双曲线几何性质的应用

好朋友们，我们以这个 f 一 f 二在 x 轴上的这样的双曲线为例，我们来看一下这个双曲线啊，它具有哪些性质。 那么首先来我们来看一下 f 一 f 二在双圈里面叫什么，我们把这两个点叫做双圈的交点， 那么把这两个点之间距离啊叫做焦距，那么这个焦距到底是多大呢？我们刚才设方程的时候， f 一是负 c 零， f 二是 c 零，两个距离是二 c， 所以焦距是二 c。 再来看一下 ab 这两个点，这两个点呢是双曲线跟 x 轴的交点，我们把这两个点也叫做双曲线的两个顶点， 那么顶点所在这个线段呢？我们把它叫做双曲线的时轴， 那么这个时轴长有多长呢？我们来感受一下，我发现这个点啊， b 点和 a 点，他恰好也在双曲线上，他就满足双曲线的定义，到两个定点的距离的差值是一个长数那么 大的减小的这点长啊，恰好也是啊，这点长，也就说从这里面刨去这点就是 a b， 那么 a b 的长恰好也是二 a， 那么既然 a b 的长是二 a， 那么 o b 的长和 o a 的长分别就是啊， a 是有关失轴，双曲线里面有失轴，那必然有个轴叫做虚轴，那么说虚轴之前呢，我们先要说一下双曲线的这个渐进线， 双曲线和这个椭圆有点不一样，椭圆呢，它没有这么两条线，双曲线它有这么两条 渐进线，也就说这个两个双曲线跟这条两条直线呢，是无限的靠近，所以把这两条线叫做啊双曲线的渐进线。那么既然是渐进线，它是一条直线，直线必然有个方程，那么它的方程啊，恰好就是啊， 它的方程就是 y 等于正负的 a 分之 b x， 这条是 a 分之 b x， 这条是负的 a 分之 b x。 那么说了这个渐进线之后呢，我们才要说这个双线的实轴对立的那个虚轴，那么虚轴在哪呢？ 所谓的虚轴啊，就是本身没有，我们需要自己画出来，怎么画呢？这是啊，我们以 a、 b 这两个点为垂足，我们做一下这个 f、 e、 f 二所在轴的垂线，那么它跟这个两条渐进线 相交，交完之后把这两条交点连上，连上之后啊，发现他跟这个外轴啊，恰好交易两点，一个点是 c， 一个点是 d， 那么这个 c、 d 的长恰好就是徐州长 c， d 就是徐州。 至于这个长度有多长呢？这个需要观察一下，我看一下，因为这是斜率，是 a 分之 b， 这是个直角，这点长恰好是 a， 那么根据这个斜率，就是倾斜角的正切值。我们推倒出这点长恰好就是 b 的长， 也就对应的这个 c、 o 的长也是 b 的长，那么 c、 o 是 b 的长的话， c、 d 的长是二 b 的长，所以它的需求是二 b。 还有概念叫做双曲线的离心率，离心率啊，依旧还是拿小写的 e 来表示，它依旧等于 a 分之 c。 这个东西啊，跟椭圆的这个离心率的算法是一样的， a 分之 c， 只不过它的范围跟椭圆不一样，椭圆里面 a 比 c 大， be 是大于零小一，但是双曲线里面 c 比 a 大， 而且都正值，所以 c、 b、 a 是大于一，那么双曲线的离心率的范围是大于一的，这是双曲线的离心率。 那么最后再来看一下这个 a b c 在双曲线里面，它对应的量在哪体现出来？首先我刚才说了这个， 因为 f 一 f 二是焦点，它距离是二 c， 所以整个长就是二 c， 那么它的一半 o f 二就等于 c， 也就是说这点长是啊， c 的长，这点长也是 c 的长。刚才又说了，时轴是 a b a， b 是二 a， 这点长是二 a， 所以这点常识啊， a， 这长也是 a， 那么 b 呢？刚才说的是啊，须轴，须轴，这点长是 b， 这长是 b， 所以整个长是须轴，是二 b。 那么除此之外，还有没有 abc 了？这里边还有啊，你看一下，因为这点长是 a， 这点长也是 b， 那么根据这个勾股定理， a 方加 b 方必然等于 c 方，所以这点长 也是啊， c 的长，我们把它记住，你看，这是 o 点，加上这是 p 吧， o p 的长啊，其实也是 c。 那么还有个东西比较，就是咱们做题时候能遇着啊，有个 b 的长度是怎么做的呢？就是过焦点，我们做一个渐进线的垂线， 垂足为 m， 它继承 m， 那么这么一来就有个三角形是 o m f 二，这个三角形啊，它是一个直角三角形， 斜边长恰好是 c 的长，这个角呢，恰好也是渐进线的这个倾斜角，所以呢，这点长恰好就是 b， 这点长恰好也就是 a， 所以这里面 m f 二是 b， o m 的长呢，恰好就是 a。 这几个量呢，在双圈里边是特有的啊，咱们需要深层次的挖掘才能知道，这个长度是分别是 abc。 那么以上就是双圈的一些最基本的性质。