证明2=3错误步骤

一九九九年被大家戏称为高考惨案，这也是继一九八四年之后，又一次同学们哭着考出考场的。其中第二十三题，这道代数压轴题被同学们戏称为地狱难度，很多人让我私信讲一下，那么我们一起来看一下这道题。 据说这道题能读懂的人当年都是学霸，那我们看看他到底说了什么。已知函数 y 等于 f x 的 图像是自原点出发的一条折线，当 y 大 于 n 小 于 n 加一时， 该图像是斜立为 b n 次密的线段，其中正常数 b 不 等于一设竖列 x n 由 f x n 等于 n 这个函数来定义。这道题有三问，第一问，让求 x 一、 x 二和 x n 的 表达式。 我们先给大家来分享这个第一问，还是用拆题法的思路来给大家分享。我们首先来看这个题目到底说了些什么，就是拆信息，如果这些信息拆不出来，确实是无从下手。这个题怎么做？ 第一条信息，题目说 y 等于 f x 的 图像是自原点出发的一条折线，我们就说这个 y 等于 f x， 它是一个分段函数， 且每一段都为依次函数。第二条信息，当 y 大 于等于小于等于 n 加一的时候，那么该图像的斜率为 b n 次的线段，它就是定义每一个依次函数图像的斜率。 依次函数的图像为一个线段，那么这句话是定义它的斜率 k 是 等于 b n， 那 么第三个信息，这也是同学们很难理解的一个信息，就是竖列 x n 由这个函数来定义，也就是说这个竖列 x n 是 由这个 f x n 等于 n 这个函数来定义 这个竖列，就是当函数值取到这些自然数时候的自变量，就这样来定义。再看看题目给的第四个信息是什么？ 题目说的函数图像自原点出发，也就说这个函数图像过原点，那么 f 零是不是就等于零？那么有以上四条信息，我们就可以来做这第一问了。首先求 x 一， 我们知道 f x 一 等于一，当 n 等于一的时候， 那么 f 零又等于零，所以这个函数在第一段，它的斜率我们就可以表示出来了。我们用 k 一 表示，它是等于 f x 一 减去 f 零， 再比上 x 一 减去零，那么它第一段的斜率是等于 b 的 n 次方，也就是 b 的 零次方等于一。我们分别将那些数代入 f x 一 等于一， f 零等于零，那么既得到 x 一 分之一等于一，从而求得 x 一 是等于一的，这是求到第一个值，那么第二个值 x 二。我们很自然的就直接套用这个第一步来做，那么要求 x 二，我们知道 f x 二，根据题目给出的这个定义， f x 二是等于二的， f x 一 又等于一，现在又求出了 x 一 也为一，那么现在要求 x 二， 也就是 f x 二减去 f x 一， 将这个图像的第二段的斜率给它表示出来。我们也就说用 k 二，它是等于 f x 二减 f x 一， 那么再比上 x 二减去 x 一 等于 b 的 一次方，也就等于 b， 那 我们将这些数分别代入，既得到 x 二减一分之一是等于 b 的， 从而求出 x r 是 等于 e 加上 b 分 之一。第一个还要让求 x n 的 表达式，那么要求 x n， 我 们看它是对应着这个函数图像的 d n 段，那么它的斜率按照上面的表示，我们就 k n， 它是等于 f x n 减去 f， x n 减一，那么就等于 b 的 n 减一次幂。 我们将 f x n 和 f 的 x n 减一分别代入，就是 n 减去 n 减一，其实就是等于一。那么这个式子即表示为 x n 减去 x n 减一分之一，等于 b 的 n 减一，等于 b 的 一减 n 次幂。再改写一下，记得到 x n 减去 x n 减一，等于 b 的 一减 n 次幂。 如果我们将 x n 减去 x n 减一，当做一个竖列的话，再看它的第一项，也就是 x 一 减 x 零， 将原点看作 x 零点。 x 一 为一，那么它的第一项是为一。它的公比 q 是 等于 b 分 之一，所以竖列。 x n 减去 x n 减一，这个竖列是一个首项为一，公比为 b 分 之一的等比竖列， 所以 x n 减去 x n 减一，即等于 a 一 乘以 b 分 之一的 n 减一次方，等于 b 分 之一的 n 减一次幂。这是我们上面求出的这个式子。 那么现在要求这个 x n 的 表达式，我们就直接将这个新数列从第一项一直到这个第 n 项，用累加法就行了， 也就是它的 a 一 一直加到 a n， 最后得到 x n 就 等于一加上 b 分 之一，再加上一直加，加到 b 分 之一的 n 减一次幂。 那么这个就相当于是这个等比狩猎的前一项和求和等于一减去 b 分 之一的 n 次方。比上一减去 b 分 之一。 在分子分母同时乘以一个 b， 就 等于 b 减一分之， b 减去 b 分 之一的 n 减一次方，这里的 n 等于一二， 这就求出了 s n 的 表达式，这就是第一问，到这就解完了，那么再来看一下第二问。第二问是求 f x 的 表达式，并写出去定义域，那我们看一下。首先我们将题目的大致图像给它画一下，可能更有利于理解。那么这个函数我们前面第一问分析了，它是一个分段函数， 现在要求 f x 的 表达式，我们看看当 x 大 于零小于一的时候，这个函数图像其实就是 y 等于 f x 这一段，那么在一到二这一段， f x 在 这里， 那么其实这样一个形式我们对应的看，假如这个点是 a， 这个点是 b 的 话，根据题目的意思画出这样一个简图之后，我们来看看。由第一位我们知道， y 大 于等于零小于等于一的时候， y 等于 x， 也就是 f x 等于 x， 那 么再看看它在一和二这个区间的时候， y 大 于等于一小于等于二的时候， 那么 f x 是 不是等于这一段等于一，再加上 ab 这一段，那么 ab 这一段其实就是等于 x 减去一减去这个 x 零，再乘以它的斜率是 b， 那 我们以此类推， 当 y 大 于等于 n 小 于等于 n 加一的时候，那么可以求出 f x n 的 表达式。那具体的写出来就是由一知，当 y 大 于等于零小于一的时候， y 等于 x， 也就是当 x 大 于等于零小于等于一的时候， f x 是 等于 x 的。 那么在当 y 大 于等于 n 小 于等于 n 小 于 n 加一的时候， 那么这个时候其实也就是 x 大 于等于 x， n 小 于等于 x， n 加一的时候， f x 的 表达是 f x 就 等于它这个前一段，也就是 d n 减一段的最值 n 再加上这段的斜率 b n 次方， x 减去 x n 这一段横坐标的值乘以斜率，也就是我们说的这个 y 轴这一段加出来的值，那么这里头的 x 是 大于等于 x， n 小 于等于 x， n 加一 n 取值一二三一直到 n， 这就是这个函数的表达式。 那么题目现在要让我们求出的 x n 的 表达式，就是求出这个 x n 的 取值范围。 第一步，我们求出来 x n 就 等于 b 减一分之， b 减去 b 分 之一的 n 减一次方。 那么题目又说了， b 是 一个正常数，且 b 不 等于一， b 大 于零， b 不 等于一，要求它的取值范围，我们就需要对这个 b 的 取值进行讨论。就第一种情况，当 b 大 于零小于一的时候，这个时候我们就对 s n 直接取极限。当 n 趋于无穷的时候的 x n， 它是等于厘米，它 n 趋无穷大， b 减一分之， b 减去 b 分 之一的 n 减一次方。 由于 b 是 大于零小于一的，那么这里分母是大于负一小于零的一个常数，那么分子部分是一个负无穷大，那么它最后这个部分就当 n 趋无穷大的时候， x n 也是趋无穷大的，那么它的定义范围也就是零到无穷大。 那么第二种情况，当 b 大 于一的时候， x n 的 取值范围 n 趋近于无穷大的时候的 x n， 它是等于 limit， n 趋无穷大， b 减一分之， b 减去 b 分 之一的 n 减一次方， 那么这个时候 b 分 之一是一个大于零小于一的数， n 去无穷大的，它是零，那么这个数字是趋近于一个常数，就是 b 减一分之 b， 也就是说当 b 大 于一的时候，这个函数的定义域范围是零到 b 减一分之 b， 这就是这个函数的定义域，也就是我们第二问的答案。再来看这个第三问如何证明， 也就证明 y 等于 f x 的 图像与 y 等于 x 的 图像没有横坐标大于一的焦点，因为这个题表述的就很绕口，我们看看它到底是什么意思。那我们经常说像这一类问题，焦点问题和这个方程有解的问题， 和函数值相等的问题，我们经常是进行互换。那么第三问让我们证明的这个结论，相当于说我们引入一个辅助函数，令 g x 等于 f x 减 x 等于零， 就是这个方程在 x 大 于一的这个区间内无解。也就是说当 x 大 于一的时候， f x 大 于 x 或者 f x 小 于 x 横乘以就相当于是要证明这个，那我们再看看题目当中给出的这个参数， b 只是大于零不等于一，那我们就需要对参数 b 进行分类讨论。第一种情况， 当 b 大 于一的时候，我们前面第二个已经有做出来， b 大 于一的时候，这个函数的定义域 x 是 属于零到 b 减一分之 b 这个范围内，我们就只需要证明在一到 b 减一分之 b 啊，这就是开区间，在这个区间内， f x 恒大于 x， 就是 f x 大 于 x 横乘立，或者是 f x 小 于 x 横乘立，那我们结合这个函数的图像，大致的看一下， 零一这一段，它是 y 等于 x， 就 当 x 大 于一的时候，也就是说这个一次函数的它的斜率越来越大，就当 b 大 于一的时候，这个函数图像应该是不断的趋向于 y 轴，越来越靠近于 y 轴，这是 b 大 于一的一种情况。假如这是 y 等于 f x， 就 当 b 大 于零小于一的时候，它是越来越靠近于 x 这样一种情况， 它的斜率越来越小。所以我们就看当 b 大 于一的时候，我们只需要证明 f x 减 x 大 于零，横成力在一到 b 减一分之 b 这个范围内，或者说是 f x 大 于 x 横成力，只需要证明这个就好了。 我们就看第一段，就当 n 等于一的时候，也就是这个第二段。 f x 是 等于一，加上 b 乘以 x 减一，那么我们将它和 x 做差，也就是 f x 减 x 是 等于 e 加上 b 倍的 x 减一，再减去 x 给它做因式分解，就等于 b 减一，再乘以 x 减一。 当 n 等于一的时候， x 减一是大于零的，那么 b 又大于一，所以这两个式子分别都大于零。 f x 减 x 恒大于零，也就是有 f x 恒大于 x， 那 么我们假设这里用到一个归类法来证明 n 等于 k 的 时候，也就是 x 属于 x， k 到 x k 加一这一段的时候，恒有 f x 大 于 x， 也就是 f x k 加一。根据题目给出的这个定义，它也是等于 k 加一的， 那么 k 加一是大于 x 的， k 加一，那么就当 x 属于 x， k 加一到 x k 加二这一段的时候， 根据我们第二文求出来的 f x 的 解析式，它就应该等于 k 加一前一段的最大值，再加上斜立 b 的 k 加一是 m， x 减去 x， k 加一，这个时候有 f x 减去 x， 即等于 k 加一， 加上 b 的 k 加一是 m， x 减去 x， k 加一，再减去这里的 x， 我 们用 x， k 加一代入，就这样一个数字，由于 k 加一大于 x 的 k 加一， 将它整理一下， k 加一，减去 x 的 k 加一，加上 b 的 k 加一是 m， 再乘以 x 减去 x， k 加一， 这个是大于零的， k 加一，又是大于 x， k 加一的，所以这个恒大于零，也就是 f x 大 于 x， 恒成立。 由这个一和二我们可以得到，当 x 属于任何自然数，就属于 n 的 时候， x n 在 x， n 到 x， n 加一上都有 f， x 大 于 x 恒成立， 也就是说 y 等于 f， x 与 y 等于 x， 这个图像没有横坐标大于一的焦点，这是第一种情况，那么我们再看第二种情况，当 b 大 于零小于一的时候，也就是 x 属于零到正无穷这个范围内。我们要证明 x 在 一到正无穷这个范围内， f x 减 x 横小于零，也就是对照的第一种情况的这种证明。我们分别用，当 n 等于一的时候完了假设最后递推，也就是用归类法来证明。第二种情况， 当 b 大 于零小于一的时候， f x 减 x 横小于零，也就是 f x 小 于 x， g， y 等于 f， x 图像与 y 等于 x 的 图像没有横坐标大于一的交点， 综合一二，也就是第三。问得正好，这个题到这就讲完了，回头我们看一下对照的解题王当中给大家总结出来的命题点。其实这个题考察的是函数的定义，那么其中蕴涵着函数的思想。第二，等比数列， 第三个极限的概念，数列极限，那么这里头有归纳法、数形结合法， 应该说是考察的知识面特别宽。那么同学们也看到，逢是函数与数列题一结合，像二零二二年的新高考一卷的那道压轴题，也是函数与数列题的结合，就会出现特别难的情况。好，这个题也给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。