华东师大九年级上册三角函数培优题

朋友们大家好，咱们接着看第一节的题，题课看第四题，第四题他说是 一条一条弦的长等于半径，也就是一条弦的长等于半径。他问你这条弦所对的圆心角是一弧度吗？那么这个题呢，主要考的是一弧度的概念，咱们讲课本立体的时候呢，讲过，就是那么一弧度的，人家课本上定义怎么定义的？ 看一下课本上的定义，指的是你的弧长在一个圆里边，弧长和半径相等的时候，也就是这个弧长和半径相等的时候，那么这个弧长所对的圆形角， 那么他相应的弧度数就是一弧度。那么现在在这个题里面，他是等于弦，咱们知道弦长，弦长是比弧长要小， 是吧？所以就不对。而这个题主要考的是定义一弧度的定义啊，所以就是他是不对的，理由就是是弧长和半径相等的时候，那么弧长所对的圆心角对应的那个弧度数是一弧度。这是第四题，看第五， 第五和第六呢，那就是把角度换弧度，弧度换角度。咱们讲知识点的时候，就是角度换弧度，弧度换角度，只要知道一个什么呢？ pi 等于一百八十度， 只要知道这个以后幅度换角度，按住这个转换就可以。现在看第一个三百六十度，三百六十度的话，如果转换成弧度的话，那么就是一弧一度是多少？二分一百八十分之派，是不是啊？所以呢，他就在他的基础上，在他的基础上乘以谁一百八十分之派，乘的时候呢，就开始约， 让你约一个十八，这个是约一个二，直接出现是几五八等于多少？五分之派， 第一个糊涂数。第二个，负的一百五十分之它，那么就乘以一百分之一百八十分之派，乘下来多少？六分之五，是吗？负的六分之五派，同理，一千乘以它，那么就是一百八十分之， 就等于乘以乘以五百或约分就行，是不是啊？约就行，你就看一下一千零九十五，一百八这块讲啊，看一下，如果肯定是先用五约前面的话，一百五和一百八这个比较简单，咱们直接能看出用三十约分，是吧？那么一百八和一零九五，那么就是用五五的话，那就是三十六， 那么这个五的话是一个二五，一十五的话是一九二幺九，没问题。二幺九的话，那么还能能不能再除？能除三，因为二一九加起来十二吗？是吧？能被三整除 就是七十三，七十三，这个是十二，那好了，那就七十三，基本上就没有再没有约束了，是不是？所以就是十二分之七十三，所以呢？十二分之七十三派，这是第三个，看第四个，看第四，第四是一个整圈数，他是多少，那就是， 那就是乘以一百八十分之派，一百八十八这个出现了是多少？直接就是八八百六十四 四点六没问题，等于八拍，这个是弧度换角度，直接乘以一百八十分之拍，看第六，第六就是弧度换角度，弧度换角度，实际上就是乘以谁。百分之一百八，乘以百分之一百八又是多少？负的二百一十度， 是不是一定要带这个度数啊？那么同理，乘上百分之一百八又是多少？负的六百度，这个呢？看一下第三个和第四个，它没有带圈，说明它是咱们表示的弧度值，咱们这一弧度大概是多少？ 这块呢？写的话，你就是咱们的 pi 弧度是一百八十度，那么一弧度咱们之前讲过是一弧度，一 r a d r a d 是 弧度是等于多少？ pi 分 之一百八， 那么现在看一点四，那一点四乘上多少？乘上 pi 分 之一百八，是不是啊？这个 pi 是 用三点一四展开的啊？一点四，那咱们就计算器算一下，大概就是多少，大概就是八十八十点二一，在这块我就不用算了啊， 看三分之二，那么一样的三分之二乘以多少拍，分之一百八，这个一定要知道。拍是用三点一四展开的啊，算出来是多少度，这个是带度的啊，多少度算出来三十八点二零度啊，这个咱们计算计算一下，三十八点二零度 啊，计算计算就行。看第七，他说已知 r 发至锐角，那么按 r 法， r 发至锐角的话，咱们取值范围是多少？大于零小于九十， 也就是做题的时候一定要严格读一句话，一定要知道它是什么意思。 r 为锐角，那么 r 的 范围就是大于零小于九十，那么 r r 是 大于零。小于九十，那么 r r 是 一个大于零，怎么小于一百八？ 大于零小于一百八的角，先看第一，第一项线不对排除是吧？因为有可能是第二项线，他说一定第二项线的不一定 ab 排除， 关键是看 c 和 d， c 和 d 的 话，大于零小于一百八是 d 吗？不是，在 d 里面一定要注意第一象限和第二象限。二 r 还有可能是九十 就是二 r 发，如果是九十的话，还是考了一个知识点，就是坐标轴不属于任何象限啊，也就是二 r 发是在这块是有可能是九十的，但是 d 选项它只出了个第一象限或者第二象限，它其实准确来说是一一象限或者是 y 轴的正半轴，是吧？小于一百八的正角，那么就是大于零，小于一百八，所以答案选 c。 第七题的第一个看第二 r 是 第一象限，二分之二 r 是 在哪？咱们直接选一，这个 d 在 这块呢，我讲一下， 直接用结论，咱们之前讲图像和集合，阴影部分就是阴影部分的，图像和集合之间相互转换的时候，我专门做过总结，这块我直接用结论啊，这块不就不再详细的叙述了，那么就是二分之 r 的 话，就相当于是把每个象限二等分时间就是角平分线， 二等分以后依次标注，一二三四、一二三四、一二三四。 r 是 第一象限，那么标注一的这两个区间，那就是二分之 r 所在的象限，那么就是什么呢？一三象限啊，这个要知道，所以答案选四 d 啊，直接用节律算。再看第八， 他说在半径为 o a 一 百的圆形金属板上要截一块扇形板，就做题的，做数学题的时候一定要注意，一边读题一边能画图的就画出图，竖形结合是数学里面最简单的方法，一定你不要说一直读，读上十遍，你不画图不容易看出来。这个是比较简单的啊，看一下，要在半径为 o a， 圆形是 o o a， 半径是一百的金属圆形，截一块扇形要使其的弧长， 这是 a， 这是 o， 弧长的话是幺幺二幺幺二，就比一百稍微长一点，是吧？幺幺二一百一百一十二，那么用圆心角所对的度数， 这是 b， 问的是这个，他问多少度，就看题里面的话呢，他问的是多少度，那咱们看这个题里面涉及到哪些量，咱们再找关，再找公式看一下，他知道半径， 他知道弧长 l 求的是角度数，那么咱们知道弧长公式，涉及到弧长公式的两个公式是谁，咱们再会复习一下，一个是 l 等于谁，角度之下是一百八十分之 n 拍 r， n 就是 角度数吗？是吧？还有一个是谁？弧度之下的是 r 发乘以 r， 因为在这块呢，咱们不加 r 发，不加绝对值了啊，因为他是正的， 所以呢，在这个里面呢，你现在看一下用哪个，因为他是问的是精确到度，所以咱们选这个，而不要选那个。你如果选成 r 发乘以 r 这个十字，那你后期还得把弧度转换成角度，是不是啊？所以直接直接一步到位的选这个就可以了，那就是由这个公式得以 n 度， n 的 角度数就等于谁 一百八十度乘以 l 除以 pi， 往十字面代就行，是不是啊？那就是一百八十 l 是 多少？幺幺二 pi 九二三点一四，因为他这样精确的嘛，是吧？就要就要 pi 展开算计算，计算的话直接敲 pi， r 是 一百，算这个角度数就行， 约等于弧度，是吧？这个大概现在算下来是约等于六十四，你下去算一下计算器，关键是要公式，公式只要正确了，以后基本上没什么问题。 看第九，他说一只弧长，弧长又是 l， 弧长，知道了圆心角，知道了 n， 那 么这个弧所对的圆的半径，那就是求 r 呢？还是是吧，这个公式里面涉及到的 l n， r， 那 就是弧长， 还是用刚才那个，咱们还是刚才用那个公式，只不过是这个时候算的是 r 了，是吧？那么从从这道公式上看一下，它就是 r， 就 等于 l 乘上一百八就是一百八十， l 除以什么呢？ n 这怎么带一百八十乘上弧长是多少？五十厘米是吧？ n 呢？角度是多少？二百块等于块， 所以呢，算出来呢，大概是多少？用计算器算，大概就是十四厘米，他让咱们精确到整数大概就是十四厘米啊，这是这个题，咱们下节课继续往后讲，谢谢大家。

刚才我们用等面积法来求了，求这个高啊，然后我们尝试着用一线三垂直 来建立一个等量关系啊，来求，呃，做 d h 垂直于它了，然后我们延长上来，来到这，因为这是个九十嘛，比如说这个点叫 m， 那 这样的话， 这两个三角形，他就一线三垂直的相似了。然后我们呢，还需要用上面啊，我们其实还需要用上面，比如说这是 n， 然后把这也弄起来啊，这是 r 吧，一会我们都要用这些，这是四，这是 x， 这个是 x， 这是四。好了，我们先来说这个相似啊，那他的相似比是四比 x， 我 们来这个 pm， 他 比上咱们求的这个 d 吗？ pm 对 应 d， 它应该是等于 x 比四的，所以 pm 这一段叫叫 x d 除以四，现在 x 就是 已知的啊， 然后然后来表示，表示它，它怎么表示呢？它和 b h 是 对应边，就是 md， 你 是比上 b h， 它等于 x 比四， b h 去哪里呢？ b h 这一段 它包括三节，前面这一节叫二倍根二，中间这一节叫。看着，这，为什么把它画上来，中间这一节叫二分之根，号二 x， 因为这个是四十五度啊， 加上二分之根二的 x， 然后后面这一节是这个 r， n 就是 这个 p m， 再加上这个 x d 除以四， 这个 b h 就 这么多啊，所以在 md 呢，它应该等于，嗯，四分之 x 乘以 b h， b h 叫二倍的根二加二分之根二 x， 再加四分之 x d， 这是 md。 那 么最后要建立一个等量关系啊，是吧？才能写出来 d 等于多少多少 x。 等量关系我们在这里建立 在这里啊，就是说第一间这个它叫什么呢？它就是这，它也叫二分之根二的 x， 第二间就是这个 md 啊，刚才有了第三角，就是这个 d， 它总共应该等于这个 b c 边上的高 二分之根二的 x， 再加上 md， 就是 这一串啊，再加上后面这个 d， 它是等于二倍的根号二的， 最后我们就有了 d 等于多少多少多少 x 啊，我们是用 x 代数式来表示距离呢， 比较麻烦，特别考察你的计算能力，这是咱用的一线三垂直。 好这个题第三问和第四问，但对于初中的孩子们来说，他还是有些难度的， 用初中的知识去解释有一定难度的。对于程度稍好一点的同学，如果我们要能知道一些高一的那些三角函数运算的公式，这个就是比较友好的啊，就是那个三角函数 和差啊，或者是倍数那个公式的话，还是比较容易一些。你比如说第三问，第三问，这是个十五度哎，你求这个 x 呢？ 那你只要知道 tan 值十五度就可以了呀。 tan 值十五度等于 x 比四， 那探针的十五度它是等于谁呢？它等于探针的四十五度减三十度，这不有公式吗？来带上就可以了呀。 哎，你比如说第四问，第四问，我们不是就要求这个 d 吗？ d 啊，这是个四，我只要知道这个三 r 吧就可以了呀。 那 gamma 是 谁呢？那比如说上面这个叫 beta 啊，这个也叫 beta， 那 咱 gamma 它是等于在四十五度减两个 beta 的 呀， 这也不是有一个 sine cosine 把减去 cosine cosine 吗？你四十五度的这个正义选又不缺，你缺的是谁呢？你缺的是 sine 二倍和 cosine 二倍， 它等于二倍的 sine 倍， cosine 它等于一减了二倍的 sine 倍的平方。 你这个哎，这是四，这是 x， 这个斜边是根号下十六加 x 平方。你这 sine b 它是有的呀， sine b 它等于 x， 比根号你扣 sine b， 它是等于四，比上更好。这往公式里一带，尽管它运算上可能也比较麻烦，但思路好想呀。 啊，你不用说这样做辅助线吧，那样做辅助线吧。嗯，其实计算起来也不比刚才那个就一比。原来咱说那个三垂直呀，比面积法呀，计算起来也不比那个麻烦。那思路明确呀。 那所以说啊，对于程度较好的一些同学，是很有必要掌握一下这个三角函数的和差辈分这些公式的啊，何况他们都看这直接写出是吧。

分之一啊，八分之一。你这个 s h a 和你这个 s h a t 就 等于一个八分之五 啊，等于八分之五。你，我们得到了你这个式子了哈，我们得到了你这个式子了。你这个口信阿法和口信贝塔，我们就应该用你这个和的和的余弦公式。就你这个口信 阿尔法加贝塔就等于一个口神阿尔法，口神贝塔减去一个神阿尔法神贝塔就等于一个啊， 你减去它就等于一个你这个口乘 f， 口乘 b， 它啊，我们就等于一个你这个八分之五啊，你这个八分之一。

四十五度是等于一的，所以说你这个 a 是 错误的，你不是根三啊，你不是根三，那么对于 b 呢？对于 b 呢？ 对于 b 选项啊？对于 b 选项，你这个弹根它 弹给他二百五十五度啊，弹给他二百五十五度。我们这个时候有用导公式的时候，就是等于一个弹给他 一百八十度，加上七十五度啊，加上七十五度，加上七十五度啊，那么就等于一个 tan 七十五度啊，等于 tan 七十五度，那么 tan。

啊？我录一下屏啊，来讲这道题 啊，来讲这道题，那么我们知道你这个口音一致条件哈，你这个口音阿尔法减贝塔等于一个四分之三 啊，等于四分之三。我们在这个的地方的时候啊，你这个是差角公式，我们就把你展开，就是 q c f q c b t， 你 加上一个 c f c b t 啊，等于四分之三啊，等于四分之三。而我们这个地方呢，你又是弹根塔，弹根塔阿尔法 乘以弹根塔比特等于五， 我们同样也是把你这个式子给它展开以后就是 c r 乘一个 c。