三角函数诱导公式由来

这个视频我来讲讲三角函数的一组公式。先来看这几个卦里都是阿尔法加二派，括号外分别是赛普、赛潘金城， 要怎么化解他们呢？嘿嘿，咱可以借助三角函数线来看，假如这是叫阿尔法，那 mp 就是赛阿尔法， om 就是口赛阿尔法， at 就是潘俊乔尔法。现在在阿尔法的基础上，在逆时针转一圈，也就是阿尔法加上二派，你看周边没变， 所以阿尔法加二派的正弦值、余弦值还有正切值都和阿尔法的一样。也就是说，赛阿尔法加二派就等于赛阿尔法，口赛阿尔法加二派就等于口赛阿尔法 三点，像阿尔法加二派就等于他人尽头。阿尔法以后遇到阿尔法加上二派，不管是阵弦、余弦还是正切，直接把二派去掉就行，三角函说 都是一样的。进一步还可以发现，把二发加上整数个二派，或者减去整数个二派，中边都不变，这些值也都是一样的。所以对于这些，比如加四派减二派，还有加六派， 只要十二派的整数倍，都可以直接去掉，三角函数值是一样的，二派的整数倍搞定了。那要是画点这些三角函数呢？别急，我来教你两招，可以把他们通通解决。第一招，确定函数名，秘诀是机变偶不变。 所谓机变，是指看到二分之派的基数倍，函数名改变。所谓偶不变，是指看到二分之派的偶数倍，函数名不变。知道了，秘诀，咱来用一用。看第一组的括号里都是二分之派，显然是二分之派的基数倍，那函数名就得改变。所以原来是赛 变成口塞，后面再写上阿尔法，原来是口塞，就变成塞尔尔法，原来是潘金乔，就得变成孔滩金枪。阿尔法。第一组的韩书名就这样搞定了， 不过还没完，一会还得确定符号再来解决。第二组的函数名，卦里都是派，显然是二分之派的偶数倍，那函数名是不变的。所以 原来是赛就还是赛。后面同样写上阿尔法，原来是口赛就还是口赛，尔法原来是贪君，乔就还是贪君乔。尔法。同样的符号也待确定。 看最后一组括号里是负尔法。咦，没有派咋办呢？那就看成是零派呗，也是二分之派的偶数呗。所以韩书名也都是不变的符号也待确定好了，搞定韩书名，咱接着第二张符号要看象限。具体 做法是这样的，先把二发看成第一项线角，比如三十度，那二分之派加二反就是一百二十度，是第二项线角。我们知道第二项线角的下一值是正的，那这个值也是正的，这样就搞定了。接着往下看， 第二项戒角的口算值是负的，那这个值也是负的。还有第二项线角的贪君特值也是负的，那这也是负好，怎么样，会确定符号了吗？再啰嗦一遍，先把阿发砍成三十度， 再通过括号里角的象限判断出这个式子的正负，也就是这的正负了。方法知道了，咱接着解决。下面的同样把二法看成三十度，那派减二法就是一百五十度， 也是第二项现象，所以这个柿子是正的，这也是正的。这两个柿子都是富的，这也都是富的。 最后看这组，还是把二法看成三十度角，那负二法就是负。三十度是第四象限的，第四象限角的赛值是负的，所以赵尔为负。但第四象限角的口赛值是正的，所以赵尔为证， 他安全特值是负的，所以炸为负。符号确定完毕，这样就都搞定了。你瞧，这些就是诱导公式了，要推倒他们，只要用这两招就行。第一招，确定函数名，二分之派的基数倍函数名改变 二分之派的偶数倍函数名不变，简称机变偶不变。第二招，符号看向线，先把阿法看成三十度，再通过括号里角的象限判断出这个式子的正负，也就是这样的正负了。另外，只要看到括号里有二派，直接拿掉就可以了。视频我就讲到这，速速刷题去吧！

大家好，今天我们来讲一下三角函数中的诱导公式，因为我有点感冒了啊，所以今天大家将就听一下，也许呢，诱导公式你不清楚是什么，但是你一定记得高中数学的这样一个口诀，基变偶不变，符号开枪线。 那么究竟是什么含义呢？咱们来看一下，我先把结论告诉你，然后再一一去解释一下。咱们举一个例题，你实际上就清楚了，比如说三啊， 三二派加上 r 粉，他等于多少呢？你一定要清楚的一点是什么？你清楚的一点是，无论是 r 粉还是他这个 r 加上 r 派，他的中边是保持一致的，因为他完整的转了整整的一圈嘛，对吧？中边一样， 中边一样的话，中边位置一样。根据上级和我们讲完的这个三角函数定义，他就是三 f， 那么再举另外一个例子吧，哪个例子呢？比如说来一个三二分之派加， 那么这个三二分之拍加上 f 的话，他等于什么？现在标了啊？比如说在图中我现在画的这个角的中边是 f， 那么现在这个二分之拍加上 f， 二分之拍的中边就是外轴的正慢轴啊， 那加上 rf 的话，他们俩之间差了九十度，对不对？这个就是二分之派加上 rf， 那等号右边就不再是三 f， 而是扣三 f 了。为什么会产生这样的结果呢？比如说我们 p 一这个点呢？是在 r 和这个中边上，他这个坐标，比如是二多号一，那 p 二的话，因为他在同一个圆上啊， 在同一个圆上的话，这个 p 二点的坐标应该是多少？应该是负一，都好。二，你看对于这个 rf 来说，扣三可是正的吧，那么对于这个三二分之派加上 f 的话，他也是正的吧，两个都是正的，因为他的众多标是正的，两个都是正的话，这 来个正好就行。那我们发现第一个没有变名三还是三，第二个变名了，就是说正弦函数右边变成了这个余弦了，啥意思啊？你看这是一个二分之派吧，这个二派。有同学说，老师，哦，不是应该这样说啊，四个二分之派 哦，偶数个二分之派，我们名字啊，就不变啊，这个三对应的还是三，然后左边右边是口三，那就都是口三。那如果说是基数个，这就是一个呀，一个不就是基数个二分之派吗？ 如果遇到了基数二分之派，那等号右边的话就要变名了。原来左边是什么？原来左边我是三，后来呢？这个右边就要变成口算了，这就是基变五变。这基变五变具体来解释的话，咱们就可以看成这个，如果说你这个 k， 我们改成这样一些法 k 倍的二分之派， 如果你这个 k 是基数等号右边，他一定是改造成口算了。理解这意思吧，就是当 k 是基数的时候呢，要变名三，要变成口算，口算要变成三。 什么叫偶不变偶不变？就是说当这个 k 是偶数的时候，我三角还是那名字是不变的，左边是三啊，右边还是三啊，原来就这样一个含义啊，那对于口三当然也保持一致啦，这个也是，这个位置应该写这个二分之派啊， k 背的二分之派也一样啊，如果这个位置的 k 他是基数的话，左边是扣三，右边可就要变成三了啊，这叫几变？五变， 然后如果开始偶数的话就不用变名。你左边是扣三，右边还是扣三，至于你这个中边究竟是这个位置填正好还是负好的话，这个取决于 r 和还有括号里头这样一个中边两个中 分别位于什么位置。第几象限，懂了吧？这就是符号看象限的意思。那具体操作一下的话，咱们来做一个简单的例题啊，注意，这改一下是派。那看好了， 这个题他怎么办呢？我们可以这样来解决吗？你说这个负的六分之十九派，我们可以看成什么？可以看成负三派，再减去六分之派。 哎，这个负三派的话，有同学说，老师这个是基数，哎呀，你不要看这个，我们是基数个二分之派。是问你基数个还是偶偶数个二分之派，所以我们改造成什么呢？改造成负六个二分之派，再减去多少？再减去六分之派， 你看哦，数个二分之拍吧。所以说你原来求的实际上就是负六个二分之拍，再减去六分之 拍。我等会右边变没变名啊？不变名，因为负六啊，他跟的是什么负六？人家是一个偶数，不用便名，肯定还是三按三按负六分之排，但是你说左边他这个位置填的是正好还是负好，这个的话就不一定了。为什么你得画图了？什么意思呢？ 划一下啊，这个负六分之派呢？应该是在这个位置负三十度嘛。负六分之派啊，然后这个负三派，哎，这个负三派，我晕，哪位于 x 的负半轴上对吧？负 负三派再减减的方向是什么方向啊？是顺时针，是负方向啊，所以说这个是负三派，再减六分之派，就这样一个含义，他两个角的话问的是三，你看，因为你这个负六分之派，他这个中边位于第四项线，所以三是负的，然后钱都是挣的， 就他俩符号，他俩这个正弦呢？是一正一副，一正一副的话呢？所以说符号相反，只得填一个符号，懂了吧？那填完这个符号以后的话，我们再继续来。 实际上我想跟大家说的是哪一点呢？你说这个三按服务六分之派和三按正六分之派是什么关系啊？ 三按正六分之拍，你画一下这个中边吗？他来的中边，这个是六分之拍，然后这个是负六分之拍，他来的中边是什么关系？是关于 x 组对称的，也就是说 p 一点，这个 p 一点和 p 二点纵左边相反，也就是三暗之相反的意思。那我懂了， 你三六十度还不知道是多少，这个初三就知道了吧。所以是负的二分之一。然后我们求的是什么？我们求的是画圈部分，人家看的是多少啊？原来你这个整体呢？他是等于负的二分之一，我再来一个负号，那就是负负得正二分之一。所以第一题的话 选 c， 千万不要搞错了，就地区口诀嘛，基变，我不变符号看向线。那继续来看，我们举几个例题啊，势力来看。第一个， 什么叫二 k 派？他当然默认这个 k 呢？肯定是整数 k 背的二派，其实也就是二 k 派，这就是完整的整数圈嘛，也就是说你无论说是 r 分 还是 r， 加上二 k 派，因为我完整的转了整数圈 k 圈吗？不管是正方向还是反方向转了 k 圈，那中边一样的话，根据三角 s 的定义，他们当然可以话筒也好了，对吧？原因在于他们中边一样 第二个，第二个也是这这么回事啊，如果你这个 rf 标到这个位置的话，那 rf 加上派或者派加上 r 粉，那是不是就是在一条直线上？因为是个平角嘛，这个派对吧，派就是平角。所以说我们看三 m 三的话，你点屁的坐标，我们标成了什么？标成了 xy， 现在我放大的写啊，那对于这个屁片来说的话，不就变成了负 x 负啊，因为这两个点是关于圆脸对称的。是不是 纵坐标相反，半径相等，根据三角函数定义，他俩不就是相反数的意思吗？所以这有个负号理解了吧。然后还符合基变不变符号，看一下这个道理吗？当然是符合的呀，为什么两个二分之拍，偶数个二分之拍，所以不变名？下面这个你自己讨论一下就行， 我们继续看第三个图。第三个图的话，咱们就研究一下这个口赞吧。如果 rf 在这点 p 在这个圆上的坐标是 xy 啊，那这个派减去 rf， 这个应该清楚啊，为什么呢？这个脚叉是 rf 吧，你派减去 rf 不就是反方向顺 是往下转了这个 r 和的角度嘛。这就清楚了，我们明显发现这两个角他的中边是关于外轴对称的，那关于外轴对称的话，意味着点屁也是关于外轴对称， 那屁撇的坐标那就变成了负 x 中外了。那就好说了，横坐标互为相反数，根据鱼线函数的定义，横坐标比上半径吧，所以说怎么样？他其实画圈这个位置他是错的，所以你不要认为所有讲印象都是正确的啊，这个位置应该填个负号才对， 对吧？原因就在于一个是副 x， 一个是正 x， 所以这呢得有一个副号。那到这以后的话，咱继续再看啊，这个视力的话，我建议你都画下来自己讨论讨论。我的话就只讲最后一个了啊，前两个你们自己琢磨琢磨肯定清楚的嘛，一个是 f， 一个是 fuf， 对不对？第三个图的话，这样来 标，这个 f 在这。嗯，这个 f 加上二分之派，不就是加上九十度吗？就标到这了，我们明显发现呢，这个如果点屁的坐标是多少？我放大一点吧，是 x y， 如果点屁坐标是 x y 的话， 这个屁撇的坐标，那就变成什么呢？就变成了户外多少 x。 其实刚才我举过一个例题，刚才我举的是二十多号一，这是点屁吧，现在改成了这个字母，以后你也要跟上啊，我们先看第一组啊， 这个三和口三都是正数吗？所以说直接跟上就行了。为什么这个三和口三变名了呢？因为只有一个二分之派，即便我不变基数和二分之派，这也是基数和二分之派，所以变名了。但是第二行的话，有个富豪很爱眼，究竟为什么？怎么来的？这个富豪好说，三是不是正点？好说话，肯定 是正点，因为 f 是第一相应角，那这个二分之派加上 f 是第二相应角，横坐标是个复数啊，同学们， 所以懂了吧。符号看相线，就这个意思，即便我不变符号看相线，接下来我们就正式做题啦，希望你能跟上啊。下边是这个总结，即便我不变符号看相线。说了很多遍了，来，先看第一题，二百一十度不顺眼吧。你二百一十度不顺眼的话，索性我就直接写上什么，写成 一百八十度加三十度，也就是两个九十度，再加上三十度。 首先偶数个九十度不用变名吧，后边肯定还是跟的散，但是前头决定是正好复好的话，这个必须画这个图了。一开始不熟练的时候，那我们看一下这个图啊，三十度呢，这个中边肯定在第一象限，然后三十度再加上一百 八十度的话，也就是二百一十度啊，你看，肯定一个正一个负了吧，对于三来说，所以是负负多少？负的二分之一啊，这你还能不知道是多少吗？来看第二题，第二题的话，咱们也是改造一下形式， 你这个六分之二十九派呢？我们最好改造成什么样子呀？给他改造成六分之二十四，也就是四派， 再加上六分之五派，那多简单呢？所以说我们求的这个原式，它实际上就是扣三多少，扣三六分之五派。为什么？因为四派是完整的，整整的，多转了两圈，中边 是一样的啊，就你这个四派加上六分之五派，跟六分之五派本身中边一样，我这个口散当然就一样了，是不是相当于让你求这个口？三六分之五派，那接下来又怎么求呢？六分之五派我不知道啊，但是，但是你肯定知道六分之派吧， 也就是说派减六分之派。懂了，你这个位置是个什么东西啊？我这个位置是几个？是两个二分之派，所以是偶不变吧。所以说名字呢，不要变，还是扣三六分之派。但是接下来这正负号的话，你就要注意了，就这个位置究竟是正还是负？标一下呗， 看六分之派的中边，在第一象限嘛，也就是三十度，然后派减六分之派呢？派减六分之派的话在第二象限，你看对于点 p 一和 p 二来说，他俩的横左边一个正，一个负，所以这两个呢？一个正一个负，所以要填负号呗。 那最终算完之后你肯定会啊，负二分之根号三嘛，是不是负二分之根号三咱们就填完了。然后下一个题的话，这个就看一下，我稍微提示一下吧。有同学说，老师这个算的太多了吧，也不多。 为什么？你摊着的四派是多少？你四派的话，四派这个中边是位于 x 的什么非副办轴上，也就是说点屁的坐标肯定是 x 多少零。 那摊子呢？本来是等于这个纵坐标比上什么呀？本来是等于重坐标比上横坐标的，那不就零比上 x。 所以说摊子的四派其实是零，零的话，你说中间这一项还需要算吗？不用算任何数乘零，他其实就是一个零。 其实我们看到这以后的话，只需要算谁啊？只需要算就是前后这两项就行了啊。然后我就直接说答案了，好吧，前后你算出来以后呢？ 其中一个是多少？其中一个呢？他是二分之一，另外一个是减二分之一。那最后算完的话，最后多少？因为他有个负号码就是零就可以了啊。最终算完是零，最后一个 这个的话确实有难度，这个立二立二的话东西太多了嘛，咱一步一步来啊，一共就五部分嘛，第一部分，第二部分，第三部分，第四部分，第五部分，这五部分分别算出来代入就行了。 那我们索性先算这个三案可不可以啊？可以吧，也就是说，哎，画圈这部分怎么算？你这个十四分之十三啊？我看的不顺眼， 我希望把它看成多少呢？我希望呢，能把它看成四分之十二加四分之一，也就是多少啊，也就是三派再加上四分之派。这个的话六个二分之派不用变名吧。所以实际上画圈部分呢，他就是三 四分之派，但是最终需不需要跟这个负号，这你就得搞清楚了，需要跟一个负号最终算完。画圈部分是一个负到二分之杠二。注意啊，画圈这个整体是负到二分之杠二。第一部分 算完了，然后这个第二部分你算一下是多少？第二部分的话我就直接说吧，第二部分是二分之一，然后这个分母的话出现一个贪着呢，这个贪着呢就很难吗？也并不是，我们这个三分之二十三，现在算的是第一部分的分母啊， 三分之二十三的话，我希望把它看成三分之二十一，也就是七派，再加上多少呢？再加上三分之二派。你这三分之二派不就是一百二十度吗？咱这样标啊，三分之二派，七派再加上三分之二派，这不就还是吗？三分之二派。他俩呢？这个中边是关于圆脸对称的， 所以说他俩这个贪真的什么关系啊？肯定是相等关系，所以就直接写成贪真的多少贪真的三分之二派，写成这个样子，那写成这个样子以后呢？不满意他呢？其实就是富的贪真的三分之派，也就是富的根号三。所以 第一部分这个分母呢，算出来是负的根号三就行了。然后剩下的部分我就不相信说了啊，我告诉你们算出来是多少， 直接带入原式负的二分之根号二。还记得刚才算出来是多少吧？乘二分之一，这个分母是负的根号三。然后第二部分的话我就直接带了啊，这个的话是一个是二分之根号二，另外一个是负的二分之根号三。 我们化解一下吧。化解之后的话，第一部分是多少？第一部分是十二分之根号六啊，然后第二部分呢，是负的多少？负的三分之根号六。 那经过整理之后，最终结果是负的四分之根号六，所以横向上填负的四分之根号六就可以了。这个题一步都不能错，你只要一小部分错了，剩下答案应该都算错了。最后一道题的话，有一个比较碍眼的地方是什么呢？就是说他是两 里头有派，这个目标，里头呢也有个二分之三派，这怎么办呢？其实我们可以用整体法，很多时候呢，其中期末都要考这种题，我们整体法的话，可以把 a 就直接写成这个派加 r 粉。 然后角 b 呢，直接写成二分之三派加 r 粉。我们探讨一下这个角 a 和角 b 之间有什么关系？ 角 a， 角 b 之间哦，角 b 比角 a 大了多少？大了九十度啊，也就是说这个 b 是等于角 a 再加上九十度二分之派的， 所以他本身求的是三 b， 这没问题吧？其实我们完全可以把它改成这个三二分之派加上 a， 基数个二分之派要变名吧，那就变成口三 a 了。接下来究竟是正还是负？哎呀，你假装假不假，让你标一下，比如说这个 地方是 a 吧，然后这个 a 加上 a， 再加上二分之排三是正的吧？ 扣三 a 也是正的吧？他俩符号相同嘛，所以实际上最终算出来就是扣三。扣三 a 告诉你了，是一时条件五分之四，所以用整体把来算的话，马上就算出来，答案就是选 c 了。分享课堂知识，感受数学之美。我是安帆老师，下期课再见！

很多年以前，有两个人，一男一女同时穿越到了很多年以前的。很多年以前，他们彼此知道对方也穿越了，但是穿越到了不同地方，奈何没有手机，发不了抖音短视频，隔空喊话。这个女人原本是一个超能力者，使用自己的超能力快速当上了女王。有一天，女王想到了一个好主意， 他站在城门上赏金万两，出了一幅对联，若有人能对出下联，就可以得到黄金万两。只见上联是积变偶不变，引得千千万万文人默克趋之若悟， 正在看这条视频的你，一定能对出下联，赶快穿越过去，赢得万两黄金吧！故事就说到这里。首先上联基变偶不变的意思是，如果加的这个已知脚是二分之派的基数倍，那么三角函数名就要变。 如果是三引，就要变成靠三引。如果是靠三引，就要变成三引。第一题，这里给阿尔法加的是二分之派，他当然是二分 派的一倍，一是个基数，所以撒印阿尔法就要变成敲撒印阿尔法。再来看下联，符号看象限的意思，我们永远把阿尔法看成一个锐角，那么等号左边的这个阿尔法加二分之派就是第二项线角。撒印的第二项线角是正的，所以等号左边为正， 等号右边靠撒引。阿尔法本来就是朕的，所以就 ok 了。第二题，这个位置角是二阿尔法加贝塔，看起来好麻烦。没关系，我们把这一坨看成一个整体，给这个整体加的派是二分之派的二倍，二是一个偶数，因为机变偶不变， 所以 cosy 这一坨依然是 cosy 这一坨。再来看等号左边，我们此时应该把这一坨看成一个锐角，那 那么这一坨加派就是第三项线角， cosain 的第三项线角为负，所以等号左侧是负数，而等号右边原本是正的，所以得加个负号才能使等号成立，那么最终就是负的。 cosine 奥尔法加贝塔，你学会了吗？