抛物线中的蝴蝶模型证明过程

前我讲过三角崽的故事，把它的角固定投在平行线上，拉一拉，面积不变。咦，你瞧，这里正好是一个梯形，那这两条线就是梯形的对角线。看来连接梯形的对角线，就能得到两个面积一样的三角形。那除了他们俩，还有没有其他三角形面积也一样呢？ 发现没，他俩都有这一块，如果把它挖掉，剩下的面积也应该是一样的。也就是说，梯形对角线分出的四个三角形里，腰上的两三角形面积相等。你看他们俩是不是很像蝴蝶的一对翅膀，这对翅膀面积一定相等， 如果他的面积是九十九，那他的面积也一定是九十九，这就是传说中的蝴蝶模型。注意，梯形里的蝴蝶翅膀说的是腰上的两三角形，你只要找到腰，翅膀就不会找错了。 比如这个梯形，腰在这，那翅膀就是这两三角形，而这个梯形里，他们俩平行，他们俩不平行，所以腰在这，那翅膀就是这两三角形。只要有梯形，你就可以很轻松的找到翅膀。 可如果梯形被藏了起来呢？比如这个图，大正方形的面积是五百，那阴影部分的面积是多少呢？ 我的天呐，这可怎么求？别急，看看能不能用到蝴蝶模型。先找梯形，它们俩平行，它们俩不平行，所以这个四边形就是梯形。梯形里不平行的对边是腰，腰上的三角形就是翅膀，它俩面积一样， 咱就可以把这块阴影面积转化到这里。这样的话，原来的阴影部分就变成这个三角形了， 他的面积很好求，就是大正方形的一半，即五百的一半二百五，所以原来阴影部分的面积就也是二百五。 好了，这个视频我就给你讲了，蝴蝶模型在梯形里对角线分出了四个三角形，腰上的两三角形面积一样，简单来说就是梯形里的蝴蝶翅膀面积相等。现在问题来了，这个梯形如果这个三角形的面积是三三三，那这个三角形的面积是多少呢？

好，同学们，接下来我们来看一道例题的补充题，说如右图所示，正方形 a、 b、 c、 d 的 面积呢？是 a。 整个大正方形面积，并不是直接告诉你，是吧？是用一个字母来代替的，这个是 a。 那 么然后呢？又已知正三角形 b， p、 c， b， p、 c， 这是一个正三角形。什么叫正三角形？就是 边三角形吧，是吧？所谓的正多边形就是边相等并且角相等的这样的多边形叫做正多边形吧，它的面积呢？是 b 啊，这个正三角形面积是 b， 那 么求阴影三角形 b， p、 d 的 面积。那很明显，我要求的面积应该是以 a 和 b 去表示的吧， 是吧？因为题目中并没有数据，只知道 a 和 b， 那 所以最后答案一定是用 a 和 b 去表示，对不对？那如何去表示呢？这个阴影部分和 a 和 b 到底有什么样的关系呢？好，我先不说，同学们暂停视频，自己先思考一下。提示这道题要用到梯形中的蝴蝶模型。 好，同学们，做完了没有？那刚才我提示要用到梯形中的蝴蝶模型，但是首先有没有发现梯形存在呢？好像这个真没有吧，是吧？虽然这个可以有，但是它真的没有。 这个是梯形吗？也就是四边形 p、 d， c、 b， 它是不是一个梯形？不是吧，很明显不是，这条边和这条边也不平行吧，所以它不是一个梯形， 所以都没有梯形，你哪来的梯形中的蝴蝶模型？是不是？所以这道题首先需要我们自己先构造梯形。那怎么构造梯形呢？观察题目条件，他给了两个特殊的几何图形，一个是 正方形，一个是正三角形吧，那根据这两个图形，我发现实际上这两个图形都是对称的吧？是都对称的，而这有一条对角线吧，如果咱们把 a、 c 这条对角线也连起来的话， 是吧？然后左右一折，你会发现它是可以完全重合的，这个能理解吧？是吧？正方形左右两边完全重合，而这个正三角形左右两边也是完全重合的吧，是吧？而你一对折，就会出现一个折痕， 是折痕，这个折痕就应该是这条中轴线吧，能跟得上吧？而这条中轴线是中间会存在这么一条， 是吧？那这条线和这条线和这条线是不是都是平行的呀？对不对？而这条线平行于它，那出现梯形没有？出现，没有，这是不是个梯形啊？ 是吧？那一旦出现这个梯形之后，那我就可以根据这个梯形，利用梯形中的蝴蝶模型吧，也就是这个三角形面积可以转移到这个位置来吧，对不对？那从而阴影部分就由这个形状变了个样子，变成什么样呢？ 是变成了一个 c 标的样子，对吧？是吧？那为什么要变成 c 标的样子呢？因为你会发现，我知道整个正三角形面积是 b， 是吧？而现在的阴影部分是被包含在正三角形里面的吧，是吧？那只需要再减去下面这块空白，剩下是不就是阴影部分了？而这块空白是多少？ 两条对角线吗？是吧？两条对角线正好把这个正方形一分为四，所以这块面积应该是四分之一 a 吧， 对不对？然后整个正三角形面积是 b c b 减四分之一 a 就是 我要求的 阴影部分吧，这道题同学们听明白没有？那实际上这道题最需要的就是一个做题的经验，根据正方形和正三角形，想到它们对称的对不对，一旦对称我就可以 对折，而一旦对折之后就存在了平行线，而存在平行线就可以用梯形中的蝴蝶模型吧，明白了没有？好，这道题我们就讲到这。

同学们，前面我们学习了求三角形面积、梯形面积，那接下来我们这节课要学的求面积难度就更上一层楼了。为什么这么说呢？ 因为你会发现它不再是简单的利用公式就能做出来的了。我们看题，这道题它属于组合图形中求部分面积的题，那既然是组合图形，我们看它是由一大一小两个正方形拼接在一起， 大家看它像不像一大一小两个人呀？我们把这种一大一小两个正方形拼接在一起的组合图形也称之为负子形。 这道题已知四边形 a、 b、 c、 d 和 g、 c、 e、 f 为正方形，且 ab 等于八厘米。求阴影部分的面积。大家看阴影部分的面积是由三角形构造而成， 那么如果我们直接把这几个三角形的面积给他加起来的话，是不是也可以求出阴影部分的面积？但是大家注意看，这几个三角形的面积能求出来吗？ 你知道它的底和高吗？是不是求不出来？求不出来应该怎么办呢？那同学们在这里的时候，我们就要想起来辅助线的作用， 大家试着连接大正方形的对角线 c、 f， 然后再连接 d、 f， 这样的话我们是不是就构造出来了一个梯形， 构造出来的梯形就是 b、 d、 f、 c， 那 为什么要构造这个梯形呢？我们接下来往下看， 我们做了辅助线之后呢，图中就呈现出来了几个三角形，那么现在大家观察观察三角形 d、 h、 f 和三角形 d、 h、 e 这两个三角形， 你们看一下这两个三角形有什么关系呢？对这两个三角形呢，它是属于同底等高的两个三角形，同底，它们两个的底是共用了线段 d、 h， 对 吧？然后它们两个的高 都是正方形的边长，那么同底等高的两个三角形的特点就是面积相等， 所以说这两个三角形的面积是相等的。下来再看三角形 d、 h、 o 这个三角形属于它们两个三角形的共用部分， 所以说三角形 d、 o、 f 和三角形 h、 o、 e， 它们两个三角形的面积也是相等的。那既然它们两个的面积相等，我们可不可以把三角形 h、 o、 e 的 面积转化到三角形 d、 o、 f 中？ 现在我们在观察，经过转化之后呢，我们的阴影部分是不是发生变化了？现在我们的阴影部分是不是是在梯形 b、 d、 f、 c 中？ 既然它是在梯形中，那我们就要想到在梯形中有一个很重要的一个模型，叫做蝴蝶模型。我们来说一下，什么是蝴蝶模型？ 蝴蝶模型呢？只是在梯形中说啊，大家看这个梯形，你随便画一个梯形 a、 b、 c、 d， 然后你把梯形的对角线 a、 d 和 b、 c 给它连接起来，连接起来你就会发现，哎，这个图形很像一个蝴蝶是不是？ 那么 s 一 部分和 s 二部分就像是蝴蝶的左右两个翅膀，对不对？那蝴蝶模型中有什么结论呢？首先第一个结论就是蝴蝶的左翅等于右翅，也就是说 s 一 等于 s 二，那 s 一 为什么等于 s 二呢？我们先来证明一下， 你看三角形 a、 c、 d 与三角形 b、 c、 d， 它们两个是属于同底等高的两个三角形，那同底等高的两个三角形面积是相等的，那么三角形 c、 o、 d 为它们两个三角形的 面积，也就是 s、 e 的 面积和 s i 的 面积，所以说 s、 e 的 面积就等于 s i 的 面积。 我们清楚了蝴蝶模型的结论一之后呢，我们现在再来看这道题。那你看在梯形 b、 d、 f、 c 中， 谁是 s、 e， 谁是 s、 i 呢？是不是三角形 b、 h、 c， 它就是蝴蝶的左翅，然后 d、 h、 f， 它就是蝴蝶的右翅， 那么蝴蝶的左翅等于蝴蝶的右翅，这是我们刚才证明了的。所以说既然它们两个的面积相等，那我们可不可以再继续转化，我们把三角形 d、 h、 f 的 面积给它转化到三角形 b、 h、 c 中呢？ 好，现在看我们经过转化，阴影部分是不是已经发生了变化，现在的阴影部分就是小正方形面积的一半，对不对？所以说题目的已知条件只告诉了我们小正方形的边长， 那么我们通过小正方向的边长也是可以算出来这个题的答案。我们不怕已知条件给的少，我们一步一步往下探索题，他就会解出来。 好，下来我们总结下这道题，大家做一道题，要对这道题进行总结，然后呢要对这类题进行总结， 以后就说是做一道题，我们要会这一类题，而不是说做一道题只会这一道题。你现在看这道题，这道题呢，它属于一个大正方形和小正方形拼接在一起的图形组合图形，对吧？就是后面我们如果 做到这种由大正方形和小正方形组合在一起的这种图形的话，我们首先要想到啥呢？我们首先啊，一定要想到连接小正方形和大正方形的对角线， 为什么要连接对角线呢？因为只有你连接了它们两个的对角线之后呢，是不是就出现了一组平行线？既然有一组平行线，是不是就可以构造梯形了？ 构造了题型之后呢，那么蝴蝶模型是不是就可以来用？再就是大家也要注意，我们同底等高的三角形面积是相等的，这个一定要牢记，也一定要学会转化。好了这道题就讲到这里。