二次函数5.1苏科版课时作业

好，我们看一下这个例一，在平面直角坐标 c 中，这个二次函数的图像与 x 轴交于 i、 b 两个点，点 a 是 在点 b 的 左侧，所以点 a 的 横坐标小于点 b 的 横坐标和 y 轴的交点是零负三，那么因此我们可以知道 这个 c 一定是负三，然后他说我的顶点横坐标是负一，顶点横坐标是我的对称轴，是吧？那么根据对称轴公式， x 等于负的二， a 分 之 b， 它是等于负一，同样可以求出我的 b 值，就应该是等于我的二， 那 b 和 c 都知道了，那么解析式就知道了。 ok， 那 么我的解析式就知道了，也就是 x 平方加上二， x 减三。搞定好，继续往下看看 这个，它说已知一次函数，它的图像为直线 l， 直线 l 与该抛物线油前只有一个公共点的时候。 这句话其实告诉你的，就是说我们把这个抛物线解析式和直线解析式连理起来，那么你所得到 x 这个解只有一个，所以那就是 delta 等于零， delta 等于零。行，那有这句话咱们来写 啊，也就是令二 x 减三等于它， 那我就可以知道， x 平方加二减 k， x 等于，然后用 delta 等于 b 平方减四， i c c 为零，所以这个家伙为零了，结束了，对吧？因此我的 k 等于二，当 k 等于二之后，直线解析式出来了，是 r x 减三。 好，继续啊，那这个一旦出来之后，那我的图像就可以画出来了，首先它在 y 轴上的焦点一定是零， b， 这个 b 是 负三，所以是过这个点 c 这个点， 然后我们再去令这个加号为零二， x 减三等于零，就可以求出我的 x 是 我的二分之三，所以它和我 x 轴的交，点 d 的 坐标出来了，那就是我的二分之三零。好，写出来， 二分之三零， 对，点 d 大 概在这个地方，是吧？点 d 大 概在这个地方，那么可能为了方便我们需要把点 b 和点 a 坐标求出来，就是我们好知道这个位置关系，包括后面的有可能会用到，咱们就求一下，那也就是零 x 平方加二 x 减三等于零，从而求出 x， 一 是得五的，负三 x 二是等于一的，所以点 a 是 负三零，然后点 b 是 一零，是吧？好，继续往下看，在该抛物线上是否存在一点 p， 使得 p c 与 cd 的 夹角， 它的锐角。注意，是锐角是这个角它的二倍，这个角它的二倍角 d c o d c o 这个角这个角的大小， 那其实这个角你可以进行初步判听一下，它应该是小于四十五度的，因为这段长是我的三，这段长是我的二分之三，是吧？ 那所以我这个角一定比这个角小啊，他们俩加起来是九十度，所以这个家伙一定是小于四十五度，这是我初步判定的啊，那么二倍的就一定是小于九十度，是吧？好，然后还有个，这个点屁是在我抛物线上的， 那我抛物线上，我可以在这，可以在这。好，那你看一下，如果我在这，可能吗？不可能，因为我是这个角的二倍呀， 是不是？我，至少，至少我肯定要把这边的给撇开了，因为我还有这个角度在这里，对不对？没毛病啊，所以我的点撇就只能往这边跑。行，如果往这边跑的话，你看一下，嗯，在什么时候呀？哎，这个角如果是我的 r 方， 那么我让这个角也等于我的 r 方，那我的假角是不是就是 r 的 r 方了？哎，这样搞定了吧，也就相当于 相当于这个角和这个角相等就可以了啊，啊， 也就是让角 p e c o 和角我的 o c d 相等，那我俩之间的夹角就是这个角的二倍，好，咱再继续，咱再继续。那如果我的 p 继续往下滑，那我这个夹角一定在增加，那么就会大有的阿尔法， 然后我再继续往下滑，滑到一定程度的时候，那我这边的夹角是不是在逐渐变小？那总有一个时刻，总有一个时刻我是可以等于它的，那也就相当于这样的那种颜色呢？ 用颜色来画 下面 多啊，咱们这样差不多，也就是说我这走往下滑的过程当中，因为这个角在逐渐减小，总有一个时间，总有一个时间能够让这个角等于这个角的二倍，总会有这么一个时刻的，那这个时候 是我的 pr 啊，也就现在我们分析出 p 一 pr， 当然我们再说一下，为什么老师会第一步把 p 一 画向 x 轴上方，你说有没有种可能是在，就是比如说在这个地方，呃，在这个地方出现呢？ 那你也可以初步去借鉴一下，就是我们位置分析这块要考虑到的，然后我就会发现一个问题啊，如果我的屁在胀，比如说我们有特殊点，屁在 a 点的位置，看一下屁在 a 点的位置，我这个角是多少度啊？ 点 a 的 坐标是负三零点 c 的 坐标是我的零负三，所以我这个角就一定变成四十五度，它可能是四十五度吗？不可以，因为如果让它乘以我四十五度，我这两二倍的就变成九十度呀， 所以一定不会再点 a 位置，而且点 a 位置所造成这个假角是大的，就形成这个角是大的，所以它只能往上跑，这样说能听明白了吗？也通过这个位置的阶梯，我们知道 点 p 这个位置一定有一个是在 x 的 上方，那么另一个是在我 x 的 下方。好，两个位置接点好了之后，咱俩开始写，写之前老一套，把所有点坐标给我写一行，养成这个习惯，把我所有点坐标写一行， 点 a， 我 不知道用不用得到啊？我们先写边上，就养成这个习惯，点 b， 坐标一零点 c， 坐标零负三点 d， 坐标二分之三零。然后第一种情况， 当我的 p 在 我 x 轴上方 上，方式也就是我 p 的 位置。好，那如果是这个位置很简单，因为呢， 这整个角等于这个角的 r 倍，那就是说，就是说角 p e c o 等于角，我的 o c d， 对 不对？那一旦这个角和这个角相等，又加上这个地方是垂直，看到了吗？这个地方是垂直， 那所以这条线变成了这个三角形，它的高线和角平分线，那么这两个三角形就一定是全等，对吧？一旦全等了，那我的这个 这个长度和这个长度就相等，而且呢，这半长度和这半长度就相等，也就是说，如果这个点是我的 h 点， 我 h 点的坐标就可以出来了，因为 h 和 d 关于 y 轴对称好吗？就是通过证明这个三角形和这个三角形全等啊，也就 h o c 和 d o c 好 吗？全等证明出 d 和 h 关于 y 轴对称， 所以点 h 坐标都应该是负的二分之三零。当点 h 坐标出来之后，我们就可以求出 c h 它的直线解析式， 我们设它是 k x 加 b， 将我的 c 点和 h 点坐标给你带进去，好吗？ c 点坐标带进去， b 是 负三，然后 h 点坐标带进去是负的二分之三， k 加 b 等于零， 从而求出我的 k 和 b， b 是 我的负三， k 值是我的 k 值是我的负二， 所以解析式出来了。这个解析式一旦出来之后，我们讲这个解析式和我抛线解析式一连呢，不就求出我的焦点坐标了吗？对不对？我们将它连立起来啊？ 有 y 等于负二， x 点三， x， y 等于 x 平方，加上二 x 点三，从而求出一个值呢？是五的零，零可以吗？零不可以，因为零在这个地方，是不是所以这个地方要舍掉， 然后 x 二是等于负四，就等于负四，那这个负四一旦出来了，那么点 p 坐标就出来了，点 p 坐标是我的复色，把这个复色也到这个当中，那也就变成的是正五， 这是第一种情况。好，再看第二种，当点 p 在 x 轴 下方的时候来，当点 p 在 x 下方的时候，是我这个假角等于这个角的二倍好吗？是整个这一个假角。那既然是这样的话，根据我们的分析一定要去凑成，要么呢把这个凑成一个二倍的这个角出来，就把这个凑出来， 那怎么错呢？用这个已经不行了。哎，咱们可以这样啊，咱们咱们这样去对称，哎，就找到点 c 关于 x 轴的对称，点 c 撇，然后我给你连立起来来 看，这是我的 c 撇，那这个角和这个角是不是就一定相等啊？那这样的话，我就可以出现个 r 倍的了吧，伙伴，看到了吗？ 这叫二倍的。哎，这个一旦是二倍的，我这也是二倍的啊。这个对顶角在这个地方，所以它们两个是相等，当它们两个一旦相等，我就出现了一个等腰三角形，但是这个点是我的 q， 点 q 点吧， q 点没用啊，这是我的 q 点， 也就意味着这个角和这个角相等，听明白了吗？我为什么能够想到把这个点对称过去，就是因为，就是因为这个角和这个角是二倍的，我想把它 错一个二倍出来，这是我们在讲处理方法的时候说过的，我错一个二倍出来，怎么错？就形成等腰三角形，形成等腰三角形，我的外角就是他的二倍的，这一旦出来了，和我这个角正好放到同一个三角形里面，漂亮， 对吧？好，那有了这个之后，我们再来看。我最终的目的是要求出我 pr 的， 对不对？分析一下啊，这个时候还是在分析过程啊。我为了求出我的 pr， 咱是不是应该要把我的这个 c q 的 直线解析式求出来？ 它只要出来了，和我抛物线解析式是一连一就可以了。那我为了能够求出 c q 的 直线解析式，咱就必须把点 q 的 坐标求出来， 因为点 q 坐标我不知道，我没法求呀，点 c 是 知道的呀。行，那我要求出点 q 坐标，正好这个地方有个等腰三角形，所以我们可以求边长形成方程。但是如果是这样的话，前提是先设出点 q 坐标 啊。点 q 坐标在设的时候必须只能含有一个参数，你不能含有两个，然后你发现这个点 q 是 在这条直线上的，那所以 我们可以求出 c 一 撇 d， 求出 c 一 撇 d， 它的直线解其式。这一旦求出来之后，我就可以去设点 q 坐标了，然后还有一个参数的， 就可以反过来继续往这边走，就完事了，好吗？行，这个思路结束之后，咱们来写，也就说，先写出 c 一 撇 d 它的直线解其式啊，写出它，必须把点 c 的 坐标求出来啊，自己用语言去描述点 c。 呃，关于 x 的 对称，点 c 撇，它的坐标就应该是我的零三，然后去求出 c d 好 吗？ c 撇 d， 它的直线解析式是 k x 加 b， 将我的 c 撇和 d 一 撇带进去，那就是二分之三， k 加 b 等于零，从而求出我的 k 值。呃，我这个 k 值我看一下啊，是负二， 那 b 值等于三，所以这个 y 是 负二， x 加三。好，然后我们就可以去设点 q 坐标了， 设它的横坐标为 t， 正坐标就是二， t 加三，然后再用两点之间的距离公式，用两点之间的距离公式求出我的 q d 和 q c。 我们用平方的形式， q d 的 平方就应该等于点 q 的 横坐标，减去点 d， 它的横坐标的平方，再加上 减零的平方，接下来是我 q c 的 平方，那就应该这 t 减零，它的平方 加上负二， t 加三，减加三，减负三，是吧？减负三，那也就变成的是加三它的平方好，它们俩相等， 所以 t 减它， 它就等于这个 好。这个一旦出来之后，这就形成一个关于 t 的 一个方程，是吧？关于 t 的 一个方程，我们可以把这个 t 给求出来，我们把最终把 t 求出来，最终 t 是 等于 等于四分之十一，四分之十一直接拆开就算就可以了，直接拆开你也可以用平方差公式啊，平方差公式都可以，那么求完之后点 q 的 坐标不就出来了吗？是不是？ 所以点 q 的 坐标是四分之十一负二分之五，点 q 的 坐标出来了，我们就可以去求出我 c q 的 直线解析式了。 设 c q 的 直线解析式是我的 k x 加 b 点我的 c 点坐标九点坐标给带进去， 从而求出 k 和 b 值就应该是等于十一分之二， 所以解析式 c q 的 直线解析式。好，这个一旦出来了，再让它和我抛物线解析式连立起来，让它和我抛物线解析式连立起来啊，也就是十一分之二 x 减三， 还有一个是我的 x 平方加上二 x 减三，从而求出点 p 的 坐标了，是我的负十一分之二十， 负一百二十一分整四百零三。当然在这个求解过程当中会有第二个值是我的零负三，还有个是零负三，但是零负三是我的 c c 点，所以直接舍掉就可以了，抱住它好吗？

今天讲的是二次函数实际问题里面的利润问题，这个题型在咱们九年级上学期的期末考试也会经常考到，尤其是在大题里面，而且家长们可能在生活中也会运用到。某商场进货价是十八元的一个商品，它售价是二十元售出， 那么他说每天销售一百件，这里对应的哎，销售数量是对应的是我们的二十元的销售价，那么他说如果提高一元哎，我的销量就会减少时间， 那么这里他说问销售价格定为多少钱的时候，才能每天获得最大利润。那么首先我们要想我们的利润 等于什么？总利润等于什么？我们总利润是不是应该是哎销售单价，也就是说我一件的商品的销售利润乘以我们的销售数量。 那么在这道题里，人家说了我的单价进价是十八， 进价是十八元，那么原来的售价第一次的售价 是不是二十元，对吧？但是如果现在人家问的单利单个利润是不是就是我们用原来的售价减去进价这个两元呢？那么我们往后读题的时候发现不是这样的，因为什么？因为我们后面涉及到了我们销售单价的改变，人家说每提高一元，我的销售量就要减少时间， 那么现在求最大利润的话，那么我们是不是要找哎提高之后的单利，提高之后的单价，提高之后的哎，我的单个利润以及销售数量，把它填充到这里面，就可以列出来我们的哎柿子了。 好，那咱们看一下啊，人家说的销售一百件，是不是对应的是二十元的销售价格，我的销量是 一百件，那么现在呢？他说我的销售数量，销售价格发生改变了，他说提高一元，我们要减少时间，那么在这里我要设一个未知数，我在这里设谁呢？我设的是涨价 x 元， 哎，涨价 x 元，那咱们找一下我们现在的售价， 我们涨了 x 元，原来的售价是二十元，那么我们现在的售价是不是就是二十加上 x 元啊？ 对吧？那好，那人家又说了，我每提高一元，我就会减少十件，那我现在减少了多少？一块钱的时候减少十件，那么现在我涨了 x 元，是不是应该减少的是十 x 件，对不对？那所以我现在的销量， 那对应的是多少？是不是应该用原来是一百件， 哎，也就是说我二十块钱卖一件的时候，对吧？我的销售量是一百件，那现在我涨价了，那么自然销售量就会减小，所以用原来的一百减去十 x， 那 么是不是我们新的？哎，销售量 好，那么我们呢？现在销量是不是找到了？我还差单个利润，我现在只知道现在的售价，那么单个利润我是不是就用售价减去？进价也就是成本嘛，进价跟成本是一个意思，对不对？那所以我们现在的单个利润 是不是应该就是用二十加 x， 再减去我们的进价十八元，那么得到的是不是应该是二加 x 啊？对不对？这是我们的单个利润，好，那么单个利润咱们也知道了，我们是不是就可以列式了，对吧？好，那咱们列一下式， 那么我的总利润呢？我用 w 来表示，那么单个利润咱刚才说了是二加 x， 而我们的销量是不是一百减十 x 啊？好，那么在这里是不是出现了一个哎方程等式，那么在这里我们这里有两个未知数，一个是我们的涨价，一个是总利润，人家现在求他的最大利润， 那么我们先把这个括号把它拆开，那么多项式乘以多项式，是不是二百减去二十 x， 再加上一百 x， 再减去十 x 的 平方，整理一下 负十 x 平方，再加上八十 x， 再加上两百。好， 那我会发现这里 w 等于负十 s 方再加上八十，还再加两百，这其实是我们哎学习的二次函数的一般形式，对不对？那么我们的一般形式，我要求 w 最大值， 是不是相当于求我等式右面这个整体的最大值啊？哎，其实同学们已经知道了，我们就是要用配方法将一般式转换成顶点式， 利用配方法，那么咱们一起配一下，首先我们要让二次项系数变成一负十 x， 再减去八 x， 要注意我们的常数项是不放在括号里面的，那下面我要配方了， 负十 x 平方减八 x 加上四的平方，再减去十六，再加上两百。好，那么写成完全平方公式的形式， x 减四的平方，那么在这里我的负十六要出括号，是不是得乘以负十啊？它和它要相乘，那所以应该是一百六再加上二百，那好，那么现在配完了 负十乘以 x 减四的完全平方，再加上三百六，那么在这里我会发现， x 减四的完全平方是不是大于等于零的呀？而负十乘以 x 减四的平方，它是不是小于等于零的，那再加一个三百六，我们的结果它是不是应该是小于等于三百六啊？那么 等式右面小于等于三百六，是不是就意味着 w 小 于等于三百六啊？也就意味着我的最大利润 w 就是 三百六十元，也就是说当我的涨价为四元的时候， 涨价四元的时候，我的最大利润 应该是三百六十元。而在这里还没有完事，因为人家问的是我的售出价格，也就是说我要找的是我们的什么售价六元，那么我们涨价四元，原来是二十元卖的，那所以我的售价应该是 二十四元。重点来了二次函数的实际问题里面的利润问题。我们首先要把总利润拆分开，先求出来单个的一件商品的利润，以及这一件商品的利润所对的销售数量，把它们成在一块， 那么得到了一个等式，这时候再将它化简成一个新的二次函数的一般形式，再把一般形式转换成我们二次函数的顶点式， 求出来我们的最大利润。在这里一定要分清楚，哎，原来的售价以及现在的售价和它对应涨降价过程中销售数量发生的改变，一定要注意。这里家长们截下图拿给孩子们去看吧！

还在为不清楚快如何快速求解二次函数解析式而困惑的同学们，这期视频我们就来看一下如何利用真题思维来分析它的三种方法。如图，二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 的 图像经过 abc 三个点。好，我们看一下。第一问， 观察图像直接写出点 abc 的 坐标，并且求出抛物线的一个解析式。好，我们通过图像观察一下 abc 三个点的坐标是不是可以直接表示。我们看一下 a 点的坐标是什么？ a 点的坐标是不是就是我的负一零， b 点的坐标呢？我们看一下它在外轴的负半轴，也就是我的零和负三 c 点呢？ 好，他给我们画出来了，是不是就是四和五啊？好，这样我是不是把三点的坐标给表示出来了？我们再来看一下求抛物线的一个解析式，我们已知三个点求抛物线的解析式，我们是不是可以利用到 求解析式的一个一般式啊？一般式求解二次函数解析式。一般式我们是不是就是形如 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 的 形式？我们来看一下， 又，因为我的 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 是 不是经过 a、 b、 c 三个点， 所以我是不是可以得到三个式子？好，我们看一下这三个式子是什么？是不是将三个点分别带入我的二次函数图像，是不是可以得到 a 减 b 加 c 等于零， 并且呢，十六 a 加四， b 加 c 是 不是等于五啊？好，还有一个式子是不是就是我的 c 等于负三啊？这样我是不是就可以把 abc 的 三个值全部求出来了？我们求出来可以得到 a 是 等于一的， b 是 等于负二， c 是 等于负三，这样我是不是就可以把 抛物线的一个解析式求出来了？所以抛物线的 解析式是不是就是我的 y 等于 x 方减二， x 减三，这样是不是就用到利用我们的一般式来把二次函数的一个函数解析式给求出来了？ 好，我们接下来再看一下，以上就是我们第一问的一个整体思路以及它的完整过程，我们接下来看一下第二问， 求包无限的一个顶点坐标。要想求顶点坐标，我是不是得把我这个函数解析式利用配方表示成顶点式的一个形式啊？我们看一下来如何表示？ 好，又因为 y 等于 x 方减二， x 减三，我是不是得通过配方啊？配方我们能配成什么样的形式呢？是不是可以配成 x 减一的平方减四啊？这样是不是我的顶点式好让我们求顶点坐标，我是不是就可以写出来了？所以顶点坐标 是不是就是一和负四？好，以上这个题就是我们利用一般式来求解二次函数解析式的第一种方法。我们再来看一下第二个大题， 已知一个二次函数的图像经过点负四负三，并且当 x 等于三时，函数取得最大值四，求该二次函数的解析式。我们看一下这个题如何用哪种方法来求解他的一个函数解析式呢？已知了 x 等于三，并且 说在 x 等于三处，函数取得最大值为四，说明他的顶点坐标是不是就是一个三四啊？ 已知顶点坐标，我是不是可以利用一个顶点式来求二次函数的解析式啊？好，我们看一下它的具体过程。首先我是不是可以设二次函数 解析式？解析式为 y 等于 a 倍的 x 减三的平方加四，因为它的一个顶点坐标我们知道了，所以我就将二次函数解析式设成顶点式这种形式。好，接下来我们再看 二次函数是不是还经过一个点，负四负三，我是不是将点代入我的函数解析式，我是不是就能把我这个 a 值给求出来了？好，我们看一下。又因为二次函数图像 过点负四和负三，我是不是将它带入我的解析式，我们看一下。所以负三是不是就等于四十九， a 加四，我的 a 是 不是能求出来， a 是 不是等于负的七分之一？好，这样我是不是就能将我的二次函数解析式给表示出来了？所以二次函数解 c 是 为是不是我们就是求的 y 等于负七分之一， x 减三的平方加四，好，我们给它化成化简成一般式，所以 等于负七分之一， x 平方加上七分之六， x 加上七分之十九。以上就是我们利用顶点式求二次函数解析式的第二种方法。马上就要临近期末了，我们会有为期一个月的期末冲刺班和合格考试冲刺班 在这个期间内，我们会讲到本学期内的所有考点，保证能让你的基础完整的让一遍安心的进入考场。我们全程会采取线上的模式，有一元的同学们可以加入我们的粉丝群进行详细了解。好，我们接下来看一下最后一个这个问题， 我们如何利用焦点式来求二次函数的一个解析式呢？看这个题之前，我们先首先要了解一下什么是焦点式。焦点式就是形容我 y 等于 a 倍的 x 减 x 一 乘上 x 的 减 x 二这种形式， x 一 和 x 二分别代表的是什么？他们分别代表的是与 x 轴交点的一个横坐标。好，我们再来看一下这个题。已知二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像如图所示。求这个二次函数的一个解析式。好， 我们看一下，明显这个图像是不是有与 x 轴交点的两个坐标，分别是负一和三。好，并且呢，它是不是还过零三这个点啊？好，我们来看一下它的具体过程。我们因为二次函数 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 图像 是不是经过三个点，哪三个点是不是负一零三零，还有零和三这三个点？所以我现在是不是可以设二次函数为一个焦点式，所以我可以设二次函数 解析式为，解析式为，是不是 y 等于 a 倍的 x 加一，乘上 x 减四减三啊？好， 又，因为我们是不是过了一个点，零和三，零和三，我是不是可以代入我的方程，是不是又可以将 a 这个值给确定出来？好，我们代入看一下。所以三是不是等于 a 的 值， a 的 值是不是就等于负一啊？ 所以 a 的 值我们确定了，所以有二次函数解析式的一个表达式，是不是也就确定出来了？好，我们看一下，所以二次函数解 析式是不是就能确定出来为 y 等于负的 x 加一乘上 x 减三，我们把它整理为一般式，我们可以得到 负 x 方加二， x 加三，这样我是不是就将这个二次函数的表达式利用焦点式的方法来求出来了？以上就是我们三种题，三种求解析式的一个方法，培养真理思维，优成解航之路。我们下期视频再见。

好，今天带大家来看一个二次函数的一个小专题啊，利用二次函数的性质，求线段的最值，其中这个线段呢，就包括竖直的这条线段，或者说一个斜的线段， 同时由这个线段的性质呢，还往下递推了一个关于三角形周长的一个最值问题啊，我们来看一下这个题目啊， 如图，抛物线 y 内负 x 方加二， x 加三和 x 轴 y 轴交于 abc 三个点啊， p 是 线段 bc 上方抛物线上一个动点，然后呢， p e 垂直于 x 轴于点 e 同时交 bc 于点 d， 求线段 pd 的 最大值。这个啊，是大家比较常见的一个问题，我们去处理这个问题的时候呢，是这样的啊，首先你得根据这个表达式 去确定 abc 三个点它的坐标，然后我们定一下啊， a 和 b 呢，它在 x 轴上，所以它的纵坐标为零啊，那由零等于负的 x 方加上二， x 加三哈，你能得到 这个 x 一 啊，它等于负一， x 二等于三，这个处理就不多说了啊。然后呢，你可以一直分解，也可以去归公式，同时你让这个 x 等于零能解它的坐标啊， x 等于零，是啊， c 量的坐标呢，就是三，这样的话，这个和这个就都出现了 啊，做下来以后，那如何去求这个 p d 这条线最大值呢？现在呢，这个 p e 啊，它是垂直于这个 x 轴的，所以我们能看得到 这个点 p， 点 d 和点 e 这三个点的横坐标都一样，所以如果我设这个点 p， 它的横坐标是 m 的 话，那么就意味着这个点和这个点的横坐标都是 m 啊， 这个长度就可以用 p 点的纵坐标和 d 点的纵坐标来表示 p 点的纵坐标是非常好找的，他的横坐标是 m 的 话，然后表达是在这，所以他的坐标呢，就是负的 m 方加上二， m 加上三， 而这个点 d 啊，他现在呢，是不是因为你不知道 bc 他的方程是几，所以你没有办法一眼就看出字母表，所以啊，我们得先求这个 bc 他的方程，那么 bc 的 方程也是比较好算的啊， 我就直接写了啊，这个 y 呢，等于负 x 加上它啊，所以点 d， 它的横轴是 m 的 话，那么它的动坐标呢，就是负 m 加上三啊。这样的话，如果点 p 是 在 b c 这条线段上方炮线上一个动点的话，那么就意味着 p 点呢，一定比 d 点要高，也就是说这个一定比这个大，那么 p d 它的长度就应该是 p 点的纵坐标减去 d 点的纵坐标啊，把竖带去负的 m 方加上二 m 加上三，减去负 m 加上三，结果整理以后是负 m 方 加上三 m 啊，这样，哎，这个如果把 m 看成一个变量的话，那么它也是一个开口向下的抛物线啊，开口向下的抛物线，我们知道在顶点位置呢，它就要取到最大值，当 m 等于负的二 a 分 之 b， 也就是二分之三十啊， 这个 p d 它的最大值把二分之三带上去啊，是负的四分之九加上二分之九，也就说是正的四分之九啊，这是一个常规操作， 那现在哈，我们就由这个常规操作呢，隐身出来下边两个问题。第一个问题， p 仍然在 b c 上边啊，这个弧上，那么是不是存在一个点 p 到线段 b c 的 距离最大呢 啊，我们初中学段呢，你没有学过啊，点到直线的距离公式，那个公式呢，不能直接用， 而现在呢，我就感觉哈，其实我也感觉的不是很到位，因为你一旦感觉哈，你需要干什么，你需要证明这个事比较费劲，但是这个问题呢，我们可以借助啊，相似的手段去解决它，然后呢，走的思路和刚才正这个思路呢，是完全一样的，你看啊， 这个题的做法是这样的，你做一下啊这个 x 轴的垂线，或者做一下 y 轴的垂线啊，然后呢，用相似，用相似关系，或者用三角函数关系啊，都可以。比方说，我仍然是做一下这个 x 轴的垂线， 做了垂线以后呢，让它这是 a， b， c， d 啊，这个是 f， 我现在就来观察这个 e、 f、 p 这个三角形。这里面有一个小结论，你要注意啊啊，这个角它的两条边，一个是 pe， 一个是 pd， 这个 pe 呢，垂直于 bc， 而这个 p f， 它是垂直于 ob 的。 如果有一个角的两条边垂直于另外一个角他的两条边的话，那么这两个角必定是相等或者是互补的。现在呢，他们两个都是锐角，所以他们是相等的啊， 相等了以后，那现在我现在要求的是 p e 对 长，现在我能看得到这个 c、 o、 b 呢，是一个等式数的三角形，等式数的边长比一比一，比根号二，在这一一根号二，那这个比值是一个明确的一个比值啊， 就是 p e 比上这个 p f， 它是一比二。这个题呢，怎么去转换呢？求 p e 的 最值最大值，是不是就相当于去求了一个 p f 的 最大值，对吧？而我们刚才的时候是不是就在第一次证明的过程中就在求这个 p f 的 值啊？ 啊？所以哈，你把 p f 的 最大值呢？求完了以后，你再去除一个根号，就是 p e 的 最大值啊，这个问题就处理完了。好，我们再看一个第三个问题啊，它也是一个延伸项，它是求还是那个三角形哈， 啊，就这个题呢，它可以不直接让你求线段 p d 的 最大值，不直接让你去算 pe 的 最大值，它是直接有了这个已知条件以后呢，去让你求这个三角形 pe f 的 最大值啊， 这个思路刚才已经说了这个题了，那么现在这个问题就很好解决了啊，如果它最大，那么相对应的这个和这个就是最大的，所以说这三边的和它就一定是最大的 啊，所以说呢，就是垂线段、斜线段，还有这种三角形，它的周长的和哈，它的它的周长最大，这种问题呢，都可以从我们这个第一问延伸出来，听懂了吗？

大家好，今天接着看初三数学每日一题。今天跟大家分享到一元二次函数相关的问题，说如图，抛物线经过 a b 两点， 当 x 大 于等于 n， 小 于等于四的时候，它的最大值和最小值的差值是六，现在让我们求 n 的 值，那首先我们看到抛物线上有两个位置说 a、 b， 那么他经过 a 点和 b 点，那么这是不是相当于我们马上就可以把 a 和 b 的 坐标是不是带入一元二次函数？那么这样以来两个未知数，两个方程，那我们是不可以求出 ab， 那么第二个的话，他给了一个区间，让我们去求他的最大值和最小值的差值，那么我们给个区间画草图的。呃，求最值的时候，咱们一定要利用他的一些啥图像性质，加上他的一个什么草图， 咱们去进行什么分析，在什么时候找最大，在什么时候找最小，好，那我们一块试写一下。那么首先我们是不是把 ab 是 不代入呀？所以第一步将 a 点 b 点代入 三八就可以得到。把 x 等于负一， y 等于零代入，那么就是 a 减 b 减三等于零，这个的话就是九， a 加三， b 减 c 等于零， 解得 a 等于一， b 等于负，这就是关于 ab 的 一个什么二元一次方程组，那么这样以来的话，我们就可以得到一元二次函数的方程，它就是 x 方 减了一个二， x 减了一个三，那我们现在就知道它的开口应该是向上对称轴， 就是 x 等于几一，那么现在他现在让我们去 a 求在这个区间上的什么，最大值和最小值的差值是六，那我是把最大值和最小值给求出来，那我们说当 x 大 于等于 n 小 于等于四的时候，那么 因为我不知道 n 和 e 的 大小关系，所以它一共出现就可能有几种，是不是有两种情况呀？那么第一种情况，那就是轴在区间的左侧， 第二种就是轴在区间的啥中间，那我们想一下，如果说这个地方的画个草图啊，我们简单的画个草图， 我们先把这个 n 大 四，把它画出来，那么如果说这个对称轴它在啥样呢？它在这个区间的左侧，那么会出现一个什么情况呢？ 那么我们发现它的这个函数图像是不是就在这个区间？它是什么的 外垂 x 增大而增大的，那么你看在这就取什么最小值，在这就取什么是最大值。所以第一种情况，当 这是 x 等于一，所以当 n 大 于等于一的时候， n 大 于一的时候，那我们就知道在 x 等于四的时候， y 最大， 所以把四，咱们把它带进去，那么它的函数值就是几五，那么 x 等于 n 的 时候，那么它的函数值就去到什么 最小，那最小值的话呢？就是 n 方减二， n 减了个三，所以那么这个时候的话，那我们就知道他的最大值 减最小值是不是等于六啊？所以我们就知道五减了一个， n 方减二， n 减了个三，那么它就是六。咱们整理一下，那就是负 n 方加那个二， n 加了个八，减了个六，那就相当于再加了个减二， 所以 n 方减二， n 减二是不是等于零？所以我们在这块就可以解得 n 等于一加根号三， 或者是 n 等于一减三，但是我们前提条件是不是 n 大 于等于一啊？ 所以这个值我们就把它干嘛舍掉了。 那么第二种情况就是谁轴在区间的什么内部，那就是 n 大 于一小于四的数， 那么这个时候的话，咱们还是一样，咱们先画一下它这个草图，那画上草图的时候，咱们说对称轴在区间的啥 内部，对吧？那么这样一连的话，咱们发现你看这是谁？这是我们的对数， 这是 n， 这是几？四，那么我们就知道在谁当 n 等于四的时候 它取最大，因为它在这个地方，是不是我们不一定说它一定是在 n 等于四的时候取最大，但它还可能在 n 等于几啊？ n 的 时候 x 等于 n 的 时候是取最大。 那么第二种情况，那就是轴在区间的啥内部，那么轴在区间内部也是一样，我们先画上一个什么插图， 那么这个草图的话，咱们说这是谁呢？这边是 n， 这边是几四，那么他一旦在区间内部的时候，那我们发现 这是 x 等于一，对吧？那么这个轴的话可能在靠左一点，也可能在啥靠右点，因为我们知道开口向上的时候，那么他的图像 应该是离对称轴越远，取到的函数值就干嘛越大，那么这个时候我们发现 x 等于一的时候，对吧？它的值是几？咱们带进去，那就是 一减二负一负一，再减三负四，对吧？ x 等于四的时候，我们发现它的函数值刚才算的它是几？ 我，那你发现我现在不知道到底他肯定在一上去什么最小，那他不一定在四区最大，他如果在对胜说靠左边，那是不是就在四区最大？如果在靠右边，那么他在 n 的 时候区最大， 但是你发现这个时候在四取的值和在谁一取的值，他们两个的差值都变成几了九了，他是已经大于六了，所以 也就说明他的这个对上轴一定是不可能在啥这个区间内部的。因为如果对上轴在区间内部的话，他们两个的差值至少应该是比九要大，最少等于九， 所以这种情况是不是咱们就舍掉了？所以两种情况咱们讨论完了，那么我们就知道最终这个 n 的 值它就只能是谁一加根号三， 所以这个题其实它也是非常容易干啥找到的。 第一种我们先把函数图像找出来。第二个我们在求这个函数在该区间上的什么最大至最小值的时候，咱们一定要先找开口方向对称轴，然后再去判定这个对称轴和区间的一个什么 相对位置关系。所以这个道题大家也认真整理一下。

今天咱们用竖形结合攻克二次函数与一元二次方程根的定位问题，把方程的根转化为二次函数与 x 轴交点的横坐标位置就一目了然了。咱们先聚焦抛物线开口向上， a 大 于零的情况，这是最典型的场景。 核心知识点，一元二次方程的根就是 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 与 x 轴交点的横坐标。接下来分十种情况，结合图像总结根的分布条件，一、根的分布与对应条件， a 大 于零时，一根负一根正。第一个根小于零，第二个根大于零。开口向上的抛物线跨 y 轴两侧， x 等于零时， y 值 b 为负条件， x 等于零时的 y 值小于零。抛物线两个交点都在 y 轴左侧， 需同时满足三个条件根的判别式， b 方减四， a， c 大 于零，有两个十根对称轴， x 等于负的二 a 分 之 b 小 于零在外轴左侧， x 等于零时的 y 值大于零。抛物线在 y 轴正半轴三、两根均正，零小于第一个根小于第二个根，与两根均负。逻辑相通 条件为根的判别是， b 方减四， a， c 大 于零，对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b 大 于零在外轴右侧， x 等于零时的外值大于零。四、一根小于 k， 一 根大于 k， 第一个根小于 k 小 于第二个根。抛物线跨 k 点两侧， x 等于 k 是 y 值， b 为负条件， x 等于 k 时的外值小于零。 五、两根都小于 k， 第一个根小于，第二个根小于 k。 两个焦点在 k 左侧，条件为根的判别式， b 一 方减四， a， c 大 于零，对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b 小 于 k， x 等于 k 时的外值大于零六，两根都大于 k， k 小 于第一个根，小于第二个根。两个焦点在 k 右侧， 条件为判别式 b 方减四， a， c 大 于零，对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b 大 于 k， x 等于 k 时的 y 值大于零七，两根都在 m 和 n 之间。小于第一个根小于第二个根小于 n， 焦点被 m， n 夹住，条件为判别式 b 方减四， a， c 大 于零， m 小 于对称轴， x 等于负的二 a 分 之 b 小 于 n， x 等于 m 和 x 等于 n 时的外值都大于零 八、一根在 m n 之间，另一根在区间外，抛物线跨 m n 区间。 x 等于 m 与 x 等于 n 时的 y 值。一号 条件 x 等于 m 时的 y 值乘以 x 等于 n 时的 y 值小于零九 m， n 在 两根之间，第一个根小于 m 小 于 n 小 于 n 小 于第二个根， m， n 被两根夹住， y 值在这两点均在 x 轴下方。条件 x 等于 m 和 x 等于 n 时的外值都小于零。 十、根分布在多个区间， m 小 于第一个根小于 n 小 于 p 小 于第二个根小于 q。 外值符号依次变化条件， x 等于 m 时外值大于零， x 等于 n 时小于零， x 等于 p 时小于零， x 等于 q 时大于零。 规律正负负减正。二、补充结论从系数符号死判根的符号一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零点图像与 x 轴的交点问题。因此，借助于二次函数及其图像，利用竖形结合的方法来研究是非常有效的。 在根的判别式 b 方减 c 大 于零的情况下，通过系数 abc 的 符号可快速判断根的正负，这是考试秒杀技巧。 如果长竖向 c 与二次项系数 a 的 比值小于零，即 a 与 c e 号，那么方程一定有一个正根和一个负根。 如果 c 与 a 的 比值大于零，即 a 与 c 同号，则两个根同号。若对称轴的横坐标大于零，两根均为正。若对称轴的横坐标小于零，两根均为负。三、注意事项，别踩这些坑，强调两个 e 错点，避免做题失误。 如果题目中 a 小 于零，抛物线开口向下，可以类比 a 大 于零的情况，但要注意，所有关于函数值大于零或小于零的条件要反过来理解，或者先把整个方程两边乘以负一，转化为 a 大 于零的情形。 当 a 与 c 一 号时，方程一定有实数根，但当 a 与 c 同号时，方程不一定有实数根，仍需检查判别式是否非负。所有关于根的分布都必须以判别式大于零为前提，否则就没有两个不同的实数根，谈分布就没有意义。 核心总结，根的分布判断根本是竖形结合。先画抛物线大致形状，再按焦点位置找条件系数，结论仅做辅助。

哈喽，各位托，大家好，今天的话呢，给大家讲一下咱们初三二次函数含餐最值讨论的一个比较经典的题型，叫表达式含餐啊。 那么对于表达式含餐的话呢，一般都是要经过分类讨论的啊，那么我们比如说可以给大家看一个小例子啊，第一道题说求函数 y 的 x 方减二 a， x 在 零到一的范围内，它的最大值和最小值。 那么首先它的表达式大家能观察一下，它不是一个具体的表达式，而是里面含有一个参数 a， 所以 对于这种问题，大家一定要记住我们的步骤啊，它是有逻辑顺序的。首先第一步一定要先去求它的对称轴 啊，求对称轴，老师，对称轴我求不出来吧。可以的，你能求出一个含餐的一个式子，它不是一个具体的数字，那我们算一下，根据对称的公式， x 等于负二， a 分 之 b， 负的二乘以 a 是 一个一， b 的 话就是一个负二 a， 不要看错了啊，那约调约调的话呢，等于一个 a， 所以对称轴是一个式子， s 等于 a， 好 吧，那么 x 等于 a， 也就是有了对称轴，接下来我就会画出函数的一个草图啊，它这个题的话呢，前面系数二次项系数为一，那意味着开口向上对称的话呢，是 x 等于 a 啊，那接下来就一个问题，我要求的是零到一范围内的一个最大值和最小值，那零到一的范围到底在对轴的左侧还是右侧，还是在两者之间呢？哎，所以那第二步我就要干嘛了，分类讨论第二步，分类讨论， 分类讨论什么东西？就是对称轴，它到底在我们范围的哪一侧啊？还是在它们之间？所以分类讨论分为三种，第一种的话呢，就是对称轴，对称轴 在范围的左侧，范围左侧。那第二种情况呢，就是在范围的右侧。 第三种情况就是在范围之间。好了，我们分别了，画出对应的图，就能求出他对应了一个最值。问题啊，首先第一种情况，第一种情况，如果对称轴在范围的左侧，我们把图画出来啊，这是图开口向上对准来等 a， 既然对称轴在范围的左侧，那反过来范围就在对准轴的右侧好了。哎，对称轴的右侧，我们写下范围是 a 等于零啊，这位的话呢，是 s 等于一。 好了，那么零到一也有我们的范围啊，在顿轴的右侧啊。那么首先我就能求出 a 的 一个范围，为什么呢？因为对称轴在范围的左侧，他已经在零的左侧，所以说那么这个 a 也顿轴一定在零的左侧，小于等于零。 老师，我能不能不加等号，没有影响所有的，我接下来要分析所有问题，只要是等号，他都属于临界情况，他放在哪里都无所谓啊。好了， 第一种情况，当 a 小 于等于零的时候，顿轴在左侧，范围在右侧，那么看右侧的一个增减性，显然右侧增减性上升的嘛。所以说，那么当 x 等于零的时候，取得最小值 i 的 e 时候取得大值。所以说当 x 等于零的时候， 此时 y 取得一个最小值 m 二 n 把它带进去，零往里带，那么整个式答案是零。那当 x 等于一的时候啊，此时取得一个最大值 y max 啊，最大值的话呢，我们也可以把一带往里带，一往里带的话呢，应该是一平二十一啊，一减二 a， 一 减二 a 啊，好了，这就是我们的第一种情况，如果 a 小 等于零，他的最大值，最小值分别是在哎一和零地方来进去的。那第二种情况，第二种情况，如果顿轴在我们的范围右侧啊，开口向上，这顿轴 i 等于 a 啊，他在范围的右侧，那意味着范围在他的左侧，左侧零到一啊，这位置 i 等于零啊，那么呢，这位置 i 等于一， 对吧？因为零到一在左侧嘛，所以说左侧，大家观察一下，图像是下降的啊，所以我们先写一下 a 的 范围， 因为顿轴在范围的右侧，所以它一定在一的右边，那就意味着 a 一定会怎么样，会大于等于一， a 一定大于等于一，它在一的右侧嘛， 此时范围在左侧，那什么地方取最大什么最小一目了然啊。显然在零的地方是最高的，一的时候是最低的，所以当 x 等于零的时候，此时他取的是一个最大值 y max 啊，应该等于把零代取是零，那当 x 等于一的时候， i 等于一的时候，那此时他取的应该是最小值 m n 啊，往里一带应该是一减 a。 好了，这第二种情况，那第三种情况，第三种情况什么？哎，对称轴，如果在两者之间，第三种情况， 对称在两者之间，那两者之间我们随便先画一个草图啊，在这里画对称，在两者之间，这是对称轴， i 等于 a， 那么这个零和一一个在左侧，一个在右侧啊，我们观察一下。首先最小值一定在对称轴的地方取得，因为这里是最低的，在最大值，哎，零和一到底谁相对来说，哎，我们的 y 值最高呢？ 我也不知道，所以又需要进行再往下进行分类讨论，就是如果蹲着在两指之间的时候，两指之间的时候，我们又要继续往下细分。一个是偏左侧啊，蹲着他会偏向左侧还是蹲着的话呢？他会偏向于右侧。 好了，那我们先想一种临界情况，如果顿轴正好在两者之间，哎，正好在两者之间，左边是零，右边是一，那么此时的临界情况，顿轴就能算出来啊。比如说第三种情况，那就是零加一，相加之和除以二，应该等于二分之一，也就是顿轴如果在二分之一的时候， 那么话呢，正好零和一是一样的一个高度。那么接下来就有一个问题啊，我的对准轴可能不是说正好在他们之间，可能偏左边，也可能偏右边，所以接下来的范围，那就是，哎，如果我的 a 啊，在零和二分之一之间， 零和二分之一之间啊，大于一个零，小于等于二分之一啊，刚才的话呢，你看不说了吗？一个是零的左侧，一个是一的右侧，那接下来话呢，就是零和一之间了，零和一之间，如果他更偏向于零一些，也就是说我们的对称轴啊，我把图给它画一下啊，对称轴， 这顿轴是一个 a 啊，他更偏向于零一些，也就说离零更近一些，离一更远一些啊，因为零和一的中间是二分之一，零和一他们的中间应该二分之一啊，中间应该在这里。 那么话呢，如果你蹲轴偏向于左侧一些，就会发现离一更近，它的值更小，离这个离零更近，它值最小，离一更远一些，它值更大。所以说在蹲轴地方取得最小值，在一的地方取得一个最大值啊。所以对于这种情况，那我们就知道，当 x 等于蹲轴等于 a 的 时候啊，此时取得一个最小值，往里一带，那就是 a 方减去个二， a 方等于一个负 a 方， 那那第二个就是当 i 等于一的时候，当 x 等于一的时候，此时取得的应该是一个叫最大值啊。 y max 往里带，应该是把一往里带，那结果的话算成一减二 a 啊，那如果再往下，比如说，如果我的对称轴偏向于右侧啊，刚才不是对称轴正在零和一之间吗？偏向于左侧就是零和二分之一之间，偏向右侧就是二分之一和一之间，也就是 a 大 于二分之一小于一个一啊，刚才这个图是对应他的啊， 那么画的这个图我给他画一下，哎，对称轴是一个 i 等于 a 啊，偏向于右侧，也就离一更近一些，哎，一在这里，那么离零更远一些，零在这边啊，它们俩之间二分之一，二分之一的话呢，在这里，他们正中间，在这里啊，对称轴的话呢，偏向于右侧， 所以那我们发现对称轴的最小值在零的地方取得最大值，所以那么也就得到了，就是当 x 等于 a 的 时候，此时 y 还是取得最小值，应该是一个负 a 方啊。但是的话呢，当 x 等于零的时候，此时取得一个最大值， y max 应该等于一个零， 应该等于零。老师，那这个二分之一到底给上面还是给下面？无所谓啊，就是它都属于临界情况，在哪里都没有影响。 好吧，那我就把整个这个题的分类讨论啊，都说出来了，当 a 处于不同的这样一个范围，它的最大值和最小值分别在不同的位置来进行取得的。 好，有了这个一个知识作为铺垫以后，那接下来我们就可以做一下相关的一个题型啊，比如说，那我们看一下这个叫第二题啊，他说函数 y 等于这个东西，里面也带参数，你看带参数 a 吧， 他说在这个范围内，他不让你分析最大值调值，他告诉你最大值是二，让你求 a 的 这样一个值，求参数值。首先第一步，先求顿轴， x 等于负二， a 分 之 b 二乘一个负一， b 是 一个二 a， 哎，把它算出来，约调约调应该等于一个 a 啊，但是开口方向 a 是 一个负的，所以开口应该向下顿轴的话呢，是 i 等于 a。 好，那接下来我就要分类讨论了，第一种情况，我的范围零到一，到底在对轴的左侧还是右侧呢？哎，第一种图，我通过图来给大家来画啊，这个位置是一个 a， 如果我的范围在左侧，也就是零到一在左侧，哎，在他的左侧，这里是 x 等于零，这里是 x 等于一。那我们观察一下， a 就 在 a 大 于等于一在一的右侧， 此时在 i 等于一的时候取最大值，你只让我求的是最大值嘛，所以我只看啊，当 x 等于一的时候取得一个最大值 y max 往里一带啊，把一往里一带，应该是负一，加上一个 i， 加上一个一，减去一个 a， 你 说了最大值是一个二，结果等于二啊，然后接下来把 a 求出来吗？加一减一没了，那就是 a 等于一个二， a 等二啊，求完 a， 大家一定要看在不在范围之内。我的前提是 a 大 于等于一，你的二正好是大等于一的，所以可以的， 可以的。那第二种情况，第二种情况， a 我 们也是先画图，还是 x 等于一的，所以可以的。那第二种情况， a 我 们也是先画呢，是 x 等于一个 a， 刚才范围在左边，现在范围把它放右边吧，零到一在右边啊，这里的话呢，是 i 等于零啊，偏左一些吗？这里是 i 等于一，偏右一些。 好了，所以此时先写出蹲轴的范围啊。那么话呢，这个未知数的范围在右侧，那蹲轴在左侧，所以说零的左侧，那就是 a 小 于等于零啊， a 小 于零，这是蹲轴在左侧吗？啊，范围在右侧，然后接下来哪个地方取最大值？很明显，零的地方取最大值，当 x 等于零的时候， 四十 y 取的一个最大值 max 往里一带啊，那么话呢，零往里一带，那结果应该是一减 a， 一 减 a 等于最大值，是一个二啊，这是二，就能算出来 a 应该等于负一 啊， a 等于负一，在不在我的前提 a 小 于等于范围内呢。在，所以说它也是可以的啊，它也可以， a 等于负一也可以。那第三种情况， 对称轴可能在两者之间啊，开口向下对称的话呢，这位置是 s 等于一个 a 在 两者之间，也就是零在左侧， e 在 右侧，零在左侧， e 在 右侧啊，这是 i 等于零，这 i 等于一。 那老师我要不要再分析？哎，是在偏向于二分之一啊？是零和分之之间还是二分之一和 e 之间？不用， 因为这个题要研究的只有最大值，也就意味着只要它在零和一之间最大值，你看最高点都在对称轴的地方取的。所以说，如果我们的 a 在 零和之一之间大于零，小于一个一，那么当 x 等于对称轴啊，因为它开口向下对称轴地方取的大值， 对折的时候求的最大值 y max 就 能算出来。应该等于把 a 往里一带，那就是负的 a 方加上两倍的 a 方啊，加上一个一减 a， 应该等于最大值是一个二。 把它整理一下，那就是 a 方减 a， 再减一，等于一个零。我们把 a 求出来啊，把 a 求出来。那么直接用我们的求根公式吧啊， x 变 b， x， 它这是 a 啊，把这个参数 a 求出来，那么 a 一 应该等于 二， a 分 之负 b 啊，加上一个根号下 b 方减 c， c 的 话，应该是根五啊，二分之一加根五，那它在不在范围之内呢？我先不说，以后先把另算出来。另外一个是二分之啊，负 b 一 减去，根号下 b 方减 c， c 二分之一减根五。 很明显，二分之一加根五，根五是二点多，二点多，加一的话呢，是三点多，三点多除以二应该是一点五左右。从它已经不在范围之内的啊，它要舍去。不在范围内，我的范围是零到一，它不在范围内 啊。另外一个一减根五，弦是一个负数，他也要舍去，因为他是一个负数啊，他的话呢，主要是他大于一了。这里的话呢，主要是他小于零了，他都不在范围之内啊，所以都要舍掉。所以最终我们求出两个答案啊，一个是 a 点二，一个 a 等于负一，一个二，一个负一，那么自然选择一个 c 选项就出来了。 所以像这种告诉你最大值或最小值的，我们计算其实就是一个解方程，但是你仍然需要分类来进行讨论啊。但如果这题改成一个最大值，改为一个最小值，可能就麻烦一些了。为什么？第一种情况在零地方取最小值，第二种情况在一地方取最小值。但第三种情况，你要再往下分为两种， 到底是偏向于哪边？到底是零的地方取的，还是一的地方取的，它是不一样的啊。好了，接下来第三小题。第三小题也是一个非常有意思的，这个题计算量非常大啊， 已知函数 y 的 s 方加 b， s 加三 b 啊，它的图像不经过第三项线，老师不经过某一项线，这该如何判别？这个非常复杂，那后期有时间话呢，我们就先不急用这个东西啊，我先用后面东西， 当他在固定范围负六到二的范围内，说最大值与最小值的差是二十五，那你求 b 的 值。我假如先不看这句话，假如先不看这句话， 哎，这一个含餐的二次函数在这个范围内啊，他的最大值最小值差是一个二十五，那我就可以列方程了，因为最大值最小值我都知道，分类讨论嘛，在哪个地方取得，所以首先第一步先算他的顿揉 x 等于负二分之 b 啊，我把它写小一点，因为这个题的过程比较多啊。好了，那么顿轴 x 等于负二分之 b， 也就负的二分之 b， 所以 我知道开口向上，开口向上顿轴的话呢，应该是负的二分之 b 啊。接下来我的范围是负六到二，所以我进行分类讨论。第一种和第二种情况都很简单，所以第一种情况啊，第一种情况应该是，哎， 我的范围在对轴的左侧啊，开口向上对轴的话呢，应该是负的二分之 b， 我 的范围负六到二在左侧啊，负六到二这段，这里的话呢，是 x 等于负六，这里的话呢，是 x 等于一个二。 好了，那写一下我们的变量范围啊，对称轴，也就是负的二分之 b 在 范围的右侧，那就是二的右侧，一定是大于等于二的。求出 b 的 范围两边乘二，那就是负 b 大 于等于一个四，反过来 b 就 小于等于一个负四， b 小 于等于负四 啊，当 b 小 于等于负四的时候，顿在右侧方圆，在左侧观察一下六，负六时候取得最大值，二的时候取得最小值。带进去啊，那么我就直接去移步了啊，负六时候取得大值，把负六往里一带，那就是角。负六平方是三十六啊，减去一个六 b， 再接下来加上一个三 b， 这是最大值。减去最小值最小值时候，在二的地方取得往里一带，二平方是一个四，加上一个二 b 加上一个三 b 最大减最小，结果应该等于二十五 啊，结果等于二十五。好了，把 b 求出来，把 b 求出来啊，那也就是三十六减三 b 啊。加的话呢，减去一个四，再减去一个五 b 等于二十五。把它算出来啊，那么这个位置三六减四的话是三十二，三十二，把二十五挪过来，话呢，减去二十五应该等于个七七等于负三 b 负 b 挪过来，这应该是八 b， 所以 b 能算出来应该等于八分之七。 很明显，我的这个 b 啊，他不在我的初值范围之内。我的范围是 b 小 于等于负四吗？你这是八分之七，所以要舍掉不在范围之内。好，接下来第二种情况。 第二种情况仍然是开口向上，这句话呢，是负的二分之 b， 此时我的范围应该再对准的右侧了，负六到二啊，负六到二。所以说，这里的话呢，是 i 等于负六啊，这里的话呢，是 x 等于一个二。 好了，那么我们先且出一下这个 b 的 范围啊，那么既然范围在右侧，顿轴在左侧，也意味着负的二分之 b 在 负六的左侧小于等于负六啊，那也得到负 b 两边同时乘二小于等于一个多少呢？等于一个负十二， 反过来， b 就 应该大于等于正十二。好吧，当 b 大 于等于十二的时候啊，范围在右侧，那右侧的话，我们看一下增减性二的地方取最大值，负六十的地方取的最小值，那照反过来，也就是四加上一个二 b 加上一个三 b， 最大值 减去最小值三十六，减六 b 加上一个三 b 应该等于二十五啊。这题主要就计算把它算一下，也就是四加上一个五 b 啊，减去一个三十六，这里面是减三 b， 外面去括号的应该加上一个三 b 等于二十五 啊，把它算出来，那就得到五 b 加三 b 应该是一个八 b， 八 b 应该等于把三六挪过来，把四也挪过来啊，三六加上一个二十五啊，二十五加上一个三十六，我要是一写一进一啊，五加一等于一个三十三，六十一，六一，再把四减掉，减去一个四等于五十七啊。所以说 八 b 等于五十七，那 b 就 算出来应该等于八分之五十七。八分之五十七大于多少啊？八八六十四不到八。我的范围是 b 大 于等于十二，显然它也不在范围之内，也要舍掉 也舍掉不在范围之内吗？对吧？好了，所以，那么接下来这两种情况都排除掉了，那加就在于第三种情况。 第三种情况，那我们来观察一下啊。首先，开口向上，哎，开口向上，顿轴化呢，应该是负的二分之 b， 那 刚才顿轴化呢，要么在左侧，要么在右侧，现在顿轴在两者之间了啊，那两者之间会有一个问题，哎，如果顿轴在这里负二分之 b， 那 关键是顿轴地方已经取得，是一个最小值，那最大值在哪里取得呢？是在左侧的负六地方取得，还是在右侧的二地方取得呢？ 我们要先分析一个临界情况，就是负六和二的正中间到底是谁啊？那么负六加上一个二，相加之和除以二，应该是一个负二， 所以说，如果顿轴在正中间负二的时候，那两者高度是一样的，那关键顿轴更偏向于左侧还是更偏向右侧呢？所以它又要分为两种小情况讨论，和我们刚才讲那个第一题是一样的， 所以如果顿轴偏向于左侧，也就是说，哎，左侧是一个负六，他离顿轴更近一些，右侧是一个二，他离顿轴更远一些，正好他们的中间啊，中间的话呢，是一个负二，也顿轴在负六和负二之间，所以 又分类讨论，负的二分之 b 在 负六和负二之间啊，大于一个应该是左侧的是一个负六啊，小于等于右侧是一个负二啊。此时把这不等式解一下，两边同时乘二，那中间是一个负 b， 乘二的话，这是负十二啊。小于等于乘二是一个负四， 然后不等式，你可以左边单独解，右边单独解，求出 b 的 范围啊，我就直接解出来了， b 应该是大于等于一个四，小于一个十二， 当 b 在 这范围之内啊，他更偏向于左侧，也就在负六啊和负二之间啊，负六和负二之间。 此时我们知道对轴地方取得最小值，那么话呢，二离得更远一些，二地方取得最大值，所以说当一点二的时候，往里一带，也就是四加上二 b 加上一个三 b， 这最大值减去最小值，在对轴地方取得，也就是负二分之 b。 二 b 往里代化，应该是一个四分之 b 方，减去二分之 b 方，再加上一个三 b， 等于他们的差是二十五啊，然后就算出来四加上一个五 b， 这里面简化是负的四分之 b 方去括号呢，应该加上一个四分之 b 方， 然后这样的话，减去一个三 b， 等于二十五，化简一下，也就是四分之 b 方加上一个二 b 啊。接下来二十五的话，挪过来应该减去一个二十一，等于一个零去分母，也就是 b 方加上乘四，也就是八 b 减去乘四的话呢，是一个八十四等于一个零啊，你可以干嘛呢？你可以吃的相乘，当然话呢，你也可以配方，配方的话有人想吃相乘不太会吗？那我就慢一点啊， b 方加上一个八， b 配方一次向七除以八平方啊，八的平方呢，是四平方，十六加上一个十六，立马给他减一个十六，减八十四等于个零。 前面三指经配方，那就是 b 加四，它的一个平方等于负十六，负八十四挪过来，这位置一百啊，展开的话呢，应该 b 加上一个四，应该等于正负十，就能得到 b 一， 它的结果。 b 一 应该等于一个六啊， b 二的话呢，应该等于一个负的十四，那显然我们的范围是四到十二，负十四显然是要舍掉，所以六目前是没问题的啊。四和十二之间吗？ 哎，那接下来再继续。如果顿轴不是偏向于左侧的负六，而是偏向于右侧的这个二呢，也就是负的二分之 b 啊，在负二和二之间啊，大于等于一个负二，大于等于。刚才等号在负二已经用过了。那我就这边不带等号了啊，没有影响。 负二分之 b 大 于一个负二，这边的话呢，小于一个二就得到负 b， 应该大于一个负四，小于一个四，然后就得 b。 应该啊，大于一个负四，小于一个四 就 b 的 一个范围啊，那 b 在 这个范围之内的话呢，此时我们把它的草图画一下，开口向上吗？啊，在这里画开口向上 啊，顿轴的话呢，更偏向于右侧，也就顿轴离二更近一些，离二更近一些，离负六更远一些啊。所以最小值在顿轴的地方取得，最大值在负六地方取得，也就是把负六往里带，那负六往里带应该是三十六减六 b， 再加上一个三 b 最大值，减去最小值，那就是四分之 b 方，减去二分之 b 方，再加上啊，这个四分之 b 方啊，这个他减去二分之 b 方，再加上一个三 b， 等于二十五 啊，好了，把它算出来，那就是加三十六减三 b 里面还是一样的啊，加上一个四分之 b 方，接下来继续减三 b 等于二十五。 化简一下，那就得到四分之 b 方啊，减去的是六 b， 八十五挪过来话呢，应该是一个角多少还剩一个十一，对吧？这个十一，所以说加上一个十一等于一个零 啊，等于零两边同时乘一个四，那就到 b 方减去乘四，应该是二十四倍的 b， 加上乘四的话，应该是四十四，应该等于一个零。 好了，配方 b 方减去二十四倍的 b， 当你十四相乘也可以啊，你要二四四的话呢，这位置你可以，比如说二十二和二，那负二十二还有负二，其实一下算出来了，当然配方的话，他会比较好理解啊，加上一次性系数一半平方二十四，一半是十二平方一百四十四，给他加一百四十四，再减一百四十四 啊，加上一个四十四，等于零化减一下，前三者进行配方，那就得到 b 减十二，它的平方 等于负幺四四，那么挪到右边幺四四减四四一百啊，展开的话就得到 b 减十二，应该等于一个正负十 啊，等于一个正负十，所以的话呢，现在就能把 b 给它求出来了啊，那么 b 一 的话呢，能够给它算出来啊， b 一 的话，应该能算出来应该多少二十二啊，那么显然是舍掉了，它不在范围之内。范围是负四到四吗？ 那 b 二的话呢，就能算出来应该等于多少？二二减十二等于负十吗？二是在范围之内的，这个是可以的。 好了，所以通过整个分类讨论啊，我算出来了， b 应该等于二或是六，最后一步，我们再验证一下它到底有没有过第三项线啊。那么如果 b 等于二的时候，此时 y 等于 x 方加上一个二， x 加上一个二， x 再加上二三得六，那他过不过这个第三项线呢？开口向上，那你算一下它得二就可以了。如果开口向上与 a 轴没有交点，那肯定的话呢？是啊，不过不会过这个第三项线的，因为他既然他是在下半轴，他都不会过啊，所以得大于 b 方减 c c 二平方应该是四减去 c c 四六二十四小于零。 所以说开口向上与 a 轴都没有交点，那肯定不过第三项线可以的啊，那么这是可以的。那如果 b 等于几？ b 等于六呢？ 带进去，那就得到 y 等于啊， x 平方加上一个六倍的 x 加上三六十八啊，我们也算它得，它等于 b 方减 c c 六六三十六啊，减去四 a c 四乘一个十八也是小于零的， 也就意味着他也是开口向上啊，圆中没有交点，圆中没有交点的话呢，一定都在上面，也不过第三项线也可以。所以啊，我是把先把 b 算出来了，然后验证他过不过第三项线。如果你要先根据他不过第三项线去求范围，那就会复杂非常多 啊，因为我们对于这种分类讨论这种事已经非常轻车熟路了，但是对于过不过第三项线啊，他是理解的不是很全面，所以我们先算 b， 最终再验证过波第三项线。 好吧，那么关于这个问题的话就给大家讲这些啊，后面也会给大家推出一些其他的一些，比如说像啊，范围寒餐的问题啊，有问题大家可以联系我。好，团们再见。

小伙伴在学二次函数这里，然后学校老师引进了一个千锤法去求三角形的面积，他说在学校没怎么听懂，想让我讲一下这个千锤法是怎么一回事。好，那么今天小兵老师就带着大家一起来搞定这个千锤法到底是怎么一回事 啊？这个方法其实他不是一个全新的方法啊，就是我们的三角形面积公式底乘以高处啊，非常简单，所以大家不要担心，他不是什么新的方法。好在讲千锤法之前，哎，小明老师想带大家先回顾一个小学的知识点，没错，小学，小学的知识点，所以不难的。 嗯，这个小学的知识点是什么呢？是一个等高模型，就三角形 a、 b、 c 啊，我们过了顶点 a 去做底边的平行线的话， 那么这个点 a 呢？随便在这条线上移动，比如说他这里移动了点 a 一， 那么新产生的三角形 a、 e、 b、 c， 这个新三角形的面积和圆三角形的面积它是一模一样的，但是呢，这两个三角形你很明显能看出它的形状是发生了改变的，所以呢，在有些题目中，我们圆三角形的面积他不怎么好求的，但是当你 做平行线去平，去把这个点拉动的时候，能够转化，很好转化三角形 abc 的 面积， 这就是这个等高模型吗？为什么这两个三角形面积相等，底边是一样的吗？然后这两个三角形的高都是这两条平行线之间的距离， 所以呢，这两个三角形面积相等的底和高都是一样的，所以它的面积是相等的。好，了解透彻，然后会运用这个知识点呢，之后我们来学牵捶法，十分简单，好看一下。什么是牵捶法呢？就是在一个直角坐标系中，我们随便画一个三角形 a、 b、 c。 好， 怎么个牵捶法？我们过点 a， 做一条垂线， 就竖直的垂线啊，就垂直于 x 轴的，哎，竖铅垂啊，竖直往下的一条线，垂线。然后呢，假设交于这个点是点 d， 那 这个三角形的面积是不是就被分成了左边这个面 s 一 和右边这个面积 s 二。 嗯，这个法是怎么一回事？它的面积整个三角形 a、 b、 c 的 面积，它是等于什么？等于 ad 的 长 ad 呢？它就叫做铅垂高， 铅垂钩。 然后呢，其中我们还要做两条垂线，做平行于 a、 d 的 过点 b， 做一条，然后过点 c 呢，也做一条， 做这三条。然后 bc 之间的水平距离，这就是 bc 之间的水平距离，我们称为水平宽。 我们描一下， a、 d 的 长度表示铅垂高。好，这一段长长度叫水平宽。 这个三角形的面积呢，就可以用什么表示？就可以用二分之一乘以铅垂高， 再乘以水平宽。 哎，这就是老师介绍的千锤法，求面积，求三角形面积公式。好，这到底是怎么来的？为什么等于它？好，请问老师，这里用一下，因为这里都是平行线嘛。所以呢，三角形 a、 b、 c 被分成左边这个部分和右边这部分， 那左边这个部分的面积可以转化，右边部分这个面积可以转化。怎么转化？来看我手法，我们以 a、 d 为底边的话，点 b。 哎，这里是不是一条平行于底边的平行线呢？那我点 b 是 不可以被我拉动，我往下拉，拉到哪里去？拉到和 地点同一水平线上，所以我们把点 b 拉到下面来， 我把 b 点拉到这里，从这一点为 b、 e， 那 么整个三角形 a、 b、 d 的 面积是不就可以被我们转化了？ 我们转化成 a、 b、 d 的 面积，转化成 有蓝色的表示吧。 同样的道理，我们的 a、 c、 d 的 面积是不是也可以转化？好？我把 c 点往上拉，拉到哪里去？也是和 d 点同样的水平线上，这个点拉到这个点上来，我称这个点为 c、 e， 那 么 a、 c、 d 的 面积就可以转化到 a、 c、 e、 d 的 面积， 也就是我们白色的线组成的三角形 abc 呢，可以被我们转化到 abc 这个蓝色线的三角形面积。 那么蓝色线三角形的面积公式等于什么呢？等于底乘以高除以二吗？它的底就是水平宽，它的高呢就是铅垂高。所以在三角形 abc 里面，我们怎么快速的找到蓝色的三角形的底和高，就是我们快速求三角形面积的关键。好， 所以说牵捶法就是用的转化思想来求三角形面积。 好，这里的整个牵捶法就是这样的，应该听懂的。大家好，听懂了大家可以下去拿一道题练练手。

这是一道九下数学必考压轴题，考察二次函数图像性质的综合应用，难度特别的大。今天叶老师通过一道题给大家讲清楚，我们一起来看 这个题，它是以表格的形式给出来二次函数 x 以外的几组对应值，老师把做这类题的方法总结为三步法，那么接下来老师结合这道题，把我们的三步法讲清楚。 那么第一步，首先我们要在这个表格当中找一下对称。好，我们来看一下对称点有什么特征呢？我先随便画一个抛物线。 好，我们都知道抛物线它是个轴对称图形对不对？那么比如说这个点，那么它和哪个点是对称点呢？那就是 这个点是不是？那我们来观察，那么这条线它是和 x 轴是平行关系，所以说它这两个点的纵坐标是不是一样的啊？所以说对称点的特征是什么？就是 纵坐标相同。好，那么对称的点找到之后的话，我们可以确定什么对称轴了，因为对称轴他所对的这个数据呢，是他们两个横坐标的什么终点，对不对？好，我们来看这个题，找一下 有没有纵坐标相同的点，有吧，那就是负四和负四。好，对称点找到了，找到之后可以什么确定？对称轴是 x 等于零加三除以二，这是我们的中点坐标，那就是二分之三了， 我们看二分之三的话，在这个表格里面他并没有给他列出来，那么他大致的在什么？一和三是不是之间，对吧？在正中间这对称轴，那么这边是对称轴的左侧，这边是对称轴的右侧，那么当然左侧的数据给的比较多，对吧？所以说第二步我们就可以根据 对称轴左侧确定开口方向。好，那怎么确定呢？我们来看， x 是 从左到右是在变大，那么 y 呢？是六变的，负四在变六，对吧？它是在变小，那是这种形式呢？还是这种形式？那么很明显，它是不是 y 随 x 的 增大而减小，那么就可以确定出来这个题的开口方向是朝上，对吧？开口向上，那么这是第二步，第三步呢，我们再看一下这个表格有没有 x 等于零，或者是 y 等于零的点，这个点是在 y 轴上，那么 y 等于零的点子呢？它的点呢？是在 x 轴上。 好，那我们来看一下这个表格，有一个 x 去零的时候，它的 y 是 负四，也就是说这个二次函数与 y 轴的交点是零到负四。 接下来我们根据这些信息把这个的大致图像呢，我们来画一下啊。先是开口朝上，对称轴是二分之三，还有一个与 y 轴的交点坐标是零到负四， 那么大概就是长这个样子了。好，尽量把这两段要画的一样的。好这个样子了， x 等于二分之三，这个是个负四。好，接下来我们再来判断下面的选项，就非常的顺畅了啊，下列选项正确的是 a 选项，函数图像开口向下对不对？那么很明显就错了， 函数图像与 x 无交点，看有没有有，对吧？它也是错的，那么它的最小值小于负六，我们看这个负六呢？我们看表格中有没有负六，有吧？对，那么 当 x 取一的时候，函数值是负六，那么大概是在这个地方，对吧？这是个负六，我们再来看，那么这个时候呢，函数接着是不是还在减小对不对？所以说它的最小值呢？肯定比负六小，所以 c 是 对的。 那么 d 当 x 大 于一的时候， y 随 x 的 增大而增大。来看图，那刚才我们这里是一对不对， 大于一的话，那么这段是 y 随 x 的 增大而减小对不对？ g 过了二分之三之后的话才是增大而增大，所以 d 是 错的，答案选择的是 c。 好， 今天老师讲的这三步法都学会了吗？

今天我们集中经历攻克二次函数中的一个重点问题，动轴定区间的最值问题。首先我们把研究对象明确下来，今天先聚焦开口向上的二次函数，也就是 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 这里 a 大 于零是关键条件，它决定了函数图像。开口向上这个函数有一个核心要素，对称轴，计算公式是， x 等于负的 b 除以二 a。 而我们要研究的范围是从 m 到 n 的 固定区间， 大家一定要记清这个核心前提，区间从 m 到 n 是 固定不变的，但对称轴 x 等于负的 b 除以二 a， 因为含有参数，位置是可以移动的。我们求解最值的关键就是判断这个可移动的对称轴和固定区间的位置关系，分情况讨论就能得出结论。第一种情况， 对称轴在区间的左侧，也就是对称轴的数值小于区间的左端点 m。 当出现这种位置关系时，函数在区间从 m 到 n 内是单调递增的 自变量， x 越大，函数值 y 就 越大。所以很明显，当 x 取区间左端点 m 时，函数值最小。 x 取区间右端点 n 时，函数值最大。 第二种情况相对复杂一些，就是对称轴在区间的中间，也就是 m 小 于等于对称轴，对称轴又小于等于 n， 这时候函数在区间内的变化规律是先减后增，图像会先往下走，到对称轴位置达到最低再往上走，所以最小值很明确，就在对称轴对应的 x 值处取得，但最大值需要比较一下区间的两个端点 m 和 n， 哪个离对称轴的距离更远，对应的函数值就更大。 第三种情况，对称轴在区间的右侧及对称轴的数值大于区间的右端点 n， 和第一种情况刚好相反， 此时函数在区间从 m 到 n 内是单调递减的自变量 x 越大，函数值 y 反而越小。 因此， x 取左端点 m 时，函数值最大。 x 取右端点 n 时，函数值最小。总结一下，这类问题的核心思路其实很简单，先确定对称轴和固定区间的位置关系，再根据函数在区间内的单调性， 就能准确找到最值。刚才我们分析的都是开口向上的情况，那如果二次函数开口向下，也就是 a 小 于零时，这些结论会发生什么变化呢？其实规律是相通的，只是函数的单调性会反过来。我们可以自己推导一下，看看开口向下时，不同位置关系下的最值又该如何判断。