九上数学圆形的旋转的几种经典题型

哈喽，各位家长们好，如果你家也有初三的孩子，那么请停留一会。现在已经是十二月份了，安徽现在初三的学习进度已经学习到了九下的内容，那随着时间的推移，数学的学习难度在逐步的增加， 各科也在不断的瓜分孩子们的学习时间，为了更高效的学习，我会紧跟着学校的学习进度，实时的把数学每一节的重难点内容 把它总结成一个视频，总结成视频，然后方便孩子们的学习和巩固。好的，废话不多说，咱们现在直接开始 那九下的开篇。第一节的内容就是关于旋转的，那旋转中常考的几何模型有五大类，第一类就是我们的手拉手模型，夹板角模型，还有一线三垂直啊三类了，然后还有 奔驰模型和废马点模型这五类。那么我们讲了手拉手模型，夹板角模型和一线三垂直模型这三个呢， 在八年级上册就已经学过了，就已经学过了，那么他的难度不会大，不会太大，那现在主要就是我们的废码点模型和奔驰模型这两类，这两类学校不一定会讲他，但是考试就会考到，如果考到他的话，他一般会出现在我们的选择题和填空题的压轴题当中， 那么如果你没有做过，那百分百是会做错的。好，我们现在就来重点去学习一下费马点模型和奔驰模型。好的啊，接下来我们来讲费马点模型。费马点模型，首先我们来看一下费马点，它的背景是什么啊？背景是看 在三角形 abc 所在平面上，求一点，要求一点使它到三个顶点的距离之和最小。 那这个问题是数学家费马向意大利的物理学家所提出来的，所求的点叫做费马点，是所求的这个点叫做费马点， 是什么意思呢？也就是说在三角形 a、 b、 c 这个平面上，这个平面上有一动点屁，动点屁屁在哪里不知道， p 哪里不知道，但是他说了他要干嘛要让求这个 p， 这个点 p 到 p a、 p、 b、 p、 c， 那 么这三个线段的和最小的时候，这个点在哪里？ 这个点在哪里？那么所求的这个点就是我们的什么飞马点啊，也就说动点 p 到 p、 a、 p、 b、 p、 c 三个点的距离之和最小， 那这个点在哪里呢？这个点在哪里呢？我们来看啊，这个洞点，它就在当三角形 abc 三个内角均小于一百二十度时，这有个前提啊，三角形 abc 三个内角均小于一百二十度时，费马点在三角形 abc 的 内部。 哎，为什么要给他加一个前提呢？为什么要加一个小于一百二十度的前提呢？那么如果他三个内角均大于或者是等于一百二十度， 有没有分码点？有没有？这个点也有啊？也是有，但是我们现在初中阶段，它只要求我们去掌握三角形 a、 b、 c 三个内角均小于一百二十度时，它的证明的方式啊，它的步骤怎么去做好？首先它有个前提是三个内角均小于一百二十度时， 费马点是在三角形 a、 b、 c 的 内部，在 a、 b、 c 的 啊，在这个三角形 a、 b、 c 的 内部，内部，而且这个点使得什么这三个点相连之后，这个角 a、 p、 b、 a、 p、 c、 c、 p b 都等于一百二十度， 那只有这样的时候， pa 加 pp 加 pc 的 取得的值是最小的，那为什么呢？为什么呢？那么现在我们来证明一下啊，我们来证明一下，我们来进行一个严谨的逻辑证明。那么我们首先要知道费马点，它的特征是以动点 p， 这个动点 p， 它干嘛？到三角形三个顶点的距离之角到三个顶点 三个顶点的距离， p a 加 p b 加 p c， 干嘛和最小啊？和最小 我立马就能回想起来，我之前就好像讲过有两个线段和的最小值是不是？那是将军印码。现在我们来讲三个线段和的最小值是什么？是我们的飞马点模型啊，好， ok， 它的特点，这是它的特点啊， 那现在我们来看一下，那我怎么去找这个点呢？我怎么去找这个点呢？啊？我们要利用旋转，我们要利用旋转， 那怎么旋转呢？往哪里旋转呢？顺时针还是逆时针呢？好，我们来看啊。首先我们在三角形内部任意画一个点， 那么这个点把 p a、 p b 三个顶点相连，我们看到是不是把这个大三角形分成了三个小的三角形，对不对？好，我只要任意旋转其中一个小三角形就可以 旋转，哪个呢？你看 a p b a p c 和 b p c 随便旋转。那么我们现在来旋转 a， p c， 我 以点 a 为旋转中心，以点 a 为旋转中心，旋转三角形 a， p c， abc， 往哪旋转呢？然后你去思考了，往哪里去旋转？往哪里旋转？向外旋转啊，向外旋转。如果你旋转是 a p b， a p b， 那 就向这边旋转啊，向外旋转， 如果你旋转 b p c 以点 b 有 旋转中心，那你就向外旋转就行了。好，向外旋转多少度？旋转六十度，旋转六十度。为什么旋转六十度？旋转六十度是为了构造出等边三角形啊？为了构造出等边三角形， 那好，那我们来看一下啊，那我们现在现在旋转 a p c 这个三角形 a p c 这个三角形。好，那向外旋转六十度，向外旋转六十度，向外旋转六十度，那 ap 旋转六十度。 好，然后这个再旋转六十度。 好，你看我们现在已经把三角形 a p c 三角形 a p c 旋转到这了，旋转到这个位置了，是吧？旋转了六十度，那旋转六十度后，我现在把它的名命名给它标上，那这是 p 点，旋转到这就是 p 一 撇，是不是？ c 点旋转到这就是 c 一 撇。好，然后 再连接 pp 一 撇，再连接 pp 一 撇。啊，那现在把这个旋转六十度，我给它标上。好，那现在我们来看啊，它现在题目不就是问我们 p a 加上 p b 加上 pc 这三个线段合吗？对不对？那我看这三个线段它又不在一条线上，我没办法具体去算啊，那怎么弄呢？我要把这三个线段转化出去， 转化啊，转化到一条线上去，什么叫一条线呢？你看啊，那现在这个 p 点是不是在动啊？ p 点是不是在动？在另一个位置，那 p 点在动的话，那 p 撇点就在动了，对不对？ p 撇点就在动，那 p p 撇是在动的，那现在我们看，你现在旋转六十度，你旋转的话，三个边相等，三个角是相等的，对不对？好，对应边是相等的，那现在 ap 就 能转换到 ap 一 撇上去了，对吧？ pc 就 能转换到 p 一 撇， c 一 撇上去了，对不对？好，现在我们来看，本来是求这三个线段的和，那现在我只要，我现在不求它了，现在求干嘛？ pp 还是 pp？ 那 ap 呢？ ap 是 不是就等于 pp 一 撇啊？那有的同学，为什么 ap 等于 pp 一 撇？因为现在它是一个等边三角形，为什么？你把这个三角形往外旋转之后，旋转过后， ap 是 不是等于 ap 一 撇， 对不对？好，那这两个相等，然后又旋转的是六十度等腰三角形，有一个角是六十度，那么另外两个角它也都是六十度，所以它是个等边三角形，等边三角形的话， ap 就 等于 pp 一 撇， 是不是？ ap 等于 pp 一 撇，然后 pc 呢？你又旋转出去了，是不是等于 pp 一 撇？ c 一 撇？好，那现在求这三个线段的和，其实讲白了，它就相当于是求这三个线段的和， 求这三个线段和，那这三个线段的和的最小值是多少呢？是哪里呢？那我们之前在初一就已经学过，两点之间线段最短，对不对？ 你 p 点在动， p 撇点在动，但是你什么 b 点和 c 撇点是不再动的，它是个定点，那么我只要连接 b、 c 撇，这样一连，这个线段的长度就是我们的什么最小值，这三个线段和的最小值啊？为什么呢？我给你们举个例子啊，给你举个例子，现在宝贝，这是一个定点， 这是一个定点，这是一个定点，那在这里面，在这里面任意画啊，这是屁点，屁屁点，因为屁屁屁，它不是在动吗？对不对？这两点在动来动去，动来动，随便动。那你既然在动点，在动的过程当中，那什么时候才能让这三个线段合最小呢？ 只要把这个相连相连就可以了，这个两个定点相连，那么这个长度就是这三个线段合的最小值啊？为什么？为什么？就当屁运动到这个位置，或者屁也运动到这个位置，那么 它们三个三条线是不是就在一起了？在一条线上叫两点之间线段最短。 ok， 好， 有点废话了啊。然后我们再来，现在我只要干嘛？只要让 bc， 他 现在是在 bc， 也是在一条线上了，对不对？那在一条线上的时候，那么这个线段和是最小的呀？好，既然在一条线上了，那既然现在已经是一条线的话，这个角是不是六十多？这个角是不是六十多？那六十多的话，那这个 ap a p 这个角 a p p 是 不是就是一百二十度了，对不对？好，再来，那这个角也是六十度，对不对？因为它是个等边三角形啊？等边三角形，那这个角也是六十度，那这个 a p 撇 c 是 不是也是一百二十度了？ a p 撇 c 是 不是等于这个角呀？对不对？你是 a p c 旋转出去的嘛？所以这个角是一百二十度，那你这个角也是一百二十度那一圈，那这个呢？不就也是一百二十度？因为一圈是一个周角，是三百六十度，对不对？好， 有，这三个角是一百二十度的时候， p a 加 p b 加 p c 的 和最小，对吧？啊？ ok， 我 们就证明出来了，我们就证明出来了啊。 那可有同学有疑问，那如果假如碰到我们三角形 a b c， 它大于或者是等于一百二十度时，这个分码点在哪呢？分码点在哪呢？分码点就不在这三角形内部了啊，三角形不在三角形内部了。是，先首先是找到这个三角形最大的那个角，最大那个角好比 画一个三角形，嗯，这个三角形，这个角是一百五十度，现在让我去在这三角形内部找一个点，找一个费马点 p， 让 p， a， p、 b， p、 c 的 和最小。这个点在哪里呢？就在最大角的顶点上面，就在这个点，这就 p 和 a 重合了， 就在这个点上面啊，好，但是这个不要求掌握。好啊，好，我们现在看一下例题啊，练习， 首先读题，在直角三角形 a、 b、 c 内部有一动点 p， 有 一动点 p， 然后角 b、 a、 c 等于九十度。好， b， a、 c 等于九十度。把信息往上标啊， b， a、 c 等于九十度，这是九十度，然后角 a、 c、 b 等于三十度。角 a、 c、 b 等于三十度，这个角是三十度， 这个角有三十度连接 p， a、 p、 b， p、 c， 若 ab 等于二，他说若 ab 是 二的， ab 是 二的，那么问你 pa 加 pa 加 pc 的 最小值是多少？这三个的最小值是多少？ ok， 好 的， 那现在我们来看啊。哎，那我通过审题，我立马就发现这个题目它就是费马点的题型啊，对不对？它就是费马点， 为什么呢？我们刚刚讲了，费马点是三角形的内部有一动点屁，内部有一动点屁，让 pa 加 pp 加 pc 动点屁，与三个顶点的连线合得最小值， pa 加 pb 加 pc 合得最小值。是不是？哦，立马就想到了，这是费马点， 那费马点怎么做呢？费马点怎么做呢？啊？我刚刚讲了，费马点，我们要干嘛？要旋转 六十度，对不对？要旋转六十度，那旋转六十度，我刚讲是怎么旋转呢？是向外旋转，那这个动点 p 将三角形分成了三个小三角形，任意旋转其中一个都可以，对不对？任意旋转其中一个都可以啊，好，那现在我们来看， 现在我们结合到题目来做，题目里面给了个说，啊，这是六，这是三十度，这是九十度，那我这个是二，我立马知道这是含有特殊角的直角三角形，对不对？你含有特殊角，那么我现在就知道了，这个长度是二的话，这个长度是二的话，那么 还有三十度角的直角三角形。三十度角所对的边是斜边的一半，所以 bc 是 四， bc 是 四，那么 ac 呢？就是二倍根号三，对吧？ ac 就是 二倍根号三。 ok， 好， 我们理了解就行了。然后我们再来看，那现在我要开始旋转了吧，对不对？我要旋转哪个三角形呢？ 那我现在想呢，我旋转 a p c， 我 以点 c 为旋转中心，我旋转 a p c， 那 我为什么会旋转三角形？ a p c， 你 们旋转其他的行不行？旋转 c p b 也行啊？旋转 a p p， 那 也行，都可以， 那么你旋转 app 只是计算得稍微复杂了一点啊，那我旋转 a p c a p c， 为什么我要旋转 a p c， 因为我现在要向外旋转六十度，那既然是向外旋转六十度，我立马就能发现，旋转六十度之后，它与这个三三十度的这个角能构成直角三角形。 好，我们看一下啊，把它旋转，旋转好，旋转六十度，旋转六十度后，然后再来 调整一下， 调整一下，好， ok， 这样的话，然后再把它命名，命名上这是 p 一 撇， 这是 p 一 撇，这是 a 一 撇，是吧？好，然后连接 p p 一 撇，连接 p p 一 撇， ok， 这样一粘就可以了。那现在我们来看啊，粘上之后，粘上之后，我现在就知道了，要求这三个线段合的直角值。啊，那我看 你是把这个三角形向外面旋转旋转到这了，是不是？那 p a 就 到这来了？ p 撇 a 撇了，对不对？然后 p c 就 到 p 撇 c， 是 不是这里？好，那现在我知道了，你是旋转的多少度旋转的这个角啊，一定要看好了，拉大一点。 是，你看 pc 是 在这，对吧？你旋转到这，所以就这个角是六十度啊，这个角是六十度，用这个 这个角为六十度，那这个角为六十度的话，那现在这个三角形是什么三角形啊？等边三角形，对不对？它是个等边三角形，那就是 pc 等于 pp 一 撇了，是吧？好， pc 等于 pp 一 撇。哦，那我们看你 pa 等于 p 一 撇， a 一 撇， pc 是 等于 pp 一 撇， pp 在 这里。那么求 pa 加 pp 加 pc 这个线段合的角值，讲白了就是求 b p p p 一 撇 a p 撇，求这三三个线段合的角值是不是？那这三个线段首尾相连的情况下，它们什么时候最短呢？什么时候最短呢？直接就是 a 一 撇， 直接就连上 a 一 撇 b， 就 可以直接这么相连就行了， 对吧？那最小值不就是 a 一 撇 b 了吗？好，现在我开始要求这一个三角形去求 a 一 撇 b， 那 现在求 pa 加上 pb， 加上 pc 最小值，它不就等于 a 一 撇 b 了吗？可，对？好，那现在我们看，你既然旋转六十度，旋转六度的情况下，那这个角 是不是直角啊？大家看一下能不能算看出来这是个直角啊？因为这条边向外旋转六十度，旋转到这是不是旋转到这，那这个角是六十度，加上这个角为三十度，一加这个就是九十度， 这九十度的角，那九十度角现在要求这条边，那我可以利用勾股定力啊，对吧？好，这里给了一个四，是不是？那现在 a 撇 c 的 长度为多少呢？ a 撇 c 啊，等于 a c， 因为它旋转过来的嘛。好，那这是二， 那 a c 呢？就是二倍根号三，你 a c 是 二倍根号三，你 a 撇 c 不 就是二倍根号三了吗？对不对？那么我立马就知道， a 撇 b， 它就等于开根号下的 开根号下的 a 撇 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，然后算一下它就可以算出它的最小值了，对吧？ ok， 好， 这就是我们的飞马点模型。