八上数学第三次月考几何压轴题带答案

hello， 大家好，今天我们继续来讲解八上的数学题。看到这张试卷的第二十五题，在平面直角坐标系 x o y 中，已知三角形 a b c， 且点 a 是 在第一项线，点 b 呢，是在 x 的 正半轴上。 第一题呢，是如图一，已知点 b 与点 o， 关于直线 a 的 a 的是对称的。注意这个对称啊，它隐含了很多信息，角 a b o 等于角 b a o。 求证，三角形 a b o 是 等边三角形， 那么我刚把这个对称做出来是什么意思呢？其实我第一次做的时候看这个对称还是比较复，把它搞复杂化了的，什么意思呢？就是看啊，他说 b o 是 关于直线 a 的 对称， 那我就先算是 o 的 等于 b 的， 然后呢，它对它对它对，对称的话， 就是这样嘛，而且对称的话，这中间也会是垂直，我就用先占了一个全等，然后再占的 o a 等于 ab。 但是实际上什么呢？ 你看它关于 b 与 o， 关于直线 a 的 对称，而且 b 与 o 它连接的都是 a 点，所以因为它对称的话， o a 就 直接等于 ab 了，这就没有其他的那个那么复杂的东西。那么首先呢， 我们来看啊，因为 b 与 o 关于直线 a 的 对称， 所以什么？所以 o a 就 直接等于 b a 了， 就不用把它那么复杂化。那么呢，可能是因为我太绕了一点。然后呢，接下来这个吧，角 a b o 等于角 b a o 就是 这个角等于这个角， 那我们知道它是等边三角形，这不就很简单了吗？ o a 等于 b a 呀，然后又因为角 a b o 等于角 b a o， 所以呢， o a 是 等于 o b 的， 所以啊，这三条边就相等了， 所以它就是等边四角形。 好，那么接着直接来看到第二题，如图二在等边三角形 a、 b、 o 中点的呢，是边 o、 b 上的一个动点，而 e、 f 所分别也是 这个 a、 o、 a、 b 上的一点，当各点运动至如图所示的位置时呢，连接的一和的 f 满足这个一的 f 是 六十度，我们来标一下， 这也是六十度，其实我们标到这个六十度，而且啊，它后面还说一多等于多 f， 是 不是我们就想到了一下三棱角的模型，这个是在我们之前的视频中是讲过的。那么再看，若 a b 等于四，求 a e 加上 af 的 值。 好，那么首先我们直接用一线三等角，因为得一得 b 是 三角形 e、 o d 的 外角，所以呢， o、 e、 d 就是 我画的这个角啊，加上角 a o b 就是 这个角会等于 e 的 b， 这是外角的定义，外角的呃，外角的性质，那么而且 a、 o、 b 等于角， e 的 f 都等于六十度，所以这图黑的角就等于这一图黑的角，明白吗？ 这两角相等之后呢，它还有一条边吧，是不是都是，而且这个角和这个角都是六十度，这个是等边三角形可以推出来的。那这里这个详细的这个外角，不知，我就不写，我就不写了啊，简单的写下思路， 三角形 o、 e、 d 全等于三角形 b 的 f， 它的判定是什么？它的这个角，这个角和这条边是不是两角和它的对边，也就是 a a s？ 好，那么接着就继续转完全等之后，我们要怎么弄呢？我们目的是证明，求证这个 a 一 加上 a f 的 值， a 一 这条是不是相当于就是 o v 减去 o 一， 而 o 一 呢？我们通过全等可以转化成 o e， 是 不是转换成比得这个角，而 b 就是 比得两边，而 o a 呢？因为 o b 是 跟它一样的呀，所以就是 o b 减去得 b， 也就是说 a 一 这条边是等于 o d 这条边的，这个可以理解吧。 那么继续就是来看接下来下一条线呢，是 a f a f 呢？呃，它其实也是可以转换成两条线的差，跟它一样的就是 a b 和 b f 的 差。 那么继续就是等于 o b 减去 b f， 是 不是可以转换成 o 的 这个角， o 的 这角边就等于 b 的？ 那好了，这下我们把它转换成我们以可以可以算的这个值，也就是说 a e 加上 a f 就 等于 o b o 的 加上 b 的 也就等于 o b， 而 o b 我 们知道等于 o， a b 对 不对？等于四，那就直接我就先直接写了啊，等于四。那么第二问题就是轻松的解决了，主要是这个一线三等角的这个模型，大家可以去听一下我之前的这个视频。 那么第三点啊，就是如图三在等边的三角形 a b o 中点的呢？是 o b 的 中点，点的是 o b 的 中点 延长 o a 至点 c， 使得 c 等于 b 的， 这个它是打错了，这里应该是使得 a c 等于 b 的 连接 c 的 交 a b 于点，点 m 作的一垂直于 a， b 于点 e。 然后呢说 e m 等于三，让我们求等边三角形 a b o 的 边长。 首先我们看到啊，这条边等于这条边，对不对？ e m 等于三， 我们只知道 em 等于三，让我们求的是相当于求三角形 ab 的 o 的 边长，就相当于是求 ab 的 边 ab 的 长度，那么我们只知道 em 这条边的边长是不是要将 am 和 be 可以，嗯，先加一下，然后转化一下，然后转化成这个三，这是我们的猜想啊，那我们怎么来转化呢？其实也是一个在等边三角形中比较常见的做辅助线的方法，就是我们 过点的向 a 一 做的 n 平行于 l o c 就是 做平行线的方法，这样呢，我们就可以证明 b 的 n 是 个等边三角形。为什么呢？ 做平行线的话，同尾角相等，这都是六十度，这也是六十度，也就是说三个角都是六十度的话，就可以证明它是等边的三角形， 然后交 a b 于点 n， 那 是辅助线的做法。那么接下来呢，我们需要将 a m 和 b e 转化成这个 e m 怎么去转呢？是不是需要用全等来证明？首先呢，它是等边三角形吧， 我们是不是可以证明一得 n 和一得 b 成的在这也是垂直的，然后它有条公共的边， 其实这两个角都是六十度，所以我们直接我就，我就先直接写上去了啊。 三角形 n 得 e 全等于三角形 b 得一，用的判定方法是什么呢？一个六十度，一个垂直，然后一个空空边，也就是 a s， 其实还用可以用很多种方法整，还有就是 h l 也是可以整的，因为它是得平面直角形的。 那么接下来呢，照完它旋转之后，是不是得 b 就 等于可以转换成得 n 这个向量？那再看它是不是还有个条件是 a c 等于 b d， 既然 a c 等于 b d 的 话，是不是 a c 就 等于得 n， 那 利用 a c 等于得 n， 我 们是不是又想来遮下这两个三角形圈呢？也就可以进一步证明， a m 等于 m n 不 就可以转化了？是不是？ 在下有个对顶角吧，这很容易找的。而且我们再来看，它做的是平行的线，而 a c 这是延长的，也就是说这样子 是一个内错角，对不对？这样子也就是说我飙黑的车，这两个角是相等的吧，是不是？也就是说我们有两个角和一条边了，就可以证明了？ 我就直接写了，那个过程我刚刚讲过，就不再多说了。三角形 c a m 全等于三角形的 n m， 这是不是就是用的 a a s 的 平方吧，应该只能用 a a s 吧，是不是？那么既然这两个全等之后，是不是就把它转化了呢？ b e 等于 e n， 第二个全等就是 am 等于 m n， 所以 啊，这个 am 加上 b e 就 等于 m e 等于三，所以呢， ab 就是 am 加上 b e 再加上 m e 就等于三的两倍法，就是六。那么这样的话，等边三角形 a b o 的 边长也就求出来了。那么这是今天这道题的讲解，谢谢大家。

同学们好，我们先来看一下周兰第三次月考的这个题目啊，如图，等腰三角，直角三角形 a， b c 角 a b c， 这个角是九十度 啊，第一题很简单啊，这是一个直角模型，对吧？还有我们求这个角 b 的 坐标。对于这个直角模型而言啊，我们通常的做辅助线就是过点 c 往 y 走，做垂线， 那么直线薄写啊，这个角 c， b 的 这个角加上角 a、 b， o 等于九十度。角 o， a， b 加上角 a， b、 o 同样等于九十度， 同角的与角相等，所以啊， c， b 的 和 o， a、 b 相等， 再加上这个边 a， b 和 b c 相等啊，再加上我们的这个直角，所以用角角边定，你这两个三角形是全等的，得到了咱们的这个 c 的 等于 o， b 都等于五，所以 b 的 坐标呢，是零五。 好，我们来看第二问，如图二， x 轴恰好平分 b， a， c 啊， c 的 呢，也是垂直 x 轴的，要我们求 c 的 和 a、 m 的 一个比值， 这是不是角平分线啊？我们角平分线有四种，这个模型，辅助线模型，那么这一个的模型叫垂中间啊，这个垂中间对不对？好，我们来看一看， 延长 abc 的 交于点一，那么有了它以后呢，我们可以看到啊，这个 有一个对顶角，对吧？ b m， a 和的 m， c 是 对顶角， abm 和 c 的 m， 这是不是都是直角啊，所以立马就得到 b a， m 这一个角等于的 c， m 这一个角，对不对？再加上这个 abm 和 c b， e 啊，这个是直角 啊，还有一条边 ab 等于 bc， 所以呢，我们可以得到三角形 a、 b， m 和三角形 c， b， e 是 全等的。好，全等完以后呢，我们就可以得到 a m 等于 c e 了， 我们来看一下啊， x 轴是把 b a、 c 平分的对不对？那么有了这个平分，下面还有一个直角，所以我们得到这个三角形 c a 的 和三角形一 a 的是全等的，全等完以后，这个 c 的 啊，是不是就等于这个的一了？等于二分之一的 c 一， 对不对？而我们的 c 一 呢，是等于 am 的， 那么题目要我们求的这个 c 的 比上 am， 那 就是二分之一的关系 好，我们来看第三问，如图三点 a 的 坐标是负四和零，然后呢点 b， 告诉我们在 y 轴上运动 啊，这里做了三角形 o， b， f 和 a b， e 都是等腰直角三角形，自己做一下标记，题目问我们这个 p b 啊，它的长度是否会发生变化 啊？仔细来看， a b e， 这里是九十度， a o b 这也是九十度。所以呢，我们看一下直角模型， 过点一往外走，做一根垂线，我们很快就可以看到三角形 a、 o b 和三角形 b g、 e 这两个三角形是全等的，对不对？那么全等以后，我们的 a o 和这一个 b g 是 不是都是相等？都等于四，然后呢，这个 o b 是 不是等于 e g 啊？ 再来看等腰直角三角形 o b f o b f 当中的 o b 和 b f 是 相等的，所以啊，我们这个 b f 呢，就等于 e g 了，等量大家换一下， 哎，仔细看一下，这是不是 e g p 和 f b p， 这是不是八字模型啊？刚好又是直角的对不对？我们利用角角边定理啊，角角边定理，这两个扇形是不是就全等了？ 说明什么？说明 b p 和 pg 相等，同时呢，它也等于这个二分之一的 pg， 我 们的这个 pg 不是 等于 a o 吗？对不对？所以就等于二。

宿州市八年级第三次数学试卷及答案。

大家好，今天为大家讲解一道比较隐晦的旋转产生全等的题，该题来自于合肥五十中二零二五到二零二六第三次月考，题中告诉我们如图，在锐角三角形 a、 b、 c 中 角 b， a、 c 等于四十五度 b、 d、 c、 e 分 别是边 a、 c， a、 b 的 高垂足分别为 d 和 e， 连接 d， e 绕地点，然后 d， e 啊 d、 e 线段绕地点，顺时针旋转，旋转九十度得到 d、 f， 然后连接了 ef， 交 a、 c 于点 g， 并且告诉我们 h、 h 是 bc 的 中点，然后它连接了这个 f， h， 连接了 f、 h 嗯 和 f h 和这个 af， 然后让我们判断就是下下列图里面哪个下列四个选项哪个是错误的。第一个就是让我们判断这个 b、 e 和 af 是否是相等的。这个题我我们为什么说它是个旋旋转产呃旋转的类的题呢？其实大家去仔细仔细，因为这里面线段确实是看着非常多，但其实这个图里面其实是有好几个等腰直角三角形。首先就是这个 a、 b、 d， 它是等腰直角三角形，因为首先就是 b、 d 是 边 a、 c 的 高，而且这个角 b、 a、 d 它是四十五度，那所以三角形 a、 b、 d 是 等腰直角三角形。然后另外就还有这个， 还有这个三角形 a、 e、 c， 它也是，它也是等腰直角三角形。另外就是它是由旋转得到一个等腰直角三角形，就是这个 f、 e、 d， 它是等腰直角三角形。再加上我们刚才说这个三角形 a、 d、 b， 它也是等腰直角三角形，而且它俩这个直角顶点 是重合在一起的，都是点 d， 那 所以这个其实像像三角形 e、 d、 f 就 相当于是可以看作是由三角形 a、 b、 d 进行旋转并且缩放得到的， 所以由旋转作坊我们比较常见的，那其实这里面就出现了一对全等的三角形，就是这两个三角形，就是首先我们刚才说这两个，我再说一下这两个三角形它的对应点，大家可以看一下是哪哪两个谁和谁对应， 那首先其实就是 a 点和 f 点是对应的， b 点和 e 点是对应的，那所以这里边我们连了 af， 连了 b、 e， 其实就得到了一组全等三角形，就是这个 a、 a、 f、 d 三角形和 b、 e、 d 三角形，它是全等。因为这个证明其实也也比较简单，首先就是因为 因为这个角 e、 d、 f， 它是九十度，而角 a、 d、 b 也是九十度，那么他们减去减去这个公共的角 e、 d、 a， 那 么我们就得到这个角 a、 d、 f 和角 b、 d、 e， 它俩是相等的，然后又有边 e、 d 和 d、 f 相等， a、 d 和 b、 d 相等，那所以三角形 b、 d、 e 和三角形 a、 d、 f， 它就是全等，所以我们就得到了这个 b、 e 和 af， 它它是相等的。 然后我们来看这个，来看这个第二个，第二个它是让我们判断这个 e、 f、 e、 f 和 bc 的 关系， 我们为了判断这个啊，判断这个 e、 f 和 bc， 其实这里面我们仍然要把它放在三角形里面，它是没有那么直接的关系去判断，我们现在是要放在这两个三角形，大家看一下 就是这个三角形 a、 e、 f 和这个三角形 abc 这两个三角形，刚才其实我们已经证明出来，就是这个 b、 e 和这个 a、 f， 它俩是啊，它俩是相等的。然后又有这个三角形 a、 e、 c， 它是等腰直角三角形，那所以其实这个 a、 e 和 e、 c 它是相等的。然后另外这个角 b、 e、 c、 b、 e、 c， 它是直角，对吧？那我们再再来看一下这个角 e、 af， 其实 e af 它也是也是一个直角。首先就是因为这个角 e、 a、 c， 它肯定是四十五度，是吧？啊？ e a、 c 这个四十五度，这个角它是这个题中告诉我们的。那我们再看看这个角 d a、 f， 这个角 d a、 f， 这个角它和角 d、 b a， 它是相等的。这个其实是由刚才我们证明这个三角形 a、 d、 f 和 三角形 b、 d、 e 是 全等得出来的。而这个角 a、 b、 d 这个角其实它也它也是四十。因为我们在三角形 a、 b、 d 里面看到它是等腰直角三角形，所以这个角 e、 a、 d 加上角 d、 a、 f， 它也是也是九十度的。 所以这样的话，其实我们就由这个就由边角边证明出来。三角形 f、 a、 e 和三角形 三角形 b、 e、 c 其实也是全等的，那所以其实我们就可以证明出来 ef 和 bc 它是相等的。然后接下来我们看这个，看这个 c 选，看这个 c 选项啊， c 选项它是让我们判断就是这个 a， e 比上 b e 是 否和 c g 比上 a g， 我 们来把这个线段标一下啊，就是 a e 是 在这里， 然后 b e 是 在这里，对吧？那 a e 比 b e， 那 其实我们刚才其实已经证出来这个 b、 e 和 af 是 相等，对吧？所以也就是说这个 a e 比上 b e， 它其实也是等于这个 a e 比上 af 的， 因为 be 和 af 是 相等的，然后我们再看一下这个 c g 和 a g， 啊， 啊， c g 是 在这里，然后 a g， a g 是 在这里啊， c g 和 a g 这里面其实它我们可能还要再看一下这两个三角形， 我们看一下这两个呢，就是这个 a g f 这个三角形和 c g e 这两个三角形，这因为刚才他让我们看这个 c g 和 a g 的 比值，这很很有可能就是个八字的八字的相似，对吧？呃，因为 因为这里面其实我们刚才其实已经证出来这个 fa 它是垂直于 ea 的， 而 c e 又是 ab 边的高线，那所以其实这个 c e 和 af 它是平行的，那所以这个三角形 agf 和三角形 age 它其实是一个， 其实就是一个八字的相似，所以这个右边这个 c g 比上 ag， c g 比上 a g， 它就是等于这个 ec 比上 af 的， 对吧？我们刚才挣出来这个 a e 比 b e， 它是等于 a e 比 af， 而这个我们其实现在是不是就要确定一下 a e 和 ec 是 不是相等的， 而这个 a e 就是 这条边， ec 是 这一条边，对吧？那它很显然是相等，因为三角形 a e c 它是等腰直角三角形，那所以这个 c 选项也是正确的，对吧？ 呃，如果是题做到这里，其实我们已经可以选出来这个 d 肯定是错的，那但是我们作为学习呢，可能要继续看一下它现在是让我们判断这个角 e f h， 角 e f h， 它的这个啊角 e f h， 它的正切值，那所以我们来看一下这里面其实它它有几个关系，就是啊，它题中告诉我们这个 h， 题中告诉我们这个 h 是 bc 的 中点，是吧？那所以这个其实 e h 这条边，那它其实就是这个三角形， 其实就是呃直角三角形 b e c 这个斜边的中线，那所以这个 e h 它很显然是等于这个二分之一 b c 的， 因为他问的我们是这个 tangent 角 e f h， 所以 其实这个我们首先还要判断一下这个三角形啊，就是我画的这个三角形 f e h 它的形状，其实我们肯定猜想它这个 f e h 这个角肯定是直角， 但是我们作为学习呢，肯定是还是要仔细去判断一下啊，就是它到底是不是直角。这个里面其实我们刚才已经证出来这个 f a e 和 e h c 它其实是是一个全等的三角形，那所以这个角 a e f 这个角 就这个角 e c f， 它其实是肯定是相等的。 然后这个角 a e f 啊，那就肯定加上加上这个角 e b、 h 就 这个角，我这里面我会标注二，这个角加起来肯定就是九十度，因为这个角 e c b 加上 e b h 是 九十度，那所以然后又由于这个 e h 是 这个直角三角形 b e c 斜边的中线，那所以这个角 e b、 h 其实是等于角 h e b 的， 也就是等于这个角的，那所以这个由这里面我们就得到这个 a e f 加上 b e h 是 九十度，那所以角 f e h 它也是九十度。也就是说这个三角形 f e h 是 直角三角形，那所以这个贪镜它角 e f h， 其实它就是等于这个 e h 比上 e f， 而这个 e f， 其实我们又刚才知道三角形 a e f 啊，和这个三角形 c e b 它是全等，所以这个 e e f 它其实又是等于 bc 的， 对吧？那 bc 这个刚才我们又看出来这个 e h 它又是二分之一 bc， 那 所以这个很显然这个摊进它角 e f h 应该是等于二分之一的，所以这个 d 选项是错误的。 这个题里面他其实考察的这个三角形全等啊，八字相似啊，就是各种线段都是错综复杂是非常多的，就是大家可以去好好去看看这道题啊，今天这道题就讲到这里，谢谢大家。