连续函数的D（X）

我们看一下例子啊，那我想大家就更清楚了，考察下列函数在零点的连续性以及可导性。首先呢，我们来看第一个，就这个函数，就是 f x 等于 x 的 绝对值， 实际上呢，大家看它在零点的连续性是显然的，你看这个 x 去下零的时候， f x， 那 就是 x 绝对是极限等于零，但是零点函数值也等于零，所以呢，它在零点，是啊，连续的， 但是呢，它在零点的倒数存在不存在，按照定义应该写出来应该是 der x 曲线零，那下面呢，应该是 der x， 上面呢就是 f 零加 der x， 那 这实际上就是谁 der x 的 绝对值， 然后减去 f 零， f 零就是零的绝对值。那这个时候呢，大家看这个极限，实际上是这样子，你看得它 x 要趋向于零，正大于零，一边趋向零， 因为这个绝对值就等于它 x， 这就等于正一。如果得它 x 趋向于零，负，那得它 x 绝对值就负，得它就等于负一。 这是在右导数，这是左导数。你看看左右导数，虽然都是存在的，但是左右导数不相等， 但是我们说可导的重要条件是导，左右导数存在，并且相等，它俩不相等，那就得到这个函数在零点是连续，但零点不可导，这就是一个连续而不可导，非常经典的一个反例。 但是呢，我们也希望大家从几何上能够理解它啊，就是刚才我们已经说了 y 等于 x 的 绝对值， 这个呢，实际上图形我们大家非常熟悉， y 等于 x 的 绝对值，它是不是应该是这样一个折线啊？它应该是这样一个折线，大家看这个折线在零点连续式，显然的 我说他不可倒，也是显人的一种呢，就是他的零点呢，不光滑，你看他是有棱角的。首先把这种呢可以叫尖点，实际上这个所谓的尖点就是在这个左倒数，右倒数都有，但是左右倒数不相等， 实际上呢，这个左右导数我们都得知道啊，这刚才是用定义算，不用定义算你也能知道，因为我们讲过导数的几个 e， 导数的几个 e 是 切线的斜率，那左导数的几个 e 呢？就是左切线的斜率， 所以这个函数在零点左侧就是这条直线，这个直线的切线就是它所在位置那条直线，所以它的导数就应该等于它的斜率，它的斜率就是负一。 而右导数的几何也就右切线的斜率，他在这一点和这点的右侧就是直线，直线的切线就他所在位置那条直线，所以呢，他的右导数就应该等于切线，右切线的斜率，那所以就是正一， 所以这个我们从几何上都能知道，左导数负一，右导数正一，所以这就是一个典型的连续二不可导的例子。 这是要看的第一个，那么下面呢，我们再来看第二个，就是这个函数 g x， 它等于 x 的 立方根之一。 实际上呢，大家知道这个呢，就是我们原来那个立方抛物线的那个反函数啊，这是我们原来这个 y 等于 x 立方，我想这个函数大家非常熟悉，这是谁？这就是 y 等于 x 立方， 但是这呢是 g， x 的 x 三分之一，它的实际上是个反函数，那么这个时候呢，这个 x 的 三分之一次方图形画出来是一个什么样的图形呢？实际上呢，它画出来的话应该是啊，这样的，然后这个地方 应该是这样子啊，这样子，这是 y 等于 x 的 三分之一，它俩互为反数，它应该关于 y 的 x 是 对称的，所以我们从几何上可以看出，这个 y 的 x 三分之一在零点，是连续的 零点呢，可导不可导，那你看零点它的切线是谁啊？虽然是外周，那么外周的话，这个斜率是谁啊？无穷，所以这个时候我们从几何中可以看出它的零点导数应该是无穷大。 事实上我们一块来看一下啊，从数学理论上，我们看它连续不连续，那就是要看 x 曲线零的时候 f x 三分之一次方等于不等于零点函数值， 那么这个呢？三分之一至八 x 取下零，直接就等于零，这就等于谁？这就等于 g 零，所以立马知道它在零点是零点， 但是零点的导数有没有啊？按照定义写，那就是得儿 x 取下零，上面呢， 那就是 f 零加 delta x， 实际上就是 delta x 的 谁呀？三分之一次方减去谁呀？ f 零 f 零就是零的三分之一次方，那就等于底下除以谁 delta 的 x， 那 这个时候呢，大家看上面是 delta x 三分之一次方，底下是 delta x， 那这个时候两个一消，那最后还剩一个谁，那这不就是得 x 去加零，上面变成一，等下来就是一个得 x 的 多少次方？三分之二，大家消掉一个三分之一次方，这个时候范围去加零上面一，那这就等于谁？无穷。 注意，无穷，我们叫做即便不存在，但是我们习惯上也说导数是无穷大 导数是无穷大，意味着什么？这意味着这个切线的斜率是无穷，那实际上意味着它的切线就是垂直于 x 轴的。事实上大家知道对这个 x 三分之一次方，它的这一点也是有切线，切线是谁？ y 轴， 所以这也是一个连续但怎样不可导的一个例子。那么注意，第一个不可导是左右导数存在不相等，这个不可导实际上是一个导数等于无穷。 那么在这呢，就有一个问题，我们看一下啊，如果一个函数可导，那么导数， 那就是表示那一点的切线的几个亿切线的斜率，所以呢，从可导就可以知道那个曲线在那点怎么样有切线，因为导数就是切线的斜率啊。 但是反过来一个曲线在那点有切线，是不是就一定可倒呢？我们说不是经典的反例，就这个看，它呢，在零点上是有切线，切线是外周，但它不可，倒，是因为它这个时候切线的斜率是无穷， 那这个导数定义这个极限少数是无穷，叫做不可导。所以可导函数对应的曲线在那点一定有切线，但是在那点有切线的曲线对应的函数在那点未必可导，所以这也是一个非常经典的例子。 那么下面呢，我们再来看它这个函数啊，你看非零点等于它，它是个分段函数啊， 那这个分段函数呢？在分界点上连续不连续。那我们先来看一下极限，就是 x 趋向零的时候， h x 的 极限，那这就是不是等于函数值，那就等于 x 趋向零， x 再以 x 分 之一， 这个我们知道后面不存在，但前面是无穷小，后面可是有界变量无穷小乘有界变量无穷小，所以这个等于零，但这个函数在零点也等于零啊，所以这个函数显然在零点是连续的， 但是零点倒数有没有呢？按照倒数的定义，大家看的 x 去向零， 那么上面呢，是 f 得 x 除以减 f 零， f 得 x， 它应该是得 x 乘上的，得 x 减去谁呀？零，然后再除以一个 x 得 x， 但是最后呢就变成这个极限，要是这个得 x 去下零，然后呢是赛引的得 x 去下零，然后呢是赛引的得 x 分 之一。 大家知道德泰 x 曲线呢，里边无穷这个塞应在正负一之间整段，所以呢，这个极限是不存在， 那么这个不存在就立马退出。这个函数在零点怎么样？不可导，所以这也是个连续而不可导的例子。那么在这呢，我们为什么要举这三个？你看这三个都是在零点连续不可导， 但是呢，他们反映这个不可导比较常见的三个比较典型的问题， 你看这个呢，他的零点是连续，但是他不可导，他不可导的原因是什么？他在这方出现了谁啊？尖顶啊，就是他左导数右导数都有，但是左右导数不相等， 这个呢，在零点也连续，他为什么不可导？他在零点导数是无穷，他在几何上就这个地方确实是光滑，但是他有切线，他的切线是垂直于外周，所以斜率是无穷。导数无穷，我们叫做不可导。 那么下面呢，我们来看一下这个它不可导几个亿是什么？实际上大家注意啊，就是这个是由 x 跟它相乘的，但我们大家知道塞隐 x 分 之一， 这个呢始终是在正一和负一之间变化，然后它乘了一个 x， 那么这个时候呢，它应该比如说 x 要大于零，你给它乘个 x， 那 这个 x 乘三以 x 分 之一，那就是应该小于 x， 而大于等于谁？负 x， 非常，我们来看一下， x 大 于零，小于零，两边是对称的，我们画这一半啊，这个呢就是 y 等于谁啊？ x， 那这呢就是 y 等于负 x 啊，这是 y 等于谁？负 x， 你 看它呢加在啊，这是负 x， 加在这两个之间，所以几何上画一下的话，那就说这个图形它应该是个什么图形？是这样的图形， 它始终是在正负 x 之间整大，但是呢，一靠近零点，频率来的越快，正负来的越小，这边呢完全对称的，这就是谁，这就是我们这个函数。 那么这个函数为什么不可导？从极二看，那么导数解 a 是 谁啊？它就是切线的斜率， 那他切线的斜率就是割线的极限位置，那你比如说你在这个上取线，临近取一个点啊，这是临近一个点，这是圆点的一个点，过这两点做一条线啊线，这叫割线。 当曲线上动点，沿着这个曲线趋向与零零点，割线的极限位置就是这个点是不能动的。当这个动点沿着它走的时候，你想这个割线它始终是在外等于负一和外等于正一之间，这样整道它没有个极限位置，所以呢它倒数就不存在。 所以大家看这三个都是连续不可导，但是这反映出这个不可导里边比较常见的三种情况，这就是尖点，所谓导数存在不相等，这就导数等于无穷， 这个呢就是那种整荡型的啊，就是它的割线始终在正 y 等于负 x 和正 x 之间整的，他没有确定的这个位置，导致他的导数是不存在。