函数糖三角

平方差公式想必大家都很清楚，但三角函数平方差公式你又了解多少？回答我， 呦嘿妈，话不多说，一节课帮你搞定三角函数平方差所有公式，包括但不限，鱼尾酱蜜公式、正弦差公式、余弦差公式、 正义闲差公事这个伪诈公事每年都说是高考新宠，反正说了十多年了，我也不知道他在新宠什么，从一几年就开始说了，说吧，现在还是现在还是，我天天看老师拿这些当噱头，反正我也不知道他在讲，他在说什么好，但是这些这个事确实在有些公式里面，有些题目当中我们可以用到。好，我们先看这个，这个就是你们浙江某一年的高考题， 他告诉我在三角形 a、 b、 c 当中，这个小 a， 小 不小 c 分 别是 a、 b、 c 的 对边，他告诉我角 a 等于四十五度，然后给了我们这个公式， b 的 平方减 a 的 平方等于二分之 c 的 平方。接下来让我们求他听 c。 好， 那抛开了公式不怕，我们先看这个题，但这个题要做的话，先告诉我你应该怎么做？ 先，两边都加一个 c 方，两边这两边都加一个 c 方。对，你为什么要加 a 方呢？因为就变成 a 方加 b 方减 a 方， c 方加 b 方减 a 方， b 方减 a 方加 c 方等于一个。这个也加 c 方吗？啊，是的，二分之三 c 方，二分之三 c 方，然后是变成一个 b 方减 a 方，然后呢？啊，不是变成 b 方加 c 方减 a 方。啊？啊，行， b 方加 c 方减 a 方，然后等于这个，对，然后呢？呃，然后就可以知道，呃，这个， 这个口塞，口塞 a， 口塞 a， 这个这一团是给它代化成那个余弦公式，对吧？对，余弦公式，这个余弦公式就等于啥？ 二，二 b， c 分 之这个，然后上面的就用 c 换，不对 a， 是 不是这个？对，对口对 a， 然后等于二分之一 c 方。好， ok， 那 就是二 b c 乘以一个二分之二二分之一 c 方，然后接下来下一步呢？把 c， 你这里得到，是不是一个 b 和 c 的 关系啊？哦，对，然后把那个变成塞 b 塞 c。 好， 塞 b 塞 c， 然后 b 的 话用那个 a 加 c 代， a 加 c 代。很好，它等于塞 a 加 c， 对 吧？嗯， a 加 c， 然后等于二分之一的塞 c。 好， 这里我们只要把这个 a 带进去，它等于根号二倍的塞 四分之八加 c， 零二分之一的三 a c， 这个我们只要展开，我们是是不是就能够求出三 a c 啊？对，对啊，三 a c 求出来，是不是我们 cosine c 就 求出来了？嗯， cosine c 求出来，然后 cosine c。 我 们研究很好，这几种方法很好，非常好，打一一好，还有没有别的方法？ 嗯，还有没有别的方法？可以多想一下？把 b 方 a 方变成赛方 b 减赛方 a， 然后。然后呢？呃， 然后的话，然后干嘛了？嗯嗯，首先 a 是 可以代掉的。嗯，哎，你看我们这里，因为它要求的是它的 c， 所以 我们是不是想法就是把 b 和 a 都用 c 来代化？嗯，对吧？ b 和 a 都用 c 代化 a， 我 们在这里是可以直接求的，没问题 b， 所以 我们先把 b 除以 b， 它等于什么？除以什么？ 除以 a 加 c。 对 啊，除以 a 加 c， a 加 c， 然后这个除以 a， 这个我们是不是能够知道它等于二分之根号二的平方二分之一二分之一好，等于二分之一 a c 的 平方。好，这里所以说三 a 加 c， 这里我们也能写，它就等于四分之二加 c， 减去一个二分之一等于二分之一 三 a c 的 平方，然后是不是想来给它展开啊？对，给它展开，然后是不是我们可以得到一个关于三 a c 的 二次函数啊？嗯，关于三 a c 的 二次函数，这里我是不是也能把三 a c 给走出来，对吧，对吧？最最不济，咱们用我们的公公式，我们也能求公式。好，这是法二，大家不能说法三。还有别的方法吧， 你看还有没有什么画，你看我们在你这个方法下能不能做一些小小的变形啊？同同同时除以。 呃，只除以三方，你要同时补的话，你要因为你要想得到 candy， 是 不是要同时同时除以 coating 呀？嗯，对吧，但是你同除以图片只能因为你要得到 candy c， 你 是不是只能同除以 coating a 呀？嗯，对吧？ coating， 但是同除以 coating a， 你 要这一个没法画呀，这个 a 就 怎么办啦？这个 a 本来是已知的，你要除除是不是变成未知了？嗯，对吧？这个没法画的， 这空除在这里可能代号，是不是我们可以想在这里稍微做一下变形，这个我是不是也可以给它变成一个上引啊？上引 b， 对 吧？上引 b 加上一个上引 a 啊，是不是也可以变成一个这个东西啊？这个，那个，同理，我这里面的 b 我 是不是可以给它代化，对吧？ a 加 c， a 加 c， 它就是上引 a 加 c， 这个 b， 它也是一样上元加 c 嘛？上元加 c， a 加 c， 我 这里面 a 是 不是已知啊？对吧？ a 已知， a 已知，然后把这里面展开也可以算，这个也可以，其实跟这个方法差不多，差不多。好，我们再来一个方法，再来一个， 他说，比如说你看这个字呢？我可以等于这个字，这个字其实它可以等于什么？它可以等于这个就这一坨 b 的 平方减去散 a 的 平方，它可以等于什么？它可以等于一个散引，括号 b 加 a 等于一个散引 b 减 a。 啊，有没有学过这个数字？ 嗯，好像上节课讲到过了，上节课讲到我讲的还是谁讲老师讲的那个什么计划和差，计划和差，这个不是计划和差，这个是啥？这个是那个， 这个叫平方差公式。平方差公式？谁讲的？平方差公式？其实它是一个二级的，你知道吧？它是一个二级的，只要是就说你们老师都没讲过，没讲过，那肯定是可能没听说过二级的，它是一个二级的，那个二级的，你看我们可以稍微给他小问一下，小问一下，它就是最小差公式，它就指的是这样， r 的 平方减去 pi 的 平方等于一个 pi， r 加 pi 等于一个 pi， pi 它会减 pi， 就这也是他这样一个是看这个时候我们可以小小的给他证明一下，小小的证明一下，让我们来小小的证明一下。我们来个最简单的吧，直接从啊，从这边，从右边开始，我觉得稍微简单点，因为右边我们可以打开嘛，右边用它的右边，它就等于一个 size a， 一个 cosine 杯，然后一个 cosine a 杯， cosine a 杯，然后这边我们同样打开，就是 cosine alpha， cosine a 杯， ok， 接下来你看这个字，我们是不是刚好可以用我们的平方，差公式，对吧？啊？差公式，所以它要等一个除以 alpha 啊， cosine beta 的 平方， 减去一个 cosine alpha 单倍它的平方。好，接下来因为我要得到什么？我要得到 alpha 的 平方，减去单倍它的平方，所以我要把 cosine 都换掉，对不对？我要把 cosine 换掉，所以在这里我就得到 alpha 的 平方，然后在这里乘以一减去 alpha 的 平方，然后减去一个，一减去一个单倍它的平方，一减三， 然后这里你看我们这里拆开之后再一剪一下，其实最后我们一画剪之后得到就是一个三点二的地方，再去三点二的地方。你看这个，为什么跟你说这些公式？其实你有别的方法可能更好，但是如果你没想到别的方法，你刚好看这个式子，看这种式子， 看这个式子，我是不是刚好在，尤其在小题里面，我是不是可以直接用这个节奏呢？用这个节奏我就可以做起，做的非常快，做的非常快。但一个话题里面你要遇到这个，你想用，你要稍微震一下，这样稍微震一下，知道吧？你要稍微震一下才能用，如果不震的话，他可能会扣你分，这就得不偿失。 就在这里看，这里就一样，在这里我就三 b 加 a， 三 b 减一点，二分之二分之 c。 在 这里，然后下一步我就可以写成一个，你看三 b 加 a， 三 b 加 a 是 哪啊？ 三 c， 对 吧？三 b 加 a 就 三 c 一 样，所以你看刚好有个三 c， 所以 你在这里就可以得到一个三 e c， 三 e c， 那 我们的三 b 减 a， 我 是不是也可以用 c 来表示啊？嗯，对吧，我也是一样可以用 c 来表示。三 e c 来表示。三 e b 减 a， 你 看我的三 e b 减 a， 比如说，我们就是啊， pi 吧。 pi 减 c 减 a， 它减 c 减 a， 是 谁呀？ a 减 a， 对 吧？这是不是减个 a 啊？嗯，再减个 a， 再减个 a， 等于。等于这个东西等于这个东西。你看，我们来说，接下来我们来看这个 a 减 c 减 c 减 a 减 a 减二倍的 a， 它就是减二分之 pi， 那 我们最后得到一个上一个四分之 pi 加一个二分之 pi 减 c 等于什么？ pi？ 好， 哎，上一个二分之 pi 减 c 等于什么？ 写什么啊？等于 cosine 等于 cosine， 对， cosine 即变五遍 for 看见线了，好，这一个函数。好，这里也再补充一下，如果我说一个 pi 减去四分之 pi 加 r， 啊，啊，加 c。 来告诉我第一步语法公式写成什么？呃， 来告诉我写成什么？第一步语法公式，我们是不是想先把这个 pi 给消掉啊？要把这个 pi 消掉，把这个 pi 消掉。所以今天怎么写 pi 变成你老公？是啊，知道你有这个位，因为小明有这个位，他也不会是这个。所以呢，好，变成塞塞塞 c 减四分之 pi， 塞 c 减四分之 pi 来告诉我，为什么是这样变呢？因为， 因为你是不是可以把这个整体看成一个 r， 对 吧？你把整体看成 r， 它就变成一个 pi， 对 吧？ pi 加上这一个 r 来 pi 加 r 加 r 加 r， 第几项线啊？ 啊？派加法，第三项形？对，第三项是逆角吧？第三项，所以是不是要加括号？是的，是吧？啊，就出错了，所以他问你，所以他最后因为他又是一个积函数， 所以他是不是可以写成三四分之派减 c 啊。嗯，好吧，这东西所以说我单独不同这一个看你的公差熟不熟。所以这里固定 c， 所以 它这里等于二分之一等于 c 的 平方所以在这里它就是一个 c c 等于 a c a 的 平方。好，写，在这里来告诉我这里 c c 和 c a c 能不能约掉？ 大于和小于 c 能不能约掉？不能。为什么不能？因为我还不确定这个 c 是 钝角还是锐角它 c 无论是钝角还是锐角你都可以约啊 c 只有什么时候不能约啊？ 呃它无论是钝角你钝角和锐角的区别无论是钝角还是锐角你杀一眼，首先你就算觉得它有大于你小一点的分，但是你无论是钝角还是小于一的，我们三也是不是都是正的呀？ 啊是的，大于都是负的也没关系啊，你负二乘以 b 等于一个负二乘以三，你这个负二就不能约了吗？是不是也能约啊， 对吧？你负的也是一约啊，不管他是角锐角啥的他是哪的负的都能约他只有一种情况下不能约是不是等于零的情况下不能约，对吧？只有等于零的情况下不能约，所以在这里他是能约的。因为为什么？因为我们的剩余 c 他 不等于零，他是角度啊等于零的，所以你就可以直接约所以在这里是不是可以憋着啊？后天得二分之一的大于谁啊 对吧？对的，在这里我是不是可以直接求它呢？对吧它就直接求出来。这是这是我们第四种，好吧，还有一种，还有一种就是刚刚说的用到的这个啊，这个啥？就这个什么尾加尾数四，尾加尾数四，这个你看 a 的 平方减 b 的 平方除以 c 的 平方，这个字刚好就是我们这里 这个，这个你看我是不是刚好就可以写成 b 的 平方减 a 的 平方除以 c 的 平方等于二分之一啊？看见没？我刚好就可以写成这样的东西，刚好写成这样的东西。你看这一坨，它这里会告诉我们 a 的 平方减 b 的 平方和 c 的 平方等于对口，你看连这个口，我们所以刚好就可以用这个公式，但 c 公式 我们第一次见吧？第一次见我们可以小小的给他证明一下，那我们来给他证明。这个证明的方法也特别多，无论从左边正，右边正都可以。当然我们现在就可以肯定直接来个最简单的，来个最简单的，我们来最简单，直接来左正右，从左边，从左边开始左，我们到左，它就等于对准，我们直接用正弦定力，对吧？第一步，正弦定力先定 a 的 平方 除以 b 的 平方除以一个三一 c 的 平方。好，接下来告诉我下一个怎么办？ 下一步的话看这里啊，三 a 减 b， 所以 你在这里是不是想的上面，上面，你基本上面上面这一坨，你肯定你目前的想法，你肯定是只会想的是写，写成什么三 a 加上三 b， 对 吧？是这种形式啊，或者是然后这种。但是你有没有想过刚才我们是不是证明了一个公司？ 嗯，证明了一个三 a 加 b 乘三 a 减 b。 对 啊，就是在这里我可以写成三 a 减 b， 等于一个三 a 加 b。 我 为什么不给你想这个？是因为是因为你们现在， 现在我觉得还是打基础最重要，是吧？无论是什么斜修的方法什么的，他都是根据基础来的，他都是根据基础来的，没有基础的有什么用呢？所以说我总是问你这道题怎么做？怎么做就是考验你的思维，不是说一下就跟你讲，跟你讲，要不然你的课堂上你自己不会想，你不可能什么都用方言斜修。什么斜修啊？那斜修，其实你发现人家那个视频博主讲那么多方法，你根本用不到几个，那是因为你没基础啊，你没基础怎么用的到？ 嗯，接下来我们还去看这个，我们写的这个，接下来我们这个扇形 c 应该怎么变呢？扇形 c 变成扇 a 加 b。 对， 扇形 c 变成扇 a 加 b 加方啊，对吧？扇形 c 方就变成扇形 a 加 b， a 加 b 的 平方，所以就是扇形 a 加 b， 等一下，一下，对吧？嗯，好，再来我们再一一他就等于，所以上面就是下一块 a 减 b， 下面刚好减一下，就乘以 c 了，乘 c， 这是最简单的一个正的，当然还有什么从右边开始呢？那个就稍微复杂一点，当然还有一个还可以用图形看，咱们图形就图形那个想的稍微难一点，但是咱们只知道最简单的就行。 这种方法说实话他主要是用我们小题啊，当我们小集是用，这样你看题里面，你再正一下那题其实也不太划算。那好，那小奇我们可以再用，看这里面，我，所以这一坨我就可以给什么给什么， 再给你看一下，这坨等于三 b 减 a 分 之三， c 等于二分之一，等于二分之一啊，我们这个三 b 减 a 是 不是跟它一样？三 b 减 a， 我 是不是可以画掉？对，是吧？三 b 减 a 减 a， 我 刚刚这里就都解过了，三 b 减 a， 再减 c， 再减 a， 减 a 减 a， 对 吧？再减 c 减 a 减 a 等于减 a， 然后就是写就变成了我们这里的 a 就 等于 cosc， 嗯， cosc， 这就直接写成，所以上面就等于 cosc， 上面是一个 cosc 比上 大于 c， 这个不就是我们的餐厅餐厅 c 分 之一吗？餐厅 c 分 之一是不是等于二？ c 是 不是等于二？你看一道题可以想多少方法？ 最开始从你最开始这里想方法，然后一直到我们什么第二种，第三种，第四种，到我们这里这道题分的话就可以，咱们只要能够就能够顺着自己的思路能想出来就 ok， 好 吗？ ok， 那 我们看下一个，这就是刚刚证明了这样它的公式，这个是它的公式，这是二零二年全国一个的一道高。我们可以看一下，看数学，他说并三角形 a、 b， c 的 内角， 那什么对边分别为什么小 a、 小 b、 小 c。 已知这个公式，散影 c 乘以散影 b， a 减 b 等于一个散影 b 乘以散影 c 减 a。 好， 这公式我们先看后面， a 等于五勾线 a 等于三十一分二角，然后接下来求啊，散形 a， b， c 的 周长求什么？求它 a 加 b 加 c， a 加 b 加 c， a 是 不是已知啊？是吧？ a 已知 a 等于五，接下来就让我们求求 b 加 c， 那 他有可能是让我们单独的把 b 求出来，也可能把 c 求出来，也有可能是不是求我们整体的 b 加 c 啊？对，你想，如果求整体的 b 加 c， 又告诉我们通性 a， 你 依旧会用到什么公式啊？ 那个基本不等式，有 b 加 c， 有 b 有 c， 还有 q， b， a 会用到谁啊？余弦公式，余弦公式，就刚刚你说的余弦公式，所以在这里你可以输入你可能会用到余弦公式。脑子一笔一想，可能会用到余弦公式，正是你最开始我这个起最开始的想法，然后接下来才会去想着化验我们的肚子，你看我们肚子哪四个字呢？一个是三根 c， 一个是 a 减 b， 三根 d， 三根 c 减 a， 来，告诉我是谁？再来， 这个是，这个是派，派减 b 减二 a， 派减 b 减二 a， 你 是不是？你是？你是动 c 的 吗？啊？你是动 c 或者是动 b 的 吗？ 呃，你动谁啊？你是动这这，这是把它展开，你还是动他？还是动他动谁？ 呃，动那个动那个。三 c 减 a， 三 c 减 a， 它为什么要动它呢？因为这个三 b 可以 用来求 b， 嗯，三 b 用来求 b， 所以 要动这个三 c 减 a， 你 想你要动三 c 减 a， 你 在这里动三 c 减 a， 你 想，你要怎么动？ 呃，我想先试试把它们都拆开来，拆开这个四档，你看你拆开之后它是不是变成四个，是不是变高了？你看，就是一个，左右两边都是四个，你怎么动？你不好动啊， 你感觉这二次的不好动了，你看这里，你，我知道你想什么， c 加 a 画成一个 b， 但是你看我们上一道题，为什么你能画，是不是我们已知一个角啊？ 对吧？已知一个角能画，但是这里面三角都是未知的，你未知的话，你画的话不打是三个，不打是未知的。那你再写，那也没有什么意义啊。那这里最简单的是什么？你不要去动动这一段，因为你动它，你想把它打开了，你把它打开，然后再一层，那就它是一个高二次的吗？这个时候怎么办？我们动 c 和 b， 动 c 和 b， 那 动 c 和 b， 我 们怎么动呢？你看，还记得我们刚刚说的余弦公式吗？所以三 a、 c 等于什么？正弦公式？正弦公式三 a， c 等于什么 啊？在 c 等于 a 加 b， 对 a 加 b。 好， 所以它就是，不是啊，要那要那个吗？对吧？对不对？就出现了刚才的交叉式了，对吧？那它就等于一个 c 大 于大于 b， 是 不是等于 c 加 a 啊？对吧？ c 加 a， 这确实可以，它确实能用，对吧？它能用。这个我记得好像也是一个。哪个题吧？反正我忘了，应该不是大题，反正不是大题也能用。你看这里一用的话，我们这里变，变成什么了？选塞方 a 减塞方 b 等于塞方 c 减塞方 c 减塞方 a 对， 对上一方 c， 然后接下来下一步呢？移向对，移向下一步。其实最开始你先想的想的是啥？ 是不是想的角画边啊？啊？用那个正弦公式？对啊，用最简单的点刚好角边，它不就是我们要 a 方减 b 方等于 c 方减 a 方吗？ 对吧？你看它是它是它是，你看你这里，你在这道题里面你都能够想到去给它画成角，画成角是因为它是边，你能够给它画成点，对吧？嗯，在这里你看接下来你会得到什么？ 嗯，知道。二、 a 方等于 b 方加 c 方，对，刚好是 b 方加 c 方， b 方加 c 方，一出来，你是不是脑袋就稳了？是不是就弦定力啊？对吧？弦定力老就稳了，他告诉我们 a 方 a 方是二十五，所以他就数五十，五十好， b 方加 c 方等于五十。 cos， a 又告诉我们了，所以我接下来是不是跟弦定力了，对吧？弦定力， 所以我根据一下定律，我可以得到一个地方加 c 方减 a 方减 a 方，这里我可以直接写吧，他就等于五十吧，五十减二十五，他等于一个二 b、 c 二 b、 c， 还有我们中性，中性 a 就 乘以一个三十一乘二十五，对于这个式子，我是不是可以把 b、 c 求出来，对吧？ b、 c 求出来，接下来我们在下一步怎么办？我们得到这个时候我们要求的，看这里，接下来怎么办？这怎么办？ 嗯， b 加 c 的 平方等于 b 方加 c 方加二 b、 c 刚好看见，看见 b 方加 c 方，又看见 b、 c， 它肯定是可以用 c 的 平方加 c 的 平方。 二比 c， 你 看这里我是不是只要算出二 b、 c 就 行了，对吧？算出二 b、 c， 那 从跟这个公式，我们刚好这就是二十五，这个是二十五，二十五我们也一个除以二 b、 c， 我 们直接可以算二 b、 c 二 b、 c 就 等于三十一，所以 b 方加 c 方等于五十，所以它就五十。加上三十一， 刚好它就等于八十一，所以我们就背出 b 加 c 等于九，所以我们的 a 加 b 加 c， 最后我们就等于一个十字，那就就刷到，所以我们知道这些公式其实 也是有好处的，你可以直接写，直接写，当然你看如果你到你不知道的这些工作情况下，你会想着去给他拆开，或者是拆开之后，然后这个讲话标编号角也能做，能做，其实能做，但是可能稍微显得比较复杂，所以显得比较复杂，因为没有这样更直观，这个用这个是更直观一点。那别的话就不讲，先讲这里，咱们知道怎么做就行。 接下来咱们看这个，这个是鱼线插孔，这个鱼线插孔其实跟这线插孔插的是一个类型，你看这个鱼线插孔，它可以写成这个画质的，那我们在这里这个稍微变一下形，变成构型，变成构型它可能我们就能够用这个鱼线插的公式，鱼线插的公式就它的跑其形基本上一样。好，接下来我们就看这个鱼线插孔，是我们看到你的 啊，这个东西要正的话，你觉得啊？从哪边正比较简单？从左边还是右边？ 呃，从 从看你的感觉，感觉从左边，对，从左边很好，有感觉就从左边开始，我们左边开始，你看我们直接代发呗。我们复制算法，它直接就等于一个一减。对对，好，然后减去一减三，非常的平抛，然后接下来一一，然后最后可以得到一个负三二的平方，减去一个三， 非常的挺好，到这里就行了，到这里就行了。然后接下来我是不是接下来怎么办？是不是接下来这一坨，这坨可以干啥？可以用什么？嗯，可以把。哦，可以用平方差，是不是刚好我们刚才说的正确差，对吧？正确差公式，所以刚好就是三三，刚好，非常好三， 他又得到这个公式相当的正向，那么这个就不错了，因为题目一下知道起，我稍微改变一下，他就能变成正向。好了，咱们再给一个叫鱼线，他公式，他说的是，要不就是你看他是鱼线，刚才是他是正向，这个是又有鱼线又有正向，又有鱼线又正向，他点这个点这个点这个是的， 这个事。好，我们再说这个事之前，我们先看一道题，看下这个，你看到了，他告诉我扣进 r 减倍法有三分之一，再以 r 等于负十二分之一，然后现在让我们求证。好，我们假设发那个结论。我不知道，我们正常做题都是在不知道结论情况下看有结论，只是方便我们做题。正常离婚，你不知道结论，他们照样还是要做题，对吧？咱们看这道题应该就不知道结论，咱们就正常做。应该怎么做呢？怎么做？第一步， 呃，先把这个 cosine 减，被它拆开。对，拆开很好。 cosine 等于什么？ cosine 被它减三 n 不是 减方吗？ 减还是加？减减，对吧？对， cosine 法三啊，是不是等于三分之一啊？对，三分之一，三分之一，然后这个，哎，对，究竟是减还是加啊？ to 要不要变号啊？好像要变的。 to 要变的，你看谁不变号，是不是 send 才不变呀？嗯， send 是 不变， send 要变的，只能把这个忘了。所以这刚刚为什么写这个东西？真的是，所以在这里我是不是可以得出一个 cosine alpha， 然后乘以一个 cosine beta， 它就等于一个三分之一，这一波是负十二分之一，所以就是加上十二分之一等于十二分之五，是不是我现在得到这个，嗯，好，那下一个呢？我先知道 send 他 乘他 send 他 乘他，然后我要求他。那接下来的话。 呃把把这个。呃啊 干嘛？嗯啊用那个不能用的公式。对呀，你这里面它不是刚刚说的正弦或者余弦啊这是一个正弦一个余弦啊。把那个正弦换成余弦。好正弦换成余弦啊。不等于二号的平方减去一减去啊一减去 它又等于一个 cosine 二号的平方，然后加上一个 cosine theta 的 平方再减。然后呢？ 嗯然后然后呢？嗯然后求一下。求下这个嗯这个怎么求啊？ 呃求那个 cosine 阿尔法加倍它好， ok 有 这个感觉不错。是不是 cosine 阿尔法加倍它对吧。有这感觉就不错。因为这一剪先得到它有这感觉就不错。好有它有它好。我们现在有这感觉就不错了可以有这感觉就进步。那它就等于一个 cosine 阿尔法乘以 cosine 倍它减去一个三啊乘以一个三倍它。 大家是不是可以直接带去球啊是吧带去球。所以它就等于一个啊。等于一个什么？嗯等于十二分之五然后加十二分之一是不是等于二分之一。然后呢你现在得到是他和他然后呢？ 然后的话把他们把他们相。呃把他们俩干嘛？有这个东西他俩干嘛他俩直接相乘你直接相乘的话如果那要是你直接相乘应该是这种 你不想要要是要是这种他是不是就好了？嗯哇但他不是啊是啊 他不是啊。这怎么办啊。所以说很好这就是你你能够想他俩相成很好，这个咱们相处吗？相成很好就是相成啊就相成很好，实际上他俩相成就这个东西，他就等于他俩相成，知道吧？就等于他俩相成。你能够想这个方法很好，已经可以了，你能够有这种感觉，他俩相成就很好。所以你看，我可以给小海子证明一下是不是这个。他为什么怎么得来的？你看我们来。呃，证明一下，我们从 我看，从哪里开始呢？从它是趴开始吧，就从它。那这个哪一点呢？我们从这个趴成它，我们下复制它，减倍，它乘一个复制，然后加倍。好，我们用这个相册，我们先展开，把这个四展开复 制，然后我们再加上一个，然后我们乘一个复制。 接下来是不是平方差公式啊？对吧？平方一样，平方差公式， cosine， f， cosine， 然后括号的平方减去三二三 a 一个 a， 它的平方。好，接下来下一步走吧，下一步我们要得到它，所以你要怎么办？ 嗯，要把，要把扣带给他干掉，是不是？这里面我要保留扣进。要保留谁啊？要保留这，保留他，嗯，对吧？保留他，然后把他给跨掉，所以他就变成了一键去三被他们去。对，这里，这里我是不是要保留他，对吧？保留他，所以我把他给跨掉，一键扣进， 声音别走，这个你看最后沉进去，然后一化简，实际上最后你，你收到这两个相乘，这个他就抵消了，对吧？抵消了，他明显抵消了，所以最后你得到的公式实际上就是一个大姐，他发现没，对吧？所以你有，你有这个感觉就可以，所以他最后得到公式就发现他，所以他就等于，最后就等于我们这里的三分之一，等于我们二分之一等于六， 这题就这样算了，所以你看这里，看你在这里算的时候，是不是刚好就证明了这个，对，没刚好就证明了，是吧？你看你在这里相乘的时候，刚好就证明了他这个，其他都是我们这一个这么一个过程， 他的一个过程挺好的，可以不用不用说，能简单达成他就非常 ok 了，非常 ok 了。我们接着总结一下，你看我们具体思路从哪来的？我们并没有说，上来就说 啊，这边有些人上边有公式，然后让你去做，我们没有这样，我们是先根据自己的思维来的，因为数学我们有自己的思维，我们先根据自己的思维了，他说我们先把这个题你自己看，根据你自己的话，第一问你自己的话也很好，也很好，你直接用一下定力啊，也很好，做的很好，非常不错。好，接下来 接下来再去想，你看这个用一下定力做，我们接下来会编 也能做，然后接下来我们再得到法式，法式我们根据这个正确操作，我们直接打开，直接打开，然后这接下来我们把这个代化掉，都代化成 c， 接下来做我们也能做好。在这里我们越加你们发现越简单，实际上是越简单的一个过程。因为到最后的第五步， 只需要我们只需要知道这个公式，这一坨等于这一坨是不是可以直接写成他了，对吧？就变成他，成他了，只不过就越来越简单。所以说你像这个结论，他给我们带来的是什么？就你像什么二级结论什么带给我们的是便利，但是他不能带来我们的数学思维，所以我们学数学从从最开始，从思维开始发起，然后慢慢的得到这些二级结论往里面去带，然后让我们的步骤变得简变，这是我们正确的学习数学的一个方法。方法 他们对正弦查公式，你看这里应用了一道题，然后这里写了余弦查公式，余弦查公式，正弦公式不知道可能是一样，那接下来说正弦查公式，正弦公式我们刚好用这道，刚好就恰好给他证明了一下，哦哦哦哦哦哦。