反函数定理

这个视频我来讲讲怎么求法函数。前面讲过，对于 y 等于 a 的 x 次方，如果用 y 表示 x， 那 x 就等于 log a y。 接着美观一下，把自变量换成 x， 应变量换成 y， 就得到 y 等于 a 的 x 次方的反函数了。通过这个例子，咱可以总结下求反函数的方法。第一步，先把圆函数反解 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把自变量换成 x， 应变量换成 y。 总结完毕，来试个题吧。比如 y 等于 log 二， x 加二再减二，它的反函数是啥呢？ 用刚才的方法，第一步，先反减 x logo， x 加二就等于 y 加二，那 x 加二就等于二的外加二次方，所以 x 等于二的 y 加二，次方，再减二。接着第二步，美观一下， 把自变量换成 x， 应变量换成 y， 这样就求出反函数了。刚才都是两步搞定反函数，有时候还得考虑定义的问题，比如我给原函数加个定语， x 大于等于零，小于等于二，那反函数是啥呢？ 这回原函数有定义，那他的反函数也得写出定义域，他的定义其实就是原函数的直域。 来看看原函数，先求帧数的范围， x 大于等于零，小于等于二，所以帧数 x 加二就大于等于二，小于等于四。对于 log 二， x 加二，底数大于一，那在二到四上是单调递增的， 所以在二处取到最小值 log 二，二等于一，在四处取到最大值 log 二，四等于二，所以 log 二， x 加二大于等于一，小于等于二。 再看函数 log， 后头还得减去二，那 log 的范围也得减去二，所以直域就是负一到零， 对应到法函数中，就是定律为负一到零，这样就搞定了。像这样，如果元函数有定义，那求法函数就得变成三步，前两步是不变的。第三步还得把元函数的值域求出来，作为法函数的定义。 用这种方法，咱还能求出分段函数的反函数，比如在原来的基础上增加，当 x 大于等于负二小于零时， fx 等于 x 方，你能求出他的反函数吗？ 函数是分段的，那法函数也分段球就行。 x 大于等于零，小于等于二十，他的法函数刚才算过了，是二的， x 加二次方再减二，并且定义为负一到零，还得算算 x 方的法函数。第一， 不先反解 x， 那 x 就等于正负根号 fx。 注意， x 大于等于负二小于零是负的，那 x 显然等于负根号 fx。 接着第二步，把字变量写成 x， 因变量写成 y， 最后要写上地狱，也就是求原函数的直域。 x 方显然在负二到零上是单调递减的，所以最大值是负二的平方等于四，最小值接近零的平方，也就是零。 所以 x 方大于零，小于等于四，那反函数的定义就是大于零，小于等于四。把求得的这段反函数和刚才的写到一起，这样就搞定了。 好了，以上就是法函数的求法，用三步就能搞定。第一步，反写 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把字变量写成 x， 应变量写成 y。 第三步，写上反函数的定义，也就是原函数的指域。怎么样，学会了吗？如果会了，就速度去刷题吧！

好，我们来看一下，在原函数和反函数的图像是关于 y 等于 x 对称， 那么这是反函数的基本的性质，对于这个函数而言，要求他的反函数。第一步， 首先反解，从这个函数里边反解出来 x， 但是我们会发现 这个函数和这个函数在同一个坐标系下，他们的图形啊是重合的。第二步， 把 x 和 y 的位置兑换一下，得到这个函数，在兑换之后，就产生了关于 y 等于 x 对称的曲线。 求返函数涉及到三个函数，这个是圆函数，这是返减之后的这个函数。在高等数学里边，我们把这个函数称作是返函数， 在中学里边，需要把这个函数里边的 x 和 y 的位置做一个对换， 兑好之后，产生了关于 y 等于 x 对称的曲线， 从而我们我们可以发现，原函数和反函数关于 y 等于 x 对称，根本原因在于。第二步， x 和 y 的兑换上。 函数我们可以做一个改变，变成一个方程的形式，从而函数一定是方程，但方程啊，不一定是函数， 譬如圆的方程 x 方加上 y 方等于一，这个 方程他对着两个函数， 那么在函数当中， x 和 l 的位置，他们的地位啊 是不平等的， x 是自变量， y 是函数值， x 和 y 呢，一个是主动的，一个是被动的，但是在方程里边， x 和 y 的地位啊，是平等的， 所以函数和方程的关系，我们可以确定，函数一定是方程，但是方程啊，不一定是函数，那么如果对于一个一般的二样方程， 如果把 x 和 y 的位置兑换一下，嗯， 那么这个时候他们的图像是关于 y 等于 x 对称的， 譬如这两个方程，我们把 x 换成 y， 把 y 换成 x， 可以看出来，他们的图像是关于 y 等于 x 对称。 实际上原函数和他的反函数本质上是同一个方程， 那么把这个方程里边的 x 和 y 的位置兑换一下，这就产生了对称线，这个方程变成这个方程， 这两个方程所对应的期限是关于 y 等于 x 对称的，那么在本质上，这是关于点的对称型，关于点的对 成型是有非常多的，就是说常用的就是关于 y 的 x 对称，还有关于 x 轴对称，关于原点对称，关于 y 轴对称啊，关于二分之一对称等等，还有很多其他的对称性。 那么关于元函数和反函数的概念，特别是元函数和反函数的图像，关于 y 等于 x 对称，它的本质上是改变了 x， y 的位置。 那么在高数里边，我们把这个圆函数反解出来之后，得到 x 等 f， n， y， 我们就把这个称作是圆函数的反函数了。 一般情况下不再兑换 f 四和八的位置，从而在同一个坐标膝下，圆函数和反函数的图像应该是重合的，这一点对于我们求导书， 还有做积分变换等等都是非常重要的。好，关于原函数和反函数的图像的对称线，我们就介绍到这里。

反函数的一结合而接到这个地方，紫云老师也得带大家做一下证明， 证明好反函数而言，那我们在这个考研数学当中，我们所识的反函数其实就是用它去表示，那 y 等于 fx， 我们的反函数就把它当做 x 等于个 fy， 就是用它来反过来表示就可以了。 好，所以第一个啊，那你要想一下，我要求 dx 比上个 dy 我们，你看我这个反函数我是不知道的，我光知道能够确定出来，但是我这个的具体表达是咱求不出来， 所以是不只能借助原函数，原函数的我是知道的，对不对？所以分子分母同除 dx 得到 dy 比上个 dx， 所以就是一比上 f 一片 x。 在这个式子当中啊，我们知道的是 y 等于 fx， 不知道的是 x 等于个 fy， 就光知道他，但不知道他啊， 我要求他的导数的话，只能借助 f 来表示，是不是得到这个结果。所以一阶导的这个地方记一句话叫做什么呢？反函数的导数等于原函数导数的倒数 啊，反函数的倒数等于圆函数倒数的倒数。 好了吧，这就是我们的第一个好，二姐倒，好好看。好了啊，二姐 倒，我要求，哎，地方 x 比上 d y 方，是不？我就是对 dx 比 dy 里边的 y 再求一次倒，就是对我一阶倒里边的 y 再求一次倒，这个就是我们的二阶倒，对不对？所以它就相当于什么呀，对 d x 比 d y 里面的谁 y 再求一次，等看到了吗？你要知道呀， d x 比 d y 是不是 x 的函数， y 是不是也是 x 的函数 参数方程？所以我现在啊，这个是 x 函数， y 也是 x 函数， 我们有一个中间面料就是 x， 所以我们没有办法直接表示，但是我可以通过 x 来表示出来，所以这个就引到了参数 分子分母同时对谁求到？ x 求到，所以他其实就是啊， d x 比 d y 里边对 x 求一次到，分母也是 d y 对 x 求一次到。 好，分母简单啊， y 不是等于 f 吗？所以分母易错岛是个 f e 片， x 分子呢？ 这不就是我们的一阶倒吗？对这个里边的 x 求导，这不是分母触发法则对不对？ f 一撇 x 的平方分之负的 f 撇撇 x 好了一通分，得到的是负的 f 一撇 x 的三次放分之 f 撇撇 x， ok， 这个就是咱们的最终结果。

这个视频我来讲讲反函数存在性的判断。说成人话，就是判断一个函数有没有反函数，比如告诉你函数 fx 图像是这样的，那他有没有反函数呢？来吧，观察一下，这个图像左右对称，所以一个外值对应了两个 x 值，这有啥问题呢？ fx 中一个 y 对应两个 x 是没啥问题的。不过上回说反函数中 x 和 y 会交换一下，所以一个 y 就变成了一个 x， 两个 x 就变成了两个 y， 也就是一个 x 就会对应两个 y。 以前讲过，函数必须满足一个 x 对应一个 y 才行， 所以这样的就压根不是函数了，这说明 fx 没有法函数。通过这个例子不难看出，要判断一个函数有没有法函数，可以看原函数的一个 y 对应几 个 x， 如果对应一个以上，肯定没戏。反过来，如果只对应一个，那反函数就是一个 x， 对应一个外没有问题，所以反函数存在。 知道了这一点，咱接着来试试。比如这个函数图像他有没有反函数呢？跟刚才一样，得看他是不是一个外对应了一个 x。 不过这要咋看呢？方法很简单，画几条横线就搞定，看到没？和图像都只有一个焦点，这说明一个 y 只对应一个 x， 所以这个函数有法函数。 那这个函数呢？方法一样，还是画画横线。你看和图像有两个交点，这就说明这个外值对应了这两个 x， 所以这个函数没有反函数。像这样，你只要画画横线，如果和图像都只有一个交点，那反函数就是存在的。但如果和 图像有一个以上的焦点，那就没戏。刚才的题目都是直接给你函数图像，让你判断。有时候题目给的是函数，比如 y 等于 x 方，你会判断他有没有反函数吗？ 没有图像，那咱们可以自己画一个，大致是这样的，接着就可以画画横线，看看焦点，你看有两个焦点，所以没有反函数。 如果我给刚才这个函数加个范围， x 大于等于一，那他有没有反函数呢？函数画出图像来，这回只要取大于等于一的这一段就行，画画横线都只有一个焦点，所以这个函数就是有反函数的。 像这样，如果题目中给你的是函数解析式，你只要把它画成图像，然后用前面的方法判断就行。刚才的例子都是通过一个外对应一个 x 来判断有 反函数。反过来，如果告诉你一个函数有反函数，那这个函数就应该是一个 y 对应一个 x 的。比如函数 y 等于 x 方，减 ax 加一 x 大于等于一，小于等于三。如果他有反函数，那 a 的取值范围是啥呢？ 看到函数在一到三上有反函数，那就说明他在一到三上时，一个 y 只对应一个 x， 这要怎么做到呢？不妨来看看他的图像。这是个开口向上的二次函数，图像对称轴是负二 a 分之 b， 也就是二分之 a， 咱们要看的是一到三之间的图像， 这时咱得冷静分析一下，如果对称轴在一到三之间，那一到三之间的图像就会有减有增，画条横线就会有两个焦点的情况，显然不行。为了避免 图像有减有增，那对称轴不能在一到三之间，可以把它往左移到一，这这样一到三之间，图像就只有增一个 y， 就只对应了一个 x， 这样就行了。当然，再往左移也是可以的，也就是对称轴二分之 a 小于等于一就行 列出不等式。解得 a 小于等于二，图像只有增可以。别忘了还可以只有减，只要把图像往右移，直到对称轴到三，这这样一到三之间，图像就只有减了 一个 y， 也只对应了一个 x。 同样的，再往右移也可以，也就是对称轴二分之 a 大于等于三就行 列出不等式。解得 a 大于等于六，所以 a 的取值范围有两个。这道题告诉我们，如果函数在某个范围内有法函数， 那他在这个范围内一个 y 就只能对应一个 x。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键掌握一点，要判断一个函数有没有反函数，关键看这个函数是否一个 y 对应一个 x， 只有对应一个 x 才有法函数。从图像上看，就是画出的横线和图像的焦点都只有一个。怎么样，听明白了吗？如果明白了，就速速刷题去吧！

注意，看眼前这个导出叫小凯暂停填空三二一，正确答案五分之一。如果这类题你一直晕晕的没自信，一定要看到最后法函数写导公式看起来很显然就是举倒数，它最奇妙也是最关键的地方是，等号两端要换变量， 左边对外求导，自变量是 y， 右边对 s 求导，自变量就是 x。 如果左边对 x 求导，那右边自变量就换外，无脑取到数，无脑换变量，守住这个原则，就能百战百胜。 有这道题前面没用的话，可以先不看啊，直接看问题五，五 x 对外求导，那么无脑取倒数。注意，右边自变量也要换成 x 了，那 y 等于零是 x？ p 几呀？由定积分性质，上限， x 等于下限等于负，一时 y 值为零， x 和 y 是一对应的，因为 i 烟火伴奏由变现积分 求导公式， y 对 x 求导等于根号下一减一的 x 次方，再把负一一带入，就结束了。全程动脑子了吗？没有。回到片头，把陌生的题目写回熟悉的字母，注意， five 的变量是 y 是 y 是 y， 所以就是 x 对 y 求导 y 等于二的值。 无脑取到数，自变量换 x。 现在你知道 f 十等于二这个条件怎么用了吧？是用来看，当 y 等于二十， x 等于十，这个直的 y 对 x 求导代入十，那不就是 f 一撇十等于五。答案，五分之一， 需要动脑子吗？不需要，反函数一级导学明白了，相信二级导公式也可以轻松看懂推导过程。看这里，学会了点个赞，学会了点个收藏！

大家好，上节课我们讲完了这个倒数的基本定义，对吧？然后这节课来讲一下比较特殊的一类道函数的求道法则，好几种类型的啊，比如说这个法函数的求道法则，隐函数的求道法则，还有这个参数方程，极度方程所确定的函数，这个函数当然是外观与 x 的这样一个函数的求道法则了。 我为什么不说前两点呢？因为前两点太简单，对一个合格的高中生来说，你都已经上了大学了，高中实际在高二时候就已经学完，所以前两点咱们是快速说一下，主要其实重点呢是讲这个三四五，其实前两点如果用大学这个函数的定义来证明的话，也并不是太简单。咱一个一个来说吧。 下面看第一个四则运算啊，两个函数相加减，他们求倒以后啊，相当于两个函数分别求倒，再相加减，对吧？然后两个函数之和的倒， 函数等于倒函数的之和，就这个意思，那么反过来做差也一样。那么如果说是两个函数乘积的话，等于中间肯定是加号，先撇第一个，然后再撇另一个，当然这个可以拓展一下，拓展以后的话就变成什么，比如说三个函数啊，嗯，一个是 f x， 然后一个是 gx， 然后一个是 hxx， 这个 fj， 这都是关于 x 函数，那此时我们对 x 进行求导，那第一个先撇，后两个不变， 嗯，然后再对第二个，嗯，舔一下，求一下倒，然后呢？其他两个不变，最后啊 f， 这不变，对第三个求倒，所以说这个拓展之后就长这个样子，所以说四个五个两眼相成，你应该知道我的含义了，我这意思了。然后现在呢，我们来说这个第三点，第三点的话是怎么说呢？ 注意这是一个撇啊，你看清楚了，两个函数相除，当然我们在除的过程中肯定得保证这个分母不是零。后边也说了， 那两个函数相除，他的导函数的法则是什么呢？分母是平方，那分子的话是先撇原来的分子，中间是减号啊，然后再撇原来的分母。原来是这个道理， 那实际上这个用原始的导数的定义，上体课我们讲完了，是很容易证明的，那么哪个最难证明呢？其实第三个最难证明，我们索性就来证明一下第三个。前两个的话，大家都很好理解，你随便找一本高等数学的书就可以了。 那好，来证明一下最后一个吧，就是两个函数相处之后，他是怎么得出来这样一个公式的。上节课我们都说了啊，当这个达尔塔 x 区域零的时候，所对应的函数值的变化值，然后再比上这个 这样的美好值，他最终的话，这个定义就相当于 f p r x 了，对吧？ f p x 零。或者说，那么既然有了这样一个导出的定义，那接下来我们就先求谁？先求这个分子吧，打扰他外。 嗯，这个达尔特外等于什么呢？这个达尔特外相当于函数值的变化量，他所对应的实际上就是注意了啊，是 x 加上达尔特 x 这样一个非常小的变化量，然后 x 加上达尔特 x 非常小的变化量，然后再减去什么？再减去 x 所对应的这样一个函数，对吧？这是答案特外，但是你写上这个形式不够我们稍微变一下形，通分吧。通分这个还是很好理解的啊，但是变成这个结果以后的话，你想一想，哎，他这样一个优片的话，实际上他分子里头应该有什么呀？应该有这个打扰他有打扰他有，你要拆开来写， 写的话应该是 u 这个 x 加上达尔塔 x， 再减去谁再减去这个优啊 x 再比上达尔塔。哦，我懂了。嗯，咱最后再出那个达尔塔 x。 所以说接下来变形，我特别希望画圈这部分 他再减掉一个 ux。 所以呢，你知道我们应该凑谁了吧？主要是分子变形啊，分子的话我们直接凑一个，注意 x 加上打扰他 x 原来就有，你再减去一个 ux 不就可以了吗？ 但是你要注意的是什么呢？这个里头的负 ux 是你随便就是为了凑齐这样一个形式，随便捡了一个 ux， 后边是不是还得加上这个 ux 再乘 vx， 这样才凑齐的？是这个意思吧。 嗯，那么再减去谁呢？再减去分子，主要是分子啊，那下一步是什么意思啊？下一步的话大家 你也知道这个 v 后边应该清楚了吧，因为我们还需要凑这样的 v 片，所以后边这两部分应该把这个符号提出来。那索性我就把这个符号都提出来了啊。好，后边这两项把这个负的谁提出来，把这个负的 ust 出来， 提出来之后的话就变成了 vx 加上，但是他 x 再减去 vx。 哎呦，你现在应该知道什么意思了吧？这分母的话我们再写一遍，再抄一遍就可以了。那接下来的话，我们就只需要改变谁只需要凑这样的达尔特外比上达尔塔 x 的形式了。 看好了啊，分母呢？整个的我们还是不用发生改变，主要是分子，分子的话，你除这个达尔塔 x， 直接给画圈的这两部分不就可以了吗？对吧？除一个达尔塔 x， 那就变成了哎呦，多少 x 加上达尔塔 x， 实际上这一部分这个方块的部分不就是达尔特 u 吗？我就简写了啊，达尔特优比上达尔塔 x。 哦，懂了。然后画画这个方框的第二部分，这个不就是达尔特威吗？哦，懂了， 我们直接单儿头 v 比上单儿他 x， 注意 v 和 u 都是关于 x 的两个函数，所以说根据上集和我们讲完的导函数的定义，当这个单儿他取决于谁的时候，当这个单儿他 x 变化量取决于零的时候，只要他可倒啊， 那么此时分子就变成了什么样子了。画圈部分不就是 u 片吗？哦，天呐，原来是这个意思，然后第二个这个画圈部分是谁啊？第二画圈部分不就是微片吗？所以你说你现在知道怎么去证明了吧？那么这个分母 是什么意思？因为你这个达尔达 x 是区域于零的，所以说当达尔达还是趋于零的时候，我们就把零带入，就变成了 vs， 再成 vx， 那么就是平方的意思。好了，证明完了，懂了吧，这个不就是我们最终证明的这样一个 f 漂吗？就中了，对吧？那继续来看下一点， 下一点的话练习一道题吧，这道题你要让我来的话，对于大学生来说，合格的大学生都必须知道他是等于什么，等于 sicn 的平方， x 的这个是正规的平方，那么为什么会推出他来呢？其实也好说，你把这个摊正的 x 看成两个函数，你非常熟悉的 挣钱比上余险吧。所以说嘛，你对这样一个探探着的 x 进行求导，相当于利用这样的处罚法则进行求导。处罚法则我们不是刚挣完吗？你肯定 得会用的啊，高中生都得会。那就变成了分母。是直接平方吧，分子的话是先撇分子三，按平他撇以后变成了扣三，再乘扣三啊，然后再撇谁，再撇分母，这个分母的扣三。这个分母撇以后注意是负的三。所以 大家知道吧，有个负的算负，负得正的话，那实际上就变成了散方了，显然这个分子等于多少分子？平方加平方等于一吗？扣三。 所以根据什么？根据这样一个三角函数的法则，扣三分之一不就是三三看的吗？ xsec 平方 x， 这不就求完了吗？对吧？这个呢，是正格，正格的平方。 那继续来看第二点，练士学校法则。这个练士学校法则的话，高中也学过啊，主要针对这个复合函数，然后复合函 说怎么去求道呢？咱们来看，你看分成两层吧，一定要注意啊，我现在这个内层的话，中间变量是用 u u 等于 gx， 一会我就这么记，这个外层函数的话，我们完全可以把它记。为什么外层函数继承这个 y 等于 fu， 然后内层函数的函数值作为外层函数的自变量优势，一个中间变量只知道就可以。那好了，我们要对这样一个负函数进行求导了， 那求导的话，注意跟剥洋葱一样，这个练手这套法则也称为这个剥洋葱法则。剥洋葱的时候从外向内拨吧，先剥外层， 所以你看外层先撇一下，内层先不动啊，这是第一步，然后拨完外层就剩内层了，内层再撇，中间用乘号连起来就行。那理解就是这么理解，高中生都知道，关键是怎么挣出来的呀，我们得挣一挣吧。 怎么证来了，看好了啊，先看第一步吧。嗯，根据这个微分还有这个导航数的定义，这个第外笔上第一。我们先看这个外层啊，他肯定是等于 f p u 的，根据这个极限和导数的这样一个关系， 他实际上等加于什么？等加于这个达尔特 y 比上达尔塔 x， 他是等于 f p l u 再加上这样一个无穷小亮。这个 r 是谁的无穷小亮呢？索性我就给你补充上吧，他是这个 达尔特 u 去进行零的时候。这样一个无形象啊，原来是关于达尔特优的这样一个无形形的。注意啊，这个位置我们应该写上这个达尔特优，刚才写错了，那写到这一步之后的话，我们主要求的什么？你注意，我们求的是 y 对 x 求道，所以并不是单独让你求出来这个外对 u 求道呢。那怎么办？继续写先， 现在的话，我们就可以把这个达尔特 y 单独拎出来，左右两边同城达尔特 y 吧，就画圈这一部分，达尔特 u 啊，左右两边同城这个达尔特 u 就变成了 f p r u 再乘达尔特 u， 再加上 f 再乘达尔特 u。 注意，这个 f 是达尔特要求无穷小量， 所以说根据导航数的定义，达尔特快比称达尔塔 x 吧。那就变成了谁 f 撇 u wtudit x 再加上，是吗？再加上 wtutx。 注意啊， 当什么？同学们，当这个达尔塔 x 趋于零的时候，这个不就是导数导函数的定义吗？此时这个 y 对 x 进行求导啊，实际上就是他啊。好了，你看右边的话，外层是不是就是 f 片 u， 然后他是谁？ 他不就是内层函数的求桃法则吗？实际上就是谁呢？就是这个这一瓶 x 就行了。一五等于这一瓶吗？ 那他呢？他就不用说，因为他是去君零的。当达尔特 x 去君零的时候，达尔迪 u 也去君于零，是不是达尔优也去君于零？达尔迪 u 去君于零的时候，他是无情小量，这部分写成零就可以了，所以我们就不用写了。这个不就是连势渠道法则呀，写成这种样子也可以，写成这种微分计算的形式也可以，都行。那我们还是练一道题， 这道题目的话，先看谁？先看这个外层吧，外层的话，显然我们可以把它写成外等于三 t 吧， 然后内层的话可以写上 t 等于 x 方，拨洋葱法则啊，那拨洋葱法则的话，先拨外层吧，外层的话就变成了口算题了，对吧？中间是乘号，那内层的话，显然是 成一个二 x 就行。但是你要注意，我们求的是外关于 x 的这样一个导函数，所以这个 t 应该还回来，就变成了二 x， 不要写成扣三 t 啊，扣三 x 方，这就是最终结果，这不就求完了吗？写完了， 对吧？继续来看第三点，三四五是非常重要的啊，对于高等数据来说，因为一二点高中生都知道这个。第三点的话，先说这个反函数。反函数的话，之前我在讲这个，北大前期计划有一个视频已经说过这个反函数的定义，说的非常详细。那什么是反函数呢？来看， 假设这函数定域是 d， 直遇就是个 fd 了。如果对于直域内的任何一个 y， 在地中尤其只有一个 x 跟他对应，那么按照这个法则也定义了什么，也定义了这个 y， 关于 xx， 关于 y 的这样一个反函数。那么就这样来记， 一定要注意的是什么呢？这个负一不是命运算，是函数相反的，这样的运算啊，是函数取相反运算，并不是，他这个并不等加于什么，并不等加于 f i 分之一。这个错了啊，这是函数的相反运算的意思啊，并不是命运算的意思。 那对于这个反函数来说的话，他有什么需要你注意的呢？四点，首先你除了保证这个外，对 x 是唯一，这是函数的定义，还得保证一个外，只有一个 x， 这个 x 对外也得唯一，就是得一一映射这样的函数才有反函数，对吧？这样的反函数才有意义。 然后圆函数，圆函数的定域和值域，还有反函数的值域，定域正好反过来了。然后，嗯，还有另外一种记法。第三点，这个记法你看一下最后一点特别重要了，这个函数啊，和反函数，它的图像是关于 这个 y 等于 x 这条四十五度的直线对称的，比如说非常经典的 y 等于 lol， x 和 y 等于一的 x 方，这肯定是反而是个关系吧，你要把它画到坐标系里头，这两个图像大家应该非常熟悉，他肯定就是管，你看这是个一吧，这是老马 x 图像吧，然后还有谁啊？还有 ex 这样一个指数函数吧， ex 这样图像，他俩呀，就是关于 y 等于 x 这条直线对称的。 好，那讲完了反函数的颠以后，我们主要是要了解反函数的求条法则，反函数的求条法则是这么说的，是函数外的 fx 在点 x 某一领域内连续，而且严格单调， 那么这个时间就保证他一定存在，很难受啊。然后 f 片存在，而且 f 片是飞零的，这个告诉你了啊，飞零，那么他的反 函数对谁呀？对，这个点外磕到，其实这个 f 片飞零的话，就相当于什么？就相当于你不能在某一点内出现这个水平的情况，这个大家知道就行了。 那么原来就是这样一个法子，这个法子怎么推出来的？我们直接用这个微分计算的方法来证明一下就行了，非常非常的简单。左边的话，大家可以看出来是谁啊？ 是这样的外对 x， 那么你取一下这样的倒数运算，不就变成了 x 对外进行这样一个运算，然后不就正完了吗？这个真的没啥可说的。嗯，然后现在咱们来练一道例题，怎么用呢？这一道好说， 首先我们可以看出来他的这个反函数，想一想是谁呀？同学们，他的反函数。哦，我知道，他的反函数不就是 x 等于盘点的 y 吗？那如果说我们对 x 球岛，也就是阿克坦，真的 x， 这是反正切函数，那么它相当于什么呢？相当于贪，真的贪，真的什么贪，真的外撇分之一，这就是反函数的求老法则呀！这已经告诉你了， 那既然是这样，球导的话，刚才是不是算过了，正阶球岛得什么得赛肯德 x e c 正哥的平方吧，就得这样一个结果。但是别忘了，我们原来初始的函数是关外，关于 x 级辅导，你不能写成外的形式，还得还原回来。 所以还原成什么？ y 等于什么东西啊？ y 等于二个摊的，这个没法办好办，同学们一定要注意的是什么？一定要注意的是，这样一个正格和正确函数之间有这样一个关系，一加上摊着的平方，他是等于谁的？等于 等于 s e c y 的平方，等于正规的平方。那既然有这样一个公式，那就好说了， b 加上摊真的多少摊？真的 y 的平方， y 等于什么？你再还原成 x 的形式。 out， 摊真的 x， 你写全了啊，想一想运算，再来一个反函数，反函数你反两次不就是本身 x 吗？所以最终就变成了一加 x 平方分之一。原来呀，反函数的求高法则是这么用的，大家一定要记清楚是什么。如果说 y 等于 fx， 他的反函数是 x 等于 f y， 那么此时我们如果要对法函数进行求导的话，那就变成了什么呢？一定要变成这个 f i y， 然后就变成 f prx 分之一就行了。当然了，你 这个 x 外交换顺序我就变成了啊， x 位都行，就这个意思，反一下就可以。这就是法函数的求条法则。接下来来看第四点，隐函数的求条法则。隐函数求条法则的话，我们这样来理解啊，这个导航数我们默认都求的是这个外观与 x 的导航数，一定要注意了， 我们求导的时候啊，只需要将这个外看成 x 的函数，然后再结合负函数提高法则就可以了，非常简单，举两个例子，第一个例子的话，想一想， 我们球到了啊，注意这个外领肯定不是零，因为如果是零的话，这个地方他的导航数是不存在的，也就是说斜率是垂直的啊，斜率是不存在的啊，所以说这个外不等于零， 那如果这个外零不等于零的话，怎样求？这个切线方程非常好求，注意了啊，左右两边都得求到对谁对 x 进行求导？画圈这部分对 x 进行求导的话，是这样得， 就是四海啊，好说，然后这个外方，外方啊，这个外层要看成平方的形式，对吧？平方， 然后平方的形式求导以后，那不就是二 y 吗？内层，别忘了内层就是这个外撇。关于 x 这样一个导函数，那我们稍作整理，右边不是写一常数的导航数是零，应该这么写啊，一定要注意细节， 那稍微整理一下这个形式就可以了。嗯，整理之后的话，我们马上就算出来原来这个外片关于 x 他是负的多少？负二分之 x 零，然后再乘二外零分之三。为什么？因为你这个点 p 是在这个上面，我们求的是点 p 处的这样一个斜率，对不对？好了，求到这之后的话，他不就是斜率啊，同学们，斜率等于多少？我们再稍微化减一下，负四，外零分之三 x， 那求到这之后的话，你像斜律是不是知道了，然后再加上这个点点屁也知道了点 斜律指导便携式吧。那就直接写 y 减 y 零乘 k 倍的，也就是说普四 y 零三 x 零倍的 x 减 x 零，这个就是值钱方程。好了，写完了，引函数的求条法则，很多时候就是用来求什么？求取件方程某一个点出的斜率的啊，这个很好用， 继续来看第二点。哎，什么叫秘制函数啊？就是底数含有自辨量，指数也含有自辨量。这个形式的话，是不是讨论起来挺麻烦的， 我们考虑如何能对他进行降阶，就是难度一下就降低了。怎样降阶呀，别忘了左右两边直接取对数运算，那取对数的话，左边取对数就是老往外，右边取， 右边取对数，不就变成了捞啊 xx 方，根据对数运算法则，你这个指数可以移到前头来，变成系数吧。好，变成这个样子就简单了啊。注意，我们左右两边同时对 x 进行求导， 左边的话看成一个复合函数，那外层的话就是外分之一，内层还得成一个外片，对不对？外片 x， 然后右边的话直接进行求道，这不就多简单呢，是不是右边进行求道就变成了谁老往 x 再加上一。 那所以说外篇外，关于 x 这样一个函数，他的导函数就是这个 y 再乘一加 lowex。 注意， 你右边必须写成 x， 因为我们求的是导函数啊，是外观与 x 的这个关系，最终就变成了 x 的 x 方，然后一加捞 x。 原来呀，对他进行求导是这样的。 那我可以留一个作业啊，大家自己练习一下。什么作业呢？如果我写成了这样一个更高级的形式， x 的 x 的 x 方，哎，这个作为第一层的这样一个指数，然后 x 作为第二层的这样一个指数，然后你对他进行求道，得什么呢？自己算啊， 然后继续往后最后一点，第五点，参数方程结束的方程。首先两类可以变为一类的啊，我说一下 参数方程啊，只还有一个参数， x 可以变成关于 t 的这样一个参数方程， y 也是关于 t 的这样一个参数方程， 通过这样一个参数 t 就把这个外和 x 关系连理出来了。那求同法则的话，我把中间过程也写出来了啊，那分子的话不就是对于什么这个是 plusit 片，然后 fit 片啊，对于分 分子分母，也就是 y 和 x 关于 t 的这样一个函数，分别求导就可以了。那所以实际非常简单啊，我们直接求了啊，这个 y 片关于 x 的导函数，那不就是多少？分子的话是对他进行求导吧，也就是 b 三 t 对 t 进行求导啊， 啊，然后这个分母就变成什么了？然后分母的话不就变成了这个 a 口算题， 然后再求导，然后他说了是替在哪？替在四分之派，那我们最后把这四分之派带入就行，然后求导的话，分子求导得的是多少啊？得的是这个 b 乘口三， 然后这个分母的话啊，有一个负号，负 a 乘三 t， 所以最终的话就变成了多少，就变成了负 a 分之 b， 这个是多少呢？是扣三 t， 然后三 t 好，把 t 等于四分之拍带入， t 等于四分之拍带入。以后的话，我们最终得怎样一个结果啊？大家告诉我，我们最终得的结果就是负 a 分之 b， 最终得出来分子分母都是二分之根号二吧，带入以后，所以这个结果不就是负 a 分之 b， 也就是说呀，在这一个确定的点处，他的斜率是等于多少？他的斜率就是等于负 a 分之 b 的，但是这就够了吗？ 斜律知道还得知道过哪个点吧？点的话，比如说，当 t 等于四分之派的时候，我们假设他过的某一个点呢，是点 a， 然后你把 t 等于四分之派，但如果啊， 嗯，这个 x 横度不就是二分之根号二乘以吗？然后把 t 等于四分之派带入第二个，那不就是二分之根号二乘 b 吗？好了点，知道了斜律，知道了直线 电斜式吗？ y 减去谁二分之根号二 b， 然后等于 k 倍的负 a 分之 b 多少？ x 减二分之根号二倍的 a， 这就算完了。原来啊，参数方程确定的函数，他的求高法则这么的简单。我们来看最后一点， 最后一点的话实际也可以啊，极速快方程。极速快方程的话，首先你得把这个 x 还有外得表出来吧，这个 x 显然是这么表示的，然后外是这么表示的，哦，是这个意思， 那么实际上就转换成了 x 关于 c 的这样一个参数方程，外关于 c 的参数方程， c 的就是那个参数，那剩下不就是一个参数方程的求老法则？中间就是这样一个运算，你自己可以算一下，最后呢，给你留一个作业， 最终答案，你自己算完之后再对答案啊，答案呢，就是这样一个结式，当然我没有化解啊，你自己可以最终再化成这样的标准方程，一般方程都可以。那这节课我们就讲到这啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是山峰老师，下节课再见。

这个视频我来讲讲怎么求法函数。前面讲过，对于 y 等于 a 的 x 次方，如果用 y 表示 x， 那 x 就等于 log a y。 接着美观一下，把自变量换成 x， 因变量换成 y， 就得到 y 等于 a 的 x 次方的反函数了。 通过这个例子，咱可以总结下求反函数的方法。第一步，先把原函数反解 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把自变量换成 x， 应变量换成 y。 总结完毕，来试个题吧。比如 y 等于 log r， x 加二再减二，它的反函数是啥呢？ 用刚才的方法，第一步，先反减 x logo， x 加二就等于 y 加二，那 x 加二就等于二的外加二次方，所以 x 等于二的 y 加二，次方，再减二。接着第二步，美观一下， 把自变量换成 x， 应变量换成 y， 这样就求出反函数了。刚才都是两步搞定反函数，有时候还得考虑定义的问题，比如我给原函数加个定语， x 大于等于零，小于等于二， 那反函数是啥呢？这回原函数有定义，那他的反函数也得写出定义域，他的定义其实就是原函数的直域。来看看原函数，先求帧数的范围， x 大于等于零，小于等于二，所以帧数 x 加二就大于等于二，小于等于四。 对于 log 二， x 加二，底数大于一，那在二到四上是单调递增的，所以在二处取到最小值 log 二，二等于一，在四处取到最大值 log 二，四等于二，所以 log 二， x 加二大于等于一，小于等于二。 再看函数 log， 后头还得减去二，那 log 的范围也得减去二，所以直域就是负一到零， 对应到法函数中，就是定律为负一到零，这样就搞定了。像这样，如果元函数有定义，那求法函数就得变成三步，前两步是不变的。第三步还得把元函数的值域求出来，作为法函数的定义。 用这种方法，咱还能求出分段函数的反函数，比如在原来的基础上增加，当 x 大于等于负二小于零时， fx 等于 x 方，你能求出他的反函数吗？ 函数是分段的，那法函数也分段球就行。 x 大于等于零，小于等于二十，他的法函数刚才算过了，是二的， x 加二次方再减二，并且定义为负一到零，还得算算 x 方的法函数。第一 步，先反解 x， 那 x 就等于正负根号 fx。 注意， x 大于等于负二小于零是负的，那 x 显然等于负根号 fx。 接着第二步，把字变量写成 x， 因变量写成 y。 最后要写上定义，也就是求圆函数的直域 x 方显然在负二到零上是单调递减的，所以最大值是负二的平方等于四，最小值接近零的平方，也就是零。所以 x 方大于零，小于等于四，那反函数的定义就是大于零，小于等于四。 把求得的这段法函数和刚才的写到一起，这样就搞定了。好了，以上就是法函数的求法，用三步就能搞定。第一步，反写 x， 用 y 表示 x。 第二步，美观一下，把字变量写成 x， 应变量写成 y。 第三步，写上法函数的定义，也就是元函数的值誉。怎么样，学会了吗？如果会了，就速度去刷题吧！

我们来看一下返函数的求解过程，那其实对于返函数的求解过程，我们这里用到的思想非常简单，我们把原函数里面的 x 变成 y， y 变成 x， 其实就可以得到它的返函数，也就是原函数里面的 x y 互换，我们就得到了 它的反函数表达式。那比如说我们求 y 等于三， x 减一，它的反函数，那现在我们把 x y 互换， x 等于三， y 减一，那从这个表达式里面，我们把 y 解出来，即得到了它的反函数三分之一 x 加一，那这就是它的反函数， 也就是将 x y 互换，我们就得到了它的反函数。 那下面我们再来看两个例子，求 y 等于 e， x 以上， e x 加一这个函数的法函数， 那同样的，我们把 y 变成 x， x 变成 y， x 等于 e 的 y 次方比上 e 的 y 次方加一，那从这里呢，我们把含 y 的放在一侧，含 x 放在一侧，来解一下 e 的 y 次方，它就等于 e 的 y 次方加一乘以 x， 那我们把 e y 放在一侧，可以得到，它等于一减 x， 它就等于 x， 那于是我们得到 e 的 y 次方等于 x 比上一减 x， 那我们左右两边同时取对数，我们可以得到 line e y， 它就等于 line x 以上一减 x， 那左边它是 以异为对数，所以呢，我们可以得到 y 等于 long， x 以上一减 x， 那这就是它的反函数。 那再比如说， y 等于根号下 x 减一的三次方，我们来求他的反函数， 那同样的，我们把 x 变成 y， y 变成 x， 然后呢，我们把 y 解出来，可以解出来 y 等于 x， 三次方加一，那记这个就是他的反函数，那其实这里用到的思想非常简单，也就是 逆向思维思想，我们把原函数里面的 x 变成 y， y 变成 x， 然后解出 y 即可。