曲线凹凸性定义

同学们大家好，这节课我们学习曲线的凹凸性及拐点。曲线的凹凸性及拐点包括两方面的内容， 第一，曲线的凹凸性，在曲线的凹凸性这部分，我们会学习曲线凹凸性的定义，曲线凹凸性的判定。第二，曲线的拐点，在曲线的拐点这部分，我们会学习拐点的定义及拐点的判定。 健看第一部分，曲线的凹凸性定义是，函数 y 等于 fx 在 b 区间 ab 上连续在开区间 ab 内可导， 那么当曲线总位于提上每一点处且线的上方时，则称曲线 fx 在区间 ab 内是凹 函数。哎，当曲线总位于其上每一点出且线的下方时，则称曲线 fx 在区间 ab 内是托函数。 看下面两个函数图像，这条曲线他总是位于其上每一点处的上方有定义，这条曲线在 ab 内就是凹的。 看这条曲线他总是位于其上每一点处且线的下方， 且线为这里，曲线在且线的下方，因此由定义他是凸的。 那么在这里一定要记清凹函数和托函数的特征。 看下面两幅图，通过图像我们进一步观察曲线凹凸性与倒数的关系。这是一条定义在区间 ab 上的曲线， 曲线总是位于每一点处且线的上方有凹凸性的定义。 fx 在区间 ab 类是凹的， 并且我们发现，随着 x 的不断增大，且线斜率在不断增大，且线斜率就是函数的一节导。一节导在增大，说明函数是单调递增的， 函数是单调递增的，因此函数的导数及他的两节导数就是大于零的。同样，我们看这条曲线， 曲线总是位于其上每一点处且线的下方有定义，它是定义在曲线 ab 上的一个托函数。 我们通过观察，随着 x 的不断增大，且线斜率在不断减小，且线斜率就是他的一节导数。一节导数在不断减少，即单调递减 函数在单调地点，因此它的导数是小于零的及两节导数性而零。因此我们可以根据两节导数的符号来判断曲线的凹凸性。 定理，曲线凹凸性的判定定理是，函数 fx 在区间 ab 内具有两节导数，则一。 当两节倒数大于零时，曲线 fx 在 ab 内是凹的。哎，当两节导数小于零时，曲线 fx 在区间 ab 内是凸的。 第一判断函数的凹凸性，函数为 y 等于 e 的 x 方。要判断函数的凹凸性，我们就用它的判定定理来判定及两节导数的符号。两节导数大于零，函数在区间内就是凹的。 两节导数小于零，函数在区间内是突的。好，那么在求两节导数之前，要求他的定义域 y 等于 e 的 x 次方，他的定义欲为 整个实数 y 的倒数为 e 的 x 方， y 的两 接到仍然为 e 的 x 方，并且 e 的 x 方在整个时数内他都是大于零的。所以读定理， y 等于 e 的 x 方，在 r 类 是高的。 i。 曲线的拐点定义，若曲线 y 等于 f x， 再点 x 零， f x 零的左右两侧凹凸性相反， 则称点 x 零， fx 零为曲线 fx 的拐点，那么拐点实际上是曲线凹凸性的分界点，因为它两侧的凹凸性相反。我们 看这条曲线这一点处的且线把曲线分成两部分，在他的左侧，曲线总是位于且线的下方，因此由定义曲线在这一部分是凸的， 在这一部分，曲线总是位于其上每一点处，且线的上方有定义曲线在这一部分是凹的，那么这一点就是曲线凹凸性的分界点。 挤拐点，你把它记成 f 四零 fx 零，那么一定要注意这个记号，因为他是在曲线上的一点，所以必须写成这个样子。 另外，凹函数两结导数大于零，凸函数两结导数小于零，那么凹凸性的分界点及拐点 点处，它既不是大于零，也不是小于零，那么两节导数就是等于零的。那么除此之外，在拐点处也可能是两节导数不存在的点， 那么这里跟极值就有相似之处，可能的极值点为一节导数等于零的点以及一节导数不存在的点，那么可能的拐点就是两节导数等于零的点及两节导数不存在的点。 那么有一个拐点的必要条件就是 在拐点处如果两结倒数存在，那么两结倒数就等于零。再看拐点的一个充分条件， 定理是，函数 y 等于 fx， 在点 x 零处的某领域类有连续的两节导数，在某领域类有连续的两节导，那么在 x 零处，两节导可能存在，也可能不存在。如果在点 x 零的两侧，两节导数为一号， 那么点 x 零 fx 零就是曲线 fx 的一个拐点。这个定理就是我们判定拐点的依据。那么在判定拐点的时候，我们首先要找出两节导数等于零的点以及两节导数不存在的点， 再来判定在这些点两侧，他的两结导数是不是一号。如果他两侧两结导数是同号的， 都大于零或者都小于零，那么这个点就不是拐点。如果在这个点的两侧，他的是一号的， 则这个点就是曲线的拐点，那么这个其实跟我们判定极致的时候是一样的。极致那一块我们判定的是先找出所有的一节导数等于零的电以及一节导数不存在的电， 然后再判定在数两侧函数的单调性是不是一致及一节导数的符号是不是一致。一节导数 符号一致时，那么就说他不是极致电，如果一结倒数符号不一致，就说他是极致电。综上， 我们就可以得到判定曲线 y 等于 fx 凹凸性和拐点的步骤，一、确定函数的定义域。二、求出该函数的两节导。三、求出两节导等于零的点以及两节导数不存在的点。 四、用三中求出的点把函数的定义域划分为若干区间，考察量解导数在各区间内的符号，那么从而有定力判定曲线在各区间上的凹凸性，并且求出拐点。 立案求曲线 y 等于 x 开三次方的凹凸性和拐点。求曲线的凹凸性和拐点。严格按照上面的步骤来做。第一步，求函数的定义欲歪等于根号下 x 开三次方，第一 意为整个实数，因为只开三次方，对 x 的正负没有要求， 再来求他的两节导，先求一节导， x 开三次方就是 x 的三分之一次方，他的导数为三分之一， x 的三分之一减一，负三分之二， 负三分之二，那么这里就在分母上。三分之一， x 的三分之二，次方分之一，求两节，倒 三分之一乘以负三分之二，再乘以 x 的负三分之二减一，即三分之五，那么这一部分仍然在分母上，这块是 富的九分之爱， x 的三分之五，四方分之一。从两节导函数可以看出， x 等于零是两节导数不存在的点， 并且函数没有两阶倒数等于零的点，因为它份子上是长数，那么 x 等于零。就把定律分为两个区间列表， x， y 的两节导 y， x 为负，无穷到零，但是零零到正无穷，依次判定两节导在这两个区间内的符号。 在富穷的两人上取上一个富，一富一时，这一块为富。九分之二为正，在这一块取上一个零到正无穷取上一个一，这块是富，这是两阶倒不存在的点。 那么在这一部分，曲线是凹的，在这一部分，曲线是凸的，两侧的凹凸性不一致，因此这个点就是曲线的拐点。 那么把 x 等于零带入元函数得到 y 等于零，因此曲线在负穷到零上是凹的，在零到正无穷上是凸的，那么它的拐点是零零点。 第三，已知点 ei 是曲线， y 等于 a， x 立方加 b x 平方的拐点，求 a b 的值，已知曲线上的拐点，那么要知道第一个条件就是拐点在曲线上， 他既然在曲线上，就会满足曲线的方程。第二，拐点处如果两节倒数存在，则两节倒数等于零。我们来看， 首先把一爱带入曲线， a x 立方 加 bx 平方，我们会得到函数为二， ea 加 b， 那么在拐点处再看两节导数是否存在。 y 撇等于三， a x 平方加 i， b x 两节导为六， a x 加 i， b 两接到显然存在，那么把 x 等于一带入两接到等于零。六、 a 加 i b， 那么一是与爱是连立方程组去得到。 由一 i 等于 a 加 b， 得到 a 就等于 i 减 b， 把 a 等于 i 减 b 带入 i 式，那么 i 式化减之后是三 a 加 b 等于零， 即把 a 换成 a 减 b 加 b 等于零，那么就是六减 i， b 等于零，得到 b 等于三，再看 a， a 加 b 等于二， a 等于负。一、 本节课需要掌握的知识点，一、理解曲线凹凸性及拐点的定义。二会求给定曲线的凹凸性及拐点。 三、会求已知曲线拐点涉及到的参数问题。好，这节课就到这里。

各位朋友大家好，欢迎来到柠檬数学微课堂，今天我们继续学习曲线的凹凸性。上一次的视频中，我们了解了什么是曲线的凹凸性，那么这次我们来学习如何半段给定曲线的凹凸性。 那么判断曲线凹凸性的方法，第一种定义法就是按照我们上次视频中所给的定义来判断，那这种方法呃使用起来不太方便，因为你要去验证对任意的 xy 呢，都成立那样的一个不等式， 那接下来所以我们给出判定法，判断法，那就是我们可以借助于函数的二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性。 那如如果二阶倒数呢，大于零，说明我们的函数在所给定的区间是凹的，那如果二阶导数小于零，说明曲线呢，在所给定的区间是凸的 好，所以呢，遇到凹凸性的判别的话，我们可以直接使用这样一个呃结论去进行判断。 比如说我们看一个简单的例子，判断曲线 y 等于 x 三次方的凹凸性，那这个函数是非常简单的，我们就可以利用刚才的结论， 我们来求一下 y 的一阶倒数，他就等于三倍的 x 平方， y 的二阶倒数就等于六倍的 x。 接下来我们分情况讨论，那如果 x 小于零的话， y 两撇 是小于零的，那所以呢，曲线在负无穷到零的时候呢，他是凸的， 那如果 x 大于零的外两撇呢，就是大于零，那曲线在零到正无穷内呢，就是凹的。 那我们来再来观察一下， y 一撇是等于三倍的 x 平方，也就是呃大于等于零的，那所以呢，我们去画这个 y 等于 x 的三次方的话，我们就知道他是单调递增的， 因为 y 的一阶倒数大于等于零，对任意的 x， 那外两撇呢？通过下面的讨论，我们知道呢， x 小于零的时候呢，它是凸的，所以呢，它是在单调递增啊，但在这段区 间内啊，在这左半，在零点的左边呢，他是凸的，在零点的右边大于零呢，他是凹的啊，虽然是都是单增啊，他的凹凸性呢， 是有所不同的啊，凹凸性是有所不同的。那这就是。呃，这个 y 等于 x 的三次方，他的函数图像，所以呢，有了凹凸性，在结合上单调性，我们在绘制函数图像的时候呢，就更加的精确。 好，那么这就是我们今天的内容啊，非常简单的呃，一次内容。好，感谢大家的观看，再见。

大家好，今天啊，我们来研究函数的凹凸性，我们知道函数的性质有非常多，比如说单调性啊，周期性等等，今天我们就来研究他的凹凸性。我们先来看着这个图， 从 a 到 b， 可以选择直接由直线连过去，也可以从上面经过 d 过去，还可以从下面这样经过 e 过去。那我们把从上面过的这种呢叫做这个函数是凸的，从下面过的这种呢叫做函数是凹的。 那具体什么叫突的，什么叫凹的，他们又是如何判定的呢？我们来看这两个图，我给出了第一个图，在这段区间上任选 x 一 x 二这么两个点，那么他们的终点就是二分 分之 x 一加 x 二，那 x 一 x 二分别对应的他们的函数值就是 fx 一和 fx 二，那终点对应的函数值呢？就应该是 f 二分之 x 一加 x 二呢？ 这时候只用直线连接这两点的话，那终点的函数值就明显小于这两端点函数值的平均值，那我们把这具有这种性质的函数图像叫做它是凹的。 同样的道理，我们来看这个图，还是任选了 xxr， 还是同样去分析他的终点函数值与连线以后端点函数值的平均值的大小关系，那我们就能得到相似的结论。 那我们进一步来想，到底如何判定一个函数是凹的或者一个函数是凸的呢？我们先来看凹的，如果一个函数是凹的，那么他的单调性是不会发生变化的， 单调性不变，说明他的一阶倒数应该是横号的。继续来看的话，整个二阶倒数就应该是大于零的。 同样来看这里的话，他是凸的，说明他的单调性不会发生变化，但是函数的变化率在越变越小，就说明他的一阶倒数在慢慢的变小， 那继续说明的话，就是他的二阶岛应该是小于零的，这就是函数的凹凸性，你听懂了吗？

hello， 大家好，我是考验数学冰冰老师，我们今天呢给大家讲解函数曲线的凹凸性以及拐点。我们今天先讲解第一小部分就是凹凸性。凹凸性呢，首先在图像上来讲，大家要知道它的呃形状啊，比方说我们今天看呃 屏幕前的这个第一啊，首先在这里面我们分别给了两种曲线，一个是红色曲线壶，一个是蓝色曲线壶， 那么图片当中的这个红色曲线壶呢，一般叫做呃向上凹，当然了，我们在考案当中也不按他的向上向下，也就是凹啊下凹类型的啊， 那么蓝色曲线壶呢，就有向上凸哎，属于凸起壶啊两种，那么这两种其实就代表了函数曲线的一种凹凸性啊。 比方说我们在呃两个湖的具体函数图像当中，我们如何去呃描述他的这个定义？呃，比方左边这个图像，假设他现在是一个凹图像，那么凹图像当中我们会发现啊，呃，壶当中任意两点 所做的弦总是位于壶的上方，那么同样呢，像这种凸起的，那么任意两点所连成的这个弦始终在壶的下方，所以这个就对应于我们定义的来源 啊，石像就是函数的啊，凹函数和托函数性，那么这样我们就得到了我们今天第一个比较重要的凹凸性定义。首先第一个定义就是呃左边这个图像，因为我现在在左边这个图像的动点 x 一和 x 二，呃，我一旦 确认了终点之后，那么两个端点所相连的这个中间函数值大小与终点的函数值大小就有了对应的大小关系， 那么这个大关系，首先啊，呃，他是在这个前提为凹函数的情况下，那么同理，如果是凸函数，凸函数当中的任意两个呃 x e x 二点当中呃，一旦我们确定自弦的位置，如何来表达这个弦跟函数之间大小关系呢？很明显的也是拿这个弦啊，他的函数终点以及终点的函数值的大小关系来确定凹凸性。这样呢啊，我们就有了下面这两个重要定义， 其实左边这个定义一啊，也就是我们对应凹函数啊，凹函数对应定义啊，右边定义二，也就是我们凸函数的定义啊，啊，凸函数对应的定义啊，今天这个 这个不太方便，这个上面写的啊，好了，这样两种定义我们能够掌握住，那就可以了。反过来啊，一旦在任意呃区间范围内两个点 xx 二当中，满足这个呃终点 和呃函数值重点他的大小关系，我们就可以确定凹凸性。好了，这样我们就得到我们今天要研究的呃定义。 首先第一点需要注意的啊，大家要知道的就是凹凸函数他是有要求的，他必须在整个研究的区间范围内是连续的 啊，必须连续啊，在连续的情况下，如果呃终点的函数值始终比函数值的终点啊是小的，那么此时就叫做凹函数，反之叫突函数。所以注意两点，第一函数必须连续，第二 必须是严格大于小于，没有等号关系，那么大家能够掌握这个就可以了，这是第一个我们今天学的定义好。第二个就是凹凸的判别， 凹凸怕眠理念呢，其实呃比较容易啊，他就是根据高阶岛的研究性啊，就一个函数，如果具有连续和二阶可导性的话，那么一旦在整个范围内二阶岛大一点，他就是凹函数，反之就是凸函数， 这个请大家想一想，这是为什么啊？可以做一个提醒啊，原因，道理很简单，因为在这个地方呢，呃，一个函数，我们通过前两天我们学习的泰勒种植定理的话，大家会发现 一个函数呢，本来等于该得函数值，对吧？ fx 零啊，然后再加上整个函数一阶倒啊，然后 再乘以 x 减 x 零啊，这首先这是在对应的这个泰勒中指向当中啊，然后正常的话我们还要再往下加，那么大家想一想，他的下一项是不是就二阶倒了？ 下乡的这个二界岛，我们以第一个为例的话，第一个二界岛是正的，那这就是个正的哦，函数是这一堆啊，又加了一个正直，那么我一旦将这个正直擦掉，那么很明显整个现在这个就不能说等于了。他应该怎么样了，应该是严格大于。 哦，那我们想一想，左边这是曲线，这是函数曲线右边显然这是典型的什么函数的切线表达。是啊，这不第二招学的吗？哦，曲线始终在切线的上方这一角啊，曲线始终在切线下方，什么样的曲线能始终在每个点的 期限的呃，上方呢？因为是严格大于啊，那显然这个曲线是不是应该是一个呃，奥，函数哎，所以第一个成立， 同理，大家可以试一试。第二个我们也可以整出来啊，就是他的根本啊，可以让大家考虑考虑，就是泰勒的一个展开啊，搞定的一个根据二级岛的大于零和小于零确定不等式问题，得到曲线和切线大小关系， 那么这样就得到了函数的比较。希望大家今天对于凹凸定义和凹凸判定做一个呃深刻的了解和掌握。我是冰冰老师，我们明天再继续更新。

没有华丽的拍摄，只有慢慢的干货，每天一节高数课，期末考试不挂科。今天磊哥带大家来看凹凸性判定法的 一个证明啊，很多老师都只是讲啊，我们直接用它去做就可以了。磊哥在这里今天给大家来证明一下，我们要正的就是 fx 在 ab 上连续在 ab 内具有二阶导数，若 i 若在 ab 内二阶导大于两，则 fsab 上的图形是凹的。我们主要来正一下这个。好在正这个之前的话，磊哥先给大家说一个盈利啊，这个特别有用，也特别好用啊，特别简单啊， fx 如果是二节课盗窃 f 二街倒数大于零或小于零，还是在定狱里头，那么则 fx 大于等于 fx 零加 fs 零的一阶倒乘以 fx 乘以 x 减去或小于等于啊，取等号的条件是当前减档 x 等于 x 四零的时候去等号。好，磊哥先来证明一下这个引力啊，我们是通过这个引力去证明这个凹凸性的一个判定法的啊，所以先要证明好，磊哥给大家给他折一下，折一下我们看的比较清楚。 好，我们来正一下这个引力，那我证明假设二届导弹为零啊，这个是用泰勒公式啊，就是泰勒公式的话比较有意思 啊，泰勒公式的话， fx 等于 fx 零啊，雷克就不念了啊，雷克就不念啊，你就照抄就行了。因为我们这判断的是二阶倒数，所以你没有必要把泰勒全给它写出来，你写到二倒就可以了啊。所以雷哥用那个拉格朗如一项啊，把它写出来了，可赛是介于这个 x 和 x 零之间的。 我们说了 f 二街道大于零，那你想二街道大于零啊，那是不是一个鱼巷啊？鱼巷二街道二街道，你看它组成部分啊，这个二街道二的接成， 还有这个有三部分构成啊，这个肯定是正的啊，这东西大于等于零的，那二阶岛大于零，那说明这个余项是不就大于等于零？ 好，那你再来看这个鱼像， rx 代表鱼像，我们来看一下，当 s 等于 x 零的时候，你当 s 等于 x 零的时候，你会发现这个鱼像是不是就等于零了，鱼像就等于零了。好了，我们再看这个东西啊，这个鱼像啊，鱼像是这个， 我们知道这个东西肯定是一个大于等于零的数，那如果把这个鱼像扔掉啊，注意，磊哥，说到这一定要仔细听，如果我把这个鱼像扔掉的话，那你说啊，左边这个 fx 是不是必然会大于等于右边这个东西？你看 啊，左边这个东西必然会大于等于啊，这一堆为啥呢？因为这个东西啊，后头这个鱼像啊，你本来都是一个大于等于零的数，你加上鱼像才跟左边相等。我先把鱼像扔掉啊，那你肯定没左边大，所以我们就得到了这个东西 啊，当且减到 x 等于 x 零的时候，这个等号是成立的啊，所以我们这个引力就挣出来了。看引力啊，已知 f 二到大于零，那 fx 大于等于 fx 零加 fx 零，一阶倒数乘以 x 减 x 零，看到 没有啊，这个音里就挣出来了啊，注意一下，当 x 等于 x 零的时候，你看，当 x 一旦等于 x 零了以后啊，这个 x， 你把 x 全部换成 x 零啊，这个灯是不是零了啊，那左边的话变成 fx 零等于 fx 零， 也就当 s 等于 x 零的时候，等号是成立的啊，这个结论我们可以这样说啊，就是若二倒大于零，则当 x 不等于 x 零的时候，哎， fx 大于他啊，把等号去掉就可以了，按到同理啊，同理下面这个，呃，若这个 二打小于零，当 x 不等于，一定要注意这个条件，当 s 不等于，当 s 不等于 x 零的时候啊，他就小于他啊，就可以了啊。就是我们刚正的这个引领里头有等号， 那我现在如果让 x 不等于他取等号的条件是 x 等于 s 零，我现在让他不取等号啊，那你是不是原始里头就没有这个等号了？好了啊，这个盈利一定要记住，磊哥现在来用盈利来证明一下我们的这个，我们既然想挣的这个东西就是 fx 在 ab 上，连续在 ab 内，而且可到， 那如果二导大于零，那这个 x 在这个 ababa， 一定要注意，这是开曲键，在开曲键啊，则他的图像啊，又是在 b 区键啊，记住了，这是凹的啊，注意这个细节啊，二节导他是在开曲键，导数是开曲键啊，图像是 b 曲键，不管是二导还是一导啊，一定要注意一下这个好，磊哥，现在来把这个东西正一下， 这个给他往上，往上折一点啊，我们往上折一点。好啊，那我们来看一下，我们来正一下这个东西啊，我们现在已经知道了这个啊，二档，二档大于零啊， x 在这个 a b 之间啊，我任取任取， x x 属于 a b， 切， x。 等一下，我那个画了一个图来看一下， a b x s x 零是 x x 的终点， x 零是 x x 的终点。 好，因为二导大于零，那当 x 不等于 x 零的时候，我们刚才那个引力是不是就用上而有它啊？那这个雷克就不解释了啊，那我们现在讲射 x 只要不等于 x 零， x 只要不等于 x 零，这个狮子都是成立的。我先让 x 等于 x 一，让 x 等于 x 二，那你看， x 等于 x 一，我把所有的 x 是不换成 x 一，有这个一 是成立， x 等于 x 二啊，所有的 x 换成 x 二，是不是有这个二十成立啊？这个关键一个点来了啊，也比较有意思， ok， 一是和二是都乘以二分之一， 因为我们为了拼凑，为什么要创二分之？是为了拼凑，拼凑概念里头的那个二分之，拼凑概念里头的二分之啊，拼凑这个东西，要不然的话，你没有二分之呀，你就还是挣不出来好给这两个狮子都去成二分之一，每一项都成，第一个成完就变成了他，第二个成完就变成了他啊。 雷哥，先把这两个式子加起来，你会发现啊，左加左啊，就是这个东西，左加左就是这个东西，再看右加右啊，他加他啊，那是不就是他，然后他加他啊，提个供应式，就是这个东西提出来，然后括号里头合一下就可以了啊。那我们发现，我们刚才说了， x 零等于二分加 x x 二， 那 x 零等于二分之一， x 一加 x 三，那这东西是不就是零？零乘上任何数是不是都是零，也就后头这一堆啊，他其实就是零啊，那也就是说啊，这个右边其实就等于 fx 零了，那也就我们可以得到二分之 fx 一加这个 fx 二是不是大于啊？大于 x 零 啊？那也就是说 x 零是不是小于他？那 x 零又等于谁？是不是又等于二分？之 x 一加 x 二啊？你把 x 零换掉啊，是不是就出来这个东西了？出来这个东西是不是就我们课本上的一个定义啊？如果他小于他啊，在上面就是凹的。好了，今天就跟大家分享到这里。

那么首先呢，我们给出严格的数学定义，就是凹凸的定义，注意在这，我们是假设 f 在这个区间 i 上连续注意这个区间 i 呢？ b 的开的左闭右开，左开右闭都行。 如果对这个区别任意两点， x 一 x 二，有下面这个式子成立， f 的二分之 x 一加 x 二，小于二分之 f x 一加 x 二， 这个时候呢，我们就称这个函数所对应的图形或者叫曲线是凹的。 实际上大家注意啊，这个定义所谓体现 alt， 实际上是对应的是这样的曲线，你看，呃，这个 y 等于 f x x 对应的啊，是这样的曲线，这个呢就是 out， 那你注意这个定义呢，它是有它的几何意义的，你看在这个区间里边任意去两点，这个是 x 一，这个呢是 x 二。 好了，这一点有对应的函数值 fx 一，这一点呢，也有对应的函数值 fx 二。大家知道，二分之 x 一加 x 二，实际上是这两个点的一个终点啊，这就是二分之 x 一，加上谁 x 二， 那你注意左边就是这个 f 在这点函数值，这点函数值实际上就是曲线上这点的外坐标。哎，大家右段呢，右段是这两点函数值的一个平均值， 他在几个上表示谁啊？你看这两点呢，用一个直线连起来，那么这个时候呢，大家注意右端 二分之 f x 一加 f x 二，他这边应该是这个连接曲线上这两点的这个直线在对应这一点的这个外坐标啊，这个外坐标上就是他， 那这本就是梯形的中位线，所以大家看，这个连线上 在终点这一点的外坐标，肯定是大于曲线上在这一点对应的外坐标，所以这就是这个定义它的几何意义。这个曲线我们就称它是 out， 那么另外一种呢？我们就称它是凸的这个不等式倒过来，那这个时候就称它是 凸的，那实际上这个时候呢，凸的这个曲线，那这个呢？应该正好跟他是反的，那就是这样的曲线啊，那就是这个。 那么这样的话，大家看跟刚才对应的这个时候呢，这个不等式正好要倒过来啊，那就是这个连接这两点， 那个终点上这个弦上的这个外坐标要比曲线上的外坐标啊，就是曲线上这一点的函数值，他要大于等于这个连接这两点端点这个弦上的外坐标， 这就是凹和凸的定义，那么凹和凸在几个上，这就是凹，这就是凸啊，定义有了，几个亿也有了。

导数为啥能研究函数的凹凸性呢？我们已经学习了导数的两个应用，第一个代数应用，导函数的正负决定圆函数的增减，比如说，一节导函数大等于零，则圆函数在定律上单调递增。同理，二节导函数大等于零，则一节导函数在定律上单调递增。 第二个几何应用，曲线在某点处的切线的斜律等于函数在此点处的倒数。直线的斜律和倾斜角之间呢，是正切函数的关系。由正切函数的图像知道，倾斜角在这个范围内逐渐增大的话，斜率也是逐渐增大的。 掌握以上三个知识点，我们看以下两个图像。先看第一个，我给出的是一段凹增的函数图像，这边呢，我再画出一段凸增的函数图像，凹凸性呢，可以做一个对比，在这段凹增的函数图像上，任意取 abc 三个点取 线。在这三个点处的切线的倾斜角呢，依次增大。由倾斜角跟斜率的关系知道，斜率呢，也是逐渐增大的，有倒数的几个意义。知道在三点处的倒数呢，依次增大，也就是一些导函数单调递增， 再有倒数的代数意义，知道一阶倒函数单调递增，所对应的二阶倒函数呢，就大于等于零。所以得到第一条结论，二阶倒函数带零，则圆函数的图形是凹的。第二段给出的是一段突减的函数图像，这边呢，再画一段凹减的函数图像啊，凹凸性呢，可以做一个对比， 在这段凸显的函数图像上，任意取 a、 b、 c 三个点曲线在这三个点处的切线的倾斜角呢，依次减小。那所对应的斜律呢？单调递减也就是一节导函数，单调递减有倒数的代数意义之道，一些导函数单调递减所对呢？二节导函数呢，就小于零。 苏维德的第二个结论，二阶导航数小零，则圆函数的图形呢，是凸的，按照相同的思路呢，你可以对突增或者是凹减的图形做相同的分析，均符合这两个结论啊。所以说，函数的凹凸性就是对导数的代数应用和几何应用的一个综合应用。