是锐角的三角形，我们称之为锐角三角小于九十度，这个我们是角度学的，零到九十度角称为锐角。 那第二种，我们在增大某一个角，我们增大其中的某一个角，当有一个角是直角的时候，我们称这个三角形为直角三角形。当我们继续增大这个角，那这个角就变成了钝角，于是呢，这种三角形我们称之为钝角三角形， 那有一个角是钝角的三角形，我们就叫做钝角三角形。请注意，每一个三角形至少都会有两个锐角， 最多也就只有一个直角或者是钝角。所以说呢，我们在判断三角形的时候，我们其实可以用另外一种方式。三角形呢，一个内角中最大的角是锐角的时候，他就是直角三角形最大的角是钝角的时候，他就是钝角三角形。 以上这些内容都是三角形的三边关系。我们进入核心知识，首先有三角形的三边关系定律， 这个定律呢非常的常用，实际上它在不等式的内容中也有一席之地，通过几何关系去构建不等式，这个定律就是三角形任意两边之和大于第三边。 或许有同学问，为什么一句话就能解释，因为两点之间线段最短。通过这个三边关系定律，我们又能得到一个三边关系定律。推论 三角形任意两边之差小于第三边，原因和定理是一样的。我们在应用三边关系定理和这个推论的时候，我们其实可以把这件事情简化成，当三条线段中最长的线段小于另外两条线段之和， 或者三条线段中最短的那个线段大于另外两条线段之差的时候，这三条线段呢，就能组成三角形， 这也是判断这个线段能不能构成三角形的一个限制条件。三角形除了三条边以外，还有一些其他的常用线段，比如说高线、中线和角平分线，这个就当大家回顾一下了，那高线就是三角形的一个顶点了， 向它对边去画垂线，那这个顶点和垂足之间连接起来的线段就叫做三角形的高线。 对于每个三角形来说，都有三条高，并且呢，这三条高所在的直线一定会交在一点上，我们称之为三角形的垂心， 我们同学们可以尝试去画一个三角形，并且找出它的高。当你画的三角形不同的时候，三角形的垂心位置也不相同， 对于锐角三角形来说，他的垂心一定会画在三角形的里面，而钝角三角形你一定会画在三角形的外面。当如果你画了一个直角三角形，你喜欢很漂亮的三角形，你有可能会发现， 你画的垂心实际上落在了你画的这个直角三角形的边上，我们来举例说明，来一起来看一下。 对于这个钝角三角形，我们来画 a、 b、 c 三点，然后我们来画他的垂线，这是 a 点的高，对于 b 来说，我得画这样的高， 没错吧？而对于 c 来说呢，我继续延长 a、 b， 然后画 c 的 高，然后为了交于一点，我们把它继续的延长。那么对于这个钝角三角形 a、 b、 c 来说，他们的 垂心落在了三角形的同学们也可以自己来尝试一下。 而对于三角形的中线，那什么是中线？在三角形中连接一个顶点和他对边中点的线段，我们称之为三角形的中线，其实就是顶点跟对边中点的连线。 同样的，对于每一个三角形来说呢，他们都有三条中线，并且依然相交于同一点，那这个点不再是垂心了，我们称之为三角的重心，并且注意，因为中线是中点和顶点的连线，所以说重心一定是在三角形内部的 啊，这个我们可以和高线的垂心这两个知识点呢将加以区分。最后呢就是三角形的角平分线了，这是第三种我们非常常用的在三角形知识中出现的线， 三角形的一个角平分线和这个角的对边相交，那这个顶点和焦点之间的线段就叫做三角形的角平分线了。 相信同学们一定也猜到了，这三条角平分线依然也会相交在同一点上，这个点我们叫做三角形的内心，不是我的内心，是三角形的内心，同样的，因为它是角平分线的焦点， 所以说他也一定在三角形的内部。高线，中线和角平分线，这三种线是三角形的学习和考察过程中经常会出现的特殊线段，并且呢经常会作为几何证明题或者计算题的辅助线来使用。 所以说遇到三角形，如果我们需要做辅助线呢？除了连接两点的那种辅助线以外，高线，中线和角平分线，当我们需要哪一种数据的时候，我们就可以利用这三种不同的线能给我们提供的数据，我们来进行辅助线的绘画。 可能有的同学这个时候还会问，那老师我就是不会画辅助线我才出的问题，那你能不能跟我说一说什么时候该用什么样的辅助线呢啊？当然我没有办法去一概而论的所有题，我应该怎么去画辅助线，但是我可以告诉你这些 线的作用，高线它构建的是一个直角，所以说当我们需要利用直角，或者说你看三角形面积是二分之一，底程高吗？所以说我们如果需要直角或者跟面积相关的这个方向的时候，高线是不是就是一个很好的选择？同样的， 中线提供了相等的两条线段，因为它是对边中点的 连线，而角平分线提供了两个相等的角。那我这样说，你是不是能有所领悟呀？当然，三角形除了边以外，还有三个角呢， 这也是这道中考题中所涉及到的知识。那首先，三角形的三个角，三个内角和为一百八十度，这是三角形的内角和定力，这是一个定力， 因为锐角和钝角其实也没有什么非常特殊的特点，普通三角形，而直角是一个比较特殊的角度，所以说对于直角三角形来说呢，它是一类特殊的三角形。 有一个小结论就啊直角三角形的两个锐角是互余的，大家其实很好理解，因为三个角是九十度，那剩下两个角就分这九十度呗，两个 反过来也能说，如果三角形有两个角的和是九十度，那么这个三角形就是直角三角形。 我们可以利用这一条知识，把角度关系转化成边的关系。你看，如果有两个角度，两个角的之和等于九十度，那么我就能得到这个三角形是直角三角形，那么两条边互相垂直， 是吧？我们从角度转化为了边的关系，这是三角形的内角，当然有内就有外，要不然为什么要起这么个名？那什么是三角形的外角呢？ 我们依然从概念上先描述一下知识，三角形的任意一边与另一边的反向延长线组成的角，我们称之为三角形的外角，就像这个样子，对于角 b 来说， 这个角就是它的外角啊，我们反向延长了 两条线段的交点，那么构成的角度就是外角了。我们可以发现 每一个角对于每一个三角形的一个角来说，他都有两个外角，那么这两个外角刚好还是对顶角，他们两个是相等的，这一个外角 跟这个内角啊相邻的内角 b， 他 们是不是构成了补角邻，补角他们互为邻，补角相加之合等于一百八十度。所以三角形一共有三个内角，那有几个外角应该是六个，其中有三个 跟另外三个相等，那这里还有一个外角和定力。如果我们在每一个顶点都取一个外角的话呢？我们把它相加在一起，我们叫做三角形的外角和，三角形的外角和是三百六十度。 我们在学习三角形外角的时候，可能有的时候会想这个东西到底有什么用，其实呢，三角形的外角的知识和性质更多的是和补角相关的知识，比如说外角。对于外角来说，我们有个推论，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 角一等于角二加角三，这个外角等于另外两个内角的和。因为三角形内角和等于一百八十度，这个角 b 加角一跟角 b、 加角二加角三都等于一百八十度，所以说 得到了这个推论。而另外一条推论，三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角， 其实更好理解，同样是因为三角形内角和等于一百八十度，因为这个角是他俩之合，一定大于他们俩其中任意一个。 刚刚我们实际上就快速的把三角形有关的知识简单的给大家概括了一遍，分为两大类，第一类是线段类的知识，第二类是角度类的知识。线段有三条边，跟三个长线段，而角有关的就是内角和外角。 那么我们接下来一起来看一看这道中考题，它是如何在考察我们三角形的内外角的性质的。 好了，我们一起来看一下。如图，将矩形 a、 b、 c、 d 沿 b、 d 折叠，点 a 落在 a 撇处，把这样折下去，然后 a 撇 d 交 b、 c 于点 e， 在 这里将 c、 d、 e 这个三角形剩出来的这一块再继续向里面折叠，点 c 落在 c、 d、 e 内的 c 撇处。现在他问了下列结论一定正确的是 abcd。 同学们观察一下这道题选项中不难看出， ab 两个选项是角二法关于角一的 信息关系，而 c 和 d 是 阿尔法关于角二的，这是一道选择题，我们来分别 a、 b 跟 c、 d， 我 们来看一看。 首先我们观察角一和角阿尔法，那么我们需要做哪些事情？根据这是折叠图形，所以说我们得看一看这个角一，由于它是折叠的，所以说它也是角一。 好了，现在我们来看一看 a 选项， a 选项说角一等于四十五度减二法，如果 a 选项是正确的话，那么 有一个小要求，是不是需要这个，这个角是四十五度的才行吧。啊？那我们接着来看这个角是二法，我发现了 b 这个选项， 角一等于角二法。这个图形中，我可以很明显的看出来，这个二法的角是要小于角一的，因为正好这个图形给我看到了点 c 落在 c、 d、 e 的 c 撇处，那么显然他们不是沿着 b、 d 折叠的，这个 c 撇没有落在 b、 d 上，所以说 a 和 b、 d 都是错误的。角一既不是 和角二法相等，他又没有什么关键性的证据来告诉我，这个虚线构成的角是四十五度角，所以说我们没有办法判断角一跟角二法的直接关系，至少 a 和 b 是 不对的。 那么我们接着来看 c 和 d 选项，同样的，我们接着来看 c 和 d 选项，这个地方是角二和角二法的关系，那我们来看一下角二，角二，在这里 我不难看出这个二法跟角二的关系。我在这画一个直角，我可以看到这个地方是一个点角，它俩是 相等的，因为这是折叠得到的，所以说我们没有直接的尔法跟角二的关系，但是我可以看得出来，角二是不是等于 一百八十度减去，哎，看一下，我想来表示这个点角了，这个点角怎么表示呢？二倍的配啊，这个点角是九十度 减去二法，是不是可以这么表示？那我们整理一下，一百八十度减去二倍二乘以九十度，再负负得正，加上二二法， 好像一百八十度减去一百八十度，加上二倍阿尔法，那么角二就等于了二倍的阿尔法啊。我们没有去算这个 c， 直接就推出了这个 d 选项，所以说这道题我们只有一个选项是正确的，就是 d 选项了。

同学们好，今天我们来分析一道二零二三年河北省中考数学真题第二十六题，一道有关几何探索性题目， 这道题目是整张试卷最后一道题，所以他比较难，那么老师在讲解分析的时候所花的时间可能比较长，但是如果这道题目你能够解决的话，对你的数学的提高有很大的帮助， 那么下面我们来分析一下这道题目。如图一和二，平面上四边形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b 等于八， b， c 等 等于二，刚好十一， c， d 等于十二， d， a 等于六，角 a 是九十度。大家注意这些长度， a， b 是八， b， c 是二，刚好十一， c， d 啊，是十二， d， a 是等于六，那么角 a 是九十度。很明显，这个四边形啊，应该是唯一确定的哈， d， m 是等于二的， 那么当然这个 am 应该就等于四了啊，相关的数据大家要熟悉哈，那么将线段 ma 沿楼着点 m 顺时针旋转 n 度，那么 n 它是规定大于零，小于等于一百八十，得到了 n 母 a 撇角 a 撇 m a 的平分线，那也就说这个两个角是相等的，角一和角二是相等的哈，因为它是角平分线，这根角平分线 m p 交 a， b 与点 p， 那么这个点劈它是在哪里运动呢？它是在折线啊， a， b， b、 c 运动，大家感受一下哈，它是在运动的啊，平移的时候它在运，旋转的时候在运动的哈，这个点劈呢，它是在 a、 b 和线段 b、 c 上运动的。 那么假设点 p 在该折线上运动的路径是 x， 那么连接 ap 撇好，那么在旋转过程当中，那么这里其实还应该要将 a 撇 p 连接起来啊，连接起来得到这么一种动态的一种题目哈， 那么下面我们来看到第一问，也就是本题最简单的疑问哈，那么题目是如果点 p 在 ab 上，那么求证 a 撇和 a 撇 p 和 abap 是相等的， 那么很明显这条线段和他相等，我们只需要证明啊，这两个三角形全等就可以了啊， 也就说在这两个三角形当中，在 m p a 和 m p a 撇这两个三角形当中，我们有一些条件是可以很容易得到的，也就是说 m a 和 m a 撇是相等的，因为你是旋转过去的，那么角一是等于角，也就是这两个角是相等，加上公共边啊，所以这两个三角形也很明显是可以得到，是全等， 那么全等之后，那么当然第一问啊，就比较轻松的解决了。好，这是第一问，那么接下来我们看到第二问，第二问，有两个小问哈， 如图啊，啊，我们看到这幅图，这幅图哈，那么在在这幅图当中呢，连接 bbd 啊，连接 bd， 那么在这幅图形当中，他要我们求角 c b d 角 c b d 的大小，也就是这个角的大小 啊，这个角到底多少度，那么并直接写出当 n 等于一百八十度的时候， x 的值，那么很明显这道题目的第二个空啊，我们应该要画出图形。首先我们来先解决第一问，这个角 c b d 的度数是多少，那么根据我们 个的数据，大家发现啊，呃，这个 ad 是六，那么 ab 是八，当然这个 bd 啊，是容易求的出来了啊，应该因为这个 abd 是一个直角三角形， 那么两条指甲边一条是六，一条是八，那么斜边应该就是十了，所以这个斜边 bd 就是十。那么有了十之后呢，这个时候我们很容易发现啊， 这个 b d 的平方，也就是十的平方，加上这个 b c 的平方，就是二根号十一的平方，这两个加起来它是等于一百四十四 啊，一百一十，一百四十四刚好是十二的平方，所以它是等于 cd 的平方，这样一来，这个角应该是九十度了啊，这个角是九十度，好，这是这个问题哈，那么 接下来我们看到当 n 等于一百八十度，也就是要旋转一百八十度的时候，会出现什么情况？我们在这里画着这个图哈，旋转一百八十度的时候，大家注意了， 那么旋转一百八组相当于 ap 啊，已经到了这个 am 的延长线上，他应该是条直线了，那么这个时候这个地方应该是一个直角了啊，这个地方应该是一个直角，因为他是角平分线的， 那么也就换言之就是应该是过 m 啊，作 a b 的平行线，这样交过来的这个 b c 上的焦点应该就是 p 点了，那么他要我们写出 x 的值，我们知道 x 是表示 p， 他运动的距离很明显 p， 他是从 a 点到 b 点再到 p 点， 所以这道题目呢，我们其实只需要求出 p b 的长度就可以了，我们求出了 p b 的长度，那么再加上八，那么就是应该是 x 的值了，那么在这里呢，我们取一个字母哈，这里取一个 n， 为了方便书写 好，那么在这个图形当中，我们能得出什么呢？大家注意，在这幅图形当中啊，这两个三角形是相似的哈，首先我们来看到这里面，由于这条边 p m 和 a b 是平行的，而且这条 d m 是等于二啊，那也就是说在这里面呢，我们可以率先求出 m n 的长度啊，当然也可以利用相似，也就三角形 d n m， 这个三角形 和这个 d b a 是相似的，那么相似的话，就意味着 a 啊，就是 d m r 比上这个 d a 六，它应该是等于 m n， 比上这个 a b 是八，所以这里面可以建立一个等式，很容易求出 m n 是等于三分之八的 啊，然后同时求出 m n 等三分之八，那么其实 d n 我们也可以求出来，因为 d n 它比上这个 b d 十，它应该是等于二比上六的，所以这个 d n 应该也很容易求得出它是三分之十， 那么当然这个 bn， 那就应该是用十减去三分之十，等于三分之二十，所以在这里面我们很容易求出 mndn 以及 bn 的长度了。接下来这很容易发现这两个三角形是相似的了啊，这所以这道题目呢，用的相似的地方比较多哈，这两个三角形相似之后， 那么很明显我们就可以求出 p b 了啊，所以求出 p b 啊，因为这两个三角形是相似的，那么这两个三角形相似，我们就得到 m n 啊，比上这个 b n 等于 等于这个 dm 啊，比上这个 pb， 我们就是需要 pb 的长度，所以在这里面经过比例发现的这个 pb 是很容易求出来了， 这个时候我们可以求出啊，这个 p b 啊，是等于五的，那么求了这个 p b 等于五呢，再加上这个 a b 是八，所以 x 的值应该就是十三了啊，就是八加五等于十三。好，这是第二大问的第一小问，相对来说还是比较简单啊，主要是利用到了一些相似就可以了。那么接下来我们再看到第二大问的第二小问， 如果点 p 啊，这个点 p 到 a b 的距离是等于二，那么要求 角 a 撇 m p 的正切值，要求出 a 撇 m p 这个的正切值。大家注意，这个角我们可以标它为角一啊，我们这个角呢是角二，根据前面的分析，我们知道角一是等于角二的， 所以要求这个角一的正确值，那么相当于要求角二的正确值是一样的哈。那么接下来 我们看到这个题目啊，他有两种情况啊，为什么有两种呢？因为大家注意做注意观察，在旋转的时候呢，这个 p 点到 b d 的距离等于二了，他有两种情况。 第一种情况，极有可能 p 点还在 ab 的时候， ab 线段上的时候呢，他此时离 bd 的距离是二，那么也有可能他已经到了这个， 到了这个 b c 上的时候，那么这个时候它到 b d 的距离，它也有可能等于二。 所以这道题目呢，我们要分两种情况来讨论。首先我们来看到第一种，如果点 p 在 a b 上的时候呢，这个时候啊，我们就应该要做一条辅助线了，那么我们可以过 p 点做他的垂线，也就是做到垂线之后，这个 p e 啊，他应该是等于二的了啊，这一段 p e 他是等于二， 那么在这种情况下，我们来求出啊，求出谁呢？求出这个角二的正切啊，当然题目是要求角一的正切 tendrid 啊，那么其实他也可以相当于是求角二的正切是一回事。 那么这个时候在这幅图形当中呢，我们很容易发现这两个三角形是相似的，就是 b、 p、 e 啊，这个三角形，大家注意观察和三角形 b、 d、 a 啊，就是和这个大的直角三角形是相似的，这个很容易得到它相似哈，因为它有一个公公角啊，角 a、 b、 d 是公公角，那么有了这个相似之后呢，我们很容易在这 这里面呢求出 p b 的值，求出这一段啊，因为 p b 啊，比上这个十，应该是等于这个 p 二比上这个六的，所以我们就很容易求出啊，这个 p b 的值啊，等于三分之十， p b 等于三分之十，那么 p a 啊，就是 p a 就应该是用八减去三分之十，所以它应该是等于三分之十四。 有了这个 pa 的值之后，大家注意这个 a、 m 的值是等于四的，这样一来的话，我们就可以求出角二的正切了，那么他应该是等于三分之十，是比上四的， 所以他的正确值应该是六分之七啊，这两个三角形的函数值是是相等相等的哈，这两个角的函数值是相等的， 所以第一种情况求的他的正切啊，应该是六分之七的。那么接下来我们看到另外一种情况啊，这个题目比较复杂哈，如果点 p 点是运动到了 b、 c 上的时候， 那么这个时候它 p 点离 b、 d 的距离等于二的话，由于我们已经知道这个地方角 c、 b、 d 是九十度的，所以这个题目里面的这个 p b 啊，应该就是等于二了啊，它的距离它其实就是 p b 了， 那么在这种情况下，我们要求出这个角的正切，注意角 a 撇 m p， 也就是这个角啊，我们依然为角一，那么下面这个角呢？我们为角二，根据刚才的分析，我们发现角一和角二的角是相等，所以他们的正切也是相等， 接下来我们该怎么去求他的正切呢？大家注意，要求一个角的正切的，我们往往会把他的角度角放到一个直角三角形里面去，所以这个时候我就需要做辅助线了 啊，他的辅助线是这么做的哈，分先过 p 点做 a d 的垂线啊，垂足为 h， 垂足为 h。 然后我们再过 b 点做 ph 的垂线啊，垂足为 f。 那么同时这里有一个焦点 h 啊，焦点为距啊，焦点为距。那么这样一来的话，大家注意这个时候啊，角二了，它就已经处于一个直角三角形 m p h 里面了，所以我们只需要把 这个直角三角形里面的啊，它的边的长度 p h 以及 m p 求出来了，那么它的正切值也就宣告求出来了。好，那么下面我们来看看怎么去求 好明显。根据前面的第一问的提示的，我们发现在这个图形当中，这两个三角形他依然是相似的，也就是 pbf 啊，和这个 d b a 是相似的，大家注意观察这两个三角形他为什么相似，注意这个角啊，这个角 f b g 这个角啊，是作为这两个角的 啊，同角的，与角是相等的，所以这两个角是相等的哈，那这两个角相等，因为他加上这个公共角都 等于九十度的，所以这样一来的话，我们就发现了这个很容易发现这两个三角形是相似的了，那么相似之后啊，这两个三角形相似之后，我们就发现它里面的对应边 p f 啊，比上六， 比上 ad 六，它应该是等于 bf 啊，比上这个八的，那么它应该是等于这个 pbr 比上十。所以根据他们所提供的等量关系，我们应该可以求出 pf 啊，求出这一段 pf， 它应该是等于五分之六，同时我们可以求出 p f 五啊，等于五分之八。大家注意， p f 它其实就是等于 a h 的，所以 a h 它应该也是等于五分之八， 那么同样的话，这个这个时候我们就很容易求出 p h 了啊，因为 p h 它是等于这个 a b 加上 p f 的，所以这样一来的话，我们就可以求出 p h 啊，等于八， 加上这个五分之六，所以他应该是等于五分之四十六，那么这个 m h m h 应该是等于 m a 啊，这个是 减去这个 b f 啊，减去五分之八，所以它应该是等于五分之十二的。这样一来的话呢，在 三角形 p m h 这个三角形当中，我们就求到了它的两条直角边的长度了，所以角二的正切啊，就应该可以用 p h 比上这个 m h 啊比值，所以他最终应该是等于六分之二十三的，所以第二大门的第二小门他有两个答案哈，一个是前面我们求的六分之七啊，另外这一个是等于六分之二十三的。 好，这是第二大问，我们就解决了哈，那么接下来我们看到最后一问啊，也是比较难的一问哈， 当 x 大于零，小于等于八的时候，那么也就是说它的前提条件意味着什么？意味着这个点 p 啊，它一直处于在 a b 上的时候，那么这个时候要我们直接求出 这个 a 撇到 a b 的距离是多少，那么很明显这个时候呢，我们来注意观察一下哈，我们在选的那 过程中，大家有没有发现呢？他有两种情况出现，两种情况的出现，我们先尝试一下哈。首先我们应该过 a 点着 ab 的垂线， 那么垂足我们为 o 点，同时我们过 a 撇作 a， d 的垂线，垂足为 q。 大家注意观察 op 这两个点的位置的变化。我们在这里的选段的时候，我们发现 p 点呢，他始终处于 o 点的右侧，但是随着他的角度的选择变大的时候，发现 p 点他会处于 o 点的左侧去了， 那么这个时候很明显我们要分两种情况来理解这个问题。首先我们看到这种情况，那么为了解决图形当中的 a 撇 o 的长度，他是我们需要求的，所以在这里呢，我们可以先假设一些长度哈。首先我们假设啊，为了方便后面的求解，我们来假设一些哈，假设 op 为 y 啊， o a 撇 o 为 h， 那么注意这个 o p 啊，它是 x 的哈， o p 是 x， a p 是 x 的 a p， 因为它是运动的，距离是 x， 所以我们发现 o a 呀，它应该是 x 加 y 的啊， x 加 y， 那么这样一来到我们图形当中呢，有些线段是可以用 x y h 表示了，比如说啊，这个 a m 啊 a m， 我们这是四的，那么这么 a 撇 应该也是等于四， a 撇 q 啊，应该是等于 x 加 y 的，之所以把这些长度都表示出来，因为我们接下来要找两个三角形相似，哪两个三角形呢？三角形 a 撇 o， p 和三角形 a 撇 q、 m， 这两个三角形它是相似的啊，这个很容易得到它相似哈，因为这两个小的角加上中间这个 p、 a、 b、 q， 它都等于九十度，所以这两个角应该是相等的了。 那么这样的话呢，注意 a 撇 p 啊，它是等于 a、 p 的，所以它也是等于 x， 也就是说这两个三角形里面的边的长度，我们都可以用 x， y 和 h 表示出来了，所以这个时候呢，我们就应该啊，注意这里，我是书写的过程啊，他为什么相似啊？因为这两个角加这个公共角都等于九十度，所以他们是相等的 啊，也就是说三角角 m， a 撇 q 和 p、 f、 o 是相等，那么加上它们都有一个直角啊，所以它就相似了哈，那么相似相字之后，就对应边就相等了。 那么大家注意，对应边我们可以用 x、 y、 h 表示出来，那么在这个等式当中就有一点点麻烦了哈，首先呢，我们可以用第一个量和最后这个量相等啊，这个时候呢，我们就可以求出 y 的值 啊，求出 y 的表达式，那么 y 他应该是等于四， x 等于 x 乘以括号四减 h 除以四。那么同时呢，我们可以利用第一个量和第二个量相等 啊，或者是第二个量和第三个量相等啊，第二个量和第三个量相等，得到四 h 啊，等于 x 乘以括 x 加 y， 那么得到这两个狮子之后呢，我们很容易发现，我们只需要将 y 的值带入到下面这个狮子里面去之后，那么很明显 y 就不见了，那么剩下 x 和 h 啊，题目是要求 h 的值用 x 表示，所以大家这个希望大家课后啊啊听完之后哎，去自己画一下哈， 将上面这个式的 y 带下去，稍微整理一下，就可以得出， h 应该是等于这个值了。好，这是当 p 点在 o 的右侧的时候，是这样子的，那么当 p 点运动到他的左侧的时候嘞， 好比如说这种情况，那么其实他一样的道理还是一样的道理，依然是找这两个三角形相似的哈，方法非常类似啊，找这两个相似，那么这两个相似的里面有些量稍微变了一下 啊，变了一下，我们可以依然是假设 o p 为 y 啊， o p 是 y 的， 但是这个时候的 a o 啊，它的 a o 就不是要表示成 x 减 y 了啊，因为 a p 是 x 什么，所以这个 a o 应该是 x 减 y 啊，在这个地方稍微变一下，所以这个 a p q， 它应该是等于 x 减 y 了，它应该是等于 a o 的啊，这里稍微变了一下， 那么其他的还是保持不变的哈，还是保持不变，比如说 a 撇 p， a 撇 p， 它依然是等于 a p 是等于 x 的，这个不变，那么 m q， 那么 m q 这个时候呢，就应该是用这个 h a 撇 o 这个 h 啊啊，减去这个四了 啊，减去四，所以他应该是表示成 h 减四，那么 a 撇 m 五和 a m e 呢？还是等于四的，所以这两个三角形的边还是可以表示出来啊，这个时候呢，我们依然是相似的，条件是一样的，跟刚才他们两个三角形 还是相似，那么对应边稍微变了一下，这里哈稍微变了一点点，那么这个时候还是一样的方法，转化一下，同样用歪带到下面十字里面去，结果他的答案还是一样的， 所以这两种情况是一样的答案哈。好，那么这一道题呢，他考察的量是比较大的哈，要完全做对还是有一定的难度。那么这一讲呢，我们就分析到这里。好，再见。

hello， 各位同学，在这里呢，非常荣幸的给各位同学讲解这道题，然后各位同学看到帅气的冯老师，那么想必你们一定会精神抖擞。 来，我们一起来看一下这道题。首先这道题呢，它是二零一九年它选择题的一个次亚洲题，它的这个题的大概程度呢？它其实并非是很难的一道题，但是这道题它的出错率却是非常高的， 那么这道题为什么它会出错率这么高？同时这道题所涉及到了一个什么样的知识点呢？一起来跟着冯老师的课堂来了解一下这道题吧。好，我们先读一遍这道题啊。首先有一个题目，已知点 o 为三角形 a、 b、 c 的 外心 这一句话，其实它按着的一些东西，大家想，我们目前这道三角形一定是分为按角分类，一定是分为几种三角形来，锐角、直角和钝角。但这道题来告诉我们，三角形 a、 b、 c 是 锐角三角形或者是钝角三角形了吗？ 其实并没有，所以在分析这道题的时候，一定要把它按住三种情况逐一分类，明白了吗？好，再继续。我们发现角 b、 o、 c 的 一百三十度，也就是它的原心角是一百三十度。好， 同学们一定可以反应过来，圆心角是一百三十度，那么同弧所对的圆周角一定是一百三十的一半，也就是六十五度。但是这道题他说奇迹，说加价考虑的不周全，角 a 还有另一个不同的值。所以我们在分析这道题的时候，来，首先将三角形 abc 按照我刚才所说的按角分类。 好，我们一起来分类一下啊，同学们，首先先看三角形 abc。 好， 如果是锐角三角形， 一个是直角三角形，同时一个是钝角三角形，所以各位同学来提问开始了。三角形 a、 b、 c 是 锐角三角形时，请问它的外心是在三角形的里面还是外面？非常好，在三角形它的里面， 也就是三角形的内部，明白了吗？那同样，如果是直角三角形呢？来，它的外心应该是在三角形的哪一块位置？三角形斜边的中点， 同样钝角三角形呢，它的外形又在什么位置呢？很明显是在三角形的外部， 三角形的外部，那么我们发现了以上的这些题，我们一起来看一下这道题。好，如果说此时此刻三角形 a、 b、 c 是 锐角三角形，我的外形是在里面，那么刚好和我这个图形是一模一样的，所以此时此刻，但当外形是在里面的时候，我们知道 我们的圆心角是一百三十度，一定可以得到我的圆周角是多少度？六十五度，没有任何问题是成立的。来，我们一起来看一下这道题。 好，当是直角三角形呢？当是直角三角形，说明他一定会产生一个直角边吧，所以我们在这里让他产生一个直角边。来。各位同学，我们说角 b 是 直角，当角 b 是 直角时，各位同学看这里。那么角 a 此时此刻应该在哪一块？很明显，角 a 此时此刻应该在这一块吧， 那么角 a 在 这一块的时候，来角 o， 来，我们画一下啊，角 o、 c 在 这个位置。哎，角 b、 o、 c 是 多少度？一百三十度。好，我们继续看，角 b、 o、 c 等于一百三十度。 来，各位同学想一想，我此时此刻角 a 还是多少度？六十五度，为什么同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以我在这里角 a 还是六十五度， 但是同学们到这里就结束了吗？并没有，还有一个钝角三角形，所以当三角形 a、 b、 c 是 钝角三角形时，我的耐心一定是在三角形的外部， 那么当他在三角形外部的时候，同学们来一起来看一下这个图，请问这一块的角 a 还存在吗？他是锐角，不存在了吧。那么角 a 应该画在什么位置呢？他是钝角三角形，所以说我们把角 a 画成一个钝角来，各位同学看这里，我们把角 a 画成一个钝角。 好，那么此时此刻角 a 应该在这个位置吧，所以那么在三角形 a、 b、 c 是 外部的情况下，我们先观察啊。首先这里是一百三十度，请问各位同学这里是多少度呢？ 来，在这里有一个非常非常简单的一些知识点。好，首先我们可以发现这是六十五度 来这个三角形 a、 b 来，再到它，比方说这是 a 撇 a、 b， a 撇 c 来，很明显，这个四边形，它一定是一个圆的内接四边形，圆的内接四边形，它一定会产生一个对角互补， 一定可以产生一个对角互补。那么当产生对角互补的时候，所以各位同学来想一想，我的角 a 是 六十五度，那么角 a 它的对角，比方说啊，这是我的角 a 撇，我们实际上求的也是角 a 撇， 那么此时此刻角 a 撇是一个什么状态？互补的状态，所以来六十五度，它的补角值多少度？一百八十度，减去六十五度，很明显是一百一十五度，所以这道题它不仅是有六十五度这个值，同样 还有一百一十五度这个，所以各位同学，这道题你明白了吗？那么我们最后的最后给这道题总结一下来，在这里啊，在这里说了，三角形 a、 b、 c， 我 们并非知道三角形 a、 b、 c 是 锐角、直角和钝角，所以我们要逐一判断。 同样我们还要利用外心的知识，当三角形 a、 b、 c 是 锐角三角形时，外心是在内部。直角三角形时，在西边的中点处钝角三角形时，它一定是在我的三角形的外部。 好了，同学们，咱们今天的课堂已经结束了，那么今天的知识你学会了吗？那么同学们有任何不会的知识点，可以通过我的视频号去添加我的微信，老师在这里可以给各位同学免费解答。

大家好，今天我们一起来看二零二三年河北省中考的第二十三题。这是一道常见的二次函数的一个考题，题目是这样的说佳佳和琪琪在玩沙包游戏， 因此建了一个数学模型，这里边有一个条件，就是每一个单位是一米长，佳佳在 a 点将沙包抛出，运动路径为 c 一这个函数， 琪琪恰在 b 点接住，然后跳起将沙包回传，运动路线为 c 二这个函数。那第一问是求出 c 一的最高点坐标，并求 ac 的值，那最高点的坐标，实际上我们在这里边我们就可以看出来是 是什么。对，就根据 c 一的这个顶点是，我们就知道他最高点坐标一定是什么。对，就是三二。第一问这块非常简单，那 a c 的值呢？也是常规的做法，我们将什么将六一 代入 c 一这个函数，那我们就得出来，一等于 a， i 就是六减三的平方加二，那我们解出来 a 就等于负九分之一一的函数就变成了 i 等于 九分，负九分之一的 x 减三的平方加二，这时候我们再把 b 点的零带进去，我们就可以得解出来 c 等于一，那第一 问我们就全都解出来，是常规的考点，常规的考法，关键我们在第二问，第二问说加加在 x 轴上方一米的高度，且点 a 水平距离 不超过一米的范围内，可以接到，接到沙包求符合条件的 n 的值是多少，那这个怎么理解呢？ 那是不是我们把这个看一下，在一米的方位，我们现在知道 a 点是什么？在 a 点是六一水平一米范围，那往这平一一下平一都各一个单位，那分别是五 一和七一这两个位置，也就超过这两个位置的话，就算失败了，这两个位置范围之内就算成功了，那这两个 是边界点，那我们已经有了 c 二的一个函数表达是，只不过 n 不确定， c 我们已经解出来了， c 是一，那我们怎么办呢？对，还是代入 还是代入，那这个是第一个，我们将五一这个点代入，代入进去的话就是一等于负八分之一的五的平方，加上八分之五倍的 n， 加上 c 是一，加上一，我们就可以解出来 n 等于五分之 十七，那同样的方法，我们把七和一也带进去，我们可以解除 n 的 值是七分之四十一，那也就是我们可以理解一定要在什么在七分之四十一和五分之十七之间。 题目要求 n 的整数值一定要注意整数值，那我们就可以算 n 只能取几啊？四或者五。 这道题从解题的过程大家可以看出来不难，但是他这个问法比较新颖，我们一般都是在 x 轴上的一个焦点，或者 y 轴上的焦点来考，但是他是什么？在 x 轴上方一米， 所以说我们就要选点的，选点的时候我们就要注意他是什么，五一和七一这两个点问法很新颖。好了，今天我们就解析到这里，我们下次继续。

各位好，今天我们一起来解析一下二零二三年河北省中考数学试卷，那么整张卷子的难度呢，基本上是趋于一个平稳的，我们主题呢，来讲一下。 首先第一题，第一题说代数是负七 x 的意义，这里边他指到的应该是什么呀？应该是负七乘以 x， 对吧，中间省略一个乘号，所以本题应该是 c 选项负七与 x 的 g。 第二题，第二题呢，说西柏坡位于琪琪家的南偏西七十度，这在图当中呢，给你标注成了， 那么问的是琪琪家位于西柏坡的什么方向，我们就应该以西柏坡为观测点进行观测。哎，因为它是平行的，内错角相等，所以这个角也是七十度。好了，这应该是北 上北下南左西右东啊，北偏东七十度。这个题呢，也没啥好说的，选择 d 选项第三题，第三题考的是一个化解，那在这里边呢，我们首先要对括号里的部分啊进行平方，这是 x 三次方乘以什么呢？上面是 y 的六次方，比上 x 平方， 那这里边可以约去一个 x 方，剩那个 x， 所以答案就是 x 乘以 y 的六次方。选择 a 选项 第三题问，抽到花色的可能性最大的是，我们先统计一下各个花色有几种情况， 在黑桃里边呢？是不是只有这个黑桃 k 一个？在红心里边呢？是红心一九六应该是三个，梅花呢，应该也只有一个方 片，应该是三和四有两个，所以很明显他可能性最大的应该是 b 选项红心。第五题，第五题呢，说这个是一个四边形， abcd 边长呢，会告诉你 说，当三角形 a、 b、 c 为等腰三角形的时候，问对角线 a、 c 的长度，但这里边呢，因为它是等腰三角形，所以这个 a、 c 的长度有几种可能性啊？应该是两种，对吧？要不然是三、三四， 要不然是什么呢？哎，三四四。而如果这个地方是四的话，你看，在三角形 a、 c、 d 当中，咱们关注这样一个三角形，很明显的二加二是不是没有大于第三边呀？它不符合两 编织和大于第三边，所以这个四就被排除掉了。那这个地方呢，只能是三，我们验证一下哦，二加二大于三没问题，三加三大于四也没问题啊，所以本题呢，应该选择的是啊， b 选项三，你看前五题还是很平稳的， 接着往后第六题，第六题呢？说这样一个式子总能被谁整出，那拿到这个题以后，肯定要先去化解一下这个式子，对吧？这式子怎么化解呢？哎，首先我们可以考虑把前面这个平方给它打开。那把前面平方打开应该是什么呀？ 啊？四 k 方加上一个十二 k 加九，完全平方公式，减去个四 k 方，所以他应该等于什么呢？等于十二 k 加九。好， 我们提出一个三得到是四 k 加三，这样的话，因为 k 是一个整数，所以我对应的四 k 加三是不是一定也是一个整数啊？那他肯定是谁的倍数，肯定是三的倍数， 所以本题呢，应该选择 b 选项。当然这个式子在化减的时候，我们也可以把这个四 k 方当做什么呀？当做二 k 他括起来的平方，对吧？那这样的话，我们就可以利用平方差公式， a 方减 b 方等于 a 加 b 乘 a 减 b 的形式展开也可以啊，没有问题。 前六道题呢是两啊，是三分，后边呢是两分。我们先说前六题。

好，同学们，大家好啊，这个视频，接上条视频，咱们给大家整体的分析了一下二五年的中考物理试卷之后，这个视频是咱们具体类型的一个剖析与讲解， 那么每道题以及每类题型它的考察知识点是什么？在哪本书上的占比比较多，那么这个视频会满足你的需求。好看，咱们第一部分啊，第一部分咱们的是选择题， 那么经过改革之后，咱们的选择题变成了十道，那么每个单选总分是二十分，也就是十道选择题，每道题是两分，总共是二十分。好看，咱们的第一题，看到重点词语扩散，那么我们知道第一题考察的是九年级的分子动理论， 分子动理论这个知识啊，分子动理论这个知识那么好看。第二个融化，那么我们会想到这是考的八上的物态变化 这个知识啊，八上物态变化这个知识。第三题，安全用电，那自然而然就是咱们九年级学的安全用电。 好，这是前三道题的一个知识分布啊，大家接咱们接着往后看。 第四题，看到了古琴，大家可以联想到这是八上咱们的升学这一单元吧，就是第二单元升现象这一单元，对吧？好看。第五题，光的直线传播是不是也是八上的光学呀？ 八上的光学。接着往下来咱们的第六题，看到丁图，看到假图，还有看到 a 选项这个提示，那么能想到这是九年级的电语词 九年级电语词这一单元的知识。那么第七题，凸透镜成像是不是也是八上第五单元学的成像规律啊， 也是咱们八上学的啊，成像规律，接着往后看第八题，看到这个关键词重力，势能，动能以及这个能的转化，那么是咱们八下学的机械能，守恒 机械能手。好，接着咱们看咱们第九题啊，那么看到第九题这个关键词作用力，平衡状态，那大家能够想到这是咱们八下学的力，还有 平衡力啊，属于八下的知识，那么第十题雷打不动是咱们的电学，你看见了吗？电学啊，并且考察的是动态电路分析， 动态电路分析就是用咱们的欧姆定律去分析吧， 用咱们的欧姆定律去分析啊，好，那么这十道题咱们就说完了，它的一个考察点，以及每本书的一个占比，最后老师给大家总结一下啊，那么关于咱们八上 考察的知识一共考了四十，而八下考察的两道 占比是百分之二十，那么九年级全部也是考察了四道，他占比也是百分之四十，那么这个大家一定要注意一下啊，可以作为咱们以后考察以及复习的一个方向，每本书他在这个题目的占比是多少，大家要了解一下。 好，选择题咱们就说完了，那么接下来咱们来看咱们的第二部分，是咱们的填空题，那么填空题咱们上次说了，经过改革之后，他的难度是上升了的， 提量没有变，但是总分下降了，也就说本来那些好拿分的空，现在没有了，是我们的难度上来了啊。那么看咱们填空第十一题，第十一题考察的是一个通信啊，通信的一个知识是九年级的啊，九年级的通信， 那么看一下惯性是咱们八下学的吧，八下学的惯性，所以这个题还是九年级和八下联合考啊，联合去考的十二题，压墙是不是也是八下学的呀？ 八下学的压墙好，那么第二个空，你看相对于列车车窗这个运动与静止， 运动与静止是他什么时候学的？是咱们八上学的啊？八年级上册学的运动与静止。好，接着往下看十三题，十三题大气压也是关于咱们的压墙啊， 然后通过什么方式改变内能啊？热血，九年级学的热血啊，内能这一块对吧？好，十四题，核能，这个也是九年级学的能源这一块吧， 属于我们九年级的能源这一块啊。好，那么第二个空，再给水加热时，水在升温的过程中比热融也是啊，九年级的 比热熔的相关知识好，这是十四题。那么十五题，看下十五题船闸利用了什么特点啊？这个咱们在课本上复习的时候应该知道，这是联通器啊， 联通器，这也是咱们八下所学的一个知识。那么再往下第二个空定滑轮，滑轮也是咱们八下学的啊， 滑轮这一块的知识啊，滑轮还有杠杆，对吧，也是八下的一个知识。 那么好啊，最后老师给大家总结一下关于填空题的一个知识点的分布，那关于咱们的八年级上册，他只出了一个空啊，所以占的是一分，那对于咱们八年级下册，他占的分数是五分， 那么对于咱们九年级全部来说占的是四分啊，总分是十分。大家把这个了解一下啊，可以看到每道题的一个考点，以及在每本书中的占比。那么好，这次视频咱们就到这里啊，咱们把选择题还有填空题给大家笼统的 说了一下啊，每道题的考点以及考察方向给大家说了一下，大家作为一个咱们后期复习的一个 方向啊，那么咱们下期视频会把咱们的实践探求题以及计算题，它每道题的考察方向与知识点再给大家呈现出来，好，这视频再见。