初二几何格点问题

这个视频我来讲讲格点中的对称图形，比如，我让你在这个格点中找三个顶点，构成一个三角形，使得这个三角形与 abc 轴对称，你会画吗？ 哎，有小伙伴随手就画了一个，果然符合要求。找出一个的确不难，难的是找到所有的情况，你还有办法吗？嘿嘿，我来教你吧！你想想， abc 的顶点都在格点上，所以对称点也在格点上， 咱不妨以 c 点为例，看看他的对称点位置有可能在哪。如果 c 撇在这，那这两点连线的垂直平分线就是对称轴，对称一下显然不行。 那 c 一撇在这，这一条就是对称轴，对称一下，哎，符合要求。 c 一撇在这，那这一条就是对称轴，对称一下，这卡 来不行。如果 c 一撇在这，那这条就是对称轴。对称，哎，符合要求。接着看， c 一撇在这，他就是对称轴，对称一下还是不行。 c 撇在这，这个就是对称轴，对称一下，哎，符合要求。再看这，如果 c 撇在这，那他就是对称轴，还是对称也符合要求。 好了，数数看，一共有四种情况，符合要求。全了吗？嘿嘿，当然没有喽，如果 c 撇在这个位置，就有这个三角形，符合要求。注意喽， c 撇和 c 重合的情况千万不要漏掉，加上这个一共是五个三角形。 好了，总结一下，在格点中找轴对称图形，你就先找到某个顶点的所有可能对称点，利用对称点找到对称轴，逐一媒体就能数出答案。另外提醒一下，不要忘记对称点还是本身的情况怎么样，明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

这是锦江师大一中初二必卷填空的一道压轴题，我们先来看一下题目意思， abc 是 一个等腰三角形， ac 等于 ab， 角 a 等于三十度， d 和 f 分 别是 ab 和 ac 上的两个动点，且满足 cf 等于二倍的 ad。 再将 d、 f 沿着 d 点逆时针旋转三十度，得到了 d e， j 是 b， c 的 中点连接， c， e 和 j， e 要求 c g e 这个三角形周长的最小值， c、 g 的 长度，它等于二，是固定不变的。实际上我们只需要去算这两条紫色线段和的最小值。那首先我应该去想 e 点的轨迹是什么？如果 e 点的轨迹是在一条直线上，那这不就是将军引马吗？ 怎么去证明这个 e 点的轨迹呢？是这道题的一个难点。首先可能有同学认为啊，这是一个刮豆原理，其实它并不是啊，因为这个 d 它是一个动点，它并不是一个定点。如果这个 d 是 一个定点，那么这个题它就是属于刮豆原理的题型。 可以先把 b、 e 给连接起来。在 ab 的 这一侧出现了两个三十度角，并且 f、 d 和 e、 d 是 相等的， 所以这里考察对一线三等角全等模型的一个知识点，这里给大家展示一下啊一线三等角全等模型的一个证明过程。所以接下来可以在 d、 b 上截取一点 h， 使角 e、 h、 d 等于三十度。 因为角一加角二等于一百五十度，角二加角三也等于一百五十度，所以角一就等于角三 三十度等于三十度， df 等于 d、 e， 所以 就可以证明出这两个三角形全等。这两个三角形全等就有对应边相等，所以 af 等于 h d。 假设这两条边记作 b， 又因为 ab 等于 ac， 而 ac 等于二， a 加 b， 那 么 ab 也应该等于二， a 加 b， 所以 就可以求出 h、 b， h、 b 的 长度，就是 a。 因为全等，所以 a、 d 等于 he 也等于 a， 所以 就可以得到三角形 h、 e、 b。 这是一个等压三角形，在这个等压三角形中，因为它的一个外角是三十度，所以这两个底角都是十五度。 就因为在 a、 b、 c 这个等腰三角形中，我们可以算出底角是七十五度，从而算出角 e、 b、 c 等于六十度。因为 c、 b 这条线段是一条固定的线段，而角 c、 b、 e 等于六十度， 说明 e 就 在 b、 e 这一条射线上运动。我们可以来看一下运动的一个过程， 现在就变成了将军引马问题要计算二，加上这两条紫色线段合的最小值，需要去做对称，选 c 或者这点其中一个点，去做 b、 e 这条射线的一个对称点，这里我选择这点去做 b、 e 的 一个对称点， 这一始终等于这一撇儿 e 现在所求就转化成了二加上 c、 e 再加上 e 这一撇儿。当 c、 e 这一撇儿这三点共线的时候，取最小值，也就是要运动成这个样子的时候最小。 为了大家看的更清楚，我把这个部分进行放大，接下来求出 c 这一撇儿。 因为是翻折过去的，或者说这两个三角形全等，所以 b 这一撇等于 b j 等于二， 并且角 e、 b、 j 也等于角 e， b、 j 等于六十度，所以角 c、 b、 j 一 撇，这个角合起来就是一百二十度。遇到一百二十度的时候，它的补角是六十度，是一个特殊的角， 所以可以过这一撇去做 c b 这条直线的一个垂线，构造直角三角形。 三角形 b m 这一撇是三十度、六十度、九十度的直角三角形。三边比为二，比一比根号三，所以 b m 等于一， m 这一撇等于根号三。最后求 c g 一 撇。在这个直角三角形中，利用勾股定律求斜边。最终答案为二，加上二倍的根号期。

哈喽，大家好，我是石老师，今天我们来学习一次函数几何压轴问题。对于一次函数，很多时候啊，大家对于简单的图像性质都是有所了解的，但是一旦它涉及到特殊图形的存在性，很多同学就无从下手，那我们今天就来讲其中 一个特殊图形的涂在线，是什么图形呢？是等腰三角形。我们就来看一下，当一次函数它和等腰三角形结合起来考察的时候，我们应该怎么去处理 好。首先我们还是边读题边翻译题目。在平面这条坐标系 x o y 中 o 是 坐标原点直线 y 等于五分之十二， x 加十二，与 s 轴交于 a， 与 y 轴交于 b， 也就是说 ab 这条直线是 y 等于五分之十二， x 加十二， 那 b 点它的坐标我们就知道了，是零到十二，对不对？好，那 a 点的坐标我们也能读出来是负五到零。 现在若点 c 在 坐标轴上，哎，他说在坐标轴上有没有说是 s 轴或者是 y 轴呀？没有对不对？所所以说明这个坐标轴 s 轴也是可以的， y 轴也是可以的。且三角形 abc 是 以角 abc 为顶角的。等腰三角形 a、 b c a、 b c 这个角为顶角。等腰三角形啊，这个角为顶角，那谁是底角呢？ b a c 和 b c a 对 不对？也就是说它的隐含意思就是这个等腰三角形里边， b a 它等于 bc， 对 吧？好，它是等腰三角形，则 点 c 的 角坐标为多少？好，那此时我们来看一下，既然要求 b a 等于 bc， 那 我们是不是就可以看作以点 b 为圆心，以 b a 长为半径的一个圆， 哎，我们做一个圆，我们看它和坐标轴交于哪些点，是不是就可以了，对吧？好，这时我们找等腰线和思路，首先我们要知道 谁和谁是相等的，找到谁和谁相等，我们就可以。嗯，把它转化成以它为圆心，然后他们的长为半径做一个圆，然后和如果说在这个坐标轴上有焦点，那这个焦点就是他的另一个动点。 好，那你看 o a 长度是五， o b 长度是十二，哎，勾股定律，我们知道 b a 长度就是十三，那我们此时现在就以点 b 为圆心，以十三为半径做一个圆，它会是得到什么样子呢？做一个圆，大概是 大概，它它它，它是不是大概应该是这个样子啊？这个圆做的可能不太不太规范， 这表格可能有一些不太规范，大概是这个样子的，对不对？好，那我们来看一下它和它到底有哪些焦点呢？首先第一个焦点 很明显是在这点，对不对？对称过来的，然后它这个是十三，那它这个也应该是十三，十三，十二，这是十三，这是十二，那这里就应该也是五，所以说点 c 的 第一个坐标就诞生了，就是五斗零，对吧？ 那我们来看点 c 的 第二个坐标呢？哎，我们一直向上，向上，所以我们发现它和外轴有一个交点在这里，对不对啊？好，这是 c 二，这是第二个点坐标，我们发现啊， c a b a 等于 bc 二，是不是？然后他们又是一个等腰三角形，它是十三，那这里也是十三了，对不对？好， 因为这时候我们知道 c 二和 b 之间的距离是十三，并且呢， b 的 坐标是零到十二， c 二在它的上面，那就是十二，加上十三应该就等于二十五，所以说 c 二的第二个坐标就是，哎，零到二十五。 好，接着我们继续检查，哎，他过来，过来的时候是不是和 x 又有一个焦点，但是此时这个焦点是 a 点，再过来的时候他和 y 轴又有一个焦点，对不对？我们令它为 c 三，那此时我们发现 b a 是 十十三，那 bc 三也是十三，对吧？那 b 的 坐标是十二，零到十二，那我们知道 十二减去十三，它就等于负一，所以说 c 三的坐标就找到了点， c 的 三个坐标是 五到零，零到二十五和零到负一。好，这就是一次函数和等幺四幺形结合的时候。我们的方法是什么呢？就是看他的 让他让，看他是以谁让，哪两个边是相等的，哪两个边相等，那我们以这个公共点为圆心，然后以他们已知的边长为半径，然后作圆，然后去找他这个动点 c 就 可以了。好吧，同学们听明白了吗？