北师大版八年级下平行四边形基础题

分享一个八年级关于平行四边形面积实际应用的问题，这是一个表述比较长的文字，我们要学会从 复杂文字中提炼出数学问题。在一个平行四边形 a、 b、 c、 d 中，他说这是一个公园的平面视域， a、 b、 c、 d 呢？是四个入口， 呃，主干道 a、 c 和 b、 d， 也就是两条对角线，帮助解决一下问题。其实这个都不重要，重要的就是后面这些已知条件， ab 等于一， ac 等于二点四， b、 d 等于二， 求共圆的面积。我要知道平行四边形中面积我们求出一半或者是四分之一，就解决掉整个平行四边形的问题了。那现在我们通过划分已知条件， o 点是中点，分别 o、 b 等于 o， d 等于一， o， a 等于 o、 c 等于一点二， ab 是 一，都标注好。发现这个面积的解决有一个非常好的条件，就是一个等腰三角形，因为我们要想求出这个面积的话，要知道高，我们过点 b 做 啊，我们看到这个一一刚刚好是个等腰三角形，根据三线合一做垂线之后，这一点二又划分零点六，在这个直角三角形中，通过勾股定律求出 bh 等于零点八，那么整个面积就已经解决掉了。底是二点四，高是零点八， 这是平行四边形面积的二分之一，再乘以二。还有种办法直接在 a、 o、 b 中去解决，它是整个平行四边形面积的四分之一，为什么四分之一，这个二分之一好好懂，因为 整个 a、 d、 c 和 a、 b、 c 它们两个大三角形全等。那这个呢？有同学可能会想，哎，这个平行四边形和不是这个三角形和这个三角形它看起来完全形状不一样，那为什么 a、 o、 b 是 平行四边形面积的四分之一？因为 a、 o 和 这个三角 a、 o， b 和三角形 b、 o， c 也好， a、 o， d 也好，它们两个。 拿 b、 o、 c 来说，因为 b、 o、 c 和 a、 o， d 是 全等的，我们用 b、 o、 c 来说底， o， a 和 o c 是 相等的，那么它的高又是共用一条高，对吧？另外，如果我们用 a、 o、 d 来说的话，也是一样的，因为 b、 o 和 o、 d 相等，底高是一样的，对不对？ b、 o 做底， o， d 做底，他们的高又是一样的，所以说那它 a、 o、 b 就是 整个四边形 abc 拼四边形 abc 面积的四分之一。再看第二问，同样用到这个， 这是在呃公园中修建了三条绿道， a， n， m， n， c， 其中点 m 在 o b 上，点 n 在 o d 上。另外呢，有个重要条件就是 b m 等于 o n， b m 等于 o n， 那 么 o m 就 等于 d n。 那 么我就说看到 把这条对角线 b、 d 划分成了两部分，它加它就等于它加它。它问的是这两个围成的绿地面积 a m， a， n， o 和 c m o 的 面积是多少？ 要想求这个面积，我们看到它和它并不相等，所以说两个面积不可能求出一个。我们要把这个问题两个孤立的三角形 转换出去，也许就会变得简单。那我们看到平行四边形中只要共用底，那么它高是相等的呀。 o m， 我 们连接 o、 n 这两个三角形，我们可以看到，我画一下它的高，来看一下三角形 a、 o、 m。 若过点 a 作 垂线垂直于 b d， 以及过点 c 垂线垂直于 b、 d， 我 会发现这两个大三角形 a、 o b 和 c o d 它肯定是全等的，全等之后它的高也是相等，共用一条底啊，所以这两条高是相等的，对吧？所以 同时这个高又是这两个小三角形 a、 o m 的 以及 c o m 的 高，所以说这两个三角形是全等，面积是这两个三角形是面积相等的，所以我们就把这个 c o m 转换到 a o m 上，那 绿地面积就变成了一个完整的三角形 a m n， a m n。 其中根据已知条件等量关系，这两段加起来 a m、 n 就是 整个 b、 d 对 角线的一半， b， d 是 二， m n 就是 一。 另外第一问，我们已经求出了平行四边形 a、 b、 c 的 面积，所以我们不需要去再具体的求 amn 的 大大小，不需要去用底乘以高的方式，因为我们看到什么这段是对角线面积的一半，高又是这个 也就相当于这个三角形 a、 a、 m、 n 是 三角形 a、 b、 d 的 一半啊，底是一半，高，相等，对吧？所以它就是整个平行四边形面积的四分之一 和第一问，这个 a、 o、 b 是 四分之一， b o c c o d， a o d 分 别是整个平行四边形面积的四分之一，是一样的道理，这就是平行四边形面积的应用。

这道题是山东临沂的这个题目，呃，压轴题，说明是选择题的最后一题。这个题目，呃，他说这个四边形 a、 b、 c、 d， 呃，这边是垂直的关系，这边也垂直， 然后呢？他说这个 a、 b 等于十二， a b 是 等于十二， bc 是 减去 id 是 等于五，那我我可以把这个，把它，把它做出来嘛？ bc 减 id 是 不是应该就等于它了？ 我比方这个点为点 m， 那 这个 b、 c 减去 id 是 不是应该就等于 c m 啊？等于五吧，对吧？因为矩形嘛，长方形的吧，这个正好这样的，那你这个，这边是五，长方形的这边又是十二， 那说明 c、 d 是 等于多少？呃，通过通过这个勾股定律的话， c、 d 就 应该等于十三了，对吧？ c、 d 等于十三。下面让我们求这个正方形的这个边长， 正方形边长的话，我们可以观察发现哦，你看这个，你看，你先从看左边看，先从四边形看，四边形的话，一分为四，中间保持不动，中间正好正好是正方形，正好跟这个两个是一模一样的， 因为它共边嘛，正好一样的，那一样的话，那我们就可以得出来。那让我们求正好求个正方形边长，你看有什么相等关系啊？你看一下这边，这地方是有关系的，我比方这个点为比方这个点，为什么？这个点为 e 吧， 这边是 f 点，我比方这边点为点 g， 你 看一下这个这个黄色部分， f g 是 不是应该就等于 c g 啊， 对吧？是不是他对应关系嘛？对吧？然后下面我们看这个 d、 e 跟 e、 f 的 这个中间有什么关？这个图画的也不是太标准，但是没这个不标准，没关系，这个不影响做，因为我们可以推断出来，你比方这边垂着，这边也垂直关系，那说明的话，那说明还有这个边是等于这个边的， 我用黑色表示这个边是等于这个边的，因为都边长，对不对？然后呢？这个是直角的两边，你看我用 我用蓝色的吧，这个是直角的两边正好分别两侧，所以说我们可以得出来什么？得出来这个 d e 是 等于这个 e f 的， 那既然相等的话，那说明正好一半，正好这个 c d 一 半，所以边长是等于多少？正好等于二分之十三嘛，对吧？因为正好是分一分为二，所以所以这个题的答案是二分之，这个十三相当于 c d 的 一半。这个题目是这样做的。

今天教我们的中考第十五个知识点，平行四边形。讲之前，咱们看一下上次全等三角形留的例题， a、 b、 c 围绕 a 点旋转后再翻折得到 a、 d、 e， 他俩是全等的。连接 d、 c、 b、 e 交于点 f。 求证点 f 在 c、 a、 e 的 角平行线上。首先解这道题，我们先要证明三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 d、 c 这个也很好证明，对吧？ a、 d 等于 ab 角 d、 a、 e 加上这个空白的角等于角 b、 a、 c 加上空白的角，再加上 a、 e 是等于 a、 c 的。 根据边角边，咱们就可以证明出来三角形 a、 b、 e 等于三角形 a、 d、 c。 第一步应该不难，第二步， a、 d、 e。 通过全等我们可以得到 a、 d、 c 是 等于角 a、 b、 e 的， 进而可以得到这个角 fbc， fbc 是 等于角 f、 d、 e 的， 对不对？ 因为角，因为角 b 和角 d 是 相等的，那它减去这个一样一样大的角，它们也是相等，又因为 d、 e 等于 bc， 它们是对应关系，对，零角相等，所以我们根据 a、 s 可以 得到三角形 d、 f、 e 是 全等于三角形 b、 f、 c 的 这一块和这一块是全等的，对吧？连接 if， 那 a、 e 等于 a、 c 的 f、 e 是 等于 f、 c 的， 对吧？ f、 e 等于 f c， f 又等于 f， 那 进一步就可以证明三角形 a、 f、 e 是 等全等于三角形 f、 c 的， 就这一块全等于这一块，那既然全等，那他们两个角，那 a、 f 这条直线就是平分角 c、 a、 e 的。 这道题是我自己出的，如果你这道题能够解出来，说明你全等三角形的能力提升一下。如果你上节课的三角形 全等学掌握的不够深入，那你做平行四边形应该是比较困难的，几何他就是这样，你上一环学的比较深入，那你这一环就会比较简单， 学起来应该也会比较的轻松。好吧。平行四边形的话，主要喊三个知识点，一个是中心对准图形，第二个就是平行四边形的判定定力，第三个就是求证 矩形、正方形和菱形。中心对称图形的话，经常是作为选择题来考，考的频率也不是很高，三年大概能考一次，分数的话大概就一分。第二个平行四边形的判定正常是检查题考，也有可能和其他的高级知识点考，比如说圆，比如说函数一起考，矩形和正方形一样， 他们可能不会单独考，但是会结合其他的知识点一起考，比如动点，还有相似三角形。所有的几何题他不会，不会有人给你保证说单独去考，他 几何题通常是好多知识点一起考，所以每个知识点你都要理解透。做中心对称题有一个非常巧的有一个解析的思路，那就是画十字星，你给每个图上画上十字星，只要不相邻的两块，他是对称的。什么叫不相邻两块？就是这一块和这一块， 这一块和这一块，他只要是能对称上，那说明他就是中心对称图形，那这里面你一眼就能看出来，对吧？那 b 和 c 谁是既是轴对称又是中心对称的？很显然是 b， 对 吧？ c 他 不是轴对称，你怎么也找不到 c 的 这个对称轴。 那第二题一样，先把十字型画出来，你发现每一块他几乎都是可以一一对应的，他们都是朝上的， 按理说这个朝上，这个应该朝下，对吧？所以 a 不是 啊。答案一个就是选 b， 一个就是选 a。 来看下面的这些二零二五年的侵权题，如图， abc， 如图。在三角形 a、 b、 c、 中， o、 d 分 别是 abbc 的 中点 o、 d， 它就是中位线，过点 a 做 a， e 平行于 b， c 交 d， o 延长线于 e， 连接 a， d 连接 a、 d、 b、 e。 求证四边形 a、 e、 b、 d 是 平行四边形。首先 o、 d， 它是中位线， 中位线它平行第三边，对吧？所以角 c 就 等于角 o、 d、 b。 角 c 等于角 o、 d、 b。 这个 o、 d、 b 又等于一个角 a、 e、 d， 对 吧？因为 a、 e 平行 abc 嘛，所以这两角也相等，那它有共边，所以三角形这个 a、 e、 d 啊，就等于三角形的三角形 a、 e、 d 全等于三角形 a、 c、 d 对吧？还有个内错角，这个角钝角，它是内错角，角边证明它是全等，它证明它全等了之后，那 cd 就 等于 ae 平行且相等，它是个平行四边形。第二问， ab 等于 ac， ab 等于 ac， ac 等于 ab 等于 ab 等于 ab， 等于 ab 等于 ab。 如果 abd 等于 cd 等于 cd， 所以 abd 等于 cd， 也就等于 ae， a、 e 平行且等于平行且等于 b、 d。 所以 说 a、 e、 b、 d。 它就是个平行四边形，那就说明它是个矩形。那整题答案就出来了。好吧，你光听我说也没用，你把这个，我把这个解析写在这里，如果听不懂的话，可以看一下。来看下一题。矩形 a、 b、 c、 d 意是 a、 d 中点 连接 c， e 延长延长 b， a 交于 f 连接 a， c、 c、 d。 证明 a、 c、 d、 f 是 个平行四边形。但很显然啊，这几个这个对零角，这个是内错角，这也是内错角。 a、 e 又等于 e、 d， 他 们俩就是全等三角形，对吧？ a、 f、 e 全等于三角形 d、 c、 e， 所以 它就是个平行四边形。第二问，当 c、 f 平分 b、 c、 d 的 时候，请写出 bc 与 cd 的 关系，那它平分的时候，我们就直接， 我们直接做这个 e、 g 垂直于 bc 于这点角。平分线的最重要的定律就是它到线两端的距离是相等的，所以 e、 d 就 等于 e、 g， 所以 e、 d 就 等于 e、 g， 那 这个角是直角，这个角也是直角，这个角也是直角。三个角是直角，所以它就是个矩形，那它是个矩形。 e、 d 又等于 e、 g， 那他就是个正方形。邻边相等的矩形是正方形，那 e、 d 是 二分之一的 a、 d， 也就是二分之一的 b， c、 e、 d 又等于 c、 d， 所以 b、 c 就 等于二倍的 c、 d。 下一题吉林中考的这一题的难度我觉得还可以，如果这一题你也能做出来，那说明平行边形的基础，这是你掌握的已经很不错了。来看题， abcd 是 矩形，纸片 翻折翻折 c、 b 正好在他的角平分线，在他的对角线上， e、 d 分 别分别是折痕与这个 dc 与 ab 的 交点，那 f 和 h 分 别是 b 和 d 的 对应点。 求证，平行四边形 a、 e、 c、 d 是 平行四边形。平行四边形我们讲过了啊， 思路就是正他是正他和他是全等，或者正他和他是全等，对吧？你二选其一，就可以把它整出来。第二问，若 ab 是 四， bc 是 三，那 ac 就是 五。求线段 e、 f 的 长度。这一题非常的好，能够结合我们之前讲的知识点， 如果这一题你做不出来，说明你前面的知识点和这个四拼四边形这个知识点都含有一定的水分，需要加强练习。 平四边形的知识点不是很多，整体难度也不是很高，如果要证明的话，通常会作为第一问来证明。第一问的分数通常是三到四分，一般的话是不会做压轴题的，只有结合咱们的高等数学题，结合咱们的高级知识，比如咱们的语言二次函数。 然后呢？选择题的话就一个对称中心，对称图形有个一分左右，整体的话在五分。 啪啪啪。