高三南充数学立体几何压轴

之前咱们发过一个包含十个资料文档的立体几何压轴题十大题型总结，里面囊括了立体几何从节面轨迹到各类球范围，还有球类问题等，内容比较多，比较适合时间充足， 尤其是目前还是高二的同学系统性学习。对于高三大部分尖子生来说，要拿下立体几何多选压轴题，核心是要熟练处理和计算各类立体几何动态问题。这份微专题资料就是帮助大家来突破这类问题的。他把立体几何的动态问题归为轨迹折叠和展开，以及最直范围问题。 对于这三类问题，每一个分类问题的最前面都是题目的规律和方法，然后才是例题。这类题问题的方法和思路都是寥寥几句话，大家就知道，不难不复杂。 这类题难点在于计算，所以务必要多见识不同题目和情景条件，然后勤加练习。想解决好这类题，唯有多练习。高三的同学基础稍微好一些的也可以不用看这三块的立体，直接做强化训练。这个专题的强化训练，正好是编制成了一 份十九道题的新结构试卷，只是这份卷子里单选、多选、填空和大题都是立体几何的动态问题，大家不妨把这个专题测试卷做一做检验下看看，尤其是立体几何的大题，务必确保计算的准确率。

立体几何几何法究竟有多强？能把选择押韵题变成小学口算题？主播的细频让数百万烤箱醍醐灌顶，几乎在学校白学了。让主播用几何法带你秒杀立体几何小题， 今天带大家用几何法秒杀一道非常好的立体几何问题。这道题用间隙的方法做十分困难，而用几何法几行就能秒掉它。 好，我们来看题目，在矩形 a， b， c， d 中， a， d 等于四，等于四倍 a， b， 所以 a， b 等于一， e 是 b， c 的 中点，所以它俩都是二。然后将三角形 a， b， e 沿 a， e 翻折至 b 撇，得到这样一个四棱锥，然后 m 是 b 撇 d 的 中点。 那么首先看第一问 c m 是 否平行于这个 b 撇 a， e， 这是很显然的，因为我们只要过 m 做 a 撇 d 的 一条平行线， 这个交于 n 点，我们再连接 e、 n， 那 我们会发现 m n 就 等于二分之一的 a， d 等于二，正好它也等于 e c， 而且我们还有 m n 平行于 e c， 所以 说四边形 c m n e， 它就是平行四边形，那么自然就有 c m 平行于平面， 而这个 a 选项给 b 选项做了一个很好的提示。第二问它问 c m 的 长是否为定值。我们光看 c m， 我 们是看不出来的，但是这个平行四边形达到了一个 转移的效果，就是我们把 c m 转移成了 e、 n 这条边，那么 e 点就是这个 e 点， n 点呢？是 ab 撇，也就是 ab 的 终点。 那我们知道 e， n， 它就是三角形 b n e 的 斜边，所以说 e n 的 长，它就等于根号下四加二分之一的平方，就等于二分之根号十七，也等于 c m， 所以 它自然是一个定值， 那么这种转化的思想是非常重要的。 c 选项，它体阶最大值为，我们知道，呃，这个四棱锥，它的底面 s 是 固定的，就是这个 a， e， c， d， 它的底面 s 就 等于四加二乘以一乘以二分之一 等于三，而他的高呢？如果想要 v 体积最大，那么只要让高最大就行了。那么什么时候高最大呢？是不是当切近，当 a， b， e 垂直于 a， b， c， d 的 时候，那么它的高恰好就是过 b 做 a e 的 垂线，这垂足为二好吧，那么 h 的 最大值就是 b 二， 而这个角是一比二的角，那么 b r 的 长度就是五分之二倍，根号五。所以说体积的最大值就等于三乘以五分之二倍，根号五。再乘以三分之一，就等于五分之二倍，根号五，所以说 c 是 错的。那么再看 d 项， 说 c m 与平面 a， e， c， d 所成角的最大值，我们知道 c m 和 e n 是 平行的，所以说它所成的角就是和 e n 与底面所成角最大值是一模一样的。那么 e n 有 什么好处呢？我们过 n 往底面做垂线， 首先我们知道 e n 的 长是固定的，等于二分之二十七，对吧？那么它这个所乘角呢？这个 c 的 角是不是正好就是 s 角？ n e， s 这个角是不是就是它的所乘角？那么如果想要它最大的话，只要让什么最小就行了，只需要， 只需要让什么最大，只需要让 n s 变得最大，对吧？而 n s 最大值我们已经求出来了，因为过 n 往这做条垂线，这个 n s 的 长就是边的长的一半，就是五分之根号五，所以说当其仅当 n s 是 五分之根号五的时候， 它的这个角是最大的，而这个 sin 值等于，呃，这可以写成一比根号五，对吧？然后呢，再比上二分之根号十七，等于二比根号八十五，它肯定不是二分之一，所以最大值一定不是六分之派。 那通过这种几何法的方式，是不是就把这种很困难的问题变得非常简单了？那么这道题就选 a b。

我们来看一下，一个大球里面包含三个半径相同的小球，那么这个球的半径最大值应该是多少？我们来思考这么一个问题，首先我们看第一个图， 我们把三个小球半径相同，给他放到一个大球里面去，那么这三个小球之间他们的球心的连线应该是什么呢？应该是一个等边三角形。看第二个图，我们假设连接 o 一 o 二 o 三 好，那么他的半径，我们假设设小球的半径为小二，大球的半径为大 r， 那 么显然大球的半径一定会等于一个小球的半径，加上什么呢？我们注意看这个图，这地方他显示一个小球的半径， 那么一直到相切的这地方，他肯定是大球的半径。那么其实我们只需要求什么呢？只需要求等边三角形的这个长度好，而由于他是个等边三角形，这地方很显示等边三角形的中心， 而我们等边三角形是四心合一，那么四心合一的话，我也可以说这个 o 是 这个三角形外结圆的圆心， 对吧？我们首先要知道这个三角形它的边长就是我们两个小球的半径二二，所以三角形外角边的半径就是三分之根号三倍的边长，边长是不是二二，所以就等于的是 小二，加上三分之二倍根号三二，这就是我们大球的半径。那么再来看，如果他是四个半径相同的小球放到一个大球里面去呢？我们依然是看第二个图， 我们把四个球的球心之间给他连接起来，他其实就得到一个正四面体。 什么叫正四面体？就是四个面都是全等的等边三角形，所以我们光看这个地方，他肯定是小球的半径，我们还是记为小二，所以大球的半径肯定是等于小球的半径，加上什么呢？我们主要算这个长度， o 一 到 o 的 距离， 我们把它画出来。而我们这正四面体，它的边长恰好是我们两个小球的半径之合，也就是直径，所以是二二，那么每一条边都是二二。 那我们要知道有个常识，这三条边相等，所以 o 一 在底面的投影是三角形 o 一 o 二 o 三的外心。 我们假设基围 m 点，而 o 二 m， 它显然是我们三角形 o 二 o 四 o 三，它的一个外接圆的半径。 由于底面它是个等边三角形，所以外接的半径就是 o i m， 它就应该等于的是三分之根号三倍的二二。 而我们这地方，他以其实这四个点他应该在他的外接球上。那根据勾股定律，所以正四米的高就应该等于的是根号下四倍二方，减去三分之四倍二方，就等于是 根号三分之二倍根号二的 r。 由于正四面体它属于特殊的正三等锥，那么正三等锥的外接球半径公式就是二倍 h 分 之侧等的平方就是二倍二括号的平方，那么就应该等于的是二分之根号六 r， 所以 整个大球的半径就应该等于的是小球的半径，再加上他外接球的半径，那就是二分之根号六倍的 r。 同理，如果是大球里面放六个半径相同的小球，那么六个球心之间连起来，他应该是一个正八面体，而我们正八面体的边长恰好就是小球的直径， 那其实我们还是可以给它拆分成一个小球的半径，加上正八面体外接球的半径，那么由于我们的边长是二二里面是一个正方形，那么正方形的外接圆的半径 就应该是也就是 o 五 o， 他 应该等于的是二分之根号二倍的边长，那就等于根号二倍的二，所以大小的半径就应该等于小二加上根号二倍的二。 那么大家可以来做一下这道贵阳市高三质检题的一个多选押题，自己独立完成一下。

高三外接球类型题怎么解？让潘老师手把手教你！这是个正三棱锥，大家一定要注意画图。正三棱锥 a b c a b 杠三 a 杠五， a e 是 它的四等分点，过 e 呢，做 o 的 结面，结面半径咱知道 o e 与该结面所成的角，这个 e 点，大家不管怎么样，它就是求 球中的一个点，再画一个矢图球心 o， 这是 o e 过 e 点的这个结面，大家看 o e 的 长度可求对不对？ o e 长度，这是 m o e 的 长度可求，咱们要的是这个线面角奇的，所以大家看赛奇的 应该是 hbm， 要明确一个解析方向，二方等于斜面，面积是十六分之十三，派对二方是十六分之十三。咱们去要求的是大球球心 o 到点 e 的 距离。研究一下这个正三楞锥 和它的外接球。正三楞锥顶点在底面的投影是底面的中心，这是根号三。变化是根号三乘以二分之，根号三 再乘以三分之二，应该等于一，这是根号五。对，这是几，这是二吧。 q 是 三楞锥外接球直径所在，根据伸展定律，一的平方等于二乘二分之一，所以说这段长度是 二分之一，明白啊，这样球的直径很容易就得到了，它等于二加二分之一，这样化大 r 就 等于四分之五，对吧？然后 h 的 平方咱们就知道了， h 方等于 大， r 方减小 r 方等于十六分之二，十五减十三，也就是四分之三，这样化小 h 是二分之根号三。下面呢，咱们看一下。 o 点在求球心 o， o 点在 p q 的 中点，这时候大家看这个大 r 等于是四分之五，四分之五减去这个二分之一，这块的长度是多长？四分之五减二分之一是多少？这是四分之三，咱们要求的是 o e， 所以 咱们需要求 o 二 e 的 长度，这样的话才能得到。根据勾股定律得到 o e 这个 o 二 e， 咱们应该把这个等边三角形拿出来研究这个底面的等边三角形反面比较紧张了， c a、 b 等边数，请大家凑合理解一下，这是 o 二四等分点，刚才这是一，所以说这块是多少？二分之一吧，然后这个 h 点没有啊，这块是 h 的 话，它是四分之二三，然后根据勾股定律，大家看 o 二一方等于四分之一，加十六分之三， 十六分之几，十六分之七，对吧？这是 o 二一方加上 o o 二的平方，这是十六分之九。这时候咱们有惊人的发现，根据勾股定底，大家发现 o e， 因为 o e 的 平方等于 o 二， e 的 平方加上 o 二的平方正好是减，所以这时候 sin x， 它 sin x 是 不是等于 h b m 二分之二三？对，这样的话它是多少度？六十？