六年级几何图形燕尾模型

啥叫燕尾模型？顾名思义，就像燕子尾巴一个图形，哎，这个燕子尾巴挺有特点，我们先画一个三角形，三角形的三个顶点，咱们都给他标上符号 a、 b、 c， 然后在这头边上咱们任意找一点，比如说在这随便找啊，给他标上符号 d， 零点一相连，也就是说这个 b、 d 把三角形 a、 b、 c 给他分成了两部分， 这两部分还不相等，那么咱们就把左边这个三角形，它的面积咱们设为 s 一，这个右边的三角形，咱们给它设为 s 二。哎，那我要说 s 一比上 s 二， 他就等于 ad 比上 dc， 那你该问了，哎，那老师你说不中啊，你得给证明 very good， 咱们到了六年级了，思维就得到这个高度，那好吧， 咱们就证明一下来看看啊，这个三角形 a、 b、 c 的面积是底乘高除以二，这咱们都知道，哎， 那咱们先把这个高给它画出来，给它设为 h， 那咱们先看一下 s 一，这个三角形，它的面积是底乘高，底是 ad 乘以高，现在咱们表示字母是 h， 然后除以二，那 s 二呢？它的面积等于 底乘以这个 h。 哎，那我现在让 s 一比上 s 二，你发现没有， 这个 h 除以二和这个 h 除以二，那就相互抵消了，所以 s 一比上 s 二，就等于 ad 比上 dc， 证明结束，这样没有毛病吧。好了， 现在啊，我们把这个都给他擦去。什么叫燕尾模型呢？就是在 bt 这条线段上任意的找出一点，哎，咱们给他设为 o， 看看这个图像不像燕子的尾巴。如果咱们就看这个图啊， s 一比上 s 三， 他就等于 bo 比上 od， 跟刚才讲的原理一样啊，然后咱们把这边给他盖住，看看这个三角形， s， 二比上 s， 四等于 bo 比上 od， 你发现 s s， 一比上 s， 三等于 bo 比上 ods， 二比上 s 四也等于 bo 比上 od， 这个记住了啊，说，那老师这个证明完了，那有啥用呢？哎，用处老大了，下面老师就给你讲解一个 小升初常考题，如图，各部分的面积分别是三平方厘米，四平方厘米，二平方厘米。哎， 让咱们求这地方是多少平方厘米？所以啊，刚才咱们证明这个啊， 燕尾模型是非常有用，解决这道题省老事了。那咱们看一看这个图，如何构建燕尾模型呢？哎，我们从这给他画一条辅助线，哎，这燕子的尾巴不就出来了吗？是吧？ 哎哎哎哎，咱们把这一部分呢设为 x， 这呢给它设为 y， 那也就是四比上二，它就等于三加 x 比上 y。 还有一个咱们这么看啊，歪着头这么看， 这也是一个艳美啊。二加上 v 比上 x， 他就等于四比上三，把这两个式子 组合起来，这个呢，就是二元一次方程，是有点超纲了，通过解带二元一次方程啊，得出 x 等于四点二， y 等于三点六， 那么这个问号区域就是 x 加 y， 也就是四点二加上三点六，等于七点八平方厘米。虽然有点超纲了啊，但是关键不是让我们做出问号部分的面积，而是让我们知道 燕尾模型背后蕴含的数学道理。下个视频还是讲六年级的题，就是黑板这道难哭学霸的题，如何运用蝴蝶模型来秒杀？

燕尾模型是非常常用的数学结合模型，因为它很像燕子的尾巴，所以叫燕尾模型。这个模型带给我们的关系是，就是 s 一比上 s 二， 等于下面这两个三角形面积之比就是 s 三比上 s 四，同时也等于 b d 比上 d c。 那很多同学呢，不知道这个模型，也有的同学知道这个模型，也知道这个结论，但并不知道这个结论是怎么来的。那今天德祥老师就带着大家一起推导一下。首先我们看 s 一和 s 二 这两个三角形，他们是有公共的边，也就是 a e， 根据等高模型，有公共边的两个三角形，他们面积之比就等于以公共边为底边上高之比。那 se 如果以 a e 为底边的 高，就是要过点 b 来去做 a e 的垂线，那德强老师带着大家一起做一下。好做完了之后呢，我们这里给他标上是 h e， 那 s r 如果以 a e 为底边的话，高就是要过点 c 来去做 a e 的垂线。德强老师也给大家做一下， 好做完了之后呢，我们这里给它标上是 h 二，所以 s 一比上 s 二，就等于 h 一比上 h 二。好，我们再看 s 三和 s 四这两个三角形，它也有公共的边，也就是 e d。 根据等高模型，这两个三角形面积之比就等于以 e d 为底边上高之比，那 h 一既是 s 一的高，同时也是 s 三的高。 h 二既是 s 二的 高，也是 s 四的高，所以 s 三比上 s 四，就等于 h 一比上 h 二。那通过这两个关系式，我们推导出来， s 一比上 s 二，就等于 s 三比上 s 四。 所以英尾模型的第一个结论我们就推导出来了，那第二个结论我们怎么推导出来呢？我们再看 s 三和 s 四这两个三角形，他们不仅有公共的边 e、 d， 他们还有一条共同的高，也就是过点 e 来去做 b、 c 的垂线，德夏老师也带着大家做一下。 好做完了之后呢，我们这里给它标上 h 三。根据等高模型，两个有共同高的三角形，它们面积之比就等于高所在的底边之比。那 s 三如果以 h 三为高的话，底边就是 b d s 四，以 h 三为高的话，底边就是 d c， 所以 s 三比上 s 四，它同样等于 b d 比上 d、 c， 那我们第二个关系式就推导出来了，那我们综合一下，就是 s 一比上 s 二等于 s 三比上 s 四，就等于 bd 比上 dc， 你学会了吗？关注德祥老师，学习数学不迷路！

hello， 大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天继续来学习初中数学几何模型，今天学习的内容是第九个模型，燕尾型。 本视频的题目来自万维初中数学几何模型，需要购买视频同款学习资料的同学，这里可以按下暂停键查看购买的方法。 好，咱们一起来看一下这个模型啊，哎，这个图形的形状有点类似那个燕尾哎，所以呢，叫做燕尾型，它的特点啊，它是一个凹四边形哎，可以叫做凹四边形 a， b， d， c。 这个凹四边形啊，跟我们平时所学习的那种凸四边形是有区别的啊，最大的区别就在于呢，他有一个内角是大于一百 八十度的，也就相当于啊，这个地方有一个明显的凹进去的这样一个角哎，所以他就叫做凹四边形。好，那对于这样的四边形，我们有两个结论， 首先第一个就是角 a 啊，角 bdc 等于角 a 加角 b 加角 c， 下面这个角啊，角 bdc 指的是这个角，他等于这三个内角之和。还有一个结论呢，是跟边有关的啊， ab 加 ac， 哎，大于 bj 加 cd， 哎，大于这样一个有一个边之间的一个不等式的关系，那对于这个模型来说呀，用角度之间的关系，这样的体型相对来说会多一些。 好，接下来咱们一起来看一下这个结论是如何来进行证明的。如果我想证明这个角 b、 d， c， 还有角 a， 角 b、 角 c 之间的关系，那从目前这个图形上来看的话，不是特别的好证明。我们证明角啊，通常要借用三角形的内角和来进行证明， 那这里呢，题目当中没有给出三角形，所以啊，需要我们做一下辅助线，哎，那这个辅助线呢，我们可以这样连啊，我们可以连接 ad， 哎，然后呢，给他适当的延长一下啊，这里呢，用个红色的吧， 好，给他适当的延长一下，延长一下之后呢，这里就会出现两个三角形，分别是三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d。 好，那在这两个三角形当中，角 b 和角 c 应该分别是两个内角哎，那么这时候的角 a 它被分割成了两个角，那这两个角呀，分别是左、右这两个三角形的一个内角，好，再观察这个角 b、 d、 c， 它也被分成了两个角，哎，那么左边这个角我们叫角一，它呀，应该可以看成是三角形 a、 b、 d。 的一个外角， 好，右边的这个角角二，它可以看成是三角形 a、 c、 d。 的一个外角。因此呀，这里我们就得利用三角形内角和这个定理的一个推论了。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 好，那角一他作为一个外角的话，他应该等于与他不相邻的两个内角，也就是应该等于角 b 加上这个角 b， ad。 哎，这里呢，为了方便我再给他标两个角啊，这个角叫角三， 然后呢，这个角我给他叫角四，好，所以呢，我们就应该有角一，哎，他就应该等于角 b 加上角三，好，同样道理，角二也是一个外角啊，那么这个角二他就应该等于角 c 加上角四， 好，因此呀，这个角 b、 d、 c， 它如果等于角一加角二的话，是不是就可以分别用这个角 b、 角 c 直接来给它进行一个转化了啊，也就是说呢，这个角 b、 d、 c， 它就应该等于角一加上角二， 好，分别给它进行转化。角一等于角 b 加上角三，那么角二呢，就等于角 c 加上角四。好，那么这里这个角三加角四， 应该刚好就等于这个角 b、 a、 c， 哎，所以啊，他就应该等于角 b、 a、 c 加上角 b， 再加上一个角 c， 哎，这样的话，这个结论咱们就给他证明完毕了。 哎，注意啊，这里因为角 a 已经被拆成两个角了啊，中间有一条线了，所以咱们不能再用角 a 表示了，也要给他写成是角 bac。 好，这样利用三角形内角和定理的推论，也就是说，三角形的外角等于与他不相邻的两个内角之和。 哎，咱们就可以证明出这个模型关于角的这个等量关系了。好，那接下来第二个结论是边之间的一个不等关系，那这里啊，咱们肯定要运用到三角形的三边关系来进行证明。好，那这个三角 形的三边关系是什么呢？我们看在三角形 a、 b、 d 当中，应该有两边之和大于第三边。 哎，那么在三角形 a、 c、 d 当中呢，同样是有这个啊，两边之和是大于第三边的。好，那因此啊，我们可以得到 a、 b 加 a d 大于这个 b d， a、 c 加 a d 大于 c、 d， 但是啊，这样一来不行，这样一来的话，你这个 a、 b 加 a c， 你始终都没有绕开这个 a、 d 这一条边， 哎，我们呀，应该想办法把 a、 d 这条边呢，应该要给他消掉才行。好，那这样考虑的话，我们目前这种辅助线的方式啊，可能就不是特别的合适啊，那这里呢，我们稍微的给他修改一下，看一下这道题还有没有一些其他的啊， 做辅助线的这个方式，我们发现如果我把 b d 延长延长一下啊，那这样的话，也可以把这个凹啊凹四边形呢，切成上下两个三角形。 那在这两个三角形当中，咱们再来找一下，能不能找到他们这个啊边之间的一些等量关系啊？好，我来看一下，这里呢，我再给他画一个啊，把这个 bd 向上延长，哎，延长到这来。 好，这里这个焦点呢，我可以设为点 e 啊，好，这样的话呢，整个这个凹四边形就被分成了三角形 a b e 和三角形 cde， 哎，分成这两个三角形，那么分别在这两个三角形当中啊，咱们看一下他边有关的这个关系啊，那上面这角有关的，咱们已经证明完毕了， 给它清理掉啊。好，哎呀，这里被弄掉了，我再连一下啊。好，好，那么在三角形 a b e 当中，我们看啊，根据两边之和大于第三边，我们应该有这个 a b 加上 a e， 哎，应该是大于 b e 的。好，应该找到了这样的一个单量关系。好，继续啊，我们来观察你这个 b e 啊，它等于什么呢？它就等于 b d 加上 d e。 哎，因此呀，这个不等式，咱们还可以继续给它变形一下，也就是说这个 a b 加上 a e， 它应该是大于 b d 加上 d e 的。哎，我们得到了这样的一个 不能试，那上面这留给他清理一下啊，这种表示方式呢，不是很规范。好，继续。那么在这个小的三角形 c d e 当中，我们又有一个三边的关系，那就应该是 d e 加 c e 应该是大于 c d 啊， d e 加上 c e， 哎，它呢，应该是大于 c d。 好，这样一来，我们注意观察一下，这里呢有一个 b d， 这里呀有一个 c d， 哎，这样的话，我如果把这两个不等式相加，你看啊，这两个不等式都是左边比较大，那我如果把这两个不等式的左边加在一起，是不是一定应该大于右边加在一起，也就是这两个不等式，我可以给他进行相加啊，他相加之后呢，应该就是 a b 加上 a e， 哎，然后呢，再加上一个 d e， 再加上一个 c e， 它就应该是大于这个啊， b d 加上 d e， 再加上一个 c d， 哎，就得到了一个这样的一个不等式。好，继续咱们再观察一下啊，这里有一个第一，这里也有一个第一。哎，那这个不等式啊，其实跟等式类似啊，两边也可以同时减去一个相同的数啊，所以他俩呀，这里是可以直接约掉的。 好，那直接约掉，我们再来看一下左边，左边是 a b 加 a e， 再加 c e， 那这个 a e 加 c e， 大家观察一下， a e 加 c e 是不是刚好等于 a c 呀？所以呀，它就可以得到啊， a a b 加上 a c 就应该大于 b d 加上 c d， 哎，这样一来，是不是我们要证明的这个第二个结论，我们就给它正出来了呀， 哎，这里呢，利用的是什么呀？把一个四边形呢切成两个三角形，在两个三角形当中分别利用三边关系，哎，得到了两个不等式啊，这是一号不等式啊，这个呢，是二号不等式， 要把两个不等式相加，左边加左边一定就大于右边加右边，哎，然后呢，再进行一个适当的整理和变形，就可以得出我们需要的这个结论了。好，那这个结论咱们证明完毕之后，接下来咱们做一下关于这个模型的一些典型的习题。 首先二十四页的利益，将一副直角三角板按如图 图所示放置，使得两个直角的顶点重合。哎，那么角一的度数啊，这个角一，这个大的钝角啊，那三角板的三个角应该都是已知的，除了直角之外，在这个三角板当中有一个三十度和一个六十度， 那么在这个三角板当中呢，应该是有两个四十五度，哎，这个都应该是我们当做一个已知条件了啊。好，那现在既然想求角一，咱们刚学完这个燕尾的模型啊，我们看一下这个图当中是否存在着这个啊？燕尾的模型，那很明显，这里哎 会有一个燕尾的模型啊，虽然这个燕尾模型呢，不是那么标准，不是那么对称，但他确实是燕尾模型，所以啊，我们用红色线条把这个图形给他标出来啊，哎，就是这个，好，既然这里存在着燕尾模型，我们就可以利用燕尾模型的一个 结论。哎，那是什么结论呢？是不是这个三十度加这个四十五度，再加上面这个九十度，哎，应该等于哪个角呢？应该等于下面这个大的钝角，哎，这个钝角啊，我可以命名为角二， 也就是说呢，这个道题啊，角二他就应该等于三十度，加上一个九十度，再加上四十五度， 哎，这个算出来应该就等于一百六十五度，那角二如果等于一百六十五度，他现在求角一，哎，所以呢，角一等于角二啊，就等于一百六十五度，哎，那这道题啊，利用咱们这个结论 哎，直接就把把这个答案就可以给他求出来了，所以最后答案应该就是 d 选项。好，那这里呢，也可以进行其他的一些方式计算，但是 很明显啊，我们如果能记住这个模型的结论的话，直接计算应该是最快也最简单的啊，那当然，你用其他的，用三角形的角和去进行这个啊相加减的这个操作也是没问题的啊，啊，通过这道题，我们的目的就是让大家尽快的熟悉这个模型以及它的有关的结论。 好，继续来看二十五页的第一题，如图是一块不规则的纸片，已知角 a、 b、 c 等于角 d、 e、 f 等于八十度，呃，不要想啊，图上这两个角是已知的啊，这个和这个它俩都等于八十度，好， 则角 a 加角 c 加角 d， 再加角 f 的度数是多少？这个图上呢，仔细一看，有点像燕尾型，但是呢，他好像 像又不是燕尾型啊，哎，我们画之前学的燕尾型，他大概应该是长这样的，哎，应该是长这样的，那这里上面应该是有个尖那，但是这里很明显他就不是一个凹四边形啊，这里几个边啊，这里就相当于一个六边形了。 那这里我们又怎么样运用这个燕尾模型的结论呢？需要我们去添加辅助线了，一个六边形啊，咱们中间给它切一刀，其实就可以给它切成上下两个这种凹四边形， 那分别在两个凹字边形当中，都可以运用咱们这个燕尾形的一个结论，所以啊，这里就提示我们可以连接 ad， 连接之后我们就可以发现图当中就存在着这个燕尾的模型了。啊，好，我把 ade 连，很明显，上面下面这里出现了两个燕尾模型， 我就在这两个模型当中分别用一下结论是不是就可以了？哎，这里呢，角 a 和角 d 已经被分割开了，那咱们呐，为了看得清楚一点，给他标成这个标角一啊，这个标角二，也就角 a 呢，被分割成了角一加角二，那这个角 d 呢，现在就被分割成了角三加上这个啊， 这个角可能叫做角四。好，那么首先我们看在下面这个凹四边形 a、 b、 c、 d 当中，哎，这是一个燕尾模型，哎，在这个模型当中，我可以直接用结论，只用结论是不是应该是这个角 a、 b、 c， 它呢应该就等于角一加上啊，角三，再加上一个角 c， 哎，应该是有这个的啊，哎，一条线，你告诉我们它等于八十度了，所以这三个角度之和 就等于八十度。好，接下来在这上面这个凹四边形当中啊，也就是 a、 f、 e、 d 当中，也可以用一个燕尾模型的结论，那这里呢，就应该是这个角 d， e、 f， 哎，角 d， e， f， 它就应该等于啊角 f 加上角二，再加上一个角四，哎，他呢也等于八十度。好，这两个结论写出来之后，我们再来观察他跟我们所要求的这个式子之间有怎样的关系。 那这个狮子是四个角之和，我们这里啊，上面有三个角之和，下面又是三个角之和，我们看，如果把这六个角啊，全部加在一起，你看这当中的这个角一和这个角二相加，那就是这个角 a， 哎，那么这个，呃， 角三和这个角四相加，刚好啊，就是这个角 d， 那剩下一个角 c， 一个角 f 分别在这里，所以我只要把这六个角一相加，得到的就应该是我们要求的这四个角。 所以啊，那具体的步骤我就不写了啊，只要把这两个八十度一加，哎，八十度加上八十度，所以啊，最后结果就应该是一百六十度，所以这道题最后的答案应该就是 b 选项。 所以啊，在遇到题目当中没有直接出现咱们这个模型的时候，那就要添加辅助线哎，把它构造成我们所熟悉的这个模型，这样的话呢，就可以直接利用模型的结论了。好， 接下来再来看下一题二十五页第三题，如图，角 a 等于四十五度，角 b、 d、 c 等于一百三十五度啊，它， 哎，他是四十五度。 bdc 啊，这个角下面这个啊，他是一百三十五度，好，还给了一个角的倍数关系啊，角 a、 b、 e 等于三分之一倍的。角 a、 b、 d 啊，他是他的三分之一 啊，那这边呢，角 a、 c、 e 啊，他这个小的又等于角 a、 c、 d 的三分之一啊，这有两个三倍角之间的关系啊，求的是角 b、 e、 c， 求他的度数应该是多少。 那这道题当中很明显也存在着不止一个燕尾模型，首先，整个这个大的 a、 b、 d、 c， 它就是一个燕尾模型哎，那再来看上面这小的 a、 b、 e、 c， 哎，它也是一个燕尾模型，好，那， 那我可以分别在这两个燕尾模型当中啊，用结论了，首先在最外面的这个大的燕尾模型当中，很明显这个角 bdc 啊，写在这啊，角 bdc， 他就应该等于什么呢？应该等于这个角 abd， a、 b、 d 加上一个上面这个角角 a， 然后再加上右边这个角，也就是角 a、 c、 d， a、 c、 d。 啊，它呢，是等于一百三十五度的。好，那当然，这个角 a 呀，它已经告诉我们角 a 是等于四十五度，所以呢，这个角 a、 b、 d 加角 a、 c、 d， 我写了写下来啊，角 a、 b、 d 加上角 a、 c、 d， 他就应该等于这个一百三十五。减去这个角 a， 角 a 四十五，那一减应该是等于九十度的。好，得到这样的一个结论。 继续，我们在这个小的燕尾模型，也就是 a、 b、 e、 c 当中，又可以用一次结论啊，也就是呢，角 b、 e、 c 就是我们要求的这个角了啊，它呢，就应该等于这个角 a、 b、 e， a、 b、 e 加上一个角 a， 再加上一个这个角 a、 c、 e。 好，那求他应该等于多少度？好，那这里角 a 啊，同样是等于四十五度的，也就是说我只要求出角 a、 b、 e 加上角 a、 c、 e 就可以了。 好，那这里呀，因为存在倍数关系，我们呀，可以设一个未知数，我就设这个角 a、 b、 e 的度数为 x， 哎，设这个角 a、 c、 e 的度数为 y， 哎，也就是说，我最后要求的 是什么呀？我要求的就是 x 加 y， 哎，当然了，后面还得加上一个角 a， 也就是加上四十五度了。好，那这个 x 加 y 应该等于多少度呢？不要急，我们上面还得出一个结论呢，对吧？好，我们看一下，角 abd， 角 a、 b、 d 已知体条件给了啊，它呀，应该是等于这个角 a、 b、 e 的三倍 好，角 a、 b e 是 x 的话，那么这个角 a、 b、 d 很显然它就应该等于三 x， 同样道理，这个角 a、 c、 d 呢，就应该等于三 y， 所以啊，我们求出来的这个结论就告诉我们，三 x 加三 y 应该是等于九十度的啊，所以呢，这个 x 加 y 在这个啊，等式的左右两边同时除以三就行了，应该就等于三十度好， x 加 y 如果等于三十度，那这个是不是就可以求了，他就等于三十度加上四十五度好，所以最后答案呢，应该就是七十五度，哎， 所以最后的答案啊，应该就是 c 选项七十五度。所以啊，这道题相当于什么呢？把两个燕尾模型啊给他嵌套在了一起， 我们分别在两个模型当中，用结论再利用已知条件所给的这个角的一个倍数关系，哎，就可以求出最后的答案了。那当然我们求出的是 x 加 y， 也就是这两个角的之和，这里也体现了一种整体的一种思想啊， 当然了，有些人可以看到下面这个啊， b e， c， d， 哎，这里也存在着一个这个这个啊，燕尾模型，那在这个燕尾模型当中用结论其实也是可以的啊，有兴趣的同学这里呢，可以再去进行一个尝试。 那今天关于这个模型，咱们就一起练习，到这里咱们提示当中啊，关于这个燕尾模型还有更多的习题啊，大家呢，可以自行去进行练习， 我们下节课和大家一起来学习风筝模型，欢迎大家收看，如果喜欢我的课程，请关注明老师初中数学课堂。如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！