hello, 大家期待的平方和的推导过程来喽,我们今天就一起来推导一下平方和的公式是怎样产生的。那么它的推导过程呢,有一个非常非常有趣的名字叫做 t 三角,你没有看错,就是这个 t 三角, 那么从名字上来看呢,应该是跟三角形有关,所以呢接下来经理老师先画一个三角形,那么这个三角形画完之后呢,咱们就可以把平方和的元算式,他的数据关系给写上去了。怎么样去理解一的平方加二的平方呢?首先我们把一的平方给他拆开,写成乘法的形式, 就是一乘一,加二乘二,加三乘三,一直加到 n 乘 n, 这个过程呢是一个等量变换的。那么接下来咱们再去理解一下这个一乘一、二乘二的含义,一乘一其实就是一个一的意思,那么二乘二呢,就可以理解成 两个二,同理三乘三就是三个三,一直到最后应该是有 n 个 n, 那我们要求这个平方的和,其实就是把一个一,两个二、三个三,一直到 n 个 n 给他,求一个和,把所有的数加起来。那么这个过程呢,咱们就可以把它写在一个三角形里面了,首先一个一, 我就把它写在最顶尖的这个位置,他的这个位置非常的窄,所以我就只写了一个一。好,那么接下来两个二呢,就往下一行来写,下一行位置变宽了一点点,所以我可以写出两个二,同样的道理,三个三, 那么我们再往下写的时候,他的数量会逐渐变多,宽度也逐渐变宽,而且是符合第一行一个,第二行两个,第三行三个符合这样一个数量关系的,那么一直往后写,写写写写,写到最后一行的时候,咱们就可以把 n 个 n 给他全写到这个三角形里面来,并且 最后一行应该是有 n 个的。那咱们现在的问题呢,就是把这个三角形里面所有的数给他全加起来,就可以得到我们平方和的结果了。而这里面的数呢,会发现每一行大小都不一样,每一行的个数也不一样,每一行直接去给他凑成一样大,用乘法只能一个个的去加,那是一个个的加,多麻烦呀。所以呢,接下来咱们 把这个三角形给他转个方向来看一下,就是把原三角形呢,按照一个顺时针的方向给转一下,当然逆时针转也可以,然后我们来思考一下,刚才的一现在到了哪里呢?如果他按照顺时针来转,那么一应该跑到右下角的位置了,好,那么右下角的位置就在这里。 然后同样的道理,两个二应该是在这摆开。好,为了好看一些,我就按照这个方向来写了啊,那么三个三呢,继续在这里一直往后写,写写,写到这里是 n 个 n, 好,把它已经摆开了。那么接下来我再以同样的方式, 让他继续顺时针再转一次。那么再转一次,这个一又去哪里了? n 又去哪里了呢?那咱们再来画一次,一这个数字就应该跑到左下角了,这里是一,那么紧挨着他的两个二,三个三一直往后写,写到 n 个 n, 这一排都是 n。 好嘞,那现在我们把三个三角形分别对应的相同的位置来看一下。首先来看一下这个三角形的最顶端的位置,这里是一个一,而第二个三角形的最顶端呢,是一个 n, 第三个三角形的最顶端还是一个 n, 所以对应着最顶尖的这三个位置,三个数相加,应该是二, n 加一。那么接下来我们再换一个位置,来看看左下角,左下角这里是 n, 第二个三角形依然是 n, 而第三个三角形呢,刚好是个一,所以这三个位置他的和也是二, n 加一,那么右下角呢,也是一眼就 能看得出来,还是二加一,可能会觉得像你找的位置会不会太特殊了呀?所以咱们来找一个不是那么特殊的位置。好,我就随便给他圈一个二吧。 这个位置,那么每一个三角形里面第二排的左边第一个数分别是多少呢?我们分别来圈一圈,一个是二,而第二幅图第二行的第一个位置就不是特别好找了,因为我们刚才没有写出来,但是我们可以找到它的变化规律。这一排的点点代表的什么意思来着?还记得不就是我们第二个图当中,这一排都是 n 的意思,所以那么第二排的第一个位置是不刚好在 这一排 n 当中了,所以第二个位置依然是 n, 那么第三幅图的第二行第一个位置,这个就不再是 n 了。仔细思考一下, n 现在应该是这一排都是 n 啊,那么跟他挨着的他的前排应该是什么呢? 是 n 减一,比他小一个数。好,那么接下来我们再思考一下,对应的这三个位置分别是二 n 和 n 减一加起来的和依然是二 n 加 加一,所以你会发现,不论我们把这个三角形哪一个对应位置上的三个数相加,他的和都是二 n 加一,所以我们可以得到每个对应的位置的三个数之和都等于二 n 加一。好,这是我们得到的第一步。那接下来再思考一下,这个三角形上面一共会有多少个这样的对应位置呢? 咱们刚才在写第一幅图的时候,其实已经把他们的个数呢都在这表示出来了,也就是他的位置个数一共是有一个加两个加三个,那么一直到第 n 行,最后一行有 n 个这样来表示,而这个其实就是等差数列了,也就是连续自然数求和。那么根据等差数列的求和公式,可以用首项加末项乘项数 项数依然是 n, 然后再除以二,就可以得到它的位置各处。那么每一个位置上的和已经得到了,是二 n 加一。现在呢,一共只有这么多个位置,所以我们就可以求得 所有位置上的所有数之和一共是二 n 加一的和,乘一,加 n, 再乘 n 除以二。再来梳理一下每一部分都是从哪来的?二 n 加一就是每个位置上三个数对应的和,而后面的这一串呢,就是所有的位置数量。 那现在三个三角形当中所有的数值和我们都已经得到了,而每一个三角形呢,其实表示的数的总和都是一样大的, 我们给他换个方向而已。数还是那些数,那我们一开始最初的目标是什么呢?是要求一个一,两个二,三个三,一直到。嗯嗯,也就是我们只想求一个三角形的所有数之和,所以我们只需要把刚才的这一串算式再给他除以三就可以了, 也就是可以得到每一个三角形中所有的数之和。好,我们再把这个算式呢再来整理一下,把刚才的三个三角形之和除以三, 就可以得到每个三角形中所有数字盒了。那我们把这个算式呢,再来整理一下,整理成我们熟悉的样子。首先我把这个 n 写在前面,接下来呢再让他继续乘 n 加一,那也就是这一部分了,然后再让他去乘二, n 加一也就是一开始的这一部分, 那么除以二又除以三,就相当于除以多少呢?很明显相当于除以六。那这个算式咱们是不是觉得非常眼熟了呀? n 就是他, n 加一是他哥 二, n 加一是他大伯,一家人开开心心牵着小狗去遛弯。那么这个问题我们就可以整应出来了,大家都听懂了吗?感谢点赞,关注不迷路哦!