数列通项公式邪修

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲数列通向，求法通解。实际上啊，很多老师把它分成六种啊，八种啊，很多种，其实不需要的，四种通用的方法就可以了。今天呢，这节课的内容非常干货，建议大家收藏啊。我们先来看一下叠加法，第一种通用的方法， 叠加法的话，就是说后一项跟前一项中间是有个差值，并且这个差值呢，他是变化的，跟这个下标跟 n 是变化的， n 变了，他这个 fn 就这样一个结构呢，就会变化。这种时候我们用什么方法呢？就用这样一个累加的方法就行了。 那么累加的方法怎么理解？可能大家看不明白，那么看好了啊， f n 肯定代表跟 n 有关的一个式子，那我们写成这种形式吧，后一项减 去前一项，等于跟 n 有关的一个式子，这样看起来更直观啊，那我们就顺着这个意思去写， 那后一项减前一项轻微等于 f 几，显然根据这道题的意思，它是等于 f 二的，对吧？那么还有什么 a 三减 a 二，那不就是 f 三吗？你要不清楚的话，你就多写几行是不是？ 然后它就等于 f 四了，一直往下细，那最后一行肯定是 a n 减去倒数第二项，它等于 f n。 大家要清楚啊，我这个花框里头其实一共有几个狮子，有同学说 n 个错了，你自己数一数， n 减一个，这 n 减一个式子的话，左右两边都要相加的哈， 当我们所有的等号左边这个式子相加之后的话，你看正的 a 二，负的 a 二，正的 a 三，负的 a 三，同样的正的 a 四，负的 a 四， 这样一个方向都消掉了，最后只剩下最后一项的 an 和第一项的负 ae。 那右边呢？右边不就是从 f 二开始加到 f 三，一直加一直加到 fn 吗？你说跟这样一个标志一样不一样，这就是累加的符号而已嘛，对吧？大写一个嘛。行， 那清楚了，这样一个累加法之后啊，咱们索性就来练一道题，就是这个意思啊，只不过他呢，是倒着写，我是正着写，一样 来，在数列 an 中，你看后一项和前一项是不是有一个差值啊？这个差值呢？跟 n 有关，是跟 n 有关的一个式子。 那现在我们来做这道题，一看就是用累加法。累加法怎么去写？这样来写？看好了啊，那我们首先把最重要的这个已知条件 写成后一项，减去前一项，它等于什么？等于捞啊，一加上 n 分之一，一加上 n 分之一，咱们通分一下，写成 n 分之 n 加一，这样也行啊，那我就顺着这个意思往下写了。 那 a 二减去 a 一，应该等于 lon 几啊，你注意啊，哎，清楚了，那就是 lon 二比一吗？ n 加一这个下标比上后边这个下标，那就是二比一啊。 那么继续写， a 三比 a 二，那就是 low on 三比二，然后 a 四啊，减去 a 三，那不就是 low on 四比三吗，对吧？嗯，四比三， 那继续往下写，那最后的话，其实就是 a n， 因为咱们求得 a n 啊，咱不需要最后写到这个 a n 加一的，减去倒数第二项，等于 low n。 哦，原来是这个意思，他们怎么 怎样啊？这几个式子吧，就你告诉我画圈里头能减一个式子啊？左右两边相加，这就叫叠加法。那左边相加的话，正的 a 二，负的 a 二，正的 a 三，负的 a 三，以此类推。左边相加只剩下了 a n 减去第一项，等于捞啊，你看二比一来了吧， 然后，然后捞完多少？好？捞完二分之三来了吧，捞完三分之四来了吧，一直写到最后，最后一个是捞完 n 减一分。嗨， a n 减去这个 a 一是几？ a 一就是二嘛，咱们写去 a n 减去二等于什么？你注意啊，对数的加法相当于真数的乘法， 他这个一分之二，二分之三，三分之四是要一直乘下去的，一直乘到这个 n 减一分之 n， 显然呀，等于什么？右边就是劳恩 n， 你一削就是捞，很对吧。所以最终结果他的通向公式，把二移过去，等于二加上捞。嗯， n 清楚了吧。所以说这道题选什么？选 a 就行了，非常简单，就是一个累加法。 第二种通用的方法其实跟第一种一样，只不过由加法变成了乘法。累乘。什么叫累乘？来后一项跟前一项，它是通过乘一个关于恩的式子 来写出来的。这种形式呢，咱们就首先考虑累乘法。那么累乘法什么意思啊？很简单，我们多写几个。我们啊，把最重要的这样一个地推公式，这样一个式子呢， 写上后一项，比上前一项等于 f n， 那就写呗。那如果我写这个呢， a n 减一，比上 a n 减二，它会变成什？ 那肯定就是 f n 减一呗，以此类推啊。那再继续往下，你应该清楚我的意思了吧，所以你这个 an， 实际上它是通过 ae 以什么样的方式呈现的？ an 比上前一项，因为你得利用这样一个已知条件。利用这样一个地推公式吗？ 对吧？继续写， an 减二， an 减三，一直写，那倒数第二下，那肯定是 a 三比上 a 二，再嗯， a 二比上 a 一，但是最后还有个 a 一。请你看第一个括号是什么？是 fn 啊， 请你看第二括号是什么？那显然是 f n 减一啊，请你看第三括，清楚了吧，一直乘到 f n 减二，一直乘，哎，这是 f g 啊，请你告诉我。那这显然是 f 三 f 二乘 a 一，清楚了吧？已知条件他肯定会告诉你第一项的或 中间某一项的。那不就完了吗？就这个意思啊。哎，一个意思啊，这就是累乘法。刚才是等号左右两边的式子相加，现在啊，那就是乘法关系，等号左右两边的式子相乘呗。行， 当你了解了这个累乘法以后，我们看这道题一目了然。我看到第一个地推公式是我画横线的，这个式子我不建议你这样来看，我建议你写成 an 加一比上谁比上前一项等于二分之一。 什么？二分之一？ n 加一，再比上 n， 你看这个样子多可爱呢。左边是 a， n 加一这一项比上 a n 这一项， 右边咱如果不管这个二分之一的话，画圈里头是 n 加一比成 n， 哎，对应上了吧。所以接下来你再处理的话，就特别简单了。我多写几行啊，因为我们不 不是求的 an 加一是 an 啊，我就 an 好比上前一项等于二分之一，这个很简单吧，那就是 n 比上 n 减一。注意啊，每一项别忘了写这个二分之一啊。来，继续，那倒数第二项 再比上倒数第三项，那就是二分之一再乘，这个 n 减一， n 减二， 如果你不熟悉的话，你就多写几行呗，对吧？只有浪费不了多少笔墨，但是可以帮助你更加清楚的看清楚这道题的意思啊，计算上不要出错。最后一项肯定是 a 二比上 a 一，因为已知条件告诉你，手相是一了啊， 二分之一二比一吧，先不用着急化解。那我问你，画圈里头这个花框里头一共有几个式子？不要说 n 个了啊， n 减一个式子，这 n 减一个式子的话，等号左右两边是要相加， 那不对吧，是要相乘吧？累乘法吗？那相乘的话，左边相乘，哎，分子分母，分子分母消掉，那就变成了 an， 最后比上 ae， 等于等号右边是几个式子来着？ n 减一个式子，所以是二分之一的 n 减一次方，对吧？因为等号右边每一个式子都有二分之一，一共有 n 减一个，二分之一相乘。哎，那我画圈这一部分相乘呢？哎，分子分母异销，比如说 n 减一分子分母， n 减 n 减二分子分母，那最后就剩下个 n 比上一了， 其实我们最后呢就变成了 a， n 比上 a 就是一吧，然后等于二分之一的 n 减一次方，后边还有乘一个 n， 就这个结果了。那最后结果的话，我这个通向公式不就是二的 n 减一次方，分之 n 啊，多简单呢是不是？所以这道题 选什么？选二 b 啊，清楚了吧？一个累加一个累成，这是最基础的，但是有一类大家往往不会做，就是构造法。什么叫构造？构造？构造成相同的形式， 我想说的是等号左右两边构造成相同的形式，这个形式是千变万化的，一道题可能就有一道题专门的特殊的构造方法，你主要是观察他的形式是什么，那么他们都统一成为构造法，比如说我们看这个利益， 哎，你要让我看的话，我一看我就知道了，他应该构造成什么形式，左右两边加长数的形式。那你看第二个题，这是关于 n 的依次表达，是依次函数的形式， 那如果你看第三题，那肯定是要跨成这样一个三的多次方指数的形式，对吧？所以我们一道题一道题来说，他其实都是同一类 构造法。那第一题让我来做，非常简单啊，我们只需要把最具特色的这道题，最有代表性的这样一个呃，地推公式写成什么样子 来，左边你得有个什么？得有个 n 加一。别着急，不用问 n 加一啊，你直接加栏目的右边，把二提出来， an 加栏目的来，当我们划减之后，很轻松就变成了他等于二倍的 an， 在干嘛？再加栏目的，你跟已知条件对比一下吗？ 已知条件换横线，这个式子是二倍的 a， n 加二。哦哦，所以这个这样构造的话，栏目的原来是等于二的呀，对不对？那既然栏目的等于二的话，所以我第一行假设的这样一个形式构造法，你看左右两边是不是相同的形式， a 加一，加上二，等于二倍 a n 再加上，其实就是原来这个式子呀，已知条件这个式子左右两边分别加二嘛。哦，这一看就明白了呀，所以我能得出一个结论来，我们新构造的这样一个 an 加二这样一个数列新构造的数列啊，他的手相和工笔工笔 公比不又是前一项，乘个二就是后一项吗？公比就是二啊，那他这个手相呢？手相不是 a 一，是 a 一加二，对吧？ a 一加二，他的手相那不就是等于三吗？根据这条件，所以我这个 a n 加二， 如果一个等比数列手相知道了，公比知道了，那不就是三乘二的 n 减一次方了，进而就推出了 an 的通向公式了吧？那 an 的通向公式不就是三乘二的 n 减一次方，然后再把这个二移过来变成负二吗？这 圈部分就是我们这道题的结果了，你说难吗？不难，但是你得知道为什么要加棱呢？因为左两边就是一个长数吗？你多出来的这个二，他就是左两边多加了一个长数，这个棱的，我们用带定系数把它求出来，就可以构造法清楚了吧？ 有同学说，老师我学会了第一道题，但是很多时候遇到了还是不会做，那是因为他的变化实在太多了，你看这个是常数吗？不是，这个是关于 a 的依次函数的形式。 所以我们在构造这道题的形式的时候呢，应该怎么去构造呀？请告诉我。你也应该构造成关于 n 的依次式的形式吧？ 右边是关于 n， 那左边必然是关于 n 加一，或者反正你得错开位。那我要怎么画呢？很简单，你看我左边就这样了， 直接加上一个 ab 的 n， 再加上 b， 这就是依次的形式吧。哎，那右边呢？右边，当你把这个二提出来以后，你就不要再写这个 an 了啊，左边是 n， 你得降一个吧。那右边的话，其实就变成了什么？就变成了 ab 的 n 减一再加上 b 了， 清楚了吧？然后呢，你化解一下。所以啊，这个 an 加一，其实就变成了二倍的 an 加上多少？加上 aa 和 b 是两个数字啊，待定系数需要你求的啊。减二， a 加 b， 你对比一下呀，已知条件，他是什么等于二？ b 的 a， n 加上 n。 嗨，所以这一看，这个 a 就等于一啊，是不是啊？然后这个负二 a 加 b， 这是长数啊，那应该等于零才对点。后边 人家这个零是没有写的，对吧？他两个现在对应上我们算出来了，用待定系数法一算，原来 a 是等于一的， b 是等于二的。所以说，我们一开始假设就是构造的这种方式，我们就决定了， 这个 a n 加一，加上 n 再加上二，它是等于二倍的多少？ 二倍的 an 再加上这个是一倍的 n 减一再加上多少再加上二的，是这样一个形式吧？就是他啊，就是这样一个形式。 当你写成这个形式之后的话，那接下来是不是就很简单？有同学可能说，老师我这个位置写成 ab 的 n 加一，这个位置写成 ab 的 n， 可不可以？当然可以了啊，最后呢，最后结果肯定不会变的好，我们也可以这样来写啊，为了帮助你更好理解，那我们左边改造一下吧 啊，把这个 n 加二写成 n 加一，再加一，这样可能你更加顺眼一些啊，那右边这个括号里头的话，我们写成这个。嗯， an 加 n 再加一。哦，清楚了，所以我们现在得出来一个结果呀， 你看我圈一这个式子，告诉你什么？告诉你新构造，构造，构造就是构造成一个等差或者等比我们容易见的形式呗。 哦，清楚了，原来这个 a n 加 n 再加一，新构造的这个数列，他是一个等比数列，其中这个公比 q 等于几等于二，然后手相呢？手相应该是 a 一加一再加一吧，那应该是等于几 等于三的，所以我新构造的这个数列，他就变出来了，手相是三，公比是二啊，那所以说 a n 的通向公式， 你把这个恩和一移到右边去，变成负恩负义。哎，求出来了。这道题最终的结果就是，他，清楚了吗？原来真的不难呀，那有人说了，老师，我遇到了这种常数的形式，遇到这种依次的形式，那如果我遇到更难的，比如说指数或者对数的形式一样的， 这道题一看是以三为底的指数的形式吧，真的很难吗？不要觉得很难啊，这个题咱们用构造的方法是可以解的。怎么去解？来，我们一开始构造的时候， 你左边就给他构造成多少，你左边其实就应该给他构造成哦，栏目的乘一个三的 n 加一次方，至于栏目的多少，这就是我们需要带定的系数，需要你求的就是等待你去求嘛。带定系数，那右边的话还有 二倍，那肯定还是构造成哦，三的多少次方，那就右边，你得你这个指数得一样啊，右边都是 n， 对吧？左边都是 n 加一，这样才能构造对了，然后接下来，嗯，处理一下，行，是吧？咱们处理一下啊， 处理完之后看一下他变成了什么样子啊？那他的话，嗯，左边咱们写上这个三倍的棱的再乘三，这个可以的啊，然后右边的话就是二倍的音，再加二棱的乘三，这一看 很快很快啊，就变成了二 a n 再减去栏目的三人了。你说栏目的是几啊？你看一致条件，你自己看你就知道是几。咱们对比一下啊，已知条件是二倍的 n 再加上三倍的哦，三的 n 次方。所以这个栏目的一看就是负一吧，因为画圈部分它两个它是等价的嘛，对吧？ 哦， m 的等于负一，这也就意味着我们一开始假设的这样一个形式，它变成了什么样子，它就变成了 a n 加一，减去三的 n 加一次方，等于二倍的 an 再减三的 n。 哦，所以我们新构造的数列 an 再减去三的 n 次方，他是一个等比数列啊， 其中他的工笔，你看前一项后一项，他得乘个二吧，工笔就还是二，然后手相呢？哦，构成一个新的等笔收列啊。好， 首项多少？首项是 a 一减三的一次方啊，那其实这道题最后变出来其实就是负二哦，首项是负二，公比是二，那这道题多简单呢？所以 a n 减去三的 n 次 方，首相是负二，公比是二哦，所以最终结果 a n 就等于三的 n 次方，减二的 n 次方，你开心吗？所以现在你学会了这个构造法吗？构造法就是构造之后你右边 有个什么，有个指数以三为低的指数形式。那我左边给他来个啊，三的 n 加一次方，右边来个三的 n 次方，反正就是左右里面勾导成相等的形式啊，然后勾结果呢？新勾导的函数要么是一个非常简单的 等差数列，要么是非常简单等比数列，最后就很简单了。清楚了。那第四种通用的方法是什么？当你遇到这种分式的情况下，咱们只需要做一下倒数，倒数就是左右两边都去倒数， 然后再结合构造的方法就可以解。比如说咱们举一个例题啊，很经典一个例题经常见到的。这个题没法解门有法。 二姐，你看这个分母多复杂呢。哎呦，你看他这个分子反过来了，多么简洁呢，简洁明了，对吧？所以我反一下不就行了吗？也就是说，解这道题的时候，我们左边取到数， 是不是右边取到数就变成什么结果了？变成这样一个结果，那进而就变成了 an 加一分之一等于。本来是有个四除他的啊，我直接写成了盖中结果四倍的 an 分之一再加上三。当我改成这样一个结果之后的话，我直接令这个 b n 等于 a n 分之一，清楚了吗？那现在我们画圈部分 不就变成了 bn 等于四倍的，什么四倍的好清楚了，他是等于四倍的 b。 哦， bn 加一啊，这个应该是啊，左边是 bn 加一，右边是 bn 再加三，你说是不是非常简单的用一个构造法就可以了？咱们先求 bn 再求 an 嘛，来， 很简单吧。很简单啊，我们左右两边其实只需要加个一 b n 加一加一就是构造法啊，我本来是这个地方应该写兰木德的。哦，那我就写上兰木德吧。 四倍的 bn 再加棱的啊，然后呢？就变成了 bn 加棱的等于四倍的 bn 加四棱的，然后呢？ bn 加一加棱的，然后你把这个棱的移过去之后，就是变成了四， bn 加上三个棱的，哎，跟谁比较？那当然是跟这 这样一个谁比较呢？跟这样一个原来的这样的画圈部分比较了，这一比较就知道了，三了，么的等于三，那不就明白了吗？么的等于一啊，这是不是用构造法构造出来最简单的常数构造，对吧？所以 当我写到这种形式之后，那接下来其实就很简单了，那就变成了 b n 加一，再加一，等于四倍的 b n 加。哦，原来这是个等，谁是个等比数列，这个 b n 再加上一，这个数列，它是个等比数列，其中公比是四， 手相 b 一加一，那那不就是 a 一分之一再加上一吗？等于几？哦，手相是二，公比是四啊，那其实就很简单了，对不对？然后呢，咱们继续往下写啊， 那当我们写到这个地步以后的话，其实往后的事你自己就清楚了，我们求这个 bn 嘛，啊， bn 加一，首相是几来着？首相是等于二的啊， 公比是等于四的啊，然后呢，就变成了，咱们都变成二嘛，二乘二的二 n 减二次方，那就是二的，嗯，二 n 减一次方，所以这个 bn 等于什么？它是等于二的二 n 减一，再减一，因为我把这个一移过来了吗？但是咱们求的是 bn， 不是求的是 an。 嗨， an 和 bn 什么关系？就一个倒数关系，对吧？ 所以最终左右两边取到数还回来，就变成了二的 a r n 减一次方，再减一分之一了。横线上应该填的是谁啊？就填的画圈部分这个结 结果就行了。所以这道题应该明白了吧？这道题选明白了还不行？这节课我所讲的求数列通向的四种通用的方法，一定要掌握啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！