等差数列an的前项和公式

其中章丘剑算经就是其中之一，那么下面这道题目就选自于章丘剑算经，我们看一下如何要下列的古文翻译成现代文呢？ 今有与人钱，初一人与一钱，次一人与三钱，以此与之转多一钱，共有百人，问，共于几钱？ 我们请同学简单翻译一下来。这位男生就是今天，呃，给人钱，第一个人给他一千， 后面一个人给他两千，再后面一个人给他三千，嗯，每后面一个人多给一千，一共有一百人，一共给了多少钱？那也就是求多少？求什么？从一加到一百，嗯，很好坐下，也就是求一加二，一直加到一百， 那么一加二一直加到一百。你听过有关这个求和的故事吗？ 来，这位男生高斯的求和，嗯，高斯有一个著名的是高斯求和，那么高斯是如何求一加一百的？首先莫想相加，嗯，他等于他把这个写成了等于一个， 这就是一加一百。然后二加九十九，二加九十九，依次为推，中间两个是 五十加五十一，五十加五十一，这样你会发现每个括号里面都是定值多少， 一百零一，一百零一，对吧？那么你把不同数的求和变成了一个相同数的求和，那么等于一百零一乘以多少，有多少个？ 五十五十个，所以很快算出来，等于五零五，嗯，五千零五十，很好，坐下。 那么钢丝球何时用到了？上节课的哪个性质呢？哪个性质？我们想一下是哪个性质？ 我们把这个一二三到一百看成是一个简单的等差数列，那么 一就是 a， 一， 二就是 a， 二，一百就是 a 一 百，对吧？那所以他用到一个什么性质了？那就是括号里就是 a， 一 加 a 一 百等于 a， 二加 a 九十九，对吧？所以就算你跟我们讲什么性质， 等差速列里面如果 m 加 n 等于 p 加 q， 有 什么？我们一起回答一下是什么？那就是 a m 加 a， n 等于 a， p 加 d q。 嗯，很好， 那我们这个地方如果不是求一加一百，是加一个嘛？一百零一，记住个，又怎么去求呢？ 来，那个女生啊，先这样，嗯，根据钢丝球盒法，要用一加一百，然后二加九十九，然后最后再加上一个一百零一。嗯，我们可以先利用钢丝球盒这个地方，借助前面这个结论先也是一样的，一加一百 加二加九十九， 最后加一个零，一百零一，所以你就等于个， 那么很快算出来又等于多少了？五千六百五十一，五千一百五十一，很好，这下， 那么现在推广的一般情形，一加二一直加到 n， 我 们该怎么求呢？这个 n 到底是一个奇数还是偶数呢？怎么办呢？ 来，自己拿去。嗯，这种情况下的话， n 要分类讨论，嗯，你觉得 n 分 类讨论第一种情形，假设当 n 为奇数的时候， 呃， n 的 n 基就等于一加二，加到 n 的 话，就等于括号 n 加一，然后二分之 n 减一，再加上一个二分之 n 加一。 嗯， n 为基础，你怎么讨论的？ n 为基础的时候，就是这个式子，就可以化为 n 加一，括号 n 加一，然后乘以一个二分之 n 减一，再加上一个二分之 n 加一。怎么来的？ 根据高斯求和公式根据高斯求和公式，根据高斯求和公式的话，那我们需要偶数个，对吧？那这里是一加二加 n 是 奇数个，怎么办？所以就是先一和 n 减一配对，然后，嗯，这里一加二， 你是先把这个最后一个 n 先拿出来，对吧？前面把这个一和 n 减一进行配对， 那我们二就和 n 减二， 最后一个，呃，最后一个的话就是 是多少了？想一下每项配对以后，括号里面的和是 n， 对 不对？然后 n 是 一个基数，所以是 二分之二分之 n 减一，加二，分之 n 加一， 再加一个 n n， 所以 然后的话化简之后就是 n 加一，然后乘以二，二分之 n 减一，再加上一个二分之 n 加一， 等于每个括号的 n 一 共是二分之 n 减一个，嗯，然后再加一个，最后还有一项，嗯，然后结果的话就等于二分之 n 乘以 n 加一。 好，这是计数情形。那么还有一个偶数的，偶 数的话就是一和 n 配对，然后二和 n 减一配对， 就直接用高斯的收尾配对， 然后最后一遍的话是二分之 n 加上二分之 n 加 e， 然后化简的话可以用到。