数学推导公式全过程

hello， 大家期待的平方和的推导过程来喽，我们今天就一起来推导一下平方和的公式是怎样产生的。那么它的推导过程呢，有一个非常非常有趣的名字叫做 t 三角，你没有看错，就是这个 t 三角， 那么从名字上来看呢，应该是跟三角形有关，所以呢接下来经理老师先画一个三角形，那么这个三角形画完之后呢，咱们就可以把平方和的元算式，他的数据关系给写上去了。怎么样去理解一的平方加二的平方呢？首先我们把一的平方给他拆开，写成乘法的形式， 就是一乘一，加二乘二，加三乘三，一直加到 n 乘 n， 这个过程呢是一个等量变换的。那么接下来咱们再去理解一下这个一乘一、二乘二的含义，一乘一其实就是一个一的意思，那么二乘二呢，就可以理解成 两个二，同理三乘三就是三个三，一直到最后应该是有 n 个 n， 那我们要求这个平方的和，其实就是把一个一，两个二、三个三，一直到 n 个 n 给他，求一个和，把所有的数加起来。那么这个过程呢，咱们就可以把它写在一个三角形里面了，首先一个一， 我就把它写在最顶尖的这个位置，他的这个位置非常的窄，所以我就只写了一个一。好，那么接下来两个二呢，就往下一行来写，下一行位置变宽了一点点，所以我可以写出两个二，同样的道理，三个三， 那么我们再往下写的时候，他的数量会逐渐变多，宽度也逐渐变宽，而且是符合第一行一个，第二行两个，第三行三个符合这样一个数量关系的，那么一直往后写，写写写写，写到最后一行的时候，咱们就可以把 n 个 n 给他全写到这个三角形里面来，并且 最后一行应该是有 n 个的。那咱们现在的问题呢，就是把这个三角形里面所有的数给他全加起来，就可以得到我们平方和的结果了。而这里面的数呢，会发现每一行大小都不一样，每一行的个数也不一样，每一行直接去给他凑成一样大，用乘法只能一个个的去加，那是一个个的加，多麻烦呀。所以呢，接下来咱们 把这个三角形给他转个方向来看一下，就是把原三角形呢，按照一个顺时针的方向给转一下，当然逆时针转也可以，然后我们来思考一下，刚才的一现在到了哪里呢？如果他按照顺时针来转，那么一应该跑到右下角的位置了，好，那么右下角的位置就在这里。 然后同样的道理，两个二应该是在这摆开。好，为了好看一些，我就按照这个方向来写了啊，那么三个三呢，继续在这里一直往后写，写写，写到这里是 n 个 n， 好，把它已经摆开了。那么接下来我再以同样的方式， 让他继续顺时针再转一次。那么再转一次，这个一又去哪里了？ n 又去哪里了呢？那咱们再来画一次，一这个数字就应该跑到左下角了，这里是一，那么紧挨着他的两个二，三个三一直往后写，写到 n 个 n， 这一排都是 n。 好嘞，那现在我们把三个三角形分别对应的相同的位置来看一下。首先来看一下这个三角形的最顶端的位置，这里是一个一，而第二个三角形的最顶端呢，是一个 n， 第三个三角形的最顶端还是一个 n， 所以对应着最顶尖的这三个位置，三个数相加，应该是二， n 加一。那么接下来我们再换一个位置，来看看左下角，左下角这里是 n， 第二个三角形依然是 n， 而第三个三角形呢，刚好是个一，所以这三个位置他的和也是二， n 加一，那么右下角呢，也是一眼就 能看得出来，还是二加一，可能会觉得像你找的位置会不会太特殊了呀？所以咱们来找一个不是那么特殊的位置。好，我就随便给他圈一个二吧。 这个位置，那么每一个三角形里面第二排的左边第一个数分别是多少呢？我们分别来圈一圈，一个是二，而第二幅图第二行的第一个位置就不是特别好找了，因为我们刚才没有写出来，但是我们可以找到它的变化规律。这一排的点点代表的什么意思来着？还记得不就是我们第二个图当中，这一排都是 n 的意思，所以那么第二排的第一个位置是不刚好在 这一排 n 当中了，所以第二个位置依然是 n， 那么第三幅图的第二行第一个位置，这个就不再是 n 了。仔细思考一下， n 现在应该是这一排都是 n 啊，那么跟他挨着的他的前排应该是什么呢？ 是 n 减一，比他小一个数。好，那么接下来我们再思考一下，对应的这三个位置分别是二 n 和 n 减一加起来的和依然是二 n 加 加一，所以你会发现，不论我们把这个三角形哪一个对应位置上的三个数相加，他的和都是二 n 加一，所以我们可以得到每个对应的位置的三个数之和都等于二 n 加一。好，这是我们得到的第一步。那接下来再思考一下，这个三角形上面一共会有多少个这样的对应位置呢？ 咱们刚才在写第一幅图的时候，其实已经把他们的个数呢都在这表示出来了，也就是他的位置个数一共是有一个加两个加三个，那么一直到第 n 行，最后一行有 n 个这样来表示，而这个其实就是等差数列了，也就是连续自然数求和。那么根据等差数列的求和公式，可以用首项加末项乘项数 项数依然是 n， 然后再除以二，就可以得到它的位置各处。那么每一个位置上的和已经得到了，是二 n 加一。现在呢，一共只有这么多个位置，所以我们就可以求得 所有位置上的所有数之和一共是二 n 加一的和，乘一，加 n， 再乘 n 除以二。再来梳理一下每一部分都是从哪来的？二 n 加一就是每个位置上三个数对应的和，而后面的这一串呢，就是所有的位置数量。 那现在三个三角形当中所有的数值和我们都已经得到了，而每一个三角形呢，其实表示的数的总和都是一样大的， 我们给他换个方向而已。数还是那些数，那我们一开始最初的目标是什么呢？是要求一个一，两个二，三个三，一直到。嗯嗯，也就是我们只想求一个三角形的所有数之和，所以我们只需要把刚才的这一串算式再给他除以三就可以了， 也就是可以得到每一个三角形中所有的数之和。好，我们再把这个算式呢再来整理一下，把刚才的三个三角形之和除以三， 就可以得到每个三角形中所有数字盒了。那我们把这个算式呢，再来整理一下，整理成我们熟悉的样子。首先我把这个 n 写在前面，接下来呢再让他继续乘 n 加一，那也就是这一部分了，然后再让他去乘二， n 加一也就是一开始的这一部分， 那么除以二又除以三，就相当于除以多少呢？很明显相当于除以六。那这个算式咱们是不是觉得非常眼熟了呀？ n 就是他， n 加一是他哥 二， n 加一是他大伯，一家人开开心心牵着小狗去遛弯。那么这个问题我们就可以整应出来了，大家都听懂了吗？感谢点赞，关注不迷路哦！