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八上的压轴题啊,这道题呢,是南京的一道考试原题,他出的非常的好啊,视频有点长,我们耐心看一下,他说竖形结合的一个思想,在题目里面经常的应用,他给了我们的第一份,是一个直角三角形,然后 a、 d, b, d, e, 二已经有了,让我们去算 c dog 有 多长,你会发现 c dog 是 它的斜边上的高,对不对?那我们可以怎么做呢? 方案一,你看到有好多的直角,我们可以勾股,然后我们又不知道 c、 d 的 长度,所以我们可以选择是 x。 好,你会发现这个 x 连接了左边和右边两个直角三角形,所以你又会想到双勾股,对吧?都是常见的思路,那么双勾股可以干什么呢?你会发现在左边 a、 c、 d 当中,我是不是可以把 a、 c 的 平方表示出来, 所以 a、 c 方就应该等于 x 平方加上一的平方。好,在右边的三角形当中,我们是不同理,可以把 b、 c 方写出来,它应该等于 x 平方加上二的平方。好,有了 a c 方和 b c 方,立马想到 ab 的 平方 是不就等于 a c 方加上 b c 方,所以双勾股就能搞定。第一问,那么来算一下啊, ab 的 平方, ab 首先等于三,所以就是三的平方,它应该等于 a、 c 方,就上方两个式子加在一起就可以了,那就等于二, x 平方加上一的平方和二的平方合起来就是五嘛,所以整理一下,二 x 平方等于四, x 平方应该等于二,所以 x 因为是正数啊,长度嘛,所以答案应该是根号二,这道题就结束了。好了,一定要记住你第一问的做法,所以同学,为什么?因为第二问肯定用得到,我们说数学里面没有无缘无故的第一问,所以大家一定要用好第一问,我们来看第二,果然他给了一个 b d 等于两倍的 a dog, 所以为了方便,我们还是设一下吧,我假设这个是 x, 然后 b d 呢?就是二 x, 你 看和上面的这个条件很像,然后他说了,让我们在这个直线 l 上找到一个 c 点,然后让他是九十度,你发现了没有?好,这个时候我们肯定是一开始不知道怎么画的,所以大家记住永远的万能方法,那就是先画出符合的示意图,所以比如说我们就假设在这个位置, 然后我们把这图画好,那么就意味着这个时候 c 这个位置是有直角的,那我们怎么把它画出来呢?立马想到上一文的思路,上一文,他让我们最后啊是算出了 c dog, 所以 我们也来尝试一下。在我们的这一文当中,我们也把 c dog 给算出来,那有的老师说不好算,方法一样,你上方不是设这个 c dog 为一个未知数了吗?这个地方我们也设一下, 比如说我就设它为 h, 对 吧?是高吗?那我们来算一算我们的这个 h, 它最后的结果和我们的 a d 和 b d 里面 x 有 什么关系呢?找到这个关系就得到了它的做法, 好,我们一起来啊,方法和上方如出一辙,首先在左边这个小三角形当中,我们有勾股,那就是 x 平方加上 h 的 平方,它应该等于 a c 方,在右边的直角三角形当中就是二 x 整体的平方加上 h 的 平方等于 bc 方。 好了,那最后在大三角形里面再来一次,那就是 a c 方,加上 b c 方,它就应该等于 a boy, a boy 就是 三 x 整体的平方。好,我们把上方的数据啊加在一起,加一下就得到 x 平方,和 x 平方合起来是五 x 平方,加上两个 h 平方就应该等于九 x 平方,所以整理一下就得到二 h 的 平方就应该等于四 x 平方。 果然我们很快就发现了, h 的 平方等于二 x 方,所以 h 就 应该等于根号二 x, 这就是我们的关键。好了,我们发现我们的 h 这个长度啊,就等于我们这个 ad 的 根号二倍。接下来思考一下,我们怎么画出 ad 的 根号二倍呢? 这个时候大家是不是该立马想到一个特殊的三角形等腰直角,因为等腰直角当中它是不是有一个等腰直角的话,那么 我们税图看一下啊,那么它的斜边,你会发现就应该是等于我们直角边的根号二倍,对不对?所以我们怎么办呢?想一想,我们是不是可以在 a d 这个地方,我们自己先构造一个等腰直角三角形来,我们在下方画吧,在 a d l 的 这个下方,用圆规 截出一个和 a d 一 样长的线段,所以我们在这个地方写为 f df 等于 a d, 所以 我们就构造出了一个等腰直角。你看到没?那么把 af 用圆规截出来,那么大家注意了, af 就 等于根号二倍的 x, 刚刚这个地方是 x 嘛,所以我的 a f 就 等于根号 x, 所以 我的这个 a f 其实就是我们马上要用到的什么高,所以咱们只要把 a f 给它截出来,截出来之后把圆规的针角放在 d, 然后在 l 上找一个点,那么这个点就是我们所要的 c 点来,这个时候大家注意了,你会发现上方有一个 c 符合一个 直角,对不对?那么同理,我们把 a f 长度截出来之后,再以针角放在 d, 能不能在 l 的 下方也截一个 a f 的 长度,得到第二个 c 点,所以它的 c 点一共有两个,这样就被我们找到了,所以它的关键就是算出 h。 好了,他说了第二个方法是什么?朋友们,在这个地方你肯定会卡住,因为第二个方法需要脱离我们第一个思路了,那么大家重新去想一下,这个时候我们还是把一个符合图画好,这时候大家思考一下,你在初二这个学期,我们学过跟直角三角形有关的几何知识是什么?比如说你想到直角三角形,你会想到什么考点? 等幺,等幺三角形还有什么考点?再想想直角三角形。在我们的第一章,这还有一个叫做斜中定力, 哇,这道题就是用的斜中定零,我们思考一下啊,我们要想找到我们的这个 c 点,构造出一个大的 a b c 直角这样型,我们想到斜中的话,那你是不是会发现,如果我们先找到 a b 的 中点, 好,这个点起个名叫 q 点吧,这个是好做的,只要做 a b 的 垂直平面就可以了。找到这个 q 之后,你会发现我们 c q 连起来的长度,它是不是应该等于斜边 a b 以外,就说 c q, 它应该等于 b q, 哇,这道题,所以我们就应该直接用垂直平分线,先把 ab 的 中点找到,第一步做它的垂平分线。好,这没问题。 q 找到之后,咱们再用圆规去截出 q 脖的长度,截好了之后再把圆规的针角放在 q, 再以 b q 长为半径画圆弧,这个圆弧和 l 直线产生一个交点,其实它的下方也会有一个交点,对不对?跟前面一样嘛,有两个 c 点嘛,所以我们就找到了我们要的 c 一、 c 二。