七年级数学动角题型及解题技巧书

脚的运动问题是整个七年级阶段最难的一个板块，他不仅对于学生而言难度挑战非常大，而且对于老师而言也会觉得他非常的麻烦。那么在接下来的一系列的视频里面，我们将带领大家来用一种全新的思维和方法来搞定这类难题， 而这个方法在参考答案上面也是找不到的，那么今天我们就来看看到底要学到什么样的程度才可以把动脚问题全部拿下。 首先动脚问题的综合我们一定要从三个方向来进行讲解，第一个就是首先我们要学会它的通用公式。第二个大家会发现很熟悉的一个内容，那就是要用数轴动点的思想加上五步法来解决这个问题， 你会发现速走动点我们其实也是有四步法的，那么现在我们将速走动点的思维引入到动脚里面也是非常适用的好。第三个呢，我们将带领大家用三道例题的实战，让大家彻底的攻克动脚的难点。 那么今天第一个视频我们先来给大家讲讲通用的公式是什么。首先第一个我们先要学会表示出动线的位置公式，就等价于数轴动点里面的动点的位置。第二个角平分线的位置公式，它其实也是等价于数轴动点里面的终点的位置， 所以说这些内容都是和我们的数轴动点结合起来的好。第三个呢，就是角的表示公式，这个呢就像是数轴动点里面两点之间的距离公式，所以数轴动点的那些内容，如果你掌握好了，学习动角应该是非常适用的。 好，那么接下来我们首先看第一个动线的位置公式，我们先看一下这个图形，图形中角 a o b 呢，是等于六十度的，然后这个地方在 o a 上面有个点，一，在 o b 上有个点 f o e 围绕着这个地方的 o a 是 吧？做一个逆时针的旋转速度为三度每秒， 而 o b 呢，绕 o f 绕折点 o 顺时针旋转速度是五度每秒，他问我们七秒钟以后 o e 在 哪里？ o f 在 哪里？ 好，在这里呢，我们就要引入数轴动点的思想了，就像我们在学习线段的运动一样，我们要建立的是数轴，那么现在在角里面，我们没有办法去建立数轴呀， 因为竖轴就是一条线，它是一个点的两个方向的来回运动，而这个角的话呢，它是一个旋转的运动，那我们就可以类比它来做。比如说现在呢，我们可以先把整个 o a 看是我们的竖轴动点里面的圆点， 也就说我们将 o a 看作是一个零度的一个位置，那么接下来我们来看它的正方向，我们就相对于 o a 这个水平线为零度，那么把它的逆时针这个方向我们标记为正的方向，所以首先第一步呢，就类似于我们要建立竖轴。 好，那么现在 o b 呢，在最开始和 o a 的 夹角是六十度，也就是说 o b 是 用 o a 逆时针转了六十度以后所到达的位置，所以 o b 所在位置呢，我们可以记住是一个六十度的位置， 所以这就是用一个位置方位来表示出这个每一条线所在的地方。好，那么现在他问 o e 对 应多少呢？那我们知道 o e， 它就相当于是竖轴动点的动点， o e 是 从 o a 的 位置开始旋转的，那么 o a 的 位置呢？它是一个零度起点的位置，然后它是一个逆时针方向，所以是一个正方向，我们就加， 那么它的这个运动速度是三度每秒，那么时间是 t， 所以 用零度加上三度乘以 t， 就是 我们 o e 所对应的位置，这就相当于是动点的位置。 好，同理呢，我们来看 o f， o f 呢，是从 o b 的 位置出发的，而 o b 的 位置呢，它是一个六十度的位置， 现在它是一个顺时针旋转的，而逆时针方向是正方向，所以顺时针就类似于反方向，就是竖轴动点里面的这个负的方向。所以呢，我们就应该来减去用五度来乘以 t， 所以这就是动线的一个位置的表达公式。我们首先要确定零度的位置以及正方向， 接下来呢，再根据我们竖轴动点的用起点左减右加的方式来引入到动角里面就可以了。好，这是第一个动线的位置公式。 好，接下来我们看一下角平分线的位置公式，那么角平分线的位置公式其实就等价于是终点的公式。我们首先还是看一下这地方，先粗尺化，将 o a 这里记作零度， 那么 o b 这里呢，就可以记作是三十度，现在 o e 呢，从 o a 是 吧？是一个逆时针，我们就把逆时针方向呢一样的记作一个正的方向。 好，他说在运动的过程中， o f 平分角 b o e 啊， o f 平分角 b o e， 现在他问七秒钟以后 o f 在 哪里呢？那你思考一下，我们在表示中点的时候，是不应该先把动点表达出来， 所以我们首先第一步呢，先要把运动的线 o 一 啊，给它表示一下， o 一 从零度是吧？是一个逆时针正方向的旋转，所以零度加上六度乘以 t， 所以 这就是 o 一 所在的位置。 那么现在 o f 平分 b o e， 那 怎么表示 o f 呢？好， o f 平分是角， b o e， 其就相当于 o f 在 哪里？在这个 b o e 这个角的中间的位置，那么这个角它的两边呢？它是分别 为 o b 和 o e 的 中线的位置，所以就类似于可以用中点来进行表示的呀， 对不对？好，那我们在这里的话呢，我们来怎么表示它呢？我们看一下，那就可以类似于用 o b， 它对应的数呢？最开始是三十度，而 o e 呢，是一个六度乘以 t， 对 不对？所以此时我们就可以引入终点的表达公式，所以 o f 呢，应该就是它们俩的终点位置，也就是它们的平均数，我们就只需要将它相加，然后除以一个二 就可以了，所以这样呢，我们可以得到十五度加上三度乘以 t， 这就是 o f 的 位置。但是这你要注意了， 它和我们的动点的钟点公式会有一定的区别，所以这也是动角的难点之处，有什么区别呢？那我们知道角在旋转的过程中它怎么样呢？它会转到比较大的位置，而我们在初中阶段所研究的角都是在一百八十度里面的， 什么意思呢？我们来给大家看一下啊，比如说现在的话呢，这个 o e 在 转对不对？那你说，如果说你转的比较少，哎，到这里来，那么角平分线就相当于在这个中线的位置，这个没有问题。 好，那么现在如果把它继续往那边旋转，比如说我们现在把 o e 转哪来呢？看一下啊，如果转着转着转到这来啊，这个时候的话呢，那么中间就应该是这个位置， 对不对？但是如果说，哎，你发现什么问题？如果说他在旋转的过程中他往下了，哎，那这个时候的话呢？啊， o e 在 这里，那么此时的话呢，相当于转到这一个地方来了，是这一个角的角平分线， 所以用中点的公式去表达，我们得到的实际上是这个 f 的 位置，但是你要注意，我们研究的角是小于一百八十度的， 所以当我们这个角 b o e 旋转到这边来超过一百八十度的时候，那么实际上我们研究的角应该是这一个角，所以这个时候的角平分线应该在哪里？应该在原来的延长线上面， 所以我们刚刚所表示的这个角是二分之，这个东西，对不对啊？二分之我们把它选出来，就是 o e 和 o b 所在的这个线的位置， 但是如果说运动的角度已经超越了 ob 的 反向延长线，它超越了一百八十度的时候，那么此时真正的 o f 应该在它的这一条线呢，这才是真正的 o f。 好， 那么这个 o f 和原来的 o f 和我们用公式表达出来的 o f 之间有什么关系呢？你会发现我们只需要将它再加一个一百八十度就可以了， 所以说这个时候你就会发现角平分线的位置我们是需要进行分类讨论的，所以这点极其重要，而分类讨论的这个非常重要的位置在哪里呢？那就是我们要搞明白 此时的这个 o e 在 旋转的过程中有没有超过 o b 的 延长线， 对吧？也就说此事的话呢，这个地方 o 一 转到这里来，在这个之前我们用这个公式表达没有任何问题， 所以还有一个非常重要的临界时间，那你说他转到这里来转了多少度呢？你会发现这个地方是一个平角一百八，这里是三十，所以他转动的角度是两百一十度， 对吧？所以用两百一十度要来除以一个六度，所以说我们可以到应该是等于三十五秒钟的， 对吧？那也就是说我们正讲的表达应该是分两种情况，如果说你的运动时间没有超过三十五秒， 那么在这种情况下面，我们表达出了 o f 的 位置，用刚刚的钟点公式来表达没有任何问题，就是十五度加上三度乘以 t， 但是如果说你的这个时间超过三十五秒啊，注意在这里呢，我强调一下，一般来说我们在研究的过程中不会让它超过一整圈， 因为超过一圈的话呢，就相当于又重复了，所以说我们一般是不会让它超过一圈的，那你知道速度是六一圈，是三百六十度，所以一般情况下面都会小于这个六十， 所以在这个时候它就超越了一百八，那么 o f 就 应该在原来的基础之上再给它加上一个一百八十度，所以这就是角平分线的表达方法， 它和竖轴动点的运动中的中点是类似的，但是呢，要注意下讨论它和动点也是有区别的。好，那么这就是角平分线的位置的表达极其重要，考的也非常多。好，接下来我们看第三个，就是角的表示公式。 好，比如说这个图中啊，这个角 a o b 呢？三十度 o a 呢？我们还是记作零度， o b 记作三十度，逆时针方向为正方向， 那么 o 一 呢？在转动，他问我们这个 bo 一 是多少度呢？听一秒钟以后。好，那我们知道表达角的度数，我们看啊，这个角 bo 一 呀，那么它写的是由两条线，两条边构成的，一个是 o b 治疗线，一个是 o e 治疗线，所以说呀， 角的表示就类似于竖轴动点里面两点之间的距离，所以我们来看 o b 的 位置呢，它是三十度，不会发生改变的，而 o e 呢？哎，我们可以表达出来吧，对不对？它是从 o a 开始逆时针旋转，所以就是一个三度乘以 t， 这就是 o 一 的位置。那么现在这个角 b o 一 的表达方法就类似于数轴动点上面两点的距离，那么两点的距离就应该是用大的减去小的。 那么现在你看 o 一 和 o b 的 话，它们的大小知道吗？你会发现刚开始 o b 比 o e 大， 但它一定会超过去的， 对不对？所以说你会发现我们这两者的大小，不知道，不知道，没关系啊，我们可以相减加绝对值，所以我们就可以用三度乘以 t 减去三十度的绝对值。好在这里也会出现刚刚角平分线的问题， 因为我们说过，我们研究的角都应该是不超过一百八的，那么现在它在转动的过程中，它们两者做差的话，你会发现 o e 转到这来，那么这两条线的差就这个角没有任何问题， 但是呢，它也有可能会超过一百八十度，比如说我们现在的话呢，当 o e 转到这一个地方来的时候，那么 bo e 不 就是一百八了吗？对不对？所以同样的道理，我们还是要以这个作为一个时间的节点 好。我们看一下，那就是相对 o 一 转到这一个位置来，还是运动了两百一十度，对吧？然后用它来除以三度，就应该等于七十秒， 所以在七十秒之前呢，这一个是没有问题的，但是如果他超过了七十秒以后，那就不一样了吧，所以我们也要进行分类的讨论。第一种情况，如果他的运动零小于 t 小 于等于七十的时候， 那么这个角 b o e 呢？就是他们俩相减大减小不测大小吗？加绝对值三度乘以 t 减去三十度的绝对值好。第二种情况，他超过了七十，但是没有超过多少呢？我们说一圈吗？对吧？三度啊，这个地方应该是等于一百二十的 好，那么在这种情况说明这个 o e 啊已经超越到这里来了，所以我们用 o b 和 o e 作差，表示出来，其实上是这个角，但是我们真正需要的是哪一个？其实是这个 对不对？所以这个角呢，用三百六十度来减去这个角不就可以了吗？所以我们这个时候的角 b o e 就 应该用三百六十度来减去刚刚的那个角， 所以这就是角平分线以及角的表达方法里面或涉及到的分类讨论，当然了这个地方是可以化解的，为什么呢？因为 o e 此次已经超越了 o b 了，所以 o e 呢，一定是比 o b 大 的，所以绝对值啊可以不要了， 把绝对值去掉以后，当然这个绝对值我放这里可以啊，是为了让大家明白它的形式上面具有什么样的特征，所以这三个最基础的也是非常非常重要的公式，如果你这些都掌握不了的话，那么后面的动脚的预算包括分类讨论就会非常的麻烦。 好，当然呢，我也给大家整理了这三类公式的一个图，大家把这个图啊，把这个公式啊给他记下来的话，我想再来学习后面的实战例题的话，就会非常容易了， 那么今天我们就第一个内容给大家讲到这里，如果大家觉得还可以，觉得这个方法不错的话，可以关注我们，下一次继续来给大家讲解，用五步法标准的五个步骤来解决所有的动脚问题。

七上七木必考的压轴题一定有角度动态中的新定义问题，我们一起来看这道题。已知射线 o c 在 角 a o b 的 内部，那么这里共有三个角，角 a o c、 角 b o c 以及 角 a o b， 其中一个角的度数是另一个角的两倍，那么就可以称射线 o c 是 角 a o b 的 奇 妙线。这是一道非常典型的角度动态问题中的新定义问题，考法非常的综合这个视频，韩老师带你 彻底学会动角问题的答题方法。同时韩老师已经把角度动态所有题型全部整理到了这套角度动态七大培优题分专题中，给孩子练一练，期末考试拿满分。我们一起来看这道题。那么这里我们首先要理解题页 o c 一定要在角的内部， 其中一个角是另外一个角的两倍的时候，咱们才能是奇妙线，那于是我们读题，已知角 m p n 是 等于六十度， p q 是 绕着点 p 从 p n 开始逆时针旋转，并且是速度十度 每秒，当角 q p n 首次等于一百八十度的时候，就停止旋转，设时间为 t， 问 t 为合值的时候。射线 pm 是 角 q p n 的 奇妙线，那么这道题首先要解决第一个问题，就是奇妙线 一定是要在角 q p n 的 内部，那也就意味着 p q。 此时我们是旋转到了 pm 的 左侧，那么在这里就会有三个角，一个角是贝塔角，另外一个角是整个大角， 要使得它是奇妙线，那我们就是这三个角中其中一个角的度数是另外一个角的两倍，那于是第一种就是 r 法等于 r beta， 那 么第二种其实就是 beta 等于 r beta， 那 么第三种就是 r 法，是等于整个大角的一半，或者第四种 beta 是 等于整个大角的一半，但是你会发现咱们的 pm 是 角 q p n 的 角 p 顶峰线，那么这里我只需要用动角问题的核心解析方法，将角用时间速度表示出来以后，去列等量关系即可，那我们要表示的其实就是 p q 这条射线，我们的 p q 是 从 p n 出发，逆时针以十度每秒的速度旋转，时间为 t， 那 它旋转的度数永远都是十 t 度，那这个时候由于这里是六十度，那上面的这个耳发角的度数永远就是十 t 度减去六十度，那所以说此时我们各个角的度数都表示出来了，那我们就只需要去列关系式，那于是第一种情况 就是咱们的阿尔法等于二贝塔，也就是十 t 度减去六十度，等于二乘一百二十度，那么这里我们不难解出来， t 是 等于十八。在这个时候大家一定要注意一下，咱们的 t 其实是有一个取值范围的，因为它转一百八十度，停止它的速度为十， 那所以它停止的时间就应该是一百八十，去除十，那所以说整个 t 的 范围就是大于等于零，小于等于十八， 会发现十八在范围内，那这是第一种情况，那第二种其实就是贝塔等于二倍的，而法那也就是六十度，是等于二倍的十 t 度减去六十度，那么这里不难减出来 t 应该等于九， 而发现九也在咱们这个范围内，那也是可取的。那第三种情况其实就是角平分线了，也就意味着而法和贝塔现在是相等的这种情况，那么而法和贝塔相等，就是 十 t 度减去六十度是等于六十度的，那于是解出来 t 等于十二，依然在咱们的范围内。所以综上所述，这道题一共有三个答案，是九十二十八，你听懂了吗？

动脚小妙招，期末多得二十分，我们一起来看。给出一条直线 m n 射线 o a 从 o m 出发，绕 o 点，沿顺时针方向每秒两度的速度进行旋转， o a 沿顺时针方向每秒两度进行旋转。同时呢，射线 o b 从 o n 出发，绕 o 点，沿逆时针方向每秒四度的速度进行旋转， o b 沿逆时针方向每秒四度进行旋转，旋转时间都是零到九十秒。那我们先来观察动测线 o a， 它从 o m 出发，速度为每秒两个单位，运动时间呢是 t 秒，那它的旋转角我们就可以把它表示为二 t， t 是 大于等于零，小于等于九十的，那么二 t 呢？就应该大于等于零，小于等于一百八十度，说明 o a 呢，在零到一百八这个范围内进行转动， 那 o a 从 o m 出发，一直转动到 o n 就 停止了，因此 o a 它只能在直线 m n 的 上方进行转动。接下来我们来看 o b， o b 的 速度是每秒四度，而它的运动时间呢，是 t 秒。所以 o b 的 旋转角我们可以给它表示为四 t， t 是 零到九十，那四 t 很 显然大于等于零度，小于等于三百六十度。也就是说， o b， 它从 o n 出发， 可以旋转一周三百六十度回到 o n。 因此 o b 可以 在直线 m n 的 上方进行运动，也可以在直线 m n 的 下方进行运动。这道题的问题是，经过多长时间，我们的射线 o b 是 由射线 o a， o n， o m 当中的其中两条组成的角的角平分线。动点与动角问题一定是初一数学必考重难点，薇薇老师已经把线段动点求定值动角有关计算问题、 三角板中角度动态问题、角平分线的有关计算以及角 n 等分线的有关计算等九大题型，结合名校真题，优中选优，为大家整理了洞点与洞角经典必刷题型。看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一分！ 这是一个动角问题，那我们首先把所有的射线给它表示出来，一般呢，我们选择这种水平的射线作为初矢位置，因此我们可以选择 o n 对 应着零度，那 o m 就 对应着一百八十度。动射线 o b 沿逆时针方向运动， o a 沿顺时针方向运动，我们可以假设逆时针方向为正方向，那顺时针方向就为负方向。 首先我们来看 o b， 它从 o n 出发，它的出发点呢，就是零。沿逆时针方向，也就是正方向做加法，速度为四，时间为 t， 因此 o b 我 们把它表示为零加四 t， 零加四 t 就是 四 t。 接下来我们来表示动射线 o a， 它从 o m 出发，出发点就是一百八。沿顺时针方向，顺时针方向为负，做减法，速度为二，时间为 t， 因此 o a 我 们把它表示为一百八减二 t 表示完了所有的射线。我们来看问题，经过多长时间？射线 o b 是 由射线 o a、 射线 o n、 射线 o m 当中的其中两条组成的角的角平分线。 很显然呢，这里的射线 o b 就是 角平分线，它平分哪一个角呢？这里有三条射线，我们知道一个角，它由两条射线组成，所以这三条射线呢，我们需要给它两两组合， o a 可以 和 o n 组合， o a 可以 和 o m 组合， o n 可以 和 o m 组合，所以一共有三种组合，那接下来我们分三种情况来进行讨论。第一种情况， o a 和 o n 组合，那就形成了这个角 a o n。 所以 第一种情况， o b 平分角 a o n。 这个时候 ob 是 角平分线， o a 和 o n 是 角的两条边，这是一个动角问题，像这种动角问题的角平分线，我们不需要去画图的。在上一个视频当中，我们详细讲解了角平分线，可以用钟点公式去求解， 它就类似于我们把 o b 看成是 o a 和 o n 的 中点，那么 o b 呢？它所对应的角度就是 o a 和 o n 的 平均数，也就是说 o a 加 o n 等于 o b 的 两倍。因此我们可以建立等量关系，一百八减二 t 加上零等于八 t， 一百八减二 t 加上零等于八 t 解出来 t 等于十八。这就是我们的第一种情况。接下来第二种情况，那就是 o a 和 om 组合形成了角 a o m o b 平分 角 a o m。 这个时候呢， o b 仍然是角平分线，角的两条边就变成了 o a 和 o m 来，仍然不需要去画图，直接用钟点公式，也就是 o a 加 o m 等于 o b 的 两倍，角的两条边的和等于角平分线的两倍。因此我们就有一百八减二 t 加上一百八等于八 t， 一百八减二 t 加上一百八等于八 t 解出来 t 等于三十六。接下来我们来看第三种情况，那就是 o n 和 o m 组合形成了这个角 m o n 角 m o n 刚好是一个平角，那就有 o b 平分 角 m o n。 哎，同样的道理，这个时候不需要去画图，直接找出角。平分线是 ob， 角的两条边是 o m 和 o n， o m 和 o n 的 和等于 ob 的 两倍一百八加零等于八倍 t， 那 就是一百八等于八 t 解出来 t 等于二分之四十五。哎，到现在为止呢，就认为这道题已经解答结束了， 哎，其实还有一种情况一定不要搞忘了，来，我们来看一看，还有哪一种情况呢？注意看我们的这个动射线 o b， 它的运动范围是零到三百六， 它从 o n 出发，一直绕 o 点旋转，可以回到 o n， 也就是说，这个 o n 既是出发点，也是终点。当 o n 是 出发点的时候，它旋转一周，这个时候它对应着三百六十度。 而我们的 ob 呢，它可以在直线 m n 的 上方，当它在上方的时候，垂直 m n 的 时候，它就可以平分这个角 m o n。 同样的道理， ob 它可以转动到直线 m n 的 下方，这个时候它仍然有机会和这个直线 m n 垂直， 这个时候它也可以平分这个角。 m o n 的 时候， ob 仍然是角平分线 o m 和 o n 仍然是角的两条边。只不过这个时候角的两条边 o m 对 应着一百八十度， 而 o n 呢，对应着三百六，哎，对应着我们的中边三百六。所以这个时候 o m 加 o n 的 和等于 o b 的 两倍就应该是一百八，加上三百六等于八倍 t 一百八加上三百六等于八 t 也就等于五百四，解出来 t 等于二分之一百三十五。来。 最后，不要忘了看一下 t 的 取值范围零到九十。因此，这四个答案都是满足题目要求的，符合 t 的 取值范围。所以这道题呢，一共有四个答案，十八三十六，二分之四十五， 还有二分之一百三十五。 ok， 同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！