三角函数物理力学应用

鸡变偶不变，符号看象限！这句话听了无数遍，到底是什么意思？怎么运用？快叫上学习达子！十六分钟跟着小树一起拆解口诀，核心，吃透诱导公式，掌握使用方法，实战三类高频体型，全程无废话，帮你彻底搞懂诱导公式！ 欢迎来到小树老师的数学课堂，接下来我们将会用十五分钟时间带着大家快速记住所有诱导公式，并熟练掌握诱导公式的使用技巧。首先我们先来看一下第一组公式啊，我们要记住第一组公式的话，我们要先记住一句话，就是任意角 加上或者是减去二 k 的 整数倍，它的三角函数值是不变的，所以说我们这个 r 法加二 k 的 正弦值呢，它就等于我们的散引 r 法。我们的这个 r 加二 k 的 余弦值呢，它就等于我们的 r 法。这期函数比较特殊啊，因为它的周期是派，等我们后面讲函数图像的时候你就知道了，就是它的 r 法加 k 的 函数值呢，它就等于我们的它的 r 法。那么大家可能就会有一个问题说，老师，那我知道这个公式有什么用呢？我先问大家一个问题啊，请问三三分之派等多少？大家是不是都知道它等于二分之根号三，没问题吧？好，问题来了，请问在三 三分之十九派等于多少，你会发现你不知道了吧，为什么呀？因为三分之十九派特别大，那么有没有什么样的方式可以把它变小呢？哎，有，第一组一个公式就这个作用，我们可以把一个特别大的角通过加减二派的整数倍把它变小，它就等于多少呢？它就等于我们的塞三分之十九派，怎么样？你 直接给他减去一个三分之十八派。为什么是三分之十八派？因为三分之十八派它等于多少？它等于六派呀， 等于我们的二派的三倍，是不是相当于是我们二派的整数倍三角函数值怎么样不变，它就等于我们的在三分之派，等于我们的二分之根号三。所以你会发现诱导公式是不是很好使？接下来我们来看一下诱导公式的第二组公式。同样你要记住第二组公式的话，你要先记住一句话，就是正弦是奇函数，余弦是 偶函数。这个地方呢，有一个记忆的方法叫做震机，大家都去过牙科医院吧，在牙科医院当中呢，有一个学术名词叫震机，所说震弦是基函数，余弦是偶函数，它是基函数的话，那它是不是就满足我们基函数的定义？ f 负 x 等于什么呀？等于我们的负的 f x， 所以 说我们就可以知道哦。 find 负 r 等于多少？等于我们的负的 find r 法。而由于我们的这个余弦是偶函数，所以说 cosine 负 r 等于多少，它就等于我们的 cosine r 法。同样的给大家举个例子啊， find 三分之派，你刚是不是讲到过等于多少？等于二分之三，对吗？ 那么请问 find 负三分之派等于多少呢？根据我们刚刚所讲的的诱导公式，它是这样数，我们可以把这个符号怎么样放在外面，它就等于负的 find 三分之派就等于多少？就等于 我们的负的二分之二三，这就是我们诱导公式的前两组公式。紧接着我们来看一下诱导公式的剩下两组公式啊，这两组公式呢，看似特别繁杂，但是实际上我们只需要记住其中的两个，就能够记住剩下所有的公式。我们先来看一下第三组公式，我们只需要记住这个三元派减 r 发的结果是多少，那么剩下的三个呢，就可以根据它内在的规律全部都给记下来。 记住这个第一个公式呢，大家需要先记住一句话，就是互补的两个角，它的正弦值是相等的，什么样的两个角是互补的，其实就加起来等于派呗，那就是我们的派减 r 法与我们的这个 r 法，所以说散引派减 r 法就等于什么？它就等于我们的散引 r 法。那么为什么说我们记住这第一个公式，下面的三个公式你就都知道了，因为只有第一个公式， 他前面的符号以及后面的三角函数名呗。那么你就记住 只有 sin 派减，而法化减之后的结果是正的，剩下的下面三个全部都是负的，这样符号你是不是就不会搞混了？然后大家在自己看这个辅导书的时候，有没有听过一句话叫积变偶不变呢？那这个积和偶指的是什么东西呢？它其实指的是前面的这个派，和 这个派有什么关系呢？你会发现这个派呢，它可以写成是二分之派，乘上一个二，这个二是个什么数啊？是个偶数，这个偶指的是我们刚刚公式里面的那个偶变的，那个偶不变指的是三角函数名不变。如果说前面是正弦， 后面就是正弦，前面是余弦，后面就是余弦。所以由此你可以把下面三个的三角函数都可以写出来。前面是正弦的吧，那第二个空呢，就等于散减而法， 而最后两个呢，自然就是我们的过散而法。所以说是不是就是我刚给大家讲到的，你只需要记住，散减派减而法等于正的散减而法。后面的三个公式是不是都知道了？ 因为只有第一个是正号，后面三个呢，都是负号。同样的方法，我们可以用来记忆第四组公式，因为只有第一个扩散二分之派加尔法，它的符号是负的，剩下的三个呢，都是正的。所以你是不是只需要记住第一个公式就好了？ 然后回到我们刚刚那个口诀，积变偶不变。我们刚刚是不是讲到过，你看前面的这个二分之派，它可以写成什么呀？它可以写成我们的二分之派乘一啊。这个一是个什么数？是一个基数，这个基对应的就是我们的基变， 比如他的三角函数名会发生变化，如果前面是余弦的话，那后面就是正弦。同样的道理，如果前面是正弦呢？后面就是余弦。所以说整个的这八个公式，我们是不是只需要记住前面这两个公式就好了？接下来呢，我们就带着大家去证明一下 四组的第一个公式，要证明这个扩散二分之二加 r 等于负的散元 r 的 话，本质上其实还是要借助我们在上一个视频给大家讲到的三角函数定义来 证明我们的三角函数是在一个单位里面定义的。我们说如果说这个角 r 的 中边，我们 单元相交了，假如说交于 p 点，这个 p 点坐标呢，我们可以写为 x y， 我 们过这个 p 点呢，做一个垂线下来，假如说这个垂足呢，是 p 一 撇，那我们就可以知道怎么样。哎，我们的萨因阿尔法，它其实对应的就是我们的纵坐标 y， 而我们的扩散阿尔法呢，它对应的就是我们的横坐标 x， 而我们的 tangent 阿尔法呢，它就等于我们的 y b x 吧。这是我们在上一个视频上面是不是讲到过的，如果说有同学不知道的话，我建议你去看一下我们的上一个视频， 三角函数定义的解释都讲的非常清楚，那么我们这个时候接下来就需要思考另外一个问题了，就是请问这个二分之派加而法与这个而法是什么关系？我们是不是讲到过逆时针旋转是正角加了一个二分之派，相当于这个中边怎么样？逆时针旋转了二分之派个单位就是多少单位， 九十多个单位，那我们给他画一下这个图像，把它中边怎么样旋转了，我们的九十度就是二分之派加而法的中边与我们的单位原交于 q 点，我们 同样的道理过 q 点呢，做一个 x 轴垂线，假如说垂轴是 q 一 撇，你会发现一个特有意思的事情，是什么呢？就是这个红色的三角形和这个绿色的三角形是怎么样？ 是全等的，因为它们角度一样怎么样边长也是一样长的，所以说这两个三角形怎么样全等，那么全等有什么好处呢？就是对应边是一样的，我说长度是一样长，但是你会发现怎么样 q 点的横坐标应该是负的吧，就这个 q 点的横坐标是多少？ 是负外啊，要注意符号，那么纵坐标呢，自然就是 x， 所以 我们可以把这个 q 点的坐标给它怎么样写出来？横坐标是负外，纵坐标是 x。 根据我们的三角函数定义，我们就可以知道扩散这个二分之派加 r 法怎么样，它就等于我们的负外啊， 横坐标嘛，它就等于我们的负的，在 r 法就证明完了。同样的道理，大家也可以用这个方法呢去证明我们其他的所有的诱导公式，感兴趣的同学呢，可以把你的证明过程发在你评论区，我可以帮你看一看。讲完了诱导公式的记忆和证明方法之后呢，接下来我们要给大家讲一讲诱导公式的三种 成考题型。先看第一种题型，就是利用诱导公式求值。这几道题呢，我建议大家可以先暂停，自己做一做，然后再来听我讲。首先我们先来看一下第一道题啊，我们要求这个三分之二零二四派的正弦值， 会发现这个三分之二零二四派怎么样，是不是特大呀？特别大的角，咱们是不是并不在我们的所要去背的那个三角函数表里头，所以我们就要想一个办法把它变小一些，有没有什么样的方式可以把它变小？有的就是刚刚讲的第一组公式，任何一个角加上或者是减去二派的 整数倍的三角函数值是不变的，所以它就怎么样，它就等于我们的 side， 三分之二零二四派减去一个三分之二零二二派，那么大家可能就会问了说，老师，为什么是三分之二零二二派啊？这个三分之二零二二派到底是怎么来的？很简单，因为三分之二零二二派 等于什么呀？它等于六百七十四 pi 呀？它是不是等于三百三十七？乘上一个二 pi 是 不是我们的二 pi 的 整数倍？我们刚是讲到过，加上或者是减去二 pi 的 整数倍，它的三角函数值不变的，所以它就直接等于我们的 side 三分之二 pi。 我 们之前是不是给大家讲过零到 pi 的 三角函数值， side 三分之二 pi 等多少？ 二分之高三直接就能出结果了。同样的道理，我们来看一下第二个，他不是让你求这个扩散负的三分之十派吗？三分之十派怎么样？挺大的，我们就要想办法给他变小一些，能给他变小，我们只需要给他加上一个多少来着三分之十二派就好了。 为什么是加上一个三分之十二派呢？因为这是距离他最近的二派的整数倍四派吗？是不是它就等于多少？它就等于我们的扩散三分之二派就等于多少呢？ 等于我们的负的二分之一。可能会有同学说，老师呢，我要是记不住扩散三分之二败怎么办？那就建议大家看一下我们的上一个视频。我们在上一个视频里面其实是给大家详细的去讲了一下怎么去快速记住我们的三角函数，而第三题和第四题呢，我们就给他留置练习， 大家可以把你们的答案发在评论区，帮大家看一下你是否做正确了。讲完了诱导公式的第一种题型之后呢？接下来我们给大家去讲诱导公式的第二种常用考法，就是利用诱导公式来进行化解。下面这道题好像看起来特别复杂，就是一大堆乱七八糟的公式堆在了一起， 实际上你把每一个公式呢单独分开来看的话，它就没有那么复杂了。我们先来看第一个式子，扩散二分之七派减 r 法。这个二分之七派减 r 法呢？你是没法直接用我们刚刚所讲的公式化简的吧。为什么呀？因为二分之七派太大了， 那你就要想有没有哪个公式可以把一个比较大的角变小。刚刚是不是讲过了？可以啊，任何一个角加上或者是减去二派的整数倍，它的三角函数值是不是不变？因为这样的原理的话，我们就可以怎么样直接给他减去一个二分之几派。二分之八派吗？ 这个地方减去的是二分之八派，不是二分之六派。为什么呀？因为二分之八派等于四派啊，四派是二派的整数倍吧，它的值是不变的，所以它就等于我们 一开始的二分之七派减二派的余弦值。你进一步，它就等于我们的扩散负 r 法。减去二分之派。我们是不是讲到过余弦是什么函数？余弦是偶函数啊，所以它就等于我们的扩散二分之派 加 r 法。因为是不是说到过只有它是 负的？紧接着我们再来看一下第二个式子，就是贪念的阿尔法，加上一个派，它就等于多少？它就等于我们的贪念的阿尔法。为什么呀？因为我们讲到过正切比较特殊啊，正切的周期是派，所以说贪念的阿尔法加派呢？它就等于贪念的阿尔法。我们在后面给大家讲正切函数图像的时候，你会发现也能够再次去强化这个概念，就是正切函数的 周期就是派。我们再来看一下第三个式子，就是这个扩散二派减阿尔法这个二派吧。我们是不是一直在 重复一句话，就是任何一个角加上或者是减去二派的整数倍，它的三角函数值是不变的，就是我们可以直接减掉一个二派，它就等于多少呢？它就等于我们的扩散负。而法。我们又说到过余弦是个什么函数，一个偶函数符号可以怎么样？直接扔掉它就等于我们的扩 散而法。这样子的话，我们是不是把我们的分子都化简完了呀？我们再来看一下分母啊，就是这个扩散而法呢，加上这个二分之五派，这个二分之五派是不是同样的有点大？ 我们把它变小，减去一个二派的整数倍就好了，所以说它就等于扩散 r 加上二分之五派，减去多少？减去二分之四派就好了，因为二分之四派就是我们的二派呀，它就等于我们的扩散二分之派加上 r 法等 于多少？它是不是就等于我们的负的三眼 r 法，最后呢，是不是还剩下了一个三眼？二分之三派加 r 法，同样的道理我们可以怎么处理？我们可以给它减去一个二分之四派呢？因为二分之三派有点大， 等于多少呢？它就等于 sine 哎， r 减去一个二分之 pi 就 等于多少呢？就等于我们的负的 sine 二、分之 pi 减 r。 为什么要提个负号出去？因为我们讲到过正弦是一个奇函数，我们有符号呢，要把负号提到外面去，它就等于多少呢？它就等于负的 cosine r。 这样子的话，我们是不是把分母的式子呢都给它写完了，那么由此我们就可以得到我们的 原式，它就等于什么呢？你分子分母分开给它带进去啊，那就是我们的负的散减 r 法，乘上一个贪婪的 r 法，这个地方一定要仔细点，别写错了啊，再乘上一个扩散 r 法，因为咱们刚刚不是化简完了吗？你看这是负的散减 r 法吧，这是贪婪的 r 法。这个地方是不是我们的扩散 r 法我们都给它带进去了吧，而分母 去看一下，别忘了人家这个地方还有个平方啊，那所以它就等于什么呢？负的 sine alpha 的 平方再乘上一个多少呢？乘上一个负的扩散 alpha。 我 们都知道这个正切等于正弦，比于弦嘛，所以我们会发现它约分约掉了之后呢，就等于一个扩散 alpha 呢？分 之一这地方他是不是告诉你 r 的 取值呢？六分之派，所以他就等于多少呢？我们的扩散六分之派分之一。扩散六分之派等于多少？等于二分之根号三。那最终结果呢？就等于我们的二分之根号三分之一，就等于我们的三分之二倍根号三。最后呢，我们来给大家讲一讲，在诱导公式这个板块当中，确儿八十对于大家来说有一定难度体现 是构造法的应用，为什么说这种题型对于大家来说有一定难度呢，因为你会发现我们之前所讲到那种利用六道公式直接化简的方法呢，在这道题当中不太现实了，为什么？因为你会发现这些角度呢？都是三分之派、六分之派和三分之二派，它并不是我们刚 公式当中所讲到的二分之派呀，二派呀，派呀这种非常规整的公式里面现成的角度，对吧？那在这种情况下我们应该怎么办呢？大家记住了啊，以后遇到类似于这样的题型的时候，一定要去思考一下，就是这些角它相互之间有没有可能存在一些什么样的内在关系？什么意思？ 比如大家来看一下，你看这个第一个角是多少？是我们的三分之派加 x， 也说这两个角虽然说不是标准意义上的诱导公式，但是你会发现他们俩怎么样 加起来等于二分之派。你观察一下，这个三分之派减 x， 加上一个我们的这个六分之派加 x， 它是不等于二分之派啊，这不就和我们的一个公式能够关联上了吗？而你再看一下，我们的这个三分之派减 x 和我们的什么呀？和我们的这个三分之二派加 x， 它能怎么样？所以说这个三分之派减 x 和我们的这个三分之二派加 x， 它也是有关系的，加起来等于派呗。那么由此我们就可以借助他们整体上所存在的一些关系去使用我们的导公式。为了简洁一点呢，我们把这个式子呢给大家化简一下，我们另前面这个角呢为 r 法哎， 这个角呢为 beta， 这个角呢为伽玛哎，你就会发现，怎么样你会发现这个阿尔法加上这个 beta 是 不是等于二分之派？这没问题吧？刚刚是不是写过了紫色的笔记？而这个阿尔法加上这个伽玛呢？是不是等于派？有了这样的一个准备工作之后呢？我们就可以把这道题简化一下，可以简化成什么呢？ 它可以简化为已知向量阿尔法等于三分之派，阿尔法加上这个伽玛呢？等于我们的派，然后让求什么呢？ 求这个 sine beta 减去一个 cosine gamma。 你 这样处理之后之后呢，你会发现这个题就没有那么复杂了吧，因为这个 alpha 加 beta 等于二分之派，所以这个 beta 等于多少？它就等于二分之派减去 alpha 吧。那则我们的这个 sine beta 呢？它是不是就等于 sine 二分之派 减 alpha， 这不就是我们的诱导公式吗？它就等于我们的 cosine alpha 没问题吧？而我们的这个 gamma 呢，它是不是等于我们的 pi 减去 alpha， 则我们的这个扩散伽马，它就等于扩散派减阿尔法就等于多少？就等于我们的负的扩散阿尔法。所以你必须要对诱导公式的最基础公式呢足够的熟悉，所以原式就等于多少？它其实求的就是扩散阿尔法减去一个负的扩散阿尔法，它的值让，其实就是让，求什么呢？急求我们的二倍扩散阿尔法的值呗。 怎么去求这个扩散算法的值呢？你会发现他是不是前面告诉了你，这个散样法等于三分之六啊？我们都知道有一个公式叫做同角关系呗，那就是散方 r 法加上一个扩散方 r 法 是不是等于一啊？你要带进去之后呢，就可以得到这个扩散方 r 法呢，等于多少？等于三分之一？那么问题来了，扩散 r 法等于三分之一，请问他开放之后应该是取正数呢还是取负数 地方？大家要注意点细节，因为它告诉你这个 x 的 范围是零到二分之派吧，在第一项线对吗？那么我们的这个三分之派减 x， 因为它的正弦值等于三分之二六大于零，所以说三分之派减 x 是 不是也在第一项弦？ r 方是第一项弦角， 它的正弦和余弦都是正数，所以说由此呢，我们就可以知道这个扩散 r 法它是大于零的，那么则我们的这个扩散 r 法呢，就等于我们的正的 三分之根号三， ok 吗？就是最终这个结果等于多少？等于二，乘上一个三分之二倍根号三就做完了。那么这个第二题呢，我们就给大家留声，课后练习，大家可以在你的聊天框里面发出你的答案，我来帮你看一看 你是否真正掌握了这种解题技巧。以上呢，就是我们关于各道公式的三种常考题型，希望对于大家的学习会有帮助。下一期我们将会带大家去了解三角函数的基本抽象性质，关注我带你掌握更多的数学知识。

我们用魔方来研究三角函数，三角函数我们都知道是研究直角三角形的， 它的角与边的关系，比如说 sin 阿拉法等于阿拉法对的直角边与斜边的比值，那么 cosine 阿拉法等于它的零边与斜边的比值。 而我们魔方当中有很多相关的内容，那么你在我们现在拿到的魔方当中，你是否看到了三角函数？你是否看到了它的具体应用？

我们看五点二三角函数的概念，我们先回忆一下初中学过的三角函数，先看一下这个直角三角形，它是三四五码，然后三呢，就是它的对边比斜边就是三比五，然后 cosine 呢，就是它的零边比斜边是四比五， ten 呢，就是它的对边比零边就是三比四，那么这个是同样的道理，能求出它的这些值， 这个三角函数的大小，比如说 sin 的 alpha， 这个值的大小呢？它其实只是跟这个角的大小有关系，它跟这个三角形的大小是没有关系的吧？你可以看一下这两个三角形是相似的吧，那么这两个角肯定是一样大的， 对不对？你算出来的这个三引阿法，你这里是五分之三，你这里是啊，十分之六，化简之后也是五分之三，其他的都是同理的啊。所以我们这个三角函数的这个函数值， 它其实只是跟这个角的大小有关系，跟这些边的长度是没有关系的啊。好，那么我们来看一下高中对三角函数的定义，就是把它放到一个圆里面， 然后呢，这个是它的使边，然后经过旋转得到了一个中边，对吧？那么它的中边跟这个圆的一个焦点，我们记作为 p， 它有它的坐标，对吧？ 接下来就是和初中一样，我们得把它放在一个直角三角形里面，所以我过这个 p 点做了个垂线下来，那么就能围成一个直角三角形，那么这个 r 法的三角形呢，就是它的对边比上这个斜边，也就是这个 y 比上 r， 然后它的 cosine 呢，就是它的零边比上这个斜边，也就是这个 x 比上这个 r， 那 么它的 tenon 呢，就是它的对边比上它的零边吧，也就是 y 比上 x。 这个是第一项线角，它跟我们初中学的是很像的啊，然后第二项线角呢，它就跟初中不太一样了，我们这个是使边旋转之后得到的这个中边交汇这个点 r 法，它的 sign 呢，就是等于这个 p 点的 y 比上这个 r， 所以 sine r 法，它还是 y 比上 r， 那 么它这个角的 cosine 呢，就是等于它的 x 比上这个 r， 这个是它的 x， 这个是它的 r， 也就是 cosine 还是这个数。那么 tangent 也是同样的道理， 你的第三和第四象限也是这样去做。所以我们以后见到三的函数呢，就是把它放在一个圆里面，然后记这个中边和这个圆的交点为这个 p， 这个角的 sign 值呢，就是这个 p 点的 y 比上这个半径 r， 就是 y 比 r， 这个角的 cosine 呢，就是这个 p 点的 x 比上这个半径，也就是 x 比上 r， 那 么它的顶点呢，就是 y 比上 r， 就是 这样啊， 不管是哪个象限的角，我们这个半径 r 呢，他都能用勾股定律算出来吧，就是根号下 s 方加 y 方，对不对？所以这个半径肯定永远是个正数啊， 既然半径永远是个正数，那么我们这个角的三角值呢，他就全由这个 y 来决定了，就是这个 y 决定了这个三角 y 也是正的，所以在第一象限和第二象限，他的三角值都是正的， 那么第三象限和第四象限，它的 y 是 负的吧，所以第三和第四象限它的三元值就是负的，就这么来的啊，所以我们看后面这里，这两个就是正的，然后下面两个就负的， 一二是正的，三四是负的，这是三元值。然后我们再来看这个，那么你这个 r 还是个正数，你这个 cosine 值的正负就全由这个 x 来决定吧。所以呢，我们看一下这个图， 你的这个第一项线和这个第四项线，它的 x 是 正的吧，所以这两个是正的。那么这两个这两个啊就是负的吧？负的，负的， ok， 所以呢， 它的 cosine 值呢，全由那个焦点的 x 决定，那么 x 在 一和四是正的，所以 cosine 值是正的， x 在 二和三是负的，所以这两个就是负的啊。 然后我们再看你这个 tangent 是 不是由 y 和 x 共同决定，那你想一下，第一项线 x， y 是 不是都正的，所以比出来那个 tangent 值就是正的。 然后第二项线是不是 y 是 正的， x 是 负的，所以它就是负的。第三项线是不是 x 是 负的， y 也是负的，负负得正。第四项线 x 是 正的， y 是 负的，所以比出来这个直角负的， ok， 这些要记住后面有用。 我们再看到这里问大家一个问题，我这个圆的半径，它的大小就是我这个圆大一点还是小一点，它会不会影响我这个角的三角函数值？会不会影响它的三 cosine？ 你 想一下， 答案是不会啊，前面讲这个地方的时候就已经讲过了，你这些 sine 值 cosine 值，它的大小只跟这个角的大小有关系，跟这些边的长短是没有关系的。我可以画一个大圆啊，我们画一个大圆， 你看，那么这里是不是有一根中边，它延长出来，就这个红色的边它延长出来啊， 这个红色的边延长出来，到这里，这个焦点是那个 p 啊，那么他做了个垂线下来，那你说这个三角形和这个小的三角形，他是不是相似的呀？他们两个角是一样的吗？ 那相似的他的这个对边比斜边，他比出来这个比值肯定是一样的吧。所以这个圆的大小，他并不影响我们研究他的三角函数值啊。 那既然不影响，我肯定要消除掉这个半径吧，对不对？所以我们就只研究单位圆，我让这个半径是等于一，那么这个 sign 呢？它就会变成了 y， cosine 呢？它就会变成 x， 天然还是 y b x， 所以 这是书上写的这个东西啊，你看，正弦就是 sign， 余弦就是 cosine， 然后正弦呢，就是这个 y 比上这个 x， 它就是 ten。 我 们这个 sin 和这个 cosine 呢，它都是没有限制的，也就是它直接等于 y， 直接等于 x， 但这个 y 比上 x 呢？它是不是要求分母不能是零啊？所以这里要求 x 不 能是零。 x 是 这个 p 点的横坐标啊， x 等于零，也就是 p 点落在 y 轴上面，也就是这个点和这个点吧。是不是当这个角的中边落在 y 轴上面的时候，这个 p 点它就落在 y 轴了吗？是不是二分之派加上 k 派？ 这是第一次再加 k 派， k 派， k 派， k 派是不是一直落在 y 轴上面？所以当这个算法等于二分之派加 k 派的时候，这个贪婪他是没有意义的。 那么我们就将这个正弦与弦正切，统称为三角函数。正弦函数呢，就是 y 等于三 x， 这个 s 是 没有限制的， y 等于 cos x， x 也是没有限制的。 ten x 的 时候呢，我们要求这个 s， s 就是 这个时候的 r 法啊， s 是 那个角， 这个阿法呢，它就不等于二分之派加 k 派， k 是 属于这个。 ok， 我 们来看一下题目啊，先看一下这个利益，求这个三分之五派的正弦与弦正切，那就是先画一个圆出来， 这个角是三分之五派，它就比二派要少一点，所以这个角大概是位于这里啊， 整一圈是二派，三分之五派就比二派要少了个三分之派吧，说明这个角是三分之派。我们画的肯定是单位圆，所以这个蓝色的线是等于一，这个点的坐标我们就可以求了，我们往这里做个垂线下来， 三分之派呢，是个六十度，说明这边是个三十度，三十度所对的直角边是等于斜边的一半，所以这个是二分之一，那么这一根呢，就是二分之，刚好三吧， 二分之根号三，所以这个 p 点的坐标就有了啊，它的坐标就是二分之一，然后这个是 y 是 负的啊，是负的二分之根号三，这样就求出来了，那么它的 sine 值 sine 三分之五 pi， 它就会等于它的 y 吧，对不对？这些都有啊，就等于 y， 然后 cosine 就 等于 x， 等于 y 等于 x， 我 们来看一下，就等于它的 y 就是 负的二分之一，根号三，然后它的 cosine 就等于它的 x， 它的 x 是 二分之一，它的 tenon 就 等于 y， 比上 x 也就会等于负的二分之一，根号三，比上这个二分之一负根号三。好，那么这个例二我们就不看了，这个已经讲过了， 在这里都有啊，这个 r 都有啊，我们来看下这个啊。同样的，我们就是画一个单位圆， 然后找出它的中边，菱角的中边就位于这里，所以这个点就是 p 点，它是 e， 零。因为是单位圆，所以它的 sine 就 等于它的 y 等于零，它的 cosine 就 等于它的 x， 它的 x 是 一，它的 tangent 呢， 就会等于 y 比乘 x， y 是 零嘛，所以就是零。然后再看第二个二分之 pi， 那 就是位于这里了，这个角是九十度嘛，这个地方是二分之 pi， 所以 这个点的 p 呢？它是零一，那么 sine 的 二分之 pi， 它就等于它的 y 就是 一 cosine 二分之 pi 就 等于它的 x， 它的 x 是 零，然后 tangent 的 二分之 pi， 你 可以发现 y 比乘 x， x 是 零，所以它这个时候是不存在的啊。 好，我们继续看 pi 在 哪里？ pi 应该是这里吧，所以这个点是 p， pi 是 一百八啊，所以这个点是负一零。 那么 sine 的 pi 就 等于它的 y 等于零。 cosine 的 pi 呢？就等于它的 x 等于负一。 tensin 的 pi 呢？就等于 y 比上 x， 所以 等于零。然后二分之三 pi 应该是位于这个地方啊，我用黑笔应该是位于这个地方，这个零是 p， 那 么它的坐标是零负一，所以 sine 的 二分之三 pi， 它是等于它的 y 等于负一。 cosine 的 二分之三 pi， 它是等于它的 x 等于零。 tangent 的 二分之三 pi， 它是等于 y 比上 x， 它是不存在，因为 x 等于零。 ok， 我 们再看一下这边这个第三题， 这个 c 塔角的中间过这个点 p 嘛，那么很明显它画出来的圆的半径肯定是很大的， 是不是？这是负十二，然后这地方是五吧，位于这里，这一根半径他就是十三啊，所以这个角他是不是有可能是长这个样子的，只绕了一段吧，那他是不是还有可能是这样子的，再绕了一圈过来吧。所以他是怎么样 原本的这个 c 塔，原本的这个 c 塔再加上了一个二 k 牌吧，对不对？因为他不止可以绕一圈，对吧？一直转一直转一直转， 所以你发现什么中边相同的那些角，他的三角函数值都是一样大的，因为他只取决于这个点，这个点就是那个 p 点取决于他的 x， y 负十二和五百。所以我们来算一下 sin 的 theta， 它应该等于 y 比上 r， 所以 它会等于五比上十三吧， r 就是 那个半径，也就是这根十三啊，估估数。然后 cosine 的 theta， 它会等于 x 比上 r， x 是 负十二比上这个十三，那么 tenon， 他就会等于 y 比上 x， 他 会等于五比上负十二，也就是负的十二分之五。 ok， 通过这个题目的讲解，我们也就可以知道下面这些东西， 因为阿法加上一个二 k 派吗？他们中间都是相同的，所以他的三角函数的值肯定都是相同的。我们再来看一下最后两个公式， 就这里我们刚说过，我们是放在单位圆里面去研究的。然后这个点是 p， 它是 x， y， 那 么连接它这根线是半径，那么这个半径 r， 它是单位圆，它等于一，所以它会等于根号下 s 方加 y 方吧，对不对？那么我们的 x， 它是等于 cosine 的 阿尔法， y 是 等于 sine 的 阿尔法。你把这两个带到里面去，你就可以知道 sign alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方，开个根号，它会等于一两边平方，你就可以得到 sine 的 alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方会等于一，所以就能得到这个公式。然后下面这个东西呢，我们知道 tangent 的 alpha， 它是等于 y 比上 x 的 嘛， y 不 就是 sine alpha 吗？ x 就是 cosine alpha 就是 cosine alpha， 所以 它就能得到下面这个公式。 ok， 我 们来看一下这个例六，已知这个 sine， 求这个 cosine 和 tangent， 我 们不是有这个公式吗？所以我们就知道 cosine 的 alpha 的 平方，它会等于一减去 sine alpha 的 平方，他会等于一减去这个平方就是二十五分之九，所以他会等于二十五分之十六，那么他开根号应该取正负吧，所以我们就能得到 cosine 的 alpha 等于正的开根号就是五分之四，然后或 cosine 的 alpha 等于负的五分之四吧。那么这个时候是两个情况，我们要确定一下它是正的还是负的，或者说两个都可以，你就看一下这个 cosine alpha， 它是那个 y 嘛？ y 在 什么时候取负， 这是正的，这是正的，这是负的，这是负的，说明它是三四象限。那么三四象限，这个这个 cosine 呢？它不是都是 x 吗？ x 它是。 呃，这里是正的，这里是正负的，负的，负的，所以它是不是在三四象限可正可负啊？说明这两个值都有可能是答案啊。所以呢，当第一个情况， 当 cosine alpha 它等于这个五分之四的时候，那么这个 tangent alpha， 它会等于 sine alpha 比上 cosine alpha， 就 这公式啊，所以它会等于负的五分之三，比上 五分之四，也就是等于负的四分之三。第二种情况，当 cosine alpha 等于负的五分之四的时候， 天然的 alpha， 同样的，你用这个去算，算出来就是差一个符号，也就是四分之三，就这里 如果他是负的，那么 ten 人算出来就是正的，你看这里是负的， ten 人算出来是正的负，负的正嘛，然后如果他是正的，就上面这个算出来， ten 人就是负的，跟我们这算的是一样的啊。好，那么这是一种做法，我们还可以讲一下另外一种做法啊，我们再擦掉讲一下另外一种做法。 讲另外一种做法之前呢，我们得先看一下前面，也就是讲这里的时候啊，我们得把高中的这个定义和初中的这个定义给它联系起来。怎么联系呢？就是我们知道高中就是过这个中边与这个圆的这个焦点做个垂线下来吗？你就能得到这样的一个三角形。那么 你跟初中联系起来呢，就是造出了这个三角形之后呢，你找到这个圆点的这个角啊，圆点出发的这个角啊，那么这个角呢，他的这个三角函数值呢？就是我们这个点的中边的三角函数值了。 第一个他就完全跟初中是一样的，刚已经讲过了，我们直接看第二个啊，那么你就看你过这个中边的点，照了一个直角三角形出来之后呢，你就找到圆点出发的这个角，就这个地方啊，那么他的三角函数值，你看跟这个一不一样，你看这个角，我记住这个 叉啊，就是绿色的这个地方，那么它的 sign 是 不就是 y 比上 r？ 是 不是对边比斜边？是 y 比上 r 一 样的吗？它的 cosine 呢？是不是这个 x 比上这个 r？ 是 不是 x 比上 r， 那 么它的这个 呃摊子呢？是不是这个 y 比上这个 x， y 比上 x 是 一样的吗？只不过这里面的 y 和 x 也都是带符号的啊，你看你这个时候这个 x 是 个负数吗？对不对？所以它也是带符号的啊， 跟初中就是还是有点细微的差别，带符号要注意，我们看一下这个第三象限，那么这个时候呢，你就过这个点，照了一个直角三角形出来之后呢，你就找到圆点出发的这个 就这个角啊，还是用绿色写，就这个角吧，是不是圆点出发，是吧？然后他，你看他的 sign 是 不就是这个 y 比上这个 r， 然后他的 cosine 呢？是不就是这个 x 比上这个 r， 他的 tenon 呢？是不就是这个 y？ y 比上这个 x， 对 吧？都是一样的，跟这上面一样的。那么第四个图我就不啰嗦了啊，反正都是一样的。 好，那么这样你就跟初中联系到一块去了，那么这样做有什么好处呢？也就是我们不用管这个角的大小， 不用去管，说他多大，你就直接假设他是个锐角就行了，你看我们就在画 假设这个角就是阿法，就我也不管这个阿法是多大，我就假设他的这个角就行了，好，然后呢，他的他不就是这个对边吗？是三，然后这个斜边是五百，你看三比五，这个时候我们符号先站起来不看他，站起来不看他，所以三比五，那么根据勾股定律，三四五我们就求出来了， 所以他这个 cosine 的 阿法，你看 cosine 这个阿法是不就是这个零边比斜边啊，所以他会等于这个五分之四吧，那五分之四你这样确定的是它的值吧？我们再来根据这个象限确定它的符号，你看一下，因为这个 嗯三，它是小零的吗？所以它肯定是三四象限，那么你就一想，三四象限这个 cosine 是 怎么样的呀？是不是 扣三，这里是正的，这里是负的吧，所以他这个值可正可负，所以他应该是两个就扣三阿法等于负的五分之四，扣三阿法等于正的五分之四吧。然后下面就跟第一种做法是一样的了，这种方法也是通用的，你也可以用。我们再来看一下这个题啊， 看一下这个题啊。第一题，我们用第一种方法先来做啊，就是 sin 的 alpha 的 平方，它等于一减去 cosine， alpha 的 平方，它会等于一减去二十五分之十六，所以它等于二十五分之九。开平方出来， sin 应该等于 呃正负的五分之三，那么他自己已经跟你说了，他是第三象限，第三象限 sin 只能取负的，哼，所以 sin 的 alpha 就 等于 五分之三啊，负的加个符号，那么 ten 呢？就等于三 比上这个扣三，所以它等于负的五分之三，比上这个呃负的五分之四，负的五分之四，所以负负得正，它等于四分之三。好，这是第一种做法，就是用了这个公式啊，那么我们用刚讲的那第二种做法， 你不用去管这个角，它多大，你就当锐角就行了啊。好， 所以这个角是那个 alpha， 那 么它是 cosine 嘛？你也不用先不看这个符号啊，它是四比五，说明它的零边是四，斜边是五，那么这个就自然是三了，因为它是垂直的勾股数，然后我们要求它的 sine alpha， 它是不就是这个三比上这个五啊， 所以它其实就是五分之三。那 tenon 你 也可以顺便求吗？ tenon alpha 是 不就是三比上四啊？所以就是三比上四，然后再来确定符号吗？符号的话呢，这个是第三象限，就是你前面讲的这个，你要熟啊，就这些，你要熟 立马就反应的出来第三象限，这个，呃，肯定是负的，然后这个填减他是正的啊，所以这个答案是负的五分之三，这个是四分之三。 ok， 我 们再来看一下下面这个化简啊，就这个，这个你肯定用公式嘛， cosine 的 c， 它乘以这个天然 c， 它是不等于 cosine c， 它，所以它会等于 cosine c， 它 第一个题，第一个题花钱就是三 c 的， 然后第二个，嗯，这个一我不是可以改一下吗？对吧？ 一等于这个东西吗？等量代换啊，把它改一下，它就等于两倍的 cosine alpha 的 平方减去 cosine alpha 平方加上 cosine alpha 平方，比上一一就是 sin 阿法平方加上 cosine 阿法平方减去两倍的 sine 阿法平方，所以它会等于，呃，这个跟这个干掉一个，所以是 cosine 阿法平方加上不对， cosine 阿法平方减去 sin 阿法平方再比上下面的话呢，就是这个跟这个干掉一个，所以它是 cosine 阿法平方减去 cosine 阿法平方，所以它等于一，这个数是等于一。 好，我们再看最后一个啊，最后一个，这个直接重开吧。直接重开啊，它就是 cosine 阿法平方，再加上 tenan alpha 平方，乘以 cosine alpha 平方，然后换一下。 这个是 cosine alpha 平方，下面是 cosine alpha 平方，再乘个 cosine alpha 平方，然后这两个约分 他会等于 cosine alpha 平方加上 sine alpha 平方，等于一啊。好，所以这个数是等于一，然后再看最后一个。哼，这个第五个。求证这东西。这东西一看像啥？ 很像完全平方公式，会不会是不是很像？那你看咋弄啊？他像完全平方公式啊，因为这里是个四，然后这里是他的，他的一半吗？对吧？次数比他低一半，然后这个又是个平方，但是我希望这个东西是个四次吧， 所以我怎么样给他搞成四次？就是我希望照一个完全平方公式出来啊，所以我怎么弄？试一下塞阿法的四次 再加上三阿法平方。勾三阿法平方，再加上勾三阿法平方。我给他乘个一吧，乘个一，乘个一就是谁 乘个一就是三阿法平方，加勾三阿法平方，等于，对吧？没问题，然后给他打开就是三阿法四次。 找敲啊。加上 cosine alpha 平方乘以 sine alpha 平方，再加上 cosine alpha， 这是两次，两次就四次，四次等于一。你发现这个东西就是啥？这个和这个 啊，他就可以根据中间这个啊，这个，这个就两倍了吗？整理一下，就这样啊。三阿法四次乘以两倍的三阿法平方，加上。哎，不对， 是乘以 cosine alpha 平方，加上 cosine alpha 四次等于一，你发现这是啥？它这里是加的啊，它就是完全平方公式 cosine alpha 平方，加上 cosine alpha 平方再平方等于一， 你发现是不是？是不是这个东西完全平衡公式打开就等于上面这个没有算错啊，所以这里面是等于一吗？是一的平方，它还等于一吗？那我就正完了啊。好，我们就讲到这里。

大家好，欢迎跟我一起学数控车编程，今天主要讲三角函数，所谓的三角函数，就是说已知一个角和一条边，就可以轻松求出剩余两条边的边长， 依照这三个公式足够。第一个公式，三个角度等于对边，除以斜边，也就是角度的对边除以它的斜边。 第二个公式， cos 角度等于零边，除以斜边等于角度的零边，再除以这个斜边。第三个公式， cos 角度等于对边除以零边，等于角度的对边除以它的零边。 好，我们用三个公式来推导速控车图形， a 点， b 点， c 点它的一个直径和长度。首先我们知道圆弧起点直径为七十九点六二，这是已知的它的一个总夹角度为七十二度，那么它的单边角度为三十六度。 现在我们连接圆弧的圆形到边缘会得到一个三角形，我们把这个三角形移位到这里，那么得到这样的一个三角形，当然上面的角度也是一样的，包括圆弧还是二十。 所以呢，我们得到一个道理，也就是说这一个三角形给它解出来就可以了，那么主要是把 l 一 l 二求证出来就可以了。 那么三角度等于对边除以什么？斜边，斜边刚好等于什么？等于它的一个半径。所以呢，推导出来它的一个角度对边就直接等于多少 角度，对边直接等于三三十六，再乘以它的斜边等于十一点七六，好。那么这一段距离等于十一点七六，那么点 a， 它的一个长度呢？我们拿二十减去它的一个 啊，这条边的边长，既既可以得到它的一个点 a 的 一个 z 向，长度八点二四，好，那么再来看一下点 a 的 直径是多少 直径嘛？你要算那个 l 二，它的一个距离嘛？角度的零点与什么斜边的一个比值，用它的一个公式二求出来， 所以呢， cos cosine 角度乘以它的一个斜边，就是求出它的角度邻边，那么 l 二就等于 cosine 角度三十六，再乘以二十，得到一十一一十六点一八， 那么我们它这个是占了一个半径值，所以呢，要乘以它的两倍，再加上七十九点六二。好了，那么点 a 那 一个直径为七十九点六二，再加上两倍了 啊，十六点一八，最终算了一一一点九八，那么点 a 点点 a 的 一个长度和直径轻松可以算出来，往前看，然后点 b， 那 么这个点，那么这个点 b 的 话， 首先我们要算出什么呢？算出它的一个点 a 和点 b 的 一个距离。好了，刚才已经讲了，这个三角形跟上面这个三角形是一模一样的，所以它的长度都是一样的， 总距离为四十八，四十八减去两倍，这个八点二四。好，四十八减去两倍的八点二四，最终算的三十一点五二，也就是说这条边等于三十一点五二， 现在我们要知道这个角度为三十六度计算角度的对边，我们计算这个对边以后，然后呢两倍这个直径也是直径加上两倍的角度对边，就会算出点 b 的 一个什么直径， 那么我们可以先算这个点 b 的 一个什么点 b 的 一个长度吧，长度还用算吗？兄弟们，四十八减去八点二四，对不对？好，那么四十八减去八点二四，那么三十九点七六，那么所以点 b 的 一个 z 项位置为 z 负的三十九点七六， 点 b 的 直径呢？再点 a 的 直径一，一点九八，加上两倍的什么 temperature， 三十六，再乘以啊，它的长度啊，三十一点五二，最终算得一百五十七点七八， 我们用公式来代表了这个角啊，角度对边那个长度啊，需要乘以它两倍，再加上一百一十一点九八，好，那么点 b 也是非常的轻松，对不对？那么只剩一个点啊，那么点点 c 的 话，长度还用算吗？兄弟们，不用算，因为呢，它。

嘿，同学，量角度，你还在用度这个老单位吗？快醒醒！数学家们早就偷偷升级了，他们换上了弧度痣，听名字是不是有点糊涂？别怕，一分钟让你摸清门道！想象一下，有个单位圆半径是一，在这里，数学家说，长度等于半径的弧，它所对的圆心角就叫一弧度，简单粗暴吧，那绕圆一周，弧长是二派， 所以注意了，核心公式要爆炸了！三百六十度等于二派，相当于一百八十度，记住这个，你就成功了一半！来，实战一下，把一百五十度换成弧度， 秘诀就一句，度化弧乘以一百八十分之派，所以一百五十度等于一百五十乘以一百八十分之派约分。咔嚓！看，就这么丝滑！哎，重点来了，你顺手算算他在单位员上的坐标，一百五十度在第二项线， cosine 是 负的，三是正的，所以横坐标负二分之根号三纵坐标二分之一， 看，这是连成线了吧！最后敲黑板，记住这个防守滑口诀，渡化弧乘一百八十分之派弧化度乘派分之一百八十千万，千万别记反了，不然你的三角函数计算可就废了！好了，度量横搞定，下集我们给三角函数六兄弟发身份证，看看谁才是真正的大哥，我们不见不散！