七年级上册数学几何图形山东，人教版

各位同学大家好，今天我们一起来学习几何图形的第一节课。在小学，我们已经学习过许多有关几何图形的知识，知道三角形、长方形、平行、四边形、圆这些图形的形状特征， 以及会进行有关周长面积的计算。那么进入初中后，我们将继续用数学的眼光观察身边的世界，学习新的数学知识、数学方法，感受数学之美， 感受用数学知识解决实际问题的乐趣。大家知道数和型是数学的研究对象，本章我们将继续学习更多的 几何图形，进一步探究直线、射线、线段、角等最基本的几何图形的性质，进一步了解他们的应用。 今天就让我们在丰富多彩的图形世界中开始我们这节课吧！ 大家来看，这是大自然中漂亮的植物，造型奇特的动物。这是晶莹的雪花，放大后的样子简直就是一件艺术品。 这是小蜜蜂的杰作。一排排整齐排列的蜂房，数学家已经证明过，在相同体积条件下，这 这种建造方式是最节省材料的。可见小蜜蜂不但勤劳，还是非常聪明的建筑师呢。那么人类呢，也从大自然中获取灵感和启发，建造了很多雄伟漂亮的建筑。 可以说，用心观察我们身边的世界，是改变世界的开始。 这是二零零八年北京奥运会的主会场国家体育场，又称鸟巢。它位于北京奥林匹克公园中心区南部，建筑总面积达到了二十一公顷， 可以容纳观众九万一千人。在这里举办了奥运会、残奥会的开幕式和闭幕式， 以及一些田径比赛和足球比赛的决赛。在奥运会结束后，这里成了广大北京市民参与体育活动、享受体育娱乐的大型专业场所， 那么这里也成了地标性的体育建筑和奥运遗产。同学们来仔细观察，在这张国家体育场的照片中，你能看到哪些熟悉的图形呢？ 好同学们找到了，这里有我们熟悉的线段， 三角形、四边形，这里还有一 一个半圆形。同学们表现的都非常不错。刚刚我们就是在用数学的眼光来观察我们身边的事物，从而发现这些丰富多彩的图形其实都是由一些基本的几何形状构成的。 让我们把目光从国家体育场转回到我们的教室内，大家再找一找，在教室里有哪些我们熟悉的基本的几何形状呢？ 好同学们找到了很多，这是我们国家的国旗，五星红旗， 他是我们中华人民共和国的象征和标志。那么我们来看五星红旗的外形， 它的基本几何形状是可以看成平面上的一个长方形。这是教室里的钟表，它的外形可以看成是平面上的一个圆。 这是我们同学带来的地球仪，它外形的基本几何形状可以看成是一个球。 这是我们同学用来喝水的水杯，它外形的基本几何形状可以看成是一个圆柱。 那么老师也准备了一些大家熟悉的图片，大家再来找一找，这里又有哪些基本的几何形状呢？同学们来看这幅图片，这个人戴的 这个叫斗笠，那么过去在山村水乡是随处可见的。唐代有一个诗人柳宗元，他有一首诗，江雪 千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。其中第三句孤舟蓑笠翁描绘的就是一个穿着蓑衣，带着斗笠的老渔翁， 一个人孤零零的坐在船上的画面。那么现在这个斗笠基本上都是作为集实用与美观于一身的工艺品了。 那么斗笠的外形的基本几何形状，我们可以看成是一个圆锥， 下面这是一个非常精美的茶叶块，它外形的基本几何形状是一个柱体，我们观察这个柱体有六条侧棱，所以我们称它为六棱柱。 这是一个帐篷，这是它外形的基本几何形状。那么它的名称是什么呢？ 通过观察我们发现左边这幅图是个三棱柱， 而我们把它换个方位放置，得到的就是右边的这幅图形，所以右图也是一个三棱柱，所以这个帐篷外形的基本几何 形状是一个三棱柱。 这是二零零八年北京奥运会的主游泳馆。国家游泳中心，又称水立方，它也位于北京奥林匹克公园内， 在奥运会期间承担了游泳、跳水、水球等比赛项目，可以容纳观众一万七千人。 在奥运会结束后，他也是成了具有国际先进水平的集游泳、健身、运动、休闲于一身的中心。 在二零二二年北京冬奥会期间，他将转型成为宾利方 作为冰湖项目的比赛场馆，这也是世界上首座在泳池上架设冰湖轨道的场馆。那么水立方外形的基本几何形状，我们可以把它看成是一个长方体， 也可以叫它四棱柱， 这是古埃及的金字塔，它外形的基本几何形状是一个锥体，我们观察它有四条侧棱，所以我们称它为四棱锥。 那么这些丰富多彩的图形都是我们从现实世界的物体的外形中得到的，那么各种各样的物 除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状，如圆的、方的等，大小如长度、面积、体积等 和位置关系如香蕉垂直、平行等。那么物体的形状大小和位置关系是几何中研究的内容， 我们先从物体的形状开始我们的研究，一个物体的美和它的功能离不开它的形状， 大家看这是一张跑车的照片，它流线型的外形既体现了一种动感的美， 同时也有效的降低了风的阻力，提升了它的行驶速度。 这是北京大兴国际机场，它外形的寓意是浴火凤凰，那么它的外形就是把我们的中国文化和功能和谐的统一到了一起。 三角形的稳定性在这辆自行车的结构中得到了应用， 而我们常见的伸缩门则又很好的利用了平行四边形的不稳定性。 大家再来看这里有圆形的井盖，也有六棱柱形状的铅笔，那么 那么他们的外形又都考虑到了哪些因素呢？有兴趣的同学可以课下去研究一下。 那么这些物体的形状在数学家的眼中都可以看成是一些基本的几何图形构成的，那么下面我们就来看与几何图形有关的几个概念。 一、几何图形，长方体、圆柱球、圆锥、棱锥圆、长方形、正方形、线段点等都是从形形色色的物体外形中得出的， 他们都是几何图形，是数学研究的主要对象之一，大家看到的这些都是 几何图形，也都是我们刚刚从各种物体的外形中得出的。那么这种从物体的外形的形状得到几何图形的过程，应用的就是一种从具体到抽象的思维方法。 那么这些图形中有些图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥球等的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形。 各部分不都在同一平面内，指的是这个立体图形的有些部分在一个平面内，而有些部分则不在一个平面内。我们以长方体为例，大家来看这两条红色的棱，他们都在 上底面所在的平面内。我们再来看此时这条红色的棱和这条绿色的棱则不在同一个平面内。 而有些图形，如线段、角、三角形、长方形、圆的各部分都在同一平面内，他们是平面图形。 我们以后对几何图形的学习也是分为立体图形和平面图形两部分进行的。 四、立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但是他们是互相联系的。立体图形中某 有些部分是平面图形，我们还是以水立方为例，观察它的外形，从整体上看，它的形状是一个长方体，也就是立体图形。而我们只看它的侧面，得到的是长方形， 只看他的棱，我们得到的是线段，只看他的顶点，我们得到的就是点。那么大家知道长方形、线段点，他们都是平面图形，而此时他们也都是这个长方体的某些部分。 好，那么这里为什么说立体图形中的某些部分是平面图形，而不说所有部分是平面图形呢，我们来看下面这个立体图形， 这是一个圆锥，它的底面是个圆，是平面图形，而它的侧面是个曲面，并不是平面图形，所以我们用立体图形中某些部分是平面图形来描述则更加的严谨。 好，那么刚刚呢，我们明确了立体图形和平面图形的相关概念以及二者的关系后，下面我们老师来考考大家，我们来完成几个练习。 我们先来看练习一，如图说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形。 好，这位同学找的 又快又全，而且也准确说出了这些立体图形的名称，在这里有长方体、圆柱和球。那么练习一告诉我们，这些丰富多彩的图形其实都是来源于我们的现实生活的。 好，我们再来看练习二，说出图中各立体图形的名称，找出其表面中包含的哪些平面图形，是指出这些平面图形在立体图形中的位置。 好，以上五位同学回答的非常好。第一个立体图形的名称是圆柱， 其表面包含的平面图形有两个圆，分别位于它的上下底面。 第二个立体图形的名称是圆锥，其表面包含的平面图形有一个圆，位于他的底面。 第三个立体图形的名称是五棱柱，其表面包含的平面图形有两个五边形和五个长方形，分别位于它的上下底面和侧面。 第四个立体图形是一个六棱锥，其表面包含的平面图形有一个六边形和 六个三角形，分别位于它的底面和侧面。最后一个有点难度，这是一个组合体， 是由一个长方体和一个四棱锥构成，其表面包含的平面图形有四个三角形和五个长方形，分别位于四棱锥的侧面以及长方体的下底面和侧面。 那么刚刚练习二则让我们又感受了一下立体图形和平面图形二者之间的关系， 即立体图形的某些部分是平面图形。我们再一起来看练习三如图，你能看到哪些立体图形 好？这个同学找的非常的全，他在这里发现了有圆柱、长方体和球。我们再来看练习四如图，你能看到哪些平面图形呢？ 好，这位同学找的也非常的好，他在这个图形中发现了有三角形、长方形、五边形、六边形、椭圆和曲线。 那么刚刚的练习三和练习四其实又在说明我们把一些几何图形的形状进行拼接，其实我们会发现它可以构成很多 内容丰富的图形，而这一过程则体现了你的几何思维和精彩的创意。我们曾经玩过的七巧板和积木也在体现这一点。 七巧板是由七块板构成，其中有五块是等腰直角三角形形状的， 有一块是正方形形状的，还有一块是平行四边形形状的。据统计，利用这七块板可以拼成的图形有一千六百种以上。 老师在这呢展示了其中的三个，第一个是一个小房子，第二幅图形拼成的是一个奔跑的人， 第三幅图形拼成的是一条小鱼。 那么积木大家小时候都玩过，这也是我们儿时特别爱玩的一个玩具，那么相信同学们在搭积木的过程中 既得到了快乐，同时也一定培养了自己的创造力和想象力，当然还有动手能力。当然了，在这过程中大家也认识了很多的几何图形。 好，下面我们对这节课的学习内容进行一下小结。我们这节课主要是学习立体图形和平面图形，知道了什么是立体图形和平面图形。 那么在学习立体图形和平面图形的过程中，我们尝试着用数学的眼光观察各式各样的物体，比如这个水杯，我们就可以把它看成是几何图形中的圆柱， 那么从中经历了从物体的外形抽象出几何图形的过程，体现了现实生活与我们数学的密切联系。 今天这节课同学们都做到了积极思考，踊跃发言，表现非常好，也期待着下节课大家能有更精彩的表现。我们今天这节课就上到这里，好，同学们，再见！

这个视频我们来学习余角补角。什么是余角与补角呢？举个生活中的例子，现在要我们测量两堵围墙所形成的角 aob 的度数， 这是两堵围墙，他们形成了一个角 aob， 让我们去测量他的度数，但是人不能进入围墙，如何测量呢？画出图形并减数。你的测量方法 可以这样来做，反向延长射线 o a。 什么是反向呢？就是 o a 的方向，本来是这样子的，我们反过来延长它延长至 c， 这样就形成了一个平角，叫 a o c。 根据这个图我们可以观察到 角 a o b 和角 b o c， 它们的和就是这个平角。所以我们现在只需要测出角 b、 o、 c 的度数来，可以直接拿测量仪去测一下角 b、 o、 c 的度数，然后 角 a o b 就等于一百八十度，减去角 b o c， 也就是墙内的这个角，就等于这个平角 减去墙外这个角，不用进去里面，也可以把这个角测出来了，这就是数学在生活当中的应用。 好了，求下列个图中的两个角的和，并根据这些和把这四个图分成两组，你是怎么分的？现在看一下 第一幅图，这两个角的盒六十五度，加上二十五度，是九十度。第二幅图，一百三十度，加上五十度，是一百八十度。第三幅一百零八度，加上七十二度，也是一百八十度。第四幅五十四度，加上三十六度，是九十度。 根据这两个角的和，我们就可以分成这样两组，把一和四分成一组，因为他们两个的和都是九十度，把二和三分成一组，因为他们两个的和都是一百八十度。 在数学当中，如果两个角的和等于九十度直角，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。在这里，也就是说， 六十五度就是二十五度的雨角，二十五度又是六十五度的雨角，他们两个互为雨角，这两个角也是一样的。 同样的，如果两个角的核等于一百八十度平角，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 这个意思就是一百零八度，他的补角就是七十二度，七十二度的补角又是一百零八度，他们两个互为补角， 这个也是一样的，只要这两个角的和是一个平角或者是一百八十度，我们就 就说这两个角互为补角，只要这两个和等于九十度或者是直角，就说这两个角互为与角。同学们一定要搞清楚， 有了余角和不角的知识，来观察一下生活当中的三角板，三角板的内角和都是一百八十度，并且都有一个直角，这就是说这两个角相加是九十度，这两个角相加是九十度。 换而言之，这两个角互为雨角，这两个角也互为雨角。再换句话说，就是三十度的雨角是六十度，六十度的雨角是三十度，四十五度的雨角是四十五度，对不对？来 思考一下。若角一与角二、角三都互为与角，问角二与角三的大小有什么关系？先来分析一下题目，角一与角二互为与角，就说明角一加角二等于九十度。 角一与角三或为角，就说明角一加角三等于九十度。那角二跟角三有什么关系呢？ 同学们观察一下这两个式子，它们的和都是相等的，并且都有两个加数，一个加数还是相同的， 那么另一个家属该不该相等？肯定也相等，角二等于角三。再提一个问题，若角一与角二互逾，角三与角四 互余，且角一等于角三，那么角二与角四的关系呢？分析一下提议，角一与角二互余，就能得到角一加角二等于九十度，角三与角四互余，就能说明角三加角四等于九十度，并且角一等于角三。 同样是两个加数和相等，其中一个加数也相等，角一等于角三，所以另一个加数必然相等，角二等于角四。根据这两个小思考题，我们就可以得到同角或等角的余角相等。 这是一个非常重要的结论，同学们一定要记牢。我们再来解释一下，所谓同角，就是指同一个角，那么同 同一个角的余角当然会相等了。比方说角一和角三，他们加起来等于九十度，组成一个直角，角一和角二也组成一个直角，也就是说，角一他的余角有角二，也有角三， 角二和角三就一定相等，这就是所谓的同角的与角相等。 我们再理解一下，等角的与角也相等，比方这里角一和角三，他不是同一个角，但他们相等，那么角一的与角，角二和角三的与角，角四当然也相等。 我们在图上举例，角一与角三，他们不是同一个角，但他俩相等。 如果角一与角二互余，角三与角四也互余，显然角二和角四当然相等。 因此，这个呢，就作为一个非常重要的结论，可以直接引用，同理， 同角和等角的补角也相等，有全面的知识，相信同学们可以很容易就理解这句话， 就是把九十换成一百八十度，道理都一样的。接下来我们一起来看一下。例一，如图，点 a、 o b。 在同一条直线上， a o b。 射线 o d 和射线 o e， 分别平分角 a o c 和角 b o c。 射线 o d。 平分角 a o c。 射线 o e。 平分角 b o c。 问，图中哪些角互为余角？为了方便同学们区分这几个角，我们给这几个角标上不同的颜色，用黑色来表示角 l d， 红色表示角 c o d， 蓝色表示角 c o e， 绿色表示角 b o e。 好，接下来我们就来分析一下这个题结，因为这里又出现了这样的因为，所以 在以后的书写过程当中，同学们要注意上面两个点，下面一个点，这就表示因为 上面一个点，下面两个点，这就表示，所以以后我们都用这样的书写。因为这样的几何书写需要通过严格的逻辑推理， 需要把每一个步骤都写得非常清楚，不能直接把答案写出来，我们要写的是 答案怎样来的，通过怎样的逻辑分析得来的，把这个过程写出来，因为什么所以什么？又因为什么所以什么，然后得到了一个怎样的结果。 下面我们就来分析一下这个题目，他给的第一句话就是点 a o b。 在同一条直线上，根据这句话我们能得到什么呢？它是一个平角对不对？ 从点 o 出发，又有一条射线 o c， 所以我们就可以知道这两个角互为补角，所以在写过程的时候，我们就需要这样写，因为点 a、 o b 在同一条直线上，所以角 a、 o c 就是这个角 和角 b o c 和这个角，它们互为补角。这样题目当中的第一句话就分析完了，再来看一下第二句话说的是射线 o d 和射线 o e 分别平分角 a o c 和角 b o c。 根据这句话能得到什么呢？射线 o d 平分角 a o c。 我们就知道黑色的角和红色的角是相等的， 根据射线 o e 平分角 b o c 就可以知道绿色的角和蓝色的角是相等的。 把这句话可以直接抄下来，所以角 c o d 就是这个角。角 c o d。 红色的角加上角 c o e 加上这个角，蓝色的就等于这个大角的一半，而蓝色的这个角就是这个角的一半，所以这两个角相加，他就等于二分之一倍的角 a o c。 再加上二分之一倍的角 b o c。 利用乘法分配率等于二分之一。括起来，角 a o c 加成角 b o c。 前面说了，它们两个互为补角，所以它们两个相加等于一百八十度， 这个式子就等于九十度。既然他们两个相加为九十度，所以就说明他们两个互余， 所以角 c o d 和角 c o e。 互为与角。一定要把这个过程写严谨。然后我们前面又知道了， 这两个角相加等于九十度，所以剩下的这两个角相加，黑色和绿色相加也是九十度，所以他们两个也互为与角。同理，角 a o d 就是这个黑色的角和角 b o e。 互为与角。再有这两个角是相等的，既然它 它们两个互为与角，所以这两个角也互为与角。黑色的和蓝色的也互为与角，就是角 l、 d 和角 c、 o、 e 也互为与角。 要知道这两个角相等，既然他们两个互为与角，所以他们两个也互为与角。 红色和绿色也互为与角，即角 c、 o、 d 和角 b、 o、 e 也互为与角。这样我们就找到了四组互为与角的角。 接下来讲另外一个知识方位，角，如果你在森林里别迷路了，手机也没有电，该怎么办？可以把地图拿出来，根据太阳或者是月亮的方位来 辨别方向。由于太阳是东升西落，在早上太阳在哪边，哪边就是东，傍晚太阳在哪边，哪边就是西，所以可以根据这些方向去定位。同样在茫茫的大海迷失了方向， 不用急，因为我们有指南针。在中国古代最先使用的叫思南，他就是一种指南针。最古老的指南针，在他静止的时候，他的手柄总是指向南方， 那么他的反方向当然就是北方了。利用地球是一个巨大的磁场来辨别方向，现在指南针就更先进一些了，上北下南， 左西右东。通常我们会把地理位置分为东南西北这样几个方位， 找到某一点，把它为一个中心，可以分成这样几部分，正东、正南、正西、正北。分别就是设线 o a、 射线 o b、 o c、 o d 所在的方位。上北下南、左西右东、 东北方向呢，就是这条射线 所在的方向，就是东北方向。怎么去称呼他呢？可以说成是就是按这个方向去走的话，可以说成东偏北， 这个角是四十五度，四十五度，我们就可以这样说，东偏北四十五度，或者是从北边往东边这样偏过来，就是北偏东四十五度。 那东南方向呢？就是这条射线所指的方向，可以说成是灯偏南四十五度， 或者是南偏东四十五度都可以。 西南方向就是这条射线所在的方向，可以称呼他为西偏南四十五度，或者是南偏西四十五度，就是这个方向。 西北方向呢，就是这条射线所指的方向，可以把它说成西偏北四十五度，或者是北偏西四十五度，北偏西四十五度，就这样看 都是可以的。其他的方位又如何表示呢？一起来看一下。例二，用正确的表 表示下列方向，给了这样一个图，射线 oa 表示的方向是，这是射线 oa 以 o 点为中心散发出来的这样一条射线 oa 这里给了一个角度六十五度， 既然他们两个是互余的，这个是六十五度，这个就是二十五度，所以射线 o a。 我们就有两种表示方法，一种就是北这个方向来看， 北偏东六十五度，这是一种方法，或者是东偏北，我们这样来看二十五度，所以北偏东六十五度， 或者是东偏北二十五度，这样两种表示方法。再来看射线 o b 表示的方向是， 这是射线 o b。 我们看到这里角度是二十五度，那么他们两个既然是虎于这个角，就是六十五度， 所以也有两种表示方法，一种就是这个方向看过来是南偏东二十五度，或者是这个方向看过来， 东偏南六十五度，这样就两种表示方法。再来看射线 o c 表示的方向是射线 o c， 就是射线 o c， 这个角是八十度，他们两个互于这个角，就是啊十度。所以我们可以表示成， 先看这个方向，南偏西八十度。还有一种这个方向西偏南十度，这就是两种表示方法。 最后一个射线 o d 表示的方向是，这是射线 o d， 这个角是四十度，他们两个互余的话，这个角就是啊五十度。 所以两种表示方法，第一种先这样来看，北偏西四十度，第二种就是反过来西 偏北五十度，这样我们就全部都表示完了。 课堂小结一下这个视频主要就讲了两个知识，第一个，余角与补角，两角之和等于九十度，两角互为余角，两角之和等于一百八十度。两角互为补角。 同角或等角的与角是相等的，同角或等角的补角也是相等的。 再有就是讲了方位角，以 o 点为中心，这样每四十五度给他平均分成一份，总共分成了八个方向，也就是八个 方位，上北下南、左西右东、东北、西南西北。 一起来看一下练习题。第一题，判断题，第一小题，互余且相等的两个角都等于四十五度。我们来看一下互余的两个角，我们可以设置两个角为角一和角二，他们两个相加等于九十度。 现在又有一个条件且相等，就是说角一等于角二，那么既然他们两个是相等的，这个式子我们就可以写成是二倍的角一，或者是二倍的 角二等于九十度。那么角一跟角二等于多少度啊？就是四十五度，所以这个是正确的。 再来看第二小题，若三个角的和等于一百八十度，则这三个角互补， 我们说的互补，它是指的两个角， 而不是三个角。这里出现错误了，所以这句话错了。再来看第三题，一个锐角的余角一定是锐角。锐角它是 大于零度，并且小于九十度的， 而它的余角就是九十度减去这个锐角，所以你说它是不是肯定要小于九十度，但是大于零度，所以还是一个锐角 正确。再来看第四个，一个钝角的余角一定是锐角。 钝角它是大于九十度的一个角，它可能有余角吗？不可能，所以这句话错误。 一个钝角的补角一定是锐角。我们知道钝角它是大于九十度， 但是小于一百八十度。这样的一个角，它的补角就是用一百八十度减去这个角， 它是大于九十度的，那么一百八十度减去它是不是一定要小于九十度，所以它一定是锐角正确。 答对勾。再来看第六题，一个锐角的补角比他的余角大九十度。这句话， 现在我们就设这个锐角为 x 度，那它的补角就是一百八十度减去 x， 它的余角呢？就是九十度减去 x， 它比它大九十度，就说明了这个角减去这个角就等于九十度。 我们来看一下它等不等于它等式的左边去括号。一百八十度减去 x， 再减去九十度， 要编号加上 x， 这个就消去了一百八十度减去九十度，就是九十度，等于等式的右边九十度，所以它是正确的。对勾。 再来看一下第二题解答题第一小题，一个角是七十度，三十九分，求他的余角和补角解，这个角的余角就是九 十度，减去它减去七十度三十九分，这个就需需要我们前面学过的计算了，七十度三十九分，这里是不是零分？零分的话是不是要跟他借位， 借过一度来，那这里就变成了六十分，这里就是八十九度，然后再去减，这里是一，这里是二， 这里就是九十十九度二十一分。答案写在这里，十九度二十一分， 它的补角就是一百八十度，减去七十度三十九分。既然余角我 我们知道是多少了，有一个比较简便的方法，它的补角其实就是在它的余角上面再加一个九十度 十九度二十一分，加上九十度就是一百零九度二十一分。这是一个小技巧，这样你就不用再去剪一遍。第二小题，角 olive 的补角是它的三倍，角 olive 是多少度？ 解，根据题意得角， olive 的补角是它的三倍，也就是它的补角是什么？就是一百八十度，减去角， olive 法 又是它的三倍，就是等于三倍的角阿拉法。现在我们就可以一项一 移过来，这边就变成了四倍的角阿拉法，四倍的角阿拉法等于一百八十度，然后再去求角阿拉法就等于四十五度，比较简单，这些计算都是我们之前学过的了。 再来看一下第三题，已知一个角的补角是这个角的余角的四倍，求这个角的度数。 看到这句话虽然有点拗口，不要着急，慢慢来，一步一步的分析结，既然让我们求这个角的度数，求谁设谁就设这个角为 x 度。 一个角的补角是这个角的余角的四倍，那么我们就知道了， 要先把它的余角和补角表示出来，设这个角为 x 度，则这个角的余角就为九十，减去 x 度，它的补角就为一百八十，减去 x 度。 根据这个提议，我们就可以列这样一个方程，它的补角就是一百八十，减去 x 是这个角的余角的四倍， 就是说等于四倍的九十减去 x 括起来，这样就把这个方程列出来了，再去方程求解就可以了。方程求解对于我们来说已经非常的简单了， x 等于六十，这个角为六十度。第四题，选择题， 已知点 b， 再点 a 的南偏东六十五度方向，那么点 a 应该再点 b 的什么方向？好，下面我们就来分析一下这个题。 第一句话的意思就是我们要以 a 为中心去画一个方位，好，然后把这个方位画出来， 然后 b 点在 a 点的南偏东六十五度方向，他首先在他的南方，然后现在又偏东要偏六十五度， 找这样大概一个位置，这就是必点所在的方向。现在我们就画一条 线出来，这就是 b 点所在的位置，他在 a 点的南偏东六十五度，也就是说这个角是六十五度 这样一个方向。现在问点 a 应该在点 b 的什么方向，问点 a 应该在点 b 的什么方向，也就是现在要以 b 为中心，也就是以它为原点来画这样一个方位， 然后看一下 a 点在 b 的一个什么方向。我们知道这个角是六十五度，那这两个角他们两个是互余的，所以这个角就是二十五度，所以点 a 再点 b 的，我们可以说西偏北二十五度这样一个方向，然后看一下选线里面有没有西偏北二十五度，没有，只有一个北偏西二十五度，他肯定是错误的。 我们现在还可以用第二种方法来看一下，也可以说它是北偏西六十五度这样一个方向，看一下有 c 选项，它总共有两种说法，一种是北偏西六十五度，一种是西偏北 二十五度。这两个答案都可以，但是选项里面只有这个答案，所以我们应该选择 c 选项。

各位同学大家好，很高兴能和大家一起进行几何图形的学习。 请同学们观察下列图形，想一想从他们的外形中分别可以抽象出什么立体图形？我们逐一来看。 书可以抽象成长方体，魔方可以抽象成正方体，圆罐可以抽象成圆柱，冰淇淋可以抽象成圆锥， 篮球可以抽象成球，茶叶罐可以抽象成六棱柱，金字塔可以抽象成四棱锥， 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体简称体。 请大家观察这些几何体，再联想上一节课展开图的知识，想一想，包围着体的是面、是线还是点？ 不难得出结论，包围着体的是面。接着观察这些几何体，并指出他们分别有几个面。可以看到四棱锥 有四个侧面，每一个面都是三角形，有一个底面，底面是四边形，这样四棱锥共有五个面，而且这五个面都是平的面。 圆柱有一个侧面，侧面是弯曲的面，有两个底面，底面是圆，是平的面，这样圆柱共有三个面。 圆锥有一个侧面，侧面是弯曲的面，有一个底面，底面是圆，是平的面，这样圆锥共有两个面。 最后看球，球只有一个面，而且是弯曲的面。我们接着看下面的问题，这些面有区别吗？ 通过刚才的分析，能够看到围成这些几何体的面是有区别的，有平的面，有弯曲的面，所以面是有区别的，可以分为平面和曲面。 而在数学中，平面一词具有特定的含义，它是无限延展的，围成体的面只是平面或曲面的一部分。 通过前面的学习，同学们已经对平面和曲面有了初步的了解，下面我们来归纳一下 前面出现过的这些几何体的面，哪些是平面，哪些是曲面？长方体有六个面，每个面都是平面。 正方体也有六个面，也都是平面。圆柱有两个底面，底面是圆，是平面，有一个侧面，侧面是曲面。 圆锥有一个底面是平面，有一个侧面是曲面。 球面是曲面。六棱柱有六 侧面，每个面都是平面，有两个底面，底面是平面，所以围成六棱柱的各个面都是平面。四棱锥的四个侧面和底面都是平面。 请大家观察我们的教室和周围环境，你还能举出一些实际生活中面的例子，并指出哪些面是平面，哪些面是曲面吗？ 有的同学说，浇花用的湖面是曲面，教室里黑板和桌面是平面，国家大剧院是 曲面建筑，我们平时用的碗是曲面的。当然，生活中还有很多这样的例子， 请大家再观察这些几何体，回答下列问题，一、面与面相交的地方形成了什么？他们有什么不同？ 通过前面的学习，我们已经对面有了一定的认识。进一步能够看到， 长方体的前面和上面相交形成的是直线， 圆柱的侧面和底面相交形成的是圆，圆是曲线。 圆锥的侧面和底面相交形成的也是圆，是曲线。综合这三种几何体，我们可以得到面与面相交的地方形成线，线分为直线和曲线。 在此基础上，我们继续思考线与线相交的地方形成了什么？他们有什么不同？可以看到，长方体两条棱相交的地方是点 圆锥侧面的两条线相交形成的也是点，因此我们可以得到线与 线相交的地方是点。这里请同学们注意，点只代表位置，没有大小，所以点都是相同的。 点和线都是构成图形的重要元素。同学们想一想，你能举出生活中符合线点形象的例子吗？ 生活中很多的景象都能给我们以线的形象，比如从高空中看到的沙漠里的公路给我们以曲线的形象， 彩色花田的田埂给我们以直线的形象。同样，生活中还有很多给我 我们以点形象的例子，比如地图上的每个城市及夜空中闪亮的星星，这些都给我们以点的形象。大家要多想一想，也可以和身边的同学交流一下你的想法。 接下来请大家观察电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案，从几何的角度想一想，他们有什么共同的特点？ 你能发现构成图形的基本元素是什么吗？电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案都可以看作由点组成的， 所以构成图形的基本元素是点，图形可以看作由满足某种条件的点组成的。 我们还可以再举出这样的例子，比如庆祝节日时，不同颜色的鲜花组成的美丽图案。符合这一观点， 一块块小瓷砖镶嵌成的美丽图案、十字绣图案等。在现实生活中还有很多这样的例子， 接下来我们归纳一下前面学过的结论。包围着体的是面，面可以分为平面和曲面， 面与面相交的地方形成线，线分为直线和曲线， 线与线相交的地方是点，所以图形的构成元素包括点、线、面、体。 为了巩固前面学过的内容，我们以六棱柱为例，再来体会一下点、线、面、体之间的关系。观察六棱柱，它有几个面， 面与面相交的地方形成几条棱，棱与棱相交成几个点， 我们一起来数，六棱柱有六个侧面，再加上两个底面，这样他一共有八个面。 面与面相交的地方形成侧面有六条棱，上下底面分别各有六条棱，这样加在一起共十八条棱。 棱与棱相交形成上下底面分别各六个点，加在一起共十二个点。 我们知道物体运动会形成运动轨迹，如果 把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时会形成什么图形呢？同学们可以动手画一画， 相信大家心中已经有了结论。如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时会形成线。这一结论可以简单概括为点动成线。 我们还可以举出生活中能够说明这一结论的例子，比如 国庆七十周年阅兵典礼，飞机尾部喷射出来的彩色烟雾，给我们以现的形象， 连成线的雨滴，绽放的烟花，这些都是点动呈现的例子。接着看下面的问题， 把汽车雨刷看成一条线，从几何的角度观察他在挡风玻璃上摆动的现象，可以得出什么结论？ 我们可以把雨刷看成线，雨刷动即线动形成扇形，扇形是面。这一结论可以简单概括为线动成面。 同学们想一想，生活中还有哪些线动成面的例子呢？我们 把折扇打开，拉上窗帘，舞动双截棍，用镰刀收割庄稼，这些都是线动成面的例子。线动可以形成平面，也可以形成曲面。 前面的学习我们知道了，点动成线，线动成面，那大家想一想，当面运动时又会形成什么图形呢？ 不妨把我们手中的课本看做平面绕着他的一边旋转一周，想象一下会形成什么图形， 可以看到长方形绕着它的一边旋转一周，会形成圆柱。接下来，同学们可以再用你手中的三角板试一试， 把三角板绕着一条直角边旋转一周，想象一下会形成什么图形。 可以看到直角三角形绕着他的直角边旋转一周，可以形成圆锥。圆柱和圆锥都是体，这些过程可以简 单概括为面动成体。为了巩固前面学习过的内容，我们一起来看下面的练习。 一、夜晚，流星划过天空时，留下一道明亮的光线，用数学知识解释为什么 流星可以看作一个点，它划过天空形成线，用数学知识解释为点动成线，所以选择 a。 二、车轮上的浮条旋转起来，形成一个圆面，用数学知识解释为什么 浮条可以看成线。浮条动，即线动形成圆面，用数学知识可以解释为线动成面，所以选择 b。 三、下列现象能说明面动成体的是哪一个？ a、 天空划过一道流星，前面已经讲过，这一现象能说明点动呈现。 b、 旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，我们可以把门看成一个长方形， 绕着一边旋转，在空中留下的痕迹能说明面动成体。 c、 抛出一块小石子，石子在空中运行的路线， 我们可以把小石子看成点，他在空中运动呈现，能说明点动呈现。 d。 汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面， 前面已经讲过这一现象，能说明线动成面， 所以下列现象中能说明面动成体的应该是 b。 四、将下面的平面图形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形是哪一个？ 前面的学习我们知道，长方形绕一条边旋转一周，可以形成圆柱。直角三角形绕一直角边旋转一周，形成圆锥。 图中这个平面图形可以把它分成长方形加一个直角三角形， 这样它绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形就应该是由一个圆柱和 一个圆锥组合在一起，且圆柱应该在上，圆锥应该在下，所以图中的平面图形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形就应该是 d。 五、如图，第一行的平面图形绕轴旋转一周，可以得到第二行的立体图形。八、有对应关系的平面图形与立体图形连接起来。 我们先看第一个平面图形，这是一个半圆。同学们想象一下，半圆 绕着轴旋转一周，会形成什么立体图形呢？没错，应该是求与 b 图连上。 第二个图是半圆的一半，那它旋转之后形成的立体图形就应该是球的一半，也就是半球，所以应该与 a 图连上。 第三个平面图形是梯形，它与第四个图很像， 同学们要认真分析这两个图，找出共同点和差别。他们的上下两边都是垂直于轴的，旋转 之后会形成水平的面。第四个图侧边是曲线，且中部凹进去一些，这样他旋转之后得到的立体图形也应该有这个特点， 所以它旋转之后得到的立体图形应该是 c。 梯形的梯形的腰是直线，它旋转之后得到的立体图形就应该是 d。 下面小结一下这节课的内容。本节课我们知道了几何图形是由点、线、 面、体构成的，点是构成图形的基本元素。其次我们知道了他们之间的关系， 包围着体的是面，面与面相交形成线， 线与线相交形成点，点动成线，线动成面， 面动成体。点线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。今天的课就上到这里，同学们再见！

这个视频我们来看一看点线面体又叫做图形的运动。在上个视频里面，我们是不是已经认识了简单的几何体，比方柱体、棱柱、圆柱、锥体、棱锥、圆锥，还有球体。 但同学们知道吗？这些几何体它实际上可以看作是更简单的图形构成的。 比方说这个长方体，他有六个面，所以我们可以说长方体是由面构成的， 而每一个面呢，又都是长方形，长方形呢又是由四条线段所组成的，而线段又是由若干个点连接而成的，所以我们说点线、面 体，他们之间是存在联系的。下面我们来看一看，平面上有这样一个静止的点，看一下他运动起来是什么情况，一个点在运动，如果把速度加快一点呢？仿佛看到几个点在运动，再加快一点呢， 形成了一连串的运动轨迹。通过动态的观点去看，一个点运动起来形成的轨迹就是一条线。 这个好比我们平时看到下雨的情况，实际上都是雨滴，但滴落下来连接起来的运动轨迹，就像一条一条的线，最能体现点动呈现的一个实力，就是铅笔写字，铅笔每走一步都是留下一串， 这些点连接起来就形成了一条一条的线，用运动的观点来看，就是点动呈现。 再来看一下这个像仪表盘，也像雨刮器，本来是一条线，他在运动，运动起来就形成了一个面。看一下汽车上的雨刮器也是这样的情况，本来都是一条线在运动起来就形成了一个面，覆盖在挡风玻璃上， 用动态的观点来看，就是线动层面。 再来看一下水桶里面的水，本来只有一个水面，在他向上运动的过程当中就形成了一个体积。看一下， 用动态的观点去看，就是面动成体， 通过动态的观点去看图形就是另外一回事了，这就是我们要学的知识点，动成线，线动成面，面动成体。 一起来看一下。例一，把下列图形绕虚线旋转一周，能形成哪个几何体？ 先来看一下第一个图形，这是一个长方形，或者说是矩形，按照逆时针旋转。这就要考察同学们的抽象思维了，大脑想一下，他旋转一周能形成一个什么图形？我们来看一下。 这样旋转一周就形成了一个 圆柱体，这就是面动成体。同理，一个直角三角形，如果我们绕着他的直角边来逆时针旋转，旋转一周，他能形成一个什么图形呢？一起来看一下。 形成了一个圆锥，再来看一下第三个，这是一个直角梯形，绕着他的直角腰进行逆时针旋转一周，能形成一个什么图形？我们来看一下， 这个图形叫圆台，同学们对这个几何题可能还不熟悉，因为咱们初中没有涉及到，这是高中要学习的知识。像这种的就是一个圆柱，这种的就是一个圆锥，这样的就是一个圆 圆台。圆台可以看作是一个圆锥，在上面截去了一个小圆锥，而形成的是一个台体。 再来看一下，例二，如图是一个长为四厘米，长为四厘米，宽为三厘米这样的一个长方形纸片， 若将此长方形纸片绕较长的边所在的直线旋转一周，能形成的几何体是什么？其体积又是什么？ 脚长的边肯定就是四厘米这个边。我们来看一下，绕着这个边去旋转一周，前面立一，我们学习了一个矩形，旋转一周，形成的是一个圆柱体，绕脚长 长的这一边旋转形成的这个圆柱体，它的体积如何去计算呢？小学的时候咱们学习过体积长方体的体积就是长乘宽乘高。 圆柱体的体积，我们就要用底面积再乘上一个高，这里的底面的半径是三，高是四，那么它的体积就是啊， 派二的平方，底面积再乘上一个高 h 就是派乘以三的平方，再乘以四，就是三十六派，所以这里填圆柱，这里填三十六派立方厘米，一定不要把单位落下，这里给出来的单位是厘米。 当绕角短边所在的直线旋转一周的时候，所形成的几何体是什么？ 其体积又是什么？看一下较短的边就是三厘米的这个边， 这样绕一圈，不管他是绕哪个边，他形成的都是一个圆柱体，这个的体积就发生变化了，因为他的底面半径发生了变化，底面半径变成了四，高变成了三，我们来看一下他的体积， v 二等于派二的平方乘以 h， r 变成了四，就是派乘以四的平方， h 变成了三，再乘以个三，最后得四十八派，所以它的体积是四十八派立方厘米。 课堂小结一下这个知识点，主要就是让同学们通过抽象的思维， 用动态观点去看图形的运动来，同学们跟我一起来读一下，点动成线，线动成面，面动成体，非常的简单。 一起来看一下图形的运动的练习题。第一题如图，将一个长为四厘米， 宽为两厘米这样的一个矩形绕直线 l， 这是直线 l 去旋转一周所得几和体的体积是多少？ 要想知道它的体积是多少，我们首先要知道它旋转一周以后得到的是一个什么图形。这个直线 l 并没有在它的中间位置，而是在这样一个位置，这段距离是三，总长度是四，所以左边是一厘米。我们来看一下它到底旋转成了一个怎样的图形。 这样来看，它仍然是旋转成了一个啊圆柱体。这个圆柱体的半径 是三厘米，它的高当然就是二厘米。那现在我们知道了这个圆柱体，它的 底面半径又知道了高，我们是不是知道它体积怎么求了？它的体积就等于底面积，派二的平方再乘上 高 h， 底面半径是三，所以 r 就用三去替换，派乘以三的平方，再乘以啊高两厘米，再乘个二，最后得十八派立方厘米， 一定不要把单位给忘了。答，所得几和体的体积是十八派立方厘米。这道题就做完了。 第二题，图中的大矩形长八，宽六，这是大矩形的长和宽，小矩形长四宽三，这是小矩形的长，还有宽以长边终点连接线，长边终点的连接线，也就 是图中的这个虚线，以它为轴，将图中的阴影部分，也就是这个凹字形的这一部分旋转一周得到的几何体的体积是多少？ 我们先来看一下这个阴影部分，它旋转能形成一个什么样的图形。 只有这个大矩形去旋转，它就会形成一个大的圆柱体， 但是这有一部分是凹进去的，也就是这个小矩形的一部分是空白的小矩形，再去旋转，同样形成的也是一个圆柱体，只是这一部分没有， 所以它形成的这个几何体我们来看一下，就是一个 大的圆柱体，中间挖去了一个小的圆柱体，而大的圆柱体的 直径高我们都知道，小圆柱体的直径高我们也知道，一起来看一下。先把大圆柱体的体积求出来， v 一等于派二，一的平方乘以 h 一，就是底面积，再乘上它的高， 它的底面半径，底面直径是八，所以半径就是四，用四去替换 r 一，它的高 h 一就是六， 用六去替换 h 一，就得到九十六派，这是大圆柱的体积。再来看一下小圆柱的体积， v 二等于底面积乘高派二，二 的平方乘以 h 二，它的半径就是二，高是三，得出来是十二派。 这个几何体，它的体积就要用大圆柱的体积减去小圆柱的体积， v 等于 v 一，减去 v 二，得八十四派。 答，得到的几何体的体积就是八十四拍。