函数零点找交点

函数零点问题绝对是高中数学的重灾区，但更是你们提分的黄金区，看似他千变万化，实则万变不离其宗。 那这节课咱一节课把零点的七大题型给大家讲的明明白白的，让你跟别人拉开更大的差异好不好？好好，那么零点一共是三个大的考向，七大题型哪三个大的考向呢？第一个， 首先大家得知道零点的概念是什么，以及零点的存在定力， 这两个就可以考你两个题型，待会说。第二个叫做零点的区间分布问题。第三个，跟零点有关的个数问题，那个数里面比如说可能会牵扯到第一个，哎，让你去求个数啊， 对吧？或者说我已知个数，这都是你大家应该见到过的吧？已知个数，我让你给我求个字母 a 啊，字母 b 啊，字母 c 求差问题。第三个，超级重点，也是难点，叫什么 复合型的一些问题，复合函数零点问题，对吧？最后一个就是零点的一些综合最值问题，那七大题型在哪里？我们一个一个看， 第一个，零点概念，第二个存在定力，第三个，区间分布，第四个，第五个，第六个，第七个，一个一个把它往后过，这是我们今天的重点好不好？好好，先来说第一个 叫做题型一，跟零点概念有关的问题。我先问大家什么叫零点？复习一下， 说白了他有几个等价，把这几个等价植入到你脑海里就可以了。第一个，零点等价于方程的根， 等价于图像，你所研究的这个图像 与 x 轴交点得啥？横坐标，对了，零点不是点，零点是横坐标， 横坐标，同时你发现这几个等价让你把题做不出来，还可以继续对它进行转化，可以把它转化成你所 familiar， 就是 你所熟悉的 两个函数图像焦点问题，图像的焦点， 你要把这几个等价深深的根植于你的脑海里面，这是零点问题，不断的在转化的过程中，我们要用到的。比如说第一个比较简单的题目来了，我让你给我求， 求什么？求一 x 乘以 line x 等于一，求这个方程的根， 求方程的根，你会求吗？或者我就直接给你说，让你求它的零点，有几个不是零点问题吗？概念是吧？求方程的根，方程的根，直接解，不会解， 那怎么办？转化，转化成图像与 x 轴交点的横坐标，这个 是吧？是的，图像，或者把 e 挪过去，整个函数图像与 x 轴交点，你会画它吗？不会，你不会画它的图像。 那怎么办呢？继续转化，转化成你所熟悉的两个函数图像的焦点，你所熟悉的是 e x 和 line x， 你 俩先成一块，是必须让它分开，是的。来，把一个搞过来，把 line 搞过来，还是把 ex 搞过来？搞谁把 e 的 搞谁搞？ e x 等于 e x 分 之一，它可以写成一分之一 x， 我 可以看成这个叫做 y 一， 这个叫做 y 二，我所熟悉的两个函数图像的交点问题， 就等价于方程的根吗？对不对？他这里求根，比如说求根的个数，你给我求一下这个根的个数有几个？ 嗯， line x 图像长这样，一分之一 x 图像长这样，你俩交点一共有一个，这个交点的横坐标 x， 使得咱俩相等，就是我方程的根， 对吧？他，你看这个根，你如果函数两边能解出来，我们一般都解出来了，如果解不出来，他不就不会让你求根了，就是根的个数问题了，是吧？是的，有几个？ 一个一个根就完了。这是第一个零点的几个等价以及概念的一些考察，没有问题吧？没有。好，接下来我们来看第二个叫零点存在定力是怎么考察大家的？那在看他的题型之前，第一件事复习一下什么叫零点存在定力， 还记得吗？记得，胡老师用大白话给你讲一下，把它翻译成通俗易懂的语言。首先他说有一根函数 是连续不断的，这个函数中间没有断开， ok， ok。 比如说举个例子，这个函数，那么我要研究的是 a 到 b 这一段，我如果发现啊， fa 和 f b 的 值乘以小于零了，我就说在你俩之间一定是存在至少一个零点的， 至少一个零点这个事大家能理解吗？你想啊， a 的 y 值和 b 的 y 值小于零一乘，说明他俩 y 值怎么了？ 相异异号吗？异号，一个 y 值从正的要到负的，或者从负的到正的必然要经过 x 轴吗？图像必然要与 x 轴相交，那你必然至少有一个零点存在吧？对，起码有一个吧，这叫零点存在定律。 我们来看一下在题目中一般怎么考察大家的，他会是有些关键词出现的，比如说题目说，哎呀，有唯一零点， 对吧？或者题目说有零点，或者说存在零点，至少有一个零点，这都是零点存在。这里的考察，你现在识别题型，好吧，好，来看题。研究的是二次函数，在某个区间上有唯一零点，这个二次函数 先模拟图像吗？能画图的把图先大概画出来，是吧？二次函数开口朝上，嗯，他的典型的特征。对称轴是不是还可以求出来来？对称轴是几，能求就求吗？负则二分之 b 等于应该是一。 ok， 题目说在二到三上，那二到三肯定是在对称轴的右边了吧？那你想二到三内有唯一零点，你跟我说把二三放哪去？二在二放到这来，三能放到这吗？不行吧，三必须得放到 这里来，是吧？你俩之间是不是才有唯一零点？对，所以我怎么去保证呢？来告诉我， 在二是负的，三是正 f 二的值必须得小于零，同时 f 三的值大于零，去交集同时满足， 行不行？行，来，把二往金带，把二往金带，所以说这是 b， b 小 于零，同时把三往金带。 九减六是三加 b 大 于零，所以说 b 大 于负三，这两个结果取交集，所以说 b 属于负三到零，这就零点存在定力考察的题型。 零点昨天定要考察大家，在你们考试中其实不会考，很难考的，你更难的题型是在我们后面的题目当中，咱们一个一个带着大家往下讲，好不好？好，来，我们接下来看第二个考法，叫做区间分布，是怎么考你的 题型三，区间分布问题，区间分布问题，只需要大家抓住这几个字就可以了，只要你在考试的过程中叫做端点值一号， 那题目一般怎么考你呢？比如说这道入门级的题目，他说，哎呀，这个函数在下列区间中一定包含零点的，是哪个区间就哪一个区间，至少有我这个函数中的一个零点吗？包含我零点了， 核心就是端点值一号。什么意思呢？就是我把这个区间带入选项去给他验证， 只要保证这两个值带进去的 y 值是一号的，说明你俩之间就有零点，就有零点。那如果带进去是同号的，那不一定吗？我就看 b 选项 排除答案就可以了。对，这是这种问题的做法，叫端点值一号，会了没有？会了，那就很简单，我带大家做一遍吧。比如说我第一个把二分之一带进去， f 二分之一往前带， 这是多少？六？六加一是七，减去四分之一是四分之二十七。你不知道他是谁无所谓，你想算也可以算，反正他是一个正值。 我用的是一号吗？对不对？来，我再带一下 f 一， f 一 的往直往进带三减一加一，你不算出来无所谓，你是一个正正的，所以没用， 是吧？对，你看这是正正，那这个是不是正了？对，判断二分之三就可以了。 f 二分之三来往进带二分之三分之三。 嗯，二分之三分之三，几二二减去四分之九加一，二加一， 这肯定是个正值吧。哎，他肯定是一个正值，那你得到的 y 值也是一个正值，该下一个了，是吧？是的， f 二的值往进一带应该是二分之三减四加一， 这俩加起来是二分之五吧？对，这是二分之八吗？对，是吧？所以这是一个负值，一正一负 有零点，那你俩之间存在零点。因此本道题目答案选的是 c， 这是区间分布问题的入门级考法。 咱们今天讲的这几种呢，只是个开胃菜，在我们考试当中真正拉开差距的是更复杂的、更刁钻的其他的一些问法和考法。那胡老师把每一种都给大家配套了同类型题目的专项训练。嗯，你听会了不代表你会了，一定要去做刻意练习。

大家好，我是超越老师，从这个视频我们开始讲函数的零点啊，函数的零点考的比较多啊，尤其是压轴的选择填空点，他不是一个点的坐标，他是这个函数或者这个这个方程 与 x 轴的焦点的横坐标啊。第一个就是什么时候他有零点点，我们前面能画出图像的，只要有一个有焦点，那个就是他零点除了这个以外，有的我们画不出来的，我们有概念叫什么？他只要在 a 和 b 这个范围内是连续的，就是 他的那个图像没有断，满足这个 fa 的 值和 f b 的 值，他的那个 符号是反的，这两个相乘小于零，那么他在这个中间至少存在一个零点，这第一个叫存在性啊，存在性，第一个你可以用这个去判断，也可以用我们前面学过的我能画的图像，他都交相交了，他不就一定有吗？对不对？这第一个啊，第二个就是什么 存在唯一啊？我们讲一下存在唯一就是如果他在 a 和 b 满足这个完了，他又单调递增或者单调递减，那么我们就说他存在，而且是唯一一个。第三个很重要的，你既然存在，我们就要求出来啊，怎么去求？ f x 等于多少啊？然后让他等于零去把它解出来。 但是在这个里面有一个问题，就是如果说我们见过那几个，咱们好说都能求，关键是有几个你没见过的，比如说 题目中让你求 log， log 以二为底， x 对 数和这个加上一个 x 减三等于零，你会发现这个你是不是求不了了？看到没有？所以我们在求这个零点的时候，他有两个方法，第一个就是直接法啊，第一个就直接法啊，直接可以给他求出来。第二个就是 你在做的时候，你发现这个函数我好像解不出来，图像我也画不出来，看到没有？是不是图像也画不出来，也解不出来？但是怎么样？我发现这个我如果把它分成两个，我是能解的， 分成两两部分，这个时候我们就要把这个函数怎么样拆成两个啊？拆成两个叫就以它为底小于这个是不是负 x 加上三，这个时候你就怎么样各画各的函数图像啊，各画各的函数图像，然后让他怎么样 让它相交，那个交点就是我们答案。这个直接法就是我们画出图像之后与 x 的 交点，在做的时候往往是这两种情况啊，尤其是这种情况， 难题你想肯定就是他嘛，对不对？除了这个以外，还有啊，我们前面视频讲了，一个就两个相乘，两个相乘，他一般是考大一等于零或者小一等于零的时候，这个他虽然不是说零点，但是他是他的那个曲值范围，是以这些与 x 的 交点这些零点作为分界点去分类讨论的。 这个也是一类啊，也是很重要的，我们是各画各的，第一个就是求出他的点啊，求他点我们直接画图啊，你可以看一下，第一个就直接画图啊，我就直接画在这上面啊，这个简单， 你看，首先这有定域是二的 x 啊，你先画出二的 x， 二的 x 翅膀是不是在这画了一就结束了？看到没有？这个点是一，这呢是二，然后他向下平移了两个单位，平移两个单位的话，间接性要跟着他一起走，这就是负二， 这是负二，然后这个点是不是刚好在这个点上？是不是就这样的？这点是一，然后这是零，看到没有？然后这是第一个啊，然后第二个，我们看一下，这个是 log 以二为叠的，对数就在上面啊，是不是大概这样的？然后他向上怎么样？向上平了两个单位，所以他是 是不是不是这样的？看到没有？而且这段画圆圈看到没有，所以它是不是只有一个零点啊？就是 x 等于一就做出来了啊？我们再看这个，这个有点像刚才我们举那个例子啊，你可以通过图像去判断它怎么样 唯一存在零点啊，比如说我们令它等于零，你看没令它等于零的话，就是 log log x 等于负 x 加三，对不对？你把这两个图像一画， 是不是这样的？然后他大概这是一啊，他大概这样是不是可以证明他是存在唯一零点，但是他现在不是让你证明他是一个还是两个，他是怎么样？ 他让你求区间，那我们就一个一个算，根据这个图是不是知道他是唯一存在的？如果你没有画这个图还可以怎么样？用单调性啊？这是真函数，这也真函数，所以他就是单调递增。然后我们去找刚才那种 是不左右你这个题，你找的话一般都是从 c 开始找，听见没有？你看前面两个一般不选，对不对？试一下，你看 f 二自己算算啊。 f 二那就是落个，落个二，然后减去一，这个一看就是负的，因为落个二小于小于零，然后看一下 f 三啊， f 三 他是等于落个三，这是大于零的，一看就选 c， 看到没有？下一个题，这个好像跟它上面一样了，不好意思啊，再看这个啊，这个也是一样的，画图啊，他后面摘了个尾巴， 看到没有？那我们仍然可以先不管它等于零，然后算出 f x 等于负二，等于二分之一。这个题有两个思路，一个思路就是什么？就是我把这个移过去，就把它后面给他，尾巴给他，每个都给他加上，但是我们怎么样？一般都是什么呀？像我这样啊，就是 把这个移到另一边去，然后让他成为两个函数的焦点，这个函数叫做 y， 等于二分之一，就是一个直线，叫常数函数，这个就是这个函数。图像啊，我们来画一下啊，画一下这个图像，你要很熟练啊，你看大于零是这样的，然后他折了一下，看到没有，所以就这样， 然后这边是二分之一，然后这边是不是这样的，这边一取等号看没就做出来了，然后二分之一，焦点一看是不是三个，是不是选 d。 讲到这个地方，我们有一个很重要的知识点，你要知道啊，就是这两个焦点，他是这个 log 函数折上去的，他有特点啊， 他有特点，这个叫 x 一， 这个叫什么 x 二，这个 x 一 乘以 x 二，它是等于一的，你要把它记下来啊，这边就是，你看它是 log 二， x 一， 是不是就是这个它等于二分之一，看到没有？然后再看这个嘞，它是 log 以 二为底， x 二是不？这这个是 x 啊，这是 x 一， 然后加绝对值，然后等于二分之一，看到没有，这个时候，因为它本来这个 x 一 对应的函数值，它应该是负的，所以这要加个符号。看到没有，它是负的， 然后洛哥以二为底， x 一， 它等于二分之一，这个时候因为这两个相等吗？所以这两个相等，这两个相等就会得到洛哥二的 x 二等于负的，洛哥以二为底， x 一， 然后你把它移一下向，那就是洛哥以二为底， x 一， x 二，加上洛哥以二为底， x 一 等于零，然后两个合在一起，就是洛哥以二为底， x 一 乘以 x 二，它等于零， 所以 x 一 乘以 x， 它等于二的零，次方等于一。这个要你记下来啊，这个经常考下一个啊，下一个就更复杂了。看到没有，我们一起看，仍然是画图啊。首先这个你要知道啊，它是周期函数的意思啊，我们仍然去画图啊，把零到一的表达式给他画出来， 零到一开是不是这样？这样的，然后是偶函数，它不是对称的吗？是不是直接就关于 y 轴对称啊，是不是这样的？然后这是一，然后这是负一，看到没有，下一个是不是就三，你看没有，是不是这样的，然后这样， 然后再下一个是不是就是五，然后再这样啊，然后下一个是七，然后这样看他的样子，要算好几个啊，我们多画几个好看，这个答案要画好几个，然后九，然后这是第一步啊，另一边我们就不算了啊，再看这个嘞， 这个他说他是零点，那不就等于零吗？等于零。我们前面讲过，你看 f x 减去一个 log log， 然后这边是绝对值 x， 对 不对？这是一个 f x 啊，他的图你是画不出来的，所以你要怎么样？他等于你给他拆成两个啊，就会得到 f x 等于 log 绝对值 x， 看到没有？这个 log 绝对值 x 图像怎么画呀？这个 log log 绝对值 x， 他是不是先画出他大于零的部分啊？我们只要是 x 加的绝对就先画大于零的部分，后半部分就怎么样，另外一部分就给他折过去就可以了啊，所以他是这样的， 看到没有？这样的，但是你两个图像在一起，你要稍微准一点，你看他过这个点是不是这样的，然后这样去拿，这个时候你要去看这个是一看没有，你想你当 y 等于的时候小于零，不要考虑啊。当 y 等于 等于一的时候，你看这个数要填多少？这个填是不是填十呀？所以他要经过十和一看，没有是不经过十和一啊，这这个地方是十一，是不经过十和一这个点，然后他是这样 这样过去的，看到没有？这个时候十一这个点肯定不行，因为十和一他刚好是过一十一这个点就不会相交，所以你去数一下那一二三四五六七八九是不是九个点啊？然后根据什么对称性啊？对称性他折过去另一边我们就不画了，是不是一模一样的？ 所以答案选什么？选十八。我们再接着看下面一个题啊，这个题他是让你求三个焦点，让你求参数的范围了，看到没有？前面我们都可以直接画。这个是怎么样？说明有一个函数可以动，你看这个就是 一个什么上下平的一一函数，你看 y 等于 y 等于二分之一 x 加上 m， 说明他是跟这个是平移，上下平移的，看到没有？所以这个题他有两个方，一个就是我把这个函数图像给他画出来，然后去跟这个函数来相交，这个函数图像小于零的时候是一个 这样的啊，哦，不对，他是 k 小 于零啊，抱歉啊，是不是？是不是大概这样的，然后大于零的话，他是一个二乘数，然后对成轴口算一下，是不是刚好等于一开口又向下，是不是这样的？ 看到没有？这个时候你如果把这个二分之一 x 加上 m， 他 是个直线，这样上下来移动的话，看到没有？你看这样是不是相交，是不是一个点？这初中学过的，往下走， 这这个地方现在是两个点，往下走是不是一个点？你如果往上走超过这个点了，是不是就是一个点啊？你刚好过这个点，是不是就是两个点啊？中间的是不是刚好就三个点？看到没有？那这个点怎么去算？ 是不是利用这两个方程连累的时候得它等于零哦？去连累就是二分之一 x 加上 m 等于这个负 x 平方加上二 x 等于。然后你去一下向啊，这个得它等于零，就可以把这个地方给他算出来， 算出来之后就是那个理解点啊，然后再把这个点就零零这个点带进去，就可以把这个 m 这个点给他算出来啊。零零不能取，然后另一个点也不能取啊，但这个地方有没有更好的办法？有， 就是你算得它你还多麻烦啊？如果是什么呀？如果没有这个 x 多好，看到没？这个没有 x 它是一个横线，多好，我就不用算得它了，所以怎么样？我可以用这个 f x 等于这个 f x 减去二分之一 x， 看到没有？所以我把 f x 图像给他 表达，现在写出来这个减他，他就是负的二分之五 x， 然后这边呢是负 x 平方，然后再加上一个二分之三 x， 这个时候你再去怎么样画图就会好画很多啊？自己画一画啊，还是图形都还是差不多的，看到没有？ 然后这个这个对称轴变掉，对称轴变成负的正的四分之三啊，然后画出来是长这样的，这个时候他就是什么，就这个 f x 等于 m， 他 是一个横线了。所以你只要求到那个最上面那个点就可以了啊，把这个四分之三带进去算出来就可以了啊。

ok， 那 么我们今天继续接着去看我们函数零点综合题型的一个总结，其中题型考的是我们的嵌套函数的零点问题，那这种问题出现一般都在我们的填空或者选择的压轴题，他的这个做题思路会比较复杂， 需要用到两次函数零点的判断，因为他复合了一个函数，所以呢，今天老师结合这两道题目，把我们嵌套函数的零点的做题步骤以及 应该注意到的点给大家讲清楚。首先我们去看这类题目要做的零点问题，我们上个视频已经讲过了，它的做题方法非常简单，就是画图，那我们先把这个题目的图像给它画出来，那么我们画出了这道题目的图像，它长这样，那我们要注意，在做这种零点问题的时候，画图一定要去把题目中的 对应的点特殊点，包括特殊点的值的 y 值一定要给它标出来，这样的话，为了我们方便后面的判断，那对这种嵌套问题，我们的做法第一个肯定是换元，我们令我们复合的这部分等于一个 t， 也就是说令 f i 等于 t 的 话，所以呢，原函数零点是变成了 f t 等于一个 a， 有 五个零点五个根，那也就是说我们 f t 等于 a， 是 不是要有五个零点，就说这两个函数，一个是 y 等于 a， 一个是 y 等于 f t， 它们两个是不是要五个焦点才行？那现在呢，我们画出了 f x 图像，要画出 f t 的 图像的话，非常简单，我们只需要让变成 t 就 可以了， 那它的自变量变成 t， 所以 这个图像自然就变成了 f t 的 图像，那我们发现了 f t 等于 a， 要有五个焦点，那是不可能的， 你发现它最多有一、二三三个焦点。我们的 t 等于 f x， 让 t 等于 f x 的 时候，画完圆之后，我们此时要做的就是观察 f t 等于 a 有 五个根的 a 的 值范围。 那现在第一种情况，假设我们的 a 是 大于三时， a 大 于三的时候，我们不妨去画一下 a 的 值， a 在 这个地方，那我们发现它与 f t 是 不是最多有两个焦点。也就是说圆函数的话，当 y 等于三的时候，我们对应的这个 x 我 们可以算出来。把三带入到第一个式子中，让它等于三，那我们算出来 lo in x 绝对值等于一，那 x 绝对值等于一，那 x 要么等于正一，要么内负一等于负一的时候，我们发现它对的这块的值是不是应该是一个 e 分 之一，然后呢，对应这块的值应该是一个 e， 所以呢，我们知道了 t 一 跟 t 二的一个大小，那就是当 a 等于三时，我们的 f t 等于 a 有 两解，这两解分别是 t 一 和 t 二。 那此时我们知道了 t 一 它是大于零并且小于一分之一的，我们的 t 二呢，等于大于一的，这我们同时再去判断一下我们的 t 的 这样一个 所对的 x 就 可以了。那判断 t 所对的 x， 那 非常简单，我们只需要把这个图再给它画一遍，那么此时我们只需要把 x 的 t 给它变成 x 即可。因为我们知道了 f x 等于 t， 我 要算出来 x 的 值才是这个函数的零点。所以呢，我们定 f x 等于 t 一， t 一 是零到一分之一的，那我们画一个零到一分之一的值，我们看一下它与 f x 有 几个交点，那就是几个 x 的 根了。那此时的话呢，我们画出来这个是 y 等于一个 t 一 t， 它是零到一分之一之间的，它比 e 小。 所以呢，我们画出来这样一个图像， y 等于 t 一， 它与 f x 的 交点，我们发现它只有一个 x 根，也就是说 x 有 e， x 有 e 解，再去画 f x 等于 t 二， f 等于 t 二， t 二的话，它是大于 e 的， e 是 一个比 e 大 的值，那就是说，我们画出来一个 y 等于比 e 大 的值，比 e 大 的，它有可能有三个根，有可能有两个根，那也就是说，我们推出来，你看，我们随便画一个三个根的，就假设 e 在 这个地方， y 等于一个 t 二， t 二比 e 大， 如果它在这个地方，它对应的 x 根是不是只有三个了？一个、两个、三个，那所以加上我 f x 跟 t e 的 这个一个 x 是 不是一共四个减？如果呢，你的 t 二在这个地方， t 二如果是大于三，那也就是说我们观察一下它有多少个根了？ t 二如果大于三，你发现它是不是有两个根， 两个根，一个是这个，一个是这个，有 x 的 焦点，所以呢，再加上 f x 等于 t 的 一个根，是不是一共有三个解？那也就是说它不管怎么样，它都不可能有五个解的啊？所以呢， f x 等于 t 二，我们推出来 x 有 三解或两解，所以呢，我们推出来此时的情况是不是就舍去了？那就是说 f x 呢？等于 f， f f 等于 a 的 话，是最多有三解或三解或四解，两个加起来就行，有三或四解直接舍去了，这是 a 大 于三的时候， a 大 于三的时候，分析清楚之后我们再去看，同理我们再去看。当 a 如果是大于二， 小于等于三，当 a 如果是大于二，小于等于三的时候，我们可以把这个 a 给它画出来，也在第一个图像中去判断一下这个图像 a 是 不是跑到下面来了？那你发现了，此时的话它有几个 t， 是 不是有三个 t， 把原来这个擦掉，此时它有三个 t， 能把三个 t 标出来，那也就是说这有一个 t t 一， 这有一个 t t 二，这有一个 t t 三，把原来的给它擦掉。当 a 在 它们之间的时候，我们说了这个 f t 等于 a， 是 不是有三节 t 一、 t 二、 t 三，也是 t 一、 t 二、 t 三，并且呢，我们可以得到 t 一、 t 二、 t 三的一个趋势范围，那也就是说我们的 t 一 它是在负一到零之间的， 我们的 t 二它是在一分之一到一之间的。然后呢，我们的 t 三是不是在一到一之间的？让我们同理再去判断 f x 分 别等于 t 一、 t 二、 t 三的根的个数是不是就可以了？那假设我们的 f x 等于 t 一， 我们分析它它它有几个解是不是就可以了？ 那就是说在第二个图形中去判断了，把原来的给它擦掉。在第二个图形中去判断，我们把原来的擦掉之后，去判断一下它有几个根就可以了。那也就是说我们得到了啊， t 一 t 一 是负一到零的，那我们先把 t 一 画出来，负一到零的 t 一 画到这个地方， f i 等于 t 一 的话，是不是只有一个根？那我们推出来有异解，异解在这个地方， x 一， 当 x 二，当 t 二是一分之一到一，那 f x 等于 t 二，我再画一个一分之一到一之间的 t 二，将它长这样， y 等于 t 二，你发现它是不是也只有异解 x 二有异解，当 t 三在一到一之间， f x 等于 t 三， t 三呢？我们画一到一之间的话，那也就是说他要有五个解的话，必须此时是不是有三个解才能满足情况？你看这种情况是可以的，对吧？那满足三种情况，我们必须要有一下线，怎么样？我们只取满足三个情况，有三个这种情况，他有三个根的情况。比如说我们画出来，他是不是一定要与原函数有三个交点才可以？那 假设满足三个交点，我们观察下这个 t 的 范围， y 等于 t 三，这是对应的是 x 三，你看他有三个 x 三， x 四、 x 五，这样的话，是不是刚好满足条件它就握根了？那满足这个条件的话，那也就是说我们 y 等于 t 三，必须要与我们 f x 三个交点，那也就是说它必须比我们这个值要大，必须把比二大，并且呢比上面这个三的值是不是要小？所以呢，它可以等于三，等于三有三个交点，那所以它必须要大于 二，那此时我们的 t 三要与 f x 有 三个交点，我们的 t 三必须要大于二才可以，并且呢要小于等于 e， 那 也就是说我们的 a 是 要大于 f 二，并且要小于等于 f e 才可以。因为我们的 a 是 等于 f t 的， 这样我们把需要把它带进去弄会得到我们的 a 的 取值范围，就是 a 大 于捞引二加二小于等于三，所以呢，我们 a 的 取值范围就是捞引二加二到三的 b 区间。然后呢，其他情况呢，我们可以去分类讨论一下，按照我们刚才所讲的这个方法， 发现了他只有这一种情况满足题，所以我们最终结果就是捞以二加二到三之间。 ok， 这个就是我们欠套零点所考察的一个方法，需要我们把两个图像画出来，分别去把一个 t 当做自变量，或者把 t 当做这个 y 转换成图像焦点进行求解就可以了。 ok， 我 们来看一下这道题，这道题目已知 f x 等于它，并且呢，让我们算方程 f f x 等于二，这明显是一个嵌套的一个函数，让我们算它所有根之积等于多少。同样呢，我们先用画图把它的图像给它画出来。 ok， 首先我们画出来 f x 图像，那首第一步也是一样，我们先去换元，令我们 f x 等于一个 t， 那 所以这个方程等于二的根就可以变成了 f t 等于二的 根。我们可以先求出 t 的 所有值，再画一个图，令它的极变量变成 x， 把 x 的 值给它求出来就可以了，这就是说欠道函数它的一个解体的方法。所以呢，我先把这块的 x 变成一个 t， 我 们先观察一下， 那就是说我们的 f t 要等于二，此时这个图像是不是自然就变成 f t 图像 f t 等于二的话，我需要去画一个 y 等于 f t 与 y 等于二的一个焦点，我们观察一下 t 的 去值， 也就是说画一个 y 等于二的曲值，假设呢，它在这个地方， y 等于二， t 等于多少？不妨我们算一下，它是不是有两个焦点，明显的一个，两个焦点，一个是 t 一， 一个是 t 二，那 t 一 的范围，我们大概可以去算一下它的值， t 一 呢，大概在这个地方，那也就是说，令我们的这个 log 以二为底， x 绝对值等于一个二，我们就可以算出来了。所以此时的话，我们会得到的是 log 绝对值，以二为底， x 对 数等于一个二，此时我们算出来 x 一 等于我们的 t 一， 那这应该是 t 了，那它的变量是 t， 所以呢，我们的 t 一 等于负二的话是四分之一， t 二等于正二呢，应该是一个四，所以呢，得到了 t 一， 在这个地方四分之一， t 二在这个地方等于一个四。 ok， 那 接着我们再去画，也就是说 t 一 t 二分别就是这个方程的 f t 等于二的两个根，所以此时我们把它对应的 x 根求出来就不可以了。 第一个根呢，就是 f x 要等于 t 一， 我们解出来所有的 x 就是 这个方程的根。第二也是这样， f x 等于 t 二，我们解出来所有的 x 也是这个方程的根，两个加起来就是所有的根了。 ok 啊，那现在呢，我们再去把这个 图像画一遍，并且呢，让它的自变量变成 x 就 可以了。比如说我们画出来这个图像，我们此时让它的自变量变成 x 就 可以了， 它这边 x， 那 就 f i 等于 t 一， t 一， 我们刚算了，是不是等于四分之一了？把四分之一写到这儿， t 二，我们也刚算了，是不是等于个四了？我们把四写到这 儿，那问题就变得非常简单了呀，那就是说 f i 等于四分之一，解出来的所有 x 就是 这个方程的根。 f x 如果等于一个四，解出来的所有 x 也是这个方程的根，那我们只需要去把所有 x 给它标出来就可以了。 f i 等于四分之一的时候，我们画一个 y 等于四分之一与它交点， 你发现在四分之一的时候，歪定四分之一时候，它是不是有四个 x 四个根？所以把四分之一往第一个式子中一带，那也就是说我们让负的 a 平方减去二， x 是 不是等于四分之一？我们得到了两个根，得到了这两个根，我们算出来， 因为他让我们算，所以根之积，所以在这我们不必要去算出来它的根，我们只需要根据伟大定律是不是就可以了？我们知道了，这肯定有一个 x 一， 这肯定有一个 x 二，并且呢， x 一 乘 x 二，我们是可以知道的，我们用一个什么韦达定律是不是就可以了？等于一个 a 分 之 c， a 分 之 c 刚好是四分之一。同理，我们接着去往下看，这是不是也有两个根？ x 三和 x 四， 那就是说它是绝对值对数的这样一个形式。我们知道 s 三乘 s 一定是等于一的，在这你发现我们的 x 三乘 x 四等于一，那这个是谁的根？这个是不是就是我们绝对值绕二为底？ x 绝对值等于一个四分之一的时候，我们可以把这两个解出来。你的 x 三 x 相乘肯定是等于一的，因为它是 翻折上去的，翻折变化即为定，此时是不是已经得到四个零点了？现在呢，我们再去观察 f x 等于四的时候啊，这是我们的第一种情况，第一种情况等于四分之一的时候，第二种情况 f x 等于四的时候呢，我们去带一下，看他有几个根，那么 y 零四，话说 y 零四画出来，他是长这样，长这长这个样子， y 零四的话，明显与你的 f x 只有两个根。我们画出了 x 五 x 六， x 五在这一块， x 六是不是在这一块？那你发现 x 五 x 五乘 x 六是不是也等于一？因为它也是关于我这个绝对值对准住翻折上去的，取同样的 y， 它的 x 所有的乘积都等于一，所以呢，我们知道绕以二为底， x 位数如果等于一个四的话，我们解出来的 x 五乘以 x 六是刚好也等于一， 所以我们就得到了这个 f x 所有的 g x 一 乘以 x， 二乘以 x， 四乘以 x 五乘以 x 六，就等于 四分之一。乘以一乘以一等于四分之一，所以它的积就等于四分之一就可以了。那这个题目如果人家幻想问我们这个方程有几个零点，我们是也可以判断出来它是有六个零点，这个就是我们这种题目的做题方法啊，希望大家下去认真总结。 ok， 我 们的 第五个就是我们函数零点的只对变化，那我们先看第一个题，他说 x 零是他的一个唯一零点，所以呢，我们直接去使用 f x 零等于零， 把它带进去呢，也就是说我们会得到 e 的 x 零分之一，减去一个 x 零的平方，乘以 lo in x 零等于零，那相当于是我们已经有了这个方程，让我们算的是 e 的 x 分 之一乘以 lo in x 零的值等于多少？这样的话呢，我们只需要进行一个化简就可以了。 所以呢，我们会得到的是 e 的 s 零分之一就等于 s 零平方乘以 lo in s 零，我们两边同除 s 零的话，会得到 s 零分之一。乘以 e 的 s 零分之一就等于 s 零。乘以 lo in s 零，这时我们只需要去凑一个同 相同的类型，其实我们只需要去同构一下就可以了，同构我们需要把这个 x 零变成 e 的 捞引 x 零。乘以捞引 x 零，这边呢，则变成了 e 的 x 零分之一乘以 x 零分之一。也就是说，我们会得到的这样一个函数，只需要令这个函数等于 我们的 g x 等于一个 e 的 x 方乘以 x 就 可以了，因为它是一个单调递增的这样一个函数，所以这个式子我们就可以写成 g x 零分之一等于 j 捞引 x 零，它是单调递增的话，只需要让它的磁变量 x 零分之一等于捞引 x 零即可。 所以呢，我们两边取个对数就可以了，那就是 e 的 捞引 e 的 x 零分之一等于一个 e 的 x 零等于 x 零，所以原式就变成了 x 零。乘以一个 x 零分之一等于一，这个就是我们的第二种函数的零点指定互换，需要去构造一个函数进行求解。 ok， 那 么第二个我们可以留作练习，我们可以告诉你答案，他的答案是一个，这个题答案是一个三， 这样下去可以当做练习进行处理。最后一个就是我们二次型复合函数的零点问题，这个做题方法也比较固定，那也就是说我们能因式分解，先因式分解，再数形结合，再画图，让我们再去画图进行求解，根据我们刚才的嵌套函数，零点进行求解就可以了。那首先我们需要去把这个题目的图像画出来， ok， 我 们先画出来了 f x 图像，那现在呢，我们的做法就是先因式分解，那就是说 y 的 零点，也就是说我们的 f x 零方减去三倍的 f x， 再加上二等于零的方程的根。所以呢，我们可以先去令 t 等于 f x， 所以 这个方程就变成了 t 方减三， t 加二等于零。此事的话呢，我们可以因式分解，那变成了 t 减二，乘以个 t 减一等于零， 减二减一，所以呢，我们得到了 t 一 是不是等于个二， t 二是不是等于个一？那跟刚才一样，那也就是说 t 一 等于二， t 二等于一，所对应的所有的 s 都是它的根，那也就是说我们可以得到 t 一 等于二， f x 等于 t 一 等于二的所有的 x， 就是 这个方程的根了。我们通过这个原理的话，我们画一个 y 等于二的图像与 f x 进行交点就可以了。 y 等二的话，发现有几个交点啊？是有几个 x， 原值对应是三个 x 一 x 二 x 三，所以呢，我们推出来这个是不是根三个根，然后同理呢，我们再去判断 f x 等于 t 二， f i 等于 t 二， t 二是一，那 f x 等于一的时候，我们再去画一个根， 当 y 等于一的时候，刚好在这个地方能发现它有也有三个根， x 三 x 四 x 五在这 x 六是不是在这？这，所以也有三个根对应的它的零点个数是不是三加三是不是等于六个根，所以它零点个数是六个零点，这个跟我们刚才的复合型 嵌套函数零点算法是一模一样的。我们先要进行一个因子分解，通过因子分解把它转换成 f x 与 t 的 这样一个关系，这样的话呢，我们再根据图像画出对应的 t 与 f x 图像的交点，交点有几个对应的 x， 那 它就方程就有几个对应的根。 ok， 大家下去可以拿这道题进行一个练习，它含餐也是一样。那么我们这个视频就讲到这里，这个视频讲的几种方法都比较复杂，所以下去一定要去认真去 求解，把我们这一块的内容进行总结。 ok， 至此我们零点的所有内容已经完全部结束了，后面我们继续更新三角函数部分内容有问题同学欢迎在评论区跟老师进行交流，那么我们下个视频再见。

那这节课咱一节课把零点的七大题型给大家讲的明明白白的，像这种大家都见过吧， 这就是跟二次有关的区间分布问题，咱一个一个来讲，来看看这种问题从哪些方面去下手好不好。好好，先看第一个，他说这个方程呢，在下列条件中，符合下列条件，让你求对应的 m， 也就说这个方程跟他一搭，跟他一搭，跟他一搭，跟他一搭，让你求对，那 m 的 值嘛，对吧？对，来第一个。人家说，哎呀，我得有俩正根呀。 如何去保证他有两个正根？就是它大于有两个根。有两个正根， 这两个根能不能相等不？不行啊，怎么不行？两个相等的根也叫两个正根？根是零啊。他没有说这两这个根是零吗？啊？这个根，这根是零吗？不是。这根是零吗？还是只是零？ 这是两个相等的根，叫做 x 一 等于 x 二，能行不？咋不行啊，你又没有说不能为两个一样的根啊。我可以啊，是吧？是来根长成这样子行不行？ 行不行？一个根在这，一个根在这。首先得保证两个根吧？对，咋不一定啊，他不是两个根吗？不是正根，我一个一个保证呀，是不是两个根？ 是不是两个根？对，你是不是先得保证两个根？先得出现两个根，你再去保证个正嘛，不就完了吗？对，是不是？那这是不是两个根？是，这有什么可纠结的？来，怎么保证两个根 就是他怎么了？大于等于零，大于等于零，我现在有两根了。对，我怎么去保证他有两个正根呢？拿什么去保证韦达定律？这是我们初中学过的两个正根。拿韦达定律去保证， 得保证这根都在零的右边。韦达定律说的是啥呢？说的是 x 一 加 x 二大于零， 还有一个是 x 一 乘以 x 二。你应该先保证的是这个，他俩是正的吗？对，说明你俩乘起来不得是正的吗？那他俩一乘是什么？ a 分 之 c 是 不是叫 m？ m 得大于零？ 那 m 大 于零了，可能是同正，可能是同负的，你得保证是同正的，我再保证你俩一加大于零，那不就同正了吗？是的，是吧，那他俩一加等于负的 a 分 之 b 不 就他吗？应该是三减 m 大 于零， 这同时成立就可以了。所以这三个结果取的是交集。这些问题我就不带大家解了，因为解法比较简单，主要是带大家分析下核心思路。好吧，所以你看，从第一道题题目里面我们已经分析出来了这种问题。我的突破口。第一个突破口 啊，我们会用到什么问题？会用到的他是吧？根的分布问题。第二个还会用到什么叫维达定律 啊？就是这几个，我全给你总结好，几乎后面用的就是这几个，从他下手就可以了。第一个没有问题吧？没有好，第一个过了，第二个同理，你也就会了。要的吗？正根都会了，负根你不会吗？第三个题目说两个根都小于一，你告诉我第一件事，先保证什么？ 有两个根，你再保证这两个根都小于一吗？是这意思吧？是的，先保证两个根。来，我先给你画图，两个根 是不是两个根？两个相等是根行还是不行？行，是不是两个根？是的，所以第一件事保证谁嘚它大于等于零。第三个， 我只需要保证嘚它大于等于零就可以了。没完，这两个根都要小于一，所以我得把一放到这，是吧？是的，这不根吗？这不 x 等于一吗？把一放到这啥意思？ 嗯？怎么保证把一放到这说明一的值一定得是什么值？正值来，把一往进带叫做 f， 一 的值得大于零，完了没有？ 能不能保证两个根都小于一？对了，你一在这是大于零的，它不能保。你这个式子推过来，它不一定在这，有可能一在这 对他也大于零。你得保证一大于零的同时得在对称轴的右边得去求 x 对， 把 x 对 求出来，等于负的二 a 分 之 b 得保证他小于一小于一 是吧？是的，所以从这道题目里面我们再次总结出来，你看为答。哎，对称轴用不了，第三个用谁？除了有对称轴之外，还有谁？ 还有题目给你的值？比如说参考值一呀，二呀，三呀，这些参考值 对吧？参考值对应的一些 y 值的正负问题，这叫参考值，题目给你的吗？是吧？好，从这些方面开始去入手的。来第三个会了啊，我们再来看下一个，比如说第五个怎么做？第五个题说一个根大于一，一个根小于一，说明几个根？ 两个根，两个根，第一件事要干嘛？德尔塔大于等于零，你在这里面挑吗？对，现在保证德尔塔吧，一个根图像长这样， 这是 x 一， 这是 x 二，一个根比一大，一个根比一小，说明 x 一 在你俩之间吗？是吧？是来，先保证两个根叫做德尔塔大于等于，不能等于零，不能不能， 如果等于零的话，两个根是一样的，咋可能一个大于一，一个小于一嘞，是吧？所以嘚瑟大于等于零，够了不？不够。然后呢？还要保证啥？保证一个根大于一，小于一，嘚瑟大于零只能保证两个根，你不能保证大于一和小于一吧，是吧？那就一在你俩之间呗。 那一怎么样在你俩之间呢？参考值，看参考值题目给你。参考值就是一吗？一的什么问题？一的正负问题。参考值的正负问题，对吧？我得保证 f 一 的值小于零同时成立。 其实这道题啊，德尔塔你都可以不用保证一个二次函数一的值小于零了，他肯定有两个根啊。 哦，是吧？是的，所以有的人说，哎，胡老师，我就写个他就可以了。可以，你严格来说，你把嘚瑟弄出来了，他对于你的答案不影响，你不知道你就一个一个列吗？列完之后他就对的吗？ 行不行？行，咱们今天讲的这几种呢，只是个开胃菜。在在我们考试当中，真正拉开差距的是更复杂的，更刁钻的其他的一些问法和考法。 那胡老师把每一种都给大家配套了同类型题目的专项训练。嗯，你听会了不代表你会了，一定要去做刻意练习。

同学们大家好，今天咱们来看一道有关函数零点的问题。首先它定义了两个函数， f s 和 g x 都在负一到 a 上， 然后它选项来问的就是函数套函数之间的一个零点问题。首先这个时候咱们就这么来想， 比如说 a 选项 f g x 为零，你先先看一下 f 谁为零， f 谁为零呢？就 g s 可以 为这个谁啊？所以你在题中可以看到 f 谁为零，是不是有三个值？咱们把它分别可以标出来， x 一 x 二 x 三， 也就是说咱们哎 f 要为零的话， f x 为零的话，它有三个值，所以咱们其实就知道了 f x 零点是什么情况， f x 零点 是不是有三个？是不是分别是谁，是不是 x 一， x 二，还有 x 三，然后都在负 a 到谁之间 a 之间， 然后同理 g x 零点它是不是只有一个？咱们设为 x 四吧，所以它也在负 a 到 a 之间，当然大家图一看肯定在零到 a 之间，所以你把 s 四你写成零到 a 之间，也没有任何毛病。 这个时候咱们选项就来看就行，他说方程 f g x 等于零，那 f 谁为零？是不是 f x 一 为零， f x 二为零， f x 三为零，也就意味着是 g x 只要等于 x 一 或 g x 等于 x 二或 g x 等于 x 三就行。 大家来看看 g x 这个函数，大家可以看到它是一个横减的函数， x 一 就在负 a 到 a 之间了，是不是肯定存在？因为 g x 值域也是负 a 到 a 嘛，所以肯定存在一个值，让它 是这个，让它 g s 能等于 x 一， 所以它有一个。同理， g x 等于 s 二也会有一个， g x 等于 x 三也会有一个，所以你会发现就这三个解肯定正确。有的人对这个理解不透彻，你就想想 x 一 就在负 a 到 a 之间了， 假设你就举个例子，假设是负二分之一，那如果说 g x 要为负二分之一的话，你在图上去看一条横线拉过去，是不是只能交一个点？也就说他会有一个零点出来，会解出一 x 出来，所以 a 选项完全正确，所以咱们这个 a 正确。然后 b 选项咱们也可以来看看， 它说 g f x 等于零，你就看 g 谁为零，是不是 g x 四为零，所以咱们就知道了。哎，这个 g x 为零，那就是 f x 等于 x 四呀， x 四是不在零到 a 之间了，在零到 a 之间的话，大家自己来看一看，你 f x 能等于 x 四，你这个 x 有 几个值，你就会有几个减。 那咱们可以这么看， x 四是大于零的大零，其实他们有明确说，你看有可能是这种情况，大零是不是？ x 四是这么一条横着的线，我是不是与 f s 只交了一个点，但确实有可能也交什么三个点， 也有可能是不是交一交两个点，是不是？所以也就说这个 x 四的值，你不明确的情况下，他与 f x 的 交点，他有可能是一个，有可能两个，有可能三个，所以他说仅尤其仅有三个解是有问题的啊， 有问题的大概率是一个解，因为凭这个这个 x 四可以看到它肯定比二分之一大吗？接近 a 吗？所以它就在上边只能交一个点，我就看 f x 等于 x 四， f x 这个函数与 x 四这个常数，它能有几个交点就可以了，就有几个零点， 所以 b 选项错误， c 选项咱们可以来看看 f 的 f x 等于零，咱们可以看到 f 谁为零，是不是有 x 一， 有 x 二，有 x 三，说明了咱们这个 f x 可以 等于 x 一 或者 f x 等于 x 二，或者 f x 是 不是等于 x 三？ 那咱们这么说， x 一 明显看到它是个负值，比负 a 大 一些，那 f x 如果要等于这个谁 x 一 的话，你可能 x 一， 如果说 在这个位置，它相当于是不是与 f x 是 交了一个点，在这种位置是交了两个点， 再往上就交了三个点，所以你说这个能交九个点，就意味着 f x 等于 x 一 会交三个， f x 等于 x 二会交三个，不见得，也许 f x 等于 x 一 就是 f x 这个函数 和 x 一 这个长函数就是 y 等于 x 一 的函数，它的交点有几个，就是零点是几个，它也许交了一个啊，所以这三个 三种情况就算合起来也不见得一定是九个，所以 c 就 错误了，只能看四 d 选项了。而四 d 选项的话，咱们可以看 g 谁为零，是不是只有 g x 四为零，也就是说这个 g x 只要等于 x 四就行。 g x 如果说等于 x 四的话，大家来看 g x 等于 x 四的话，这个 x 四是比 a 大 一点点的数字，是不是啊？大一点点的数字，所以咱们就相当于来一看的话，你等于 x 四，是不是你确实只有一个减，确确实实只有一个减啊， 所以咱们相当于这个题就四 d 选项也是正确的啊。那有的时候老师我看不懂啊，你就想 x 四在零到 a 之间嘛， g x 要等于 x 四，是不是在上面画一条横线？无论怎么去画横线，只能交一个解，它肯定正确，这就结束了。 好，这道题大家就是仔细去琢磨一下。记住，函数的零点问题一般会转化成两函数的焦点问题，用图能很清晰的看出来他的一个问题。

同学们大家好，今天咱们来看一道有关函数零点的问题。咱们都知道函数零点其实就是让函数等于零，解出 x 值这个数， x 值就是零点。 咱们一般做零点问题有两个方向，第一个我就由它这个函数等于零的时候，我算出 x 值，我计算出 x 值，或者我观察出 x 值。 第二种是我观察不出来，但是我这个题只要零点个数，我怎么看他有几个零点？一般情况下会转化成两个函数的焦点问题， 所以咱们很多题咱们去看的时候看不懂，咱们就转化就可以了。像这道题， f x 的 零点个数为，如果让大家去解，让他等于零，比如说另 f x 是 不等于零，去解 x 的 值就是二的 x 方程，这个 对手函数的绝对值减一等于零，你如果能解出 x 的 值，能解出所有 x 的 值，就知道零点个数了，解出一个还不行， 这个题明显不好解，指数乘了对手绝对值再减一肯定不好解。如果只是一个指数函数乘一个对手，函数绝对值等于零，好解啊，因为两个东西相乘为零，是不是你为零或者我为零，但是他减一为零，现在 说明这两东西相乘是一啊。相乘为一的东西太多了，情况太多了，说算不出来，所以咱们只能转化成两个函数的交点问题，怎么转化？就相当于你把它这个式子经过左右移动，或者左右去给他干啥， 去细数，去啥筹东西乘东西给他转化成左右两边都有的一个函数，那像这个题减一肯定要移到右边去， 这个时候咱发现左边指数乘的对手绝对值要等于一，你如果能画出来这个指数乘对手的绝对值的函数图像的话，右边其实这个一就是长函数 y 等于一，你就可以看交几个点了。但是左边画不出来，说明 二的 s 方与这个以零点五为 d， s 对 角，绝对值不能在一块，你就把其中一个除过去就行。当然大家会选择把二的 s 方除过去，因为指数除过去，它至多变成指数的导数，而指数的导数又可以写成标准的指数二分之一的 s 方。 如果你把对手出过去了，变成了对手的绝对值分之一，好像没办法再去怎么化解了，如果再要去化解也可以，但是可能较为麻烦一些。这个时候咱发现左边是一个对手的绝对值的函数，右边是一个指数函数，咱们是不是就可以 画图了？看一下左右两边两个函数，他能交几个点？交点处他俩肯定相等，相等了不就相减为零了吗？是不是？所以咱们来看一看。 首先以零点五为底， x 对 数的绝对值咋画？正常咱们是以零点五为底的 x 对 数，应该是这种画法， 但是有绝对值的话，它是给整个函数加绝对值，肯定是把下翻上，也就是说下边是不要的。 然后再看下二分之一的次方的图像怎么来画，是不是有减的指数函数。你画完之后发现就是交了两个点，能交两个点，说明有两个 x 能让它们相等，能让它们相等，就是 这个 f s 等零的时候的情况。所以他这个题结果他应该是零点个数为两个选二 b， 这就结束了，所以大家一定记住，以后只要是用零点个数的个数的啊， 大概率是要转化成两个函数焦点问题，而转化的两个函数都要能画出图像来才行，如果画不了图，你再转化，再给他稍稍的给他转化一下就可以。好，这道题咱们就到这。

好，各位同学。哎，我们又回到了这个课堂当中，刚刚呢，上节课上一个视频，我们老师已经教给了大家啊，在特殊的对数函数中，我们如何能够快速的 哎画出它的图像，那么结合我们本到函数零点问题这种题型呢，应该是我们高一函数与方程哎，在选填上面最复杂的一种题型了， 相当于说没有比它更复杂的，那这种题型的话，也是近年来的一个常考方向。我们来看一下啊，这个题目应该怎么去解？首先的话给了你一个解析处，我们很明显能够发现这个解析处它是一个分段函数， 那上课的时候老师给大家讲过分段函数的问题的话，只要给了你解析处，第一步不用看他问题问什么，我们先把这个函数的什么呀图像给他画出来。那首先我们来看一下这个图像从左往右小于等于零的时候，很明显这是我们比较熟悉的二次函数，对不对？ 好，二次函数的话，画图的时候老师教过大家，看几个点啊，第一开口方向，第二什么对称轴，然后你要找到起点，终点和转折点， 我们是富无穷到零，那所以说他这有一个终点，他到零截止，那我们会发现他开口向下对称轴的话，很容易我们就能算出来他是个几啊， 这个地方是一个负一，那我们在负一处的话，一定会取到什么值？最大值，我们把负一带进去的话，那么口算一下就知道他应该是一个三， 那也就是说在负一之前在他左边，那么这个二次函数他应该是单调递增的，然后呢？负一之后呢？他应该是单调递减的，减到谁为止呢？减到零处，零处我们一带进去是个二 好，然后人家这个地方零取不取啊？是取到的，那所以这是一个实心，我们给他画上，这是第一步，第二步的话你看一下大于零哦，对数函数整体加绝对值。来回想一下之前老师教过大家的小妙招，对于对数函数来说，只要它整体加绝对值， 只有几种画法，一种画法好，我们先减后增好，画出来了，画出来了之后的话，整个图像我们画出来之后，我们来看一下这个题，这个题说， 哎，你看一下函数 g x 有 八个不同的零点，那我们会发现 g x 可以 看成是一个关于谁的 a 二次函数，如果我们把 比如说你这个地方零 t 等于 f x 的 话，那这个时候的话，我们相当于是不是把它看成一个整体，它有八个不同的零点，那是不是就是 t 方减 a t 加六等于零， 这个里边转化出来的 x 有 八个不同的解，那你想想它有八个不同的解，那意味着我们根据这个关于 t 的 方程解出来的 t 值与 f x 相交的时候，是不会产生八个不同的焦点， 那也就是说这个方程首先它得有解，这个方程有解的话，那我们知道关于 t 的 一二次方程的话，它要么一个解，要么几个解，两个解，那这个时候我们分析一下，如果这个方程中 t 只有一个解 好，只有一个解的话，那意味着这一个解与 f x， 它就会产生几个交点，我们总共是八个零点，那就是八个交点，那我们来看一下这个图像中，哎，你拿出你的尺子上下 晃荡一下，你会发现有没有地方能够保证他有八个焦点是没有的，所以这个时候的话，我们必须说啥是有解的，而且的话他有几个解呢？有两个解， 这个地方你要备注一下啊，有两个解，然后这两个解呢，他俩还不能相等，所以我们 t 一 不等于 t 二，我们把这两个解设出来。 好， t 一 不等于 t 二的话，那两个解你要保证有几个焦点？八个焦点，那也就是，哎，有两个 t 值与函数有八个焦点，那我们来看一下啊，在我们移动的过程中的话， 我们取到一个 t 值与 f x 产生的焦点，你看一下，从下往上啊，刚开始一个，到这是两个，到这三个，哎，到二到三之间的话，产生了几个，产生了四个，再到以后的话又成两个，那我想一想，分析一下两个 t 值怎么样对应八个焦点？ 你如果这一个是对应一个的话，另外一个是不是得对应七个？但是你看有没有对应七个的？没有的，所以我们分析完了之后我们会发现，哎，相当于 t 一， 它对应四个焦点，然后呢 t 二也得对应四个焦点， 那我们来看一下 t 一 和 t 二，如果你要有四个焦点的话，我们从谁处开始产生有四个焦点， 从二这个地方到谁结束呢？三这个地方，那我们会发现，只要你的 t 位于二和三之间，我们是不是就会与这个函数图像产生四个交点？那所以我们就得到了一个什么样的搭讪呢？ t 一， 假设令 t 一 小于 t 二，它的范围是不是应该大于等于二小于三？ 好，此时我们得到了 t 一 和 t 二的取值范围的话，我们把上边咱们刚刚设的这个方程左边 我们给他减成什么呢？我们给他设成 a 七 t， 哎，他等于零，那就是 a 七 t 等于零，那实际上的话，我们就是看 a 七 t 哎，他的一个焦点个数，那这个里边的话，老师给大家讲三种理解思路啊。首先思路一， 我们令 h t 等于的是 t 方减 a， t 加六，这个时候的话，你看一下啊，他要求的是什么呢？他要求有两个解，这两个解的范围我们是不是也出来了？那我们可以用二次函数根的分布 好，人家要求这个范围是在哪呢？这是 t 一， 这是 t 二，那我们会发现这是不是就在是三？ 然后那首先的话，我们列出来的话，他有两个不同的解，但是他大于零。其次的话，我们会发现他在二和三之间，那所以 h 二他这个地方是不是应该大于等于零， h 三不能取呢？所以 h 三得大于零。 然后你如果怕不放心的话，你可以再加一个，我们来看一下对称轴跟 a 是 不是也有关系？ a 对 称轴是二分之 a， 它是不是得在二和三之间？好，你这样算出来，那我们把它带入进去，我们是不是就可以算出来 a 的 取值范围？好，这个是第一种思路，然后我们再来看第二种思路。 好，那第二种思路的话，大家来看一下这个方程啊，我们就不是 h t 了，这个题求的是 a 的 取值范围，那我们就看一下 a 可以 怎么表示，我们很明显能够看出来， a 的 话，负 a 是 这个一次项的系数， 那我们系数跟根之间是不是有一个伟大定律，我们可以结合它的关系。那第二种思路的话，大家可以怎么去想呢？我们这个时候 t 一 加 t 二，也就是两根之合，我们会发现它恰好就等于 a， 那 你讲到两根之合，你是不是就会想到两根之积 t 一 乘以 t 二，你会发现等于几？等于六， 那这个时候的话，那我们来看一下啊， t 一 加 t 二等于 a， t 乘 t 二是个六，那说明它俩的基是一个固定值呀， 那是不是我们 t 二是不是就可以换成是谁？换成 t 一 分之六，那此时 a 等价的是不是就是 a？ t 一 加上 t 一 分之六， 然后 t 一 的范围也给到你了，给的是谁呀？二到三。那注意一下，这个题我们在写的时候啊，你看他俩相乘等于六，如果 t 一 取到二的话，这个地方 t 二是不得取到三，但是很明显 t 二能不能取到三取不到，所以这个地方的话，你要把它真正的范围， 比如说你这个时候可以转化成一个 a， 关于一个什么函数，后边是不是一个对勾函数，一个形式的话，你要把 t 一 更精确的范围给他找出来， 怎么样更精确的范围呢？那这个时候的话， t 一 等于二的时候不能取，那所以说的话 t 一 他得大于二，小于三。同时我们前面还讲了， t 一 和 t 二是不能相等的，不能相等的话，那所以且 t 一 不等于根号六， 他俩如果相等的话，是不是就是根号六？好，这个时候 t 一 更精确的范围出来了，那我们是不是可以把这个函数在二到三内的一个单调性求出来？ 你只要保证 a 与这个函数在这个范围内 a 有 两个不同的焦点是不就可以了？好，那这个时候的话，那我们来看一下啊，此时 在这个范围内的话，二到三上的话，他的转折点是不是根号六？我们可以简单的画一下他的图像啊，这是二，这是三，根号六在这 二到三内减，二到根号六内减，根号六到三内增，那我们把二和三带进去的话，我们会发现他俩的值是一样的，都对应的是个几，是个五，然后根号六又不能去根号六，我们知道他对应的是个二倍根号六， 那所以我们会发现，哎，你产生焦点的话，是不是只能在二倍根号六和五之间？所以那这个题我们就只能选 b， 这是一种方法。那依据这个思路的话，大家可以再往深了一点想一想啊， t 方减 a， t 加六等于零。以前我们讲不等式的时候讲过一种方法，求哪个参数，我们是不是就可以把哪个参数给它分离出来？ 那这个时候的话， t 方减 a， t 加六等于零，有解。我们刚刚分析出来，在二到三上有几个解， 有两个不相等的解，那也就是说如果我把它分离出来，第三种情况，那是不是就是 a， t 等于 t 方加六，那 a 是 不是就等于 t 加 t 分 之六？好， t 属于谁呢？属于二到三。我们分析到这， 此时的话，那你看只需要保证 a 与这个函数在二到三上有几个不同的焦点是不是就可以了？它有几个解？有两个不相等的解，那它就是有两个不相等的焦点。 好，那你再次把它在二到三内的图像画出来，你看到这个范围内，它在哪个地方有两个不相等的焦点，这样的话我们直接解就行了， 三种思路，三种方法啊，殊途同归。大家只要把这个根的分布问题是这样，二次函数我们转化一下，我们前面学的很多种方法都可以结合起来。那这个题讲完之后，大家如果有其他 还搞不明白的问题的话，我们可以在评论区留言啊，给老师打 call。

ok， 那 么我们今天一块去看一下函数部分的最难的一个模块叫做函数的零点综合，那这部分很多高三的同学到目前为止把这一块内容还是不能够完成的掌握，所以呢，我们高一在学这块的同学， 一定要刚开始把这块的题型总结好，并且把对应的原理搞清楚，这样我们在高三就会游刃有余一些。 ok， 那 么首先这视频我们主要从函数零点的综合题型，包括零点存在性定力， 零点的个数与零点个数的求餐问题，以及我们等直线求解零点的合击的曲值范围和最后我们的嵌套零点问题，以及后面常考的一些关于零点的一些综合类型。 所以呢，这个视频比较全面，并且呢老师也会花三期进行更新，所以呢，对这块有问题并且想系统学习的同学一定要点赞关注，并且收藏老师的视频。 ok， 废话不多说，我们先看第一个题型，第一个题型我们先讲的是零点存在性定力， 我们得了解它的原理，它的原理呢，实际非常简单，也就是我们的 f x 如果在这个区间 ab 上是一个连续不断的曲线，并且呢满足我们的 fa 乘以 f b 小 于零，在区间端点的函数值符号相反， 那么我们可以推出来函数 f x 在 这个区间内至少有一个零点，我们可以画图来进行理解，比如说我们现在告诉我们这个区间 ab， 我 们画一个连续不断的函数 f x， 假设呢，我们的 f a， 它的值是小于零的，假设我们这块是 f a， f a 小 于零，并且呢 f b 是 大于零的， 这样的话呢，我会在 a b 中存在一个点 c， 使得 f c 等于零，这个实际上就是我们对零点存在性定义的理解。了解了这个内容的话，我们可以进行一些推论。 那么第一个比较常用的推论就是，如果我们的 f x 是 一个连续不断并且具有单调性的函数，则我们的 f x 在 区间 a b 内有且只有一个零点，那反之也依然 ok。 那 对这个零点穿线定律的应用，我们在第一次月考中，他一定会出到这样一个题目，这个题目的做法也比较简单，我们只需要去根据它的定义 告诉我们，让我们算 f x 等于它的零点所在的区间，我们只需要把 abcd 这个区间端点值给它带进去，看它的端点值的符号相反还是相同，如果相反的话，那就有零点，如果相同，那就没有零点。所以呢，不妨我们去带一下告诉我们， f 一 等于 f 一 等于八十一乘以 lo 一， 减去一个三分之一的 一减三，那就是负二次方。所以前面我们知道 lo 八十一， lo 一 等于一个零，那这个就变成了零减去，后面还有个减八十， 零减去三分之一的负二次方，那就是三的平方，那它明显是一个小于零的。同理的话，我们再算出 f 二 f 二等于八十一乘以捞引二，再减去一个三分之一的负一次方，再减八十。 那么此时知道了八十一乘以捞引二，再减去三分之一的负一次方，减三再减去八十，那此时我们知道了捞引二大概是一个零点六九，所以呢，这个式子 f 二也是小于零的， 那对于这些比较常考的值呢，我们需要把它记住，烙印二，零点六九三。对于 f 三的话，同理我们继续进行代代值即可，那就是八十一乘以烙印三，再减去一个 三分之一的零次方，那就是一再减去八十一，再减去八十，所以这个就变成了八十一乘以 lo in 三减去八十一，同时我们需要把它提出来，那就变成了 lo in 三减去一个一。 lo in 三，我们知道它大概是一个一点零一大于一的，所以这个式子它明显是大于零的， 所以我们可以知道我们的 f 二是，所以我们知道了 f 二乘以 f 三，它是一个小于零的，所以我们的零点就在二到三内选择 b 选项。同理，第二个也比较简单，大家可以自己去尝试一下。 ok， 这个就是我们零点存在性定律，在我们第一次月考中的一个考试题型的一个方法，大家一定要去掌握清楚。并且呢对一些常见的数字，我们需要把它记清楚，比如 l 二和 l 三。 对于第二个题型，我们要看的是零点个数与零点个数求差，那这类问题的做题方法也比较固定，他实际上考察的就是我们对图形的一个掌握，也就是我们比较常说的数形结合。 如果这块我们要养成一个良好的做题习惯，在做这块的题目时候呢，一定要把对应的图像给它画出来，如果说你有这种画图的好习惯，那你做这块的题型会比较简单，如果没有赶紧迅速去培养这块的特点，实际上考的就是我们的图形变化，你得会画图形，并且呢应用的比较多的实际上就是我们的翻折变化， 也就是我们 y 等于 f 绝对值 x 和 y 等于我们的 f x 绝对值，这两个图像你要得会画，所以第一个 f 绝对值 x 的 话，我们的画图方法比较简单，那也就是我们去左 留右右翻左，这个左右指的是 y 轴的左右，所以 y 等于绝对值 x， 那 也就是说去下留上下翻上。掌握了这两个原理，实际上我们就可以把对应的图像画出来，利用 我们三个相等关系进行判断。什么相等三，哪三个相等关系呢？那也就是说我们 f x 等于零， f x 的 零点问题， 它就等于 f x 方程的根，同时呢也等于 f x 与 f 轴交点的横坐标图像交点。有了这三个等量关系，再结合图形的变换，我们一定是可以把这种零点个数，包括零点个数求差，以及后面我们的求解曲式范围，各种题型进行一个掌握。所以呢，这块 重点实际上就是画图。那下面我们结合这两个题目去看一下这些题型到底应该具体怎么操作呢？首先我们看第一个题，告诉我们 f x 等于它，若 f x 恰有三个零点，恰有三个零点，让我们算 m 的 取值范围。那做这种题，首先第一个就是我们的画图了， 在画图之前，我们可以观察一下这个 f x 等于一个 x 幺零零的时候是它减去 m， 在 x 幺零零的时候也是小于减去 m， 那 所以不妨 我们如果令我们的 j x 等于一个这个分段函数，把参数先给它去掉二 x 加一，就是再减去一个一，在 x 小 于等于零的时候，它是一个图像，然后在 x 在 零的时候呢，我们令它是一个 lo in x， 这样你发现 f x 的 零点实际上就是 j x 减去 m 的 零点， 我们把 f x 的 零点就转换成了 g x 减去 m 等于零的根，在这我们把它转换成了方程 g x 减 m 等于零的根了， 你就说我们要把它转换成函数成的根，进而转换成图像的焦点，那它等于零的根的话，我们是不是只需要去算出我们 j x 等于 m 这两个图像的焦点？这个也是我们做这类题的一个非常重要的方法，把零点问题给它转换成我们的图像焦点问题，那一定要去记好笔记。 所以呢，此时我们只需要去画出 js 图像，在画图像的时候，大家一定要去注意以下几个点，就要把 它的区间间断点以及在间断点处的函数值，包括一些最大最小值对称，如果是二次函数，它它的对称轴的最高最低点也要给它算出来，这样会让我们的图形更加的准确易用我们的判断， ok， 那 我们先去画的是 s 大 于零的图像，那它是一个 g i 图像，是 low s low s 单调递增， 在 x 加零的时候，它是个全图像，长这样，然后当 x 小 于零的时候，我们先画二 x 加三的绝对值，然后把这个二 x 加三的绝对值减一，就是向下整体平移一个单位，那二 x 加三的话，让它等于零，我们会得到 x 等于一个负的二分之三， 并且呢它的斜率是一个二，所以它是单调递增的，我们画出来它的对称图像，此时你不要着急，我们现在画的是我们的这个二， x 加三的一个图像要整体去化解，我们是不是需要去把它向下平移一个单位才可？ 那此时我们知道了，我们当 x 等于零的时候，我们这块的值是一个三，那所以向下平移一个单位，我们得到的 在 x 等于零处的值，它就等于一个二，并且呢，最低点是不是变成了负一了？所以我们只需要画出 y 等于 m 和 y 等于 j x 两个图像的交点即可。此时呢，我们知道 y 等于 m， 它是平行于 x 轴的一条直线，那不妨把 y 等于 x， y 等于 m 给它画出来， 拉住 y 点 m 进行平移。我们此时只需要让 y 等于 m 与我们的 j 图像有三个交点即可。那当 y 等于二的时候，我们发现它刚好恰有三个零点，因为在 s 等于零的时候，它是可以取到二。然后向下平移的过程中，是不是一直会有三个交点？ 当临界点是，当 y m 等于负一的时候，此时只有两个零点，那所以呢， m 的 范围是大于负一，并且小于等于二可以取到二。所以呢，这个题就选择我们的二 b 选项。 所以呢，对这种题目的话，我们只需要去画出题目中的图像，并且把它转换成我们的图像焦点问题是不就可以了？当然，在确定关系的时候，一定要搞清楚他间断点处的这个可取等的条件到底在什么地方取到即可。那么第二道题大家掌握这个方法之后，是不是就可以快速去求解了？ 要求 g x 的 三个零点，那所以我们先把 g x 转换成 f x， 减去二分之 m 等于零，有三个交点，所以呢，我们只需要画出 f x 等于二分之 m 平方有三个交点是不就可以了？ 那 f x 图像一画与二分之 m 平方有三个交点，这个问题解决，那所以问题就在于关于画出 f x 的 图像，不妨去画一下。当 x 小 于零的时候，我们知道了它是一个整体带绝对值的，并且是 lo x 减一。 那我们是不是先去画 loi x 的 图像， loi x 图像画出了之后呢？ loi x 减一，左加右减向右平移一个单位，此时呢，不要忘记它是有间极限的 平移过来长这样给它整体带绝对值，我们去下留上下翻上， 这个绝对值是给 s 整体带绝对值， i 减一整体带绝对值，那也就是说我们去左留右右翻左，那也就是说取到的是我们蓝色的部分，其他多余的我们就给它擦掉了。老师主要给我们展示这个画图的过程。 s 在 零的时候，我们知道它是一个 开口向上的二次函数，并且呢，它的对称轴是一个一在零处取二，但是它是一个开的，所以呢，我们只需要去画在零处取二，二在这个地方它是一个空心的，在一处的时候，我们带进去发现它等于个一 这样一个二次函数模型，把左边的图像给它画好一些，一定要去标出关键位置的函数值，这样的话有助于我们理解图像，那此时的 f x 的 图像我们已经画出来了，我们只需要去画出 y 等于二分之 m 方的图像，那么 y 等于二分之 m 方图像，它也是一条直线，所以呢，不妨画出来，我们只需要让这个 y 等于二分之 m 方 要大于一小与二是不就可以了？此时我们可以解出来我们的 m m 要么是大于根二小于二，或者呢，我们的 m 要大于负二小与负根二，此时我们的 m 范围就可以写成负二逗，负根二并上一个根二，逗二 得开去减。 ok， 这个就是我们对于函数零点个数基，根据零点个数去求解参数取值范围问题的一个详细的过程。像下去，对这两个题型一定要去认真研究，尤其是对于画图，一定要去认真去思考。 三个呢，就是我们等值线问题，去求解零点和积的取值范围。这里我们需要了解两个原理。第一个就是对于我们的这种 y 等于整体带绝对值的函数，比如说 log 以 a 为底 x 对 数， 那么此时不管 a 大 于零还是 a 小 于零，不管是 a 大 于一还是 a 大 于零小于一，它们之间是有一个定值的，对这两个定值一定要去搞清楚。第一个定值就是我对这个 图像进行研究，会得到它的图像，比如说我们假设它画一下它长这样，它是 a， 是 一个大于一的， 那也就是说如果对这个绝对值的绕 a x 的 话，我们需要去研究，比如说 y 等于一个 e， 我 需要去研究的是对应两个 x 的 一个关系， 比如说 x 一 乘以 x， 如果这是 log， 如果这 log 以 a 为底 x 的 话，这是一，所以它们之间的关系就可以得到你的 x 一 乘以 x 二是一个定值， 对吧？我们的 x 一 乘以 x 二，它一定为一个定值。如果它是这个题呢？你发现你的 x 一 乘以 x 二，它一定等于一个一的，它的原因就是因为你发现我们两个 y 绝对值 y 相等，所以在 x 一 的时候，它应该取的是负的， 跟这个 x 二取的这个值刚好是相反数。相反数对于对数而言呢，我们刚好是分之一或倒数的，所以它们两个相乘一定是等于一的。那对于平移过后的，或者说对于一些 这块不是一的值呢？我们知道它的 x 一 y x 一 乘 x 二，它一定是一个定值，这一点我们要搞清楚。然后第二个就是呢，何为定值？这个是皆为定值。何为定值的意思就是说对于我们 有对称性的这样一个函数，比如说我们比较常见的二函数绝对值的，是不是啊？可以 x 在 绝对值的我们都具有一个对称性，这个对称性我们会决定的是你的取 y 取同一个 y y 值的话，它的 x 相加一定是一个定值。比如说我们举个例子， 举个非常常见的二函数轴对称，可以说它具有轴对称的这样一个函数，有轴对称性的函数。关于 x 等于 a 对 称的话，我们给 y 等于随便一个值吧， y 等于 m， 发现它与这个就对阵线的函数交于两个根 x x 二。此时的话呢，你的 x 一 加 x 二，它是一个定值，并且这个定值是一个二 a。 对 于取值范围包括定值问题的话，我们常用的实际上就这两点，大家一定要把这两点至少搞定，搞定这两点我们在做题中呢，就会非常的简单，比如说我们看一下这道题也是一样，告诉我们 f x， 它是一个分段函数，并且呢 a、 b、 c、 d 互不相等， 且 f a 等于 f b 等于 f d， 说这个东西我们让它等于一个 m， 实际上它就是一个等值线问题了，就是我们此时这说的这个等值线就这意思， 并告诉我们让我们算 a 加 b 加 c 加 d 的 几何位，那也是让我们先画 f s 图像，这个题目前面是一个零到十的时候，我们知道它是一个 log x， 并且呢在 x 大 于十的时候，它是一个绝对值的这样一个 e 函数。 ok， 那 我们可以画出来这个题目的图像，说在零到十的时候，它是一个绝对值的这样一个 e 函数。 ok， 那 我们可以画出来这个题目的值等于 一后呢，我们给它去下留上下翻上，我们会得到它的图像长这样，并且呢在实处的值取到的是一， 当 x 大 于等于十的时候，此时这应该是大于十，大于十，当 x 大 于十的时候，它的图像呢是一个 e， 三是带绝对值的 e， 三带绝对值的话，让它等于零，我们发现 x 是 等于十二，并且呢取绝对值我们会得到向上去翻折就可以了。 ok， 这样我们就我们对应 f x 的 图像， 画出来 f i 图像，它说有四个根，并且 f a， f b 等于 f c 等于 f d， 让我们算 a 加 b 加 c 加 d 的 虚数范围，那我们先找出能有四个根的时候，我们让这个式子等于一个 m， 比如说我们令我们的 f a 等于 f， b 等于 f， c 等于 f， d 等于 m， 那 要有四个根的话， m 的 取值范围是不是可以算出来？这个根？我们刚讲的第二题型是不是有点类似？那 m， 我 们知道他一定在零一之间，并且我们可以把 abcd 的 值给他标出来，那此时这是 a 从小到大经排列 abcd， 所以呢，根据上面的原理，我们可以知道我们的 c 加 d 是 不是一个定值等于中间这个对数是二倍，那 c 加 d 是 等于二十四，并且呢， a 乘 b 呢，也是一个翻上去的，所以呢，我们会得到 a 乘 b 等于一个 一。对于这种具有性质的基定或核定这个性质的，我们画完图之后，一定要把它所做的这个区间给它写出来， 得到这个关系式，先给它写出来，所以再去看。题目上咱算的是 a 加 b 加 c 加 d， 此时的话呢，我们可以去写它，我们知道了它就可以写成我们的 c 加 d 是 二十四，再加 a 加 b b， 我 们知道它等于一个 a 分 之一，就是说二十四加上 a， 再加上 a 分 之一，把它转换成一个只含有一个未知量的函数关系即可。所以此时只需要去算出 a 的 取值范围，那我们去研究一下 a 的 范围在哪里，就是说 a 最大的 a 最大，是不是取到一，最小取哪它不能取到零，原因就是因为我们在实处这个间断点，它最高是一， 你要比这个小，所以一定要让他比这个 y 等于一的时候，这个值是不是要大才行，他的下限比这个值大，比如说老师先画一下这个值，应该在这个地方你比这个值要大，这个 x 是 多少？那我们不妨去求一下，那也就是说我们只需要让 log x 等于负一是不就可以了？而且它是翻上去的，对吧？所以这个根我们只需要让 log x 等于一个负一，那我们知道 x 等于十的负一次方十分之一，所以我们知道这个根就是十分之一，所以我们只需要让 a 大 于十分之一，并且小于一即可了。 这样呢，我们画出 a 加 a 分 之一的图像， a 加 a 分 之一，它是一个对勾函数，那我们直接去画它在十分之一到一上的图像是不就可以了？它长这样在一处取到最小值 二，我们只需要画出十分之一到一上是不就可以了？十分之一在这个地方，所以呢，它的十分之一处取的最大，把十分之一带进去，它是一个十加 十分之一，那就是十分之幺零幺，最小是一个二，所以呢，我们得到它的这个值域是一个二到十分之幺零幺之间，那么所以我们就可以得到我的二十四加上 二就是他的最小，最小等于一个二十六。二十四加上一个十分之幺零幺就是他的最大，他的最大等于十分之 两百四，那就是三零幺三四幺，这是他的最大值，这是他的最小值。 ok， 那 此时我们发现只能选择的是 c 选项， ok， 这个就是我们对于基定还有核定的一个应用，对于有这样的性质，一定要去把对应的这个关系先给他写出来， 把题目中所含有的这样一个曲式范问题给它转换成只含有一个位置这样的函数关系问题，但在做这个函数关系的时候，一定要去注意它定义的曲式范围，这个非常重要，需要数形结合进行思想。 ok， 那 么这个题就讲到这里，大家下去可以拿这个题进行一个练习，这个题也是比较难的， 看你能否能把它做出来。 ok， 那 么我们今天先去讲前三道题型，后面呢？我们继续去看后面的题型，有问题的同学呢，来在评论区跟老师进行交流。