甲哥数学平面几何题

认识平面图形，有些几何图形，比如线段角、三角形、长方形、圆等，它们的各部分都在同一个平面内，它们呢，都是平面图形，简单说就是在同一个平面内的图形就是平面图形。 虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但他们是相互联系的。立体图形中某些部分是平面图形，比如正方体的侧面就是一个正方形，它是平面图形。当然，正方体的上下两个面也是正方形， 圆锥的底面是一个圆，是平面图形。某些立体图形可以看作是平面图形绕某条直线旋转而成的。比如我们熟悉的圆锥， 就是一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形。再比如圆柱，它是一个长方形绕一条边所在的直线旋转而成的立体图形。 第一，如图下面两个几何体中含有相同的平面图形的是 a。 长方形 b。 正方形 c。 三角形 d。 圆。很显然在这两个图形中是没有圆的，所以首先排除掉 d。 这是一个三棱柱，三棱柱的格格面，上下两个面是三角形，侧面是长方形，而这个长方体这个面是有六个长方形组成的，所以这两个几何体中含有相同的平面图形，是长方形。选 a。 第二，下面的几何体中不能有平面图形绕某条直线旋转一周得到的是哪一个？ a 是 一个正方体，正方体它是不能有一个平面图形绕一条直线旋转而成的。所以呢，这个最后的答案呢，应该是选 a。 我 们来看一下 b。 中球球体，可以看到是一个圆绕着一条直径任意的一条直径 所在的直线旋转一周得到的。刚才我们说了圆锥哎，可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转一周得到。圆柱是由一个长方形绕一条边旋转一周得到。因此呢， b、 c、 d 都能选，只能选 a。

初中的几何辅助线画不出来，这个几何题啊，就是解不出来，那么这辅助线是怎么想出来的呢？ 这本搞定平面几何，一方面从学生的角度引导探索，另一方面呢，从教室的角度呢，来系统讲解， 抽丝剥茧，教学生划线答题，层层解析，破解思考过程。我们看目录，这本书啊，分为上下两部分，上部分呢，是从学生的角度啊，来探索和求解 辅助线是怎么画出来的。下部分呢，是站在老师的角度引导和启发学生啊，怎么把辅助线画出来？可以说，每一道题啊，展现的都是探索的过程以及思考的过程。这本书啊，强烈推荐 一本被严重低估的几何秘籍，刷到的抓紧囤一本，因为我不知道后面会不会有加印，会不会绝版。他跟市面上这类书最本质的区别在于，不是简单的解析经典例题，给出标准答案， 而是带领孩子掌握几何题目背后的思考逻辑。讲的是解析思路，是思考的全链路，这就是他被我视为珍宝的原因。不以题目的数量和知识点的覆盖面取胜，重在讲解完整的展现求索过程，特别是从错误到正确的求索过程。 而这些思维方法不是平面几何所特有的，而是理工科解决未知问题的共性范式，观察、发现、猜想、论证。 整本书分为两篇，前半部分从学生的角度探索求解十七道经典题目。后半本则是从教室的角度启发引导学生，抽丝剥茧，层层解析破解思考过程。特别是看似神来之笔的辅助线背后的思考逻辑。值得珍藏的一本几何秘籍，错过一定会后悔！

今天这是一个空间几何的题目，我们先根据题目来理解一下他给我们的条件啊，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d， 接着他平行 角 d， a、 b 等于九十度，哎，这个角他等于九十度，然后他说 f 为 c、 d 的 中点， e 在 a、 b 上，且 ef 它平行于 a、 d， 那 么这就是一个平行四边线，因为它等于九十度，所以四边形 a、 d、 f、 e， 它就是一个长方形了。哈，这里一定要有这种意思。再来 他说 a、 b 等于三倍的 a、 d， 那 我们假设这里是一的话，这也就是三，然后 c、 d 等于二倍的 a、 d， 那 么这个地方它的长度和它的长度比就是二 b 三、将四边形 e、 f、 d、 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f、 d 一 撇 a 一 撇，使得面 e、 f、 d 一 撇 a 一 撇，与面 e、 f、 c、 b 所成的二面角为六十度。 那么二面角的含义是什么？哈，就是，哎，说这一个平面和这一个平面，他们的交线是这条线吗？那么刚才我们知道他是从从他翻折过来的，既然是翻折过来的话，他所形成的这一个角啊，啊，也就是 ef， 它和 a 一 撇一，它还是垂直的，所以这是垂直的。然后这个地方刚才说了吗？这是一个哎，长方形，那么这个脚踏也等于九十度，所以其实就是说这个脚踏等于六十度。哈，我们刚才分析完题目，然后现在我们来看一下第一道题啊， 第一道题是让我们证明出，证明出 a 一 撇 b 平行于平面 c、 d 一 撇 f， 那 么现在我们又证明的是线面平行的问题。 线面平行的问题的话，我们有两种解析方式，第一种方式就是证明这条线它平行于这个平面内的一条线，就可以证明这条线它平行这个平面。第二种方法就是证，证明见两个平面它是平行的， 两个平面是平行的，然后其中的一条线它肯定与另一个平面也是平行的哈，我们就看一下啊。这道题的话，根据观察号我们发现， 你看他的题目中已经告诉我们嘛，说这个 a e 他 和 d f 他 是平行的关系。既然是平行的，我不管你怎么翻折，我们都能够推出来 a 一 撇一， 它是平行于 d 一 撇 f 的， 这个是能够推出来的哈，然后呢，它在题目里面是又告诉我们说 ab 是 平行于 cd 的， 既然 ab 是 平行于 cd 的， e b 和 f c 它是这一值。呃，这两条线上的也是一部分嘛，所以我们又能够退出来。因为 ab 它也是平行于 cd 的， 也是一部分嘛，所以我们又能够退出来 e b 它也是平行于 c f 的， 然后他平行了以后，我们发现，哎，这个 a e 撇 e 与 e b， 他 是相交于点 e 的， 然后 d e 撇 f， 他 与 f c， 他 是相交于点 f 的。 也就是说这这两个平面内有两条交线是互相平行的，所以我们就能够得出平面 平面 a 一 撇 b e 和平面 d 一 撇 f c， 它是平行的关系。既然是平行的关系，我们又知道哈，这个 a 一 撇 b 是 在 平面 a 一 撇 b e 里面的，所以就能够得出 a 一 撇 b， 它平行于平面 c， d e 撇 f 得简了啊。第二题，大家下去思考一下哈，二面角的含义是什么？然后我们明年一起交流一下。

厉害炸了，二零二五年重庆模考的这道解三角形压轴题出的实在是太好了，它是一道平面几何味道非常浓的题目，第一问中规中矩，第二问开飞机。如果高考也出这种风格的题目，得分率 一定相当惨淡。但其实呢，解析的核心思想正是研究几何问题的底层逻辑，具体是什么呢？来，咱们先看题 好，题目呢，给了一个平面四边形 a、 b、 c、 d。 知道呢， a、 b、 b、 d、 c、 d 全是一， 这段等于一，这段等于一，这段还是一。说白了，三角形 a、 b、 d。 三角形 d、 b、 c 两个等腰三角形 点 e 呢？在线段 c、 d 上知道 a、 d 等于 a、 e 三角形 a、 d、 e 第三个等腰，以及 b、 e 等于 b、 c 第四个等腰。你看四个等腰三角形，有没有一种梦回初衷，平面几何的感觉？ ok， 那 咱们先看第一问，知道呢，角 b、 c、 d 七十五度，求 d、 e 来，这个角七十五度，求这段的长啊。这个第一问呢，还是比较简单的，有这么多等腰加上一只角，那么其他的角基本上都能算出来 来。咱们呢，先看到三角形 b、 e、 c。 好，等腰三角形，这个角七十五度，那这个角七十五，这个角三十。然后呢，看到三角形 d、 b、 c 来，腰长为一的等腰三角形，这个角呢，七十五，这个角七十五，去掉三十，剩四十五度， 菱角呢，依然是三十度，然后这个角一百零五度，那么到此为止， d、 e 的 长就可以求了。三角形 d、 b、 e 当中三角一边是已知的，那用一下正弦定力就可以了吧。来就是 d、 e 比上三四十五度，它呢就等于一只边一再比上三一百零五度 好了。所以呢，第一，三四十五度除以三幺零五度， 二分吃根二算一百零五度呢，就是算六十度加四十五度啊，能背下这个结果是最好的，四分吃根六加根二啊，数呢，大家自己算一下，应该是根三减一。 ok， 那咱们继续来看第二问，这一道出的非常非常精彩的题目，它呢，给了这么三个角角， a d， b 角 b d， c 角 b c， d。 来标一下，这个角阿尔法 这个角贝塔这个角伽马。那么不难注意到，作为同一个等腰三角形的顶角和底角，贝塔和伽马之间必然有等量关系，事实上，角 dbc 也是伽马， 所以呢，贝塔加上两倍的伽马，一百八十度等于派对吧。好，接下来呢，有两小问。第一问呢，让你证明阿尔法，贝塔伽马之间满足这么一个比较复杂的等量关系。第二问，求二倍阿尔法加贝塔等于几？ 哎，我相信呢，很多同学看完题目呢，是没啥想法的，就是四个等腰三角形，犬牙交错，纵横疆胡。然后呢，这三个角之间看上去也没有什么关系，而这个式子给的又比较复杂，也看不太出来具体是怎么算出来的， 对不对？好，所以接下来请大家认真听好这道题，我是如何分析的？其实呢，我根本就没有管这两个问题，只是把图形分析了一遍，然后我就知道出题人到底想干嘛，以及这道题应该怎么做。 那这个图形怎么分析呢？来，就是一开始说过的几何问题的底层逻辑。首先得先分析一下每个点是如何确定的， 来，我重复一遍。首先要分析这个图形当中每个点是如何确定的， 这样不是分析怎样加辅助线。有的同学呢，为啥几何学的不好，你总是想辅助线怎么加？这件事情根本不重要，重要的事情，第一件应该是每个点在几何上是怎样被确定下来的。 ok， 那 具体怎么分析呢？来，咱们就按照这个图形的生成顺序。好，先看三角形 a、 b 定， 你看，这是一个等腰三角形，腰长已知，那么这些条件能把这个三角形完全确定下来吗？ 好像不行吧，角 a、 b、 d 的 大小可以变化，所以如果角 b 确定了，整个三角形才是确定的，对吧？当然，这道题呢，没有给角 b， 它给的是这个角阿尔法，那也可以，阿尔法确定了，整个三角形也是确定的。 好了，所以呢，阿尔法确定 a、 b、 d 三点就确定了，这是这三个点的确定方式。好的，那接下来呢，是点 c， 这里呢，有一个等腰三角形 d、 b、 c 来，只根据等腰三角形点 c 能确定吗？哎，也不行吧，这个角的大小也可以变化。题目已知这个角是 b， 它，所以呢，如果 b 它确定了， 才能使得这个等腰三角形 d、 b、 c 是 确定的，那么与此同时，点 c 也就确定了，这是点 c 的 确定方式。 好，现在呢， a、 b、 c、 d 四点都确定了，只差最后的点 e。 关于点 e， 咱们知道 a、 d 等于 a、 e， 那 各位同学，根据这个等幺三角形点 e 能确定吗？ 哎，这个是可以的，因为其他四点都确定了，你就以点 a 为圆心， a、 d 为半径，画这么一个圆，那么和 d、 c、 e 相交，点 e 自然就确定了，对吗？好，所以呢，根据 a、 d 等于 a， e， 点 e 自然就确定了。 但是接下来关于点 e 还有一个条件， b， e 等于 bc， 这也是点 e 满足的一个限制，对吧？ 哎，那这个事情呢，就非常有意思了，点印已经确定下来了，但是他还满足其他的限制条件，那么从这个条件出发，一定能得到等量关系。 什么意思呢？那我换一个角度给大家解释一下啊，就是如果咱们无视掉 a、 d 等于 a， e 只看 b， e 等于 b， c， 只看这个等腰点 e 能否确定，也可以吧，以 b 为圆心， bc 为半径，做这么一个圆，点 e 也能确定下来。 好，所以这道题目当中呢，点 e 有 两种确定方式。 那么接下来关键的问题来了，请大家仔细听，好啊，假设呢，我保持 a、 b、 d， d， b、 c， 它俩都是等腰三角形，那么在此基础之上，这两种方式确定的点 e 一定是同一个点 e 吗？ 哎，这个事情呢，不一定，为啥呢啊？我把这个点 e 呢记作点 e， 一， 这个点 e 记作点 e。 二来，咱们来到这个图上画一下，你看， a， d 等于 a， e， 点 e 呢，大概在这里，这个是 e， e， bc 等于 b， e。 好，这个 e 二，大概在这里。所以你会发现，这个图形如果随便画的话， e 一 e 二大概率是不重合的，对吧？但是呢，在这个图形上，两个点 e 偏偏就重合了，各位同学，这能说明啥？ 这就说明呢，这个阿尔法角和贝塔角是不能随意变化的。比如说，如果阿尔法等于四十度，那么贝塔角必须得是某个确定的度数，才能使得这两个点是重合的， 对不对？或者呢，比如说阿尔法是三十度，那么贝塔也不能随意变化，它必须也得是某个确定的度数才能使得这两点重合。 那么换句话说，这两个点重合，其实就说明了阿尔法和贝塔之间必然存在着某种等量关系。 好了，所以这道题的第三问，你们来看一下，求二倍阿尔法加贝塔的值，研究的就是它俩的等量关系，对不对？那么上面这个问题又是干嘛用的呢？ 哎，非常简单，就是出题人呢，在提示你，直接求这个式子不太好求，你可以先把阿尔法、贝塔、伽马之间的等量关系算出来，再利用这个式子消去伽马，就能得到阿尔法、贝塔之间的等量关系。理解了吗？ 好，在这里面呢，最重要的一个思想是什么呢？就是如果在几何上某个点有两种确定方式，那么这两种确定方式必然会引出等量关系，理解了吗？ ok， 所以 接下来呢，咱们就把这两个点重合这件事情写成一个等式。那么这两个点重合怎样写成等式呢？ 来非常简单，看，回到这个图形，其实呢，就是 d e 加 c， e 等于 d c 啊，为啥是这个式子？因为你看一下这个图形，这个图形上 e 一 e 二不重合，所以呢， d e 一 加 c， e 二就不等于 d c， 所以呢，这个式子就可以表示出 e 一 e 二两点重合，听懂了吗？ 好，那么接下来呢，就把这三条线段用什么阿尔法、贝塔、伽马给它表示出来。来，咱们先看定义 啊，定义呢，得放到三角形 d a e 当中去求，为啥是这个三角形？因为呢，在这个图上定义就是 d e e， 它是由三角形 a， d， e e 确定的，所以应该放到这个三角形当中来求。定义好，咱们呢，把它单独画出来 来，等腰三角形，这个角阿尔法加倍，它想表示第一，那就得先把 a、 d 给它求出来，而 a、 d 呢，可以放到等腰三角形 a、 b、 d 当中， 腰长为一底角阿尔法。想求 a、 d， 那 么在这里呢，做一个高 来，各位同学看一下，这个 a、 d 的 一半应该就是一乘上 cosine 二法。就是在这个直角三角形当中， a、 d 的 一半比上一应该是 cosine 二法，所以一半就是一乘上 cosine 二法， 那么整个 a、 d 就是 二倍的 cosine 阿尔法。好，那么接下来呢，想求 d， e 还是在这里做一个高来看一下 d， e 的 一半，你看啊， d， e 的 一半 比上斜边， a， d 就是 阿尔法加贝塔的领边比斜边，它就应该是 cosine 阿尔法加贝塔，对吧？所以呢，这个定义，二倍的 a、 d 乘 cosine 阿尔法加贝塔， a， d 呢，是二倍 cosine 阿尔法， 所以呢，第一就应该是四倍的 cosine 阿尔法，再乘上 cosine 阿尔法加贝塔。哎，各位同学就是这个式子。等号右边的部分看到了吗？ 那咱们继续再来看 c， e， 它呢，得放到三角形 b， c， e 当中求这个三角形， 呃，依然是等腰三角形，底角是伽玛，那咱们先把腰 b、 c 给它求出来，放到等腰三角形 b， d、 c 当中 啊，底角是伽玛，腰长为一，那么一样的做一个高 啊，这个一半呢，就应该是一乘上 cosine 伽玛，所以呢， bc 就 应该是二倍的 cosine 伽玛， 然后呢，还是往这个地方做一个高这个一半跟之前一样，应该是 b c 乘上 cosine 嘛，二倍 cosine 嘛，再乘 cosine 嘛，二倍 cosine 方干嘛？那么整个 e c 再乘二四倍的 cosine 平方干嘛 啊？这一说，右边的 d c 提米值等于一，哎，各位同学看一下，这个式子和要你证明的这个式子完全一样，只是把四倍 cos 方格码放到了右边，发现了吗？那这一问就做完了 哎，所以你看，只要你在一开始能分析出，根据这两点重合，能得到这么一个等量关系，那么剩下的思路就会一帆风顺，没有任何卡点，对不对 啊？当然了，如果你不像我这么思考这道题呢，也不是一定做不出来。比如说，有的同学呢，可能对这个式子的感觉特别好， 对照图形就能看出来，每个部分分别表示什么含义也没问题。但是如果你能在一开始像我这么去分析，那么动笔计算之前，你就可以骄傲的宣布，这道题我已经拿下了，这是解析最好的状态。 所以呢，其中的关键再次强调一遍，像这种几何条件非常多的题目，大家呢，可以去看一下其中每个点是如何确定的，同一个点如果有两种确定方式，那么一定有等量关系，学会了吗？ 那证明完了，第二问第三问呢，就是水到渠成的事情了，之前说过了，根据这个式子把伽马削掉就可以了 啊，这里呢是 cosine 方伽玛，咱们呢，先用一下降密公式啊，变成二分之一，加上 cosine 二倍伽玛，要编呢，照抄 好，这里是一减二负一，再减去二倍的 cosine 二倍伽玛要编照抄， 那么这个 cosine 二倍伽马根据这个式子就是 cosine 派减贝塔，负 cosine 贝塔，好，所以这里呢，改一下啊， 负 cosine 贝塔，前面呢变成加号，那么到此为止呢，和伽马已经没有关系了，就是根据这个式子求二倍二法加贝塔，接下来呢，就进入了三角恒等变换的范畴， 那么大家要知道，做三角恒等变换其中一个最关键的思想叫做消角思想， 就是这道题目当中呢，现在出现了这么几个角，阿尔法贝塔，阿尔法加贝塔以及最终要求的二倍阿尔法加贝塔， 好，总共有四个角，咱们要想办法消去其中一些角，也就是把这四个角用数量尽可能少的角给它表示出来。 这里呢，不难发现，所有的这些角都可以用二法和二法加贝塔来表示，这个角呢就是二法加贝塔减二法，这个角呢就是二法加贝塔加二法， 好，所以呢，把这里的 cosine 贝塔换成是 cosine 二法加贝塔减二法，右边呢，不动 来这里呢，打开括号，全都移到右边啊！首先呢，会有一个二倍的 cosine alpha 加贝塔 cosine alpha 移到右边变成减号 四倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔减去二倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔上一个二倍 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔啊，这边呢，还有一个二倍的三阿尔法加贝塔，三阿尔法移到右边变成减法 好了，那么这个式子体出二可以用一下余弦合角公式，二倍的 cosine 二法加上二法加贝塔， 也就是二倍的 cosine 二倍二法加贝塔，那咱们想求的这个角就有了， 二呢？处到左边 cos 二倍阿尔法加贝塔，负二分之一。然后呢，大家自己确定一下二倍阿尔法加贝塔它的范围，那么余弦负二分之一，这个角只能是三分之二 pi， 那 么这道题就做完了，看懂了吗？ 好了，所以通过这道题呢，就是想给大家说一下其中最关键的一个题目，怎样去分析几何图形。 第一步，先看一下每个点的确定方式，那么像这种有两种确定方式的点，背后一定隐藏着等量关系，学会了吗？ ok， 那 这道题就说到这里。

哎，我先问问大家，你们认为这堂课所涉及到的题型难不难？ 如果你提前看过啊，不难不难啊。一呢觉得难不难，不是很难， 嗯，还是有一点点啊，其实有一些关键点，那只要是结合这类题型，那只要把这些关键点你给理解清楚了，给打通了以后，类似这种题型都不会觉得很难 啊。有的确实会稍微的有一点点小难度，但是你可以一步一步按照既有的思路把它解下来。 好，包括今天这堂课和明天周三，我们正常上啊，明天上第十九周组合图形面积二啊，这两周刚好是连着的，刚好给你们两天上完啊，下次的课我们明天再约时间啊 啊，希望大家通过今天和明天的两天连续的学习组合图形啊相关的面积，把其中的核心的那个点给打通了，那核心那个点到底是什么呢？ 那我就先给你留个悬念啊，最后我们来总结一下，到底核心那个点是什么， 其实就是一个图形的名字啊。先说一下概念，那概念上我们组合图形啊，就两类， 一类是拼合图形，有两个，比如说正方形拼成一个长方形，或者是拼成一个不规则的图形，那两个大小不一样的正方形拼不成一个长方形，对吧？或者是重叠， 那就是一个图形跟另一个图形，他们有的部分是重叠在一起的，那是平和，没有重叠，重叠图形是有重叠的。好这类啊，和平和和重叠这两类就是咱们的所谓的组合图形了。上面这个概念我就不念了吧， 重点说一下这两类啊，然后今天我们的重点就是在这两类图形技术上需要大家掌握并且学会解答平面几何问题的常用的思路和方法。 以下的四点我们在最后总结的时候还会再来总结一次，但是开题之前我们先把它熟悉一下 啊，如果我们想永远能够比较正确的解答啊以上两类组合图形的面积问题，那么必须注意以下四个小点。一、你要切实掌握有关简单图形的 概念公式，并且要有相关的空间观念。可能有的同学不太熟悉，那到底什么是简单图形啊？ 我想你一年级就学过了，一年级同学应该是先学的立体图形，一个球是吧，一个长方题，一个正方题，一个三角题 啊，一个追题，后来你才慢慢的哎，开始学这里的平面图形，比如说一个长方形，一个正方形，一个圆形，圆形应该是到六年级才学 好了，这就是我们一年级就开始学习的立体图形的，其中的单一的一个面就是简单的。今天我们涉及到的几何平面图形啊， 概念上我就不用强调了吧，什么是正方形，什么是长方形，什么是三角形啊？然后公式呢？相应的正方形面积，长方形面积，三角形面积不用回顾了吧，公式也不用回顾了，哎，如果你真的忘了，你赶紧回去看看你课本，课本上都有啊， 所谓的空间观念，那就是你能否在你想要解决的这个面积啊，这个比如说一个不规则图形当中能否想到我要求的那个图形，好像不能直接用公式啊，一般都是会考察你 不能直接用一个长方形或者正方形或者三角形公式去解，那能用那个那就太简单了是吧？直接书上学了直接拿过来用就行了。直接套， 哎，肯定有点难度。就不不可以这样了，你得知道我怎么样把它这个不规则图形想办法利用，我的已经学过的三角形呢，正方形啊，长方形啊，给他进行相应的架构或者是分解哎，或者转化等等方法，这些都是咱们的空间观念 啊，你得知道我转换成哪个图形就比较合适？好，这是强调了这个空间观念了啊，然后底下的其实刚才在强调上面的时候，底下这些都已经基本上包括了，包括你的观察的够不够细，对吧？ 啊？思考的够不够认真啊？你有没有看清楚他所求的那个不能直接用公式的图形啊？他是用哪几个基本图形组合而成的基本图形不就是之前说过那些简单图形吗？对吧？ 最终你还落实到最基本的概念上去，最基本的公式上去。第三点啊，针对以上两点准备，你是否可以采取适当的方法，比如说来条辅助线啊？或者是第四点，能不能给他 分割一下啊？能不能给他补一点点，给他分解一下，分解成几个什么什么基本图形，或者再来个代换，有同学代换，我不是在那个 代数当中学的吗？你集合当中有，当然也有了，今天咱们就啊四种方法，这说对吧？包括上面那个辅助手段啊，今天我们都将涉及到。 好，只要你把以上这几点弄清楚了，并且刚才我一开始提到的其实有一个核心，你要把那个核心是一个图形的名字啊。哎，留个伏笔。最后我们来说一说与它的关系，这样就可以讲复杂问题简单化。好了，赶紧开头 一个等腰直角三角形，我要认真去审题。最长的边，那最长边不就是这条 a c 吗？ 是十二厘米。这个三角形的面积是多少平方厘米？有同学说，老师啊，你这一下把我难住了，那知道条件不够，是不是我要知道底和高才能把这个三角形的面积求出来， 而且是要对应的啊。你这个光知道这个斜边 a c 是 十二，那么它对应的高应该是这样的，对吧？咱不知道怎么办？ 那你就想一想，我能不能想办法把它转化成一个规则的，可直接用公式的图形来一个平面图形来求， 所以请在上面做个笔记。 这是拼法啊，或者用课本上这个方法叫做补法， 我把它叫做拼法。补法。怎么个补法啊？ 这已经是一个规则三角形了，怎么补呢？要补你一定要搞清楚两点，一个是我补好这个图形，他要直接能用公式求出面积来。还有一个，呃，我所补上的一些图形，一定我的面积是可求的，对吧？ 你现在不是要求这个三角形面积吗？那我跟跟他补上一模一样的三角形，再补三个。应该想到了，任何一个等腰直角三角形 与咱们的正方形都存在如下我所画这个图形的关系， 你想到了没有？这不是四个直角吗？对吧？刚好三百六。那这个正方形它的边长不就是十二了吗？ 正方形面积的四分之一出来了吧，三十六平方厘米，是不是就这么简单啊？ 即使通过第一题，最后我们要总结那个核心的一个图形面，应该你想到了，哎呀， 就它三角形啊啊，往往我们把一个比较复杂图形都要想办法与三角形挂钩，因为三角形这个图形太特殊了，它身上有很多很多的可以可以被我们所利用的点，比如刚才这个，嗯，等腰直角四个三角形 拼成一个正方形。来，请一位同学来，你先来， 可否用刚才的读法把这个题给它解出来？你意，先来， 这个图形一定是不能直接用面积公式的吧？ 四边形 a， b， c， d 的 面积，嗯， 对，刚才我说到了最后才跟你说的那个和弦，我提前就跟你说了与三角形有关。那这个图形与三角形有什么关系？ 能不能想办法补成一个三角形，在 a、 d 上面补一个角，哎，应该是延长谁啊？ a， d 不对，延长谁？我要的是三角形吧， a、 d 上哪哪哪一点上？不知道，其实说话你要给它说的，说到点子上，延长 b， a， 鱼延长 c， d， 这两个延长线是不是交于点了？嗯，那你看这是不是补成一个三角形了，比如说交于 m 点，嗯，就像你说，注意现有的条件啊，你要仔细审题，必须把现有条件利用起来， 那整个的 m， b， c， 它的面积是多少？ s m b c s m， 嗯， b， c， 你有没有注意那个角度？四十五度，注意了，没有，等腰，嗯，来，对，这，这应该我的数啊，应该这画一个直角，应该画一个直角啊，你的数，嗯， 那整个 m， b， c 是 不是就是等腰直角三角形了？底下是七， b， c 是 七，那那 b、 m 呢？是不是也是七啊？ 等幺嘛？因为这四十五度，对吧？肯定这也是四十四十五度吧。那它的面积是多少了？底乘高啊，除以二四十九，除以二 二十四点五平方厘米了吧。但我求的是它吗？不是多了谁了？上面的 amd 吧。嗯， amd 是 多少？ 三乘三除以二。哎，他又是一个等腰直角三角形，对吧？好，因为上面这个角是四十五吗？那这也是四十五，又是个等腰直角 四点五平方厘米，然后从二十四点五里边把多出来那个四点五减掉，对吧？所以你看，当你思路比较清晰的时候，题就不难了。下来， 下图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是十二厘米，长方形四个角的顶点，把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的一段的二倍。 求中间长方形的面积。咱既知道和又知道背，这是两个数，分别是其中的长的一段和短的一段， 知道他们的和倍问题，对吧？那这样的话，一长一短，直接用和倍公式是不是解出来了？十二除以倍数加一，这不就是一倍数吗？你说这段短的了吧， 乘以二或者是十二减四都行。长的一段出来了吧，那就这段是八。好，每一边都是这样，我标出一边了就得了。 但这样要来的话，他要求中间这个长方形的面积，我是不是就不用再发愁说，老师，我那个长方形的长和宽都不知道了，我直接将整个图形分解出周边的四个 四个小三角形来，而且注意观察，每个三角形都是什么图形啊？是不是都是等腰直角三角形对吧？ 一号和二号一看他俩拿出来拼成一个正方形，三号四号，哎，拿出来又拼成一个边长为八的正方形。所以呢，我给他标上号 给你看的清楚啊，一号加二号的面积就是边长为四的一个正方形，三号和四号 就是一个边长为八的正方形，面积为六十四平方厘米啊， 最中间这个长方形的面积，那一开始我就没提，根本就根本不用提它的长和宽，因为根本求不出来就是多少了，用大正方形的面积， 十二乘以十二减去了以上，哎，周围的四个小三角形的面积，十六和六十四的幺四四减了八十六十四吧。 好，最后总结这道题啊，当你看到这种题型的时候，嗯，首先可能你想到的是我能不能直接用公式， 嗯，如果压根你看的不用不能行的，那你就想都不用想，想想能不能用其他的相应的方法把这个分解出来， 然后用整体减去部分，把它的面积求出来。哎，不好意思，连续咳嗽， 好，来，尚俊轩，你来上来试试。下面这道题遇到问题你要随时问我啊。 下面长方形 a、 b、 c、 d 的 面积是十六平方厘米， e 和 f 都是都在所在边的中间，求三角形 a、 e、 f 的 面积，它 中间那个能用公式求出来吗？ a、 e、 f 不 能上题一样不用问，肯定不行，那啥都不知道。 那你再研究刚才那个思路，想想能不能整体减部分。你也咳嗽， 已知条件啊，终点对吧？以及啊， a、 b、 c、 d 面积是知道的，整个 a、 b、 c、 d 十六先除以二，十六除以二吗？嗯，十六除以二，得到了谁啊？一半。嗯，图形是一半， 您先不要着急算，您先看看这个图，把你思路理一下，然后再来算。跟我们看英语题啊。 提示，就沿着刚才那个思路， 这个如果标为一号，这个二号，这个三号，我那么整体十六减去了这三个面积啊， 减二减三。嗯，好，接下来你来想想这个一是多少，二是多少，三是多少，再给你三个字，找关系 啊。这三个肯定也不能直接用公式求啊，对吧？但是这三个起码他们都是一加二，是这个三角形。嗯，一加二。什么？一加二是可以把一加二加三的和进去， 一加二是面积的一半，一加二是面积的一半。我怎么觉得不对呀？如果是 e、 d 连起来的话， 那它是二， e、 d、 c， 这是那 e 到这儿，然后就变成这样。 嗯，这是你自己画的啊，跟人家哪个有关系？跟三号有关系是不是？ 嗯嗯，好，下堂课我们会专门研究这个三角形。哎，就是今天我一开始给你提到的啊，最核心的一个图形是三角形要找与他的关系。其实刚才我的思维也是这样的啊，只不过找出来了更合理的三角形了。 来，记上这个笔记啊，跟我一块找找关系。你想走后门找关系，那一定是找那个能替你解决问题的人，这个关系对吧？他什么都跟你解决不了，你找这关系有用吗？没用。那谁能帮我们解决问题呢？ a、 b、 c、 d 吧，这个面积是十六吗？我们挨个找。你看一号三角形，它跟这个 a、 b、 c、 d 整体的面积什么关系？ 这很简单，如果你有个宏观的观点的话，如果上面要找一个终点，比如说 m、 m、 e， 是 不是这个一号是占了 a、 b、 e， m 的 一半啊？ 而 a、 b， e， m 是 不是占了整个 a、 b、 c、 d 的 一半啊？所以 a、 b、 e 是 不是占了整个十六的四分之一呀？对吧？ 关系找着了，再来第二个的关系。第二个，如果你继续沿着刚才思路，你把这个这如果是 o 点啊， o， f、 c、 e， 这不就是占了整个的 a、 b、 c、 d 的 四分之一吗？上面一块，左边一块，左下一块四块，然后你这个二呢？又占了刚才这个整体 a、 b、 c、 d 四分之一的一半，是不是占了整体 a、 b、 c、 d 的 八分之一，对吧？ 再来你这个三呢，如果把这个 f 沿沿着左边 a、 b 的 中点，比如说 n， 这 a、 n、 f、 d 是 不是占了 a、 b、 c、 d 的 一半啊？然后三又占了一半的一半，是不是三又占了整体的四分之一啊？ 这关系，好吧，都好找，是吧？四加二加四减十六平方厘米出来了吧， 哎，所以可以在旁边再做个笔记，一个是整体减部分，还有一个是注意不能直接用公式的，一定是要找关系了啊，对了吧， 有问题要问我啊！第三题，图中的 a 加和 e 都是正方形，求阴影部分的面积，我们还是照旧， 哎，其实我都压根不用问啊，这个制造条件太少，公式不能用，还是想办法看一看这个阴影部分，嗯，是想办法分解呢？还是它外围的这些能找到与谁的关系？ 看已知条件，就俩数，边长为六和边长为四的两个正方形， 对吧？你看刚才我画出来了，是不是正方形也很关键，因为是正方形，这边这边这都是六码， 这也是四码，对吧？然后我就分析了整个这个阴影部分，如果能被分解出若干个渴求面积的三角形来，我把那个几个面积加起来，是不是就是阴影部分面积了？ 怎么分解呢？还是找能求出面积的三角形来，因为这段我是完全可以求出来的。六减四，这段是二嘛，对吧？右侧的这个三角形 a、 d、 c， 它的面积就等于底是二，然后这个高呢，就是四了，或者底是四，高是二 四平方厘米，然后左边这个三角形呢？底是不知道的，以哪边为底咱都不知道，继续分解，你看，这么分解一下， 从这连起来，如果这个是 o 点，那 a、 o、 b、 d 不 就是二吗？这个高呢？两条平行线之间的 距离不就是他的高吗？因为这是个钝角啊，你从顶点 b 做刚才我们选为底的 a、 d 的 垂线，是不是做到这来了？就是 b 到这这个点啊，就是高，就是六啊。 底乘高除以二六平方厘米，再来看底下这个 b、 o， 这还有一点，那再加一点 p 啊， b o p， 那 这个三角形 不行，这个三角形底是不知道的，但是我发现右边还有个三角形，不如把这两个三角形给它合起来得了，对吧？那刚才这个屁咱也不要了啊，没有用， 那就成了谁了 b、 o、 c 了吧？ b、 o、 c、 d 不 就是刚才这个边长为四的一条边吗？高呢？又是这个 d、 c， 呃，我还选了个 o， 这是 d 吧，你要不用你再写这个 o 了是吧？那你要有 d、 b、 d、 c、 b、 d、 c、 d 乘以高高就是 d、 c 和 b、 f 之间的两条平行线之间的距离吧。那你从 b 做垂线是不是做到这个 c、 d 的 延长到这儿的延长线上了？跟这个 c、 f 是 一样长，对吧？ 第一是四高也是四，除以二八平方厘米，这样一来的话，这三个分解出来的三角形加起来刚好是一部分，对吧？ 四加六，再加八是八平方厘米。那这用的什么方法分解？ 将一个不能直接求面积的三角形分解为三角形。到目前为止，我是不是每次都是把它分解为三角形啊，对吧？ 每次都是有意识的找那个三角形，跟我现在要求这个图形到底什么关系 清楚了吗？刚才这个思路，该做的笔记做上分解法来一一再上来。自考这道题该怎么解？核心思想一开始就透露给你了啊，找他与三角形的关系。 一个角是已知四条线段的长，一边是 a、 e 等于二厘米， c、 e 等于六厘米， c、 d 等于四厘米， a、 e 等于 a、 f 等于四厘米，并且有两个直角， 求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。嗯，另一部分， 我问你，你要找这个任意部分与谁的关系，或者是将它要分解成什么样的图形？ 三角形符合今天我们的对三角形符合咱们今天的思路啊。这个三角形既可以连接 a、 c， 也可以连接 b、 d， 在 线段上，那你是连接谁吧？就分成两个三角形了，一定要结合已知条件。 现在我就把你的思路放在这两个三角形上了啊。呃，两组三角形上了啊，是 a、 c 分 成那两个三角形呢？还是 b、 d、 b、 c、 b、 c 能吗？ b 在 这儿， c 在 这儿，那就有这条线， a， c， a、 c 啊， ok， 来，咱们就看看这两个三角形能不能行啊，标为一号和二号吧，省的再去看它的三个顶点。先说一号三角形， 一号上面的一号的 a、 b、 c 是 二乘 六， ok， 二是一条底边，与它对应的那条高，也就是从底边的对边 c 点做垂线，因为这是钝角啊，对， ab 的 延长线在这，是不是这就是它的高了？刚好是六吧， 六平方厘米。找对了啊，二号呢？ 二号是三角形， a、 d、 c 肯定是以它为底，对吧，还是我们对吧，从 a 向底边 dc 做延长，做垂线也是 落到它的延长线上，四，对吧？ a、 f 除以二十平方厘米，这样的话，整个意义我们就出来了吧，等于加起来。对， 哎，往往交叉一个思路啊，希望你反复我念到那个核心的那个名称，三角形每次都与它尽量的挂起钩来。再来， 右下图中正方形的边长为八， a， b， c、 d 是 正方形啊， c、 e 为二十。由上题型 b、 c、 d、 f 的 面积是多少？ 求的是 b、 c、 d、 f 的 面积，那显然上底这个是不知道的，对吧？ d、 f 不知道，我这个题型面积绝对是求不出来的 啊，因为我组织条件甚少，只知道一个下底和一个高啊，这个高也知道啊，这，这个是八，所以我可以去想这个梯形的面积，对吧，就差一个数了吗？ 但是奈何这个 d、 f 不知道能不能代换一下。同学们，方法来了啊， 你要想求 df 在 梯形当中求不出来，我们说了，是不是一定要找三角形啊，在哪个三角形当中啊，把这条 df 看成那个三角形的什么底还是高，就这两个吧，就能把 df 求出来了。 沿着这个思路，咱们就开始观察了，这个二十也是一个三角形的一条边，这个八也是一个三角形的一条边，我现在仅知的两个数据就它俩，你说我不用它俩，我用谁呢？ 对吧？那一定得把已知条件全给它用上，这样一来的话，我就知道三角形 bce 的 面积是 八乘二十除以二八十平方厘米。那么知道了它跟这个要求的 df 这个长有什么关系呢？没办法，我得想办法整条辅助线。嗯， 如果我能把 cf 给它连接起来，那你看一看，这个 f、 d 是 不是就是三角形 f、 e、 c 以这个二十为底边的一条高啊，对吧？所以我只要把 f、 e、 c 的 面积求出来，是不是就可以求出这个高 d、 f 是 多少来了？那到底 e、 f、 c 的 面积是多少呢？ 它是不是一定跟这个三角形有关？因为它占了它的一部分，对吧？上面这部分它还有底下这部分 一半，模型学过了，对吧？哎，这个三角形是不是刚好是这个长方形？哎，是或者是正方形？无所谓，正方形，长方形是这个 abcd 的 面积的一半啊，因为你这个三角形是 d 八乘以高嘛，高也是这个， 嗯，正方形的变成八，对吧？还得出圆，而正方形的不用出圆，是不是一半啊？它就等于， 嗯， e f c， e f c 就 等于刚才求出了这个八十， 减去了底下这个阴影部分的面积，对吧？这个阴影部分又是正方形面积的一半，八乘八的一半，对了吧？也得八十，减了三十二 等于四十八，那就是 f、 e、 c 四十八， 而这个四十八我是不是直接去乘以二，再除以二十，就是他这条要求的高了， 相当于除以十嘛，对吧？ 二十平方厘米，求出它来，直接代入吧，上底就是四点八，下底就是八，高也是八， 然后别忘了乘以二等于十二点八相当于乘以四了，四八三十二，二四得八十一，五十一点二平方厘米，忘了答案，检查一下， 对吧？来整体思路，咱们来总结一下啊。 当咱们看到这个图形的时候，再次回顾刚才我跟你的一个思路，一定是想办法与一个三角形之间想想是不是有什么关系，对吧？ 啊？当然了，你可以想一下公式，比如说刚才我们看到这道题的时候呢，想公式没有错，有的时候还有用，比如说刚才我们看到这个题型，就差一条边 能够把他给求出来呢，这个公式直接就可以用了，对吧？但是最终还得找这条边与那个三角形什么关系，与哪个三角形呢？那你看看这条边与哪个三角形的底或者高 是一样的啊，或者是干脆就是他的那条底或者高，我们发现要求的 df 是 不是就是三角形圈出来的 f、 e、 c 的 高啊， 对吧？而恰巧它的底是知道的二十，如果把一 f、 c 的 面积求出来啊，乘以二除以二十，是不是就就就解出来了，然后就又转化成求一 f、 c 的 面积了吧？而它的面积我还是找它与哪个三角形有关于 b、 c、 e 的 面积有关，它只要把底下这个 b、 f、 c 的 面积减了，就是它的面积了，而这个 b、 f、 c， 所以 让你将去记忆理解一些模型，它是不是就是长方形 a、 b、 c、 d， 它的 面积的一半了，对吧？长方形也好，正方形也好，都是一半， ok 了吧？来，谁有问题赶紧问下一题。你来试试， 如图所示，正方形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四厘米， c、 e 等于十厘米。求求阴影部分的面积， ok， 还是该标的标出来就两个数，还有个正方形 a、 b、 c、 d， 那 就是 b、 c 也是四，对吧？阴影部分是个三角形。 讲公式能直接求吗？肯定不行，差谁？又差一条边了吧？差谁了？嗯，对吧？差他了啊，你要想求他 怎么求？看看与线有条线， m 跟，把 f 跟 c 连上， f 跟 c 连上， ok， 哎，创建了一个三角形 b、 c、 f， 想起来刚才的什么模型，一半模型，哎，一半模型，所以这个 b、 f、 c 的 面积一定是多少？十，四乘十除以二， 四乘十除以二，是吧？它是谁的一半？刚才那个一二一半模型是正方形的一半吧？嗯， a、 b、 c、 d 四乘四吧， 四乘四的一半吧。啊啊，四乘四除以二，四十六嘛，对吧？等于八，嗯，这是，然后还有一个是四乘以十 戳。嗯嗯，有可能你知道他的式子怎么解的，但是你应该把思路给大家讲清楚，对吧？连接了 f、 c， 你 写出来主要目的是啥呢？是不是刚才我们一直说那个要与三角形建立关系啊，对吧？嗯啊，你刚才我给你打了问号，要求的是 af 吗？ af 与这个三角形什么关系啊？ 呃，把这个求了呗。嗯，其实我们要求的是谁呀？ e、 f、 c， 你 想想是不是因为这个 a、 f 求不出来，但是它底边这条 f、 d 如果能求出来，是不是四减了， f、 d 上面就可以求出来了？嗯，所以你要学会这样一步一步倒推啊。那 f、 d 是 不是就是刚才我画这个三角形， 它它它啊， c、 e、 f 的 高啊？嗯，对吧？这跟刚才一样啊，如果你能把 c、 f、 e、 f 的 高啊，这个面积求出来， 面积乘乘以二，再除以十，是不是 d、 f 就 出来了？ d、 f 出来了，四点 d、 f 是 不是 a、 f 出来了？思路要理清楚。来，你来说，接下来怎么求 e、 f、 c 的 面积？ 我们写出来 e、 f、 c 这个图形的面积，它与哪些个图形有关系呢？渴求的， 它它、它。看图， e、 b、 c 的 面积有没有关系？因为它是 e、 b、 c 的 一部分吧。 那你刚刚写那个一半模型难道不用吗？是不是 e、 b、 c 减了？刚才那个一半模型啊， b、 f、 c 看出来没有，对吧？ 你看图就行了。嗯，一， b、 c 减了 f、 b、 c 是 不是就是我们一直要找的 e、 f、 c 的 面积啊，对吧？好， e、 b、 c 面积是可求的嘛，十乘四嘛， 除以二减八。嗯，二十减八是十二吧，也就这个 e、 f、 c 的 面积是十二，十二乘以二，利用它的面积公式，除以底十，这是平方厘米啊， 二点四是谁啊？是不是就他了，对吧？然后 a、 f 不是 马上就出来了吗？正方形吧， 然后直接代入公式就可以了吧。嗯，二三点二吧。 嗯嗯，好，不算熟悉啊。下来你要把这个题就他，就这道题，你再来认真做一下啊，沿着刚才这个思路自己再走一下，一定要看图好，下来 来题。图中 a、 b、 c、 d 是 长方形，长是六，宽是四 三角形 e、 d、 i、 e、 f、 d 的 面积比三角形 a、 b、 f 的 面积大了六平方厘米。求 e、 d 的 长哎， e、 d、 f 找着啊，一定要在图上把它标的清清楚楚， e、 d、 f， 哎，这个三角形 比 a、 b、 f 这个三角形两个只有一个顶点，是共用一个 f 点的三角形比大小 啊，请同学们谨记，往往你遇到这种两个三角形好像没有什么关系的时候，你得想办法找关系。嗯嗯， 曾经学学过的，画两个圆的那个榕树圆，你还记不记得做个备注啊？ 好，先关一下声音啊。融式原理在这就有用啊， 因为我们明显看着这个三角形和这个三角形这两个三角形之间好像没有什么明显的关系，但是呢，如果利用融式原理，曾经两个圆之间是不是有个重叠部分啊？你把那个重叠部分找出来，找那个 ab 嘛，也就是就是这个 这个部分就是一个重叠部分，如果你把它当成那个融出圆那两个圆的重叠部分的话，你会发现，上面这个三角形 e、 d、 f 加上这个阴影部分，是不是就是 e、 c、 b？ 它的面积是不是起码有一个底留在这了， 对吧？还有，呃，这个三角形 a、 b、 f， 如果你把这一部分给它拿进来，共同的嘛，这是 a、 d、 c、 b 这个长方形的面积更能求出来了，四乘六， 对吧？那也就是说，上面这个写下来啊， e、 f、 d 的 面积比 a、 b、 f 的 面积大六， 采取他们的共同的那个部分啊，让他们加上一个共同的面积， f、 d、 c、 b， 那 就是给 e、 f、 d 加上一个 f、 d， c、 b， 再减去 a， b， c， a， b， f 也加上一个 f d， c， b 是 不是还等于六啊？这是用哪个性质啊？这是 def 数当中的 叉不变，我们曾经学过的是商不变啊，这可以叫做叉不变。减数被减数同时加了一个同一个数嘛，等这么一加，它就变成谁了？ d， f， d 加上它变成了 e、 b， c 了。 注意代数方法在集合当中的应用，然后它就变成了 a、 b， c， d 了吧， 等于六，而这个面积可求。这个呢？它是第一就是六，高呢？ c 一 一乘高除以二减去了四乘六就等于六，那你说一个位置求不出来吗？对吧？四六二四二四，再加上六三十，这是一个三倍的 c 一 三倍 c 一 等于三十， 我算出来十厘米。 嗯，哎， c， e 它求的是一 d， 对 吧？还得再往下走， c， e 是 它吗？求的是一 d， 它是不是还得用十减了底下这个四啊？ 那最后要检查一下啊，看看它求的是哪一点 好了，请你将我们代数当中用的那个容式原理写在旁边啊。这也是跟第四题非常类似的一个方法。代换法。 用什么代换了什么呢？哎，用两个重叠的面积，一个是三角形 e， b， c， 一个是长方形 a， b， c， d 代换了原来的两个三角形，它和它整个题就活了 来。最后一个难题一，还是用刚才代换法 好，正方形的边长是二乘 a 加 b 的 和。已知图中阴影部分 b 的 面积是七平方厘米。求阴影部分的 a 和 c 的 面积和是多少？嗯， a 在 这， c 在 这，这乍一看就肯定不能用什么，能用公式吗？不能直接用公式，哎，所以刚才说的找什么？ 找他的关系，哎，找关系就是 a、 c 跟谁之间有等量关系啊，或者是有什么关系？等量关系是其中一种啊，我们往往找的就是等量关系。 这个题好像很多同学乍一看就觉得太难了是吧？提示啊，你就在这里找等量关系，你所能找到的等量关系根据图当中所提供的信息， 对吧？一定不是在那几个奇形怪状的那个题型或者三角形当中能够直接用数据体现出来的，而是要找一找。那你这几个 梯形或者三角形与我整个的正方形有什么关系？人家标注这些不是白白标注的，那一定要把它们重视起来， 谁的面积是正方形的一半啊？ 一二分之一 s 正，你来找， yeah， 对， 这个对角线哎，好，找到一个是吧？哎，这个 就是它的一半吧。然后为了我们方便大家一定要用代数的方法啊，把它相的位标出来的位标出来，不是标了 abc 的 吗？来，再来 d、 e、 f， 咱顺着它二六六个字母的随便标。这刚才你标出来那个什么呀？ a 加 f 加 c 对 吧？那同理，底下这个 d、 b、 e 是 不是也一样啊？嗯，对吧，还有吗？ 把能等于二分之一正方形的全给它找出来，看你眼光了啊，上角找到没有？还有一个啊，这里吗？ 哪个？你说说说。它的字母谁加谁？ f 和 b、 b、 c 那 能相等吗？不一样，刚才我给你画出来的，这没中是吧？人家不是白白标咱，你看 a 加 b， 这是不是也有个 a 加 b， 整个边长是二倍的 a 加 b 是 不是说明这个边长占了整个正方形变成了一八啊。 b， f 等于 b 加 f 等于 a 加 b 加 c。 好， 其实很简单，只要你有这个思路，能根据这里图形当中所提供的信息，找出他的这三个都等于二分之一正方形。那本题其实已经 九十九解决了，接下来就很简单了，来，给你三十秒时间，能不能看出来已经解决百分之九十九了。求阴影部分。 a， c。 嗯，那你在刚才这三个写出来的当中找找 a， c， k 在 这， c 在 这，这么多了个 f 啊。嗯，然后那个 b 是 知道的， b 是 七，来，我给你写出来七嘛，对吧？找错，找错了，没有错， 该找出来了，他都看见你了，他俩是相等的吧。嗯嗯，找错了，没有， 是不是大家都有个 f 啊？嗯，利用等式性质二，两边同时减去个 f， a 加 c 就 等于几啊？等于 a 加四， b 是 七嘛，我都没标出来， 是不是就这么简单呀？就刚才我说已经做出百分之九十九了，就差一个等式性质二，两边同时减掉一个相同的字母 f 了，对吧？ a 加 f 加 c 等于七加 f， 两边一减，是不是七就等于 a 加 c 了？ 一，好来，其实你看，我就是两步，最后一步说了等时性值二，对吧？第一步就是刚才的找关系，找等量关系。好，来总结一下啊， 一开始我们已经说过的这四点，回过头来我们再体会一下啊。那以及刚才我跟你说的那个 解图形面积的时候，平面图形面积的时候跟这个除了公式之外啊，公式之外最核心的一个思路。 但公式我们就对于一些不是太简单的题型啊，就肯定不用考虑，说马上就能用公式的是吧，所以我那个就没有当成重点在它之外，你要考虑我这里所求的这个图形到底与这个三角形的面积什么关系，这是个核心， 就是那个重点啊，包括下堂课也是，然后回顾以下的这四点，大家跟着我回顾一下。 不要认为一年级学生图形太简单啊，在现在仍然起作用。他们各自的特征是什么？比如正方形，四个直角对边相等，而且四条边都相等，两对角线将它分割成两个等腰直角三角形，对吧？ 以及三角形和它的关系是什么？刚才我们第一题就是吧四个等腰直角三角形拼成一个正方形啊，这些大家都要回顾， 还有相关的公式，面积公式啊，我就不提了啊，空间观念也不提了，刚才说过了啊，谁跟谁什么关系，怎么分解还是怎么组合， 一定要认真仔细的去观察思考，对吧？啊？基本图形刚刚上面就就就是最简单的图形，重视起来好，采取适当的辅助方法。刚才我们用过吧，加辅助线 啊，辅助线就最直接的就是你的空间关系够不够，然后四种方法，割补、分解啊，代换。其实这里的割，有的时候我觉得他跟这个分解可以融为一体，割开了不就是分解开了吗，对吧？ 代换是代数当中的一个方法，在本题当中，本堂课也涉及到了，让你联系了下谁啊，容是原理 好了啊，通常你将这些思路呃练的差不多了，往往可以化难为易，接起来就比较轻松了。明天晚上我们还是七点四十，我前面有一堂课啊。

哈喽，小伙伴们大家好，这里是和同学们一起轻松学数学的曾哥。今天是二零二五年的十二月十二号，我们一起来看一下今天这道题。 在平面直角坐标系 x、 o、 y 当中，已知 ab 两点的坐标， a 坐标为一一， b 坐标为五三，它们的横纵坐标都是大于零的，所以 ab 两点在平面直角坐标系的第一项线。 在坐标轴上面，现在有一点点 c， 能够使得三角形 a， b， c 为直角三角形， 请求出 c 的 坐标。那么题目读完之后，我们晓得这是一个直角三角形存在性问题， 已知两个顶点坐标，要求第三一个点的坐标。好了，下面我们具体的从条件出发来进行初步的分析。 已知 ab 两点坐标，我们能够计算什么呢？我们能够计算直角三角形的一条边，已知的边 ab， 它的长两点之间距离公式本质是勾股定律。我们再帮大家回顾一下。 过点 a 做 am， 垂直于 bm， 垂直呢？垂直弯是 m 点， 那么 am 这条直角边就是 m 和 a 两点的横坐标作差。由于这是一条铅垂线，与外轴是平行，与 x 轴是垂直的，所以他俩的纵坐标横坐标。抱歉，横坐标是相等的，所以 m 点的横坐标减 a 点的横坐标就是 b 点的横坐标。解决 a 点的坐标横坐标。 再来看另外一条直角边 b m 要求这一条线段的长，只要将 b 和 m 这两点的纵坐标做差就可以了。那么由于 am 是 一条水平线，与横轴平行，与纵轴相互垂直，所以 这两点的重坐标相等，我们用 b 点的重坐标减去 a 点的重坐标，即可算出 b m 这条线段的长度，那么两条直角边 已知，那么斜边勾股定律即可啊，具体的我们一会再算好，那现在呢？我们通过刚刚的计算就明确了，已知 ab 是 直角三角形的一条边，并且知道它的长度到底 是什么边呢？那直角三角形有两种边，一是直角边，二是斜边。 好，所以我们现在就是先判定几何，就是基于判定去分析有关的性质，从而记一步记。计算好了， 那 ab 它可以作为直角边，也可以作为斜边。那如果 ab 是 直角边， 谁是直角顶点呢？ a 和 b 都有可能，我们分，我们先讨论第一种可能性， 当 a 点是直角的顶点的时候，那么 ac 就是 与 ab 同为直角三角形的 直角边，所以 a c 就是 与 ab 相互垂直的，我们过点 a 做 ab 的 垂线就可以了。 那么 c 就是 在这样的一条线上面，除了 a 以外的一切的点，比如说 c 点在这 abc 直角三角形，比如说 c 在 这 abc 直角三角形。 当然题目说了 c 在 哪？在坐标轴上面，我们找直线与假设，它是 m 与 横轴纵轴的两个点，先横后纵，分别标 c 一 和 c 二，这就是所要求的坐标。好了，下面具体怎么求呢？我们把斜边给他连出来，放在直角三角形当中 去计算就可以了。直角三角形当中怎么计算呢？这很明显就是用勾股定律，我们刚才回忆的勾股定律这样的代数计算的方法，方程的方法即可。 比如说 c e， 我 们设出它的坐标，假设假设横坐标为 x， 纵坐标为零，因为它在横轴上面， 那由此我们就可以根据 a、 c、 e 两点的坐标算出这条直角边的长。 同理，根据 b 和 c、 e 两点坐标，我们能算出直角三角形斜边的长，仍然是 两点之间距离公式，而 a、 b 我 们刚已经算过了，放在这里面勾股定律解方程即可。同样的道理，我们连接 b、 c 二， 设出它的坐标，放在这样的一个直角三角形当中，用勾股定律计算即可。由于时间关系，我已经把必要的计算 需要的过程做了一个梳理。我们首先根据条件呢，算出 o， a， b 是 等于二倍根号五的，那么 ab 就是 根号五， ab 的 平方就是二十 两种可能性。当这里这个三角形角 b， a、 c、 e 是 直角的时候，我们设 c、 e 的 横坐标，用一个字母去表示，当然呢，我就用的 x、 c、 e 符号去表示，也就是一目了然 c、 e 的 横坐标，然后将它它 表示出来，算出平方，把不需要改根号，因为我们勾股定律本质就是平方，平方求和，再平方 放入，带入这个等式当中，得到一个关于 x、 c、 e 的 一元一次方程。解一元一次方程就可以了， 它的根或者它的解是二分之三，就意味着 c、 e 的 横坐标为二分之三。那么 第二种情况是一样的计算，我就不一个一个去读了，不对数思路，还是勾股定律这样的 代数计算的方法解方程好了，我们再来看 ab 作为直角边存在的第二种可能性，那就是直角顶点不是 a 了，而是 b， 那 么此时此刻 也是一样的，我们把另外一条直角边给他找到，给他画出来即可。那么另外一条直角边是谁呢？就是 bc， 因此我们过点 b 做 ab 的 垂线，这样的一条直线啊，这个坐标轴呢，我们再给他延长一下，这是纵轴，外轴， 这是 ctrl。 那 么 c 点就是在这样的一条直线上，为了方便迅速呢，我们标一个小 n， 除了 b 点以外，这个直线上一切的点都是能够使三角形 a、 b、 c 为直角三角形的。但题目说了 c 点在坐标轴上面，因此我们要去找蓝色的直线 n， 它与横轴 与纵轴的交点，先横后纵，我们发现有两个交点，那进一步的去标注这个呢？就用 c 三表示，这个是 c 四 连接对应的斜边 a c 三。那么进一步，我们在这样一个直角三角形当中，同样的，用勾股定律可以计算出对应的 c 点的横坐标，还是用方程设它的横坐标，然后呢， a、 c 两点坐标求出 这条斜边的长度，在平方用 a 用 b 和 c 三这两点的坐标求出两点之间距离公式， 平方求出或者表示出直角边的平方，那 ab 呢？在这里它的平方是二十勾股定律计算，那连接 a、 c 四直角三角形的斜边下面还是一样的，在直角三角形当中，不怕麻烦，去利用勾股定律构造方程，设出未知数构造方程去解方程 时间关系，我已经写出来了，那么这种情况下，也是有两个点是符合条件的，那么对这个题目而言，就又多了两种 情况，进一步的去表示，从而用勾股定律解两个关于 它的横坐标，它的纵坐标的一元一次方程对应的结， 那么 c 站的坐标是二分之十三，零 c 四的坐标呢？应该我这个地方写错了，应该是零十三，因为它是在纵轴上的。好了， 这两种情况呢，就是 a、 b 为直角边，我们做了两条垂线，做了两条线， 那还有第二种可能性，第二大类，那这个 a b 已知的边，它并不是直角三角形的 直角边，而是斜边。那么如果 ab 是 斜边，我们怎么去找两个直角边，或者怎么去确定一下 直角顶点呢？很简单，我们以 ab 为直径，画一个圆就可以了，也就是 以 ab 的 中点，假设是 p 为圆心，二分之一 ab 长 pa 或 pb 长为半径，画一个圆， 那么 c 点就是这个圆圆周上除了 ab 两点以外的所有的点。比如说这个是 c 点， 此时此刻 abc 就是 一个直角三角形。为什么？下面开始解释， 因为我们是初二，还没有学过原有关的性质，这个初三才会学。 他首先说结论，就是圆当中直径所对的这样一个角，他等于九十度，是一个直角，那这个角的顶点在哪呢？一定要在圆周上面，那这个角呢？叫做圆 周角，了解一下即可。那下面开始解释为什么 c 点在以 ab 为直径的圆周上的时候，那么角 a c b 或者角 c 就是 九十度，我们连接，我换一个颜色， 我们连接这个圆心，我们用的 p 表示，我们连接 p c， 这是一个什么三角形？这是一个等腰三角形。为什么？因为圆的性质，我们五年级学过半径相等，等 腰三角形就有等边对等角，假设这个角是 r， 那 么这个角呢？他也一定是 r 法。再请看在这一边，同样的也有等腰三角形，因为半径相等， 等腰三角形就有等边对等角。假设这个角是北塔，那么这个角呢，肯定也是北塔。那么放在整个三角形 abc 当中，我们利用 角的性质，角三角形内角和定力内角和，等于一百八十度，那么就有阿尔法加北塔，再加上这样一个角，也就是阿尔法与北塔的和， 也就是两个阿尔法加上两个北塔两倍的阿尔法与北塔的和，那么孩子他是一百八十度，所以阿尔法与北塔的和就是 九十度，一百八十度的一半，从而他一定是直角。 ok， 所以 请大家先理解，在理解的基础上，记住刚刚这个结论。什么结论呢？那就是圆周上 这圆的直径所对的这样一个圆周角是九十度，所谓圆周角就是他的 顶点，要在圆周上。 ok， 好， 这个说完之后，下面呢，我们就是计算了怎么去计算符合题目要求或者满足题目条件的坐标轴上的 c。 我 们刚刚说了，圆周上除了 ab 以外， 所有的 c 所有的点都可以使得三角形为直角三角形，但是 题目说了 c 在 坐标轴上，因此只能是这样的两点。那接着刚刚的标注应该是 c 五和 c 六，那么具体怎么计算呢？我们还是 画出它对应的直角三角形的边，也就是连接 a c， 连接 b c。 我 们先放在这个 abc 五这个直角三角形当中考虑， 那么这是直角边，这是直角边，这是斜边，我们还是根据勾股定律来计算吗？同学，你可以暂停或者现在来写一写， 看一看能不能计算出答案。如果初三我们是可以计算出来的，但目前咱们是初二计算不出来，因为你用勾股定力的话， 你会得到一个一元二次方程，我们还没有系统的学过一元二次方程的解， 那怎么办呢？这个地方有一个非常巧妙的处理，请看我们利用的还是我们刚刚讲的圆的性质，半径相等， pa 和 p 五以及 p 就是 pc 五以及 pc 六，还有 p b 都是这个圆的半径， 那么他们的长度是相等的，那平方肯定也是相等的。我们已经在一开始算出 ab 的 长，那么 ab 一 半也就是 pa， 这个长我们就可以表示是二倍。根号五的一半是根号五，那么 pa 以及 pb， 它的平方就是根号五的平方，也就是五。 那么 p 的 坐标怎么表示呢？这叫中点坐标，横坐标为端点横坐标 的平均值，重坐标为。我说重点的重坐标为端点两重坐标的平均值。这我们课上讲过，对应着 p 点的横种坐标就是 三二，那么我们下面设 c 点的坐标当然是横坐标，因为它是在横轴上面，那就可以把 pc 表示出来，那其实对应的我们图就是 pc 五和 pc 六， pc 用勾股定律两点就是本质是勾股定律，两点之间距离公式， 横坐标左叉平方，纵坐标左叉平方再开根号，那算的是两点之间距离或线段长，那现在我要求平方根号就去掉，对应着得到带入数据以及我们所设的未知数，就得到这样一个 结果， p c 的 平方是它，而 p a 的 平方是五，我们说了半径相等，那半径的平方也必然相等，所以就能得到一个方程。 同学说，老师，这也是一元二次方程，你看看要去括号吗？五等于几加四，很显然是一加四。那么谁的平方是一？这完全是我们八年级学习的， 谁的平方是一？正负一的平方是一，他什么时候等于正一 横坐标为二的时候，他什么时候等于负一横坐标 c 的 横坐标为四的时候。所以我们得到 c 五和 c 六的横坐标，分别是二和四。 这就是我们 ab 作为直角三角形斜边计算的方式，对应着是一个圆，这个圆的圆心是线段 ab 的 中 心点，中点也就是 ab 为直径的一个圆。好了，最后来总结一下我们直角三角形存在性问题，他是两线 一元，跟我们等腰三角形的结论既类似又相反。等腰三角形存在性问题是两元一线，直角三角形是两线一元。那么最后呢，再做一个提醒，做一个总结。具体涉及到的计算， 当已知的线段或者已知的边 ab 是 直角边的时候，我们就是用勾股定律，用方程，用代数，用计算的方法 去求解对应的坐标，那放在哪里？用勾股定律就是直角三角形 abc a b c a b c。 那 么最后呢？当已知的边 ab， 它作为一个斜边的时候，我们画出圆，最后用的是 半径相等来计算。当然也可以用勾股定律，用直角三角形勾股定律，只不过目前我们初二呢，算不出来。 ok， 那 最后呢，算出的就是这六个答案。 这个蓝色的第四个情况应该是零十三。