任意角与三角函数的概念及题目

同学们好，我们一节课把三角函数任意角以及弧度值的题型过一遍啊，那么在高中里面的角度啊，它其实是旋转得来的。我们先把这个概念梳理一下，我们初中离的小学的角度是不是就是两条射线加的角度，这个角度就是 sine 角， 比如说这个角度是三十度嘛，对不对？那么比如说这两条射线所加的角，比如说这个角度一百二十度，是不是很好理解？那么到了高中，它的角度是转，是旋转得来的，哎，我们可以构建一个平面直角坐标系。把概念式梳理一下，那么 先从 x 轴正半轴，那么这条蓝色的线是不是 x 轴正半轴？那么逆时针一定是逆时针哦，逆时针，比如说旋转到某个位置，它所扫过的角度 c 大 角就叫做这条中边所对应的 角，那么这条中边落的位置落在第几象限，那么这个角度就到的第几象限角，那么很明显这个角是不是第一象限角，那么当然这个中边也可以多转一点，比如说这条中边，哎，在这个位置是不是我多转一点，转到这个位置，那么此时他所扫过的角度是不是这个角？阿尔法角，那么这个阿尔法角是不叫做第二象限角， 对不对？那么逆时针所扫过的角度就叫做负角，比如说， 哎，我这样子扫过来对不对？那么这个角度举个例子，它的四十五度对不对？那么平时描述的时候不叫四十五度，这条中边所对应的角度叫做负四十五度。 ok， 看下点。例三，他说这里有两有一个射线 o a， 他 先， 嗯，逆时针转四十五度，转到了 o b 位置，然后又顺时针转一百二十度，转到 o c 位置，它要研究 a o c 的 度数，那么很明显这个角度如果按照小学思想，是不是就是一百二减去四十五就是多少，是不是 七十五度啊？但是这里很明显，这个 a o a 到 o c 是 不是逆顺时针转，所以说这里的度数应该是负的，负七十五度啊，负七十五度，那么再来看分针时针，那么钟表问题啊，把分针拨快十五分钟， 这个分针转过的角度，那么分针转一圈，分针转一圈，是不是三百六十度啊？三百六十度对应的是多少分钟啊？是六十分钟。那么一开始的时候，比如说这个分针，我让他在零分吗？那么现在要转十五分钟，是不是转到这个位置， 那么他转的是不是顺时针转的？那么顺时针转过九十度，那么所扫过的角度应该是负九十度，这个正负不要弄错， ok， 那 么接下来看中边相同的角，那么中边相同的角仍然是刚刚那个模型啊，比如说现在这是一个平面直角坐标系， 那么现在，哎，有一条中边从这个位置开始，那么他扫扫一个特殊角吧，比如说扫了一个三十度，哎，三十度，那么这条中边所表示的角可以表示三十度，也可以说三十度的这个角的中边就是他啊， 那么我们再来再来一个紫色的吧，哎，那么紫色的这个中边仍然是会和原之前的那个中边重合啊。 啊，那么他能不能多转一点？可以啊，那么他多转，比如说多转了一整圈，那么再多转了一整圈的基础上，现在这条紫色的中边所表示的角就不再是三十度了，而是三十度，再去加上了三百六十度， 加上了三百六十度，那么我刚刚是不是多转了一圈啊？那么能不能多转两圈呢？可以的，比如说现在这条中边，从这里开始，对不对？哎？现在转三十度对不对？转了三十度，现在转了多少？转了一百八十度，现在转了多少？二百七十度，现在转了多少？三百度，再转三十，是不是转了三百九十度？ 就是那条紫色紫色的中边吗？那么能不能再转，再转一圈，是不是又又多转了三百六十度？再转一圈是不是又多转了三百六十度啊？就这个道理。所以说这条中边它所能表示的角度啊，应该是三十度加上整数倍个三百六十度 啊。那么刚刚老师是不是逆时针转的？逆时针转的角度是增加，那么当然也可以顺时针转，所以说这个 k 也可以是负的，那么 k 应该是属于什么啊？属于整数，属于整数，也就是这条中边所能表示的角度应该是 x， x 等于三十度，加上 k 乘以三百六十度， k 属于整数。 ok， 看一下上面一个，他说与这个四百二十度中边相同的角是哪一个，那么就是看哪一个角和它差了整数。被个三百六嘛。那么 a 角 a 和它差了多少？四百度，不对角 b 和它差了多少？是不是 正好是三百六？也就是这个角度，这个角度去减去三百六十度，是不是就等于六十度啊？也就是这个角度去对应的中边去怎么转？是不是顺时针转三百六十度啊？所以说 b 是 可以的 啊。点例六看一下，他说要表示与这个角中边相同的角的集合。嗯，其实刚刚说过这个模型的，那么如果说你偷懒的话，考试可以直接写成什么 x， 竖线 x 等于负 四百五十七度，加上 k 乘以三百六十度，那么一定要不要忘记 k 的 限制， k 是 什么数啊？ k 是 整数 啊，当然你也可以把这个我们习惯的角度还是习惯零到三百六十度啊，对不对啊？我们可以把这个角度换算到零到三百六十度之间，那么它应该怎么换算到零到三百六十度啊？是不是加上两个三百六十度，也就是加上七八十度等于什么？是不是应该等于，嗯， 一百，我算一百二十度，加上四十三度，应该是一百六十三度，是不是？所以说这里的负四百七十，负四百五十七也可以换成一百六十三啊？考试都是给分的， 再来看一下，确定确定中边相同的角，看一下啊。那么点例七，那么这种题目在高考中啊，也是一个特别容易失分的问题， 看一下，他说这个角度与这个中边相同，哎，那么与这个角中边相同的角有哪些啊？这个角度，比如说是 alpha 角吧，就是与这个角中边相同的角 啊，就是 c 叉角，就是 c 叉吧，那么 c 叉应该要满足什么？ c 叉，它可不可以正好等于七分之六 pi 哦，那么这边有学生问了，说，老师，这里怎么突然来了个 pi， 然后我们把这个 pi 的 这个概念说一下吧，我们在以前是不是研究的都是度数啊，两角器上面它的那个示数也是度数，那么到了高中，它就不再用度数了，而是用 pi 啊，学了十几年数学，突然换了个单位，很难受啊，比较比较紧张啊。其实就是换了一个单位嘛，一百八十度其实就等于派，那么常见的角度，比如三十度，我们换算一下，三十度是不是应该等于六分之派啊？那么六十度呢？六十度是不应该等于三分之派 啊？其实就是一个单位换算嘛，左边的单位其实是度，右边的单位我们一般省略部写它其实有着叫做弧度 red 弧度啊，那么这个弧度定义它其实在我们计算弧长啊，扇形面积是很有用的啊。 那么为了方便咱们理解，我就把这个七分之六派换成角度吧。换成角度不对，这个七分之六派换成角度好像 换不进，换不进，因为 pi 是 一百八十度，那么七分之六 pi 是 多少？是应该等于七分之六乘以一百八十度好像约不掉啊，那么就先用 pi 吧，先用 pi 吧。 那么刚刚说过了，就是中边相同的角， c 它和它中边相同，那么 c 它应该等于什么？七分之六 pi 它可以正好等于这个角，对不对？也可以等于这个角多转或者少转， 整数被一个圆周，那么根据上面的这个点，一百八十度等于派，那么整圆周角三百六十度等于多少？是不是二派？所以说 c 大 角可以等于七分之六派，加上二 k 派或者 k 乘以二派可以属于整数， 那么他说要在这个范围内与这个三分之 c 它中间相同的角，那么 c 它的表达式是不是有了？那么三分之 c 的 表达式呢？是不应该等于七分之二派，加上三分之二 k 派， k 也属于整数， k 我 就是属于整数，先不写了，那么 c 它角是这个，那么其中要研究的是什么？研究这个角，这个角要与三分之 c， 它也就是要与这个角中边相同，与它中边相同的角， 或者说与三分之 c， 它啊，也就是与谁啊？与这个东东我单独拉出来，与这个东东中边 相同角，那么一样的，其实就是在这个基础上怎么样加上或者减减去整数倍个三百六十度啊，也就是后面还要再去加上什么？加上二 m pi， 当然 m 也是整数啊，与这个东东中边相同的角啊，是这个表达式。那么题目中要求这个东东要落在哪里啊？要落在 pi 到二 pi 之间 啊，派到二派之顶是它要属于什么？派到二派之间，那么那么多派看着都头疼是不是？哎，你发现这左右两边可以把派约掉的，也就是七分之二加上三分之二 k， k 属于整数，加上二 m， m 属于整数，这个整个式子要落在什么？一到二 之间？那么看 k， m 要怎么取值？嗯，我们发现 m m 等于零， m 等于零， k 等于 一，行不行？好像不行。哎，七分之二加三分，七分之二加三分之二，好像小于一，那么 k 等于二呢？ k 等于二，那么得到的应该是七分之二，加上三分之四，通分一下变成三七二十一，二三得六四七二十八，是不应该等于二十一，分之三十几啊？是不是三十三十四呀，正好落在这个范围， 那么 k， 那 么当 m 取一， m 取二， m 取三的时候，好像都不可以啊。那么这道题目其实就是一个，嗯，有点像这个集合问题吧，哎，一个表达是要落在某个范围内， 所以说这道题的答案是三二十一分之三十四。那么最终不要忘记有一个什么，有个 pi， 有 个 pi ok， 点例八，他说写出下列各角 中边相同角的集合啊，并把集合中适合这个不等式中的这个元素写出来，和上一道题思路类似呀，思路类似， 那么我这边就演示前两个吧，后面两个可以自己去研究一下。那这里还有一个什么，是不是一千三百零三度十八分啊？那么这个分的换算率其实是就是一度等于六十分啊，六十分，嗯，第一个 集合应该写成什么？比如 x， 竖线 x 等于六十度，加上整数倍的三百六十度，还是度数，咱们熟悉对不对？当然到后期这个弧度也要去熟练啊，或者后面 其实学到后期，我们三点函数大部分的角度都用弧度表示的啊，因为很多公式都需要用弧度。 ok， 那 么现在这个集合中要把它落在哪里啊？落在这个范围内中的 beta 元素，其实啊，其实 beta 和 x 一 样的嘛，只是字母不一样而已。嗯， 那么发现六十度是不是可以的？六十度可以的，那么加上三百六十度呢？是不是超了？那么减去三百六十度好像也可以。负三百度可以， 那么再减去三百六十度应该是变成负的。六百六十度是不也可以的？那么再减去六百，再减去三百六十度呢？是不是又太小了？所以说有三个 啊，那么负五四十五度也看一下。呃，就公式嘛，也说套路嘛， x 等于负四十五度，加上整数被一个三百六十度 k 属于整数，那么一样的，当 k 等于零的时候，可不可以？可以负四十五度本身就可以啊。 嗯，再加上三百六十度是变成三百一十五度啊。 啊，可以的，那么再加上三百六十度呢？超了，那么减去三百六十度是变成负的四百零五度，可以的，那么再减去三百六十度是变成负的 三负的七百多度。七百六十多度，是不是很明显比负七百二还要小？所以说有三个啊。 ok， 这是一个角度中边角的概念，那么接着研究象限角，那么象限老师刚刚说过了，就是看这些角度的中边落在地底象限吗？他说阿尔法角是第二象限角，那么可以去画出来，当然熟练的学生脑子想想就能想出来了。 阿尔法角，第二象限角，那么阿尔法角度是不是对应在这里了？哎，那么再去加上一百八十度，也就是在这个基础上再去怎么样？逆时针，一定是逆时针哦，逆时针转一百八十度是转到这个位置， 哎，那么这个角度其实对应的就是一百八十度加上阿尔法，那么它都在地底象限呀。第四象限，所以说选什么选的啊？点例十，它是阿尔法角度的中边上有一个点，研究研究阿尔法角度的 角度的象限啊，那么其实中边是一条什么线啊？射线，那么这条射线上的点是不是都在同一个象限呢？二分之根号三负二分之一，明显是地底象限的点， 是不是第四项形的点？这个点是不是就是二分之根号三纵坐标是负二分之一啊？那么这条中边其实就就是哪条线？就这条线嘛，那么很明显，阿尔法角度是哪个角？阿尔法角度你可以画成这个角，但是要表示成负的，你也可以用什么一般的定义？从 s 六正半轴转转，是不是转这么多 啊，转这么多啊。嗯，那么阿尔法角度很明显它是第四项形角啊，选个的 ok， 中边在直线上的角，来看一下那中边在这条直线上角的集合。呃，图一啊，不是这幅，这幅图是第二小题的图啊。啊，那么这个直线正比零函数吗？啊，我们高中孩子应该是很熟悉了， 这条线就是 y 等于根号三 x， y 等于根号三 x， 嗯，那么它是，它其实对应的是有两类中边，它可以对应的是这条中边，也可以对应的是什么？对应的是这类中边，因为中边其实我们一般叫做射线，能理解中边一般我们叫做射线。 那么现在这一条直线直线是包含两类从原点的原点出发的射线了。我们先来看紫色的这条射线，那么紫色的这条射线所包含的第一个角是不是六十度啊？这要看的出来，那么如果说他多转或者或者多减去整数倍个 三百六，那么所能表示的角度应该是 x 竖线 x 等于六十度，加上 k 乘以三六零度， k 属于什么整数啊？ 那么这条蓝色的呢？它表示的类似的，那么嗯，我们也先找其中一个嘛，那么这个角度 对呢？应该是一百八加六十度，是不是二百四十度啊？二百四十度，也就是 x 竖线， x 等于二百四十度，加上整数被格， 三百六十度可以属于整数。 ok， 那 么它要表示一个集合，那么我现在表示的是两个集合，那么这两个集合放在一起，你可以写成，嗯， x 等于这玩意，或者 x 等于这玩意，但是长不长？好长呀， 对不对？你想一下，要把这两个东西写在一起，中间加个或字，你考试的时候一个填空题啊，你要写得下，你写不下，那怎么办呢？啊？那么换一种思维，就是我先表示一个角，一个角是我 先表示一个角，那么这个角度是不是六十度？这个六十度是不是在这条直线上的，对不对？那么当他转一百八十度，你发现他又落在那条直线上了， 那么再转一百八十度，又漏，漏回那条直线，再转一百八又漏回那条直线。所以说这个集合最简表示应该是什么？先表示一个特殊的六十度啊。先表示一个特殊的 x 等于六十度， 那么发现它每次转一百八十度都能回到那条直线上，所以说应该可以加上整数，被一个一百八十度就可以了， k 属于整数。哎， 那么记住这个思想，我们把点例十二的第一个研究一下，那第一个和刚刚的模型一样的呀。哎，我们先找一个特殊的，比如说这条射线啊，或者这条中边，这条中边所对应的角度是不是就是一百三十五度？那么当他去转，当这条中边去转一百八十度，是不是回到 回到这个直线上，再转一百八十六，回到直线，再转一百，又回到直线啊？当然我现在是怎么转，是不是逆时针转顺时针转一样的？顺时针转一百八，顺时针转一百八，顺时针转一百八，都能回到它的直线，所以说这条直线能表示的角度是不是 就是 x 等于一百三十五度，加上整数倍个一百八十度就可以了，可以属于整数。 好，那么下面有一个叉叉的图形一样的，记住这个思想，我们先找一个特殊位置，先找这这个特殊位置呗。啊，那么这条中间所对应的角度是不是四十五度啊？那么发现这个四十五度转九十度，是不又又落回到那个图像了？再转九十度，又再转九十度， 先转九十度，落回那条落回那个模型中，再转九十度，又落回那个模型中，再转九十度，又落回到这个图像中，再转九十度，再转九十度。你发现它每转九十度都能够回到什么？这个叉叉的这个两条直线里面，所以说它能够表示的所有的 角度应该是 x 等于一个特殊的四十度，那么可以去加上任意一个整数倍的九十度啊， k 属于整数啊，那么这些角度都能够落到这些叉叉的中边上啊，这就是中边角啊。 好，那么在刚刚凝聚的是一个或者说一类啊，一条中边所对应的角度现在是一片中边，哎，范围变大了。 第一个，他说请你写出落在 y 等于正负 x 的 图像上所夹区域内的所有角的集合，不包含边界。 那么点睛十三的话可以去尝试一下。我先讲点睛十四，点睛十四要难一点啊，讲完点睛十四之后自己再去处理点睛十三啊。点睛十四就是两张具体的图给你画出来了，要表示这两部分阴影区间所对应角的集合啊。其实这种题目很简单，就是表示， 呃，零到三百六十度以内的，先表示，先表示零到三百六十度就是有的啊，有的，然后最终再在两边怎么样？再加 再加 k 三百六就可以了啊。我们先来研究第一个，那么第一个是不是对应的一个特殊位置，这个位置对应的角是多少？不是四十五光，是不是应该是这个角，这个角度应该是一百三十五度，那么这条中面所对应的角呢？ 啊，我们画一下，应该是从 x 的 正半轴转这么多对应的角，那么度数应该是三百度。三百度，那么这片区域对应的角度是不是应该就是 一百三十五度到三百度？因为你想一下，从一百三十五度怎么样才能到阴影区域，是不是要逆时针转？逆时针转角度是增大的呀？啊，一直大大大大大大大大到三百度啊，那么 x 在 这个范围， 那么 b 呢？是可不可以取的？可以的，因为刚刚给的是实线嘛。啊，那么再的左右两边分别加上 k 乘以三百六十度啊，再去加上 k 乘以三百六十度， k 属于整数啊。 x 竖线集合模型，那怎么去理解呢？比如说你看，嗯，当我没加 k 乘三百六十度的时候，是不是表示零到三百六十度这边区域内的角，那么这个角度 去去加上三百六，其实就是转一圈又回到原来位置啊，那么逆时针也可以的。逆时针转一圈回到原来位置。 先表示这两片区域在零到三百六十度内所包含的角度，那么这片区域是不是对应的就是 x 要大于，当然边界不全是没有等号的。大于多少，这个对应的是多少？应该是一百 九十加三十，一百二十度，那么这条对应的多少？应该是一百八加四十五，二百二十五度啊， x 应该大于一百二十度， 小于二百二十五度。那么最终答案后面再去加上二 k， 加上 k 乘三百六，加上 k 乘三百六，或者 是表示这片区域啊，那么这片区域有一点有，就是有一点容易错的，或者大部分学生会容易错。我们来看这里是对应的是不是四十五度，很好理解，那么这里对应这个旋转的思想，它是不是要从从初十位置转，你看 转转转转转转转这么多才能回到这里，哎，所扫过的角度是多少呀？所扫过的角度是不是这么大，那么他所对应的角度应该是，嗯，二百七加三十，应该是三百度啊，三百度。 那么有的学生会写，哎，那么这片区域，这片区域对应的角度应该就是或或 x 怎么样？大于四十五小于三百度，然后再去加上 k 乘三百六，加上 k 乘三百六。你有没有发现这个式子 它大于四十五小于三百好像没啥问题，但其实你想它表示的不再是这片阴影区间了， 就是我这个蓝色的，我这个蓝色的这个部分，他表示的区域是哪片区域啊？他表示的区域其实是什么？其实是这片区域，这片区域所有 中边对应的角度，你想对不对？因为他要比四十五度大吗？你想一下，我刚刚说过了，逆时针转角度才增加，那么这条中边对应的是不是四十五度？你要大于四十五度，是不是要往这里转？那么这里转不就跑到白色区域了吗？ 对不对？哎，所以说我们重点来看，那么还是从四十五度开始可以吧？从四十度开始之后，你怎么样才能让角度落在这个阴影部分？他要怎么转？你看老师这么转的方向是不是顺时针？ 你顺时针转的时候角度要干嘛啦？要变小，是不是要变小？所以说这里的三百度我们描述的对不对？对，但是在描述这个区域描表示的角度的时候就不能用三百度，他是在四十五度的基础上是怎么样？是不是减小？ 减小到这个位置，那么减小到这个位置的话，应该是四十五度，减四十五，还那么应该变成什么？负的六十度啊？是负六十度，所以说对应角应该是四十五，加 k 乘三百六到 负六十，哦，不对不对，我们是要从小到大，对不对？小的是小的是那个啥？负六十，大的是四十五啊？啊？负六十到四十五，我们来看负六十，我们重点看负六十对应的中边是不是这条中边。 那么现在要怎么样？到四十五是不是慢慢变大？变大是逆时针转，你看逆时针转是不是始终在这片阴影区间内的？哎。所以说最终答案你可以写成 x 竖线为这个这个这个或 x 这个范围，最终 k 属于什么？整数还是一样的，太长了 对不对？一个高一的题目答案那么长，老是看都费劲，老看都费劲，哎，当你能够写到这一步已经很好了，对于我们高一目前刚接触三大函数的孩子啊， 那么对于高考要求的话，其实这里面写成一整个就可以了。来看刚刚我们是不是比较容易的去表示这块范围，这块范围，这块范围所对应的角度是多少？我们就一样的先表示零到三百六，这里是一百二十度，这里是多少？应该是 二百二十五度，是不是？哎，那么这片区域怎么样变到这片区域啊？你会发现左边这片区域只需要整体去转一百八十度就能变到右边那片阴影区域， 右边那片阴影区域再去转一百八十度，是不是就回到左边那片阴影区域啊？所以说简化表示应该是 x 可以 大于一百二十度，小于二百二十五度，然后再去加上整数被一个一百八就可以了。 这个加我加到左边嘛，不影响 k 乘一百八十度，加上这玩意儿到 二百二十五，加上 k 乘一百八十度啊， k 除以整数，所以说这个表示不很经典。有没有什么货不货的？没有，而且避免了去表示右边这块区，是吧？这块区还涉及到负角，负角咱们其实是，嗯，比较新的概念，以前的角度都是正值嘛啊。

ok， 我们来看十二月决胜考试的第五题，这个题问你三亚法点多少，然后一看有个坐标，那么这个一定就是考任意三角函数的定义，我们的三亚法就等于 y 比 r， 接着我们开始去找坐标，因为这个点啊，这个坐标还有一个参数，但是呢，他说这个中边 这个点过这条直线啊，这个点过这条直线完带进去，所以说得到三加 a 加一等于零，所以 a 等于负四，那 a 等于负四了过后，那我们的这个坐标就确定了，然后再算 r， r 等于根号下 x 方加外方代进去等于三四五勾股数啊，所以等于五， 所以带进去。答案是五分之负四，所以选的是 c 选项，你听懂了吗？好，来考下大家 如果说这个题考的是 question alpha 等于多少？然后呢？潘军， alpha， you 等于多少？来把这两个打在评论区啊，这个几个公式一定要背下来。