圆锥曲线准线定义

大家好，今天我要讲的内容是圆锥曲线第二讲，也就是椭圆的第二定义，还有椭圆的基本量、基本性质这些东西了。 然后咱们先复习一下这个团第一定义啊。上节课这个圆锥曲线第一讲已经讲过了，这个椭圆的第一定义呢，是这么说的，在椭圆上你随便找一个点，比如说这个点呢，叫 p 片点，他是在团上啊，这样如果说这个动点满足什么呢？记住了，如果这个动点，这个屁片满足的是他到定点 f 一 和这个 p 片到定点 f 二的距离呢？他等于一个定制。记住， a 是定制，但是这个定制呢，必须大于这个焦距，也就是 f 一 f 二之间距离，那这种情况下，这个动点 p 片的轨迹就肯定是椭圆了，这个是椭圆的第一定义。那什么是椭圆的第二定义呢？别着急，我们来看 这个是这样说的，这个椭圆我们先讲这个基本量、基本性质，往后你自然就知道什么叫第二定义了， 他这个对称性的话，其实很好看出来，从这个解析师的性质上就可以看出来。你看好了，同学们，如果说 他这个 x y 在椭圆上的话，我想说的是他关于 x 轴对称的，那你说这个 p 应该怎么写？关于 x 轴对称的点，横字包不变，纵字标换成这个相反数吧。那现在你想啊，如果说这个 x y 满足的是 a 方分至 x 方， b 方分成 y 方等于一， 那此时你说你把这个外，其实这个外就指的是屁点的坐标啊，当然这个点屁可以在头像上任何一个位置。那你说你把原来的外换成户外的平方还成立吗？这个方程这个等号还成立，为什么？平方吗？负负得正啊，户外的平方其实还是外的平方， 所以说我们可以说 xy 这个点如果是在这样的椭圆上，那此时我们可以说什么？ 可以说这个他的对称点，关于 x 轴对称点，这个 x 对称点，所以说关于 x 对称，那同时也如果说这个点 p x y 能够带入这样一个结实里头，也就是说点 p 是在什么点？ p 是在团上的话，负 x 多和 y 这个 p 二点呢，也肯定是在团上的，所以说关于这个外轴对称， 那为什么椭圆关于圆点对称呢？很好说，那椭圆你想啊，一个图形，他既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，那自然就是关于圆点对称的。如果用解析式这个角度来理解的话，就是说如果点 t 在这个 x y 呢？代入简易史，这个成立，也就是说点 p 在这样的椭圆上，那他的关于圆点的对称点负 x 负 y 也一定在上边，为什么你这个位置负 x 库对平方负 x 平方负负得正不还是成立的吗？所以说这个椭圆啊，有什么轴对称的话，有两条对称轴 x 外轴，那么中心对称的话，有一个对称中心原点，就是他对称中心，这个应该理解了吧？那我们继续来看第二点，第二点的话是介绍一下这个椭圆团上的动点点屁，这个 xy 的取值范围我们先看一下啊这个基本量。 首先这个 a 点 b 点是怎么求出来的？看了啊，右下角这个图 a 点的话，他是这样求出来的，首先这个 a 点他的横坐标，我们要求的是横坐标，对吧？那纵坐标的话应该是多少？纵坐标，这个外应该带成零，所以我们加零就不写了。 也就是说 x 方呢，是等于这个常数 a 的平方，也就是 x 等于正负 a， 显然 a 点在左边，在 x 出版轴上的话， a 就是负 a 多少零， b 点的话，那就是 a 多少零，是这么求出来的。所以说这种情况下，这个 a 点 b 点分别叫什么呀？分别叫做团的左顶点和右顶点，然后点 b 叫右点点，那么现在 ab 就 叫什么？就叫椭圆的长轴，我想说的是长轴，长轴，长轴指的是椭圆上最长的弦， 那么什么叫弦啊？这个弦的名字第一次听说是在哪？是在初三时候学圆圆上面任意连接两点，这就是弦。实际上对于所有的圆，这些线，包括图案也一样，比如说我 m 点在图案上吧， n 点也在图案上，那 mn 他就是其中一条弦，最长的弦只能是长轴，这个大家记住就行了啊。最长的弦长轴， 那么他的长度二 a 就叫什么？那就叫长轴长呗， a 呢？哦，原来 a 这样一个基本量，他表示的是半长轴啊，半长轴的长度， 那好，继续来说，同样的道理，可以求出上零点零的毫比和下零点零的毫赋语吧。现在 cd 就叫做图案的短轴，那么他的长度二 b 成为什么呢？成为长轴长，那基本量也就是 这里这个 b， 他成为什么？成为椭圆的半短轴，长度可以了吧。继续来看这个 c， 不过这个 c 的话，大家一开始学完这个椭圆第一定义之后就已经清楚了，这个 f 点的坐标是负 c， f 二坐标呢？是 c， 他的长度， f 二不就叫焦距吗？是不是 f f 的长度焦距，那 c 的话就叫半个焦距位，这很好理解，那继续往后，接下来这个基本量就非常重要了。团的离心率， 那这个离心率是怎么来定义的呢？离心率，首先他的表示是用这个 e 来表示的，他表示团的离心率，那离心率，离心率表示比值，谁跟谁的比值啊？这个常数 c 比上 a 的比值就叫离心率了。 那离心率表示团的什么特点呢？表示团是圆还是扁的程度？如果说 f 二非常接近的话，那其实他就非常接近于一个圆，如果 f 二 距离非常远的话，那此时他就是就是椭圆嘛，就非常扁了。那你想一下我们现在讨论的问题是什么呢？首先椭圆的话，你肯定知道 因为什么，因为这个 abc 之间的关系，他是 b 方加 c 方一组勾股数吗？ abc 都是正数，所以肯定是分母 a 比这个分子 c 要大，所以对于团来说，他离心率是零到一之间。至于后边这个抛物线还有双线的情况呢？之后我都会讲到现在，你看一下就行。 那现在我们要讨论的是什么？现在我们继续来讨论团的离心率和图案原本程度，就是说随着离心率变大，图案越远越扁了还是越圆了， 哎，不知道吗？不知道，你改一下形式吗？ a 分之 c， 那么就是根号下 a 方分之 c 方，那 a c 什么关系啊？好吗？ c 是等于 a 方减去 b 方的，那么继续来看， 再整理一下，就变成了一减去 a 分之 b 或者的平方。实际上啊，你看 啊，对于图案来说，他左右的宽度呢，是二 a 上下的这样一个宽度呢，是二 b， 所以 b 比上 a， 我知道了， ab 这个比值越接近一，也就是说 b 和 a 就是越越接近相等的时候呢，但是他只能逐渐接近，取不到相等的时候啊，毕竟这个 a 分之 b 肯定是小于一的数字， 当他越接近一的时候啊，你想一想，此时椭圆越圆还是越扁呀？你考虑一下这个问题， 此时椭圆肯定是越圆的吧， ab 越接近于一，不就是说 a 分之 b 变大的时候，中间是个减号，此时离心率要变小了吧？好，原来离心率越小，椭圆越远，那反过来，这个 a 分之 b 越小， 离心率就越大吧，因为中间这是个减号，那么此时这个椭圆就越扁啊。那有没有什么比较便利的方式记下来呢？好说，你这样来看，因为他这个对于椭圆来说离心率，你看 右边这个一是不是很扁啊，他就扁成一条线了，所以说离心率越大，那这个图案就是什么越扁吗？然后左边这个零怎么样哦？离心率越小，这零不是圆的吗？零是圆的，就是说他这个离心率越小，越接近零的时候呢，腿就越圆，你这样可以简单的直观的来记，对吧？就这样来记就可以了， 来看第四点啊，第四点的话，就快到图案的第二定义了，我们来看，他有两条直线，这两条直线呢，我们不妨看一下啊，对于这样一个焦点在 x 轴上的图案呢，他有两条直线，这两条直线分别是左准线和右准线，那么我们观察一下，这个准线就用是在 椭圆外部，还是说跟椭圆相交还是相接的情况？看好了，首先这个 x 等于 c 分之 a 方，我们呢，可以转换一下形式，等于 a 乘这个 c 分之 a， 这个 a 的话，你想一想，这括号里头是大于一的数字，括号里头大于一的话，他就大于。我懂了， 原来这条直线你看必点坐标，横坐标是 a， 那你看 x 等于四月份之 a 方，他比 a 大，所以在右侧。我懂了，原来呀，这两条准线，无论是左准线还是右准线，他是在这个椭圆外部的啊，是相离的情况，那继续往下吧。 嗯，之前呀，我们在证明什么？我们在证明这个椭圆的标准方程的时候，是利用椭圆的第一定义来正的。怎么正的呀？嗯，找一个动点，两个定点， iv f， 这两个焦点是定点啊，如果 pf 加上 p f 二是定制，定制就是二 a， 那么我们证明这个标准方程的过程呢？上节课其实已经讲的非常详细了，我就展示一下。 正到这啊，杰克，我们主要利用这个式子，当然了，你要继续往下写的话，就很快正出来。这样一个标准方程上几个详细讲过，我现在就不说了，这几个重点也不是这个标准方程，这节课的重点是变化这样一个红色的柿子，那这个柿子究竟要做怎样的改变呢？你看好了，同学们，我左右两边缺一这个柿子，我左右两边可以怎么改？ 我首先可以除一下 a 吧，左边就变成了 a 减去，变到这个情况的话，我们还不满足，怎么样啊？你想啊，他这个 a 分之四不就是离心率吗？所以说我们等号左边的话，一定要把这个 a 分之四提出来。 我想问这个根号下其实表示谁的距离啊？他表示图案上某一个点跟谁的距离，表示图案上这样一个点 p 和哪个交点？是 f 还是是 f 二距离，因为 f 二坐标是 c 多号零吗？然后你看用两点之间距离，我是 x 减 c 括的平方， y 减零括除平方开根号。哦，原来是这个含义，那我继续来写括号外头不就离心率吗？好，我现在就把这个 a 分之四改成离心率了啊，所以说这个离心率他等于什么玩意啊？他等于这个 分号下 x 减 c， 再加上 y 的平方，然后分母的话就是 c a 方四分之 a 方减去 x 了。 呦，那写到这之后要怎么办呢？写到之后我们看一下含义，实际上我们先看分母吧，分母不就代表了点 p 和谁的距离啊？点 p 和这个准线 c 分之 a 方之间的距离吗？水平距离对吧？ 那他这个分子这样一个根号，刚刚我已经说过了，是 p f 哦，某一个动点如果到定 点和定直线的距离之比是一个长数，但是这个长数呢？他必须是在什么范围内？必须是在零到一这个范围内，那此时我们接着往下推，也是可以推出来点屁的轨迹，是一个椭圆，这个就是椭圆的第二定义， 不信你看，就长这个柿子吧。现在我们趁热打铁来说一下椭圆的第二定义啊，刚刚推出来的这样一个柿子，一定要注意，它的分子呢？在图中实际上就是就是指的谁，就是指的这个 pf 的长度，然后呢，他这个分母就是指的 pm 的长度， 对不对？那现在我们就可以顺利的引出椭圆的第二定义了，平面那道定点的距离与到定直线距离之比为定值，这样的动点的轨迹就是椭圆了，这个动点还是图中这样一个屁点，他是可以动的，那么你看好了，到定点的距离，这不就是 pf 吗？动点到右焦点啊， 你看鱼道定直线距离，动点到右准线啊，你看右交点到右准线的距离之笔为一个长竖，当然这个长竖的范围必须是零到一。我想说的是， 其实这个定制这个长数，他就是离心率，就是团的离心率。那么其中这个定点呢，就是椭圆的其中一个焦点了，这个定值线呢，就是椭圆的准线。 其实这个准线如果是标准位置的话，这个准线应该是这么写的啊，四分之一方，这个就是个公式的，实际上四分之一方表示的是椭圆的对称中心到准线的距离啊，那我们继续往下写，第一条看好了， 如果说椭圆不在标准位置的时候，这个不代表椭圆就没有准线了，只不过准线会变，比如说椭圆我斜着画了一个啊，那么其中一个焦点是 f 一，另外一个焦点是 f 二，那么我在上边实际上也是有准线的，这个准线肯定是垂直于 f、 e、 f 所在 直线的，这个你知道就行。那么对称中心我们还是写成点欧，点欧到谁的距离，点欧到这样一个准线的距离，他的距离肯定是四分之一方，所以大家要理解，四分之一方实际上是跟图案有关的， 固定的基本的量，他跟这个团是否是放在标准位置，这个还没有任何关系的啊。看了吧，第二点，第二点的话，第二定义里的话，他这个意呢？到焦点的距离比上到准线的距离中，这个焦点和准线必须对应。好了， 你交点必须对应的是同他的准线，比如说右交点必须是比的什么？比的是到右准线的距离，你千万不要右交点比的是 x 等于负的 c 分这一方，这个可不对了啊，如果你写的是图中这样一个，我写一下吧。如果你写的是 p f 二，你看到 到右焦点的距离比上到左准线 p n 的距离，那只比等于一个长数，那这个时候就不行了，这个不是图案了，必须是同侧焦点和同侧准线，这个非常重要。 那么既然有了图案的第二定义，里头有些题目就非常容易来解了。我们看第一道题，第一道题的话，我一看他根本就不是第二定义，而是图案的第一定义。看好了，首先有一个点 p 吧， s， 这是个动点， 看，这是个什么呀？哎呦，这个表是 xy 和谁？我看一个吧。这个应该是 f 一，我写一下是零逗号负三的距离， 那后边呢？后边第二个根号不就代表点 p 到零正常的距离吗？所以这不就变成了 p f 一加上 p f 二等于十，其实这个十就是二 a， 然后他大于这个 f 一， f 大于二 c 吗？肯定是大于的啊， f f 距离一看就是等于多少的，一看他就是等于二 c 等于六的。 所以说他这个焦点在哪？焦点在外轴上，焦点在外轴上，显然这个 a 等于五，然后 c 等于三，那 b 不就等于四吗？因为 abc 是一组勾股数吗？我们直接写啊，这个 a 方分之，那就是二十五分之外方啊，焦点在外轴上， 然后 b 方分，真的就是十六分之 x 方等于一。好了，这个就写出来了，对不对？还是挺简单的，这是第一定义。我们重点来讲第二道题。这第二道题的话，看好了啊，他这个根号这一部分挡住了，这是有一个根号的，他说动点点屁，满足的是这样一个，看 同学们仔细来看啊，哎，你说这个绝对号是个什么东西啊？绝对号大家别忘了啊，有一条直线，如果他的 意思是 ax 加 b 外加 c 等于零，那么员外有一个点，这个点的话，我写一下 x 零外零吧， 点到谁的距离啊？点到直线 l 的距离，实际上是有距离公式的，那这个分子是个绝对号， aix 零加 b， y 零加 c， 但是别忘了，分母还得出个 a 方加 b 方开个根号，这样才是点 m 到直线 l 的距离。 那么根据距离公式的话，我们很容易联想到你等号右边是直线加一个绝对号，那好吗？肯定是跟距离公式有关的，那 他下边其实应该凑一个根号下三方加四方，才表示某一个点点 p 到这条直线直线距离吧。这个直线我们一看就知道是三， x 加四外加二等于零，那不妨我们就写出来吧，那左边的话是不是也得除五，右边也得除五啊？左边除五的话， 我们就变成了二倍的根号下 x 减一啊，平方，再加上 y 减二的平方啊，这条直线是确定的直线，那其中有一个定点的话，我不妨写成 f， 实际上就是一个和二吗？那 左边这个根号的话，其实就代表什么根号下平方就代表 pf 的距离，我们一会再写啊，接下来大家看好了，左边除五，是不是右边也要除五？不过右边这个五的话会写成根号下三方加四方的形式就能看出来了， 其中左边的话，显然他就是什么两倍的 p f 的距离哦。动点到定点的距离等于什么？等于这个动点到定直线的距离，我把那不就相当于二分之一等于 p f 再比上 d 吗？ 其中呢，分子是动点到定点的距离，然后这个分母是动点到定直线距离到焦点的距离。遇到准线的距离之 笔为长数，这个长数就是在一到二之间的，是二分之一，实际上这个二分之一啊，就是离心率，所以你说是不是抛物线的第二点一，所以选 a 就行了。你现在既然涉及到这个基本量离心率了，咱们算两个关于离心率的题目。第一个题的话，你看 你左右两边画成这个 a 方等于四倍的 b 方吗？嗯，因为离心率的话，咱们求的是 a 分之 c， a 和 c 的关系，所以这个 b 方的话，我们应该转换成这个 a 方减 c 方才行，那很快就整理成三 a 方等于四 c 方这样的形式了，其实也就是 a 分之四等于二分之刚好三， 所以第一个题的离心率就是二分之刚好三。注意，如果只有 a 和 b 的话，平方以后转换成 a 和 c 的关系啊，那第二个题的话，这样吧。嗯，他是关于 a b 的二次式，直接是向第一题消不掉。那这样吧，我们左右两边同时除 a 的平方，接下来我们继续来换，接下来 再变成这个形式。那索性我们不如把这个 a 分之 b 换元看成一个整体就行了。求 a 分之 b 就行啊。那其实这个方程就变成了根号二， t 方加 t 减根号二。 这个呢，用音式分解的方法。第一项呢，拆成了这个根号二， t 乘 t。 那最后一项，这个负根号的话，拆成根号二乘负一， 这样的话，我们试一下能不能凑出来，正好凑对了，所以最终结果的话是根号二 t 减一，再乘 t 加根号二等于零。显然这个 t 啊， ab 都是正数吗？所以 t 也是正数， 所以说 t 等于二分之根号二。那最后 t 求出来了。根据刚刚我强调的那样一个公式，那离心率不就等于根号下一减括号 a 分之 b 括这个平，最后算出来还是二分之刚二的，所以说第二题离心率就是二分之根号二。那这节课你学会妥然的第二定义了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

来，朋友们，如果说圆锥曲线的小题考到这种抛线了，那么你就笑吧，非常简单的，那你求抛线的焦点啊，或者叫准线啊。这种题，首先你要把它画成标准形式， 等号的左边要写成二十项，所以我们区分母两边同时乘以八，变成八， y 等于 x 方，那么所以说 x 方就等于八 y 啊，这样写好看啊，等号的左边是二十项，等号的右边是一次项，然后呢，焦点位置看一次项，一次项是 y， 所以焦点在 y 轴上， 先写下的焦点，焦点在歪轴上啊，那么一定就是零逗号多少，然后这个数就是把这个前面这个系数整体这一个系数啊，就是八呀，八除以四，八除以四，是不是得到二，所以他焦点是零逗号二。然后呢，准线就是 看这个数，这个数是不是 y 坐标，那么就是 y 等于多少， y 等于多少啊，记住，还要取一个相反数，一定要记住啊，是不是二呢？取个相反数，负二呢？所以说我们去选 a 搞定，你看这个题，其实就只需要几秒钟就拿下了， 听见没，来念个题吧，这个抛物线看一下是不是标准意思啊，写下他的焦点坐标以及他的总成是多少，打在评论区讨论讨论吧。