凹凸二次函数列表

大家好，今天我们就来讲一下函数的凹凸性，实际上高中的时候已经学过一些函数的场景性者，比如说函数的单调性、 基友性、对称性、周期性，对吧？那今天我们讲下一个性质，凹凸性，非常重要的一个性质。那什么是函数的凹凸性呢？咱们先说一下这个统计版，这个教材是怎么说的啊？比如说在这个区间 i 上，这就是那个区间 i a b 之间吗？然后呢，认取两个数字， x 一和 x 二， 好，然后 x 一 x 二这个终点位置呢？那就是二分之二 x 一 x 二。显然，如果这个函数向下突的话，我们看红色这一段， a、 d， b 这一段，如果这个函数向下突的话，那么就会产生这样一个结果，对于任意的 x 一 x 二， 当然了，在曲江爱上，嗯，都会产生什么结果都有。二分之 x 一加 x 二，就是说中 终点横坐标重点所对应的这样一个函数值呢，它是小于二分之 fx 一加上 fx 二。注意，必须有这样一个任意性啊。那此时的话，我们就说这个函数呢，是凹函数，或者说是向下吐的，其实都是一回事啊， 那么为什么会这样呢？其实好说，你如果写上 x x 二，如果写上直线的话，你看这两个点，直线连着直线，那如果说在上边这样一个点 e 的位置在直线上啊，那 mn 中点是不就是点 e 啊？根据终点的公式，这个位置就变成等于了吧，小于号就是向下图的意思， 但是这个定义严谨吗？我想说的是同级版教材里头这个定义并不严谨，我非得找终点啊。如果一个函数他真的是向下图的话，我非得找 ab 的终点吗？难道你只能找中间这样一个点啊？我找四分之一点比他低行不行啊？ 我判断他下图的时候，我找三分之一点可不可以？其实也可以的。所以说真正严格的数学分析里头的定义啊，是这么说的，设函数在区间 ab 内有定义，这个呢就是小 a， 这就是小 b。 看清楚了啊， 如果对于区间 ab 内的任何两个点， x x 二以及任何的两个，这个应该说是两个正数，而且这两个正数之和等于一，很有什么？很有这个这个呢？我知道很多同学看不懂，实际上呢，高中时候咱们学平面相量时候学过什么 定比分点定理吗？是不是根据平面限量的三点共享定理？而且啊，我们让这个蓝莓的一加上蓝莓的二等于多少等于一就可以了，此时肯定会有 om 项链，他等于多少等于蓝莓的一倍的 oa 项量， 再加上咱们的二倍的 ob 项链，然后你把项链的表示写成坐标的表示，就会有这样一个结果了。这大家看清楚 一定理解是怎么回事啊？其实也就是一个定理，难定理，他就完全代表什么？完全代表 ab 之间，或者说 x x 之间所有的点都是严格低于谁的？严格低于中间连线上这样的点的什么意思啊？这个就是 x 一，这个就是 x 二， 这个点呢？是 m 右边这个端点呢？写成 n 点，我们 m n 的话连了一条直线吧，实际上就是随便说，他说当这个 x 零随便取的时候，永远能够保证谁永远能够保证他下边对应的这样一个函数值，看向下图吧， 永远保证了 q 点是比 pgl 低的，所以就是向下突，理解了吧。那如果把中间这样一个小于号改成了什么？改成大于号，那就是向上突呗，就是一个意思。那既然有了这样一个定义之后的话，接下来我们就要说特殊的类型了，如果这个函数， 如果这个函数在开区间连续 b 区间， b 区间有二次倒数，有二阶倒数，那肯定有一阶倒数吧。 所以我马上就想到了什么科技种植定理，拉格朗尔种植经理，所以一会我们证明的时候，估计要用到微分种的定理了，一会再说啊。 有二阶导航数，那么什么意思啊？如果在 ab a 到 b 这样一个开圈内，二阶导函数是严格大于零的， 知道我刚才为什么说严格的大于零吗？他是这个意思，在 ab 任何这样一个字体内不能横为零。你如果说某一小段横为零的话，他这个就没有凹凸性了，是横直走的，应该理解我的意思吧，就是中间这一段，这一小段是直线了，这理解就行。 那么第二点，如果说二阶倒函数严格大于零的话，那就是向上图的，而且不存在横为零的情况。二阶导函数千万不要横为零，因为如果二阶导函数在某一小段横为零了， 那就意味着在这一小段上一届导航数，其实也就是速度。怎么样？速度呢？很为一个定制，我们不可能要求速度是一个很很为定制的情况。为什么 看向下凸这速度原来是个复数吧，一直走一直走，一直走啊，速度越来越大，速度一直得变大啊。这个呢，实际叫什么？这个就叫向下凸的情况。 那现在我们就想证明了，怎么证明啊？刚才说过了，人家这个函数在 b 区间连续在开一间课道，你为什么不想一下？什么终止定理，拉个脑的终止定理吗？接下来我就要写这个证明过程了啊，图我放小一点啊，这样来标，先标这个 x 一，再标这个 x 二，这个 x 一和 x 二是任意取的， 然后呢，这个 x 零肯定在 x 一和 x 二之间，根据刚才我讲的这个定比不点定理，我们这个 x 零完全可以怎么取啊？我们这个 x 零完全可以取成这个栏目的一啊， x 一，再加上栏目的二 x 二，当然咱们的一，咱们的二的话都是两个正数啊，都是正数，并且呢，咱们的一，咱们的二加起来必须等于一，对吧，这样就保证了 x 零肯定是中间任何一个位置都可以包含进去了。 那么再接下来怎么样呢？当然了，一开始我们取这个 x 一和 x 二的时候，实际上肯定是在这个 ab 之间任意去取的，保证这个任意性，并且我们不妨令这个 x 一比 x 二小吧。那最终我们的目的实际上非常简单，经过中间的一番论证，这个论证过程肯定是要用拉格朗式终结定义，我一会再写， 最后证明出来什么结果，那肯定是定义里头我们挣哪个呀？不妨我们就来证明这个括号一吧，只要括号一证明完了，括号二肯定会了，那最终我们想证明的就是谁？就是这个 f 啊，兰博大一 x 一，然后再加上兰博大二 x 二，他是小于谁的？他因为在下方，我们是向下图的， 所以是小于小于咱们的一 f 一，咱们的二乘 f 二，就这样一个道理，这就是我们我们的目的。那具体怎么操作？拉格朗是中指定理，走起来。为什么？一开始我在读这个定义，读这样一个定理的时候说过了， 在哪？在 b 局间连续开局间课道肯定要想一下。微分钟定理，具体来说就是拉格朗式中定力，我写了啊，首先在哪啊？ 在 x 一到 x 零中间，那肯定满足拉格朗式中指定理了吧？那这个 x 零减 x 一的话，我们这个 x 零怎么写？你把画圈部分带入啊，最终的话就写成了什么结果，最终的话，我们就写出来了这样一个结果，人们的二倍的 f 片，哦， 在一，然后这个括号里头是 x 二减 x 一，那行，并且在哪一段呢？实际上在 x 零到 x 二之间也是满足， 在 x 零到 x 二之间，他也满足这个微分钟定理。拉格朗式充值定理我们就直接写啊，所以说 f x 二减去 f x 零，他就是等于 f 片，这个时候我们因为这个值不一样啊，我们就要改成 f 片科赛二了， x 二减 x 零， 同样的，我们不要出现 x 零嘛，我们最终只出现 x x 二，所以就是化球部分往这一带啊，最后就只含有这个蓝莓的一了，么的二，还有这个 x x 二了，最后提出来的是蓝莓的一倍的 f 片，哦，这个里头是科赛二啊， x 二加 x 一。好啊，现在我们观察一下这个圈一圈二就行了， 看最后这个结果吗？最后的话，他这个系数是多少？ number 二啊，这个圈儿这个狮子呢？ number 一，那行啊，所以我们在处理这个，嗯，圈儿一圈儿的时候，最终目的也很简单嘛。最终根据定义，我们 这个圈二要乘个多少？肯定是要乘个栏目的二嘛，乘个栏目的二，嗯，然后呢？这个圈一啊，区二一的话，我们就不妨乘一个数字，乘一个数字栏目的一，这样的话，区二一就要圈二，左边和左边相减，然后右边和右边相减，别忘了乘上对应的系数栏目的一了。么的二啊， 最终出来的结果非常的有趣，我就直接写了啊。最后经过处理的话，就出现这样一个结果了，左边的话，你看是不是 lam 的一，然后乘外一 m 的二，乘外二减去 fx 零，这个 x 零不就是画圈这个整体吗？一会我们再变，不着急，关键是要看右边这个部分究竟是大于零还是小于零，还是等于零，对吧。先看了 第一部分，两个正数相乘正数吧。第二部分，大的数字 x 二减小的注，数字 x 一正数吧。有人到了第三个圈的部分，说，不会了，老师，这个 f 撇可在二和 f 撇可在一。我确实不知道哪个大 哪个小，这个还不好判断啊。请你告诉我，既然我们证明的是区二一，这个二阶导函数是不是严格大于零？二阶导函数大于零，不就意味着这个 f 片一阶导函数是单调递增吗？你这个科赛二比科赛一大，所以对应的函数值肯定是大的减小的，大的减小的，最终经过单调性的讨论，他也是个正数， 三个正数相乘啊，同学们经过了一番讨论，当然这个讨论需要你写出来啊，考试时候我们是大于零的，大于零最终不就得出来这样一个结果吗？这个 x 零，我们需要还原成什么形式，写成画圈的这样一个形式带进来啊，我们换一下吧，这个 x 零，注意啊，变化成那么的一 x 一， number x 二，所以说直接下结论，往哪啊？往下图呗，他就是一个向下图的函数，也就证明完了。接下来呢，就是对于这个拐点的定义，拐点的话也好说，看 这个位置。哦，原来呢，在这一段上，他是向上涂的，然后到 a 点呢，到 c 点这个位置啊，就变成什么了？就变成向下涂了，一个向上涂，一个向下涂，那 a 点这个坐标点的话，他 这个题目中说的是 m 点，我们就写上 m 点吧，那 m 点 x 听外联就成，为什么？就成为这个曲线的拐点，所以直观上来说的话，拐点就是什么？就是凹凸性发生改变的点。那严格的定义是怎么说呢？是这样说的啊，假设 m 点呢，是这个函数图像上的一个点，一个坐标点， 如果这个曲线经过 m 零的时候，凹凸性发生了改变， m 量左边是上图，右边变成下图，或者说左边下图，右边上图，反正是凹凸性发生了改变，那此时我们称这个坐标点就是 y， 等于 fx 这样一个曲线的拐点。现在应该懂拐点的意思了吧。后边补充一条啊，如 如果说 m 点是这个函数的拐点，那么它存在的必要条件，必要条件就是箭头指向谁，指向指向条件的意思啊，有结论，指向条件就是这个二阶倒函数等于零，或者说什么，或者说这个二阶倒还是不存在的， 现在我们对比一下，也说一下这个注点啊，注点的话是一级导航，是为零的点，也就是说这个函数呢，正好停起来速度正好停下来的点，懂了吧？那么急支点的话一定是注点，注点的话就不一定是急支点了，我们看啊，前头的话好说，为什么注点不一定是急支点呢？ y 等于 x 三次方吗？大家可以观察一下这个函数图像，你也可以求导确定一下，在零到正无穷的时候呢？单调递增，在这个复活圈到零，他也也是这个单调递增， y 等于 x 三次方，但是有没有注点？有，因为他的一阶导航 数什么时候当 x 等于零的时候，原来 x 等于零就是他的这样一个注点一定要区别，注点和拐点区别还是很大的，注点是横坐标的直吧，拐点是某一个函数图像上的坐标点。 另外的话，这个注点和旗帜点它定义也不一样，一个是一阶段还是等于零定义的，另外一个是二阶段，还是数来定义的，所以呢，一定要注意区别了。那接下来咱们做两道题吧，第一道题， 第一道题的话求倒背第一届倒数啊，当然所有的函数问题我们应该先写什么？你应该先判断一下这个定义吗？定义是人也是数，这个就不多说了， 那接下来看一下谁呢？看一下这个一阶倒函数吧。一阶倒函数我们求一下啊，马上就求出来了，他是等于负二 x 一负 x 方的这二阶导函数呢，也好求。嗯，二阶导函数求完之， 明显发现这个画圈部分是正数，二也是个正数，所以呢，二阶段还是个正步，取决于什么？取决于画圈的中间这个括号。我们令他等于零呗， 对吧？另，这个外片片等于零，马上就得到谁了？马上就得到两个值，其中一个呢，是负二分值，根号二，另外一个呢？是啊，二分值，根号二。其实呢，这两个值我想说的，他不叫拐点，他叫什么？他叫拐点对应的行，坐标。人家拐点是个坐标点的啊。 接下来分呗。你想啊，整个实属范围内被这两个分成了几段？分成了三段。那为什么出现了这样一个表格？马上你就知道了。我们先看啊， 先分什么？负无穷到负二分之根号二，这肯定得写一下，对吧？然后负二分之根二单独写一下，负二分之根二到正二分之根号二拎出来，还有一个正二分之根号二单 都写一下，最后一段的话，肯定是二分之根号到正无穷了。这样的话，所有是书房内的电影院，这个数字都讨论全了。 那么接下来判断政府好说吗？中间是负的，两边是正的呗。好说，那再接下来呢？然后这个位置是，而且倒还是为零。 那继续来，我们现在研究的是什么？研究的是原来这个函数，他的凹凸性和拐点吗？好哦，他是大于两，所以是向下图，或者你想凹函数也行啊，每一个他这个很多高等数学教材，他的说法不一样啊。 然后，嗯，如果为负的话，就是上图，然后下图啊，就这么回事啊，不多说了，那么零呢？零的话，千万不要以为拐点是什么点，拐点可不是横坐标，拐点是个坐标点，我们写全了负二分之根号二带入，纵坐标的话是一负二分之一，这个就是一个拐点。 好，我们写上其中一个，另外一个还要拐点吧，我们把谁带入啊？把这个二分之跟二二带入，然后呢？ 最后上完中指标还是一，那因为他是个偶函数吗？大家能看出来也是这样一个结果，他也是一个拐点，两个拐点，应该清楚了吧？那 最后下结论的时候，大家只需要说啊，在这样一个区间上，他是向下凸的一个函数，在中间这样一个区间上是向上凸的一个函数，然后在这个区间上呢，又是向下凸的函数，然后再把这两个拐点坐标写上就行了。 下一个题道理一样，只是说解题是不一样，所以呢，我就直接写结果了，二阶导航数跟零比较，就可以确定这个凹凸性了，对吧？ 那接下来我们就求出来两个值，其中一个是零，另外一个不就是三分之二了吗？是不是？那还是画表格吗？零三分之二 x 复无穷到零，写上，把零单独拎一下，零到三分之二 是不是也写一下啊？三分之二单独拎出来是吧？然后最后的话是三分之二到正无穷。讨论全了，接下来写这个二阶导函数的值，或者说正负，嗯，显然他是正的吧， 哎，中间是负的吧，他又是正的。然后呢，在零和三分之二这两个点处呢？二级头还是等于零？那再接下来我们就直接写原函数的凹度性就行了啊，然后三分之二几你带入原函数中，三分之二算出来是二分二十七分之十一。好了，两个拐点卸全了。最后要写一下答案，从上所述啊。好， 好了，在服务群到零上是向下突的，当然三分之二到中国群也是向下突的。在哪？在零到三分之二中间，这个方案呢？是向上突的。那么这节课你学会函数的凹凸性了吧？分享课堂知识，感受数学之美或上班老师，下节课再见。