比大小对数函数

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲高考数学中的只对比大小的题目。高考数学呢，几乎每年都会考一道比较大小的选择题，其中呢，经常会出现只对比大小的题目，非常经典。我们先来看全国一卷曾经的这样一道题啊， 他说的是 x、 y、 z 这三个数呢，都是正数，已经告诉你了。然后啊，他说这个二的 x 方，三的 y 次方和五的 z 次方， 他俩都是相等的。然后他问的是谁大小呢？他问的是二倍的 x， 三倍的 y 和五倍的 z， 这三个数字究竟哪个大哪个小，让你比较一下大小清楚了吧，题目还是很简洁的， 那么对于这种问题来说的话，你看 x 我不知道，然后你这三个底数二、三、五还不知道，那怎么办呢？来，这样我们啊可以这样来做，我考 让这个二的 x 次方，还有这个三的 y 次方，还有谁呢？当然还有这个五的 z 次方，我都等于一个长数 k， 那么根据指数函数的性质啊，因为你 x、 y、 z 都是正数嘛，二三五也都大于一，所以此时这个 k 肯定是大于一的这样一个长数，这个不用多说， 等于一的数字的话，那接下来我们需要把这个 x、 y、 z 单独拎出来哈，比如说二的 x 方等于 k， 我们左右两边取什么呀？直接取这样一个对数运算不就行了吗？也就是说这个 x 根据对数的定义，它就是等于 log， 以二为底， k 的这个是清楚的哈， 那么写到这一步之后的话，你要注意，我们比较的不是 x、 y、 z， 比较的是二倍的 x， 三倍的 y， 五倍的，所以我们有必要 写一下二倍的 x， 这个二倍的 x 啊，那按理来说，我们是应该写成这个样子的，那怎么办啊？来，现在就有一个问题了，我这个二是移到 k 这个上面写一个 k 的二次方呢？ 还是我这个二移到这个，嗯，下边这个底数这个位置写一个二的二分之一次方呢？也就是说一比上二分之一啊，这个二倍，我这个二分之一是可以写成哦，写成什么样子啊？前头有个二，你要写到下边的话，就变成二的二，二分之一次方，根号二。 哎，有点意思。那同样的道理啊，我这个三的 y 次方等于 k 吧。那第一步的话，我可以先把这个 y 单独拎出来，根据对数的定义， log 三 k 是没有什么问题的。那三倍的 y 的话，来三倍的 y， 那不就是三倍的 log 三 k， 那三我还是一道 下边去，那其实就变成了 log， 哦，三的三，四根号下三吧。嗯， 然后 k， 哦，清楚了，其实我们只需要来一个倒数运算根据，嗯，对数运算的这样一个换底公式，或者说看了啊，这样一个运算法则，我换一下这个 k 和这样一个位置吗？正数和底数的位置就变成了 log， 以 k 为底根号二， 那下边这个的话就变成了 log， 以 k 为敌，三次根号三，那清楚了吧？同理嘛，接下来这个其实我都不用写了，五的 z 次方等于 k， 那 z 的话，根据对数的定义，它不就等于以五为底 k 的这样一个对数吗？然后呢，继续来写那五倍的 z， 那其实就变成了五倍的 log 五 k k 我们就不要变了，你五要移到下方的话，就变成 五的五分之一次方，其实也就是五次根号下五。好，那我们倒放一下位置啊，取一个倒数运算，以 k 为底，五次根号下五，现在应该很清楚我接下来应该怎么办了吧？应该都清楚了哈，你看他都是以 k 为底的，分一个是二次根号下二， 三次根号下三，五次根号下五。嗨，这就很简单了吗？我们现在的问题就在于这三个二次根号下二，三次根号下三啊，还有这个五次根号下 五，这三个怎么比？大小？只要比较了这三个的大小，那么这三个就是二倍的 x， 三倍的 y， 五倍的 z， 这三个大小就很清楚了，是吧？怎么比呢？很简单，比如说我们先比较这个三次根号三于谁的大小啊？于这个二次根号二，其实这个二次根号这个二是经常 省略的啊，我，我就写出来吧，与他的大小。那怎么比呢？二和三井号角最小公倍数是多少？六哦，所以我在比较的时候呢，我这个三次根号下三啊，我要写成这个，呃，六次根号下，其实也就是三的三分之一次方，如果你写成六分之一次方啊，六分之二次方， 哦，清楚了，那就变成了六四根号下三的平方，那不就是九啊。那继续来写 根号二，根号二的话，二的二分之一次方，那如果我写成六分之六分之三次方，哦，六次根号下 三啊，二的三次方，那不就是八吗？你说哪个大的哪个小？六次根号下八和九，当然是九八了，清楚了吧？所以说第一步我们首先得出来的是谁呢？是这个三次根号下三啊，我们已经得出来了，他是大于二次 根号下二的，但是还有问题，你这个二次根号下二于谁啊？于这个五次根号下五这个东西还是有必要比较一下大小的。怎么比较呢？一样的哈，二次根号下二经常省略，我现在就不省略二和五的最小公倍数，它是十吧。 那所以说嘛，我这个二次根号下二的话，我建议你先写成二的二分之一次方，那不就是十分之五次方吗？ 哦，清楚了，也就是说十四根号下二的五次方啊，那不就是二的五次方三十二吗？非常简单。那继续。 那如果说是五次根号下五，按理来说是五分之一次方，我写上十分之二次方，为啥不可呀？那其实就变成了十次根号下五的平方，五的平方那不就是二十五，你说哪个大哪个小吗？一看还是个大于号。哦，清楚了。 也就是说啊，现在经过判断，我们发现三次根号下三是最大的，二次根号下二，四指紧接着随最小啊，五次根号下五最小的，但是 分母最小的，整个分式反而越大吧，所以咱们应该反过来，五 z 是最大的，对不对？五倍的是最大的，然后中间的话就是二倍的 x， 最小的当然就是三倍的 y 了。所以这个题的话，请你告诉我选什么？当然是选四 d 了，清楚了啊，变形就可以，当然也有别的方法，外面不离其宗嘛，都是这样一个只对运算的法则。 那好了，我们继续来看，这个应该是一八年或者一九年的指数对数比大小的一道题目，这个题目的话，我们看他一般情况下给的是 abc 三个数字，但这道题给的是两个数字， a， 他等于 log 以零点二为底，零点三的对数， b 的话是以二为零，零点三的对数。哎，我们发现他的帧数是一样的啊，虽然他的底数不一样啊，一个零点二一个二，但是他这两个零点三一样，所以很有可能 a 和 b 是要取倒数的，索性我们先取倒数再说啊。这个 a 分之一的话，你倒过来，那不就变成了烙个零点三 啊，零点二嘛，对吧？然后 b 分之一的话，同样道理，你反过来，那就变成 log 以零点三为底二的这样一个对数。那么有什么用呢？来看问题哦，我们先判断一下 a 和 b 的大小吧，就是跟零比较啊，这个根据对数的运算法则，或者说对数函数的这样一个性质的话， 他不用多说了，肯定是 a 大于零的啊，没有问题。然后 b 的话，哦，他零点三在零到一之间，他是小于零的，清楚了吧？先把 a b 的 这样一个大小判断了，那么接下来来，反正你比的是这些东西吗？啊，那 a 乘 b 的话，肯定是个负数，结果 c 肯定不对，他 a 乘 b 怎么能是正数呢？他这一部分就不对了， c 就可以排除掉了。那么我们继续往下做， 如何比较他俩大小？做比呗，最笨的方法就是 a 加 b， 在比上 a 乘 b， 对吧？你做比，然后呢，他就等于 a 分之一加 b 分之一，这能加呀，因为什么呢？因为你都是以零点三为底的，清楚吧啊，落个零点三为底， 然后看了，哦，后边是以这样一个底数相同的话，那这个零点二乘二，你看这个帧数是可以相乘的呀，相乘那不就变成了零点四，这个不用多说了吧，根据指数函数 log 零点三吧。 x 它是一个单调递减的函数啊，它显然是小于 log 零点三。零点三其实就是小于一的，但是人家毕竟是个正数哈，所以说我们最后得出来什么呢？ a 乘 b 分之 a 加 b， 他是在零到一之间的。那你每个位置同乘 ab 呗，那每个位置都乘乘 ab， 注意的是个负数啊，负数的话， 你注意了不等号，如果左右两边同时乘相同的负数，不等号，方向要改变的，所以变成什么了？变成了零大于 a 加 b， 然后大于 a 乘 b， 显然这道题选什么选二 b 清楚了吧，所以这个题的话也还好吧，就倒过来就行了。把这个底数和真数倒过来， 那么我们继续来看第三个哈。第三个的话也是全国三卷，但是是比较近的啦，离现在他说的是什么呢？三个数啊，首先是 a 等于 log， 以五为底三啊，以八为底五，然后呢，十三为底八。问你这个 a、 b、 c 哪个大哪个小，但是他有一直条件，他首先告诉你五的五次方， 八的四次方啊，肯定有关系，十三八，你不就是吗？一个十三为底，一个八为帧数，然后五和八呢？也是啊。哦，这是五，这是八，反正是这个已知条件，不可能白给你。那我们就写嘛，先来看第一个已知条件， 因为你这个五的五次方是小于八的四次方的是不是？那现在的话，我们可以联想到落个八五吗？左右两边同时取什么？取 log 以八为例的这样一个对数哈，左边的话就变成了五倍的。我直接把这个指数提出来了啊。 log 以八 为地，本来是五的五次方，这个五是可以移到前头来的啊。那继续来，小于 log 八八的四次方，那根据这样一个对数对应，他实际上就是等于四的。哦，原来我想先得出来什么呢？先得出来这个 log 八五， 也就是这个 b 哈，它是小于五分之四的，这是圈一，这个肯定很重要。 b 是比五分之四小的。那我们继续来看另外一个移植条件，十三的四次方是小于 八的五次方，有什么用呢？那我们也是要取对数，但是取的话，你就得取以十三为底的这样一个对数了，对吧？取的是 log 以十三为底的这样一个对数。嗯，那左边的话其实就变成了四，我就不多说什么了啊。 log 十三为底，十三的四次方嘛， 右边的话就变成了 log 十三八的五次方，你这个五是可以移到最前头的吗？这个指数啊， log 十三八。 哦，原来烙个十三八是大于五分之四的，那清楚了啊，一个比 c， 他是比五分之四大的， b 是比五分之四小的，所以 b 肯定比 c 小哈，但是这个 a 这道题比较关键，就是 a 啊。你要注意， 到现在为止的话，其实已知条件已经用完了，但有些已知条件是隐藏的，是你自己可以构造出来的。我们看一下这个， 现在我们看一下这个数字 a 怎么办啊？你得以五为底，还得勾造出一个长数来。我们看一个东西， 三的五次方肯定得有吧，一个五，一个三，那继续三的五次方的话，那我再来一个五的四次方，这个是很容易比答，因为左边的话就是八十一再乘四啊，左边是二百四十三啊，那右边是多少？右边是二十五乘二十六百二十五。当然是有这样一个小于号了，这个是我们很容易联想到的， 那为什么联想到这个以五为底，或者说左边以三为底呢？左边以三为底，好说，一个三，一个五，三到五次方，那右边为什么以五为底？来吧，因为接下来我们要取的是什么？取的就是以五为底的这样一个 底数，这样一个对数，那么左边的话，其实就变成了五倍的 log 五三其实就是 a， 对不对？然后右边的话就变成了 log 以五为第五的四次方，其实就是长数四，也就是说到现在为止的话，我们得出来，嗯？多少呢？得出来这个 哦， a 是小于五分之四的， b 是小于五分之四，但是 c 是大于五分之四的，清楚了吧？但是还有问题， a 和 b 哪个更小？是不是我们还要比较这个 a 和 b 呢？那怎么比较呢？看好了哈，很好比较，因为你毕竟这两个数字啊，它都是正数的， 对吧？都是正数，那既然都是正数的话，我们做笔是可以的嘛，也就是说 log 五三，这是 a 吧，比上 b log 八五，这个是没问题的吧？那我们倒过来呀， log 五三 乘上 log， 那么接下来你要反过来的话，其实就变成了 log 五八了哈，那变成这个之后的话来 x y 小于什么二 x 加 y， 这个其实就是一个均值不等式吗？小于等于他俩不可能等于，对不对？肯定有一个大一个小，所以我们就写小于号。 那好了。哎，左边平方，右边也得平方啊。利用均值不等式的话就就很简单了， a 乘 b 小于二分之 log 五三，然后呢？还有 log 多少？ log 五八，那中间是加号 高达。嗯，然后呢？还得有个平方，显然这个里头相加的话，就变成了 log 以五为底。三乘八，那不就是二十四吗？二十四的话，它是小于二十五的呀。小于二十五哦，小于二十五我写上吧。 小于 log 五二十五哦。小于二分子是比二小的哦。然后你再比上这个二之后比二小，那不就比一小了吗？比一小的话，所以说呀， log 五三是小于，你把它移过去比一小嘛，清楚了吧？小于这个 log 八五的，所以最后就很清楚了啊。五三小于八五，然后小于 log 十三八，清楚了吧。所以这道题应该选什么呢？ a b c 越来越大，当然是选 a 选项了。 对于这个纸对比大小这种问题的话，大家应该清楚了吧。如果你有别的方法，也欢迎补充分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！