七上扬州几何练习

初一数学几何题有关角度的计算思路分析与总结。今天我们来看一下这道题目啊，一个初一阶段的简单几何题目，一道几何题目该如何去找突破口，该如何去演成一个思路的有条理性？ 呃，还有呢，我们做的过程当中，如果你思路容易卡住，当你卡住的时候该怎么办？我们今天呢，用这个题目来分析一下。先看题，如图， oc 是 aob 的 平分线，这是我们第一个条件啊，看一眼， oc 是 aob 的 平分线， 角 codd 等于二十度，这是我们的第二个条件，那比较简单，这有个二十度啊，这个度的这个角的度数，知道第三个条件呢，是 bodd 哎，这个 bodd 等于三倍的角 aob。 题目中总共给了我们三个条件，让我们最终求出 a、 o b 的 度数。那这种几何题的它的考点啊，或者说它要求我们的能力，其实就是你如何把一二、三的关联有条理的整理出来，最终求出 a、 o b 的 度数， 它考的是我们利用条件的能力啊。那我们怎么办呢？我们首先呢，每一个条件先推一些信息出来 看看呢，哪个看看哪个条件呢？能推出比较有用的结论啊，相当于这样的一个意思，那一号条件呢，比较简单，可以推出角 a o c 等于角 b o c 又等于二分之一的角 a o b。 好， 那我们最终是要求角 a o b 的 了，所以呢，由一号条件，其实我们只要求 b o c 或者求 a o c 就 行了吧。那又有个二号条件，这是个二十度呀，所以其实你求 a o d 也行，对不对？那求 b o d 也行呀， 那这个求角 a o b 这个度数，其实这个问题并不是太复杂，我们只要这个题型当中的任何一个角，你求出来都能解出它的，对吧？哎，这是我们先分析一下啊，那我们怎么办呢？接下来一号条件能推这个二号条件没什么好推的，三号也没什么好推的，对不对？好，然后呢， 每一个条件单独的信息已经推完了，接下来我们就看他们综合起来可以推出什么结论来。比方说我们现在我我想看看这个一号和二号一起能不能推一些东西出来。那如果你可以推很多东西呢？你到底要推谁？用哪个？难道我每一个都写一遍吗？并不是啊， 我们一号和二号推一起推的那个信息应该跟三号有关联，就是你推的这个东西必须怎么样？与三有关， 你现在看是不是你只有与三有关，你接下来你才能继续跟三联系，是不是这个条件和三去联系，继续朝下一步去算呀？明白吧？ 哎，这个呢，其实就是我们做几何题的一个比较，一直都有的一个思路啊，就是你两个一起朝题目中其他的条件联系。 那我们来看这个题目，这个题目三号条件是有关 b o d 和 a o d 的 啊，一号和二号呢？又比较简单是吧？就一个 a o c b o c 的， 并且初一阶段还没有学太多的几何定律啊，图形性质。所以呢，找关系其实就是看看他们的位置关系，加加减减之类就行了。 那我们由一号和二号呢，朝什么方向去？朝表示 a o d， 表示 b o d 的 方向，为什么我要表示这两个？因为三号有它呀，就这么简单，对不对？那我们表示一下， 角 a、 o、 d 是 不是等于角 a、 o、 c 减二十度，是吧？为什么用它们表示？因为它一号二号呀，然后角 b、 o、 d 呢？又等于角 b、 o、 c 加二十度。好， 我们为什么要表示这两个？因为他们跟三有关。接下来我再用个三号调线，是不是就可以列个方程了？角 boc 加二十度是不是等于三倍的角 aoc 减二十度？ 到这步之后呢，我们再把一号调线拎过来用一下，对吧？哎，把这个 boc 换掉就行了，他俩先等吗？那角 aoc 加二十度，等于三倍的角 aoc 减二十度，这样的话呢，我们就可以解出角 aoc 了呀，是不是就能解出角 aob 了， 是不是？好，那很多学生如果容易卡壳，一般是出在哪一步啊？就出在这一步，就是你一和二推了一个东西出来，推完之后就是，哎，思路乱了，不知道该干嘛了，是不是这个时候呢？建议去题干中去找你看一下呀， 你哪个条件用了，哪个条件没有用，对吧？思路要有条理啊，你这个是由一二推的，那我就把它与去与三联系， 对吧？思路一旦卡住了，马上去题目中找你哪个条件没有用上，然后呢，你就朝着能够跟这个条件联系上的方向去思考，就能找到突破口了，明白吧？哎，这是我们的一个整体的思考的一个，呃， 逻辑性啊，是这样的，那我们再强调一下呢，条件给了一号、二号、三号，那我们并不是说就一定要按照这个顺序去用啊，就必须先用一，再用二，再用三， 没有这个道理对不对？我们几何题呢，你只要能做出来，然后做完之后呢，你自己总结一下看看。哎，有没有另一种路线，可能会比较顺产，比较简单。 那这个呢，就是大家大量训练之后得到的题感啊。像这个题，我们肯定是先用三号条件，是最简单的，它是一个求度数的问题啊，这是一个比例啊，我们可以用它简单的设未知数呀，是不是就直接用了把这个条件，我们用三号条件假定角 a o d 是 x， 设成 x 吧， 那么角 b、 o d 是 不是就是三 x 了？是不是？那我设未知数的这一步，其实就把三号条件这个信息给用过了，然后再按前面的，跟前面四组又是一样了。你看一下你这个三号条件得的这个信息，你接下来与二联系起来， 哎，朝一化还是与一连起来？朝二化是不是很明显了？哎，我再用一下二这个条件，是不是就可以表示角 a o c 等于 x 加二十度，角 b o c 等于三， x 减二十度。大家理解一下，为什么我要表示这两个， 我设了未知数之后，我用个二号条件，三号和二号一起朝一划呀，为什么要朝一划？因为你接下来下一步用一继续往下算呀。那你表示完之后再加一号条件，它告诉我们平分线的呀，是不是这两个相等哎？ x 加二十度等于三， x 减二十度， 这样的话，是不是就比前面稍微感觉简单一点了？然后我们这个呢，这种思路呢，你是求出 a o d 的， 求完不要。呃，求完不要忘了啊，我们还没有求到最终结果，是不是不要解个 x 之后就觉得题目做做完了啊，思路要清晰，我们算出 a o d 来，之后呢，再算一下 a o c， 然后再乘以二就是 a o b 了，对吧？ 这就是一个几何证明的一个逻辑的构，嗯，一个，嗯，思路的一个构建啊，我们遇到之后呢，一般先是每个条件看一看能推什么东西，然后在两个条件一起，哎，去能推什么东西，推的这个东西呢，一定要跟剩余条件有关才行，对吧？ 一旦思路卡住了，去题目中找找你没有用哪个条件，那你就朝着这个方向去思考，一般都能找到突破口。 然后呢？嗯，这个大题目的解析过程啊，这个呢，大家就看看，不同地区哎，不同老师要求不同哎，按照自己老师的要求写就可以了啊。

今天的视频我们来讲解一下学霸七上平面图形，初步认识里面角的大小比较，里面那道题目， 也就是学霸一百四十一的第十五题。那我们来快速的看题目啊，先把这个大条件看一下，大条件我大概简单的讲一下啊，就是就告诉你角 c o d 是 九十度 啊，其实这个九十度呢，有个什么隐藏的条件，就是这两个角相加也是等于九十度，是吧？整个平角是一百八嘛？ 来第一问，第一问比较简单啊，物 e 是 它的角平分线，物 f 是 它的角平分线，然后让你求 c 物 e 这个角角加上这个角角的和 啊，这个时候就利用了我们刚才那个结论，是吧，因为这两个大小相加是九十度，他是他的一半，他是他的一半，所以说加起来就整个大小的一半，也是九十度的一半啊，这个很好理解，是吧？四十五度，第二个顾物柱受限，物计，物计啊，然后物计恰好平方 a o d， a o d 就是 这个角跟这个角是一样 啊，然后让你求 b 物 d 和 c 这个角和这个角的一个数量关系，数量关系是什么呢？数量关系有可能是这个角是他的两倍，一个是他跟他相等是吧？一个是一个是 b 数关系，有可能是什么相加等于一个固定的一个 度数，比如说两个相加等于四周，永远是四周，两个相加永远能求出，这也是数量关系啊，就是这两个角啊，这两个角他要么是 b 数关系，要么是相加相减，等于一个固定的固定的角度啊， 然后这种题目我们怎么看呢啊？我们这种题目的话，我们班的都是这样啊，啊，设一个角啊，像这种角度的问题，我们遇到做角度的题目的时候，我们，呃，当没有给你一些角度的时候，我们都都是这样啊，设一个算法，设一个算法，我们到最后来利用这个九十度，利用这个角平分线，是吧？我们就会看 把这个 b、 o、 d 用 r 法来表示出来啊，这是 r 法的话，那这个就什么九十减 r 法，是吧？来，我们再利用这两个角相等，那么它就是九十减 r 法，再减 r 法，也就是九十减 r 法，我们在这个时候来表达它 啊，来表达他，我们就是就利用什么呢？哎，利用这个就是减二法，利用这个平角也好算利用这两个啊，最好的是利用我们刚刚说的这两个相加等于九十度，所以这个角是凹而法， 所以说这个最后的关系是他等于他两倍啊。当然你要是不不利用这个不是这个角，你是这个角是 r 法，也是一样的，是吧？这个角是 r， 那 这个角就是一百八减 r 法 啊，利用好这个平角关系，那么一半，那么一半就是一百八减法。除以二也是九十减去二分之二法，那这个也是九十减二分之二法，那我们再利用，再把这个角两个相加于九十度，把它利用起来，那这个角就是九十减去二法。 刚才那个这个是大角，是九十减二分扎法，那么我们就可以把这个小角表达出来了，九十减二分扎法，再减去这个，这个答案是二分扎法，同样都说这个是他的一半啊，这是第二问，第三问啊，第三问，首先他是没有给你这个画图啊，那我们要自己要精准画出来，没给你画一个要精准画出来，另一个还有个什么 啊？另一个还可能是答案不一啊，所以他不给你画啊。我们来看这个题目啊， o c 恰好是 o c 是 a 五 h 的 一个平分线啊，我们把这个先把它划出来吧。 o c 先把这个九度啊，这个九度永远存在的，是吧？然后 o c 是 它平分线，那这个 h 大 概在这边啊，然后 o k 平分它， ok， 平分 c o d 移速，这个角跟这个角一样是四十五度，是吧？啊， ok 的， ok， 用的这边四十五度啊，这个当然我画的不太像啊，大概差不多就行了，如果说你画的实在不像，你稍微再擦掉，重新再移一下啊，画的差不多就行了啊， 然后这边有个重要条件，抓住这个条件， o c h o c o h。 嗯？什么？ h o c h o c 这个角等于这个角的三倍啊，当然我画的不太像是吧？完了也不影响我们出题啊，是他三倍是吧？什么角度是吧？是他是 r 法，那他就是三 r 法。那我们这样的话，就根据一些角平分线，根据这个九度可以把一些其他的角度表达出来， 那么这个 o k 是 角平分线，那么是 r 法就等于 四十五度，阿法等于四分之四十五，要求的 a 五 h 角 a 五 h 是 等于六阿法的就等于四十五，四分之四十五乘以六等于四，约一下二分之 一百三十五，我们这边三十五啊，把它拆下就是六十七点五度啊， ok， 是 吧？很多学生坐到这边就停了，我们刚刚说了没给你图，很可能答案不止一个，是吧？不止一个，我们刚才你看你，你就想了，就是坐到这边的时候，你应该思考一下是不是还有另外一种可能啊？另一种可能在哪边？ 你看我们刚才画的时候是 o k 在 在什么 o h 的 什么右边，有没有可能在 o h 的 左边呀？啊？我们再画一下啊，这边如果在左边的话，说明这个 c 啊 c 应该往这边来一点 啊，大概画像一点啊，不能外画的一点都不像啊。 a o b， 然后角平分线嘛，那么说明这个 h 就 在这边啊，这两个角相等，然后 o k o k 大 概就是在这边， 这就是 k， 然后还是一样受角度啊，你因为这个 o h o k 是 最小的， h o k 最小，那这个是 r 法，那么 h o c h o c， 这个就是三 r 法，三 r， 那 么这个就什么， 哎，这个就是二二 r 法啊，二 r 法，然后再利用这个角平分线的关系把这个表达出来，是 r r 法，此时我们刚才不是有四十五度吗？这个是四十五度吗？此时哪个是四十五啊？ c 五 k 是 四十，也就是二 r 法等于四十， r 法等于二分之四十，那么角 a o h a o h 等于多少个 r 法？两个四个五个 r 啊？ a 五 a 五 h 啊，不好意思，这个刚才写错了一个啊，这个是，这个是三 r 法啊，这是三 r 法，那么 a 五 h 是 还是一样六 r 法也是六乘以二分之四是 吧？答案是一百三十五，一百三十五度， 然后我你看我们这个这里的题目，看怎么做的啊？我们一个是吧？最重要的我们刚刚讲了这个没有图，我们像这种东西的话，什么什么角是什么的，三倍啊？几倍啊？相等啊，那我们一定要注意一下，注意一下这个答案是否有， 嗯，不唯一，是否不唯一，是不是有多种可能性，因为他图没给你画，没给你画玫瑰花的大概率就是可能有几种，是吧？所以他不好画，他让你自己画， 然后我们自己要会画，是吧？画的大概差不多就行，你要不行的话我们再慢慢移一下，你要非画的准一点的话，你看这个角大是吧？我们往往这边再来一点点，是不是这个角就变小一点了，这个角就是三阿法更香了 啊。然后还有一个就是像这种类型的题目，我们以后求角度都是一样，就是没有给你，什么都没给你，是吧？然后我们就要自己要会设阿法 啊，最后呢，可能会利用什么呢？像这种利用角平分线啊，利用一些角度的相等的关系，或者说利用一些直角，什么什么阿法怎么加什么加什么加什么，等于九十度，或者用平角的关系，什么什么角加什么什么角，最后等于一百八十度，利用这么一个是吧？相当于一个关于阿法的一个方程， 然后把阿法解出来啊，一定要会瘦脚，不要眼睛在眼睁睁的这边看。好吧，这个今天的这个题目我们就讲这么多吧。

二十七题，这道题呢，计算量不是很大，但是他属于一个找规律的题目，其实这些规律我们曾经在应该算是初七年级的时候吧，可能带过同学们找过一次啊， 但是如果说你时间过得可能有点久远，如果大家对这个知识点还是有点印象的话，这个题做起来也没有那么难啊，我们一起看一下题目吧！ 前面给你，哎呦，有一个黄铁矿的晶体，是一个正方体，它是由六个面组成。正方体大家很熟悉，每个面都是全等的正方形，每个顶点都有三条棱相连，每个顶点都有三条棱。小明查阅资料后了解到， 各种这种各面都是全等的正 n 边形，且各个顶点连接耳条棱的 立体图形，称为正多面体。如正方形，这个正方体啊，又又叫做正六面体，这正四面体，正六面体、正八面皮，正十二面体，对吧？小明就思考了，这样的正多面体总共有多少个呢？啊？提出这个问题，今天我们重点就为了解决这个问题，那接下来来分析问题。一个正 f 面体的每个面都有全等的正 n 边形，这个 n 指的是它有 f 个面， 那每个面都有全等的正 n 边，就是每个面的图形是正方形还是正三角形，还是正四边形还是正五边形，是吧？正 n 边形。那么有 v 个顶点， v 是 顶点数，这个 e 呢，是棱的数量，且每个顶点都连接的 棱的数量耳，每个顶点每个顶点连接的数量的棱是小耳，那么棱的总数是 e， 可以 理解吧。所以这个 f、 n、 v、 e、 r 要是什么，你们心里要先看完之后要有点印象，这个是面，你不如果实在记不得，你把它写下来， 比如这是面数，哎，整个的面数，这个 n 指的是什么？ n 是 每个面的边，是不是每个面的边？把它写清楚一点，这是面，这是每个面的边，每个面是正多少边形啊？每个面的边数， 这个 v 是 什么？ v 是 顶点数，顶点的数量， e 是 什么？ e 是 总的能数，这个耳是什么？是每个顶点每个顶点处能的数量，每个顶点处能的数量 数量。好，那么紧接着根据图中的表，请你写出 f v e 之间的数量关系。 f v e， 我 们找找看， f v e， 把它画出来啊。 f 在 这，这就是找规律嘛。 v 在 这， e 在 这，你观察一下，一个四四六六八十二八六十二，所以很快发现了。呃，这两个加起来是不是比它多二啊？ 四加四等于八是比六多二，六加八等于十二又比他多二，八加六等于十四又比他多二，是吧？所以很快就能发现， f 加 v 是 不是等于 一加二啊？或者你就直接写 f 加 v 减 e 就 等于二。其实这是一个结论，你可以记住，就是面加顶点减去能的长度，永远都是二 数量啊，不是长度，是数量，就是面加顶点减去棱这些数量之这个关系，最后的结果永远是二，这个结论大家希望可以记住它啊。好，下面继续。小明进一步发现 正 f 面体中棱数与各面的边数之间，以及棱数与各面的顶点之间存在的一定的关系。这个关系从能够发现什么呢来从而发出发。以正方体为例，它有六个面， 每个面都有六条边哦，有六个面，每条面每个面都有六个边，那说明四、六、二十四、二十四个边，但是你有没有发现每条边被数了几次？ 每条边是不是总共数了两次？你比如说这条边既在这个面数了一下，又在这个面数了一下，所以这条边是不是相当于是两个面的接壤的边，所以这个每条能就数了两次吧。所以很快就知道正 f 面体的这个能长 的数量应该是怎么算哦，正 f 面他有 f 个面，那每条面有多少个？每条面有多少个边呢？是 n 个边，所以是 n f， 再除以二就是我们的 e。 那 么从顶点出发，你看正 f 面里的能数是什么？你看从顶点出发， 每个顶点有多少能啊？每个顶点的能数是不是尔啊？是不是尔啊？每个顶点的尔有多少个顶点？ 有多少个顶点？顶点数是 v， 但是你看每条能算了几次，是不是也算了两次啊？你比如说这个顶点处，这条能算了一次，在这个顶点处，这条能也算了一次。所以你看每个每条能的两个顶点，在这个顶点算过一次，在这个顶，所以每条能又算两次。所以由此可见， 你看总共有多少个顶点？ v 个顶点，每个顶点处有多少条能？是耳个能，耳乘以 v， 再除以二，这就是我们能的数量吧。 好，紧接着我们再往下看，第三小问一个正多边体，第三小问，我写在这正多面体有 三十条能，哦，也就是能 e 的 话是等于三十，每个顶点连接三条能，每个顶点就是尔，也就是这个 e 是 等于几？告诉我们 e 是 等于三十，这个尔是等于什么？每尔是等于三。其实通过题目，我们已知由题一得， e 是 等于三十， 这个耳是不是能够一下子出来是等于三，所以根据公式，你看这个公式，这个公式以及我们现在三个公式吗？这三个公式当中，哪个公式可以用？ 很明显，是不是这个公式能用啊？你看你已知的一和耳，一和耳，所以很快能算出来顶点数量吧，所以带入这个公式里面，得到这个顶点数量。 v 等于什么？用大写的 v 啊，大写的 v， 所以大写的 v 很 快能够算出来带进去吗？这个是三十，就是顶点数乘以二等于六十，六十再除以这个是三等于二十，所以顶点数是等于二十， v 能算出来， 但题目要求的不是 v， 是 f， 那 么我们看一下 f 等于什么这三个公式。哎，现在目前三个公式求 f 求 f， 有 两个公式可以求，这里面有 f， 这里面有 f。 如果用这个 f， 必须知道一知不知道， n 不知道，所以用这个公式没法用。那这个公式看能不能用。 要求 f 是 不是得知道 v 和 e， v 知不知道哦？ v 知道二十， e 知不知道？知道三十，所以 f 很 简单啊，对不对？那因为什么？因为 f 加 v 减一等于二，所以 f 加 v， v 是 二十减一，一是三十，是不是就等于二？所以我们很快就能得到 v 是 等于十二， f 是 等于十二，所以正多边多面体的这个面数 f 就 等于十二。结束好像挺简单的吧。好，第四个 满足正多面体定义的几何体总共有多少个？那么首先我们要注意一下，在这个图当中啊，我们看这个已知条件当中有哪些东西是范围是知道的，因为他有哪些你肯定要知道有范围，范围有哪些呢？看谁的范围是知道的。 首先第一个耳的范围，题目给我们了，是吧？就是每个顶点处的这个呃能的数量耳是大于等于三，所以我们最终养想要求他的这个呃个数肯定最终我们把这个三个关系式连立到直，还有耳用耳来表示吧， 一定要保留耳。还有谁是已知的？还有每个面是全等的正 n 边形，这个 n 能不能是正二边形？你见过正二边形吗？我最多只能见过三角形，是不是三个表，三条边，你有没有两条边构成一个一个面啊？够不了是不是？所以 这个 n 是 不是也是大于等于三？好，我们目标明确，也就是说目前这个五个量当中，只有两个量耳的范围是大于等于三，已知还有个是 n 的 范围大于等于三，也就是耳和 n。 知道，所以接下来我们根据这三个式子，把这三个式子表示成，用耳和 n 来表示出来，来试一下。 根据题目给的第一个式子是 f 减 v 加减哦，加 v 减哦， v 是 那个大写的 v， 总写成小写的再减。 e 是 等于二，这是第一个第二个式子， e 是 等于二分之 n f， 第三个式子是 e 等于二分之二 v。 注意，我此时对于这个式子中我要消掉了什么呢？反正耳和一不用消，这个耳和一不用消。耳和 n 啊，这两个不要消，剩下的这些大写字母把它消掉，能消掉尽量消掉两个，然后保留一个位置的大写字母就可以了。 因为你三个位置数，你最多只能削两个吗？你不可能削三个，对不对？所以我们只能削两个。那削两哪两个都可以，就是 f， v、 e 这三个中削两个就行，但是 n 和 r 保留，因为 n 和 r 的 范围是一致的，所以紧接着下面我们就开始削了。比较好削的是什么？ 嗯，可能比较好削的就是这个 f 和 v 吧。因为你看这边 e， 它比较统一，它是同一个位置，所以我们把这个跟这个削掉，可能相对来说好削一点。好，那我们来削一削吧。 首先，呃，下面这个柿子我能不能对它进行镶？下面两个柿子我看看怎么削比较合理啊？ 由下面两个式子，我们是不是可以能够得到 f 是 等于二 e 再除以 n， 这个式子能得到 v， 因为 f v 我 们消比较好消一点啊。是二 e 再除以 r， 所以 这时候我把这个 f 和 v 带到第一个式子里面，可以吧？所以就是 n 分 之二一，再加上 r 分 之二 e， 是 不是减 e 就等于二？哎，这个消的是最快的方法，所以接下来我们两边同时除以，嗯， e 吧， 啊，或者把 e 挪到那边去，两边同时除以 e， 就是 n 分 之二，再加上二分之二，是不是减一就等于一分之二啊？ 啊，所以很快就有了。两边再同时除以二，就是 n 分 之一，加上二分之一，怎么化简，怎么怎么简单怎么来，就等于二分之一加上一分之一。因为我们知道 e 肯定是个正数，是吧？ e 是 能的数量吗？能的数量他肯定是个正数，既然他是个正数，那他是不是就必须大于零 啊？一分之一肯定大于零，那么这个加二分之一肯定是大于二分之一的，所以从而就有这个式子是大于二分之一。 所以接下来我们就要弄清楚了，满足条件的有哪些数字呢？哦，我们知道 n 等于什么， n 只能等于，是那肯定是大于三的，同样尔也是要大于三的吧，对不对？而且他们都是正整数，下面我们就可以列表了，可以， 比如说 n 等于三的时候，尔尔也等于三行不行，因为你要保证这个是叫尔越大，这个加起来和是不是就越小？和越小，但你不能小，你小到最后不能小于二分之，它必须大于二分之一。这个地方少写了一个分之一啊， 最后的结果必须大于二分之一才行。那 r 等于三， n 等于三，满不满足算一下，这个肯定是满足的，对不对？ r 等于三， n n 等于三，是不是三分之一加三分之一等于三分之二是大于二分之一满足条件。那么 n 等于三，同样 r 等于四呢？满不满足就是三分之一加上四分之一 等于十二分之七，也是大于二分之一的满足。 n 等于三， r 等于五，行不行 就是三分之一加五分之一，三分之一加上五分之一等于十五分之八。十五分之八也是满足的。是大于二分之一继续， n 等于三， r 等于六，行不行就等于三分之一，加上六分之一，就变成了 六分之三。哎，六分之三，你发现他正好等于二分之一了哦，等于二分之一，这个地方就不满足了，因为你如果等于二分之一，你此时的这个 e 就不存在了，是不是？你一分之一永远不可能为零的，对吧？所以你根本就不存在这样的，所以这个地方就直接舍。那同样你，你耳再大肯定更不行了，你耳再大更不行，对不对？好，接下来继续。那 n 等于四的时候再看看。那么耳等于三 行不行啊，肯定行，对不对？其实刚才就是跟这个结果是一样的，就是变成四分之一加三分之一吧。四分之一加上三分之一行不行？可以的哇，这是等于十二分之七，是不是也是大于二分之一，那么 n 等于四的时候，而 如果等于四行不行啊，就是四分之一加上四分之一，你会发现，哎，等于二分之一不行了，又得折， 看懂没有？好，接下来 n 等于五的时候，你看，同样 r 等于三行不行哦。 n 等于五， r 等于三，你会发现它等于五分之一加上三分之一等于十五分之八，发现它大于五，二分之一是可以的。 那么 n 等于五的时候， r 等于四行不行。哎，很明显就变成五分之一加上四分之一就等于二十分之九，这个就小于二分之一了，是不是也得舍？ 那么再往下， n 等于六行不行， n 等于六，而从三开始，这个行不行啊？六分之一加上三分之一，是不是就等于二分之一？这个肯定不行了，那你越往大肯定越不行。所以最终满足条件的只有哪些呢？啊？第一个，这个是满足的第一个， 还有哪个？这个是满足的第两两种，第三个，这是带第三种，还有没有？嗯，还有这个第四种 啊，还有一个第五种，所以满足条件的只有这五个吧，同学们感受一下，我把这五个给大家画横线，两个、三个、四个、 五个，其他的都是满足的，因为我们这个题目你看最终要满足，问你这样的多面体总共有多少个？那么你要注意了，里面首先找到题目所给的给定范围的式子，是不是给定范围的 只有什么安和尔，所以接下来我要消掉的这五个量中，我们要消掉的两个量，你一定不能把安和尔消掉，因为安和尔的范围给了，那么另外三个你随便消，那么哪个比较好消？其实我们的 f v 好 消，因为什么？因为后面这个柿子它正好给的不是加减的柿子，是吧？所以比较好消一点。

恭喜大家呀，即将走完速客版七年级上册的数学旅程，今天啊，我们就来攻克最后一张，也就是整个初中几何的基石线段角。别小看这两个简单的图形，他们可是你未来几何大厦的第一块砖。跟紧我这一张的考点啊，难点咱们一次性搞定！ 第一部分，直击灵魂的线。首先啊，我们来看线，生活中有很多线，比如说桌子的边缘，笔直的公路，在数学里面，我们把它抽象成了线段。 线段有两个最关键的特点，第一，它是直的。第二，它有两个什么端点也它的长度呢，是有限的，是可以测量的，这就好比一根有头有尾的铅笔一样。 那么如果我们把这根铅笔的一端无限拉长呢？他就变成了射线。射线只有一个端点，另一端是可以无限什么延伸的，这个有个端点，然后朝这边无限延伸的， 就像手电筒一样啊，射出的光，或者是像激光笔发出的光束一样，都是射线的绝佳例子啊。那如果把线段的两端都无限拉长的，没错，他就变成了直线。直线是没有端点的， 可以向两段无限的延伸，所以它的长度是不可测量的。那么这里有个小技巧，帮大家区分一下 线段两个端点像一座桥，有头有尾。射线一个端点像一道光，有头无尾。直线没有端点像宇宙无头无尾。那么这一张呀，关于线段最重要的考点是什么呢？毫无疑问是两点之间 线段最短，这个是基本的事实啊，这句话非常重要，他解释了为什么我们走路总喜欢超近道。在考试中，他经常和生活应用题结合在一起的，比如 河边建一个水泵站，怎么建才能让到两个村的这个水管总长度最短？核心就是利用这个原理。第二部分，无处不在的角，聊完了这个线呀，哎呀， 我们来看一下由线组成的这个图形。角。角是怎么来的呢？很简单，就是从一个端点出发，引出两条什么射线，这两条射线所组成的这个图形，我们就把它称为什么角，那这个公共的端点就把它叫做什么顶点。 这两条射线啊，就是角的两条边，比如说张开的书本钟表上的这个时针和分针，都形成了什么角，是不是这样子的？那么爱心也是啊，角的核心是什么呢？是它的大小。 脚的大小啊，和两边的这个长短是没有关系的，比如说这边可以这么长，对吧？但是他脚的大小是不改变的，你把扇子张开的越大，脚就是越大的，你看这样和这样是不是不一样呀？啊， 怎么比较两个角的大小呢？我们可以用叠合法，就像叠纸一样，把两个角的顶点和一条边成和，看另一条边的位置。当然了，最精确的方法还是用两角器啊，两角器的使用是必考的操作技能，大家一定要熟练掌握。两对齐， 中心对顶点，零线对一边。好，接下来是角的这种分类，这也是必考点啊，比如说锐角是大于零度，小于九十度的。钝角呢，是大于九十度的，是小于一百八十度的， 他看起来就是一条直线啊。周角呢，是等于三百六十度的，比如说旋转一周就回到原位了，这是周角 啊，这里有个小口诀，锐角小于直角小于钝角小于平角小于周角。它们之间的关系也要牢记，比如说一周角等于什么？两个平角是不是等于四个直角？ 核心考点与易错点大总结啊！好了，知识点我们串完了，那现在进入最关键的划正点环节。第一个考点，基本概念的辨析， 选择题里最爱考你线段、射线、直线的区别以及角的定义，记住他们的端点和延伸性啊。考点二，基本事实的应用，比如说两点之间线段最短的应用题是大题常课啊，一定要会画图分析。 第三个考点，做图题，比如说硬尺规呃一，一个角等于做一个角等于已知角的，或者是做线段的垂直平分线的，这是几何证明题的基础啊，动手能力一定要跟上的 啊！这里面的易错点就是角的表示方法，当一个顶点处只有一个角时，你可以用一个大写的字母表示，比如说角 a 角 b 角 c， 单独的一个角。但如果一个顶点处有多个角，你必须用三个大写字母来表示，比如说角 iob， 角 boc 啊，并且顶点字母要写在中间，这是无数同学栽过跟头的地方啊。第二个易错点，就是角的计算，看到一个复杂的图形，里面有很多个角，不要慌， 仔细寻找这个对顶角呀，比如说对顶角相等是不是还有没有邻补角，邻补角相加是等于一百八十度的这种关系，还比如说互余的两个角啊，是不是他们和是呃，九十度啊，这些往往都是解析的突破口。 同学们，线段角啊，这一张是你们从竖的世界正式踏入行的世界的大门， 它不难，但非常重要，它教会你的不仅仅是几个定义和公式，更是观察、分析和逻辑推理的几何思维。 把这一张学渣舍你的初衷几何之路就成功了一半。好了，今天的内容啊就到这里了。嗯，我是胡老师，祝大家嗯，好好复习期末考的那个优秀的成绩。

孙老师一讲，豁然开朗。今天进入新专题，也是本学期最后一个专题角度计算。有了线段计算的方法基础，我们接下来要做的 就是发扬光大，锦上添花。在进入角度计算推理专题讲解之前，我们还是把整个专题的逻辑做一个介绍。 那么角度作为线段之后的第二个专题，他的难度会比线段上一个台阶会多很多元素啊。你比如说第一个基础知识板块角度呢？他有个单位，他不像线段，相当于就这个长度， 那这里边的单位的换算和度数的计算属于到基础知识了。然后和线段一样，角度中也存在大量的等量关系，而且他的等量关系更多，他增加了互余和互补。而平分， 我们线段里面也有，线段里边叫线段中点，而角度里边叫角平分线，所以它的等量关系会比线段多。然后常规的计算推理推理的方法和线段非常像， 你要想办法把题目条件和等量关系在图上做标注。那么标注的时候的技巧，我们也去画弧线，但是弧线不交叉不重叠，但他因为是角度，是旋转的， 他是一个从内到外，小角在内，大角在外，这么画弧线，最后实现错落有致，条件你也标上去了，等量关系你也标了，而且还不拥挤。然后利用等量关系，你就能直接算角度的大小。这是我们讲常规计算的 那例色，是另外一种类似于线段里面的无图必有坑，角也分为内外部分内讨论，当几何题没给图的时候，我们就要考虑分类讨论，这个时候就不是点在左右，而是设陷在角的内外了。 然后重头戏仍然是设餐，那你设一个餐和设双餐方向都是通的。 我们的目标仍然是选择合适的角度去设，参考用你设的未知数去表示其他角度，这个题就很快出来了。最后，角度里面还有一种特殊的等量关系，我们称它叫叠角， 它很类似于小学生学的两根小木棒重叠绑在一起，那么总长度等于两根小木棒减去重叠长度。而叠角类似于一个黄色的角 和一个蓝色的角，他们中间有一个重叠部分，那这个大大的角应该是等于黄色加蓝色减去 重叠的角，所以它是一个特殊的等量关系。好，第一部分我们还是从最基础的角的度量单位开始学起啊。如果你已经学过，你可以划过去啊。 那角的度量单位最常见的就是度，那比度更小点的，我们称它叫分，再更小点的叫秒。那这三个单位一出来，你就感觉它和什么很像，和那个时钟时间啊，小时分秒。 而恰巧他们之间的净率，你像一小时等于六十分，一分等于六十秒，这个净率也是模仿时间的，因为我们在规定一度等于多少的时候，他就是类似于圆盘啊。 我们将一个周角三百六十等分，每一份就是一度的角，记作一度， 再把一度的角在干嘛呢？这时候就不是三百六十等分了，是六十等分，每一份叫做一分的角，记作一分，打一个撇啊。 然后把一分的角再六十等分，每一份叫做一秒的角，记作一打两撇读一秒啊。所以它是根据这个时钟和角的定义来的，那这背后的历史来源你可以自己用 ai 搜索一下，很好查。 下面一个角 a 的 度数是四十八度、五十六分、三十七秒，那他就记作四十八度、 五十六分、三十七秒，度分秒第一到具体的单位换算和计算了啊，那还是一样，我们抓一个东西，一度等于六十分，一分等于六十秒，你就跟那个十分秒对应上。 那第一个，十八度十五分等于多少分？十五分和这个分是一样，不需要再画，只需要把十八度变成分，也就是十八乘六十，再加上这个十五分就够了，等于一零九五。 第二个注意，你看这个区别，这是十八点一五度，这是十八度。十五分，他不一样，这个零点一五也是度，所以他要想变成分是整体十八点一五乘六十。 你看这两个区别啊，分分我不用动，加十五，十八度本身乘六十，那我点一五也是度，所以我整体乘六十，算出来是一千零八十九分，不一样啊，所以你别光看数字了，它这个含义不一样。第三个， 十八点一五度等于多少度？多少分还是一样，这个度是相同的，那整数度就仍然是十八度，只有多少需要换成分呢？就这个零点一五度不满一度嘛。那零点一五度等于多少分呢？ 从度到分成六十，零点一五成六十等于九，那就是九分，所以这就是九分。它类似于小学的， 你比如说一点五米等于一米，多少厘米呢？你是把零点五米不够一米的单独画成多少厘米 这个意思。第二个，二十五点七二度等于多少度？多少分？多少秒。那还是一样，我先找相同的单位。二十五度嘛，整数够就是二十五度。那零点七二度我要把它化成分和秒，它等于多少分呢？ 从度到分成六十零点七，二乘六十等于四十三点二，那也就是四十三点二分。这时候你就发现了， 他分里边还带小数。没关系，我层层递进，这四十三分是够整分的，这四十三还剩多少呢？零点二分再把它换成多少秒，还是乘六十零点二乘六十十二秒， 所以单位换算，抓住它整体带的是什么单位，然后相邻单位之间的净率都是六十。要区分这个小数和这种写法不一样啊。第二，这种题一般当填空题啊，用来口算的啊，我就不写那个解决这种我直接算了。 好，以他为例，四十九度三十八分加六十六度二十二分。那我们本能的，你把分和分加起来嘛，三十八加二十二刚好是六十分，四十九加六十六是一百一十五度。 这个时候你可别停在这个状态啊，满六十要干嘛？进一啊？所以六十分刚好等于一度，那也就是一百一十六度了。第二个，一百八十度减七十九度十九分，这时候你发现度好减，我这个分他没有啊，咋办呢？ 没有，就跟小学的计算一样，不够你找前面借。所以我可以多写一步，我先把一百八十度变成一百七十九度，六十分跟他反过来，你看，反过来了， 借一，当六十，再减七十九度十九分，等于刚好一百七十九度，减七十九度，还剩一百度六十分减十九分，还剩四十一分。第三个 前面两个已经给我们方向，就是度和度在算，分和分在算。那一样啊，二十二度十六分乘五，我也把度乘了五，再把分成五分开算， 那二十二乘五是一百一十度十六分成五，这是八十分。没关系啊，中间过程我就写在这，然后我满足 满六十进一，那八十分往先进一个，一百一十一度还剩二十分。这么写没问题啊，因为这是中间过程帮你推理的。那有了乘法，除法就一样啊，先把一百八十二度除以四， 这个时候你会发现一百八十二除以四，他除出来是个小数，能除的进啊，我就先写小数了， 是四十五点五度，三十六分除以四是九分。那为什么不能写这个格式啊？你看下这，你要么是整数的度和整数的分，要么是整体就带一个度，这可以放小数。 你不能又放小数的度，又带整数的分，因为这个点五度他也可以换成分，所以统一下格式干嘛呢？四十五度我留下来零点五度 写旁边多少分？他不就是三十分吗？乘六十是三十分吗？那三十再加这个九分，就是三十九分。当然这个题算法不止这种啊，但是这样写是比较舒服的啊， 你甚至还可以怎么思考。一百八十二度除以四不好除，只有一百八可以除，我可以改成一百八十度，然后这个两度给谁呢？给下面这个分。 两度是一百二十分吗？那加起来就是一百五十六分除以四，这时候你看一下，把两度换过去，一百八十除以四，四十五度，一百五十六除以四三十九分也可以啊，关注梳理黑板，现在下课。

如果你是刚上初一的同学，那么大概率对一元一次方程的应用题会感到很头疼。本期视频我们一次性把常见的应用题类型全部讲一遍，从审题到找等量关系，再到列方程，跟着学以后做题，保证又快又准。 ok， 我 们先来看利用方程求解应用题的一般步骤。 首先要认真读题，审清题，分清题目中的已知量和未知量。第二步，找到关键的未知量，将这个未知数设为字母 x。 第三步，根据题寻找等量关系， 然后基于这个等量关系列出方程。第四步，求解列出来的方程最后检验所求的解是否符合题。我们再来看最后一类题型，几何问题。这类问题的关键在于图形无论如何被切割或者变形，它的面积或者体积始终保持不变， 所以结合这个不变的特点，就能建立等量关系列方程。同样来看两道例题， 先看第一题，如图，一个长方形正好可以分成 a、 b、 c、 d、 e、 f 六个正方形。图中我们看到的这个 a、 b、 c、 d、 e、 f 全都是正方形， 其中最小的正方形 a， 它的边长是一，问这个长方形的面积是多少？现在我们知道这个小正方形的边长等于一，让我们求这个大的长方形的面积，那么关键是要求出它的长 和它的宽。怎么求呢？我们来看一下条件啊。根据刚才这个题干的描述，我们知道这个大的长方形呢，他被分成了六个小的正方形， 所以这个长方形的面积是等于这六个正方形面积的和啊。下面我们就来仔细的观察一下这幅图，看看能不能从中找到一些线段之间的数量关系啊。同学们看，我们可以假设这个小正方形 e， 它的边长是 x， 那么这个小正方形 f 的 边长是不是也是 x 啊？小 a 的 边长是一，所以 这里是一，这里也是一。那这样我们就又知道了，这个小正方形 d， 它的边长就应该是 x 加一，因为这里是 x， 这里是一，所以 d 的 边长就是 x 加一啊，那这一段也是 x 加一， 这个 c 也是正方形，这里是 x 加一，这里又是一，所以正方形 c， 它的边长就应该是 x 加二，所以这一段呢，也是 x 加二， 这一段也是 x 加二，那这里又是一。相当于这个正方形 b， 它的边长其实就应该是 x 加三， 这段是 x 加二，这里是一，所以它的边长就是 x 加三。同学们看，那这样的话，我们就用含有 x 的 表达式，把这个长方形的两条长分别都给它表示出来了。 这条长我们是用这三个正方形的边长加起来的，那这一条长呢？我们是用这两个大一点的正方形的边长加起来的啊。我们又知道，长方形的两条对边是相等的，所以这个 x 加三， 再加 x 加二，它就等于 x 加 x， 再加 x 加一。解一下这个方程， x 就 等于四， x 等于四，那么这个长方形的长呢，它就等于十三，宽呢，就等于十一， 等于这条边加上这条边也就是二。 x 加三，那 x 等于四，所以它的宽算出来就等于十一，长和宽都有了，所以这个长方形的面积就是十三，乘以十一，答案等于一百四十三，最终它的面积就是一百四十三啊。 那我们刚才解决这道题的关键步骤就是通过这个长方形的两条对边相等，然后建立等式。好，我们分别通过正方形 b 和 c 的 边长写出了长方形的这条边，再通过这三个正方形的边长写出了长方形的这条边， 那最终就得到了这样的一个等式，也就解除了这个 x。 下面我们再来看一下第二题，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成一个长方形 a、 b、 c、 d。 首先这里 是六个正方形，那么这个大的呢？可以看作一个缺角的正方形，其中 g、 h 等于 g， k 等于二， dc 等于十。求长方形 a、 b、 c、 d 的 面积， 我们要求这个大长方形 abcd 的 面积，要想求它的面积，所以我们还是得算出这个长方形的长 和它的宽。那这道题的处理方法和我们刚才的第一道题呢，几乎是一模一样的啊。同样的，我们还是先来设未知数，然后通过不同的图形看看能不能用含有 x 的 未知数， 把这个长方形的两条对边给他表示出来。比如说这里我们可以设 b、 f 是 x， 我 们设这个小正方形，它的边长是 x， 那 么这里就应该是三 x， 这里是三 x， 这里又是二， 所以三 x 加上二，不就是这个 a、 e 的 长度吗？那这样我们就发现了，线段 a、 e 的 长度应该是三 x 加二。题干当中又说这里是一个缺角的正方形，所以 a、 f 的 长度也是三 x 加二，这里是三 x 加二，这里又是 x， 那 这样的话，线段 a、 b 的 长度，它就等于三 x 加二，再加 x， 那 不就等于四 x 加二吗？ 同学们看线段 dc 的 长度，我们又知道它是等于十的， abcd 是 一个长方形，所以 dc 和 ab 的 长度是不是相等的啊？现在我们就可以建立方程了，这个四 x 加二，它不就等于十吗？那解出来这个 x 就 等于二， af 是 三 x 加二，这里又是二，所以这个 e k 呢？其实它就应该是三 x， e k 是 三 x， 所以 ed 也是三 x。 那 么我们要求的这个 ad， 它就等于六 x 加二， x 等于二，所以 ad 等于十四。那么现在有了长，有了宽，所以我们要求的这个四边形的面积，它就等于十四乘以十 等于一百四十平方厘米。最终这道题的答案，它就是一百四十平方厘米。 那这样我们就把有关一元一次方程应用题当中的几何问题给同学们说清楚了啊。解决这一类问题的过程当中，同学们可以根据这个图形的特点，找出这些线段之间的数量关系，那通常都是用一个含有未知数的代数式，把我们所需要的这个线段都给他表示出来， 最终就能通过这些代数式建立方程，解决这个问题。 ok！ 以上就是初一数学一元一次方程应用题的所有常见题型，答题之前，请同学们一定要牢牢记住，捋清思路，抓准等量关系，拜拜！

动线段和动角问题一定是我们这次期上期末的一大压轴难点，而有关于线段，这里啊必须会的两类模型，其中一类就是有关于线段的双终点模型，如果你学透了这个模型，那很多选填题当中，你基本上都可以利用结论去秒杀了。 那有关于啊，我们线段计算这里压轴题我也给大家做一个系统的总结。如果咱们孩子啊，复杂的线段，动线段、动角都还不会做，没思路的话，一定要带着孩子分题型进行练习， 总结完每一类题型的解析方法，你这样遇到复杂的题目，你才能举一反三，才能有思路，对不对？下面咱们来一看一看这个基础的模型说的是什么事？ 说 c 呢，为线段上任意一点， m、 n 分 别为 a、 c、 b， c 的 中点，这是中点，那我用两段小黄表示，这样两段线段相等，两段小绿表示它们相等。问你 m n 与 ab 的 关系到底是什么？ 想要求 mn 这段线段与 ab 之间的关系，那该怎么求啊？哎，我会发现黄的是它的一半，绿的是它的一半，那中间的紫的不就是 ab 的 一半吗？ 所以通过这个图我很容易发现， mn 其实就等于二分之一的 ab， 对 不对？哎，别觉得太简单了，这道题它还有变变数在哪？我如果把这里的线段改成什么 为直线上的任意一点，那请问答案还是一样吗？那这个时候答案有几种呢？那咱们来一起画一画， 如果变成直线上一点，那我们对应的点 c 可以 在线段 a、 b 中间，是不是也可以在 a 的 左侧呀？对不对？ c 点可以在这啊，那同样我的点 c 也可以，在我们哪啊？ b 的 右侧呀，在这啊，对不对？所以又有两种不同的情况，那我还是一样画画一下图， m 为 a c 的 中点， 那这一段就是 m， 对 不对？这两段相等，接下来告诉你 n 为 bc 的 中点好了，那 n 在 哪呢？哦，得是 bc 的 中点，那 n 得在这啊，对不对？这两段相等。 好了，现在说 m n 与 ab 的 关系，我想求的是 m n 这一小段，那这一小段和我们小黄小绿有什么关系呢？ 我会发现这里这一段小的 m n， 它正好等于什么？哎，一个小绿减一个小黄，对不对？也就是等于 c n 减去 c m， 而对应的这个 c n 又是 bc 的 一半，对不对？而对应的这个 c m 又是 ac 的 一半， 哎，所以你发现了吗？它还是二分之一 b c 减 a c b c 在 这呢， a c 减这呢，对不对？减掉之后还剩什么？还是二分之一 a b， 发现了吗？ 那同样第三个，你也可以自己去画图试一试，你会发现啊，虽然点 c 是 一个动点，它可以在直线上左右移动，但是它无论移动到哪，它永远有这个一半一半又一半的结论。 而且在推导过程当中，咱们可以用小黄小绿来帮忙。第二步，做做二分之一的替换，用已知的线段，已知的信息来去替换这种位置的线段， 然后再去求解，这不就容易了吗？所以，掌握推导对应的原则，掌握线段和差关系转化的原则。像这种题目，咱们都可以用这个结论轻而易举的秒出来了。