七上数学第六单元如何作图

孙老师一讲，豁然开朗，角度折叠问题，折叠两次有交叉咱都不带怕抓住折横，前后对称相等，再用上射餐技巧。 好，我们来看一道正方形两次折叠问题啊，将 abcd 按如图所示的方式折叠， c e c f 为折痕。这句话非常关键啊！再往下走之前，我们先复习一下关于折叠的一个重要性质， 如果他是折痕，你这折之前和折之后是有一个完全相等的形状，在我们角度里边，我们要的是在折痕两侧，这两个角是相等的，这就是我们从折叠得到一个重要的等量关系。 那么在这个图里边，你很容易搞迷失啊，因为线太多了，很多交叉，咱们干嘛呢？把折痕描一下好，我分别用了蓝色和红色线来标注了一下啊， c 一 和 c f 好， 是谁沿着 c 一 折呢？是点 d， 你 看清楚啊，这个 d 翻到哪去呢？翻到了 n， 那 d 翻到 n， 这个形状就是一样相等的，所以我把角度标出来，是这个大角等于是 n， c 一 等于 d， c 一 这两个角相等啊。 当然，你不要疯狂老师，这俩也相等，是的，没问题。还有这儿也相等，是的，但是用不上，因为我们这个题的条件是 e c f， 再点 c 这个区域，包括 m c， n 都在这边，所以你标这个 没用。同样的，沿着 c n 是 谁翻的呢？是点 b 翻到 m 了，那么 b c f 就 等于 m c f 啊， b c f m c f 这个你一定要标清楚了。 有很多同学想，当然啊，他怎么标了，他连折痕都没看清楚，他说，哎，我看着像，这两个像相等啊，或者这两个像相等，你只要敢这样一标，你最后时间全浪费了，没有意义， 因为你关系都找错了，继续往下推，条件来了， e c f 是 二十度，这个小小的角我就往里边飙， 这是二十度，你看啊，大的相等角往外错开，小的往里边飙，这样我就很清楚，现在没条件呢，对吧？要求 m c n， 你 这里面就一个二十度，二十度没有办法表示这个等量关系，不知道的角太多，我就干嘛设餐呢， 舍小不舍大，你看二十上面这个角很小，这个角标为 x， 也就是 m c 一， 那如果他是 x， 谁出来呢？这出不来啊，这两角不行，不是我这一半谁出来了？哎，这 fcm 他 就是 x 加二十没问题，那他是 x 加二十，下面相等的也是 x 加二十出来， ok， 但是还是不够啊，为什么你上面这个相同，用完下面这个也没有用，下面缺谁呢？缺这个角，这个 y， 我 再设一个嘛，不犯法，因为你要用它，但是你又不知道，那这个 y 出来谁出来？往上一找，哎，这个一半是 y 加二十，那这边也是 y 加二十， 现在你发现你就设了两个差，然后利用这个折叠前后的相等关系，把所有角全标出来了，那就还缺个啥呢？你要做计算呢， 还有什么等量关系没用上？正方形的条件还没用，在这个地方，正方形天然带多少度呢？九十度，我画一个超大的九十度， 那不就来了，我就列方程了，我看一下。那你这个九数里边含哪些角，我就从这往上转，对吧？这有一个角哎，没问题哎，但是你往上转也可以往上转呢，但这个角不知道这个角能不能表示呢？可以用 y 加二十减 x， y 加二十减 x 可不可以？可以啊，那你这就这三个， x 加二十加它再加一个它。可以啊，两倍的 x 加二十度，再加 y 加二十度，减 x 等于九十度。 哎，这个方程可以化解一下，算出来 x 加 y 等于三十度啊，计算我就快速过。那你看一下我 mcn 是 什么东西，在这 mcn 那 不刚好是 x 加 y 加一个二十吗？角 mcn 等于 x 加 y 加二十度，就等于五十度了，就出来了。 是非常简单，你只要把这个折痕找到，折痕前后到底谁和谁相等，然后你一设参就出来，当然这个方程还有其他方法， 我还可以找哪些角呢？我还是找这个角。没问题，你有 x 加二十，其实对称美学我就想有 y 加二十， 但是还差哪个角呢？刚好差中间这个角。你看你看， x 加二十， y 加二十，中间还差个谁？就是二十 也行啊，这三个角一个两个，三个和也是九十度，没问题，也就是 x 加二十度，加 y 加二十度，再加一个二十度也等于九十度，你会发现你也能得到 x 加 y 等于三十度，跟它一样的。 ok， 所以做个总结，对于折叠问题，图形再复杂，你先不要慌，把折痕给找到，这是关键信息。然后折痕前后到底 d 翻到哪？ d 是 翻到了 n， b 是 翻到了 m， 你 要把这个相等角标清楚， 有了这些，那剩下的就是一个设参，把角度用 x y 表示出来，一个角不够，再搞一个嘛。 等量关系一出来，然后题目中他可能是长方形，也可能是正方形，甚至有可能是等边三角形， 那一定有一个等量关系，可以用就够了。那有些题的变形，你比如说这不再是九十度了，他可以是六十度，六十度说明是等边三角形吗？还可能是一百八，他在一条直线上这样翻折都行，但是方法没有变。关注梳理黑板，现在下课。

好，大家好，我们来看一下这道题。那这道题考成了一个作角问题啊，这个作一个角等于一只角，叫作图 角 a o b 等于 r f 以 o 为圆心，任意长为半径，角 o， a， o b 与 c d 两点，然后画一个色线，以 o 一 撇为圆心， o， c 长为半径，先画一个弧， 然后以 c 撇为圆心， c d 乘为半径，依次画弧。那所以我们得到了，我们连起来啊，连起来，我们可以得到这个角是 r f， 这个角也是 r f， 这个角也是 r f。 呃，然后反向延长 o 一 撇 a 一 撇，画出 h o 一 撇 g， h o 一 撇 g， 这个角的角平分线 o 一 撇 m。 现在他问的是角 m o 一 撇 h， m o 一 撇 h， 这个角等于多少？那这个角和这个角是相等的，所以我们首先用一百八 减去三倍的 f， 也就是这个是角 h o 一 撇 g 的 度数。 那由于 o e p m 平分这个角，所以我们可以得到角 m o e p h 上就是二分之一百八减三 f， 所以 这个答案你可以写成九十度， 减去二分之三 f。 好， 感谢大家的收听。

完了完了， c、 d 在 直线 a、 b 上运动，这图根本不确定啊，我放弃，慌啥子嘛，你想想 这学期有没有学过运动的方法，难道用动点方法？是啊，线段我只讲过设参和分类讨论，既然没有讲新方法，一定是因为老方法管用啊。 但这题连竖轴都没有，我去，不会要自己建竖轴吧？建竖轴犯法吗？干啊，竖轴的关键点在哪？远点 选一个点当圆点，选 c， c、 d 都在运动，如果你选 c 当圆点，那 ab 的 位置不一直在变。懂了懂了，虽然图上 c 在 最左边，但是 c 在 动，应该选 a， a 没动，对，设 a 的 位置为零。 你这 a、 b 等于十，那 b 的 位置不就是十喽？但是 c、 d 位置都不知道，哎，咋办？不知道的条件又得用。只有一个办法，射参对射， c、 d 位置分别为 x、 y， 然后 m 是 a、 d 的 终点，你想干嘛？画图不对啊， c、 d 一 旦动起来，你这个图全都要变。这个题压根不画图， 马上就要出来了。终点，终点，我的同学终点公是。是啊，终点公是 m， 二分之 a 加 d 的 位置零加 y， 也就是二分之 y， n， n 是 bc， 终点二分之 b 加 c， x 加十，也就是二分之 x 加五喽。然后条件给了 m n 等于三。 m a 是 什么东西？就是两点间距离啊，咱们在那个绝对值那学过，两点间距离是两点位置的差，不确定大小加绝对值，那么这二分之 y 和二分之 x 加五，你确实不确定大小啊。 条件给了一个东西，说 c 在 d 的 左边， x 比 y 小， 但是我加了个五，我到底有没有你大我也不确定，所以咱们就加个绝对值，那么 m n 就 等于用谁减谁。其实无所谓啊，由于 y 大 些，我就用它减它了， 也就是二分之 y 减二分之 x 减五除以变号加绝对值，那么这个绝对值等于三，这个方程怎么解比较舒服啊？它首先是个绝对值方程， 同时还有一个分母二，我就先去分母两边乘二喽，变成 y 减 x。 注意这个五也得乘啊。减十的绝对值等于六，这就舒服了。我把里边当一个整体，整体的绝对值等于六，那不就两种情况。所以 y 减 x 减十等于六，或 y 减 x 减十等于负六。所以 y 减 x 不 就等于这是十六，这边是四吗？ 两种情况。那 y 减 x 是 谁呢？ cd 你 看两点间距离嘛。所以 cd 就 等于 y 减 x 等于十六或四。这个题就做出来。老师这题真坑，他如果告诉我用动点，我早就做出来了，藏太深了。是的， 所以说对于这种线段计算，但是他又出现运动这种情况，你去画图的话，那个分类讨论图太多了，就马上想起来。我们可以用动点的方法， 但动点的方法前提是你得有一个数轴，尤其得有一个圆点。选圆点要注意，肯定是选确定的点，运动动起来那什么都在变，所以确定的点选好之后，剩下的就和动点非常像。

同学你好，我们一起来看这道题，这是一道几何题， 如果两个角的差的绝对值等于九十度，就称这两个角互为垂角。例如角一等于一百二十度，角二等于三十度，角一减角二的绝对值等于九十度，那么角一和角二它就是互为垂角， 并且给出了补充条件。本题中所有的角都是指大于零度并且小于一百八十度的角。咱们来看第一问，如图一， o 为直线， ab 上一点角 a o c 等于角 e、 o d 等于九十度。让直接写出图中所有互为垂角的角。 这道题给了咱们一个新的概念，什么是垂角？那么对于垂角，咱们对它进行进一步的探索。咱们假设角阿发大于角贝特，并且角阿发和角贝特互为垂角，那么角阿发减角贝特的绝对值其实就等于角阿发减角贝特， 因为它一定是大于零的，所以说角阿发减角贝特就应该等于九十度，那么角阿发它就等于角贝特加九十度。 题目中之前说了，所有的角都是指大于零度并且小于一百八十度的，那么角阿发的取值范围就是大于零度。小于一百八十度， 咱们就可以求出来角贝特的取值范围了。角贝特他也是大于零度的，经过计算，他是小于九十度的，所以说角贝特的取值范围就是大于零度。小于九十度， 那么咱们同样可以求出来角阿发的取值范围了，那么角阿发的取值范围就是大于九十度，小于一百八十度。 所以说在这道题中，互为垂角的两个角一定是大的那个角是钝角，小的那个角是锐角，并且这个钝角和锐角它们相减，它们的差的绝对值是九十度。咱们再来写一下第一问的具体解析步骤。因为点 o 在 直线 a、 b 上，所以 角 a、 o、 c 加上角 b、 o、 c 等于一百八十度。题干中又给出了已知条件，因为角 a、 o、 c 等于角 e、 o、 d。 等于九十度， 所以角 b、 o、 c， 它就应该等于九十度。所以说角 b、 o、 c。 等于角 a、 o c。 等于角 e、 o、 d。 它们三个角都是九十度。咱们之前已经证明了，在这道题中，互为垂角的两个角一定是一个是钝角，并且钝角减去钝角等于九十度。那么咱们看一下图一中有哪些角它是钝角。 咱们可以看到角 e、 o、 b， 它是一个钝角。那么咱们就找一找角 e、 o、 b 减去哪些锐角能得到九十度呢？咱们看角 e、 o b。 如果减去角 e、 o c， 减去角 e、 o c。 等于角 b o c。 角 b o c， 咱们之前求出来了是九十度。所以说角 e、 o b 和角 e、 o c， 它们是互为垂角的。咱们继续看角 e、 o b。 如果它减去角 d o b， 减去角 d o b， 那 么它就得到了角 e、 o d。 题干中已经给了角 e、 o d， 它是九十度，所以说角 e、 o b 和角 d o b， 它们也是互为垂角的。咱们再来找其他的钝角，咱们可以看到角 a、 o、 d， 它也是一个钝角。那么咱们就看一下角 a、 o、 d 减去哪些锐角呢？等于九十度呢？ 如果说角 a、 o d 减去角 a、 o e 的 话，减去角 a、 o e， 咱们就可以得到角 e o d。 角 e o d 呢？它等于九十度。所以说角 a、 o d 和角 a o e， 它们也是互为垂角的。咱们继续看角 a o d， 它还可以减去角 c o d， 减去角 c o d， 就可以得到角 a o c。 角 a o c 呢，也等于九十度， 所以说角 a、 o d 和角 c o d， 它们也是互为垂角的。有角 e o b 与角 e o c 与角 d o b。 角 a o d 与角 a o d 与角 c o d。 具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 咱们再来看第二问。如果一个角的垂角等于他的补角的三分之二，求这个角的度数， 那么咱们先设这个角为 x 度，那么他的补角就是一百八十减 x 度。咱们之前已经求出来了。在这道题中，两个角互为垂角，他们的取值范围一个角是大于零度小于九十度的，另一个角是大于九十度小于一百八十度的。所以说咱们就分情况讨论。 咱们先来讨论第一种情况，当 x 大 于零小于九十时，他是一个锐角。根据咱们第一问求出来的垂角的相关性质，他的垂角是一个钝角，并且这个钝角等于九十度，加上这个锐角，那么他的垂角就是九十加 x 度。题目中说，这个角的垂角等于它补角的三分之二，那么咱们就可以列等式，垂角九十加 x 就 等于补角的三分之二，就等于三分之二倍的括号一百八十减 x。 解得 x 等于十八十八，是大于零小于九十的，所以十八保留。咱们再来讨论第二种情况，当 x 它是大于九十，小于一百八十的时候， 那么它的垂角就是 x 减九十度。根据题干中这个角的垂角等于它补角的三分之二，咱们就可以列等式， x 减九十等于三分之二倍的一百八十减 x 解得 x 等于一百二十六，一百二十六，它是大于九十小于一百八十的，所以说一百二十六怎么保留？所以这个角的度数是十八度或一百二十六度。具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下， 咱们再来看第三问。如图二， o 为直线 a b 上一点，角 a、 o c 等于七十五度。 将整个图形绕点 o 逆时针旋转 n 度 n 的 取值范围是大于零小于九十的。直线 a、 b 旋转到 a 撇， b 撇， o c 旋转到 o c 撇做射线 o p， 使角 b o p 等于角 b o b 撇。 求当 n 为和值时，角 p o a 撇与角 a、 o c 撇互为垂角。角 a、 o c， 它是等于七十五度的逆时针旋转，那就是往这个方向旋转。 咱们首先要考虑一下，当 n 为七十五的时候， o c 撇和 o a 它是重合的，那么角 a、 o c 撇它就只能是零度。 前面题目中已经说了，本题中的所有角都是大于零并且小于一百八十度的，所以说角 a、 o c 撇等于零度不成立。咱们来写一下具体的解析过程。 当 n 等于七十五时， o c 撇与 o a 重合，不符合提义。所以说咱们分两种情况讨论，一种是 n 大 于零，小于七十五，一种是 n 大 于七十五，小于九十。 当 n 是 大于零，小于七十五的时候， o c 撇就应该在角 a、 o c 之中，那么角 c、 o c 撇就应该是旋转的角度 n 度， 角 b、 o、 b 撇同样是旋转的角度 n 度，题干中给了角 b、 o、 p 等于角 b、 o、 p 撇，那么这个角 b、 o、 p 也应该是 n 度。咱们再来写一下具体的解析步骤。如图二，当 n 大 于零，小于七十五时， 角 c、 o、 c 撇等于角 b、 o、 b 撇等于角 b、 o、 p 等于 n 度。 角 a、 o、 c 撇就等于角 a、 o、 c 减去角 c、 o、 c 撇等于七十五度减 n 度。 因为点 o 在 直线 ab 上，那么旋转之后，点 o 也一定在直线 a 撇 b 撇上。所以说，角 p、 o、 a 撇就可以用一百八十度减去 角 b、 o、 b 撇，再加上角 b、 o、 p 就 可以求出来了。咱们继续往下计算，就可以得到一百八十度减去二 n 度。 然后咱们再让角 p、 o、 a 撇和角 a、 o、 c 撇互为垂角之后求出来 n。 直角 p o、 a 撇减去角 a、 o、 c 撇的绝对值等于九十度。咱们再把刚才求出来的角的度数带进来，就得到了 一百八十减二 n 的 值，再减去括号七十五减 n 的 值，扩回他们的差的绝对值等于九十。 咱们继续往下计算，一百八十减二， n 减七十五，加 n 的 绝对值等于九十， 一百零五减 n 的 绝对值等于九十。把绝对值符号去掉之后，就是一百零五减 n 等于正负九十。那么咱们就可以求出来 n 的 值就等于十五或 一百九十五。又因为呢， n 的 值它是大于零，小于七十五的，所以说呢， n 它只取十五，不要一百九十五这个值。 咱们再来讨论第二种情况，当 n 它是大于七十五，小于九十的，这个时候， o、 c 撇在角 a、 o、 c 的 外面，同样呢，这个时候角 c、 o、 c 撇同样是旋转的角度 n 度， 角 b、 o、 p 等于角 b、 o、 b 撇也是 n 度。咱们再来写一下具体的解析过程。如图三，当 n 大 于七十五，小于九十时，角 c、 o、 c 撇等于角 b、 o、 b 撇等于角 b、 o、 p 都等于 n 度。因为 o、 c 撇在角 a、 o、 c 的 外面了，所以说这个时候角 a、 o、 c 撇，它就等于角 c、 o、 c 撇减去角 a、 o、 c 等于 n 度减七十五度了。 角 p、 o、 a 撇，它的值还是没有变，它还是用一百八十度减去角 b、 o、 b 撇和角 b、 o、 p 的 和，最后计算出来，还是等于一百八十度减去二 n 度。 咱们还是通过角 p、 o、 a 撇和角 a、 o、 c 撇互为垂角来求 n 值。那么咱们就写，因为角 p、 o、 a 撇减去角 a、 o、 c 撇， 它们的差的绝对值是九十度。咱们把刚才计算出来的数值带进来，就得到了 括号一百八十减二， n 扩回减去括号， n 减七十五，扩回，他们的差的绝对值等于九十。 咱们把括号去掉，那就是一百八十减二， n 减 n 加七十五，他们的绝对值等于九十。继续往下计算， 二百五十五减去三， n 的 绝对值等于九十。把绝对值去掉，就得到了二百五十五减三， n 等于正负九十，咱们就求出来了 n 的 值， n 就 等于五十五或者 一百一十五。咱们讨论的条件是，当 n 它是大于七十五，小于九十的，五十五和一百一十五都不在这个取值范围内。所以说 n 等于五十五或一百一十五，这两个值咱们舍去， 那么唯一符合的 n 的 值只有十五。综上所述，当 n 等于十五时，角 p o a 撇与角 a o c 撇互为垂角。具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 最后咱们来总结一下这道题。首先给了咱们一个新的概念，什么叫垂角？对于垂角的概念，咱们一定要深入了解，才能达到灵活运用。互为垂角的两个角，它的差的绝对值等于九十度。互为补角的两个角，它们的和是一百八十度。 解这道题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果。咱们一定不要忘记分类讨论。就像第三问，咱们一共是分了三种情况， n 等于七十五， n 大 于零小于七十五和 n 大 于七十五小于九十。这三种情况下讨论来求出 n 的 值。这道题就讲解到这里，同学们再见！

以下九大几何题型，七上数学几何单元一定会考到，其中双中点模型、双角平分线模、行动角问题等，期末考还会考压轴题，那视频结尾给大家整理了几何单元的重难点压轴练习和答案，可以打印出来配合练习巩固。第 第一是求小正方体的个数问题。第二，利用方程思想解决角度计算问题。第三，时钟旋转问题。第四，方程思想求线段长或者线段的关系。第五，线段的双中点模型的三大模型。第六，双中点模型和动点问题结合 第七，动线断问题。第八，双脚平分线模型的三大模型。第九，动脚问题。那以上内容我都整理到了这份几何专项培优练习里，有需要的家长可以打印出来让孩子练习巩固。 那如果说这些练习孩子没有学过，不会做，可以配合我的拓展视频课来学习。关注我，一位教知识，更教规划方法的理科老师。

大家好啊，我们继续讲这个单元测试题啊，这个第二题呢，它是有一点点超纲的， 那这时候呢，其实，嗯，这里边有些知识呢，它涉及到了这个，我们下一章学的这个啊，就是七下第一单元，这个二元一元，二元一次方程，二元一次方程组， 嗯，那这个呢？嗯，我们不用二人一次方组的，只是我们也大概能够就是说啊， 解释明白。那第一个问题呢，它这两个集市已经完全告诉我们啊，让我们求 a、 b、 p 的 坐标，那点 e 的 坐标呢？是这个啊， a、 b， 那 我们首先要判断哪一条是哪一条 啊？这上面没有说嘛啊，所以说我们可以通过两个东西来判断，第一个呢，我们可以通过 k 来判断，那你看这个 k， 这 k 是 负的 负一，那肯定线它是向下趋势的，所以说呢， ab 就是 第一个，那第二个呢？这个二分之一呢，是大一点的，它是向上趋势啊，我们可以通过这个来判断。 另外一个呢，我们可以判断它有其中有一个是过圆点的，一个是没过圆点，那过圆点呢？它肯定是一个正比例函数，没过圆点是一个普通的 e 函数，那啊有二 y 点二分之，这是个正比例函数，所以说它呢，就是这个 o p 这条线啊，我们先搞清楚是哪条线啊？这个呢，是 y 等于二分之一， x 这条线呢，是 y 等于负 x 加三啊，那搞清楚哪一条是哪一条， 第一呢？求 a、 b、 p 的 坐标，那 a 的 坐标呢？这个非常简单了啊，因为 a 在 这个这个函数上，负 y 零，负 x 加三上，它呢，又在这个它点又在横坐标上了，所以说纵坐标等于零， 这样纵坐标等于零， x 等于三啊，求出这个 a 的 坐标呢，是 a 的 坐标是零多少三 啊？是三个数零啊，三个数零在这个勾啊，三个数零，那 b 点的坐标呢？那也很简单，它也在这上面，那我们只需要让 这个点的坐标呢，它在这条 y 等于负 x 加三上，并且呢，它的 x 等于零，那 x 等于零呢？我们很明显可以求出 b 点的坐标是零多少三，零多少三，那然后呢，让求点 p 坐标 啊，这个呢，我们就意识到一个问题了啊，那这个点坐标呢？你看啊，它既在这个上面，又在这个上面，也就是说它俩的 y 和 x 相等的时候 啊，这个点 p 坐标是它既在这个 e 函数，又在这个反比函数，那它俩的交点呢？它其实就是 它俩的横坐标都相等啊，都满足这个条件，那我们只需要让它纵坐标相等啊，它的 y 等于二分之一 x 吗？它的 y 等于负 x 减三，因为横纵坐标都相等吧，那我们就让它 y 等于 y， 左边 y 相等，那右边呢？其实我们得到一个二分之一 x 就 等于负 x 加上三啊，得得到一个这个东西， 两个外相等，那其实我们应该标上个外一外二的，外一外二的，这个同一个体中不能有两个啊，数值这个，这个不一样表达方式的一个东西啊，那这边呢，很明显就是二分之三， x 就 等于三， 两边都乘以三分之二，那 x 就 等于二了啊， x 等于二，然后再把 x 等于二带到任意一个点去，我们把 x 等于二带到这里边去，那就是 y 等于一，那么 y x 等于二，带到这里边去还是一，那所以呢，这个点 p 的 坐标啊， 啊，这是二，逗号一， i 等于二， y 等于一，这就结束了，那求图中阴影部分的面积呢？这个一个很明显的坐标，我们这，嗯，也就是说这个阴影部分是 b o p， 那 它的这个 相当于三个顶点都知道，那它在我们以，这个很明显，我们找一条以与 x 轴或者 y 轴平行的一个一条边，那很明显，我要找 o p o b 这条边， o b 这条边呢，那很明显，我们知道 b 的 坐标三了，那所以说 o b 就是 三了，那所以说 x 三角形， x 三角形， 嗯， b o p 就 等于二分之一，然后呢？ o b， 然后再乘以，其实是 p 点的啊， p 点的横坐标绝对值啊，所以说我们是 x p 啊， x p 的 绝对值 啊，那 p 点的横坐标呢？我们知道它是二啊，它是二，那所以呢，它这就等于三啊，这就结束了啊，因为啊，这个 o b 是 三吗？这个是二，二和二一调啊，这就是三，嗯， 下一个啊，下一个呢？这个题比，这个和我们前面这个填空题有个题是很像的啊，没有太大区别啊，跟我填空题这个 十五题啊，这个十五题，你看哈，他说的是啊， x 加 y， x 乘正比例啊，这个呢，也是啊，它比这个题还简单了很多啊， 那我们只需要记得谁和谁成正比例，那我们就直接啊，他等于他 k 倍的他就行。那所以呢，第一问呢，我们有 t 的 啊， y 加上二，就等于 k 倍的 x 加上一啊， k 倍的 x 加一， 那 a 等于三十呢？ y 等于四，那我们就把 x 等于三， y 等于四带进去呗。啊，那就是四加上二就等于 k 倍的三加一 啊，这个六呢，就等于 k 为的四， k 呢，就等于二分之三啊， k 二分之三，那我们再把它带进去，带到这里边去， k 呢？二分之三，那 所以说 y 加上二呢，就等于二分之三倍的 x 加上一啊，就得了一个这东西。那他问我们， y x 函数关系式，那写上这个样子呢？嗯 啊，也不算错，但也不能对啊，因为这种样子是没有画到这个，我们记住，只要求函数关系式， 我们一定要把它画成 y 零 k x 或者 y 零 k x 加 b 的 这种形式啊，有标准形式啊，你不画成标准形式，那默认你是不对的啊。所以说呢，我们就 y 就 等于啊，它先乘开 二分之三 x， 再加上二分之三，然后再减二啊，这个二移过去， y 呢，最后就等于二分之三 x， 然后呢减二分之一啊，这样呢，是一个比较好的一个结果啊。第二问呢，就简单，他问，当 y 等于一是 x 值，那我们直接就让它等于一， 就等于二分之三， x 减二分之一，然后加过来，那所以呢，二分之三就等于二分之三 x， 那 很明显了， 二分之三等于二分之三 x， 那 很明显 x 呢，就等于一了啊， x 等于一的时候啊， y 等于一啊，我们可以试一下。那 x 等于一的时候， 一点五减一点五啊，就是没有任何问题啊，这是这个题，那这个二十二题，嗯，比较简单，我快速的这个，这个，它是我们基础的题啊，我快速的把它做一下啊， 某数宽度是一百，然后呢？扩张速度是每年多少啊？等于 s 年还是和 y， 那 这个非常简单，它 y 呢？是它一开始的这个一百，然后再加上每年的就是增长这个东西， 那这个其实不太符合我们这个正常的这个这个关系。你可以写成 y 等于六 x 加上一百啊，这样更加规范一些。 当然试想一下快到一百米是需要多少年？那这个非常简单，那我们 y 宽度快到四百，那就直接让 y 等于四百啊，也就是说把 y 等于四百带到这边就四百啊，就等于六 x 加上一百，那 六 x 就 等于三百，那 x 就 等于五十啊，五十年就可以了啊，六 x 三百啊，这个非常简单。 然后呢我们看这个第二十三题，这二十三题呢，它属于一种就是我们正常情况下会考的题啊，正常情况下会考的题啊，这个已经比较接近，我们正常情况下就是他一定会考一个这样的题，他要不然就是这种排水，要不然就是这种。 这个行程啊，就是主要考验的是我们的读图能力，读图能力我们看啊，某洗衣机在洗衣机里经的进水、清洗、排水和脱水四个过程，那其中的进水、清洗、排水的啊，与时间的关系，那脱水的时候呢？这个量比较少啊， 关系，那根据图像回答下来问题啊，水一直在，一直在，一直在啊，上升到这，然后呢 啊，这个地方呢？他有的同学不会做，就是说他对我们这个日常这个东西没有没有常识啊，他不知道这个东西是干什么的，不知道这个啊，那这个嗯，很难，你只能说平时多观察啊，多注重这个生活的细节， 那很明显呢，从这个四分钟的水是不断的在上升的，那我们知道这个你要知道一个常识，就是水， 就是这个洗衣机在转动的时候，在洗涤的时候，这个地方是肯定是不进水的啊，我们一开始打开洗衣机能听到这种呲呲呲进水的声音啊，然后他开始转的时候，他就不进水了，这是一个基本的东西，不会从题上给我们表现出来，但是我们要知道， 那所以说呢，从四到十五分钟，这是一个洗衣的过程，最后呢，这是一个排水的过程啊，那所以说呢，嗯，进水时间，进水时间很明显是四分钟，零到四的时候，它已经到了最高点。然后呢，洗衣的水量是多少升？水量呢？很明显这一直对着四十升啊，这个低温呢，就是纯粹靠一个读读能力， 求近水势外缘 x 关系式，那这个近水势外缘 x 关系式也非常简单啊，我们近水势就只有这一个，但是暂时，但是这个东西一定要注意啊， 就像我前面讲的这个，这个你最好是写上这个 x 曲范围啊， x 曲范围 啊，虽然说他说的是进水是为 x 关系，那这个我们四分钟进了四十升，那很明显，一十分钟进十升 y 呢，就等于十 x 啊，但是呢，一定要先零小于等于 x， 小 于等于四啊，这个零小于等于 x 小 于等于四十，必须的啊，因为它是一个实际的问题啊，这个就结束了， 那已知排水速度是每分钟十八升，如果排水时间为两分钟啊，排水结束时洗衣机剩下的水量啊，这个问题呢就是不要去深究，但是深究呢你也能发现问题，也就是说 他排水的量啊，他排水的量这个啊他是比这个进水量要少的，为什么呢？因为衣服吸了一部分水， 你的衣服里边的水他是通过正常的排水排不出来的，必须我们用脱水，脱水的话他也不一定完全能排出来，所以说这个进水量和排水量是不一样的啊，大家不要纠结这个东西啊大家不要纠结这个东西，这很正常啊这很正常， 那这个呢我们里边已经有四十升了啊啊跟四十升没有关系了啊，就是说啊他排水时间是两分钟每分钟排十八升，那我们就需要十八乘以二就等于三十六升啊，十八乘二等于三十六升， 那原来进了四十升减四升，所以说最后洗衣机里还剩下四升水啊，四升水再用这个四十减三十六就可以了啊。这个比较简单， 二十四题呢是我们啊也是我们经常遇到的一类题。我们看 某商店呢啊销售 a 型和 b 型两种型的电脑啊，销售一台 a 型获得一百二十元，销售一台 b 型呢获得一百四十元啊，然后呢购进两台电脑共一百台，其中 b 台呢是 进货量不超 a 三倍，设共 a 三这样一百同龄是 s。 这个题就呃对于串的同学来说已经有一点点超纲了啊已经有点超纲了，我们这边一般是 初三左右会做这样的题。初三左右会做题，那你这个题暂时不会呢也问题不大啊。这个这个题不会呢，就是说啊小学的应用题没有学好啊，我们详细看一下啊 啊，第一个，求外援 x 关系式啊，总利润是外援，我们要搞个利润，什么？他获销售一台 a 电脑可以获一百二十元，销售一台 b 呢，获一百四十元，那两两个呢？共一百台啊，其中呢， b 呢，还不超过 a 的 三倍， 那我们使 a 的 电脑是 x， 那 其实这个题用不到这个三倍的关系啊，我们先看第一问啊，第一问，求外与 x 的 关系。 那首先呢，那我们要知道总利润，那总利润是外，那外圆呢？肯定 a 的 利润和 b 的 利润是加起来的啊， a 的 利润和 b 的 利润是加起来的，那我们看啊， a a x 台，那 a 呢，一台利润是一百二十，所以呢，它就是啊，一百二十，一百二十 x， a 的 利润是一百二十，那 b 的 利润呢？是一百四十 b 多少台呢？因为一共要供给一百台，所以说 b 的 台数是一百减 x， 然后呢，再乘以一百四十，它俩加起来 y 就 等于这个东西， 也就是说 a 的 利润加上 b 的 利润啊，就等于 y 啊，求 y e x 关系式，还是我们说的啊，你一定要把这个东西写成这个，呃，一般形式啊，我们整理出来， y 就 等于一百二十 x， 加上 一四零零零减一百四十 x 啊，那最后呢？歪了，就等于它和它合并一下，有负的二十 x， 加上一四零零零啊，这个是这个， 呃，外域 x 关系式，嗯，那销售要进 a b 各大电脑才能使利润达到最大值啊。这个呢，就遇到了一个这个，嗯， 叫什么叫叫叫取值范围的问题啊。那我们看，那他说啊， b 的 电脑进货量不超 a 的 三倍， 那我们已经知道这个 a 的 进货量是 x 了，那 b 的 进货量是一百减 x， 那 一百减 x， 那 他说这个 a 的 销售量呢？呃， a 的 销售量， b 的 销售量不超过一个三倍， 也就是说这是 a 的 三倍，那谁大呢啊？它要大 b 的 消数量啊，不能超过 a 的 三倍， 那我们其实写成一百减 x， 是 b 的 消数量小于等于三 x， x 是 a 的 消数量小于等于三，这样，这样更好一些啊，因为我把 x 写前面了啊，那所以呢，我们啊，看，看一下啊，看一下 啊，这个是什么？解，解一下这个不等式，这里还涉及到解不等式的问题，解不等式我们也没学啊，所以说这个，哎， 我们出的题，嗯，比我们的学习进度要更更高一点，那我们不等式呢，其实他也不会给你出的太难，那你就完全按照等式来解就行了啊。嗯，如果那种， 嗯，也不能完全按照不等式来解，那这里我们还是要说明一下这个不等式解法呢，我们后边才会学到不等式解法呢。是，嗯，两边和我们等式一样的地方，就是两边同时加或者同时减，这个不等号的方向是不变的，我们等号也是。然后呢，我们同时乘 或者同时除一个正数不等号的话呢，还是不改变啊，那我们同时乘除一个负数呢？不等号发现发生改变啊，只有这个是不一样的地方，那我们就尽量避免它出现乘除符号的情况。 那所以呢，我们这个呢，我最好采取两边都加上 x， 得到了一百小于等于四 x， 那 我们两边同时除以一个正的，那也就是说 x 大 于等于二十五， x 大 于等于二十五， 那如何勾 a b 的 函数才能使利润达到最大值呢？啊？那 x 大 于等于二十五，那我们这个就给他一个限定了，那 x 呢？要大于等于二十五， 那 x 大 于等于二十五呢？但是，但是啊，它一共一百台，所以它要小于等于一百啊，这呢其实是我们做第二问的时候，给第一问加上的它一个限定范围。 嗯，那这东西有什么用呢？那我们知道啊，这是一个啊，对于它来说啊，它是一个下降的啊，它这个地方是啊，一四零，它是一个下降的 啊，下降的，那我们还要让它最大值，我们已经知道它是取到二十五到四十之间了啊， 二十五到四十之间这个范围，也就是说啊，我们负二十， x 加一百四十，它是一个这样的函数，但是呢，在这个实 际问题中啊，它实际上只有这一块是管用的 啊，我们第一题的内容，其实这一块，这是二十五，这是四十啊，只有这一块是管用的啊，那所以呢，其实啊， 嗯，聪明的同学已经知道了，那很明显的，我 x 等于二十五的时候，它这个函数值是最大的，因为 x 只能取到二十五和四之间的，它又是下降的趋势啊，它又是下降的趋势，那所以说 x 越小的时候啊，它这个立方最大的， 那 x 不 能无限小，那必须大于二十五，那所以呢，我们由题的大 x 等于二十五时呢，它利用最大值啊，然后你把二十五带进去啊，求这个最大值就可以了啊，最大值就可以了 啊，下一个，还有第三问啊，还有第三问，那若限定 a 购进一百台， a 购进六十台，这一百台销量能否是一千三百六十元啊？ 然后呢，我们可以直接把这个啊，一一三六零零带入到这里边去啊，带入到里边看看 x 等于几啊？看能不能是这个这个东西，那我们带进去啊，就是一三六零零就等于负二十， x 加上一四 零零零，完了，这边啊，把它把这个负 x 移过去，把这边移过来，就是二十， x 就 等于，嗯，就等于四百啊，就等于四百， x 呢，就等于很明显就等于二十，那很明显呢，它不在第一题这个范围之内啊，那 肯定他就说他如果满足这个啊，这个前面说的这个 b 的 进货量不超过一三倍的时候啊，它是不行的 啊，很明显是不能达到一三六零零元，那请若能请求是这个这个这个这个该进货商的台数，那已经是二十了，那不在这个范围之内了，那所以说我们就认为是不能啊， 若不能，求出这个一百台销量的利润范围，利润范围，哦，这个题变了啊， 若最多购进 a 电脑六十台啊，也就是说它变成了啊，它，我们第一问的这个，是啊， 这个 a 不 超过 b 的 三倍，那第二台变成了，嗯，最多进电脑六十台，也就是说，嗯， a 呢？就是说，也就是说 x 小 于等于六十了啊， x 小 于等于六十， 嗯，这个比前面那个又苛刻了啊，可能说 a 的 这个进货价比较便宜啊，它钱啊，它不能啊，最多进够六十台， 那也就是说啊， x 我 们前面是大于二十五，小一百，那现在呢啊，它变成了一个啊， y 等于负二十 x 加上一百四十，然后呢，二十五小于等于 x 小 于等于六十了啊，它变成了一个这种二十五到六十之间了 啊，那我们问啊，这一百台电脑总利润范围，那既然在二十五和六十之间呢，我们分别把二十五和六十带进去啊，很明显是二十五的时候，它是 一四零零，少了这么多零啊，它是最大的，那六十的肯定是最小的，那当 x 等于二十五时呢，那我们算出来，那二十五就是二十五，乘以这个，这个二十就是五。 当 x 等于二十五十， y 呢，就等于这个负二十 x， 而乘以二十五，再加上一四零零零四零零， 那这就是一四零零。减去多少？五百， 那就是最大就是一三五零零啊，一三五零零，那当 x n 六十时呢， y 呢，就等于负二十乘以六十，再加一四零零零，那这个呢，就是一二零零，一二零零，就是一二八零零啊，一二八零零， 所以呢，它利润范围就是一二八零零和一三五零零之间啊。那最后一个题我们一会有空再讲吧。

乱，太乱了！圣人有令，丑时之前必须呈上大唐盛世数据图， 若是做不出来，明年的上元灯会就要取消。 这些密密麻麻的数字，看的人头晕眼花，根本分不清主次。国子建的算学博士们，这里有三个死局，恳请诸位出手相助，请破阵换国图盛世事，酒家迷。 各位博士请看红炉寺的预测，亚洲四十六点七亿，非洲三十九点二亿，大扬州却只有零点七亿。圣人有两个要求，既要一眼看出这六地具体人数谁多谁少， 又要明显的看出亚洲人口占了天下的多少比例。这两张白纸，我该分别画什么图？ 各位博士要画出这登谜结果的扇形图，关键在于算出圆心角。 记住口诀，圆心角等于三百六十度，乘以该项的百分比。比如一等奖五人，总数一百人，占比百分之五，圆心角就是三百六十度乘零点零五得十八度。 这是司天台的记录，天下人口从一九六零年的一百零三点五亿。 圣人不在乎某一年具体是多少，他只想一眼看清这百年来人口变化是快还是慢，走势如何。要体现这种起伏之事，我是该画一排排柱子，还是连成一条线？ 大家看这张驿站文书，图中有柱子也有线，柱子高低告诉我们哪年送的信最多是二零二二年，而这条折线告诉我们哪一年的增长速度最快。看二零一三年那个点最高。 贾酒商呈上这张图，说它的销量从一百五十万涨到两百一十万，在图上看着像翻了好几倍，简直是平地起高楼。 但我总觉得哪里不对劲，已旧伤，明明业绩差不多，画出来却平平无奇！博士们，快帮我看看假伤人！在图左边的这把尺子上，到底藏了什么猫腻？ 数据已定，走着向上， 哈哈，神掌今夜长安之繁华，权杖诸位神算，数据虽枯燥，却能汇出盛世之智。